天津市和平区第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)

天津市和平区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学一、选择题：（每小题3分，共30分）1.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A. 13项 B. 12项C. 11项D. 10项【答案】A 【解析】试题分析：设这个数列有n项，则1232134,146n n n a a a a a a --++=++=，因此()13n a a +=34146+180=即160n a a +=，则()16039022n n n a a nS +===，故13n =； 考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n 项和公式；2.已知等比数列{}n a 中，23a a +＝1，45a a +＝2，则67a a +等于( ). A. 2 2C. 42【答案】C 【解析】试题分析：()2311a a a q q +=+，()34511a a a q q +=+，()56711a a a q q +=+，可见23a a +，45a a +，67a a +依旧成等比数列，所以()()()2452367a a a a a a +=++，解得674a a +=.考点：等比数列的性质3.已知数列{}n a 满足()**n+1n 1,a ka n N k R=-∈∈，若数列{}n1a -是等比数列，则k 值等于（ ）A. 1B. -1C. -2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】将所给数列递推式变形，由数列{a n ﹣1}是等比数列求得k 的值．【详解】解：由a n +1＝k a n ﹣1，得1212n n n a ka k a k +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭． 由于数列{a n ﹣1}是等比数列， ∴21k=，得k ＝2， 故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题．4.已知数列{}n a 满足11a =-，n+1n n =12+1a a a -+，其前n 项和n S ，则下列说法正确的个数是（ ） ①数列{}n a 是等差数列；②2n =3n a -；③133S =2n n --.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1，可得a 2，a 3，a 4，运用等差数列的定义即可判断①，等比数列的通项公式即可判断②，由当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可判断③． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1， 可得a 2＝|1﹣a 1|+2a 1+1＝2﹣2+1＝1，a 3＝|1﹣a 2|+2a 2+1＝0+2+1＝3， a 4＝|1﹣a 3|+2a 3+1＝2+6+1＝9，则a 4﹣a 3＝6，a 3﹣a 2＝2，即有a 4﹣a 3≠a 3﹣a 2， 则数列{a n }不是等差数列，故①不正确；a n ＝3n ﹣2，不满足a 1＝﹣1，故②不正确；若S n 1332n --=满足n ＝1时，a 1＝S 1＝﹣1，但n ＝2时，a 2＝S 2﹣S 102=-（﹣1）＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣112333322n n ----=-＝3n ﹣2，n ≥2，n ∈N *． 代入a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1，左边＝3n ﹣1，右边＝3n ﹣2﹣1+2•3n ﹣2+1＝3n ﹣1，则a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1恒成立． 故③正确． 故选：B ．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，同时考查等差数列和等比数列的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5.已知0.22019a =，20190.2b =，2019c=log 0.2，则（ ） A. c a b << B. b a c << C. c b a <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指对函数的图象与性质即可比较大小. 【详解】0.2020*******,a =>=2019000.20.21,b <=<=20192019c=log 0.2<log 10=,∴c b a << 故选：C【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和1，考查了推理和计算能力，属于基础题． 6.若0a b <<，则下列不等式一定成立的是（ ） A.11a b b>- B. 2a ab <C.+1+1b b a a < D. n n a b >【答案】C 【解析】 分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】对于A ，当4,2a b =-=-时，显然不成立； 对于B ，∵0a b <<，∴2a ab >，不成立；对于C ，∵0a b <<，∴0a b >>，根据糖水浓度，易知：+1+1b ba a <成立； 对于D ，当n 为奇数时，显然n n ab <，不成立， 故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键． 7.若023x <<，则(32)x x -的最大值为（ ） A.916B.94C. 2D.98【答案】D 【解析】 【分析】利用均值不等式即可得到结果．【详解】解：∵0＜2x ＜3，∴3﹣2x ＞0，x ＞0，∴（3﹣2x ）x 12=（3﹣2x ）•2x 213229()228x x -+≤=， 当且仅当3﹣2x ＝2x ，即x 34=时取等号，∴(32)x x -的最大值为98．故选：D ．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题．8.已知0,0x y >>，且115x y x y+++=，则x y +的最大值是（ ） A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】根据x ＞0，y ＞0，且x +y11x y++=5，可得（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，然后解关于x +y 的不等式，可得x +y 范围，从而得到x +y 的最大值．【详解】∵x ＞0，y ＞0，且x +y 11x y++=5， ∴（x +y 11)()x y x y+++=5211()()()()x y x y x y x y +=++++22()(11)()4y x x y x y x y =+++++≥++ ∴（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，∴1≤x +y ≤4， ∴当且仅当x ＝y ＝2时，x +y 取得最大值为4． 故选：B ．【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，给x +y 11x y++=5两边同乘（x +y ）是解题的关键，考查了转化思想，属基础题． 9.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别为20192018(1)(1),2n n n n a a b n++-=-=+，且n n a b <，对任意n N +∈恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. [)1,1-C. [)2,1- D. 32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】对n 分奇偶，讨论n n a b <恒成立即可【详解】n n a b <，故()()20192018112n n a n++--<+当n 为奇数，-a<2+1n ,又2+1n 单调递减，故2+12n ＜，故- a ≤2，解a 2≥- 当n偶数，12a n <-，又2-1n 单调递增，故2-132n ≥，故32a <，综上2-≤a 32<故选：D【点睛】本题考查数列综合，考查数列单调性，分类讨论思想，准确计算是关键，是中档题10.已知函数2()4x f x =，若存在实数t ，使得任给[]1,x m ∈，不等式()f x t x +≤恒成立，则m 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 8D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由当x ∈[1，m ]时，f （x +t ）≤x 恒成立，即g （x ）＝f （x +t ）﹣x ≤0恒成立，则需满足g （1）≤0且g （m ）≤0，解出t 的范围，讨论m 的取值即可得到m 的最大值． 【详解】解：设g （x ）＝f （x +t ）﹣x 14=（x +t ）2﹣x 14=x 2+（12t ﹣1）x 14+t 2， 由题意f （x +t ）≤x 对任意的x ∈[1，m ]（m ＞1）恒成立，即g （1）≤0且g （m ）≤0．由g （1）≤0，即14（1+t ）2﹣1≤0，得t ∈[﹣3，1]， 由g （m ）≤0，即14（m +t ）2﹣m ≤0，得m 2+（2t ﹣4）m +t 2≤0，则当t ＝1时，得到m 2﹣2m +1≤0，解得m ＝1； 当t ＝﹣3时，得到m 2﹣10m +9≤0，解得1≤m ≤9． 综上所述m 的取值范围为[1，9] ∴m 的最大值为9． 故选：D ．【点睛】本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，体现了数学转化思想方法，训练了灵活运用二次函数求最值的方法的能力，是中档题． 二、填空题：（每小题4分，共24分）11.已知等差数列{}n a 中，15=33a ，25=66a ，则35=a ___________. 【答案】99 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得，a 15、a 25、a 35成等差数列，从而可求得a 35的值． 【详解】解：∵等差数列{a n }中，a 15、a 25、a 35成等差数列， ∴2a 25＝a 15+a 35，又a 15＝33，a 25＝66， ∴2×66＝33+a 35， 解得：a 35＝99， 故答案为：99．【点睛】本题考查等差数列的性质，熟练应用等差中项的性质是解决问题的关键，属于中档题． 12.已知等比数列{}n a 的公比为2，99=77S ，则36999=a a a a ++++___________.【答案】44 【解析】 【分析】根据利用等比数列通项公式及（a 1+a 4+a 7+…+a 97）q 2＝（a 2+a 5+a 6+…+a 98）q ＝a 3+a 6+a 9+…a 99求得答案． 【详解】解：因为{a n }是公比为2的等比数列，设a 3+a 6+a 9+…+a 99＝x ，则 a 1+a 4+a 7+…+a 974x =，a 2+a 5+a 6+…+a 982x =． S 99＝77＝（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+（a 2+a 5+a 6+…+a 98）+（a 3+a 6+a 9+…+a 99）＝x 7244x x x ++=， ∴a 3+a 6+a 9+…a 99＝44， 故答案为：44．【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和，解题的关键是发现a 1+a 4+a 7+…+a 97、a 2+a 5+a 6+…+a 98和a 3+a 6+a 9+…a 99的联系，属于基础题．13.已知数列{}n a 满足1=15a ，且1332n n a a +=-，若10k k a a +<，则正整数k =__________. 【答案】23 【解析】 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝15，且3a n +1＝3a n ﹣2，整理得123n n a a +-=-（常数）， 所以数列{a n }是以a 1＝15为首项，23-为公差的等差数列． 则()122471333n a a n n =--=-+， 由于a k a k +1＜0，则2472453333k k ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜0，解得454722k ＜＜， 所以正整数k ＝23． 故答案为：23．【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用．数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.若01<a <，则不等式21()10x a x a-++<的解集是_________. 【答案】1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】通过a 的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可．【详解】原不等式可化为（x ﹣a ）（x 1a-）＜0的解集， 又01<a <，∴a 1x a ＜＜即不等式的解集为：1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．故答案为：1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 15.若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|的取值范围是_______ 【答案】(－3,3) 【解析】 【分析】先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围．【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）.【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点． 16.x y a x y ≤+对任给0x >，0y >恒成立，则实数a 的取直范围是______.【答案】)2,⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论． 【详解】解：∵x ＞0，y ＞0，x y x y +等价为a x y x y+≥+恒成立，设m x y x y+=+，则m ＞0，平方得m 2x y x y++）22x y xy ++==12xy≤122xy xy =1+1＝2， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴m 2≤2，则0<m 2≤∴要使a x y x y+≥+恒成立，则a 2≥故答案为：2+∞）【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强．三、解答题：（共4题，46分）17.已知函数2()(6)4f x x a a x =-+--， （1）解关于a 的不等式(1)0f >；（2）若不等式(1)f b >的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值；（3）对任意的[]13x ∈，，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取直范围。

天津市和平区第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：（每小题3分，共30分）1.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A. 13项 B. 12项C. 11项D. 10项【答案】A 【解析】试题分析：设这个数列有n 项，则1232134,146n n n a a a a a a --++=++=，因此()13n a a +=34146+180=即160n a a +=，则()16039022n n n a a nS +===，故13n =； 考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n 项和公式；2.已知等比数列{}n a 中，23a a +＝1，45a a +＝2，则67a a +等于( ).A. 2C. 4【答案】C 【解析】试题分析：()2311a a a q q +=+，()34511a a a q q +=+，()56711a a a q q +=+，可见23a a +，45a a +，67a a +依旧成等比数列，所以()()()2452367a a a a a a +=++，解得674a a +=.考点：等比数列的性质3.已知数列{}n a 满足()**n+1n 1,a ka n N k R=-∈∈，若数列{}n1a -是等比数列，则k 值等于（ ） A. 1 B. -1C. -2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】将所给数列递推式变形，由数列{a n ﹣1}是等比数列求得k 的值． 【详解】解：由a n +1＝k a n ﹣1，得1212n n n a ka k a k +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭． 由于数列{a n ﹣1}是等比数列， ∴21k=，得k ＝2， 故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比关系的确定，是基础题．4.已知数列{}n a 满足11a =-，n+1n n =12+1a a a -+，其前n 项和n S ，则下列说法正确的个数是（ ）①数列{}n a 是等差数列；②2n =3n a -；③133S =2n n --.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1，可得a 2，a 3，a 4，运用等差数列的定义即可判断①，等比数列的通项公式即可判断②，由当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可判断③． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝﹣1，a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1， 可得a 2＝|1﹣a 1|+2a 1+1＝2﹣2+1＝1，a 3＝|1﹣a 2|+2a 2+1＝0+2+1＝3， a 4＝|1﹣a 3|+2a 3+1＝2+6+1＝9，则a 4﹣a 3＝6，a 3﹣a 2＝2，即有a 4﹣a 3≠a 3﹣a 2， 则数列{a n }不是等差数列，故①不正确；a n ＝3n ﹣2，不满足a 1＝﹣1，故②不正确；若S n 1332n --=满足n ＝1时，a 1＝S 1＝﹣1，但n ＝2时，a 2＝S 2﹣S 102=-（﹣1）＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣112333322n n ----=-＝3n ﹣2，n ≥2，n ∈N *．代入a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1， 左边＝3n ﹣1，右边＝3n ﹣2﹣1+2•3n ﹣2+1＝3n ﹣1，则a n +1＝|1﹣a n |+2a n +1恒成立． 故③正确． 故选：B ．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，同时考查等差数列和等比数列的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5.已知0.22019a =，20190.2b =，2019c=log 0.2，则（ ） A. c a b << B. b a c << C. c b a <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指对函数的图象与性质即可比较大小. 【详解】0.2020*******,a =>=2019000.20.21,b <=<=20192019c=log 0.2<log 10=,∴c b a << 故选：C【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和1，考查了推理和计算能力，属于基础题．6.若0a b <<，则下列不等式一定成立的是（ ）A.11a b b>- B. 2a ab <C. +1+1b b a a < D. n n a b >【答案】C 【解析】 分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】对于A ，当4,2a b =-=-时，显然不成立； 对于B ，∵0a b <<，∴2a ab >，不成立；对于C ，∵0a b <<，∴0a b >>，根据糖水浓度，易知：+1+1b b a a <成立； 对于D ，当n 为奇数时，显然n n a b <，不成立， 故选：C【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键． 7.若023x <<，则(32)x x -的最大值为（ ） A.916B.94C. 2D.98【答案】D 【解析】 【分析】利用均值不等式即可得到结果．【详解】解：∵0＜2x ＜3，∴3﹣2x ＞0，x ＞0，∴（3﹣2x ）x 12=（3﹣2x ）•2x 213229()228x x -+≤=， 当且仅当3﹣2x ＝2x ，即x 34=时取等号，∴(32)x x -的最大值为98．故选：D ．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题．8.已知0,0x y >>，且115x y xy+++=，则x y +的最大值是（ ） A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】根据x ＞0，y ＞0，且x +y 11x y++=5，可得（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，然后解关于x +y 的不等式，可得x +y 范围，从而得到x +y 的最大值．【详解】∵x ＞0，y ＞0，且x +y11x y++=5，∴（x +y 11)()x y x y+++=5211()()()()x y x y x y x y +=++++22()(11)()4y xx y x y x y=+++++≥++ ∴（x +y ）2﹣5（x +y ）+4≤0，∴1≤x +y ≤4， ∴当且仅当x ＝y ＝2时，x +y 取得最大值为4． 故选：B ．【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，给x +y 11x y++=5两边同乘（x +y ）是解题的关键，考查了转化思想，属基础题． 9.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别为20192018(1)(1),2n n n n a a b n++-=-=+，且n n a b <，对任意n N +∈恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. [)1,1-C. [)2,1-D. 32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】对n 分奇偶，讨论n n a b <恒成立即可 【详解】n n a b <，故()()20192018112n n a n++--<+当n 为奇数，-a<2+1n ,又2+1n 单调递减，故2+12n ＜，故- a ≤2，解a 2≥- 当n偶数，12a n <-，又2-1n 单调递增，故2-132n ≥，故32a <，综上2-≤a 32<故选：D【点睛】本题考查数列综合，考查数列单调性，分类讨论思想，准确计算关键，是中档题10.已知函数2()4x f x =，若存在实数t ，使得任给[]1,x m ∈，不等式()f x t x +≤恒成立，则m 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 8D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由当x ∈[1，m ]时，f （x +t ）≤x 恒成立，即g （x ）＝f （x +t ）﹣x ≤0恒成立，则需满足g （1）≤0且g （m ）≤0，解出t 的范围，讨论m 的取值即可得到m 的最大值． 【详解】解：设g （x ）＝f （x +t ）﹣x 14=（x +t ）2﹣x 14=x 2+（12t ﹣1）x 14+t 2， 由题意f （x +t ）≤x 对任意的x ∈[1，m ]（m ＞1）恒成立， 即g （1）≤0且g （m ）≤0．由g （1）≤0，即14（1+t ）2﹣1≤0，得t ∈[﹣3，1]， 由g （m ）≤0，即14（m +t ）2﹣m ≤0，得m 2+（2t ﹣4）m +t 2≤0，则当t ＝1时，得到m 2﹣2m +1≤0，解得m ＝1； 当t ＝﹣3时，得到m 2﹣10m +9≤0，解得1≤m ≤9． 综上所述m 的取值范围为[1，9] ∴m 的最大值为9． 故选：D ．【点睛】本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，体现了数学转化思想方法，训练了灵活运用二次函数求最值的方法的能力，是中档题． 二、填空题：（每小题4分，共24分）11.已知等差数列{}n a 中，15=33a ，25=66a ，则35=a ___________. 【答案】99 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得，a 15、a 25、a 35成等差数列，从而可求得a 35的值． 【详解】解：∵等差数列{a n }中，a 15、a 25、a 35成等差数列， ∴2a 25＝a 15+a 35，又a 15＝33，a 25＝66， ∴2×66＝33+a 35，解得：a 35＝99， 故答案为：99．【点睛】本题考查等差数列的性质，熟练应用等差中项的性质是解决问题的关键，属于中档题．12.已知等比数列{}n a 的公比为2，99=77S ，则36999=a a a a ++++___________.【答案】44 【解析】 【分析】根据利用等比数列通项公式及（a 1+a 4+a 7+…+a 97）q 2＝（a 2+a 5+a 6+…+a 98）q ＝a 3+a 6+a 9+…a 99求得答案．【详解】解：因为{a n }是公比为2的等比数列， 设a 3+a 6+a 9+…+a 99＝x ，则 a 1+a 4+a 7+…+a 974x =，a 2+a 5+a 6+…+a 982x =． S 99＝77＝（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+（a 2+a 5+a 6+…+a 98）+（a 3+a 6+a 9+…+a 99）＝x 7244x x x ++=， ∴a 3+a 6+a 9+…a 99＝44， 故答案为：44．【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和，解题的关键是发现a 1+a 4+a 7+…+a 97、a 2+a 5+a 6+…+a 98和a 3+a 6+a 9+…a 99的联系，属于基础题．13.已知数列{}n a 满足1=15a ，且1332n n a a +=-，若10k k a a +<，则正整数k =__________. 【答案】23 【解析】 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果． 【详解】解：数列{a n }满足a 1＝15，且3a n +1＝3a n ﹣2，整理得123n n a a +-=-（常数）， 所以数列{a n }是以a 1＝15为首项，23-为公差的等差数列． 则()122471333n a a n n =--=-+， 由于a k a k +1＜0，则2472453333k k ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜0，解得454722k ＜＜， 所以正整数k ＝23． 故答案为：23．【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用．数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 14.若01<a <，则不等式21()10x a x a-++<的解集是_________. 【答案】1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】通过a 的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可． 【详解】原不等式可化为（x ﹣a ）（x 1a-）＜0的解集， 又01<a <，∴a 1x a＜＜即不等式的解集为：1a a ⎛⎫⎪⎝⎭，．故答案为：1a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 15.若1<a<3，－4<b<2，那么a －|b|取值范围是_______ 【答案】(－3,3) 【解析】 【分析】先算出|b |的范围，再算出a +（﹣|b |）的范围．【详解】由﹣4＜b ＜2⇒0≤|b |＜4，﹣4＜﹣|b |≤0， 又1＜a ＜3． ∴﹣3＜a ﹣|b |＜3． 所求范围为（﹣3，3）. 故答案为（﹣3，3）.【点睛】本题考查了不等式性质的应用，注意同向不等式只能相加，不能相减的特点．16.对任给0x >，0y >恒成立，则实数a 的取直范围是______.【答案】)+∞ 【解析】 【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论． 【详解】解：∵x ＞0，y ＞0，≤a ≥恒成立，设m =，则m ＞0，平方得m 2）2==1≤1=1+1＝2， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴m 2≤2，则0<m ≤∴要使a ≥恒成立，则a ≥故答案为：，+∞）【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强． 三、解答题：（共4题，46分）17.已知函数2()(6)4f x x a a x =-+--， （1）解关于a 的不等式(1)0f >；（2）若不等式(1)f b >的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值；（3）对任意的[]13x ∈，，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取直范围。

2019-2020学年天津市部分区高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量(1,1,0)a =-,(,1,1)b m =-,若a b ⊥,则实数m =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2【答案】C【解析】根据a b ⊥时，0a b =，列方程求出m 的值． 【详解】解：向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-， 若a b ⊥，则()()111100m ⨯+⨯-+-⨯=， 解得1m =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，属于基础题． 2．在复平面内,复数1(1i i+是虚数单位)对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数11i +，求出复数11i+在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【详解】 解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， ∴复数11i +在复平面内对应的点的坐标为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x ∈R ,则“11||<22x -”是“0<<2x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】求解绝对值不等式结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】 解：由11||<22x -，得111<222x -<-， 解得01x <<．∴ “11||<22x -”是“0<<2x ”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法，考查绝对值不等式的解法，属于基础题．4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为（ ） A ．20里 B ．10里C ．5 里D ．2.5 里【答案】C【解析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{}n a ，其首项为1a ，分析可得{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得6315S =，解可得1a 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列{}n a ，其首项为1a ，即此人第一天走的路程为1a ，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，又由6315S =，即有161(1)2315112a -=-，解得：1160a =；111602n n a -∴⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭56116052a ∴⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭即此人第6天走了5里； 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．5．若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点,则p =（ ）A ．2B ．10C D ．【答案】D【解析】先求出22143x y -=的左焦点，得到抛物线22y px =的准线，依据p 的意义求出它的值． 【详解】解：因为抛物线22(0)y px p =>焦点在x 轴上，开口为正方向，故准线在y 轴左侧，双曲线22143x y -=的左焦点为(，0)，故抛物线22y px =的准线为x =∴2p=p = 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程22y px =中p 的意义．6．已知函数2ln ()xf x x=,'()f x 为()f x 的导函数,则'()f x =（ ） A ．3ln xx B ．31xC ．31ln x x -D ．312ln x x - 【答案】D【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】 解：2ln ()xf x x=()()()22224321ln ln ln 1ln 22()x x xx x x xx x f x x x x '⋅⋅'∴=='-⋅-⋅-=故选：D . 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.7．正方体1111ABCD A B C D -,点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点,则EF 与1DA 所成角的余弦值为（ ） A ．0 B ．15C ．14D ．13【答案】A【解析】连接1CB ，1BC ，证明1//EF BC ，11//DA CB ，再根据11BC CB ⊥，可得1EF DA ⊥即可得到EF 与1DA 所成角的余弦值.【详解】解：连接1CB ，1BC1111ABCD A B C D -是正方体,11//DA CB ∴且11BC CB ⊥因为点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点1//EF BC ∴ 1EF CB ∴⊥ 1EF DA ∴⊥即EF 与1DA 成直角，cos02π=则EF 与1DA 所成角的余弦值为0 故选：A【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，属于基础题. 8．曲线12y x =在点（1,1）处的切线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．0x y -= C ．20x y +-= D ．210x y --=【答案】A【解析】求出曲线方程的导函数，把点()1,1的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由求出的斜率和点()1,1的坐标写出切线方程即可． 【详解】 解：12y x=，1212x y -'∴=则曲线过点()1,1切线方程的斜率11|2x k y =='=， 所以所求的切线方程为：()1112y x -=-，即210x y -+=． 故选：A ． 【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，属于基础题．9．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线0x +=上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF 的面积为则C 的方程为（ ）A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163-=x yD ．22184x y -=【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，表示右焦点F 的坐标，根据点到线的距离公式求出F 到渐近线的距离，根据OF PF =利用勾股定理求得OP ，利用12POF S OP d ∆=，得到方程，求得λ，得解. 【详解】解：20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=则右焦点F 的坐标为)F20x y +=因为P 在0x +=上，且OF PF =则右焦点F 的坐标为)F到直线0x =的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯=2λ∴=故22:142x y C -=故选：B 【点睛】本题考查双曲线的性质，三角形面积公式，点到线的距离公式，属于中档题. 10．若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-1,0] B ．[0,1) C ．(-1,1) D ．[-1,1]【答案】D【解析】先求导，换元可得2()23g t t at =-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，进而得到不等式组，解得即可. 【详解】解：1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+2()2cos 2cos 2cos cos 3f x x a x x a x '∴=-+=-++因为函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增 2()2cos cos 30f x x a x '∴=-++≥恒成立令cos t x =则[]1,1t ∈-2()23g t t at ∴=-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，(1)230(1)230g a g a -=--+≥⎧∴⎨=-++≥⎩解得11a -≤≤故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.二、填空题 11．i 是虚数单位,则21ii+-的值为_____.【解析】利用复数的运算法则计算出21ii+-，再根据求模的法则计算即可得出 【详解】 解：()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+2131222i i i +∴=+==-故答案为：2【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.12．已知函数22(),'()f x x e f x =为()f x 的导函数,则'(1)f 的值为_____. 【答案】22e【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出()f x 的导函数，再代入求值即可. 【详解】 解：22()f x x e =2'()2f x e x ∴= 22'(1)212f e e ∴=⨯=故答案为：22e 【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.13．已知实数a 为函数32()3f x x x =-的极小值点,则a =_____. 【答案】2【解析】首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点. 【详解】 解：32()3f x x x =-()2()3632f x x x x x '∴=-=-令()0f x '>解得2x >或0x <，即函数()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 令()0f x '<解得02x <<，即函数()f x 在()0,2上单调递减； 故函数()f x 在2x =处取得极小值. 即2a = 故答案为：2 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 14．已知“21[2]102x ,,x mx ∃∈-+≤”是假命题,则实数m 的取值范围为________. 【答案】(,2)-∞【解析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到1m x x <+，构造函数()1g x x x=+求()g x 在所给区间上的最小值.【详解】解：由题意可知，21[2]102x ,,x mx ∀∈-+>是真命题 1m x x ∴<+对1[2]2x ,∀∈恒成立， 令()1g x x x =+()211g x x'∴=-令()0g x '>则12x <≤；令()0g x '<则112x ≤<； 即()1g x x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1,2上单调递增； ()()min11121g x g ∴==+=2m <∴故答案为：(,2)-∞ 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.15．设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.【答案】4【解析】将式子变形可得()22222244(4)(1)a b a b ab a b ab ab+-++++=，根据已知条件可得22(4)(1)54a b ab ab ab++=++利用基本不等式可得最小值.【详解】 解：()222222222244(4)(1)44a b a b ab a b a b a b ab abab+-+++++++==0021a ,b ,a -b >>=2222(4)(1)455444a b a b ab ab ab ab ab ++++∴==++≥=当且仅当5ab ab=时取等号，故最小值为4故答案为：4 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．三、解答题16．已知函数()()32,f x x ax b a b R =-+∈.(I)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=,求,a b 的值； (II)若0a >,求()f x 的单调区间. 【答案】（Ⅰ）2,1a b == （Ⅱ）()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得()()1110f f ⎧-⎪⎨='⎪⎩得到关于,a b 的方程组，解得；（Ⅱ）求出函数的导函数，解()0f x '>得函数的单调递增区间，解()0f x '<得函数的单调递减区间. 【详解】 解：（Ⅰ）32()(,)f x x ax b a b R =-+∈2()32f x x ax =-'∴因为函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=()()1321110f a f a b ⎧=-=-⎪∴⎨=-+='⎪⎩解得2,1a b == （Ⅱ）22()323()3af x x ax x x '=-=-． 令()0f x '=,得0x =或23a x = . 因为0a >,所以2(,0)(,)3ax ∈-∞+∞时，()0f x '> ；20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.17．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD,AD //⊥4BC,BC ,=2PA AD CD ,===点E 为PC 的中点.(I) 证明：//DE 平面PAB ;(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ 【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取PB 中点M ，可证//AM DE ，即可得到//DE 平面PAB .（Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面PCD 的法向量以及直线PB 的方向向量，利用夹角公式解得. 【详解】（Ⅰ）证明： 取BC 中点F ,易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意,可以建立以A 为原点,分别以AF ,AD ,AP 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）,可得(0,0,0)A ,(2,0,0)F ,(2,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E .取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =- 又(1,1,1)DE =-,可得//AM DE ,又因为直线DE ⊄平面PAB ,所以//DE 平面PAB .（Ⅱ）解：依题意,(0,2,2)PD =-u u u r,(2,0,0)CD =-,(2,2,2)PB =--设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量,则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即220,20,y z x -=⎧⎨-=⎩ 不妨令1z =,可得(0,1,1)n =因此有cos ,PB n PB n PB n⋅<>==-⋅ . 所以直线PB 与平面PCD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,等比数列{}n b 满足124451,,()b a b a a n N *=-=+∈.(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (II)求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；*2()n n b n =∈N（Ⅱ）1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【解析】（Ⅰ）根据1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得{}n a 的通项公式，根据{}n a 的通项公式，可计算1212b a =-=,44516b a a =+=，即可求出等比数列的公比，得到数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和. 【详解】解（Ⅰ）由2n S n =,得当1n =时,111a S ==当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-经检验1n =时也成立, 所以*21()n a n n =-∈N 即1212b a =-=,44516b a a =+= 记数列{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,所以2q = 即*2()n n b n =∈N（Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,由21n a n =-,2nn b =,有(21)2n n n a b n =-⨯ 故23123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ,23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L上述两式相减,得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1118(12)2(21)212(23)2 6.n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯- 得1(23)26n n T n +=-⨯+.所以,数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【点睛】本题考查等差、等比数列通项的计算，等比数列前n 项和公式的应用，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题.19．已知椭圆2222:1(>>0)x y C a b a b +=的长轴长为4,.(I)求C 的方程；(II)设直线:l y kx =交C 于A,B 两点,点A 在第一象限,AM x ⊥轴,垂足为M , 连结BM 并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由长轴长为4，得到2a =，再由离心率为2，可求c 的值，根据222c a b =-计算出b 的值，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，表示出,A B 两点，通过证明AB AN ⊥，得到点A 在以BN 为直径的圆上. 【详解】解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ,依题意,24,c a a ==,又222a b c =+,可得2,a b c ===所以,椭圆的方程为22142x y +=.（Ⅱ）由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =,则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．于是直线BM 的斜率为2k ,方程为()2ky x u =- 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)N N N x y ,则u -和N x 是方程①的解,故22(32)2N u k x k +=+ ,由此得322N uk y k =+ 从而直线AN 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+ 所以AB AN ⊥,即点A 在以BN 为直径的圆上. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的计算问题，直线与圆锥曲线综合问题，属于难题. 20．已知函数()cos sin 1f x x x x =+-.(I)若(0,)x π∈,求()f x 的极值；(II)证明：当[0,]x π∈时,2sin cos x x x x -≥. 【答案】（Ⅰ）12π- （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值； （Ⅱ）构造函数()2sin cos g x x x x x =--，证明函数在[0,]x π∈时()0g x ≥恒成立. 【详解】 解（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x =+-()cos f x x x '∴=,当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0f x '< 当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表：因此,当2x π=时,()f x 有极大值,并且极大值为()()122f x f ππ==-极大值 ，没有极小值.（Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--,()cos sin 1()g x x x x f x '=+-= 由（Ⅰ）知()f x 在区间π(0,)2上单调递增,在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 又(0)0,()10,()2022f f f πππ==->=-<故()f x 在()0,π存在唯一零点.设为0x ,则00()()0g x f x '== 当()00,x x ∈时,()0g x '>；当()0,πx x ∈时,()0g x '<, 所以()g x 在区间()00,x 上单调递增,在区间()0,πx 上单调递减又(0)0,()0g g π== ,所以,当[0,π]x ∈时,()0g x ≥. 故2sin cos x x x x -≥. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数证明不等式恒成立问题，属于综合题.。

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【分析】利用双曲线方程求解实半轴的长，半焦距的长，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【分析】先判断直线过定点（1，0），然后判断定点和圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线过定点，判断定点和圆的位置关系是解决本题的关键．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【分析】根据空间线面位置关系的判定或性质进行判断．【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．M的坐标，然后求解即可．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），由题意可知：|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，由a﹣c≤|PF|≤a+c，即可求得|PM|的取值范围．【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选D．【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查椭圆的性质，焦半径的取值范围，考查转化思想，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向，进而利用抛物线标准方程求得p，则焦点方程可得．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，解题过程中注意抛物线的开口方向，焦点所在的位置12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【分析】先根据椭圆的方程求得P的坐标，进而根据椭圆的定义求得答案．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．解答的关键是利用椭圆的定义．属基础题．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【分析】利用平行与垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【分析】取AC，A1C1的中点分别为E，H．可得BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，解△AFD即可．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：【点评】本题考查了空间线面角的求解，属于中档题．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【分析】由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．根据质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△＜0，即可得出．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【分析】（1）根据圆的一般方程的定义进行求解即可．（2）求出圆心和半径，结合直线的弦长公式进行计算．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）【点评】本题主要考查圆的一般方程以及直线和圆相交时的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【分析】（1）将直线AB的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；（2）分别求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式，即可求出．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，属于中档题．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明BD⊥AD，根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面PAD，故而平面MBD⊥平面PAD；（2）求出P到平面ABCD的高和△ABD的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【分析】（1）以D为原点，建立的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），由此能证明C1D⊥D1E．（2）由动点M满足（0＜λ＜1），得M（2a，0，λ），连接BM，求出平面AD1E的法向量，利用向量法能法语出结果．（3）连接AB1，B1E，求出平面B1AE的法向量，利用向量法能求出AD．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的实数值的求法，考查满足二面角的棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得m=﹣k，则直线l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k AD•k BD=﹣1，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，∴m1=﹣2k，m2=﹣k，且均满足3+4k2﹣m2＞0，（9分）当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾，当m1=﹣k时，l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）∴直线l过定点，定点坐标为（，0）．（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量坐标运算，考查转化思想，属于中档题．。