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第十节抛物线(二)基础自测1．(2012·合肥月考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2.圆x 2＋y 2－6x －7＝0，可化为(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x -7＝0相切， ∴3＋p2＝4，解得p ＝2.故选C.答案：C2．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线的焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为( )A.94 B.178C.5D.4解析：抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)．直线l 为y ＝12x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－2x －4＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. 由弦长公式可得，截得的线段长为1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋⎝⎛⎭⎫122×22－4×(－4)＝5.答案：C3．(2013·东北三校第二次联考)若拋物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为________．解析：设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，所以36＝2p ⎝⎛⎭⎫10－p2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.答案：2或184．(2013·宁夏银川一中第五次月考)已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则此抛物线的焦点坐标是________．解析：圆方程：x 2＋y 2－6x －7＝0化为：(x －3)2＋y 2＝16，垂直于x 轴的切线为：x ＝－1，x ＝7.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x－3)2＋y 2＝16相切，所以－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．答案：(1,0)1．(2013·江西卷) 已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：依题意可得AF 所在直线方程为x2＋y ＝1，代入x 2＝4y 得y ＝3－52，又|FM |∶|MN |＝(1－y )∶(1＋y )＝1∶ 5.答案：C2．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解析：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .1．(2012·三明模拟)设抛物线y 2＝4x 的准线为l ，焦点为F ，P 为抛物线上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若△PQF 的面积与△POF 的面积之比为3∶1，则点P 坐标是________________．解析：(2，－22)或(2,22)2．(2013·江苏泰州二模)已知过点A (－4, 0)的动直线l 与拋物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求拋物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解析：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x＝2y －4.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p 2，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，所以y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，所以拋物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ>0得k <－4或k >0，所以x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x－2k )，所以b ＝2(k ＋1)2，所以b 的取值范围是(2，＋∞)．。
第九节抛物线(一)1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.理解数形结合的思想.知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线．注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．二、抛物线的类型、标准方程及其几何性质(注意：表中各式的p>0)标准方程y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py图形焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Rx ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0 对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率 e ＝1焦半径 ||PF ＝ p2 ＋ x 1 ||PF ＝ p2 ＋ ||x 1||PF ＝ p 2 ＋ y 1 ||PF ＝ p2＋ ||y 1基础自测1．(2013·四川卷)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3B ．2C. 3D ．1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，由点到直线的距离公式得F (2,0)到直线x －3y ＝0的距离d ＝|2－3×0|12＋(－3)2＝22＝1.故选D.答案：D2．一动圆的圆心在抛物线x 2＝－8y 上，且动圆恒与直线y －2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(0，－4)C ．(2,0)D ．(0，－2)解析：由抛物线的定义知到焦点距离与到准线的距离相等，动圆必过焦点(0，－2)． 答案：D3．若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线，所以p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x4．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：41．(2013·新课标全国Ⅰ卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△P OF的面积为()A．2 B．2 2 C．2 3 D．4解析：由y2＝42x知：焦点F(2，0)，准线x＝－ 2.设P点坐标为(x0，y0)，则x0＋2＝42，所以x0＝32，所以y20＝42×32＝24，所以|y0|＝26，所以S△POF＝12×2×26＝2 3.故选C.答案：C2．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D →·E B →的最小值．解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故A D →·E B →＝(A F →＋F D →)·(E F →＋F B →)＝A F →·E F →＋A F →·F B →＋F D →·E F →＋F D →·F B →＝|A F →|·|F B →|＋|F D →|·|E F →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，A D →·E B →取得最小值16.1．(2013·汕头一模)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：因为y 2＝4x ，所以p ＝2，焦点坐标为(1,0)，依题意可知当P ，Q 和焦点三点共线且点P 在中间的时候，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为－1，然后代入抛物线方程求得x ＝14.答案：⎝⎛⎭⎫14，－12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点F ()1，0的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作倾斜角为45°的直线m 交轨迹E 于点A ，B ，求△AOB 的面积．解析：(1)设P ()x ，y ，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x . (2)m ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y －4＝0.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则||y 2－y 1＝42，所以S △AOB ＝12×||OF ×||y 2－y 1＝12×1×42＝2 2.。
1．(2013²北京卷)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2解析：由x 2－y 2m ＝1知，a ＝1，b ＝m ，所以c 2＝a 2＋b 2＝1＋m ，e 2＝c 2a2＝1＋m ，由e >2，得1＋m >2，所以m >1.故选C.答案：C2．(2013²甘肃甘谷一中检测)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，一个焦点为F (c,0)，A (c ，y 0)．将A 点坐标代入双曲线方程得y 0＝±b 2a .∵|AB |＝4a ，∴2²b 2a＝4a ，即2a 2＝b 2，∴3a 2＝c 2，e ＝ 3.故选B.答案：B3．(2013²全国新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：由e ＝c a＝52知，设a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k . 所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.答案：C4．曲线x 210－m ＋y 26－m ＝1(m ＜6)与曲线x 25－n ＋y 29－n＝1(5＜n ＜9)的( )A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对解析：方程x 210－m ＋y 26－m ＝1(m ＜6)的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程x 25－n ＋y 29－n＝1(5＜n ＜9)的曲线为焦点在y 轴的双曲线，且(10－m )－(6－m )＝(9－n )＋(n －5)．故选A.答案：A5．(2013²四川省成都4月模拟)已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( )A.12B.32C.72 D ．5解析：由|PA |－|PB |＝3知P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线一支(以B 为焦点的一支)，因为2a ＝3,2c ＝4，所以a ＝32，c ＝2，所以|PA |min ＝a ＋c ＝72.故选C.答案：C 6．(2013²青岛模拟)设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→²PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5解析：如图，由PF 1→²PF 2→＝0可得PF 1→⊥PF 2→，由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1→＋PF 2→|＝|PQ →|＝2c ＝210.答案：B7．(2013²梅州一模)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.32B. 5C.32或52 D.32或 5解析：依题意可知m ＝2³8＝±4.当m ＝4时，曲线为椭圆，a ＝2，b ＝1，则c ＝3，e ＝c a ＝32， 当m ＝－4时，曲线为双曲线，a ＝1，b ＝2，c ＝5，则e ＝ 5.故选D. 答案：D8．(2013²天津卷)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：由y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，∴其准线方程为x ＝－2.双曲线的左焦点为(－2,0)，c ＝2，又e ＝2，而c a＝2，∴a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19. (2012²赣州期末)若圆(x －2)2＋y 2＝2与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相切，则双曲线的离心率是____________．解析：已知圆心为(2,0)，半径为2，双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，依题意有|2b |a 2＋b2＝2，即a 2＝b 2，∴a 2＝c 2－a 2，即c 2＝2a 2，∴e ＝ 2. 答案： 210．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是____________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，点()1，2在该直线的上方，由线性规划知识，知：2>b a ，22>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2⇒4>c 2－a 2a 2⇒4>⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1⇒1<e 2<5⇒1<e <5，故e ∈(1，5)．答案：()1，511．已知F 1、F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值是__________．解析：由双曲线方程得，2a ＝8.由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8，②①＋②，得|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝16，所以|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16. 答案：1612．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|²|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解析：(1)由16x 2－9y 2＝144，得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率为e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝PF 1|－|PF 22＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0.∴∠F 1PF 2＝90°.13．(2013²济宁模拟)设A 、B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析：(1)由题意知a ＝23，所以一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，所以|bc |b 2＋12＝3，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．14．(2012²上海卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若|MF |＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |＜2)的直线l 交C 于P ，Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .(1)解析：双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222，由点M 是右支上一点知，x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，±2.(2)解析：左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)证明：设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1.(*)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k2，x 1x 2＝－1－b22－k2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP →²OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝＋k 2－1－b 2 2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k 2. 由(*)知，OP →²OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .。
2015年高考数学（理）一轮复习讲义：8-7 抛物线第7讲抛物线[最新考纲]1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离续表性质顶点O(0,0) 对称轴y＝0 x＝0 焦点F 向上向下辨析感悟1．对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(³)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(³)2．对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013²北京卷改编)若抛物线y＝ax2的焦点坐标为(0,1)，则a＝，准线方程为y＝－1.(√)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(³)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(√)[感悟²提升]1．一点提醒抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．如(2)．2．两个防范一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3).考点一抛物线的定义及其应用【例1】 (2014²深圳一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM||MN|＝( )．A．2 B．12C．1 D．13解析如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF||MN|＝|MH||MN|.由MHN∽△FOA，则＝＝，则|MH||MN|＝1，即|MF||MN|＝1.答案 C规律方法抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．【训练1】 (2014²山东省实验中学诊断)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．解析将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝－1.答案－1考点二抛物线的标准方程与几何性质【例2】 (2014²郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )．A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x解析如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，|BC|＝2|BF|，|BC|＝2|BB1|，BCB1＝30°，AFx＝60°，连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，抛物线方程为y2＝3x，故选C. 答案 C规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练2】 (2014²兰州一模)已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m ＝( )．A．±2 B. C. D．±解析抛物线的标准方程为x2＝4y，所以准线为y＝－1.圆的标准方程为2＋y2＝，所以圆心为，半径为.所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得m＝±.答案 D考点三直线与抛物线的位置关系【例3】 (2013²湖南卷)过抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1＞0，k2＞0，证明：²＜2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．审题路线(1)写出直线l1的方程与抛物线联立用根与系数的关系求M，N的坐标写出，的坐标求²用基本不等式求得结论．(2)由抛物线定义求|AB|，|CD|得到圆M与圆N的半径求出圆M与圆N的方程得出圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程点M到直线l的距离求出其关于k1的函数式求其最小值求得p.解(1)由题意知，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为y＝k1x＋.由得x2－2pk1x－p2＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.所以点M的坐标为，＝(pk1，pk)．同理可得点N的坐标为，＝(pk2，pk)，于是²＝p2(k1k2＋kk)．因为k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜k1k2＜2＝1.故²＜p2(1＋12)＝2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋，|FB|＝y2＋，所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，从而圆M的半径r1＝pk＋p.故圆M的方程为(x－pk1)2＋2＝(pk＋p)2，化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0.同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0.又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.因为p＞0，所以点M到直线l的距离d＝＝＝.故当k1＝－时，d取最小值.由题设，＝，解得p＝8.故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．【训练3】设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.(1)若BFD＝90°，ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ p.因为ABD的面积为4 ，所以|BD|²d＝4 ，即²2p² p＝4 ，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|.所以ABD＝30°，m的斜率为或－.当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.因为m的纵截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值也为3.当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要的作用，注意运用．教你审题9——灵活运用抛物线焦点弦巧解题【典例】已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．[审题] 一审：由直线过抛物线焦点可利用焦点弦长公式求解．二审：由点C为抛物线上一点，可设出C点坐标，利用＝＋λ表示出点C坐标，将点C坐标代入抛物线方程求解．解(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)；设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[反思感悟] (1)解决与抛物线的焦点弦有关问题，常用到x1x2＝，y1y2＝－p2，|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)，＋＝这些结论，就会带来意想不到的效果．(2)解析几何中像这样可以引申推广的规律有很多，只要我们平时善于总结、归纳同类题的解题方法，并注意探究和发掘变换事物中所蕴涵的一般规律，就一定会有更多发现．【自主体验】1．(2012²安徽卷)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析法一由＋＝.得|BF|＝.法二设BFO＝θ，则由|AF|＝3，p＝2，得cos θ＝，|BF|＝.答案2．(2012²重庆卷)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.解析由＋＝＝2及|AB|＝|AF|＋|BF|＝，得|AF|²|BF|＝，再由解得|AF|＝，|BF|＝.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013²四川卷)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )．A. B. C．1 D.解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0，故所求距离为＝.选B.答案 B2．(2014²济宁模拟)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p 的值为( )．A．1 B．2 C. D．4解析圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－＝4，解得p＝2.答案 B3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )．A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2解析分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.答案 D4．(2014²潍坊一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为( )．A．2 B．3 C．2 D．4解析抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.答案 B5．(2013²天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p＝( )．A．1 B. C．2 D．3解析由已知得双曲线离心率e＝＝2，得c2＝4a2，b2＝c2－a2＝3a2，即b＝a.又双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，抛物线的准线方程为x＝－，所以不妨令A，B，于是|AB|＝p.由AOB的面积为可得²p²＝，所以p2＝4，解得p＝2或p＝－2(舍去)．答案 C二、填空题6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．解析由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.答案x2＝12y7．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案 38．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p＝________.解析如图，在等边三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.答案 6三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．解法一根据已知条件，抛物线方程可设为y2＝－2px(p＞0)，则焦点F.点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，故解得或抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.法二设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有－(－3)＝5，p＝4.所求抛物线方程为y2＝－8x，又点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)³(－3)，m＝±2.10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：²是一个定值．(1)解由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，x1＋x2＝6，由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，由得y2－4ky－4＝0.y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．²＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.²是一个定值．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )．A．x2＝y B．x2＝yC．x2＝8y D．x2＝16y解析－＝1的离心率为2，＝2，即＝＝4，＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，p＝8.故C2：x2＝16y，选D.答案 D2．(2014²洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )．A. B. C．2 D.－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.答案 D二、填空题3．(2014²郑州二模)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________. 解析抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以tan 120°＝，所以yA＝2.因为PAl，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.答案 4三、解答题4．(2013²辽宁卷)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．解(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0＝－(2－)＋＝－，y0＝－＝－.由得p＝2.(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝.y＝.切线MA，MB的方程为y＝(x－x1)＋，y＝(x－x2)＋.由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.由得x2＝y，x≠0.当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y. 因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.。
1．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D.10解析：取双曲线的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ， ①y ＝x 2＋1， ②将①式代入②式并整理，得ax 2－bx ＋a ＝0.由题意可得，Δ＝b 2－4a 2＝0，∴b 2a 2＝4，则双曲线的离心率e ＝ 1＋b 2a2＝ 5.故选C.答案：C2．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ( )A ．3 3B ．2 3C ．2 D. 3解析：抛物线的准线为x ＝3，双曲线的两条渐近线y ＝±33x .所求三角形的面积S ＝12³23³3＝3 3.故应选A.答案：A3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．7解析：如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°. 又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°.又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8. 答案：B4．(2013²江阴模拟)P 为抛物线y 2＝4x 上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M (4,5)，则PQ 与PM 长度之和的最小值为( ) A.34＋2 B.34＋1 C.34－1 D.34解析：焦点F (1,0)，PM ＋PQ ＝PM ＋PF －1，而PM ＋PF 的最小值是MF ＝34，所以答案为34－1.答案：C5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74解析：如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54. 答案：C6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，点P 到l 2的距离等于点P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得点P 到点F (1,0)和直线l 1的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min＝|4－0＋6|5＝2.故选A.答案：A7．(2012²山东卷)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2得c ＝2a ，又因为抛物线焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线渐近线ay ＝±bx 的距离⎪⎪⎪⎪⎪⎪ap 2a 2＋b 2＝ap22a＝2，所以p ＝8，即抛物线C 2的方程为x 2＝16y .故选D.答案：D8．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是______．解析：焦点F (1,0)，准线方程x ＝－1， ∴焦点到准线的距离是2. 答案：29．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝______.解析：由题意可知过焦点的直线方程为y ＝x －p2，联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2⇒x 2－3px ＋p 24＝0，又|AB |＝＋12p2－4³p 24＝8⇒p ＝2.答案： 210．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12³6³12＝36.答案：3611．(2013²北京顺义区高三第一次统练)在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点， PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝____________.解析：抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，又tan 60°＝y A1－－，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x P ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.答案：412．(2012²陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽____________m.解析：设水面与桥的一个交点为A ，如图建立直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，代入点A 得p ＝1，设水位下降1 m 后水面与桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝－2³(－3)，x 0＝±6，所以水面宽度为2 6 m.答案：2 613．(2013²东城检测)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .(1)解析：依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的抛物线， 因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1²k 2＝14x 1²14x 2＝116x 1²x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .14．(2012²潮州期末)已知圆心为P 的动圆与直线y ＝－2相切，且与定圆x 2＋(y －1)2＝1内切，记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设斜率为22的直线与曲线E 相切，求此时直线到原点的距离．解析：(1)设圆心P (x ，y )，∵圆P 与直线y ＝－2相切， ∴圆P 的半径R ＝|y ＋2|.又∵圆P 与定圆x 2＋ (y －1)2＝1内切，∴|y ＋2|－1＝|FP |，∴|y ＋1|＝|FP |，∴点P 到直线y ＝－1和点(0,1)距离相等，∴点P 的轨迹是以点(0,1)为焦点，以直线y ＝－1为准线的抛物线，∴曲线E 的方程是x 2＝4y .(2)设斜率为22的直线方程为y ＝22x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝22x ＋m ，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－82x －4m ＝0，由直线与曲线E 相切，得Δ＝(－82)2＋16m ＝0, 解得m ＝－8，所以直线方程为y ＝22x －8，即22x －y －8＝0.所以原点到该直线的距离为d ＝|－8|22＋1＝83.15．(2013²广东卷)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x－y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |²|BF |的最小值．解析：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，由|0－c －2|2＝322结合c ＞0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎝⎛⎭⎪⎫其中y 1＝x 214，y 2＝x 224， 则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0. 同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0， 所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3) 由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |²|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |²|BF |＝y 1y 2＋ (y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2，所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，所以当y 0＝－12时， |AF |²|BF |取得最小值，且最小值为92.。
