二次互反律

二次剩余及其应用一、二次剩余的定义：正整数m>1，n∈Z，(m,n)=1，若存在x∈Z，使得x2≡n(mod m)，则称n为模m的二次剩余。

否则，称为二次非剩余。

勒让德(Legendre)符号：设p为奇素数，a∈Z且(a,p)=1，定义：(ap )={1，若a为p的二次剩余−1，若a为p的二次非剩余，称为勒让德符号。

当a≡b(mod p)时，显然(ap )=(bp)。

例1、证明具有下列形式的素数有无穷多个.（1）8k+3（2）8k+5（3）8k+7例2、求有序整数对(a,b)的个数，使得x2+ax+b=167y有整数解(x,y)，其中1≤a、b≤2004.二、 与素数的二次剩余相关的定理：定理1、设p 为奇素数，模p 的缩系中有p−12个二次剩余，有有p−12个二次非剩余。

且12、22、⋯、(p−12)2即为其p−12个二次剩余。

定理2、设p 为奇素数，a ∈Z 且(a,p )=1，则(p −1)!≡−(ap)ap−1(mod p)。

定理3（欧拉(Euler)判别条件）、设p 为奇素数，a ∈Z 且(a,p )=1，a p−1则≡(ap)(mod p)。

定理4、设p 为奇素数，则(−1p )≡(−1)p−1(mod p)。

即当p ≡1(mod 4)时，-1为p 的二次剩余；当p ≡3(mod 4)时，-1为p 的二次非剩余。

例3、 已知pqr 均为素数，n 为正整数，p n +q n =r 2，求证：n=1.例4、 若p 为奇素数，证明：当且仅当p ≡1(mod 4)时，p 可以表示成两个非零完全平方数之和，且表示方法唯一.三、二次互反律定理5(高斯(Gause)引理)、设p 为奇素数，a ∈Z 且(a,p )=1，若a 、2a 、⋯、p−12a 关于模p 的最小正余数中有μ个大于p 2，则(ap )=(−1)μ。

定理6、设p 为奇素数，(2p )=(−1)p 2−1。

即当p ≡±1(mod 8)时，2为p 的二次剩余；当p ≡±3(mod 8)时，2为p 的二次非剩余。

二次互反律证明从初等的表面现象到代数数论中一些深刻的结论和猜想，依次介绍了二次倒数定律的几个相关证明(提纲)。

挖一个要填的洞。

0 二次互反律首先定义勒让德符号。

对于质数 p ，如果存在整数 x ，使得m\equiv x^2\pmod p ，则称 m 是 p 的二次剩余，反之则称其为非二次剩余（ m\in\mathbb Z,p\nmid m ）。

注意，0既不是二次剩余，也不是非二次剩余。

勒让德符号定义为：\left(\frac{m}{p}\right)=\left\{\begin{aligned}+1&&m\t ext{ 是二次剩余}\\-1&&m \text{ 不是二次剩余}\\0&&m=0\end{aligned}\right.\\显然，勒让德符号是 \mathbb Z_p^\times\to\mathbb Z_2 的一个同态。

接下来，二次互反律说的就是，对于奇质数 p,q\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{q-1}2}.\\另外还有两个辅助定理： \left(\frac{-1}p\right)=(-1)^{\frac{p-1}2} ，以及 \left(\frac2p\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}} 。

I 爱森斯坦的三角函数证明（此处参考 @rainbow zyop 的证明过程）首先证明\left(\dfrac{q}{p}\right)=\prod_{\alpha =1}^{\frac{p-1}2}\frac{\sin{2\pi\alpha q/p}}{\sin{2\pi\alpha /p}}\\这一点可以通过将分子代换成 \sin{2\pi\alphaq/p}=\pm\sin{2\pi\alpha'/p},\,\alpha'\in\{1,2,\dots,\frac{p-1}{2}\} ，然后由高斯引理计算符号得。

米勒张角定理米勒-张角定理（Miller-Rabin Primality Test）是一种用于检测一个数是否为质数的概率性算法。

这个定理由Gary Miller和Michael O. Rabin在1984年提出，是基于费尔马小定理（Fermat's Little Theorem）和二次互反律（Quadratic Reciprocity Law）的推论而来。

米勒-张角定理给出的结果是一个概率，即存在一个小于等于1/4^n的几率，判断错误，其中n是所测试的数的位数。

首先，我们需要了解几个基本概念。

一个数p被称为质数，当且仅当它只能被1和它本身整除。

而合数则是指除了1和它本身外还能被其他数整除的整数。

素数的性质一直是数论的重要研究方向，而米勒-张角定理提供了一种快速判断一个数是否为质数的方法。

米勒-张角定理的核心思想是基于费尔马小定理，该定理表述为：当p是质数时，对于任意整数a，都有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

其中，a是任意一个小于p的整数。

如果对于某个数a，不满足这个等式，则可以判定p为合数。

而米勒-张角定理的进一步推论是，对于一个合数，存在绝大多数的a都无法满足费尔马小定理，只有一小部分的a满足费尔马小定理。

然而，在费尔马小定理中，存在某些合数，它们被称为卡迈克尔数（Carmichael Numbers），对于这些数，费尔马小定理仍然成立，但它们并不是质数。

因此，米勒-张角定理的主要目的是找到一种方法来区分这些特殊的合数。

米勒-张角定理通过引入二次互反律解决了这个问题。

二次互反律表述为：如果p是一个奇质数，a是一个小于p的整数并且gcd(a, p) = 1（即a和p互质），则以下两种情况中的至少一种成立：1. a^((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)2. 存在一个整数t，使a^(2^t *(p-1)/2) ≡ -1 (mod p)根据这个定理，在测试一个数p是否为质数时，我们随机选择一个数a，并通过判断以上两种情况中是否至少有一种成立来得出判断结果。

译者简介：
谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，复旦大学物理系本科毕业，曾获李政道奖学金赴美就读于哥伦比亚大学物理系研究生院攻读理论物理，后来兴趣转向语言学和外语学习，回国从事独立的语言学和外语学习方法研究，创立了“外语解密学习法”，近年来也进行独立的数学和数学史研究，致力于外语文化和大众数学普及工作，通晓英、法、德、西、俄、日、韩等多国外语。

著有《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。

已发表的数学和物理论文有：。

二次互反律在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程()q p x mod 2≡之整数解的存在性的定律。

二次互反律揭示了方程()q p x mod 2≡可解和 ()q p x mod 2≡可解的简单关系。

运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。

然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。

二次互反律常用勒让德符号表述：对于两个奇素数p 和q ，其中是勒让德符号。

但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。

欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。

但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明[1]。

在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”。

私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律[2]。

高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。

至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。

二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。

相关术语一个整数a 是模整数n 的二次剩余，是指它与某个整数的平方关于模n 同余。

直观来说，是指二次同余方程()n a x mod 2≡有整数解。

如果这样的整数解不存在，则称a 是模整数n 的二次非剩余。

术语中的“二次”一词是为了表示平方同余，在不至于混淆的行文中，可以略掉。

当模数是质数时，通常将0的情况区别讨论，因此有：在模为质数时，二次剩余与二次非剩余的个数是相等的。

在模为质数时，剩余与剩余、非剩余与非剩余的乘积都是剩余，剩余与非剩余的乘积是非剩余。

几个简单情况有了上节的关于乘积的性质，可以发现：研究一个合数是否是模某个质数p 的剩余，只需将这个合数进行质因数分解，研究其每个质因数是不是模p 的剩余即可。

高斯二次互反律主講：李宗儒在正式介紹高斯二次互反律之前，我們先簡單的介紹一下同餘方程式同餘方程式給定正整數m 及n 次整系數多項式1110()...n n n n f x a x a x a x a --=++++我們討論這樣的問題：求出所有的整數x ，使同餘式()0f x ≡ (mod m ) (1)成立，這就是所謂的解同餘方程式。

而上式稱為模m 的同餘方程式。

若(1)式在x=c 時同餘式成立，稱c 是(1)式的解。

顯然，這時剩餘類 c (mod m ) 中的任意整數也都是解，我們把這些解看作是相同的，並說剩餘類 c (mod m ) 是(1)中的一個解，我們把它記為x c ≡ (mod m )當12,c c 均為(1)式的解，且模m 不同餘，我們就稱它是同餘方程式(1)的不同解，所有模m 兩兩不同餘的解的個數，稱為是同餘方程式(1)的解數。

模為質數的二次同餘方程在此節，由於2p =的情形是顯然的，所以下面我們假定p 是奇質數。

假設p 不整除a ，二次同餘方程的一般形式是20ax bx c ++≡ (mod p ) (2)但是因為p 不整除a ，所以p 不整除4a ，所以(2)的解跟()240a ax bx c ++≡ (mod p ) (3)的解相同，上式可以改為()2224ax b b ac +≡- (mod p) (4)透過變數變換，我們可以得到下列式子224y b ac ≡- (mod p ) (5)(4)與(5)是等價的，也就是說，兩者同時無解或有解。

若有解，對於(5)的每個解0y y ≡ (mod p )，通過變數變換2y ax b =+(因為這是x 的一次同餘方程，(,2)1p a =，所以解數為1)，我們可以解出一個0x x ≡ (mod p )，由以上的討論可知，我們只要討論形如2x d ≡ (mod p ) (6)的同餘方程式，很容易的，當p 整除d 時，(6)僅有一解0x ≡(mod p )。

二次互反律在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程()q p x mod 2≡之整数解的存在性的定律。

二次互反律揭示了方程()q p x mod 2≡可解和 ()q p x mod 2≡可解的简单关系。

运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。

然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。

二次互反律常用勒让德符号表述：对于两个奇素数p 和q ，其中是勒让德符号。

但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。

欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。

但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明[1]。

在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”。

私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律[2]。

高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。

至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。

二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。

相关术语一个整数a 是模整数n 的二次剩余，是指它与某个整数的平方关于模n 同余。

直观来说，是指二次同余方程()n a x mod 2≡有整数解。

如果这样的整数解不存在，则称a 是模整数n 的二次非剩余。

术语中的“二次”一词是为了表示平方同余，在不至于混淆的行文中，可以略掉。

当模数是质数时，通常将0的情况区别讨论，因此有：在模为质数时，二次剩余与二次非剩余的个数是相等的。

在模为质数时，剩余与剩余、非剩余与非剩余的乘积都是剩余，剩余与非剩余的乘积是非剩余。

几个简单情况有了上节的关于乘积的性质，可以发现：研究一个合数是否是模某个质数p 的剩余，只需将这个合数进行质因数分解，研究其每个质因数是不是模p 的剩余即可。

mathloger 二次互反律1.引言1.1 概述二次互反律是数学中一项重要的定理，它关于二次方程的根之间的关系提供了深入的洞察。

它被广泛应用于各个领域，包括代数、几何和物理等。

二次互反律的基本思想是通过分析二次方程的根之间的关系，揭示了一些有趣且有用的特性。

在二次互反律中，我们研究的是一元二次方程的根。

一元二次方程具有形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式，其中a，b和c分别表示非零实数系数。

方程的根是使得方程等于零的解，我们可以使用求根公式来得到它们的值。

通过二次互反律，我们可以发现根之间的一些有趣的关系。

二次互反律可以简洁地表述为：一个二次方程的两个根的乘积等于该方程的常数项c除以系数a，即r1 * r2 = c / a，其中r1和r2分别表示两个根。

这个等式告诉我们，根之间的乘积与常数项和系数之间存在着简单的关系。

这个定理的证明并不复杂，可以通过利用求根公式和展开来证明。

其中包括一些代数计算和推导的步骤。

在证明过程中，我们会对方程的根进行运算，通过展开和化简来得到最终的等式。

通过证明二次互反律，我们可以更加深入地理解二次方程的特性和性质。

了解和掌握二次互反律对于理解二次方程及其应用至关重要。

它不仅帮助我们更好地解释和分析二次方程的根，还为我们提供了解决实际问题的方法和思路。

通过应用二次互反律，我们可以在实际问题中找到根之间的关系，进而推导出更多有关方程的信息。

在本文中，我们将首先对二次互反律的概念进行详细阐述，介绍其基本定义和相关性质。

然后，我们将通过具体的例子来展示如何应用二次互反律解决问题，并探讨其在不同领域的应用前景。

最后，我们将总结二次互反律的重要性，并展望未来对于该定理的进一步研究和应用。

通过本文的阅读，我们希望读者能够更加深入地理解和应用二次互反律，以及探索其在数学和现实生活中的广泛应用。

1.2文章结构1.2 文章结构：本文将按照以下顺序讨论二次互反律的概念和证明，然后总结其重要性，并展望其未来的应用。

南京大学学报数学半年刊第36卷第2期JOURNAL OF NANJING UNIVERSITY Vol.36,No.2 2019年11月MATHEMATICAL BIQUARTERLY Nov.,2019DOI:10.3969/j.issn.0469-5097.2019.02.06Eisenstein和三四次互反律孙智宏（淮阴师范学院淮安223300）摘要本文介绍数学家Eisenstein（爱森斯坦）的生平及对互反律的重大贡献，也概述了三四次有理互反律的近代发展.关键词Eisenstein，三次互反律，四次互反律中图法分类号0156.1,0156.21二次互反律历史互反律是数论的主旋律和重要支柱，不仅漂亮深刻，而且从中引出众多结果.二次互反律是最简单漂亮的互反律，是初等数论的核心定理，被Gauss（高斯）誉为“算术中的宝石”.我们先阐述二次互反律，再谈它的起源和发展.本文中用Z表示整数集合，Z+表示正整数集合.设p为奇素数，k e Z+,a&p\a,若存在”€Z使得p\x k-a,即於-a是p的整数倍，则说同余式z*=a（mod p）可解（有解），并称a为p的A:次剩余，否则称同余式於=a（mod p）无解，并称a为p的A:次非剩余.在十八世纪，大数学家Euler（欧拉）在Fermat（费尔马）关于素数表为二次型的猜想鼓舞下本文受到江苏省教育科学“十三五”规划课题（资助号D/2018/02/112）和国家自然科学基金面上项目（资助号11771173）资助**************.cn收稿日期：2019-10-08.-186-南京大学学报数学半年刊2019年11月成年累月孜孜不倦地研究二次剩余问题，证明了P为奇素数时x2=-1(mod p)有解<=>p三1(mod4),x2=2(mod p)有解<=>p=±1(mod8).根据Weil(韦伊)[28],在1751年关于X2+NY2素因子的论文中Euler根据一系列数据猜想二次互反律的一种等价形式，在1772年关于二次剩余的论文中Euler明确提出如下著名的二次互反律：定理1.1(二次互反律(quadratic reciprocity law))设p与g为不同的奇素数，则(i)当p,g中至少有一个为4/c+1形数时，x2=q(mod p)有解<=>x2=p(mod g)有解.(ii)当p,g均为4/c+3形数时,x2=q(mod p)有解<=>x2=p(mod g)无解.按照Weil[28]的观点：Euler是那么有能力的数学家，奇怪的是他始终没能证明二次互反律,直到生命后期他仍在强调二次互反律的重要性,并说“证明会很快出现”.1785年Legendre(勒让德)在递交给巴黎科学院95页论文[17]中重新发现二次互反律并利用他关于Legendre方程a*+by2+cz2=0的研究给出部分证明，因为要假定Dirichlet定理(首项与公差互质的等差数列中含有无穷多个素数)，所以Legendre关于二次互反律的证明是不完全的.1796年年轻的Gauss发现并阅读了这份文献，称之为“一篇杰出的论文”.1798年Legendre在其数论专著《Essai sur la Theorie des nombres》(数论随笔)中引入著名的Legendre符号.设p为奇素数,a为整数，规定a对(模)p的Legendre符号(計为0当p|a时，(学)=<1当a为p的二次剩余时，-1当a为p的二次非剩余时.利用Legendre符号,二次互反律可重新表述为如下等价形式:定理二次互反律)设p与g为不同的奇素数，则第2期孙智宏：Eisenstein和三四次互反律•187•1796年19岁的Gauss利用数学归纳法首次得出二次互反律的严格证明，他说“二次互反律的证明伤了我整整一年的脑筋”.1801年Gauss在其名著《Disquisitiones Arithmeticae））（算术研究［13］）中出版了二次互反律的两个证明，后来他又出版了4个证明，他的遗稿中还包含两个未发表的证明.设m>1为正奇数，m的标准分解式为m=卩严卩犷…卩花a E Z,贝Oa对m的Jacobi（雅可比）符号定义为利用Jacobi符号我们有如下的广义二次互反律：定理1.2（广义二次互反律［15,Proposition5.2.2］）设m与冗为不同的正奇数，则对两个不全为0的整数a与b,记@,b）为a与b的最大公因子.关于上次剩余，我们有如下熟知的Euler判别条件：定理1・3（Euler判别条件［15,Proposition4.2.1］）设卩为奇素数，上为正整数，贝Ua为p的上次剩余<=今=1（mod p）.2Euler与Gauss关于三四次剩余的工作在十八世纪Euler证明了如下两个基本定理（参见［15,pp.95-97］）：定理2.1（Fermat-Euler,两平方和定理）在不计次序和正负号情况下，每个必+1形素数可唯一地表成两个整数的平方和.定理2.2（Euler）设p为3E+1形素数，则存在唯一的一对正整数厶M使得4p=L2+27M2.Euler在1748-1750年间研究三四次剩余，凭着他非凡的归纳能力猜出2,3,5,7,10为泌+1形素数的三次剩余条件和2,3,5为仏+1形素数的四次剩余条件，特别提出如下惊人猜想：Euler猜想1设p为眈+1形素数，则x3=2(mod p)有解u p=A2+27B2(A,B€Z),a;3=3(mod p)有解<=>4p=j42+243B2(A,B€Z).•188•南京大学学报数学半年刊2019年11月Euler猜想2设p为4A:+1形素数，则a;4=2(mod p)有解<=>p=A2+64B2(A,B€Z),a;4=5(mod p)有解<=>p=A2+100B2(A,B e Z).不知什么缘故,Euler的遗著《Tractatus de numerorum doctrina》在他生前写了16章后放弃发表，后于1849年出版.书中讨论了模素数p的A:次剩余，证明A:次剩余构成子群并讨论了相应的商群，并试图证明丘=3,4,5且E|p-1时商群是循环群.这些工作大大超越时代.书中还讨论Euler定理，原根存在性与原根个数，并提出三四次剩余的一些猜想.Weil说，这很象是Gauss的《算术研究》(1801)前三章的初稿.以上描述参见Weil的书［28］.1807年2月150Gauss在数学日记中写道：“开始研究三四次剩余理论”，1813年他在数学日记中写道：“经过七年的冥思苦索，终于掌握了双二次剩余的理论.”1828年与1832年Gauss出版了关于四次剩余的两篇重要文章，在1828年论文中他证明了Euler关于2为仏+1形素数p的四次剩余判别条件的猜想.Gauss认为在Z中不存在合适的四次互反律，故转而研究复整数中的四次剩余问题.在1832年文章［14］最后Gauss猜想复整数中的四次互反律，并说四次互反律的证明是“算术中最深奥的秘密”，他打算在下一篇四次剩余论文中作出证明.事实上，Gauss再也没 有出版四次剩余的论文.他想写的《算术研究》续篇也没有写出和发表.当a,b e Z时称a+bi为Gauss整数(Gaussian integer)或复整数，Gauss整数构成的集合称为Gauss整数环，记为Z［d］.±1,±i称为那］中单位元(unit).设a+bd为Gauss整数，但不是单位元,若a+bi表为两个Gauss整数乘积时其中必有一数为单位元，则称a+反为Gauss素数(Gaussian prime).按两平方和定理,4A:+1形素数p可表为卫+62,因此p=(a+bi)(a-bi),p不是Gauss素数.但1+i,4k+3形素数p,a+bi(a2+b2为4k+1形素数)都是Gauss素数.在Gauss整数环中有类似的唯一分解定理,Fermat小定理及二次互反律.这就扩大了数论的研究范围，从研究(有理)整数转向研究代数整数(首一的整系数代数方程根)，由此产生代数数论.若a+bi为Gauss素数,2\b,a=1-b(mod4),则称a+bi为中本原素数(primary prime).每一Gauss素数都是一个单位元与本原素数乘积.对Gauss整数a+加及本原素数c+血有如下类似的Fermat小定理：由此c+di\a+bi时存在r G{0,1,2,3}使得(a+bi)°+4=i r(mod c+di).据此Gauss引入如下类似Legendre符号的四次剩余符号：abi c+di 0当c di\a bi时，i r当c+di\abi且(a+bi)'十：」三i r(mod c-\-di)时.第2期孙智宏:Eisenstein和三四次互反律•189•设a+加,c+血e Z［z］,Gauss考虑①4三a+加（mod c+衣）在邵］中是否有解，即是否存在£,卩€邵］使z4=a+加+y（c+衣）.类似的Eulei•判别条件为当c+衣为本原素数且c+di\a-\-bi时x4=a-{-bi（mod c-\-di）在中有解<=>（卩［）=1.Gauss在1832年四次剩余论文最后提出如下四次互反律（参见［1,14,15］）：四次互反律（quartic reciprocity law）设a+饥,c+衣为Z［町中不同的本原素数，贝U严+加）=（1）筈1•字严+衣）lc+衣丿4一'）乙+加丿/Gauss去世后人们在他的遗稿中发现四次互反律的分圆证明和几何证明.但有数学家说,那很可能是在看到Eisenstein的证明后写的利用四次互反律可证明Euler关于2,3,5为仏+1形素数p的四次剩余猜想.设a,b€Z,a=1（mod2）,b三0（mod2）,贝Ija+加可表为±@i+b辺）•••（a r+b r i）,其中a?为Z［习中本原素数由此我们可对c,d e Z定义四次Jacobi符号/C+衣、f C+di\(c+di\\a+biJ4\ai+b、i丿4\a r+b r i)类似于广义二次互反律，由四次互反律可证明：广义四次互反律【27］设a,b,c,d e Z,2{ac,&=¢/=0（mod2）,则有（a+咎=（c+lc+衣丿4一I）la+加丿/3G.Eisenstein生平及数学贡献同N.H.Abel（阿贝尔）与E.Galois（伽罗瓦）一样，Gotthold Eisenstein（爱森斯坦）也是十九世纪过早夭折的天才.Galois活到21岁，Abel活到27岁，Eisenstein活到29岁.他们都对数学作出了重大贡献，也都是靠自学大数学家著作而成大才.国内已有许多关于Abel和Galois的中文传记,奇怪的是却没有对Eisenstein的介绍.作者通过研读英文数学史料［3,18-20］,对Eisenstein的生平及数学贡献介绍如下：Gotthold Eisenstein1823年出生于一个不富裕的犹太家庭,他的五个兄弟姐妹都过早夭折了，幸运的是他存活了下来,尽管一生身体虚弱、健康不佳.Eisenstein早年受到母亲的启蒙教育，他在20岁时写的自传中说他6岁时就懂得数学定理的证明.Eisenstein还具有相当的音乐天赋，终生爱好弹钢琴和创作乐曲.Eisenstein14岁时进入学校学习，15岁时自己买数学书•190•南京大学学报数学半年刊2019年11月自学，特别学习了Eulei•和Lagrange（拉格朗日）的分析工作，19岁时买到Gauss的数论专著《算术研究》，立刻研读并对数论着迷.1843年秋季他进入柏林大学学习,1844年这位21岁的柏林大学新生在著名的Ctelle杂志发表23篇重要论文和两个问题，其中包含二元二次型、三元二次型及应用Gauss和给出三四次互反律的首次证明（见［5,6］）.他的论文立刻赢得Crelle（克雷洛）, von Humboldt（冯•洪堡）和Gauss的注意、赞赏和资助.1844年6月他受Gauss邀请访问Gauss两周，Gauss对他充满了称赞.1846年Gauss写信给von Humboldt说,Eisenstein是世纪罕见的天才.据说Gauss说过“历史上只有三个伟大的数学家,那就是Archimedes（阿基米德），Newton（牛顿）和Eisenstein.”1845年Kummer（库莫尔）和Jacobi等数学家安排Breslau佈雷斯劳）大学授予Eisenstein荣誉博士学位.Jacobi宣称他1837年在Kdnigsberg（哥尼斯堡）大学给他的学生讲过三四次互反律的证明，并于1846年在Crelle杂志上出版他的讲义内容.Eisenstein愤怒地否认有任何剽窃,Jacob啲攻击使他离开互反律研究约一年，并大大减少文章的出版量.1845年Eisenstein 又利用Abel的椭圆函数论给出三四次互反律的解析证明,1844-1845年他先后出版了四次互反律的五个证明，参见［7-10］.在1847年出版的122页重要论文“关于椭圆函数的报告”（J.Reine Angew.Math.35（1847）,153-274）中他发展了自己的独立的椭圆函数解析理论，内容涉及Eisenstein级数，椭圆模函数和模形式.Weil宣称Eisenstein构造椭圆函数的方法简单漂亮，提供了一系列结果的最简单证明.1847年Eisenstein入职柏林大学，1848年3月因参加支持民主的会议而被捕一天，进而更损害了他的健康.Weil说Riemann（黎曼）在柏林大学听了Eisenstein关于椭圆函数的讲座，并在同Eisenstein交谈中获得研究zeta函数的灵感1850年Eisenstein利用Kummer刚创立的理想论一举对一般的奇素数上建立A;次互反律，即著名的Eisenstein互反律，参见［12,15］.1851年在Gauss提议下Eisenstein被选进Gottingen（哥廷根）科学院，之后不久应Dirichlet（狄利克雷）的要求他又被选入Berlin（柏林）科学院.1852年Eisenstein29岁时因患肺结核而离开人世•他在最后一篇论文中建立了Eisenstein八次互反律，并说要在以后出版完整的八次互反律,因他的去世完整的八次互反律迟至1889年才由中学教师Goldscheider给出. Eisenstein的数学贡献还包括证明二项式系数与二次型关联的模素数的一些深刻同余式，引进Eisenstein和及建立判别有理数域上多项式不可约的Eisenstein判别法Eisenstein生前得到von Humboldt的资助和支持，去世后当时83岁的von Humboldt亲自为其送葬：以示他对这位天才的珍爱和惋惜.我们看到，Eisenstein学习、理解及创造能力惊人，他及时地学习同时代数学家的成果并应用到自己的工作中.他利用Kummer理想论建立的Eisenstein互反律是数论中的重大成果，Has-se（哈塞）称赞Eisenstein关于一般互反律的工作是惊人的优美.今天最一般的互反律由Artin（PnJ 廷）在1927年建立.我们顺便介绍一下Eisenstein关于二项式系数的著名同余式，通过引入Eisenstein和1848年第2期孙智宏：Eisenstein 和二四次互反律• 191 •Eisenstein 证明了如下深刻结果(参看［1,11］)：定理3・1设p 为奇素数,p 三1,2,4 (mod 7),从而存在整数z 和g 使得卩=* + 7沪，则有，2x (mod p)< 2x (mod p)9j *y (mod p)若p = 1 (mod 7)且龙三 1 (mod 7),若p = 2 (mod 7)且①三 3 (mod 7),若p = 4 (mod 7)且忑三 2 (mod 7),其中［a ］为不超过a 的最大整数.定理3・2设p 为8k + 3形素数，从而存在整数z 和"使得p =护+ 2/,选取了的符号使得7三1 (mod 4),则(mod p).4三次互反律及其优先权争论设e = (―1 + 称= {a -F bcu | a 、b W Z}为Eisenstein 整数环.±l,±y 土®?称为中单位元(unit).设a +九;€ Z ［cd ］,但不是单位元，若a + baj 表为Z ［w ］中两数乘积时其中 必有一数为单位元，贝」称a + bcu 为Eisenstein 素数(Eisenstein prime).按二元二次型理论,3上+1形 素数p 可表为a? — ab + b 2,因此p = (a + b (v)(a + bcu 2), p 不是Eisenstein 素数.但 1 一 3, 3上 + 2形 素数p, a-h bcu (a 2 - ab-b b 2 为3k + 1 形素数)都是Eisenstein 素数.若a 、b € Z, a = 2 (mod 3), 3 | b, a + bcv 为Eisenstein 素数，则称a + 为中本原素 数(primary prime).每一Eisenstein 素数都是一个单位元与本原素数乘积.对a + e 及本 原素数c +血有如下类似的Fermat 小定理：(a + bcd)c2~cd ^d2 三 a + (mod c + dw).由此c+血 \ 时存在r e {0,1,2}使得(a+kj)―—1 = uj t (mod c+血).据此Eisensteion 引入如下三次剩余符号：(a-Vbujlc +血0uj r当c +血I a +九;时，当c + 血彳 a + ba;且(a + buj)~―—1 = uj r (mod c + 血)时.Eisenstein 在中考虑三次剩余问题.类似的Euler •判别条件为当c + dw 为本原素数且c + dw \ a + h 时x 3 = a-}- bw (mod c-\- dw )在中有解 <=> (*［務=1.-192-南京大学学报数学半年刊2019年11月Eisenstein在1844年提出并证明如下的三次互反律([5,6,15])：Eisenstein三次互反律(cubic reciprocity law):设a+bcu,c+血;为中不同的本原素数,则/a+/c+dw\lc+血丿3\a+3设a,6e Z,a0(mod3),b三0(mod3),贝U a+6a;可表为土(如+bg)•••((!「+6r td),其中如+坊3为Z呵中本原素数.由此我们可对c,de Z定义三次Jacobi符号/c+dw\_/c+dcu\/c+du\\a+bcj丿3\ai+bi(j/3\a r-|-b r cu/3类似于广义二次互反律，由Eisenstein三次互反律可证明：广义三次互反律卩司设a,b,c,d S Z,3j ac,b=d=0(mod3),则有/a+bcv\/c+da)\\c+da>丿3\a+ba>丿31844年21岁的Eisenstein在Crelle杂志上出版了三四次互反律的首次证明，随后Jacobi宣称他在1837年给学生的讲课中给出过三四次互反律的类似证明，并于1846年在Crelle杂志发表(J. Reine Angew.Math.30(1846),166-182).Jacobi在1846年的文章说："三四次互反律的这些证明通过我在哥尼斯堡的讲座笔记已广泛传播，如Dirichlet和Kummer在几年前就已知道，而由Eisenstein先生新近在Crelle杂志第27卷出版"Eisenstein说："根据Jacob啲评论，我离开了互反律，直到最近我用椭圆函数获得互反定律的新证明."Dirichlet注意到Eisenstein的文章大为减少,评论说：“Eisenstein己学会了自我批评.”但这只是事实的一半.受Gauss1825年宣读的四次剩余论文(1828年出版)鼓舞，1827年Jacobi[16]在Crelle杂志上不加证明地宣布了如下Jacobi有理三次互反律(1827)设p,g为不同的3上+1形素数,4p=L2+27M2,4q=L'2+ 27M'2,L,M,L',M'eZ,L=L'=l(mod3),则x3=q(mod p)有解LM'-L'M(mod g)有解.LM'+L'MJacobi从未出版上述结果的证明.作者在[23]中证明了如下更强的结果:$咛三(土譽(讪对(LM，_L'M\^_/-1-Z//(3AT)V©\LM'+L'M)=k2丿(mod g),第2期孙智宏：Eisenstein和三四次互反律•193•其中rG{0,1,2}.5Dirichlet,Scholz和Eurde的有理四次互反律受Gauss四次剩余论文的启发，Dirichlet［4］证明了如下的有理四次互反律：Dirichlet有理四次互反律(1828)设p为4fc+1形素数,p=a2+b2,a,bwZ,2|b,q为另一奇素数使得有整数入满足入2=p(mod g),则(-1)专g为p的四次剩余U入(b+入)为g的二次剩余.Jacobi称赞Dirichlet这项工作是"精明的杰作”.设卩为4上+1形素数，则熟知Pell方程x2-py2=-4一定有整数解，令(如如)为*-py2= -4的最小正解(使得(帀+%*)/2最小)，称叼=仏+"0*)/2为二次域Q(")的基本单位.1934年Scholz［21］重新发现属于Schonemann(J.Reine Angew.Math.19(1839),289-308)的如下漂亮结果：Scholz有理四次互反律(1934)设pg为不同的仏+1形素数，行)=(釣=1,贝Ux4=p(mod q)有解当(寺)=1时,x4=p(mod q)无解当(手)=-1时.值得指出,作者在［22］中证明ScholzS反律中(鲁)=(牛)可仅由二次互反律推出.1969年K.Burde［2］在Crelle杂志上证明了如下Z中的四次互反律而引起轰动.Burde有理四次互反律(1969)设为不同的4上+1形素数,*三p(mod g)有解,p=a2-h 62,q=c2d2,a,b,c,d e Z,b=d=0(mod2).(i)若①2=ac—bd(mod g)有解，则x4=q(mod p)有解<=>x4=p(mod g)有解.(ii)若严=ac—bd(mod g)无解，贝Ux4=q(mod p)有解<=^x4=p(mod q)无解.•194-南京大学学报数学半年刊2019年11月Burde有理四次互反律一度被认为是独立于四次互反律的重要结果.但作者在［22,24］中说明它是四次互反律的简单推论.事实上Burde有理四次互反律非常类似于Jacobi1827年的有理三次互反律拼且T.Gosset在1911年就建立了与Burde有理四次互反律等价的结果(Mess.Math. 41(1911),65-90).尽管如此，Burde有理四次互反律产生了很大的影响，掀起三、四、八次互反律研究的新热潮，直到今天还没有穷尽.美国女数学家E.Lehmer(1906-2007),加拿大数论学家K.S.Williams(1940-)和作者都做了许多有理互反律的工作，参见［1,18］.6用群表述的有理三四次互反律对素数g,令么为模g的剩余类集合，即Z9={gZ,1+gZ,...,g—1+gZ}=Z/q Z,则N为g个元素的域.在［23］中作者引入如下定义：定义6.1对素数g>3令G(g)={oo}U{x:x2/-3,x e Z g},对x,yeG{q)规定二元运算xy-3X*V=------------x-Vy(00*X=X*00=X).例如:G(7)={0,±l,±3,oo}.在G(7)中3*3=3-3-33+3=1,1-(-1)-31+(-1)=oo.1*(-1)=定理6.1(孙智宏［23］)设g>3为素数，则G(g)是g-(約阶循环群，从而其中所有三次幕构成一个屮阶循环子群Go(g).定理6.2(孙智宏［23,26］,有理三次互反律)设>3为不同素数,p三1(mod3),4p= L2+27M2则x3=q(mod p)有解U島是G⑷中三次幕q\M或者存在整数s使得笔=孚芒(mod q).6M6s z—3若G(g)/Go(g)={G o(q),G i(q),G2((?)},L=1(mod3),则p-i—1—_L/(3M).L、,、/E+3M(l+2cd)、q3三—~(modp)=丽0(------,)3=第2期孙智宏：Eisenstein 和二四次互反律-195 -例如：对素数g > 3,记G(g)中三次幕构成的子群为G°(g),则Go (5) = Go(7) = {0, oo}, Go(ll) = {0, ±5, oo}, G o (13) = {0, ±4, oo},故当p 为3k + 1形素数且4p =厶2 + 27M2时x 3 = 5 (mod p)有解 <=> 5 | 0 或 5 | M,x 3 = 7 (mod p)有解 <=> 7 | 0 或 7 | M,x 3 三 11 (mod p)有解 <=> 11 | L, 11 | M 或 Z 三 ±5 • 3M (mod 11),x 3 = 13 (mod p)有解 <==> 13 | L, 13 | M,或厶三 ±4 • 3M (mod 13).类似地我们有用群表述的四次互反律.定义6.2 对奇素数g,令H(q) = {oo} U {x : x 2 / —1, x € Z g },对x,yeH(q)规定二元运算切一1x * y =-------龙+卩例如：H(5) = {0,±l,oo}.在H(5)中(8 * X = X * OO = X ).定理6.3(孙智宏[24])设g 为奇素数，则H ⑷是g -(-1)呼阶循环群,从而其中所有四次幕 构成一个(g - (一1)呼)/4阶循环子群Ho(g).一般地，对正整数d 及奇素数g (gfd),令G(g) = {00} U {x : x 2 / —d, x e Zq}.对①,y G G(q)规定二元运算龙*y = x ^y (00 * rr = x * 00 = 27),则可证G(g)也是循环群！定理6.4(孙智宏[24,27],有理四次互反律)设为不同奇素数，卩三1 (mod 4), p = a 2-F b 2(a,6€Z), 2|6,贝ljx 4 = (一1)专 q (mod p)有解<=>学是H(g)中四次幕o-196-南京大学学报数学半年刊2019年11月—g|b或者存在整数S使得営=f e中(mod g)b4s，一4s且x2=(一1)专q(mod p)有解<=>学是H(q)中二次幕(平方)o—g3或者存在整数s使得；=S-^-(mod g).b2s对奇素数g记H(g)中四次壽构成的子群为H°(g),则Ho⑶=H o(5)={oo},Ho⑺={0,oo},Ho(ll)={±2,oo},H o(13)={±3,oo}.故当p为4k+1形素数且p=a2-+-b2(a,b e Z,2|b)时x4三—3(mod p)有解<=>3|b,z4三5(mod p)有解<=>5|b、x4三—7(mod p)有解<=>7|a或7|b,x4三—11(mod p)有解<=>11|b或a=±2b(mod11),x4=13(mod p)有解<=>13|b或a=±3b(mod13).7用二元二次型判别三四次剩余在Fermat猜想和Euler工作的鼓舞下，1773年Lagrange创建二元二次型理论，用于探讨正整数71表为一般的二元二次型ax2■+■bxy+cy2(a,6,c e Z,a>0)的可能性和方法数问题.若a,b,c€Z,a>0,b2—4ac<0,则称a”+bxy+c^/2为正定二次型(positive quadratic form),d=b2—4ac为其判别式(discriminant).Lagrange引入二次型等价概念，若对两个二次型a*+bxy+q/2与ax?+BXY+CY?存在变换x=aX+/3Ya,0,丁，6€Z,—0丁=1y=yX+6Y,使得ax2+bxy+cy2=AX2+BXY+CY2,第2期孙智宏：Eisenstein和三四次互反律-197-则称这两个二次型等价(equivalent).Lagrange证明等价的二次型表示的整数集合相同，后来Gauss进一步说明等价二次型表同一整数的方法数也相同.Lagrange证明等价的二次型具有相同的判别式,每一判别式为d的二次 型恰好等价于一个约化二次型(reduced form),即满足-a<b<a<c或0<b<a=c的正定二次型a”+bxy+cy2.ax2+bxy+c/所在的二次型等价类记为血b,c].Gauss在《算术研究》中对具有同一判别式的两个二次型引入二次型乘积或复合的概念，两个判别式相同的二次型复合后仍为具有同样判别式的二次型.判别式为d的所有本原二次型ax2+bxy+cy2(gcd(a,b,c)=1)等价类在复合意义下构成Abel群，称为型类群H(d),群的阶为类数h(d).如：H(-4)={[1,0,1]},H(-20)={[1,0,5],[2,2,3]},H(—44)={[1,0,11],[3,2,4],[3,—2,4]}.作者在[25,26]中通过对三四次Jacobi符号的巧妙计算利用二元二次型彻底解决了判别一般整数m是否为素数p的三四次剩余问题.定理7.1([25,Theorem5.1])设m是非零整数，m=2«m0(2{m0),m'为尬。