初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形

初中奥数恒等变形知识点整理恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等.表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式.如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式.将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换).以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变.如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法.1.如果两个多项式的同次项的'系数都相等，那么这两个多项式是恒等的.如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项).2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的.如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立.x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x=1，代入①，得12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+cc=6再设x=2，代入①，由于已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6b=5∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6解二：将右边展开x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c=x2-2x+1+bx-b+c=x2+(b-2)x+(1-b+c)比较两边同次项的系数，得由②得b=5将b=5代入③得1-5+c=2c=6∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.【初中奥数恒等变形知识点汇总整理】。

第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。

联赛题型解读（一）——整式与恒等变形左右。

而代数的基础便是整式,其中乘法公式、因式分解以及恒等变形,为代数提供了丰富的知识和技巧。

下面我们通过统计近16 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对整式的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。

总结这几年来初中数学联赛对整式的考察,整式一般会考察2道题左右,考察的分值最高达到41 分（3 道一试题外加 1 道二试题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰。

我们可以认为在接下来的一两年内,会在一试中进行2 题左右的考察。

而且近三年的趋势就是这一块的内容有加强考察的趋势,说明这方面的能力要求在提升。

恒等变形的技巧贯穿了整个代数,可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。

整式中的知识大体来说包含了：乘法公式,因式分解及恒等变形,三个部分,这里简单的介绍前两个部分的基础知识。

1.乘法公式这里介绍常用的八个乘法公式：（1）平方差：a2 -b2 =(a +b)(a -b)；⎣⎦（2） 平方： (a ± b )2= a 2 ± 2ab + b 2 ；（3） 三元完全平方： (a + b + c )2= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ；（4）a 2 +b 2 +c 2 ± ab ± bc ± ca = 1 ⎡(a ± b )2 + (b ± c )2 + (c ± a )2⎤ ； 2 （5） 和（差）的立方： (a + b )3= a 3 + b 3 + 3ab (a + b );(a - b )3= a 3 - b 3 - 3ab (a - b )；（6） 立方和（差）： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ); a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )；（7）（8） a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )-a 4 - b 4 - c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2= (a + b + c )(a + b - c )(b + c - a )(c + a - b )2. 因式分解简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午；（2） 公式法： x 6 - y 6 = (x 3 + y 3 )(x 3 - y 3 ) = (x + y )(x - y )(x 2 + xy + y 2 )(x 2 - xy + y 2 )； （3） 分组分解法： ax + ay + bx + by = a (x + y ) + b (x + y ) = (a + b )(x + y ) ； （4） 十字相乘:二次三项式 abx 2 + (ad + bc ) x + cd = (ax + b )(cx + d ) ；（5） 双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同； （6） 拆项天项: a 4 + a 2b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2b 2 + b 4 - a 2b 2 = (a 2 + ab + b 2 )(a 2 - ab + b 2 ) ; （7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；（8） 主元法：多字母的代数式,可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解； （9） 因式定理：多项式 f (x ) ,当 x = a 的时候 f (a ) = 0 ,则 f ( x ) 有因式 x - a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x 、y 、z 的轮换式有因式 x - y ,则其有因式(x - y )( y - z )(z - x )前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握,后 2 种有兴趣有精力的学生可以选择性的进行学习。

初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形一、知识要点1、 整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、 整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、 乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a±b)2=a 2±2ab+b 2③ (a+b) (a 2-ab+b 2)=a 3+b 3④ (a-b) (a 2+ab+b 2)=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3+b 3+c 3-3abc⑦ (a±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、 整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、 余数定理多项式()x f 除以 (x-a) 所得的余数等于()a f 。

特别地()a f =0时，多项式()x f 能被(x-a) 整除二、例题精讲例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解 因1+2+3+…+1998=()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数， 又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n 、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。

很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是1。

整式恒等变形【专题简介】把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式，在数学求根作图方面有很广泛的应用．因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显．基本的分解方法有：①提公因式法②公式法③十字相乘常见分解技巧有：①主元法②换元法③拆添法④双十字相乘法高端分解方法有：①因式定理②待定系数③轮换对称【学习目标】学习换元法、因式定理、待定系数题型一消元与降次强化挑战【例1】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2－3(y－z)2－3(x－y)2－3(x－z)2【练1】已知x，y，z为有理数，(y－z)2＋(x－y)2＋(x－z)2＝(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2，求(yz＋1)(zx＋1)(xy＋1)的值．()z2＋1x2＋1()y2＋1()【例2】（第14届希望杯1试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值【练2】当x－y＝1，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值【例3】（第14届希望杯邀请赛试题）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝.【练3】（1990年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二因式分解基础夯实【例3】（1）已知a5＋a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3＝.(2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝.(3)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋bc ＋ac ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a 、b 、c 的值．【练4】（1）方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解（x ≤y ）为 .(2)若x 5＋x 4＋x ＝－1，则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝ .(3)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．【例5】长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．【练5】矩形的周长为28cm ，它的两边长x cm ，y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．强化挑战【例6】（已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求2b ＝a ＋c .【练6】（1）在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b .(2)已知∆ABC 三边a ，b ，c 满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断∆ABC 的形状，并说明理由．题型三乘法公式强化挑战【例7】若x ＋y ＝a ＋b ，且x 2＋y 2＝a 2＋b 2，求证：x 2014＋y 2014＝a 2014＋b 2014.【练7】已知a ＋b ＝c ＋d ，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a 2013＋b 2013＝c 2013＋d 2013.巅峰突破【例8】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013.【练8】（第6届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值【例9】已知a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0. 【练9】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝．【例10】（2009北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，（1）求ab＋bc＋ac的值（2）求a4＋b4＋c4的值【练10】若a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，a3＋b3＋c3＝83，求①abc的值；②a4＋b4＋c4的值题型四配方深入研究【例11】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y【练11】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y【例12】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y【练12】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y.【例13】已知实数a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝7，ab ＋bc ＋b ＋c 2＋16＝0，则 b a的值等于 ．【练13】已知a －b ＝4，ab ＋c 2＋4＝0，则a ＋b ＝ ．【例14】当x 变化时，分式3x 2＋6x ＋512x 2＋x ＋1的最小值是 ．【练14】（2000年联赛）实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y＝ .第9讲7年级尖端班课后作业【习1】已知求x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值.【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072，则m（）A．是完全平方数还是奇数B.是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24则这样的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是三角形三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c2b2的值（）A恒正B恒负C可正可负D非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋2b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值【习8】已知x是实数，并且x3＋2x2＋2x＋1＝0，求x2008＋x2011＋x2014的值【习9】（1999年北京初二数学竞赛）若3 x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．【习10】（第18届希望杯初一）有理数a、b、c满足a∶b∶c＝2∶3∶5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】（2010北京市初二数学竞赛）x、y为实数，满足x＋y＝1，x4＋y4＝72，求x2＋y2的值．【习12】（十八届希望杯初二二试）已知a1、a2、a3……a2007是彼此互不相等的负数，且M＝（a1＋a2＋a3……＋a2006）（a2＋a3……＋a2007）N＝（a1＋a2＋a3……＋a2007）（a2＋a3……＋a2006）试比较M、N的大小【习13】（2013年联赛）已知实数x、y、z满足x＋y＝4，│z＋1│＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝．【习14】（2013年竞赛）已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0则abc的最大值为．【习15】（2001年联赛）求实数x、y的值，便得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。

初中数学竞赛专题培训恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．1.解:原式=((a-b)-(b-c))^2=02.证明：即证xyz[(x+y+z)3-(x3+y3+z3)]=(yz+zx+xy)3-（y3z3+z3x3+x3y3）展开得：xyz[(x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3xz2+3y2z+3yz2+6xyz)-（x3+y3+z3）]=（y3z3+z3x3+x3y3+3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2）-（y3z3+z3x3+x3y3），即（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2=3y2z3x+3z3x2y+3y 2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x23.证明：裂项即可。

整式的恒等变形1. 乘法公式也叫作简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

⒉ 基本公式就是最常用、最基础的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式：()()22a b a b a b +-=-． 立方和（差）公式：()()2233a b a ab b a b ±+=±．⒊ 公式的推广：①多项式平方公式：()22222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：()3322333a b a a b ab b ±=+±()4432234464a b a a b a b ab b ±=±+±+()554322345510105a b a a b a b a b ab b ±=±+±+±…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式()()322344a b a a b ab b a b +-+-=-()()43223455a b a a b a b ab b a b +-+-+=+()()5432234566a b a a b a b a b ab b a b +-+-+-=-…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数()()2122232222122n n n n n n n a b a a b a b ab b a b -----+-+-+-=-()()2212222122121n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ---+++-+--+=+类似地： ()()123221n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ------+++++=-⒋ 公式的变形及其逆运算由()2222a b a ab b +=++得()2222a b a b ab +=+-由()()3322333333a b a a b ab b a b ab a b +=+++=+++得()()3333a b a b ab a b +=+-+ 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 n n a b -能被a b -整除， 2121n n a b +++能被a b +整除，22n n a b -能被a b +及a b -整除。

整式恒等变形一、配方法 (1)二、降次 (6)三、整体思想 (8)四、其他 (8)一、 配方法1. （1985年全国初中数学联赛1试）设2-=a b ，2-=b c 222++---a b c ab bc ca 的值为_______．【难度】 ★★【解析】15 令222S a b c ab bc ca =++---，则2222222222S a b c ab bc ca =++---222()()()a b b c c a =-+-+- ((222224=+++30=．∴130152S =⨯=．即22215a b c ab bc ca ++---=．2. （1986年全国初中数学联赛1试）设a ，b ，c ，d 都是整数，且22m a b =+，22n c d =+，则mn 也可表示成两个整数的平方和，其形式是：mn =__________．【难度】 ★★【解析】22()()ac bd ad bc -++或填22()()ac bd ad bc ++- 2222()()mn a b c d =+⋅+ 22()()ac bd ad bc =++- 22()()ac bd ad bc =-++填出以上两种形式的任何一种都是正确的．3. （1992年全国初中数学联赛1试）若21310x x -+=，则44x x -+的个位数字是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【难度】 ★★ 【解析】D 由21310x x -+=知0x ≠， 所以113x x -+=，222133167x x -+=-=， 4421672x x -+=-．从而4421672x x -+=-的个位数字为927-=． 故选D ．4. （1992年全国初中数学联赛1试）若a ，b 都是正实数，且1110a b a b--=+，则33b a a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________． 【难度】 ★★★【解析】∵1110a b a b --=+，即1b a a b -=，而b a a b +．∴33333b a b a b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. （1994年全国初中数学联赛1试）设a ，b ，c 是不全相等的任意实数，若2x a bc =-，2y b ca =-，2z c ab =-，则x ，y ，z （ ）A ．都不小于0B ．都不大于0C ．至少有一个小于0D ．至少有一个大于0【难度】 ★★★【解析】D 很容易可以联想到这样的公式；2222222()()()()a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-， 所以有：2222()2()x y z a b c ab bc ca ++=++--- 222()()()0a b b c c a =-+-+->，即0x y z ++>，故x ，y ，z 中至少有一个大于0． 故选D ．6. （1998年全国初中数学联赛1试）设a ，b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是_______． 【难度】 ★★★ 【解析】 1-222a ab b a b ++-- ()2212a b a b b =+-+-2213312424b a b b -⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭()221311124b a b -⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭≥ 当102b a -+=，10b -=， 即0a =，1b =时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为1-．7. （1999年全国初中数学联赛1试）已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠，则b ca+=__________． 【难度】 ★★★【解析】2 本题主要考查的是因式分解和一些常用的公式，首先反整个等式展开：∵()()()24b c a b c a -=--，即22224444b b c ac bc ab a -+=-+-， ∴22244420a b c ac ab bc ++--+=，很显然应该对上式逐步配方，然后即可得a b c ，，之间的关系： ∴()()22440b c a b c a +-++=， ∴()220a b c -+=⎡⎤⎣⎦， ∴2a b c =+， ∴2b ca+=．8. （2000年全国初中数学联赛1试）实数x ，y 满足1x y ≥≥和22540x xy x y --++=，则x y +=________．【难度】 ★★★【解析】4 解法一：对于二元的方程，要求未知数我们一般考虑方程的判别式，但对于本题来说，我们应该利用条件所给的不等式，通过配方来分析．2254x xy x y --++()()2244x x x xy x y =-++--+()()()221x x y x =-+--0=．又0x y -≥，1x -≥0，()220x -≥，所以()()()2210x x y x -=--=． 故2x y ==，4x y +=． 解法二：由已知条件条形得()()225411x x y x x x -+=--≤，即2440x x -+≤．()2202x x -⇒=≤．代回原式得到2y =． 得4x y +=．9. （2001年全国初中数学联赛2试）在直角坐标系中有三点(01)A ，，(13)B ，，(26)C ，；已知直线y ax b =+上横坐标为0，1，2的点分别为D ，E ，F ．试求a ，b 的值使得222AD BE CF ++达到最小值．【难度】 ★★★【解析】 D ，E ，F 的坐标为()0D b ，，()1E a b +，，()22F a b +，， 由图象可知：()()()2222221326AD BE CF b a b a b ++=-++-++-22563302046a ab b a b =++--- ()2563032046a b a b b 2=+-+-+2236532155a b b b ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3305506a b b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52a =，56b =，最小值为16．10. （2001年全国初中数学联赛2试）求实数x ，y 的值，使得222(1)(3)(26)y x y x y -++-++-达到最小值．【难度】 ★★★【解析】 ()()()2221326y x y x y -++-++-22563302046x xy y x y =++--+()2563032046x y x y y 2=+-+-+2223353533204655x y y y y ⎛⎫⎛⎫=+---+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2236532155x y y y ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566x y y ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3305506x y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52x =，56y =，最小值为16．11. （1995年全国初中数学联赛1试）设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是_________．【难度】 ★★【解析】1， 这个题目是将二次函数2y x x =-与反比例函数1y x=作叠加，前面已经说过要求极值一般情况下是要配方的，这里出现了1x，可以联想到公式212x x +-=，这样我们进行两次配方可得：()()22211111y x x x x =-++-=-++． 因而1x =时，y 有最小值1．12. （2013年全国初中数学联赛1试）已知实数x ，y ，z 满足4x y +=，|1|29z xy y +=+-，则23x y z ++=________． 【难度】 ★★【解析】4 由题意：4x y =-，∴()()22|1|29429693z xy y y y y y y y +=+-=-+-=-+-=--， ∴310y z -=+=，∴131x y z ===-，，，∴234x y z ++=．13. （2013年全国初中数学联赛2试）已知实数a b c d ，，，满足222222323()6a c b d ad bc +=+=-=，求2222()()a b c d ++的值．【难度】 ★★★★【解析】 设22m a b =+，22n c d =+，则222223223312m n a b c d +=+++=．因为22(23)(23)2424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，所以6mn ≤① 又因为222222222222()()mn a b c d a c b d a d b c =++=+++222()()()6ac bd ad bc ad bc =++--=≥② 由①，②可得6mn =，即2222()()6a b c d ++=．注：符合条件的实数a b c d ，，，存在且不唯一，a 1b =，c =，d =14. （2013年全国初中数学联赛1试）如果实数x ，y ，z 满足222()8x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示||x y -，||y z -，||z x -的最大值，则A 的最大值为________．【难度】 ★★★不妨设x y z >>，则A x z =-，令x y a -=，y z b -=，则x z a b -=+，由222()8x y z xy yz zx ++-++=可知，()()()222182x y y z z x ⎡⎤-+-+-=⎣⎦， ∴()22216a b a b +++=，228a b ab ++=，∵()2223830a b a b ab ab ab -=++-=-≥，∴83ab ≤，∴()2832833a b ++=≤，∴a b +．二、 降次15. （1994年全国初中数学联赛1试）当x =32001(419971994)x x --的值为（ ） A ．1B ．1-C ．20012D ．20012-【难度】 ★★【解析】B因为x ()2211994x -=，即24419930x x --=． 于是，()20013419971994x x --()()2001224419934419931x x x x x ⎡⎤=--+---⎣⎦()200111=-=-．故选B ．16. （1986年全国初中数学联赛1试1试）若x =，则分式4322621823815x x x x x x --++=-+_________． 【难度】 ★★【解析】5 ∵4x ==∴28130x x -+=．且分式的分母除以2813x x -+后余2，分式的分子除以2813x x -+后余10． ∴原式值为5．17. （1995年全国初中数学联赛1试1试）已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值等于_______．【难度】 ★★【解析】20这类问题一般都先化简后代值，直接把a =代入将导致复杂的计算． 由已知，有214a a +=，① 原式()()()()2221111a a a a a a -++=-+ ()()222211142014a a a a +++===⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 同学们在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将2a a +作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．由①有3214a a a +=，②54314a a a +=③由②-①，得 ()3114a a a -=-④由③-②并将④代入，得()()54323111416a a a a a a a +--=-=-．⑤ ()()32111611612014116a a a a -⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭-原式18. （2008年全国初中数学联赛1试）设a ，则5432322a a a a a a a+---+=-________．【难度】 ★★ 【解析】 2-∵221a a ==-⎝⎭，∴21a a +=，∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a --+--===-=-++=-+=-⋅----．19. （2009年全国初中数学联赛1试）设1a ，则32312612a a a +--=（ ） A ．24B ．25 C．10 D．12【难度】 ★★ 【解析】A 由()217a +=，有2226,62a a a a +==-．于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---()2261212621224a a a a =+-=+-=三、 整体思想四、 其他20. （1996年全国初中数学联赛1试）设333199519961997x y z ==，0xyz >，且，则111x y z++=________．【难度】 ★★★ 【解析】1 设333199519961997x y z k ===，显然0k ≠，所以： 333199519961997k k kx y z ===，，，带入方程可得：333=．即：33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． ∵0k ≠，∴111x y z=++． 由已知可得0x >，0y >，0z >， ∴1111x y z++=.21. （1997年全国初中数学联赛1试）若实数a ，b ，c 满足2229a b c ++=，代数式222()()()a b b c c a -+-+-的最大值是（ ） A ．27B ．18C ．15D ．12【难度】 ★★ 【解析】A ()()()()()22222222a b b c c a a b c ab bc ca -+-+-=++-++，考虑到等式()()22222a b c a b c ab bc ca ++=+++++， 将两个等式相加得到()()()()()2222222327a b b c c a a b c a b c -+-+-+++=++=，当0a b c ++=时，()()()222a b b c c a -+-+-有最大值27． 故选A ．22. （2002年全国初中数学联赛1试）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【难度】 ★★ 【解析】D22m n =+，22n m =+，两式相减得到()()2210m n n m m n m n -=-⇒-++=．又m n ≠，所以1m n +=-，由立方和公式()()332222m mn n m n m mn n mn -+=+-+- ()222m mn n mn =--+-22m mn n =---()2m m n n =-+-2m n =-．又由已知条件22n m =+，所以33222m mn n m n -+=-=-，故选择D ．23. （2004年全国初中数学联赛1试）已知0abc ≠，且0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab++的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【难度】 ★★【解析】A 本题利用基本恒等式来变形： 原代数式222333a b c a b c bc ca ab abc++++=． 又()()3332223a b c a b c a b c ab bc ca abc ++=++++---+． 由已知0a b c ++=，故33330a b c abc ++-=．即3333a b c abc ++=，代回原式得到2223333a b c a b c bc ca ab abc++++==，选A ．24. （2012全国初中数学联赛1试）已知实数a b ，满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（ ） A ．18- B ．0 C ．1 D ．98 【难度】 ★★★【解析】B ()()22244222219221248a ab b a b a b ab ab ab ab ⎛⎫++=+-+=-++=--+ ⎪⎝⎭， 又∵()20a b +≥，()20a b -≥，故1122ab -≤≤， ∴当12ab =-时，44a ab b ++取最小值0．。