中考专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。
2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。
2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线例1（2016•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．对应训练1．（2016•泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=°．考点二：线段垂直平分线例2 （2016•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC=．对应训练2．（2016•天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm考点三：等腰三角形性质的运用例3（2016•武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°对应训练3．（2016•云南）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= ．考点四：等边三角形的判定与性质例4（2016•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．对应训练（2016•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，4．连接DE，则DE=．考点五：三角形中位线定理例5（2016•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°对应训练5．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．考点六：直角三角形例6 （2016•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．D．对应训练6．（2016•重庆）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．2 B．C D考点七：勾股定理例7（2016•扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为．对应训练7．（2016•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．【聚焦山东中考】1．（2016•临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC2．（2016•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．1323．（2016•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．32B．52C．3 D．44．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠AB．BD平分∠ABCC．S△BCD=S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点A．4 B．5 C．6 D．8 6．（2013•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= ．7．（2016•滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是（写出1个即可）．12．（2016•威海）操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．【备考真题过关】一、选择题1．（2016•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4D．52．（2016•南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A ．70°B ．55°C ．50D ．40°3．（2016•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．6 4．（2015长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2016•宜昌）如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．26．（2016•南平）如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE ∥BC ，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠B=48°B ．∠AED=66°C ．∠A=84°D ．∠B+∠C=96°8．（2016•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x 2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）A ．5.5B ．5C ．4.5D ．49．（2016•柳州）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD 平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为（ ）A ．157B ．125C ．207D ．21510．（2016•德宏州）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC=（ ）A ．5B ．C ．D ．611．（2016•大庆）正三角形△ABC 的边长为3，依次在边AB 、BC 、CA 上取点A 1、B 1、C 1，使AA 1=BB 1=CC 1=1，则△A 1B 1C 1的面积是（ ）A ．4B ．4C ．94D ．4A ．6B ．8C ．1D ．12二、填空题13．（2015 徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ）A ．80°B ．50°C ．40°D ．20°14．（2016•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 ．15．（2016•广州）点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=7，则PB= ．16．（2016•长沙）如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE=4cm ，则点P 到边BC 的距离为 cm ．17．（2016•宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点A 、B 间的距离，在地面上确定点O ，分别取OA 、OB 的中点C 、D ，量得CD=20m ，则A 、B 之间的距离是 m ．18．（2016•漳州）如图，正方形ODBC 中，OC=1，OA=OB ，则数轴上点A 表示的数是 ．19．（2016•泰州）如图，△ABC 中，AB+AC=6cm ，BC 的垂直平分线l 与AC 相交于点D ，则△ABD 的周长为 cm ．20．（2016•资阳）在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．21．（2016•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 正半轴于点C ，则点C 的坐标为 ．22．（2016•锦州）在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 与AC 所在的直线相交于三、解答题27．（2016•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．28．（2016•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN 交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．。
中考总复习之等腰三角形与直角三角形中考的脚步越来越近啦，同学们是不是都在紧张地进行总复习呢？今天咱们就来好好聊聊等腰三角形和直角三角形这两个重要的“小伙伴”。
先来说说等腰三角形吧。
还记得有一次我在课堂上做实验，用三根长度不一样的小木棍，想拼成一个等腰三角形。
结果呢，怎么拼都拼不出来，同学们在下面笑得前仰后合。
这让我深刻地意识到，等腰三角形的两条腰长度必须相等，不然可就闹笑话啦！等腰三角形有很多有趣的性质。
比如说，它的两个底角相等。
这就像一对双胞胎，长得一模一样。
而且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这叫“三线合一”，可厉害啦！再来讲讲直角三角形。
有一次我去公园散步，看到一个滑梯，突然就想到了直角三角形。
这个滑梯的滑道和地面就构成了一个直角三角形。
直角三角形有个特别重要的定理，那就是勾股定理。
就是说两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。
这个定理在解决很多几何问题的时候，就像是一把万能钥匙，一用就灵。
直角三角形还有很多特殊的性质。
比如 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
这在计算边长的时候特别有用。
在中考中，等腰三角形和直角三角形经常会一起出现，给我们出难题。
比如说，给你一个等腰三角形，其中一个角是直角，让你求其他角的度数或者边长。
这时候可别慌，咱们就一步步来，先根据等腰三角形的性质确定角的关系，再结合直角三角形的定理来计算边长。
还有一种常见的题型是让你证明一个三角形是等腰直角三角形。
这就需要我们综合运用两个三角形的知识，先证明它是等腰三角形，再证明它是直角三角形。
复习这部分知识的时候，同学们一定要多做练习题，把定理和性质都熟练掌握。
遇到难题不要怕，多想想我们讲过的例子和方法，就一定能攻克难关。
最后，希望同学们都能在中考中取得好成绩，加油！就像我们成功拼出一个完美的等腰三角形或者准确算出直角三角形的边长一样，战胜中考的难题！。
中考一轮复习教案：等腰三角形与直角三角形一、教学目标1、学生能够掌握等腰三角形和直角三角形的定义、性质和判定定理。
2、能够运用等腰三角形和直角三角形的相关知识解决简单的几何问题。
3、培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
二、教学重难点1、重点（1）等腰三角形的性质和判定。
（2）直角三角形的性质和判定。
2、难点（1）等腰三角形和直角三角形的综合应用。
（2）运用相关定理进行推理和证明。
三、教学方法讲授法、练习法、讨论法四、教学过程（一）知识回顾1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、等腰三角形的判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
4、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
5、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
6、直角三角形的判定（1）如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（二）例题讲解例1：已知等腰三角形的一个内角为70°，求另外两个内角的度数。
解：分情况讨论：（1）当70°角为顶角时，底角的度数为：（180°70°）÷2 ＝55°，所以另外两个内角的度数分别为 55°，55°。
