《轴对称、平移与旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

二、图形的平移、旋转与轴对称1.图形的平移●平移的定义：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定距离的图形运动。

●平移两要素：平移的方向、平移的距离●平移前的图形：画虚线；箭头：表示平移的方向；平移后的图形：画实线。

●注意：平移几格不是原图形与平移后图形之间的格数，而是指图形的对应点之间的格数。

●关键点：一般是图形的各顶点或线段的交点。

●注意：平移前后，图形的大小、形状、方向都不变，只是位置变了。

●画平移后图形的方法：①找关键点②定平移方向、距离③找对应点④依次连线。

2.图形的旋转●旋转的定义：旋转是指在平面内，将某个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度的图形运动。

这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。

●旋转三要素①旋转中心：点/轴②旋转方向：顺时针方向/逆时针方向③旋转角度●怎样描述图形的旋转：将某图形绕某点沿某时针方向旋转某度到某位置。

●画旋转后图形的方法：①找旋转中心②找准关键线段③旋转关键线段④画出旋转后的图形●旋转中心：一般是两个图形的公共点●关键线段：过旋转中心的线段。

为了保证旋转角度，一般选与方格纸重合的线段作为关键线段。

●注意：旋转前后，图形的大小、形状都不发生改变，但位置和方向一般会发生变化。

3.轴对称图形●定义：轴对称图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴（对称轴画虚线，画超出图形）。

●轴对称图形至少有一条对称轴。

●轴对称图形中每一组对称点到对称轴的距离相等。

●轴对称图形中对称点的连线与对称轴互相垂直。

●轴对称图形和对称轴的数量：①正方形（4条对称轴）②长方形（2条对称轴）③等腰三角形（1条对称轴）④等边三角形也叫正三角形（3条对称轴）⑤菱形（2条对称轴）⑥圆形（无数条对称轴）⑦等腰梯形（1条对称轴）⑧五角星（5条对称轴）⑨正五边形（5条对称轴）●生活中的轴对称图形或轴对称现象：京剧脸谱、剪纸、国徽、天坛、北京故宫、凯旋门、蝴蝶、空调、人的五官和身体等●画对称轴的方法：①找一组对应点②画对应点间线段的中垂线③画虚线●画轴对称图形另一半的方法：①找关键点②定对称点③依次连线（一般画虚线）4.设计图案●利用平移设计图案的方法：①选好基本图形②确定平移的方向③确定平移的距离④进行多次平移●利用旋转设计图案的方法：①选和基本图形②确定旋转方向和角度③确定旋转中心④依次画出每次旋转后的图形●利用轴对称设计图案的方法：①选好基本图形②确定对称轴③画出基本图形的另一半5.探索规律●观察图形变化时，先确定变化方式（平移、旋转或轴对称），再确定位置变化的规律。

专题28 轴对称、平移、旋转的核心知识点精讲1.理解轴对称图形与中心对称图形概念；2.掌握图形的平移的性质及有关计算；3.掌握图形的旋转性质并运用其性质进行有关的计算；4.掌握位似的性质。

考点1：轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图 形定 义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性 质对应线段相等 AB =ACAB =A ′B ′，BC =B ′C ′，AC =A ′C ′对应角相等∠B =∠C∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区 别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴关 系(1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．考点2：图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质：1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．考点3：图形的旋转1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．考点4：中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形常见的中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.考点5：坐标变换的规律（1）P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,－b)；（2）P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(－a,b)；（3）P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(－a,－b)．【题型1：平移、旋转与轴对称的识别】【典例1】（2023•苏州）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2023•泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023•广西）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-3】（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）A．B．C．D．【题型2：平移、旋转与轴对称性质的应用】【典例2】（2023•无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（）A．80°B．85°C．90°D．95°【变式2-1】（2023•南充）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（）A．2B．2.5C．3D．5【变式2-2】（2023•牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（）A．3B．C．2D．1【变式2-3】（2023•宁夏）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（）A．B．C．D．【题型3：图形变化与点坐标变化】【典例3】（2023•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（）A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）【变式3-1】（2023•金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点O对称D．关于直线y＝x对称【变式3-2】（2023•青岛）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）【变式3-3】（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C （﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（）A．（1，5）B．（1，3）C．（5，3）D．（5，5）【变式3-4】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【题型4：与平移、旋转与轴对称相关的网格作图】【典例4】（2023•达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．【变式4-1】（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；（3）填空：∠OCB的度数为．【变式4-2】（2023•宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．【变式4-3】（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．一．选择题（共8小题）1．在学习图案与设计这一节课时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到△ABC，后沿着直尺BC 方向平移3cm，再描边得到到△DEF，连接AD．如图，经测量发现△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD 的周长为（）A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm3．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，连接AA'，BB'，CC'，其中BB′分别交AC，A′C于点D，D'，下列结论：①AA'∥BB'；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直线l垂直平分AA'；④直线AB与A'B'的交点不一定在直线l上．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④4．如图，在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将长方形沿BE折叠，使得点A落在CD边上F处，则AE 的长是（）A．B．C．D．25．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于点E，则∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．45°D．50°6．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AF的长为（）A．6B．C．8D．7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（）A．B．4C．D．58．如图，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB'，若，则点A的对应点A'的坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣1，）C．（﹣1，2）D．（﹣1，）二．填空题（共7小题）9．若点A（2，﹣3）关于坐标原点的对称点是B，则点B的坐标为．10．如图，已知四边形ABCD是长方形，点E、F分别在线段AB、CD上，将四边形AEFD沿EF翻折得到四边形A'EFD'，若∠CFD'＝36°，则∠DFE＝．11．如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为．12．线段AB两端点的坐标分别为A（2，4），B（5，2），若将线段AB平移，使得点B的对应点为点C（3，﹣1）．则平移后点A的对应点的坐标为．13．如图，有一块长方形区域，AD＝2AB，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为1米，设AB边的长为x米，则图中空白区域的面积为．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，则BB′＝．15．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O旋转90°得到点P′，则点P′的坐标为．三．解答题（共3小题）16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）求（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．17．如图所示，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC，∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．（1）求∠DAO的度数；（2）用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当∠BDE＝25°时，求∠BEF的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，将长方形ABCO放置于平面直角坐标系中，点O与原点重合，点A，C分别在y轴和x轴上，点B（8，4），连接BO，并将△ABO沿BO翻折至长方形ABCO所在平面，点A的对称点为点E，则点E 的坐标为（）A．B．C．D．2．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．10B．12C．14D．163．如图，正方形ABCD，边长AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为（）A．1B．2C．D．24．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．B．C．D．5．如图，菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上，∠ADC＝120°，点A的坐标为（﹣4，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）A．4B．C．D．6．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF 为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（）△CBEA．①②③B．①③④C．①②④D．②③④7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点E、F分别是边AB、BC上一动点，将△BEF沿EF折叠，若点B恰好落在AD边上的点G处，设EF＝x，则x的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝65°，将△ABC绕点B逆时针旋转至△EBD，使点C落在边AC上的D处，则∠EBA＝．9．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为．10．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使CD∥AB，则∠BAE的度数为．11．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是．12．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点P为射线AD上一个动点．连接BP，把△ABP沿BP折叠，当点A 的对应点A'刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AP的长为．13．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿DE翻折得到△DC'E，连接AC′，则AC′的长为．三．解答题（共2小题）14．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．求证：AB＝AE．15．[教材呈现]下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．结合图①，完成解答过程．[拓展]（1）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为；（2）如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连结EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D 的对称点D'与点B重合，点A的对称点为点A'．若AB＝4，AD＝3，则EF的长为．1．（2023•常州）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）2．（2023•自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2023•天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（）A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD4．（2023•通辽）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（）A．24°B．28°C．48°D．66°5．（2023•黄石）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．（2023•绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（）A．（m﹣2，n﹣1）B．（m﹣2，n+1）C．（m+2，n﹣1）D．（m+2，n+1）7．（2022•福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（）A．96B．96C．192D．1608．（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．。

图形的轴对称平移与旋转本课件是针对《图形的轴对称、平移与旋转》章节的复习内容。

通过本课件的学习，你将能够深入理解图形的轴对称、平移与旋转的概念和特点。

本课件主要包括以下内容：1.轴对称–轴对称的定义–轴对称的特点–轴对称的判定方法–轴对称的性质2.平移–平移的定义–平移的特点–平移的向量表示–平移的性质3.旋转–旋转的定义–旋转的特点–旋转的角度表示–顺时针和逆时针旋转–旋转的性质1. 轴对称1.1 轴对称的定义轴对称是指图形相对于某条轴线能够重合的特性。

如果一个图形经过折叠后能够与原图形完全重合，那么该图形就是轴对称的。

1.2 轴对称的特点轴对称的特点包括： - 对称轴上的每一个点，其关于对称轴的对称点也在图形中； - 图形的每一个点和其对称点的连线和对称轴垂直； - 图形的左右两侧关于对称轴是镜像关系。

1.3 轴对称的判定方法轴对称的判定方法有以下几种： - 观察法：通过观察图形是否满足轴对称的特点； - 折叠法：将图形沿对称轴折叠，观察折叠后的图形是否能够与原图形重合；- 定点法：找出图形上的一些关键点，然后观察这些点与它们关于对称轴的对称点之间是否有对称关系。

1.4 轴对称的性质轴对称具有以下性质： - 轴对称的图形的面积不变； - 轴对称的图形的周长不变； - 轴对称的图形的任意两个对称点之间的距离相等。

2. 平移2.1 平移的定义平移是指图形沿着某个方向不改变形状和大小地移动的过程。

在平移过程中，所有的点都按照相同的方向和距离移动。

2.2 平移的特点平移的特点包括： - 图形平移后形状和大小不变； - 移动前后的图形是全等图形； - 平移不改变图形的朝向。

2.3 平移的向量表示平移可以通过向量进行表示。

如果一个平移将点P(x,y)平移到P’(x’,y’)，其中平移向量为v(a,b)，那么有以下关系：x’ = x + a，y’ = y + b。

2.4 平移的性质平移具有以下性质： - 平移满足三角不等式，即两个平移的合成平移不超过各自的平移距离之和； - 平移满足平行四边形法则，即平移的结果仍然是平行四边形；- 平移可以逆向进行，即存在逆平移，使得平移后再逆平移回原来的位置。

《图形的平移与旋转》全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是（ ）.A ．经过两次翻折（对称轴平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的B ．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次平移得到的C ．经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的D ．经过几次翻折（对称轴有偶数条且平行）后的图形可以看作是经过一次平移得到的 2.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（ ）. ①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角． A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④3.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ）.A B C D4.（2016·株洲）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C 顺时针方向旋转后得到△A ’B ’C ’，若点B ’恰好落在线段AB 上，AC 、A ’B ’交于点O ，则∠COA ’的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5.如图,把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处， 若90FPH =o∠，8PF =，6PH =，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）. A.20 B.22 C.24 D.30第4题 第5题6．如图,正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼 成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）. A ．2 B ．4 C ．8 D ．107. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt △ABC 绕A 点按逆时针方向旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是（ ）.A.6π B.3π C.16π+ D.18.如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE. 过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③EB ⊥ED ；④S △APD +S △APB =1+6；⑤S 正方形ABCD =4+6．其中正确结论的序号是（ ）． A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤二、填空题9. 如图，图B 是图A 旋转后得到的，旋转中心是 ，旋转了 ．10.在Rt ∆ABC 中，∠A <∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将∆ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度.第9题第10题第12题11.（2016•大连）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD= ．12. 如图，正方形ABCD经过顺时针旋转后到正方形AEFG的位置，则旋转中心是，旋转角度是度．13. 时钟的时针不停地旋转，从上午8：30到上午10：10，时针旋转的旋转角是 .14. 如图所示，可以看作是一个基本图形经过次旋转得到的；每次旋转了度．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝43，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是 .16.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系.（1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a＝_________；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_________（用含n的代数式表示）.三、解答题17. 如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是BA延长线上一点，且AE=12 AB．①你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法使△ABF变到△ADE的位置？若是旋转，指出旋转中心和旋转角．②线段BF和DE之间有何数量关系？并证明．18.阅读：我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为整数的正n（n＞3）边形的边按照如图1的方式连续转动，当顶点P回到正n边形的内部时，我们把这种状态称为它的“点回归”；当△PQR回到原来的位置时，我们把这种状态称为它的“三角形回归”．例如：如图2，边长为1的等边三角形PQR的顶点P在边长为1的正方形ABCD内，顶点Q与点A重合，顶点R与点B重合，△PQR沿着正方形ABCD的边BC、CD、DA、AB…连续转动，当△PQR连续转动3次时，顶点P回到正方形ABCD内部，第一次出现P的“点回归”；当△PQR连续转动4次时△PQR回到原来的位置，出现第一次△PQR的“三角形回归”．操作：如图3，如果我们把边长为1的等边三角形PQR沿着边长为1的正五边形ABCDE的边连续转动，则连续转动的次数k= 时，第一次出现P的“点回归”；连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR的“三角形回归”． 猜想：我们把边长为1的等边三角形PQR 沿着边长为1的正n （n ＞3）边形的边连续转动， （1）连续转动的次数k= 时，第一次出现P 的“点回归”； （2）连续转动的次数k= 时，第一次出现△PQR 的“三角形回归”；（3）第一次同时出现P 的“点回归”与△PQR 的“三角形回归”时，写出连续转动的次数k 与正多边形的边数n 之间的关系．19.（2015春•凉山州期末）如图，长方形ABCD 在坐标平面内，点A 的坐标是A （2，1），且边AB 、CD 与x 轴平行，边AD 、BC 与x 轴平行，点B 、C 的坐标分别为B （a ，1），C （a ，c ），且a 、c 满足关系式c=++3．（1）求B 、C 、D 三点的坐标；（2）怎样平移，才能使A 点与原点重合？平移后点B 、C 、D 的对应分别为B 1C 1D 1，求四边形OB 1C 1D 1的面积；（3）平移后在x 轴上是否存在点P ，连接PD ，使S △COP =S 四边形OBCD ？若存在这样的点P ，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．20. 如图，P 是等边三角形ABC 中的一点，PA ＝2，PB ＝32，PC ＝4，求BC 边得长是多少？【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】B.【解析】A 、多次平移相当于一次平移，故正确；B 、必须是对称轴有偶数条且平行时，才可以看作是原图形经过一次平移得到的，故错误；C 、一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换，故正确；D 、对称轴有偶数条且平行时，可以看作是原图形经过一次平移得到的，故正确． 故选B ． 2．【答案】A. 3．【答案】B.BP4．【答案】B.【解析】解：由题意知：∠A=90°-50°=40°，由旋转性质可知：∴BC=B C′，∴∠B=∠BB ’C=50°，∵∠BB ′C =∠A +∠ACB ’=40°+∠ACB ’， ∴∠ACB ’=10°，∴∠COA ’=∠AOB ’=∠OB ’C+∠ACB ’=∠B+∠ACB ’=60°． 故选B ．5．【答案】C.【解析】Rt △PHF 中，有FH=10，则矩形ABCD 的边BC 长为PF+FH+HC=8+10+6=24，故选C ． 6．【答案】B.【解析】阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4． 故选B ．7. 【答案】B.【解析】阴影部分的面积等于扇形DAB 的面积，首先利用勾股定理即可求得AB 的长，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．8.【答案】D.【解析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD ，再结合已知条件利用SAS 可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB ，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE ，结合△AEP 是等腰直角三角形，可证△BEF 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF 、BF ；⑤在Rt △ABF 中，利用勾股定理可求AB 2，即是正方形的面积；④S △APD +S △APB = S △AP E +S △EPB ＝12． 二．填空题 9．【答案】X ；180°.【解析】观察图形中Z 点对应点的位置是图A 绕旋转中心X 按逆时针旋转180°得到的．故答案为：X ；180°．10．【答案】30°.【解析】解法一、在Rt △ABC 中，∠A ＜∠B∵CM 是斜边AB 上的中线， ∴CM=AM ， ∴∠A=∠ACM ，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处 设∠A=∠ACM=x 度， ∴∠A+∠ACM=∠CMB ， ∴∠CMB=2x ，如果CD 恰好与AB 垂直 在Rt △CMG 中， ∠MCG+∠CMB=90°即3x=90°x=30°则得到∠MCD=∠BCD=∠ACM=30°根据CM=MD，得到∠D=∠MCD=30°=∠A∠A等于30°．解法二、∵CM平分∠ACD，∴∠ACM=∠MCD∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°∴∠A=∠BCD∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°∴∠A=30°11．【答案】2．12．【答案】A，45.【解析】∵正方形ABCD经过顺时针旋转后得到正方形AEFG，∴旋转中心为点A，旋转角为∠CAD，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，∴旋转角为45°．故答案为：A，45．13.【答案】50°．【解析】从上午8：30到上午10：10，共1个小时40分钟；时针旋转了536圆周，故旋转角的度数是50度．故答案为：50°．14．【答案】3；90．【解析】如图所示的图形可以看作按照逆时针（或顺时针）旋转3次，且每次旋转了90°而成的．故答案是：3；90．15．【答案】6．【解析】如图，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG＝4，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解．16．【答案】（1）a=2，（2）3n+1．【解析】根据正半轴上的整数与圆周上的数字建立的这种对应关系可以发现：圆周上了数字0、1、2与正半轴上的整数每3个一组012；345；678…分别对应.三.解答题17．【解析】解：（1）可以通过旋转使△ABF变到△ADE的位置，即把△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°可得到△ADE；（2）线段BF和DE的数量关系是相等．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，∵F是AD的中点，AE=12 AB，∴AE=AF，∴△ABF以A点为旋转中心，逆时针旋转90°时，AB旋转到AD，AF旋转到AE，即F点与E点重合，B点与D点重合，∴BF与DE为对应线段，∴BF=DE．18.【解析】解：操作：3，5．猜想：（1）第一次点回归，连续转动的次数都是3次，故填3；（2）第一次出现△PQR的“三角形回归”，连续转动的次数就是多边形的边数，故填n；（3）当n不是3的倍数时，k=3n，当n是3的倍数时，k=n．19.【解析】解：（1）由题意得，a﹣6≥0且6﹣a≥0，所以，a≥6且a≤6，所以，a=6，c=3，所以，点B（6，1），C（6，3），∵长方形ABCD的边AB、CD与x轴平行，边AD、BC与x轴平行，∴点D（2，3）；（2）∵平移后A点与原点重合，∴平移规律为向左2个单位，向下1个单位，∴B1（4，0），C1（4，2），D1（0，2）；（3）平移后点C到x轴的距离为2，∵S△COP=S四边形OBCD，∴×OP×2=4×2，解得OP=8，若点P在点O的左边，则点P的坐标为（﹣8，0），若点P在点O的右边，则点P的坐标为（8，0）．综上所述，存在点P（﹣8，0）或（8，0）．20.【解析】解：如图，将△ABP绕点B逆时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．再过B作CQ的延长线的垂线BD，垂足为D，∴BQ=PB=23，∠PQB =60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB=23，∠QPC=60°.在△PCQ中，∵CQ=PA＝2，，PQ=23，PC=4，∴CQ2+ PQ2＝PC2，∴∠PQC=90°，∴∠CQB=∠PQB+∠PQC=150°，∴∠BQD=30°.在Rt△BQD中，BD＝12BQ＝3，QD＝3，则CD＝5.在Rt△BCD中，BC＝32527+=.。

轴对称平移旋转知识点总结
嘿呀！今天咱们来好好总结一下轴对称、平移和旋转这些有趣的知识点呢！
首先来说说轴对称，哇！这可是个神奇的概念呀！轴对称图形就是沿着一条直线对折后，两边能够完全重合的图形呢。

比如说，长方形、正方形、圆形，它们可都是轴对称图形呀！这条对折的直线就叫对称轴，哎呀呀，对称轴可是很重要的哟！对称轴可以有一条，也可以有多条，像等边三角形就有三条对称轴呢！那怎么判断一个图形是不是轴对称图形呢？这就得看对折后两边是不是能严丝合缝地重合啦！
接下来聊聊平移，哇哦！平移就是物体在平面内沿着某个方向移动，移动过程中物体的形状、大小和方向都不变哟！就好像我们在滑梯上滑下来，这就是平移现象呀！在数学中，平移可以用坐标的变化来描述呢。

比如说，一个点原来的坐标是(1, 1)，向右平移3 个单位，那新的坐标就变成了(4, 1)啦！平移在生活中的应用也不少，像电梯的上下移动，是不是很常见呀？
最后讲讲旋转，哎呀呀！旋转可太有意思啦！旋转就是物体绕着一个点或者一个轴进行圆周运动。

像风车的转动、钟表指针的走动，这都是旋转呀！旋转是有方向的，有顺时针旋转和逆时针旋转之分呢。

而且旋转还有角度的问题，转了多少度得弄清楚哟！
总结一下哈，轴对称、平移和旋转，这三个知识点在数学中可重要啦！它们让我们的图形世界变得丰富多彩，是不是很神奇呢？同学
们，一定要好好掌握这些知识呀！这样在解决数学问题的时候，就能轻松应对啦！。