2020全国100所名校单元测试卷-全国100所名校单元测试示范卷高一数学

100所名校高考模拟金典卷·数学（一）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A. {|22}x x -<< B. {|24}x x -≤≤ C. {|22}x x -≤≤ D. {|24}x x -<≤【答案】B 【解析】 【分析】直接利用并集的定义计算即可.【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】C 【解析】 【分析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模计算的公式计算即可.【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题. 3.某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A. 36.5 B. 30C. 33D. 27【答案】D 【解析】 【分析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4.已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A. 3 B. 7C. 7-D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题. 5.已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6.已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A.B.C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由(2)0a a b ⋅-=r r r ，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r， 即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r，所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r ==故选：A【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.7.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点()1,2对称B. 关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于点()3,3对称 D. 关于点()1,3对称【答案】B 【解析】 【分析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到.【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.9.函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D.【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163πB.3π C.29π D.169π【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A. 2sin 2x - B. 2sin2xC. 2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D. 2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ，所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12.如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A.2 B.21 C. 2D.21【答案】D 【解析】 【分析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可.【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R . 四棱锥的体积112223323P ABCD ABCD V S PD -=⨯⨯==W ， 四棱锥的表面积S 2112222222242222PAD PAB ABCDS S S =++=⨯+⨯⨯=+V V W ， 因13P ABCD V S -=⨯R ⨯，所以32212142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344zy x=-，易知截距越小，z越大，平移直线34y x=，可知当目标函数经过点A时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题. 14.曲线()e 43x f x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________. 【答案】52y x =- 【解析】 【分析】直接利用导数的几何意义计算即可.【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +-- 【解析】 【分析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可.【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--， 又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +--【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16.已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】 【解析】 【分析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意. 因为b a >，所以22211b e a=->，所以e >3.e <≤故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,856[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】 【分析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18.在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c+的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】 【分析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）. （2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===213213sin ,sin 33a A c C ∴==， 213(sin sin )3a c A C ∴+=+ 213[sin sin()]3A AB =++ 21321313sin sin sin sin cos 3233A A A A A π⎡⎤⎡⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦213sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()213a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.19.在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -3时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可．【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=222a a ⎛+ ⎝⎭= ,'2a OD =因为1'3V S OD =⨯⨯==所以2a =．【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△化简即可解决. 【详解】(1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△，1m ≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 21.设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x-=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，构造函数()211ln 1h a a a a =++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a =++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】 【分析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决.【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为2212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23.已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x -＃；（2）[7,3]-【解析】 【分析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立， ∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020—2021学年上学期全国百强名校“领军考试”高一数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合{}1+==x y x A ，{}121+==-x y y B ，则图中阴影部分所表示的集合是A ．()1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．(]1,1-2．过点)1,(-x A ，)2,2(-B 的直线的倾斜角为45°，则x 等于A ．1B ．－1C ．3D ．－33．设点)1,1,1(--P 关于平面xOz 的对称点为'P ，则='PP A ．2B ．4CD ．224．设2log 2,2log 3133===c b a ，则A ．cb a >>B ．bc a >>C ．b a c >>D ．ca b >>5．已知圆O 方程为922=+y x ，直线l 的方程为01043=--y x ，在圆O 上到直线l 的距离为1的点有几个A ．1B ．2C ．3D ．42021．016．一个几何体的三视图如图所示，此几何体的外接球表面积是A ．π3B ．π6C ．π9D ．π127．已知直线l 与直线032=+-y x 关于直线1=y 对称，则直线l 的方程为A ．012=++y x B ．032=+-y x C ．012=-+y x D ．032=+-y x 8．若函数)3(log )(2a ax x x f a +-=在区间[)+∞,1上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．()1,0B ．()2,1C ．(]2,1D ．[)+∞,29．如图，在空间四边形ABCD 中，F E BC AD 、,2==分别是CD AB 、的中点，若异面直线BC AD 、所成角为60°，则=EF A ．1B 3C ．13D ．210．定义在R 上的偶函数)(x f 在(]0,∞-上是增函数，若()02021=f ，且,0)(≥a f 则实数a 的取值范围是A ．(]2021-∞-，B ．[)∞+，2021C ．[]2021,2021-D ．(][)∞+⋃-∞-，，2021202111．如图，几何体E ­ABCD 是四棱锥，且AB=AD ，CB ＝CD ，BE ＝DE ，则下列说法中正确的个数是①EC ⊥BD②BD ⊥平面EAC③平面EBD ⊥平面EAC④若点O 是BD 的中点，则EO ⊥平面ABCDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=3,2131,1log )(2x x x x x f 若方程0)(=-a x f 至少有二个不同的实数根，则实数a 的取值范围为A ．)1,0(B ．(]1,0C ．[)1,0D ．[]1,0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，则三棱锥11BDC D -的体积为.14．两圆0204222=-+-+y x y x 与0168422=--++y x y x 的位置关系是.15．已知方程为0916)41(2)3(24222=++-++-+a y a x a y x 表示圆，则a 的取值范围是.16．已知函数()()()225,111,12x x ax x f x a x ⎧-+-≤⎪=⎨-⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()02121>--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围为.三、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集R =U ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==a x y x A 1，(){}65ln 2--==x x y x B ．（1）当2=a 时，求集合B A B A ⋃⋂,；（2）若()=⋂B A U C ∅，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知直线1l ：06=++my nx ，2l ：023)2(=++-m y x m .（1）若1-=n 且21l l ⊥，求实数m 的值；（2）当1=n ，且21//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．19．（12分）如左下图所示，已知PA 是等腰三角形PBD 底边BD 的中线，将PBD Δ沿PA 折叠如右下图所示，点C 是平面ABD 内的一点，且BC AD //,CD AB //,M 是PC 上的一动点.（1）若点M 为PC 的中点，求证：//PA 平面BDM ；（2）若PC BM ⊥，求证：平面MBD ⊥平面PCD .20．（12分）设=)(x f ax x ++1log 2为奇函数，其中a 为常数，且1≠a ．（1）求a 的值；（2）证明：)(x f 在区间()+∞,1上为减函数；（3）若对于任意[)+∞∈,3x ，不等式m x f x+≤2)(恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中，8,10AC AB ==，16BC AA ==，点D 是AB 上不同于点A 的动点．（1）求证：11BC ACB ⊥平面；（2）求三棱锥11ADB C -的体积的取值范围。

全国100所名校单元测试示范卷高三数学一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = tan(x)D. y = e^x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 4}3. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)：A. 5B. 4C. 3D. 24. 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，求ab的最大值：A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/65. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (-1, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (1, 0)6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值：A. 0B. -4C. -3D. 47. 根据题目所给的三角函数关系，求cos(α + β)的值：A. cosαcosβB. sinαsinβC. cosαsinβ - sinαcosβD. sinαcosβ + cosαsinβ8. 若a, b, c ∈ R，且a^2 + b^2 + c^2 = 1，求(a + b + c)^2的最大值：A. 1B. 3/2C. 2D. 9/49. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10：A. 29B. 32C. 35D. 3810. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x - 3|，求f(2)：A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值。

答案：__________12. 若sinθ = 1/3，且θ为锐角，求cosθ的值。

答案：__________13. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=1/2，求第5项b5。

全国100所名校单元测试示范卷参考答案(一～十)(高中新课标R·必修2)(一)1．B由图可知，a的人口增长模式为高出生率、低死亡率、高自然增长率，属于传统型。

2．A图中Ⅰ阶段，出生率高，死亡率高，自然增长率低，符合原始型的特点。

3．BⅡ阶段，低出生率，低死亡率，低自然增长率，属现代型，将会出现劳动力不足、社会保障负担沉重等问题。

4．B甲图中老年人比重较大，青少年比重较小，自然增长率较低；乙图中少年儿童比重较大，自然增长率较高。

5．A甲国老年人比重过大，该国面临的最大的人口问题是人口老龄化，人口老龄化会导致国内缺乏青壮年劳力、国防兵力不足、社会上用于养老保险的费用过高、青壮年负担过重等问题。

6．A深圳属于移民城市，经济发达，人口数量变化很大，主要原因是人口迁移频繁，数量巨大。

7．D深圳形成于改革开放之后，是一座移民城市，迁入人口大多比较年轻，使其人口年龄结构很年轻，所以死亡率很低。

8．B根据图中数据可以得出目前印度人口由1951年的3.8亿增长到2022年的11亿，增长了7.2亿，增长了2倍多。

根据题意“印度8年间人口从10亿增加到11亿”，故年增长率超过1%，应处于高增长阶段。

从图中可以看出印度人口增长速度逐渐加快，每年净增人口有增加趋势。

9．C可用排除法，人口增长快，劳动力充足，但由于人口多，消耗也多，积累较少；印度没有大面积的热带雨林，故②错。

10．D根据材料描述，导致华北人口迁移的原因是华北大旱导致华北的环境人口容量变小。

11．B华北男性人口大批移民东北，华北青壮年男性人口明显少于相同年龄段的女性人口，又因为清末我国人口出生率高，所以相对来说儿童的比例大，因此B图正确。

12．D图中迁移人口主要集中在20～29岁，这部分人口属于劳动力人口，人口迁移最可能受经济因素影响。

13．A图中甲为0～4岁的儿童，儿童的迁移主要与父母的迁移有关；图中乙为20～29岁的青年人口，与甲的关联性最强。

数学复习卷（一)一、单选题1．已知集合{}2{|320},21x A x x x B x Z =-+≤=∈>，则A B =I （ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,2]D ．{1,2} 2．已知复数(1)3z i i +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数．．．．所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．221x y +≤是“||||2x y +≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知曲线()(21)x f x a e =+在0x =处的切线过点(2,1),则实数a =( )A ．3B ．3-C ．13 D ．13- 6．已知非零向量,a b r r 满足1,2a b ==r r 且(2()a b a b -⊥+)r r r r ，则a r 与b r 的夹角为( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 7．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π38．已知公差不为零的等差数列{}n a 中，35712,a a a ++=136,,a a a 成等比数列，则等差数列{}n a 的前8项和n S 为（ ）A ．20B ．30C ．35D ．409．已知实数x ，y 满足不等式组210x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，目标函数13y z x +=+的最大值是（ ）A ．23B ．49C ．59D ．13 10．已知321()(4)1(0,0)3f x x ax b x a b =++-+>>在1x =处取得极值，则21a b +的最小值为（ ）A ．3223+ B ．322+ C ．3 D ．911．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b -=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A ．21+B ．31+C ．2D ．512．函数()121x x f x e e b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()(),11,e e e e --⋃-B ．()()1,00,1e e -⋃-C ．()()1,00,1e e -⋃-D ．()()1,,1e e e e --⋃-二、填空题13．函数()()2log 5(0a f x x a =++>且1)a ≠恒过定点的坐标为______．14．若函数1132()32x xe ef x x x ---=-+，则12()()20202020f f ++⋯40384039()()20202020f f ++=______．15．已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 ．16．已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示,其中四边形ABCD 是边长为32的正方形,若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值是 ．三、解答题17．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组，第4组，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a 的值；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.18．已知△ABC 的面积为3，且1AB AC ⋅=-u u u r u u u r 且AB AC >. (1)求角A 的大小；(2)设M 为BC 的中点，且3AM =，∠BAC 的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度.19．如图1，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，3AB =，6CD =，过A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，已知1DE =，3AE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，使得平面ADE ⊥平面ABFE ，平面ADE ∥平面BCF ，得到图2.（1）证明：BE ∥平面ACD ；（2）求三棱锥C AED -的体积.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且与抛物线2y x =交于M ，N 两点，OMN ∆ （O 为坐标原点）的面积为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．21．设函数2333()()22x f x e x a =---. （1）若0a >且()f x 在x 0=处的切线垂直于y 轴，求a 的值；（2）若对于任意[0,)x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x 2tcos αy tsin α(t =-+=为参数).以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()22ρ45sin θ36+=． ()1求l 和C 的直角坐标方程；()2设()P 2,0-，l 和C 相交于A ，B 两点，若PA PB 4⋅=，求sin α的值．23．已知函数()12,=+--∈f x x m x m R ．（1）当3m =时，求不等式()1f x >的解集；（2）当[]1,2x ∈-时，不等式()21f x x <+恒成立，求m 的取值范围．。

全国100所名校单元测试卷数学全国100名校单元测试全国100所名校单元测试示范卷篇一:全国100所名校单元测试卷数学全国100所名校单元测试示范卷（十一）1-5 AADBB 6-10 BBCBD 11-16 BADCCB17(1)C (2)H+Cl=2HCl; 22Cl2+2NaOH=NaCl+NaClO+H2O(3)2Cl2+2Ca(OH)2=CaCl2+Ca(ClO)2+ 2H2O18(1)Cl;KSCN;BaSO24(2)2Fe+3Cl 2FeCl3Cl2+Na2SO3+H2O=2HCl+Na2SO4(3)取少许C溶液于试管中，再向试管中滴加用HNO3酸化的AgNO3溶液，若有白色沉淀产生，则含有Cl- 19(1)C (2)①Cl2;Fe3+ ②取适量溶液与大试管中，加入适量的CCl4,充分振荡后静置分层。

若下层溶液仍为黄色，则丙同学的观点正确；若下层溶液为无色，则错误20（1）SiO2;CaSiO3Si+2CO↑(3)2CO2+SiO32-+2H2O=H2SiO3(胶体) +2HCO3- 【或CO2+SiO32-+H2O=H2SiO3（胶体)+CO32-】21【方案一】（1）烧杯，漏斗，玻璃棒（2）洗涤；偏低（3）SiO2+2NaOH=Na2SiO3+H2O【方案二】（1）A接E,D接F（2）饱和碳酸氢钠溶液（3）V/224a 22(1) I-Fe2+Br-(2)Cl2+2Fe2+=2Cl-Cl2+2I-+2Fe3+, =I+2Cl- 2(3)6 (4)c(Fe2+):c(I-):c(Br-)=2:1:3若恒力方向与速度方向不在同一条直线上，开始时恒力方向与速度方向小于90o，则质点做匀加速曲线运动，速度一直增加。

如果开始时恒力方向与速度方向大于90o，则质点匀减速曲线运动，动能减小，当速度方向与恒力方向垂直时速度最小，接着匀加速曲线运动，速度、动能减小。

100所名校单元测试卷篇二:全国100所名校单元测试卷数学全国100所名絞单元测试示+卷■高三■池理卷(一) 教学札记地球与地图(90分钟100分）第I卷（选择题共44分）一、选择题(本大题共22小题，每小题2分，共44分。

绝密★启用前2020 届普通高中教育教学质量监测考试全国 I 卷 理科数学注意事项：1. 本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分.2. 本试卷满分 分，测试时间 分钟.3. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.4. 所有答案写应写在指定的答题区域（选择题答案应填写在选择题答题卡中，填空题答案写在题目后面 的横线上，解答题答案写在相应题目下方的空白处）.5. 考试范围：必修 ；必修 第 , 章；必修 ；必修 ；选修 第 , 章；选修 第 , 章.第 I 卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合, , ,则 A. B. C. D.2. 已知复数 满足 且 ，则 的值为 A. B. 或 C. D. 或3. 已知实数, ，则“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数 满足 , ,则A. B. C. D. 5. 如图，在正方体 中,点 为 中点，则异面直线与 所成角的余弦值为 A. B. C. D.6. 已知函数 为定义在上的增函数且其图像关于点 对称，若 ，则不等式 的解集为I II 1501201212452−1132−213125A ={x |x =3k +1,k ∈N }B ={y |y =4k −1,k ∈N }C ={1,2,3,4,5,6,7,8}(A ∪B )∩C ={7}{1,4,7}{1,3,7}{1,3,4,7}z z =2+m i 1−i (m ∈R )|z |=2m 2−223−33a >0b >0a >b >1e a +2b >e b +2a f (x )f (x +2)=1+f (x )f (x +2)f (0)=2f (2018)+f (2020)=−121−12ABCD −A 1B 1C 1D 1M A 1D 1AM CD 110555101052f (x )R (2,0)g (x )=f (2−x )g (x +3)+g (1−2x )≥0A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C.D. 8. 函数 在区间 上的大致图像为9. 已知角 , 满足 ，若 ，则实数 的值为 A. B. C. D.10. 已知函数 ，过点 的直线 与 的图像有三个不同的交点，则直线 斜率的取 值范围为A. B. C. D. 11. 已知函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的 图像，若函数 的最小正周期为 ， 为函数 的一条对称轴，则函数 的一个增区间为A. B. C. D. 12. 已知数列 , 满足 , , , , ，令 ,则 满足 的 的最小值为 A. B. C. D.[2,+∞)[4,+∞)(−∞,4][2,4]10383273f (x )=x sin x +1x 2−14π2[−2π,2π] sin(2 + )=3sin 1tan −1tan= tan 2346f (x )=3x 3−3x A (−1,0)l f (x )l (−34,6)(−23,6)∪(6,+∞)(−34,6)∪(6,+∞)(−34,+∞)f (x )=sin ( x +ϕ)−cos ( x +ϕ)( >0,|ϕ|<π2)π3g (x )g (x )πx =π3g (x )g (x )(0,π6)(π2,π)(π3,5π6)(π6,π3){a n }{b n }a 1=1.1b 1=0.2a n +1=b n +1+a n2b n +1=13a n +23b n n ∈N *c n =a n −b n c n ≤1104n 9101112A B C D选择题答题卡二、填空题（本大题共 小题，每小题 分）13. 已知函数 的图像在 和 处的切线互相垂直，则 ______；14. 若实数 , 满足不等式组 ，存在可行解 满足 ，则实数 的最小值 为______；15. 已知函数 在 上存在唯一零点 ，则下列说法正确的有______； （请将所有正确的序号填在横格上）① ；② ；③ ；④ . 16. 在三棱锥中，已知 , , ，则三棱锥 外接球的表 面积为______；第 II 卷三、解答题（本大题共 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 分）已知平面向量 a ，b .（1）若 a // b ，求 的值；（2）若 a b ，求向量 a + b 与 b 夹角的余弦值. 题号123456789101112得分答案45f (x )=ax 3−ax (a >0)x =0x =1a =x y x −y +2≥02x +y −2≥04x −y −4≤0⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪(x ,y )mx −y −6m =0m f (x )=e x −k −1+ln xx−1(k ∈R )(0,+∞)x 0k =2k >2ln x 0=−x 01e <x 0<12P −ABC PA ⊥BC PB ⊥AC PA =PB =2AB =4P −ABC 610=(1,2)=(k ,3)k ⊥18.（本小题满分 分）已知函数 为定义在 上的偶函数，当 时， , .（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）若函数 有两个零点，求实数的取值范围.12f (x )R x ≥0f (x )=|e −x −m |m ∈R m =12f (x )g (x )=f (x )−14m已知数列 满足： , , .（1）求证： 为等差数列，并求出 ； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，若不等式 成立，求正整数 的最 小值.{a n }a n >0a 1=1a n =a n +1(2a n +1)(n ∈N *){1a n }a n b n =1a n −1(n 2+n )2(n ∈N *){b n }n S n S n ≥9991000n如图，在 中，已知 , , , 为 中点， , 分别为线段 , 上 的动点（不包括端点），记 .（1）当时，求证： ； （2）当 时，求四边形 的面积 关于 的表达式.ΔABC AB =1BC =2∠ABC =60°M BC E F AB AC ∠EMB =θEM ⊥FM EM =3FM ∠EMF =60°AEMF Sθ如图 ，在直角梯形 中， , 分别为 的 三等分点， // , // , , ,若沿着 , 折叠使得点 , 重合，如图 所示，连结 , . （1）求证：平面平面 ； （2）求二面角 的余弦值.1ABCD E F AB FG BC ED BC AB =3BC =2FG ED A B 2GC BD GBD ⊥BCDE B −GC −D已知函数 .（1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；（2）当 时，若实数 , 满足 ，求证： .f (x )=e x +cos x −ax (a ∈R )f (x )(0,+∞)a a =−1x 1x 2(x 1<x 2)f (x 1)+f (x 2)=4x 1+x 2<0。

高一全国百强名校“领军考试”2020-2021学年下学期4月高一数学必修4试题题号一二三总分得分一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知sin(α−π8)=−13，则cos(α+3π8)的值等于A. 13B. 2√23C. −13D. −2√23⁄【答案】A【解析】【分析】本题考查诱导公式，考查学生的计算能力，比较基础．根据诱导公式cos(α+3π8)=−sin(α−π8),即可得结果．【解答】解：因为sin(α−π8)=−13，则．故选A．2.若cosα=−14，则cos2α=A. 78B. −78C. 79D. −79【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式，属于基础题．根据二倍角公式可得cos 2α=2cos 2α，即可求解． 【解析】cos2a =2cos 2a −1=2×(−14)2−1=−78， 故选B ．3. 已知向量a ⃗ =(6,−3)，向量b ⃗ =(2x ，5)，且a ⃗ // b ⃗ ，那么实数x 的值等于A. 5B. −5C. 52D. −52【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查向量共线的充要条件，平面向量的坐标运算，属于基础题． 根据向量共线的充要条件可得6×5=−3×2x ，解得x 即可．【解析】∵a =(6,−3)，b =(2x,5)，且a//b ，∴6×5=−3×2x ，解得x =−5． 故选B ．4. 函数f (x )= A sin (ωx + φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，则f(π2)=A. −√32B. −12C. −√22D. −1【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角函数的图象与解析式，属于基础题． 可先由图象求出函数解析式，再求值即可． 【解答】解：由图象知A =1，T =4(7π12−π3)=π，所以， 把(7π12,−1)代入函数式中，可得，得又，所以φ=π3，则f(x)=Asin(ωx+φ)=sin(2x+π3)，所以f(π2)=sin(π+π3)=−sinπ3=−√32．故选A．5.已知tanθ2=−43，则1+cosθ−sinθ1−cosθ−sinθ的值为A. −43B. −23C. 34D. −32【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角公式的应用，属于基础题．利用同角三角函数的基本关系及倍角公式求得结果．【解析】解：346.函数f(x)=cosx+cos(x−π3)的一个单调递减区间为()A. [−5π6,π6] B. [0,5π6] C. [−π,−π6] D. [π6,7π6]【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的单调性，属于基础题．首先由三角函数公式化简已知三角函数为√3sin(x+π3)，然后解不等式2kπ+π2≤x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，结合选项可得答案．【解答】解：由三角函数公式化简可得f(x)=cosx+12cosx+√32sinx=32cosx+√32sinx=√3(√32cosx+12sinx)=√3sin(x+π3)，令2kπ+π2≤x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，当k=0时，π6≤x≤7π6，∴函数f(x)=cos x+cos (x−π3)的一个单调递减区间为[π6,7π6]．故选D．7.为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只要把函数y=−√2cos2x图象上所有的点A. 向左平行移动π8个单位长度 B. 向右平行移动π8个单位C. 向左平行移动5π8个单位长度 D. 向右平行移动5π8个单位【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角变换及其图像的平移法则．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：y=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)=√2sin2(x+π8)，只要把函数y=−√2cos2x=√2cos(2x+π)=√2sin(2x+3π2)=√2sin2(x+3π4)图象上所有的点向右平行移动5π8个单位，可得函数y=√2sin(2x+π4)的图象，故选D．8.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=4|b⃗ |，且(2a⃗−3b⃗ )⊥b⃗ ，则a⃗与b⃗ 的夹角余弦值为()A. 16B. −16C. 38D. −38【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两个向量垂直的性质，考查向量的数量积，向量的夹角，属于基础题．利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义即可得到答案．【解答】解：设a⃗与b⃗ 的夹角为α，∵(2a⃗−3b⃗ )⊥b⃗ ，∴(2a⃗−3b⃗ )⋅b⃗ =0，∴2a⃗⋅b⃗ =3b⃗ 2，∴2|a⃗||b⃗ |cosα=3|b⃗ |2，又|a⃗|=4|b⃗ |，∴cosα=38． 故选C ．9. 已知α∈(3π2,2π)，sin(2π−2α)=13，则sinα−cosα=A. 2√33B. −2√33C. √63D. −√63【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．由题意得(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=43，根据α范围可得sinα−cosα=−2√33．【解答】解：sin(2π−2α)=−sin2α=−13，∴sinα<0，cosα>0，即sinα−cosα<0，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1−sin2α=43，则sinα−cosα=−2√33. 故选B ．10. 设向量a ⃗ =(2tanα,−1)，向量b ⃗ =(1,3tanβ)，且a ⃗ +b ⃗ =0⃗ ，则tan(2α+β)=( ) A. −43B. −913C. 35D. 913【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，二倍角公式以及两角和的正切公式，属于基础题．利用两个向量坐标形式的运算法则，二倍角公式以及两角和的正切公式，求得tan(2α+β)的值． 【解答】解：由题意可得a ⃗ +b ⃗ =(2tanα+1,3tanβ−1)=0⃗ ，∴tanα=−12，tanβ=13，则tan2α=−11−14=−43∴tan(2α+β)=tan2α+tanβ1−tan2αtanβ=−43+131−(−43)⋅13=−913，故选B ．11. 已知函数f(x)=2sin 2x +1，则下列说法正确的是( )A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)在区间[−π2,π2]上是增函数 C. f(x)的图像关于点(π4,2)对称D. f(x)的图像关于直线x =π3对称【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二倍角的余弦公式，三角函数的对称性，周期性，单调性，属于基础题． 利用降幂公式化简，结合三角函数的性质，即可求解各选项． 【解析】解：函数f(x)=2sin 2x +1=1−cos2x +1=−cos2x +2，得f(x)的最小正周期为2π2=π，A 不正确;x ∈[−π2,π2]上，2x ∈[−π,π]，此时函数不单调，B 不正确; 当x =π4时，cos2x =0，所以f(x)的图像关于点(π4,2)对称，C 正确;当x =π3时，cos2x =−12，而cos(2×π2)=−1，所以f(x)的图像关于直线x =π2对称，D 不正确 故选C ．12. 在△ABC 中，A ，B ，C 是其三个内角，设f(B)=4sinB ⋅cos 2(π4−B2)+2(1−2sin 2B)，当f(B)−m ≤4恒成立时，实数m 的取值范围是( )A. m <−32B. m ≥−32C. m <2D. m >−2【答案】B 【解析】【分析】本题考查了三角函数的恒等变换，半角公式，二倍角公式及诱导公式，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．先利用半角公式降次，再将cos2B 用二倍角公式展开，即可得到f(B)，将不等式恒成立转化为最值问题，即可求解． 【解答】解：f(B)=4sinBcos 2(π4−B2)+2(1−2sin 2B)=4sinB ⋅1+cos(π2−B)2+2(1−2sin 2B)=2sinB(1+sinB)+2(1一2sin 2B) =−2sin 2B +2sinB +2．∵f(B)−m ≤4恒成立，∴−2sin 2B +2sinB +2−m ≤4恒成立， 即m ≥−2sin 2B +2sinB −2恒成立．设t =−2sin 2B +2sinB −2=−2(sinB −12)2−32，∵0<B <π，∴0<sinB ≤1，∴−2≤−2(sinB −12)2−32≤−32，所以m ≥−32， 故选B ．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3)， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−4)，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点C 的坐标是_______． 【答案】(47,−617) 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平面向量的平行与垂直的性质，我们设C 点坐标为(x,y)，则我们可以表示出向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，我们结合“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”，可以构造关于x ，y 的方程，解方程即可求出点C 的坐标．判断两个向量的关系(平行或垂直)或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行(共线)及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”． 【解答】解：设C (x,y )，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y +3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y +4)， 由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{(x −2)(−4)=−1×(y +3)(x +1)(−3)+(y +4)(−1)=0, 即{4x −y −11=03x +y +7=0，解得{x =47y =−617, ∴点C 的坐标为(47,−617)， 故答案为(47,−617)．14. 将函数y =sin (2x −π6)的图象上的所有点向右平移π4个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g (3π4)=_______． 【答案】√32【解析】解：y =sin(2x −π6)的图象上的所有点向右平移π4个单位得y =sin(2(x −π4)−π6]=sin(2x −2π3),再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得y =sin(4x −2π3)，即g(x)=sin(4x −2π3)，则g(3π4)=sin(4x3π4−2π3)=√32． 本题主要考查三角函数图象平移，求解析式，求值，是一般题． 根据函数的平移求出g(x)，然后求出g (3π4)．15. 设α−π3是第二象限角，P(x,4)为角α−π3终边上一点，且cos(α−π3)=x5，则cosα= ． 【答案】−3−4√310 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的定义，符号，两角和的余弦，属于基础题．由任意角三角函数的定义得出关系式求出x ，再由两角和与差的三角函数公式进行求解即可． 【解答】解：因为α−π3是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，所以x <0，因为cos(α−π3)=x5=x√x 2+16，所以x =−3，得cos(α−π3)=−35，sin(α−π3)=45， 所以cosα=cos(α−π3+π3)=cos(α−π3)cos π3−sin(α−π3)sin π3=−3−4√310． 故答案为：−3−4√310． 16. 给出下列4个命题： ①函数y =tan(2x +π3)的图像关于点(kπ2+π12,0)，k ∈Z 对称; ②函数f(x)=|sinx|+cosx 是最小正周期为π的周期函数; ③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2; ④关于x 的方程cos 2x +sinx +a =0有解，则a 取值范围为[−54,1]． 其中正确的命题序号是 ． 【答案】 ① ④ 【解析】 【分析】本题综合考查三角函数的性质，考查函数的对称性及周期性，考查正切函数的图象及性质，考查象限角，同角三角函数的基本关系，考查三角函数的最值，考查分析与计算能力，属于中档题．①由正切函数的对称中心可知正确；②对函数去绝对值得函数为2π周期函数，错误；③由题θ2∈(π4+kπ,π2+kπ)(k ∈Z)，当k =2n +1(n ∈Z)时，sin θ2<cos θ2，错误；④由题，可得a 的范围，即可求解．【解答】解： ①点(kπ,0)(k ∈Z)，(kπ+π2,0)(k ∈Z)是正切函数y =tanx 的对称中心，(kπ2+π12,0)是函数y =tan(2x +π3)的对称中心，∴ ①正确; ②当2kπ<x ⩽2kπ+π时，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，当2kπ−π<x ⩽2kπ时，f(x)=−sinx +cosx =√2sin(π4−x)，由图像可知f(x)是最小正周期为2π的周期函数，∴ ②不正确; ③θ2∈(kπ+π4,kπ+π2)，k ∈Z ，当k =2n +1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2，∴ ③不正确; ④方程cos 2x +sinx +a =0有解，即a =−cos 2x −sinx =−1+sin 2x −sinx =(sinx −12)2−54，∴当sinx =12时，y min =−54，当sinx =−1时，y max =1，∴a ∈[−54,1]， ④正确． 故答案为 ① ④．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知角α的终边过点P (2,−4)．(1)求sin α的值； (2)化简sin2αcos2αsin (π+α)cos (3π−α)．【答案】解：(1)∵|OP|=√22+(−4)2=2√5， 由正弦函数定义得sinα=2√5=−2√55; (2)原式=2sinαcosαcos2α−sinα(−cosα)=2cos2α=2(1−2sin 2α)=2[1−2(−2√55)2]=−65【解析】本题主要考查三角函数定义，诱导公式，二倍角公式应用，属于基础题 (1)直接根据定义求解即可； (2)先化简，在求值即可。