2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案

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14．若x,y满足约束条件
2xy10
x2y10
,则z=2x+y的最大值为．
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（Ⅱ）若
C与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求
1
AB
最大值.
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请
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24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲
设a,b,c,d均为正数,且abcd.证明：
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}{}30|,21|<<=<<-=x x B x x A ，则=⋃B A ( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数，且i iai +=++312，则=a ( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．向量()1,1-=a ，()2,1-=b ，则()=⋅+a b a 2 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．5B ．7C ．9D ．11 6.第6题图一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17 C.16 D.157．已知三点()01，A ()30，B ，()32，C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.438.第8题图右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a ( )A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列{}n a 满足411=a ，()14453-=a a a ，则=2a ( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1810．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C．144π D．256π11.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )12.设函数()()2111ln x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131-- 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-，则=a ________.14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则y x z +=2的最大值为________． 15．已知双曲线过点()34，，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为________．16．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a ________. 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2=(1)求CB sin sin (2)若︒=∠60BAC ，求B ∠18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 分组频数281410 6 2015·新课标Ⅱ卷第4页(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分满意度等级 不满意 满意 非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19.(本小题满分12分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，16=AB ，10=BC ,81=AA ，点E ,F 分别在11B A ,11C D 上，411==F D E A .过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：12222=+by a x ()0.>>b a 的离心率为22，点()22，在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21.(本小题满分12分)已知函数()()x a x x f -+=1ln ．(1)讨论()x f 的单调性；(2)当()x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O 是等腰三角形AB C 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.（I ）证明EF ∥BC .（II ）若AG 等于⊙O 的半径,且23AE MN == ,求四边形EDCF 的面积23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；N M G OFE D C B A(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．2015·新课标Ⅱ卷第8页1、选A2、故选D3、选D4、选B5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++6、解：如图所示，选D.7、选B.8、故选B.9、解：因为{}),1(4,414531-==a a a a a n 满足所以， .21241,2,2),1(4123144424=⨯=====-=q a a q q a a a a a 所以，所以又解得故选C.10、解：因为A,B 都在球面上，又为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132==⨯⨯R R R ，所以R=6，所以球的表面积为 S=14442=R ππ，故选C.11、解：如图，当点P 在BC 上时， ,tan 4tan ,tan 4,tan ,22x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠ 当4π=x 时取得最大值51+，以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数，故选B.xP O DC B A12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2+∞∈+-+=x x x x f .131,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得 故选A.第二卷一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时，z=2x+y 取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x ）代入方程，解得，点（1422=-∴y x 双曲线的标准方程为16、解：.122,11'-=∴+=x y xy ，切线方程为切线的斜率为 .8120.08,08,021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行，不符。

（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”； 表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”，由直方图得 的估计值为 ， 的估计值为 ，所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【提示】（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散；（Ⅱ）由直方图得 的估计值为0.6， 的估计值为0.25，所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
【考点】统计知识及对学生柱形图的理解
4.【答案】C
【解析】由题意可得 ， ，所以 ，故选C.
【考点】向量数量积的坐标运算
5.【答案】A
【解析】由 ，所有 ，故选A.
【考点】等差数列的性质及前n项和公式的应用
6.【答案】D
【解析】如图所示，截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的 ，剩余部分体积是正方体体积的 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ，故选D.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ，故 是 的垂直平分线，又 为圆 的弦，所以 在 上，连接 ， ，则 ，由 等于圆 的半径得 ，所以 ，因此， 和 都是等边三角形，因为 ，所以 ， ，因为 ， ，所以 ，于是 ， ，
所以四边形 的面积为 .
【提示】（Ⅰ）要证明 ，可证明 ， ；
（Ⅱ）先求出有关线段的长度，然后把四边形 的面积转化为 和 面积之差来求.
【提示】（Ⅰ）由 ，可分 ， 两种情况来讨论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当 时 在 无最大值，当 时 最大值为 ，因此 .令 ，则 在 是增函数，当 时， ，当 时 ，因此可求出 的取值范围.
【考点】导数的应用

2015 年全国一致高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分1．（5 分）已知会合 A={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，B={ x| 0＜x＜3} ，则 A∪ B=（）A．（﹣ 1，3）B．（﹣ 1，0）C．（0，2） D．（2，3）2．（5 分）若为 a 实数，且=3+i，则 a=（）A．﹣ 4 B．﹣3 C．3D．43．（5 分）依据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的选项是（）A．逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的成效最明显B．2007年我国治理二氧化硫排放展现收效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋向D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正有关4．（5 分） =（1，﹣ 1）， =（﹣ 1，2）则（ 2 +）=（）A．﹣ 1 B．0C．1D．2．（分）已知S n 是等差数列 { a n} 的前 n 项和，若 a1+a3+a5，则 5 （）5 5=3S =A．5 B．7C．9D．116．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图，则截去部分体积与节余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5 分）已知三点 A（1，0）， B（0，），C（2，）则△ ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（ 5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．履行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（）A．0B．2C．4D．14．（分）已知等比数列n}知足a1=， 3 5 （ 4﹣1），则a2（）9 5{ a a a =4 a=A．2B．1C．D．10．（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O﹣ABC体积的最大值为36，则球 O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（ 5 分）如图，长方形 ABCD的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边BC，CD 与 DA 运动，记∠ BOP=x．将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为x 的函数 f（ x），则 y=f（x）的图象大概为（）A．B．C．D．12．（ 5 分）设函数 f（x）=ln（1+| x| ）﹣，则使得 f（x）＞ f （2x﹣1）成立的 x 的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（ 1，+∞）B．（，1）C．（） D．（﹣∞，﹣，）二、填空题．（分）已知函数3﹣2x 的图象过点（﹣ 1， 4）则 a=．13 3f（ x）=ax14．（ 3 分）若 x， y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（ 3 分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（ 3 分）已知曲线 y=x+lnx 在点（ 1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，则 a=．三．解答题17．△ ABC中， D 是 BC上的点， AD 均分∠ BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠ BAC=60°，求∠ B．18．某企业为认识用户对其产品的满意度，从 A，B 两地域分别随机检查了 40 个用户，依据用户对产品的满意度评分，获得 A 地域用户满意度评分的频次散布直方图和 B 地域用户满意度评分的频数散布表B地域用户满意度评分的频数散布表满意度评分分[ 50，[ 60，70）[ 70，80）[ 80，90） [ 90，100）组60）频数2814106（1）做出 B 地域用户满意度评分的频次散布直方图，并经过直方图比较两地域满意度评分的均匀值及分别程度（不要求计算出详细值，给出结论即可）（Ⅱ）依据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于 70分70分到 89分不低于90分满意度等级不满意满意特别满意预计哪个地域用户的满意度等级为不满意的概率大？说明原因．19．（ 12 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在 A1 B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过 E， F 的平面α与此长方体的面订交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不用说出画法和原因）（Ⅱ）求平面α把该长方体分红的两部分体积的比值．20．椭圆 C：=1，（ a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 可是原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M ．证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．21．设函数 f （x）=lnx+a（ 1﹣ x）．（Ⅰ）议论： f（x）的单一性；（Ⅱ）当 f（ x）有最大值，且最大值大于2a﹣2 时，求 a 的取值范围．四、选修 4-1：几何证明选讲22．（ 10 分）如图， O 为等腰三角形 ABC内一点，⊙ O 与△ ABC 的底边 BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．（ 1）证明： EF∥BC；（ 2）若 AG 等于⊙ O 的半径，且 AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修 4-4：坐标系与参数方程23．（ 10 分）在直角坐标系1：（t 为参数， t≠ 0），其xOy 中，曲线 C中 0≤α≤π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=2sin，θ C3：ρ=2 cosθ．（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2订交于点 A，C1与 C3订交于点 B，求 | AB| 的最大值．六、选修 4-5 不等式选讲24．（ 10 分）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（ 1）若 ab＞cd，则+＞+；（ 2）+＞+是| a﹣b|＜| c﹣d|的充要条件．2015 年全国一致高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分1．（5 分）已知会合 A={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，B={ x| 0＜x＜3} ，则 A∪ B=（）A．（﹣ 1，3）B．（﹣ 1，0）C．（0，2） D．（2，3）【剖析】依据会合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵ A={ x| ﹣1＜x＜2} ， B={ x| 0＜ x＜ 3} ，∴ A∪ B={ x| ﹣1＜x＜3} ，应选： A．【评论】此题主要考察会合的基本运算，比较基础．2．（5 分）若为 a 实数，且=3+i，则 a=（）A．﹣ 4 B．﹣3 C．3D．4【剖析】依据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则 a=4，应选： D．【评论】此题主要考察复数相等的应用，比较基础．3．（5 分）依据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的选项是（）A．逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的成效最明显B．2007 年我国治理二氧化硫排放展现收效C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋向D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正有关【剖析】A 从图中显然看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故 A 正确；B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C 从图中看出， 2006 年以来我国二氧化硫年排放量愈来愈少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量愈来愈少，与年份负有关，故 D 错误．【解答】解：A 从图中显然看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量显然减少，且减少的最多，故 A 正确；B2004﹣2006 年二氧化硫排放量愈来愈多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B正确；C 从图中看出， 2006 年以来我国二氧化硫年排放量愈来愈少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量愈来愈少，而不是与年份正有关，故D错误．应选： D．【评论】此题考察了学生识图的能力，能够从图中提拿出所需要的信息，属于基础题．4．（5 分） =（1，﹣ 1）， =（﹣1，2）则（ 2 + ）=（）A．﹣ 1 B．0C．1D．2【剖析】利用向量的加法和数目积的坐标运算解答此题．【解答】解：因为 =（ 1，﹣ 1）， =（﹣ 1， 2）则（ 2+ ）=（1，0）?（1，﹣1） =1；应选： C．【评论】此题考察了向量的加法和数目积的坐标运算；属于基础题目．5．（5 分）已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11【剖析】由等差数列 { a n } 的性质， a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列 { a n} 的性质， a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3=1．则 S5==5a3=5．应选： A．【评论】此题考察了等差数列的通项公式及其性质、前 n 项和公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如图，则截去部分体积与节余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【剖析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把有关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴节余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与节余部分体积的比值为．应选： D．【评论】此题考察了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5 分）已知三点 A（1，0）， B（0，），C（2，）则△ ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【剖析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再依据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ ABC外接圆的圆心在直线 BC垂直均分线上，即直线 x=1 上，可设圆心 P（1，p），由 PA=PB得| p| =，得 p=圆心坐标为 P（1，），因此圆心到原点的距离 | OP| ===，应选： B．【评论】此题主要考察圆性质及△ ABC外接圆的性质，认识性质并灵运用是解决此题的重点．8．（ 5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．履行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（）A．0B．2C．4D．14【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获得的a，b 的值，当 a=b=2 时不知足条件 a≠b，输出 a 的值为 2．【解答】解：模拟履行程序框图，可得a=14，b=18知足条件 a≠b，不知足条件a＞ b， b=4知足条件 a≠b，知足条件 a＞b，a=10知足条件 a≠b，知足条件 a＞b，a=6知足条件 a≠b，知足条件 a＞b，a=2知足条件 a≠b，不知足条件a＞ b， b=2不知足条件 a≠b，输出 a 的值为 2．应选： B．【评论】此题主要考察了循环结构程序框图，属于基础题．．（分）已知等比数列} 知足 a1=， 3 5 （ 4﹣1），则a2（）9 5{ a n a a =4 a= A．2B．1C．D．【剖析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列 { a n} 的公比为 q，∵，a3a5=4（a4﹣ 1），∴=4，化为 q3，解得=8q=2则 a2== ．应选： C．【评论】此题考察了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O﹣ABC体积的最大值为36，则球 O 的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【剖析】当点 C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥 O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．【解答】解：如下图，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O﹣ABC的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，2π，故 R=6，则球 O 的表面积为 4πR=144应选： C．【评论】此题考察球的半径与表面积，考察体积的计算，确立点 C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥 O﹣ ABC的体积最大是重点．11．（ 5 分）如图，长方形 ABCD的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边BC，CD 与 DA 运动，记∠ BOP=x．将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（ x），则 y=f（x）的图象大概为（）A．B．C．D．【剖析】依据函数图象关系，利用清除法进行求解即可．【解答】解：当 0≤ x≤时，BP=tanx，AP==，此时 f （x） =+tanx， 0≤ x≤，此时单一递加，当 P 在 CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如下图， tan∠POB=tan（π﹣∠ POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴ OQ=﹣，∴ PD=AO﹣ OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴ PA+PB=，当 x=时，PA+PB=2，当 P 在 AD 边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数 f （x）对于 x=对称，且 f（）＞f（），且轨迹为非线型，清除 A，C，D，应选： B．【评论】此题主要考察函数图象的辨别和判断，依据条件先求出0≤x≤时的分析式是解决此题的重点．12．（ 5 分）设函数 f（x）=ln（1+| x| ）﹣，则使得 f（x）＞ f （2x﹣1）成立的 x 的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（ 1，+∞）B．（， 1）C．（） D．（﹣∞，﹣，）【剖析】依据函数的奇偶性和单一性之间的关系，将不等式进行转变即可获得结论．【解答】解：∵函数 f （x）=ln（1+| x| ）﹣为偶函数，且在 x≥0 时， f（x）=ln（1+x）﹣，导数为 f ′（ x）=+＞0，即有函数 f（ x）在 [ 0，+∞）单一递加，∴f（x）＞ f（2x﹣ 1）等价为 f（ | x| ）＞ f （| 2x﹣1| ），即 | x| ＞ | 2x﹣1| ，平方得 3x2﹣ 4x+1＜0，解得：＜ x＜1，所求 x 的取值范围是（，1）．应选： B．【评论】此题主要考察函数奇偶性和单一性的应用，综合考察函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的重点．二、填空题．（分）已知函数3﹣2x 的图象过点（﹣ 1， 4）则 a= ﹣2 ．13 3f（ x）=ax【剖析】 f（x）是图象过点（﹣ 1，4），从而该点坐标知足函数 f（x）分析式，从而将点（﹣ 1，4）带入函数 f（x）分析式即可求出 a．【解答】解：依据条件得： 4=﹣ a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣ 2．【评论】考察函数图象上的点的坐标和函数分析式的关系，考察学生的计算能力，比较基础．14．（ 3 分）若 x， y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为8．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，利用数形联合确立 z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分ABC）．由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z，平移直线 y=﹣2x+z，由图象可知当直线 y=﹣ 2x+z 经过点 A 时，直线 y=﹣2x+z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，即A（3，2）将 A（3，2）的坐标代入目标函数 z=2x+y，得 z=2×3+2=8．即 z=2x+y 的最大值为 8．故答案为： 8．【评论】此题主要考察线性规划的应用，联合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（ 3 分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【剖析】设双曲线方程为 y2﹣ x2λ，代入点，求出λ，即可求出双曲=线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得 3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣ y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【评论】此题考察双曲线的标准方程，考察学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是重点．16．（ 3 分）已知曲线 y=x+lnx 在点（ 1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，则 a= 8．【剖析】求出 y=x+lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再因为切线与曲线 y=ax2+（a+2） x+1 相切，有且只有全部点，从而可联立切线与曲线方程，依据△ =0 获得 a 的值．【解答】解： y=x+lnx 的导数为 y′=1+，曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线斜率为k=2，则曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y﹣1=2x﹣2，即 y=2x﹣1．因为切线与曲线y=ax2+（ a+2）x+1 相切，故 y=ax2+（ a+2）x+1 可联立 y=2x﹣1，得 ax2+ax+2=0，又 a≠0，两线相切有全部点，因此有△ =a2﹣ 8a=0，解得 a=8．故答案为： 8．【评论】此题考察导数的运用：求切线方程，主要考察导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的重点．三．解答题17．△ ABC中， D 是 BC上的点， AD 均分∠ BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠ BAC=60°，求∠ B．【剖析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理联合内角均分线定理得答案；（Ⅱ）由∠ C=180°﹣（∠ BAC+∠B），两边取正弦后睁开两角和的正弦，再联合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD 均分∠ BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠ C=180°﹣（∠ BAC+∠ B），∠ BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知 2sin∠ B=sin∠C，∴tan∠ B= ，即∠ B=30°．【评论】此题考察了内角均分线的性质，考察了正弦定理的应用，是中档题．18．某企业为认识用户对其产品的满意度，从 A，B 两地域分别随机检查了 40 个用户，依据用户对产品的满意度评分，获得 A 地域用户满意度评分的频次散布直方图和 B 地域用户满意度评分的频数散布表B地域用户满意度评分的频数散布表满意度评分分[ 50，[ 60，70）[ 70，80）[ 80，90） [ 90，100）组60）频数2814106（1）做出 B 地域用户满意度评分的频次散布直方图，并经过直方图比较两地域满意度评分的均匀值及分别程度（不要求计算出详细值，给出结论即可）（Ⅱ）依据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于 70分70分到 89分不低于90分满意度等级不满意满意特别满意预计哪个地域用户的满意度等级为不满意的概率大？说明原因．【剖析】（I）依据散布表的数据，画出频次直方图，求解即可．（II）计算得出 C A表示事件：“A地域用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地域用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的状况．【解答】解：（Ⅰ）经过两个地域用户满意度评分的频次散布直方图能够看出， B 地域用户满意度评分的均匀值高于 A 地域用户满意度评分的均匀值，B 地域的用户满意度评分的比较集中，而 A 地域的用户满意度评分的比较分别．（Ⅱ） A 地域用户的满意度等级为不满意的概率大．记 C A表示事件：“A地域用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地域用户的满意度等级为不满意”，由直方图得 P（C A） =（ 0.01+0.02+0.03）× 10=0.6得 P（C B）=（0.005+0.02）× 10=0.25∴A 地域用户的满意度等级为不满意的概率大．【评论】此题考察了频次直方图，频次表达运用，考察了阅读能力，属于中档题．19．（ 12 分）如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F分别在 A1 B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过 E， F 的平面α与此长方体的面订交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不用说出画法和原因）（Ⅱ）求平面α把该长方体分红的两部分体积的比值．【剖析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出 MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面 a 把该长方体分红的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如下图；（Ⅱ）作 EM⊥AB，垂足为 M ，则 AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为 EFGH为正方形，因此EH=EF=BC=10，于是 MH==6， AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分红两个高为10的直棱柱，因此其体积的比值为．【评论】此题考察平面与平面平行的性质，考察学生的计算能力，比较基础．20．椭圆 C：=1，（ a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 可是原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M ．证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．【剖析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，而后获得椭圆的方程．（ 2）设直线 l：y=kx+b，（k≠ 0，b≠ 0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（ x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，经过韦达定理求解K OM，而后推出直线 OM 的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆 C：=1，（ a＞ b＞ 0）的离心率，点（2，）在 C 上，可得，，解得 a2，2，所求椭圆C 方程为：=8 b =4．（ 2）设直线 l：y=kx+b，（k≠ 0，b≠ 0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（ x M，y M），把直线 y=kx+b 代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故 x M==，y M=kx M+b=，于是在 OM 的斜率为： K OM= =，即K OM?k=．∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．【评论】此题考察椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考察剖析问题解决问题的能力．21．设函数 f （x）=lnx+a（ 1﹣ x）．（Ⅰ）议论： f（x）的单一性；（Ⅱ）当 f（ x）有最大值，且最大值大于2a﹣2 时，求 a 的取值范围．【剖析】（Ⅰ）先求导，再分类议论，依据导数即可判断函数的单一性；（2）先求出函数的最大值，再结构函数（ a）=lna+a﹣ 1，依据函数的单一性即可求出 a 的范围．【解答】解：（Ⅰ） f（x）=lnx+a（1﹣ x）的定义域为（ 0， +∞），∴ f ′（ x）=﹣a=，若 a≤0，则 f ′（ x）＞ 0，∴函数 f（ x）在（ 0，+∞）上单一递加，若 a＞0，则当 x∈（ 0，）时， f （′ x）＞ 0，当 x∈（，+∞）时， f （′x）＜ 0，因此 f （x）在（ 0，）上单一递加，在（，+∞）上单一递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当 a≤0 时， f（x）在（ 0，+∞）上无最大值；当 a＞0 时，f（x）在 x= 获得最大值，最大值为 f （）=﹣lna+a﹣1，∵ f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣ 1＜0，令 g（a） =lna+a﹣ 1，∵g（ a）在（ 0，+∞）单一递加， g（ 1） =0，∴当 0＜a＜1 时， g（ a）＜ 0，当 a＞1 时， g（a）＞ 0，∴a 的取值范围为（ 0， 1）．【评论】此题考察了导数与函数的单一性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修 4-1：几何证明选讲22．（ 10 分）如图， O 为等腰三角形 ABC内一点，⊙ O 与△ ABC 的底边 BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．（ 1）证明： EF∥BC；（ 2）若 AG 等于⊙ O 的半径，且 AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【剖析】（1）经过 AD 是∠ CAB的角均分线及圆 O 分别与 AB、AC相切于点 E、F，利用相像的性质即得结论；（ 2）经过（ 1）知 AD 是 EF的垂直均分线，连接OE、OM，则 OE⊥ AE，利用 S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ ABC为等腰三角形， AD⊥BC，∴ AD 是∠ CAB的角均分线，又∵圆 O 分别与 AB、 AC 相切于点 E、F，∴AE=AF，∴ AD⊥ EF，∴EF∥BC；（ 2）解：由（ 1）知 AE=AF，AD⊥EF，∴ AD 是 EF的垂直均分线，又∵ EF为圆 O 的弦，∴ O 在 AD 上，连接 OE、OM，则 OE⊥ AE，由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE，∴∠ OAE=30°，∴△ ABC与△ AEF都是等边三角形，∵AE=2 ，∴ AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM= MN= ，∴ OD=1，∴AD=5， AB=，∴四边形 EBCF的面积为×﹣××=．【评论】此题考察空间中线与线之间的地点关系，考察四边形面积的计算，注意解题方法的累积，属于中档题．五、选修 4-4：坐标系与参数方程23．（ 10 分）在直角坐标系1：（t 为参数， t≠ 0），其xOy 中，曲线 C中 0≤α≤π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=2sin，θ C3：ρ=2 cosθ．（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2订交于点 A，C1与 C3订交于点 B，求 | AB| 的最大值．2【剖析】（I）由曲线 C2：ρ=2sin，θ化为ρ=2ρ sin，θ把代入可得直角坐标方程．同原因C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（ 2）由曲线 C1的参数方程，消去参数t ，化为一般方程： y=xtan α，此中 0≤α≤π，α≠；α= 时，为 x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用 | AB| =即可得出．2【解答】解：（I）由曲线 C2：ρ=2sin，θ化为ρ=2ρ sin，θ∴x2+y2=2y．同原因 C3：ρ=2 cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴ C2与 C3交点的直角坐标为（ 0， 0），．（ 2）曲线 C1：（t为参数，t≠0），化为一般方程：y=xtanα，此中0≤α≤π，α≠；α= 时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈ R，ρ≠0），∵A，B 都在 C1上，∴ A（ 2sin α，α）， B．∴|AB|==4，当时， | AB| 获得最大值 4．【评论】此题考察了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为一般方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单一性，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修 4-5 不等式选讲24．（ 10 分）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（ 1）若 ab＞cd，则+＞+；（ 2）+＞+是| a﹣b|＜| c﹣d|的充要条件．【剖析】（1）运用不等式的性质，联合条件a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（ 2）从双方面证，①若+＞+，证得| a﹣b|＜| c﹣d|，②若| a﹣b|＜| c﹣ d| ，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）因为（+）2=a+b+2，（+ ）2=c+d+2，由 a，b，c， d 均为正数，且 a+b=c+d， ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（ 2）①若+ ＞ +，则（+ ）2＞（+ ）2，即为 a+b+2＞c+d+2，由 a+b=c+d，则 ab＞cd，于是（ a﹣b）2=（ a+b）2﹣ 4ab，（ c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（ a﹣b）2＜（ c﹣d）2，即为 | a﹣b| ＜ | c﹣d| ；②若 | a﹣b| ＜| c﹣ d| ，则（ a﹣b）2＜（ c﹣d）2，即有（ a+b）2﹣4ab＜（ c+d）2﹣4cd，由 a+b=c+d，则 ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是| a﹣b|＜| c﹣d|的充要条件．【评论】此题考察不等式的证明，主要考察不等式的性质的运用，同时考察充要条件的判断，属于基础题．。