2019年上海市复旦附中浦东分校高三下学期3月质量监控数学试题

上海师范大学附属中学2018-2019年下学期高三数学质量检测试卷一：填空题（本大题共有12题，满分54分）．1.已知函数20()210xx x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩ ，则11[(9)]f f ---=_________． 【答案】-2 【解析】()193f --=，则()()111932f f f ---⎡⎤-==-⎣⎦。

2.若复数z 满足401z z-=，则z 的值为________.【答案】2i ± 【解析】 【分析】 由行列式运算，可得240z +=，由此求得z ，得到答案．【详解】由行列式401z z-=，可得240z +=，解得2z i =±．故答案为：2i ±【点睛】本题主要考查了行列式的运算，以及复数的求法，其中解答中主要二阶行列式性质的合理运用，着重考查了基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入1n =，则输出S =_________．的【答案】3log 19 【解析】 【分析】模拟程序的运行，当19n =时满足条件3n >，退回循环，即可求解，得到答案． 【详解】模拟程序的运行，可得1n =， 不满足条件3n >，执行循环体，3n =， 不满足条件3n >，执行循环体，19n =， 满足条件3n >，推出循环，可得3log 19S =， 故答案为：3log 19．【点睛】本题主要考查了循环结构程序框图的计算与输出，其中解答中模拟程序框图的运算，准确运算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________. 【答案】5【解析】321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()3121rn rr r n T C xx -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()351r rn r n C x --，令5350,3n r n r -==，3r =时，n 有最小值5，故答案为5.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 【答案】96 【解析】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×44A =96种考点：排列、组合及简单计数问题 【此处有视频，请去附件查看】6.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22265tan acB a c b =+-，则sin B 的值是___．【答案】35【解析】试题分析:因,故由22265tan ac B a c b=+-可得,即.故应填答案35.考点：余弦定理及同角关系得的运用．7.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________【答案】2n 【解析】试题分析：当n=1时，11a s ==2；当2n ≥时，221[(1)(1)]n n n a s s n n n n -=-=+--+-=2n ；而n=1时，适合上式，所以，它的通项公式为2n a n =。

上海市浦东新区2019届高三二模数学试卷2019.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}5A x x =>，集合{}7B x x =≤，则=B A .2. 若行列式128012x -=，则x = .3. 复数12iz i+=的虚部为 （其中i 为虚数单位）.4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形.（结果用数值表示）5. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的_______倍.6. 已知函数()()()=sin20f x x ,ϕϕ+>是偶函数，则ϕ的最小值是________.7. 焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为 .8. 已知无穷数列{}n a 满足()()1,12018,31,2019,21n n a n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩则=∞→n n a lim _______.9. 二项式6)212(xx -展开式的常数项为第_________项. 10. 已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的最大值为_________.（精确到小数点后一位）11. 已知正方形ABCD 边长为8，,3,BE EC DF FA ==若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使PE PF λ=，则λ的取值范围为_____________.12. 已知2()22f x x x b =++是定义在[-1,0]上的函数, 若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是 ___。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）DC 1B 1A 1CBA14. 点()20P ,到直线1423x t,y t,=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离为（ ）（A ）35 （B ）45 （C ）65 （D ）11515. 已知点(,)P x y 满足约束条件：50252000400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =-的最小值为（ ） （A ）40 （B ）40- （C ）30 （D ）30-16. 已知()||f x a x b c =-+，则对任意非零实数,,,,,a b c m n t ，方程2()()0mf x nf x t ++= 的解集不可能为（ ）（A ）{2019} （B ）{2018,2019} （C ）{1,2,2018,2019} （D ）{1,9,81,729}三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题14分，第1小题5分，第2小题9分）已知，正三棱柱111C B A ABC -中，221==AC AA ，延长CB 至D ，使BD CB =。

2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届上海市浦东新区建平中学年高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．221x y +≤是“||||x y +≤成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质结合不等式表示的几何意义，充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可． 【详解】“x 2+y 2≤1”表示单位圆内以及圆周上的点，“|x |+|y |≤，0），（0），（，0），（0，）为正方形内及边界上的点，由图象可知，圆是正方形的内切圆，所以“x 2+y 2≤1”是“|x |+|y |≤成立的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，关键是理解其几何意义，属于基础题． 2．将函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像向左平移2π个单位，所得函数的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称，则ω的值不可能是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．10【解析】由条件根据函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，可得y ＝Asin （ωx 2π+ω+φ）的图象，再由Asin （ωx 2π+ω+φ）＝﹣Asin （ωx +φ），求得φ满足的条件． 【详解】将函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象向左平移2π个单位， 可得y ＝Asin [ω（x 2π+）+φ]＝Asin （ωx 2π+ω+φ）的图象． 再根据所得函数图象与f （x ）图象关于x 轴对称，可得Asin （ωx 2π+ω+φ）＝﹣Asin （ωx +φ）， ∴2πω＝（2k +1）π，k ∈z ，即ω＝4k +2，故ω不可能等于4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得1212()()()nnf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围为（ ）A ．{}2,3B ．{}2,3,4C ．{}3,4D ．{}3,4,5【答案】B 【解析】【详解】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率； 1212()()()n nf x f x f x x x x ===表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像上， 故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显分别有2、3、4个，故选B. 【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.4．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：（1）对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；（2）当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.给出如下结论：①对任意m Z ∈，有()20m f =；②函数()f x 的值域为[0,)+∞ ③存在n Z ∈，使得()219nf +=；④“函数()f x 在区间()a b ，上单调递减”的充要条件是“存在k Z ∈，使得()1(,)2,2k k a b +⊆”.上述结论正确有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x 变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；据①②③的正确性可得④是正确的． 【详解】①f （2m ）＝f （2•2m ﹣1）＝2f （2m ﹣1）＝…＝2m ﹣1f （2），正确；②取x ∈（2m ，2m +1]，则2m x ∈（1，2]；f （2m x ）＝22m x-，从而 f （x ）＝2f （2x）＝…＝2m f （2m x ）＝2m +1﹣x ，其中，m ＝0，1，2，…从而f （x ）∈[0，+∞），正确；③f （2n +1）＝2n +1﹣2n ﹣1，假设存在n 使f （2n +1）＝9，即存在x 1，x 2，1222x x -=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确； 综合有正确的序号是①②④． 故选：C .本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．二、填空题5．函数()()()210f x x x =-≤的反函数是______________.【答案】1()f x -=1(1)x ≥ 【解析】从条件中函数式()()()210f x x x =-≤中反解出x ，再将x ，y 互换即得．【详解】 ∵()()()210f x x x =-≤∴x ＝1，且y ≥1，∴函数f （x ）＝x 2﹣2x +1（x ≤0）的反函数为())111f x x -=≥．故答案为：1()f x -=1(1)x ≥ 【点睛】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y ＝f （x ）反求出x ＝Φ（y ）；（2）交换x ＝Φ（y ）中x 、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．6．设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 【答案】-3【解析】试题分析：由题意得：32436iz i i+=+=-+，其虚部为-3 【考点】复数运算7．已知函数2()(3)3f x ax b x =+-+，[23,4]x a a ∈--是偶函数，则a b +=________.【答案】2【解析】偶函数定义域关于原点对称，且f （﹣x ）＝f （x ），由此即可求出a ，b ． 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a ﹣3+4﹣a ＝0，解得a ＝﹣1．由f （x ）为偶函数，得f （﹣x ）＝f （x ），即ax 2﹣（b ﹣3）x +3＝ax 2+（b ﹣3）x +3，2（b ﹣3）x ＝0，所以b ＝3．故答案为：2． 【点睛】偶函数的定义域关于原点对称，f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．8．已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则行列式sin 11sec x x -的值等于________. 【答案】14【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx ，进而可求secx 的值，再计算行列式的值即可得解． 【详解】∵sinx 35=，x ∈（2π，π）， ∴cosx 45==-，secx 154cosx ==-，∴11sinx secx -=sinxsecx +135=⨯（54-）+114=． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了行列式的计算，属于基础题．9．已知数列{}n a 的通项公式为1,1,21,32nn n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=________.【答案】74【解析】先对数列{}n a 求和得到n S ，再求极限. 【详解】当1n =时，1=1S ， 当2n =时，213=1+=22S ，当3n ≥时，211[1()]13117182=1++=()()1n n n n S --+-=-∴1132271,342n nn S n n ⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪⎪⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，， ∴lim lim 717[()]424n n n n S →∞→∞-==， 故答案为：74.【点睛】本题考查了数列的求和问题，考查了等比数列的求和公式，考查了极限的求法，属于基础题.10．如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为___________.【答案】【解析】由主视图、俯视图得到三棱柱的侧视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果. 【详解】由三视图得到三棱柱的侧视图为以底面正三角形的高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，所以侧视图的面积为22=. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，11．(1-2x)5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为 ____. 【答案】243【解析】令x=-1即得(1-2x)5的二项展开式中各项系数的绝对值之和.【详解】设550125(12),x a a x a x a x -=++++令x=-1,则243=01250125a a a a a a a a -+--=++++，故答案为：243 【点睛】（1）本题主要考查二项式展开式的各项的系数和问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.12．现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品.现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是_______. 【答案】2105【解析】先求出基本事件总数n 510A =，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C 61种，4只次品必有一只排在第五次测试，有C 41种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A 44种．根据分步计数原理有C 61C 41A 44种．由此能求出最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率． 【详解】现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试， 直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，基本事件总数n 510A =，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C 61种， 4只次品必有一只排在第五次测试，有C 41种，4于是根据分步计数原理有C 61C 41A 44种．∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p 1146445102105C C A A ==． 故答案为：2105． 【点睛】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．13．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 【答案】9【解析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p ＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．14．已知双曲线()22*214x y a N a -=∈的两个焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上一点，满足21212F F PF PF =⋅，P 到坐标原点O 的距离为d ，且59d <<，则2a =________.【答案】4或9【解析】求得双曲线的b ，c ，设P 为右支上一点，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，运用双曲线的定义，结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得a 的正整数解． 【详解】双曲线2224x y a -=1的b ＝2，c 2＝a 2+4，设P 为右支上一点，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ，由题意可得4c 2＝mn ，又由三角形中线与边的关系可得:2 m 2+2n 2＝(2c )2+(2d )2， 即m 2+n 2＝2c 2+2d 2，可得（m ﹣n ）2+2mn ＝4a 2+8c 2＝2c 2+2d 2又d 2∈（25，81）， 即25＜5a 2+12＜81，由a 为正整数，可得a 2＝4或9，故答案为：4或9． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15．已知357211sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n --=-+-++-+-，由0sinx =有无穷多个根：0，π±，2π±，3π±，…，可得：222222sin 11149x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把这个式子的右边展开，发现3x -的系数为2221111(2)(3)3!πππ+++=，即22462(1)n -发，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论_____.【答案】22211138π++=【解析】直接利用类比推理，即可得出结论． 【详解】由cosx ＝0有无穷多个根：±12π，±32π，…，可得：cosx ＝（12214x π-）（12294x π-）…，把这个式子的右边展开， 发现-x 2的系数为221111192244ππ++==！，即22211138π++=．故答案为：22211138π++=．【点睛】本题考查的知识点是类比推理，考查学生的思维逻辑能力，难度较大．16．函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[0,1]m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立，则222b a ab-的最大值是_____. 【答案】[0，154] 【解析】先根据恒成立写出有关a ，b 的约束条件，再在aob 系中画出可行域，由斜率模型可得1b a ≤≤4．又22b a b aab a b-=-，令 b a =t ，则1≤t ≤4，利用y ＝t 1t -在[1，4]上单调递增，即可得出结论． 【详解】令g （m ）＝（3a ﹣2）m +b ﹣a ． 由题意当m ∈[0，1]时，0≤f （a ）≤1可得 0≤g （0）≤1， 0≤g （1）≤1∴0≤b ﹣a ≤1，0≤2a +b ﹣2≤1．把（a ，b ）看作点画出可行域，由斜率模型ba可看作是原点与（a ，b ）连线的斜率，由图可得当（a ，b ）取点A 时，原点与（a ，b ）连线的斜率最大，与b ﹣a=0重合时原点与（a ，b ）连线的斜率最小， ∴1ba≤≤4． 又 22b a b aab a b-=-，令 b a =t ，则1≤t ≤4，∵y ＝t 1t-在[1，4]上单调递增， ∴t ＝4时，即a 13=，b 43=时，y 有最大值是154， t ＝1时，即a ＝1，b ＝1时，y 有最小值是0． 故答案为：[0，154]．【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．三、解答题17．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()1114{3615a d a d a d +=+++=， 解得13{1a d ==．所以()112n a a n d n =+-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2nn b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．【考点】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．18．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点.(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E －AG －C 的大小. 【答案】（1）30；（2）60【解析】试题分析： (1)第(1)问,直接证明BE ⊥平面ABP 得到BE ⊥BP,从而求出∠CBP 的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解. 试题解析： (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC取AG的中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1，所以EM＝CM=.在△BEC中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以EC＝△EMC为等边三角形，故所求的角为60°.方法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(13)，C(－1，0)，故AE＝(2,0，－3)，AG＝(10)，CG＝(2,0,3)．设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由m AEm AG⎧⋅=⎨⋅=⎩可得1111230x zx-=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(32)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－2)．所以cos 〈,m n 〉＝m n m n ⋅＝12.故所求的角为60°. 点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.19．某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O 附近，现派出四艘搜救船,,,A B C D ，为方便联络，船,A B 始终在以小岛O 为圆心，100海里为半径的圆上，船,,,A B C D 构成正方形编队展开搜索，小岛O 在正方形编队外（如图）.设小岛O 到AB 的距离为x ，OAB α∠=，D 船到小岛O 的距离为d .（1）请分别求d 关于,x α的函数关系式(),()d g x d f α==，并分别写出定义域； （2）当,A B 两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即d 最大）？【答案】（1）见解析（2）当AB间距离. 【解析】试题分析：（1）设x 的单位为百海里，由OAB α∠=，求出AB AD ，，在A O D 中，求解即可．若小岛O 到AB的距离为x ，通过OD 即可；（2）通过2OD 4214cos cos sin ααα=++；结合角的范围，利用三角函数最值求解即可.试题解析：（1）由OAB α∠=，2cos AB OA A ==2cos A ，2cos AD AB α==，在△AOD 中，()OD fα===π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若小岛O 到AB 的距离为x ，AB =()OD g x ===，()0,1x ∈（2）224cos 14cos sin OD ααα=++；π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos2sin241422αα+=⨯++⨯()2sin2cos23αα=++ ππ23,0,42αα⎛⎫⎛⎫=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当ππ5π2,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ242α+=时，即π8α=，OD 取得最大值，此时π2cos28AB ===.答：当AB 间距离海里时，搜救范围最大. 20．已知抛物线C: 24y x =，点(4,4)P . （1）求点P 与抛物线C 的焦点F 的距离；（2）设斜率为l 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点若△P AB 的面积为l 的方程；（3）是否存在定圆M : 22()4x m y -+=，使得过曲线C 上任意一点Q 作圆M 的两条切线，与曲线C 交于另外两点A ，B 时，总有直线AB 也与圆M 相切？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）P （1，0），距离为5；（2）y ＝x ﹣1；（3）Q ，存在实数m ＝3，使得直线AB 与圆M 相切．【解析】（1）求得抛物线的焦点坐标，由两点距离公式，计算可得所求距离； （2）设直线l 的方程为y ＝x +a ，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式以及三角形的面积公式，解方程可得a ，进而得到直线方程；（3）取Q （0，0），切线为y ＝kx ，求得切点A ，B ，和直线AB ，由相切可得m ＝3，证明对任意的动点Q ，直线AB 与圆相切，必有m ＝3．设Q （14a 2，a ），l ：x ＝t （y ﹣a ）14+a 2，A （14y 12，y 1），B （14y 22，y 2），运用直线和圆相切的条件和韦达定理，求得AB 的方程，计算圆心到直线AB 的距离，即可得证． 【详解】（1）抛物线C ：y 2＝4x 的焦点坐标为（1，0），则点P 与抛物线C 的焦点F =5； （2）设直线l 的方程为y ＝x +a ，把y ＝x +a 方程代入抛物线y 2＝4x ， 可得x 2+2（a ﹣2）x +a 2＝0，∴x 1+x 2＝4﹣2a ，x 1•x 2＝a 2，∴|AB |=x 1﹣x 2|==，点P 到直线的距离d =∴S △P AB 12=|AB |d12=⨯=， 解得a ＝﹣1，∴直线l 的方程y ＝x ﹣1；（3）取Q （0，0），圆（x ﹣m ）2+y 2＝4，切线为y ＝kx ，=2，解得k 2244m =-，① 将直线y ＝kx 代入抛物线方程y 2＝4x ，解得A （24k ，4k ），B （24k，4k -）， 直线AB 的方程为x 24k =，若直线和圆相切，可得|24k-m |＝2②由①②解得m ＝3或2（舍去）．综上可得，对任意的动点Q ，直线AB 与圆相切，必有m ＝3． 下证m ＝3时，对任意的动点Q ，直线AB 和圆相切． 理由如下：设Q （14a 2，a ），l ：x ＝t （y ﹣a ）14+a 2，A （14y 12，y 1），B （14y 22，y 2），=2，可得（a 2﹣4）t 2﹣（12a 2﹣6）at +（14a 2﹣3）2﹣4＝0， ∴t 1+t 2221624a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，t 1t 22221(3)444a a --=-， 又直线与曲线相交于A ，B ， 由x ＝t （y ﹣a ）14+a 2，代入抛物线方程可得y 2﹣4ty +4ta ﹣a 2＝0， 可得y 12＝4t 1（y 1﹣a ）+a 2，y 22＝4t 2（y 2﹣a ）+a 2， 则a ，y 1是方程y 2＝4t 1（y ﹣a ）+a 2的两根，即有ay 1＝4t 1a ﹣a 2，即为y 1＝4t 1﹣a ，同理y 2＝4t 2﹣a ．则有A （14（4t 1﹣a ）2，4t 1﹣a ），B （14（4t 2﹣a ）2，4t 2﹣a ）， 直线AB ：y ﹣（4t 1﹣a ）2122()t t a =+-（x 14-（4t 1﹣a ）2），即为y ﹣（4t 1﹣a ）244a a-=（x 14-（4t 1﹣a ）2），则圆心（3，0）到直线AB 的距离为d ()221141|(34)4|a t a t a ---+-=由（a 2﹣4）t 12﹣（12a 2﹣6）at 1+（14a 2﹣3）2﹣4＝0， 代入上式，化简可得d 22244a a+==+2，则有对任意的动点Q ，存在实数m ＝3，使得直线AB 与圆M 相切．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系：相切的条件，具有一定的运算量，属于难题．21．已知()f x 是定义在[]m n ，上的函数，记()()()F x f x ax b =-+，|()|F x 的最大值为(,)M a b .若存在123m x x x n ≤<<≤，满足()1(,)F x M a b =，()()21F x F x =-，()()31F x F x =，则称一次函数y ax b =+是()f x 的“逼近函数”此时的(,)M a b 称为()f x 在[]m n ，上的“逼近确界”. （1）验证41y x =-是2()2g x x =，[0,2]x ∈的“逼近函数”；（2）已知()f x =[0,4]x ∈，(0)(4)(,)F F M a b ==-.若y ax b =+是()f x 的“逼近函数”，求a ，b 的值；（3）已知()f x =[0,4]x ∈，求证；对任意常数a ，b ，1(,)4M a b ≥. 【答案】（1）见解析；（2）a 12=．b 14=；（3）见解析． 【解析】（1）记G （x ）＝2x 2﹣（4x ﹣1）＝2（x ﹣1）2﹣1，x ∈[0，2]．利用二次函数的单调性可得|G （x ）|的最大值为1，且G （0）＝1，G （1）＝﹣1，G （2）＝1．（2）F （x）=（ax +b ），由()()()24b M a b a b M a b ⎧-=-⎪⎨-+=-⎪⎩，，，可得M （a ，b ）＝b ，a 12=．存在x 0∈（0，4）满足F （x 2）＝M （a ，b ），即F （a ，b ）max ＝F （x 2）＝b ，即可得出．（3）M （a ，b）002x t ax b max ≤≤≤≤=-=|t ﹣at 2﹣b |[]{}[]11240242124022max b a b b a a max b a b a ⎧⎧⎫---∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⎨⎪--∉⎪⎩，，，，，，，．即可得出．【详解】（1）记G （x ）＝2x 2﹣（4x ﹣1）＝2（x ﹣1）2﹣1，x ∈[0，2]．则|G （x ）|的最大值为1，且G （0）＝1，G （1）＝﹣1，G （2）＝1．故y ＝4x ﹣1是g （x ）＝2x 2，x ∈[0，2]的“逼近函数”． （2）F （x）=（ax +b ），由()()()24b M a b a b M a b ⎧-=-⎪⎨-+=-⎪⎩，，，可得M （a ，b ）＝b ，a 12=． 存在x 0∈（0，4）满足F （x 2）＝M （a ，b ），即F （a ，b ）max ＝F （x 2）＝b ，即F （x）12=x ﹣b 2111)22=-+-b ，故x 2＝1． 由F （1）12=-b ＝b ，可得b 14=．（3）证明：M （a ，b）002x t ax b max ≤≤≤≤=-=|t ﹣at 2﹣b|[]{}[]11240242124022max b a b b a a max b a b a ⎧⎧⎫---∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⎨⎪--∉⎪⎩，，，，，，，．当12a ∉[0，2]时，2M （a ，b ）≥|b |+|2﹣4a ﹣b |≥|2﹣4a |＞1，故M （a ，b ）14≥． 【点睛】本题考查了二次函数的单调性、分类讨论方法、换元方法、绝对值的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2019届上海市浦东新区高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题一、单选题1．如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.2．点到直线（为参数，）的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．【详解】由消去参数t可得3x﹣4y+5＝0，根据点到直线的距离公式可得d．故选：D．【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．3．已知点满足约束条件：，则目标函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣y，得y＝x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，由，解得A（0，40）平移直线y＝x﹣z，当直线y＝x﹣z经过点A时，直线y＝x﹣z的截距最大，此时z最小，此时z min＝﹣40．故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．4．已知，则对任意非零实数，方程的解集不可能为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数f（x）的对称性，因为的解应满足y1＝，y2＝，进而可得到的根，应关于对称轴x对称，对于D 中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．【详解】∵，关于直线x对称.令方程的解为f1（x），f2（x）则必有f1（x）＝y1＝，f2（x）＝y2＝那么从图象上看，y＝y1，y＝y2是一条平行于x轴的直线它们与f（x）有交点，由于对称性，则方程y1＝的两个解x1，x2要关于直线x对称，也就是说x1+x2同理方程y2＝的两个解x3，x4也要关于直线x对称那就得到x3+x4，若方程有4个解，则必然满足x1+x2x3+x4而在D中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和.故答案D不可能故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质﹣﹣对称性，考查了函数与方程的思想，属于难题．二、填空题5．若集合，集合，则_______ .【答案】【解析】由集合交集的定义可直接得解.【详解】由集合，集合，得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.6．若行列式，则______ .【答案】3【解析】由行列式的定义列方程求解即可.【详解】行列式，所以.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了行列式的计算，属于基础题.7．复数的虚部为______（其中为虚数单位）.【答案】【解析】由复数的除法运算直接求解即可得虚部.【详解】复数. 虚部为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及虚部的概念，属于基础题.8．平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作_________个三角形.（结果用数值表示）【答案】220【解析】根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，又由任何3点不在同一直线上，分析可得答案．【详解】根据题意，在12个点中，任取3个，有种取法，又由平面的12个点中，任何3点不在同一直线上，则可以做220个三角形；故答案为：220．【点睛】本题考查组合数公式的应用，注意“任何3点不在同一直线上”的条件．9．如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的_______倍.【答案】【解析】设圆柱的高为h，底面半径为r，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，根据圆柱的体积公式计算可得答案．【详解】设圆柱的高为h，底面半径为r，则体积V＝πr2h，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，则体积V′＝πR2h，由，得R2＝5r2，则R．∴它的底面半径应该扩大为原来的倍．故答案为：．【点睛】本题考查了圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是关键，是基础题．10．已知函数是偶函数，则的最小值是________.【答案】【解析】结合三角函数的奇偶性，建立方程关系2kπ，k∈Z,即可得解．【详解】是偶函数，则2kπ，k∈Z，即，k∈Z，当k＝0时，取得最小值，为，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数对称性的应用，结合三角函数是偶函数，建立方程求出的表达式是解决本题的关键．11．焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准方程为_______.【答案】【解析】利用已知条件求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线方程．【详解】焦点在x轴上，焦距为6，c＝3，且经过点可得，所以.双曲线的标准方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12．已知无穷数列满足则_______.【答案】0【解析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【详解】无穷数列满足，0．故答案为：0．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，属于基础题．13．二项式展开式的常数项为第_________项.【答案】4【解析】由二项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，4得解．【详解】由二项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4．【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题．14．已知个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一众数是，则这个数方差的最大值为__________.（精确到小数点后一位）【答案】12.3【解析】根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这6个数为a，3，3，5，b，c；进而分析可得若这6个数方差的最大，则a＝1，b＝6，c＝12；由方差公式计算可得答案．【详解】根据题意，6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则可以设这6个数为a，3，3，5，b，c；若这6个数方差的最大，6个数据的波动幅度较大，此时a＝1，c＝12.由平均数为5，所以，则有b＝6其方差s2[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（12﹣5）2]≈12.3；故答案为：12.3．【点睛】本题考查数据的方差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的方差、中位数、众数、平均数的定义，属于基础题．15．已知正方形边长为，若在正方形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】建立坐标系，逐段分析•的取值范围及对应的解得答案．【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8∴（﹣x，2），（8﹣x，4）∴•x2﹣8x+8，∵x∈[0，8]，∴﹣8•8，∴当λ＝﹣8时有一解，当﹣8＜λ≤8时有两解；（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8，∴（0，2﹣y），（8，4﹣y）∴•（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y≤8，∴﹣1•24∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有唯一解；当﹣1＜λ≤8时有两解（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8∴（﹣x，﹣6），（8﹣x，﹣4），∴•x2﹣8x+24，∵0＜x≤8，∴8•24，∴当λ＝8时有一解，当8＜λ≤24时有两解．（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，∴（﹣8，2﹣y），（0，4﹣y），∴•（2﹣y）•（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y＜8，∴﹣1•24，∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有一解，当﹣1＜λ≤8时有两解．综上，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得•λ成立，那么λ的取值范围是（﹣1，8）故答案为：（﹣1，8）【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题．16．已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_______【答案】【解析】由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联立，解得中点在得，从而在有两不等的实数根，利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，，所以时满足；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，而在上，所以，从而在有两不等的实数根，令，所以。

2018-2019学年第二学期高三教学调研数 学 试 卷（文）(2018.03)考试七校：北虹，上理工附中，同二，光明，六十，卢高，东昌中学 考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1. 方程1421x x +=-的解是 ．2. 行列式143309212 － －中元素3的代数余子式的值为 ． 3. 在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数是 ．4. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数m ＝ ．5. 若22()log (2)(0)f x x x =+≥，则它的反函数是=-)(1x f．6. 若抛物线22(0)x py p =>的焦点与双曲焦点重合，则p 的值为 ．7. 若数列1(n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数）（为偶数），则123499100a a a a a a ++++++= ．8. 若函数2,[0,1](),[0,1]x f x x x ∈⎧=⎨∉⎩，则使[()]2f f x =成立的实数x 的集合为 ． 9. 执行下面的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．10. 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12nn S ⎛⎫= ⎪⎝⎭－1，则1321lim()n n a a a -→+∞++⋅⋅⋅+＝ ．11. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，则AB OM ⋅的最大值为 ．12. 从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 ．（用数值表示结果）13. 在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们在此纬度圈上的弧长等于2Rπ（R 是地球的半径），则A ，B 两地的球面距离为＿＿＿14、设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15. 若f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，则“f （x ）与g （x ）同是奇函数或偶函数”是f （x ）·g （x ）是偶函数“的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16、设a b 、均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ ）17. 数列}{n a 满足231=a ，121+-=+n n n a a a ，则201621111a a a T +++= 的整数部分是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）318. 在直角坐标系中，如果不同的两点(,)(,)A a b B a b --、都在函数()y f x =的图像上，那么称[,]A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[,]A B 与[,]B A 看作同一组），函数2sin ,0()2log (1),0x x g x x x π⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19.（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-， （1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 最小正周期及单调递增区间．20.（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．设在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA AC AB ，90=∠BAC ，F 、E 分别为BC 、C C 1的中点．（1）求异面直线EF 、B A 1所成角θ的大小； （2）求点1B 到平面AEF 的距离．21．（本题满分16分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题6分．已知函数11()()(0),f x a x x x a R x x=+-->∈． （1）若12a =，求()y f x =的单调区间；（2）若关于x 的方程()f x t =有四个不同的解1234,,,x x x x ，求实数,a t 应满足的条件；22.（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，且过点(01)B ，. （1）求椭圆的标准方程；（2）直线:(2)l y k x =+交椭圆于,P Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题8设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈ （1）求321,,a a a ，归纳数列{}n a 的通项公式（不必证明）．（2）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为)(1a ，),(32a a ，),,(654a a a ，),,,(10987a a a a ；)(11a ，),(1312a a ，),,(161514a a a ，),,,(20191817a a a a ；)(21a ，…， 分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ，求1005b b +的值．E A BCF（3）设n A 为数列的前n 项积，且n C A ={}n C 的最大项．2018年高三数学（文科卷）参考答案及评分标准一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每小题4分．1、=0x2、53、154、125(1)x ≥ 6、4 7、50008、 [0,1]{2}9、4 10、23- 11、 12、41113、3Rπ 14、(1)2n n π- 二、 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分．15、 A 16、 D 17、 B 18、 B三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．解：（1）因为0,sin 2παα<<=，所以cos α.（2分） 得1()2f α=. （6分）（2）因为2111cos21()sin cos cos sin 2222224x f x x x x x x π+⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭，（8分）所以T π=. （10分）由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.（12分）20、（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．21、（本题满分16分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题6分．解：（1）310111122()()32122x x xf x x x xx x x x ⎧-<≤⎪⎪=+--=⎨⎪-≥⎪⎩当时当时（2分）(0,1)(1,)+∞单调递增，单调递减,最大值为(1)=1f（4分）（2）当1a ≤时，()f x 在(0,1)(1,)+∞单调递增，单调递减,不符合题意（6分）当1a >时，()f x在⎛⎝单调递减，1⎤⎥⎥⎦单调递增；在⎡⎢⎢⎣单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭单调递增； （8分）(1)2f f f a ===，所以实数,a t应满足的条件为，2,1t a a <>（10分）22、（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分．解：（1）由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ， 椭圆的标准方程为：2214x y +=. （4分）（2）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222(14)16(164)0(*)k x k x k +++-=， （6分）依题意：直线:(2)l y k x =+恒过点(2,0)-，此点为椭圆的左顶点，所以112,0x y =-=① ，由（*）式，21221614k x x k +=-+②，得1212()4y y k xx k +=++ ③ ，由①②③，22222284,1414k kx y k k -==++（8分），由点B 在以PQ 为直径圆内，得PBQ ∠为钝角或平角，即0BP BQ ⋅<.（10分）22(2,1),(,1)BP BQ x y =-=-∴22210BP BQ x y ⋅=--+<.即2224164101414k kk k -+->++（12分）整理得220430k k --<，解得31,102k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（14分） 23、（本题满分18分）第1小题4 分，第2小题6分，第3小题8（2）因为n a n 2=，所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. （6分）每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.（8分）注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以198880*2468100=+=b ．又225=b ，所以20101005=+b b .（10分）。

上海市浦东新区2019-2020学年中考三诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是( )A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC ＝90°，则四边形AEDF 是矩形 C ．若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD ⊥BC 且AB ＝AC ，则四边形AEDF 是菱形2．某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3．如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（ ）A ．8B ．4C ．12D ．164．若一次函数=y ax b +的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．0a b +< B ．0a b ->C ．0ab >D ．0ba< 5．一、单选题如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 分别是∠BAC 、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°6．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（ ）①∠2＝90°；②∠1＝∠AEC ；③△ABE ∽△ECF ；④∠BAE ＝∠1．A ．1 个B ．2 个C ．1 个D ．4 个7．已知抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2﹣bx ﹣c=0在﹣1＜x ＜3的范围内有两个相等的实数根，则c 的取值范围是（ ）A ．c=4B ．﹣5＜c≤4C ．﹣5＜c ＜3或c=4D ．﹣5＜c≤3或c=48．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，交BC 于F ，BH ⊥AF 于H ，交AC 于G ，交CD 于P ，连接GE 、GF ，以下结论：①△OAE ≌△OBG ；②四边形BEGF 是菱形；③BE ＝CG ；④PG2AE﹣1；⑤S △PBC ：S △AFC ＝1：2，其中正确的有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=1．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（ ）A ．（﹣91255，）B ．（﹣12955，） C ．（﹣161255，） D ．（﹣121655，） 10．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min ，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量3(/)y mg m 与药物在空气中的持续时间(min)x 之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ）A ．经过5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到310/mg mB ．室内空气中的含药量不低于38/mg m 的持续时间达到了11minC ．当室内空气中的含药量不低于35/mg m 且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效D ．当室内空气中的含药量低于32/mg m 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到32/mg m 开始，需经过59min 后，学生才能进入室内11．等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（ ） A ．21 B ．21或27C ．27D ．2512．若代数式23x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x=0B ．x=3C ．x≠0D ．x≠3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．实数16，﹣3，117，35，0中的无理数是_____． 14．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足S △PAB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点的距离之和PA+PB 的最小值为______．15．分解因式：ax 2﹣2ax+a=___________．16．因式分解：2mn +6mn+9m=_________________．17．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1＋S 2等_________．18．如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是_____平方米．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）先化简，再求值：2222+244a b a ba b a ab b--÷++﹣1，其中a=2sin60°﹣tan45°，b=1．20．（6分）计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．21．（6分）投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；若菜园面积为384m2，求x的值；求菜园的最大面积．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．求证；∠BDC＝∠A．若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．23．（8分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2，S4=，S5=，S6=+，S阴影=S1+S6=S1+S2+S3=．24．（10分）填空并解答：某单位开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先办理”的方式服务，该窗口每2分钟服务一位顾客．已知早上8：00上班窗口开始工作时，已经有6位顾客在等待，在窗口工作1分钟后，又有一位“新顾客”到达，且以后每5分钟就有一位“新顾客”到达．该单位上午8：00上班，中午11：30下班． （1）问哪一位“新顾客”是第一个不需要排队的？分析：可设原有的6为顾客分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6，“新顾客”为c 1、c 2、c 3、c 4…．窗口开始工作记为0时刻．a 1a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 c 1 c 2 c 3 c 4 … 到达窗口时刻 0 0 0 0 0 0 1 6 11 16 … 服务开始时刻 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 … 每人服务时长 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 … 服务结束时刻2468101214161820…根据上述表格，则第 位，“新顾客”是第一个不需要排队的．（2）若其他条件不变，若窗口每a 分钟办理一个客户（a 为正整数），则当a 最小取什么值时，窗口排队现象不可能消失．分析：第n 个“新顾客”到达窗口时刻为 ，第（n ﹣1）个“新顾客”服务结束的时刻为 ． 25．（10分）如图，已知▱ABCD ．作∠B 的平分线交AD 于E 点。

上海复旦大学附中2018-2019 学年第二学期高三期末考试数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）只要求直接填写结果，第 1-6 题每题填对得 4 分，第 7-12 题每天填对得 5 分，否则一律得零分 .11.不等式 x3的解集为 ________2. 一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量 为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工 ________________人．n 1 n10002n 3.(n N ) ，则lim nan ________已知 a n1 n 1 n1000n4. 一个等差数列 前 4 项之和是 40，最后 4 项之和是 80，所有项之和是 210，则 项数 n________5. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________6. 若 2sin cos cos 20 ，则 coty 27. 已知变量x, y满足约束条件 { x y 4 ，则 z 3xy的最大值为．x y 1uuur uuuruuur uuur8. 已知点 O 为 ABC 的外心，且AC4,AB2，则AO ·BC ．9. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为 b，且a,b { n | 0 n 9, n N * }，若 | a b | 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ________10. 在 ABC 中，点 D 在 BC 上，且 DC2BD , AB : AD : AC 3: k :1 ，则实数 k 的取值范围是 __________．11. 已知函数 f ( x) xsin x是 R 上的单调增函数，则关于 x的方程x2xsin 2x 1 1 cos4x 的实根为 ________8 812. 已知 a 1, a 2 , , an是1,2,, n 满足下列性质 T 的一个排列（ n 2 ， n N ），性质 T ：排列a 1,a 2, ,an有且只有一个 a i a i 1 （ i{1,2,,n 1}），则满足性质 T 的所有数列的个数 f (n)________二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题都给出代号 A 、 B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5 分，否则一律得零分 .13. “2 ”是圆锥曲线 y 2x 2）51的焦距与实数 无关的（2A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件m 与双曲线x 2214. 直线 ykx 2y 21 （ a 0 ， b 0 ）的交点个数最多为（）abA. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个15. 若对任意 x R ，都有，那么R 上（ ）A. 一定单调递增B. 一定没有单调减区间C. 可能没有单调增区间D. 一定没有单调增区间16. 在数列 {a n }中，对任意 n N*an 2a n1k（k 为常数），则称 {a n }为“等，都有a n 1a n差比数列 ”. 下面对 “等差比数列 ”的判断： ①k 不可能为 0 ；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列； ④通项公式为ana ·b n c(a 0, b0, 1)的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（ ）A. ①②B.②③C.③④D.①④三、解答题（本大题满分76 分）17.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1 米，圆环的圆心O距离地面的高度为 1.5 米，蚂蚁爬行一圈需要 4 分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点P0处.（1）试写出蚂蚁距离地面的高度h（米）关于时刻t（分钟）的函数关系式h(t)；（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过 1 米？18. 如图，已知圆锥的侧面积为15，底面半径OA和OB互相垂直，且OA3，P是母线 BS 的中点.，1）求圆锥的体积；，2）求异面直线SO与 PA 所成角大小.（结果用反三角函数值表示）的19. 设常数a R，若函数f ( x) (ax) | x 1| 存在反函数f1( x).（1）求证：a 1，并求出反函数 f 1 ( x) ；（2）若关于 x不等式 f 1 ( x 2m)f 1 ( mx)2 对一切 x [2,3] 恒成立，求实数 m的取值范围 .的20. 已知 A、 B是双曲线C1： x 2y 2 1 （ a 0 ， b 0 ）的两个顶点，点 P 是双曲a 2b 2线上异于 A 、 B 的一点， O 为坐标原点，射线 OP 交椭圆 C 2 ：x2 22y2 1于点Q，ab设直线 PA 、 PB 、 QA 、QB的斜率分别为 k 1 、 k 2 、 k 3 、 k 4 .（1）若双曲线 C 1 的渐近线方程是 y1 x ，且过点 ( 5, 1) ，求 C 1 的方程；2 2（2）在（ 1）的条件下，如果 k 1 k 215，求△ ABQ 的面积；8（3）试问：k1k2k3k4是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由 .21. 定义：若数列{ a n}满足，存在实数M，对任意n N ，都有anM，则称数列{ a n}有上界， M 是数列{ a n}的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在） .（1）数列{cos(sin n)}是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若2不存在，请说明理由；（2）若非负数列{ a n } 满足a1 0 a n2 1 a n 1 1 a n2 n N ），求证：是非负数列{ a n }1一个上界，且数列{ an}的极限存在，并求其极限；（3）若正项递增数列{ an}无上界，证明：存在k Ν ，当nk时，恒有a1 a2 an 1n 2019 .a2 a3 a n 的。

2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期质量检测数学试题一、单选题1．已知函数()()f x x R ∈满足()f x =()4f x -,若函数y =241x x -+与()y f x =图象的交点为()()()()112233,,,,,,,,,n n x y x y x y x y 则1ni i x ==∑A ．0B ．nC ．2nD ．4n【答案】C【解析】由()f x =()4f x -知函数()y f x =的图象关于直线x =2对称,且函数y =241x x -+的图象也关于直线x=2对称,则两个函数图象的交点两两关于直线x=2对称,故12nii xn ==∑.故答案为：C.2．关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程组存在唯一解的条件是（ ） A ．12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行 B ．12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平 C ．12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行D ．12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平行【答案】C【解析】由方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，即可求解． 【详解】由题意，关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，若方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，又由1122,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得向量a 和b 不平行，即12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及二元一次方程组的增广矩阵的应用，其中解答中熟记二元一次方程组唯一解的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．在R t A B C ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．18【答案】C【解析】取MN 中点D ，由极化恒等式得，22PM PN PD DM ⋅=-， 所以当DP BC ⊥，PM PN ⋅最小，则14PC BC =，即14k =。