初三数学讲义

初三数学讲义第一讲将军饮马之线段和最小值问题领跑一线考点定位知识点一轴对称性质成轴对称的两个图形全等，其对应边相等，对应角相等.知识点二“将军饮马”解决线段最值问题的实质是利用轴对称性质“化折为直”，转化为两点之间线段最短或者点到直线垂线段最短.将军饮马基础模型如图，在直线异侧两个点A 和B ，在直线上求一点P ，使得PA+PB 最短.做法：1.找出定点和动点2.找河（即动点出现两次点所在直线或线段）3.做对称（做定点的对称点）4.连线计算典例分析例1（2016 某一中滨河分校模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC思路点拨：因为AB=AC得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”，AD为底边中线，也为BC边上的高线，易得点B、点C关于AD对称.若求BP+EP最小，即求PE+PC最小值，再根据三角形三边关系得PE+PC最小值，即求线段CE的长度.解析：如图，连接PC，△AB＝AC，AD为中线，△点B、点C关于AD对称△PB＝PC，△PB+PE＝PC+PE，在△CPE中，PC+PE≥CE△PE+PC最小值为CE长度，△PB+PE最小值为CE长度，故选B.例2（2015陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD△BC，CD△BC，△ABC＝60°，AD＝8，BC＝12．如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值.思路点拨：作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC＝BN+NC′，BC′＝BN′+C′N′，△BN+NC′≥BC′，则可得到△BNC周长的最小值，即BN+NC′+BC＝BC′+BC.解析：过点A作AE△BC于E，如图所示：△AD△BC，AE△BC，△ABC＝60°，△CE＝AD＝8，△BE＝4，AE＝BE•3＝43△CC′＝2CD＝2AE＝83△BC＝12，△BC22421′BC CC+=△△BNC周长的最小值为421+12.实战演练1.如图，菱形ABCD中，AB＝2，△BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．2.如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．3.如图，菱形ABCD的边长为6，M、N分别是边BC、CD上的点，且MC=2MB，ND=2NC，点P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是________．4.如图，正方形ABCD的面积为18,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，求PD + PE的最小值.5.如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是△BAC的角平分线，E是AD上的动点，F 是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为．6.如图，正方形ABCD的边长是2，△DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．7.如图，在锐角△ABC中，AB＝√2，△BAC＝45°，△BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．8.如图，直线l外有一点D，D到l的距离为3，让腰长为2的等腰直角三角板ABC的腰AB 在直线l上滑动，则AD+DC的最小值为.9.如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠ABC=60°,E为BC上一动点, P为BD上一动点,则PE+PC最小值为_______.10.如图，矩形ABCD中，AD＝3，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD 上的动点，则AQ+QP的最小值是_______.第二讲 折叠求长度问题知识点一折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 解题步骤知识点二1. 找对应边、对应角2. 设未知数（一般设所求边或其对应相等边）3. 利用勾股定理列方程4. 计算典例分析例1.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在BC 边上，将△DCE 沿DE 折叠，使点C 恰好落在对角线BD 上的点F 处，求DE 的长．解：△四边形ABCD 为矩形，△AB ＝CD ，AD ＝BC ，△DCB ＝90°，△AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，在Rt△BCD 中，BD ＝222286AC AB +=+＝10，由于折叠△DFE ＝△DCB ＝90°，DF ＝DC ＝6，EF ＝EC ，△△BFE ＝180°−△DFE ＝90°，设EC ＝x ，则BE ＝8−x ，在Rt△BEF 中，由勾股定理得：BE2＝EF 2＋BF 2，△（8−x ）2＝x 2＋42，解得：x ＝3，即：EC ＝3，在Rt△DEC 中，由勾股定理得：DE 2＝CE 2＋DC 2，△DE ＝5363DC CE 2222=+=+例2.如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上．若AB ＝6，BC ＝9，求BF 的长．解：△将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上△BC'＝21AB ＝3，CF ＝C'F 在Rt△BC'F 中，C'F 2＝BF 2＋C'B 2，△CF 2＝（9−CF ）2＋9△CF ＝5△BF ＝41.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF △AC 于点F ，连接EC ，AF ＝3，△EFC 的周长为12，则EC 的长为（ ）A ．B ．3C ．5D ．62.（2017秋•长岭县月考）如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，AE 平分△BAC ，EF △AC 于点F ，求证：BE ＝CF ．3.（2016春•潮南区期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．4.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）5.如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若△A＝60°，AD＝6，AB＝12，则AE的长为．6.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，且AC＝8，BC＝6．点P是边AC上一动点，以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP 的长是．7.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与DC相交于G点，且OE＝OD．（1）求证：AP＝DG；（2）求AP的长度．8.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F，点B的对应点为B′．（1）证明：AE＝CF；（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长．9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求△BDE的面积．10．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△AFE△△CFD；（2）若AB＝3，BC＝6，求图中阴影部分的面积．第三讲菱形知识点：菱形定义：有一组临边相等的平行四边形叫做菱形。

第一讲 二次函数（一） 二次函数y ＝ax 2及其图象1．形如____________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a ，b ，c 是______且______≠0．画图像：y ＝x 2 y ＝-x 2 y ＝2x 2 y ＝-2x 2 y ＝3x 2 y ＝-3x 22．函数y ＝x 2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．3．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______．4．当a ＞0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．5．当a ＜0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______． 6．写出下列二次函数的a ，b ，c ． (1)23x x y -= a ＝______，b ＝______，c ＝______． (2)y ＝πx 2a ＝______，b ＝______，c ＝______． (3)105212-+=x x y a ＝______，b ＝______，c ＝______． (4)2316x y --=a ＝______，b ＝______，c ＝______．7．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______．8．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( )； (2)221x y =如图( )；(3)y ＝－x 2如图( )；(4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )； 9．已知函数,232x y -=不画图象，回答下列各题．(1)开口方向______； (2)对称轴______； (3)顶点坐标______；(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______； (5)当x ______时，y ＝0；(6)当x ______时，函数y 的最______值是______．10．看开始的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值．11．已知函数y ＝(m 2－3m )122--m m x的图象是抛物线，则函数的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______． 12．已知函数y ＝m 222+-m m x＋(m －2)x ．(1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是 ，其图象是一条______，位于第______象限．(2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是 ，其图象是一条______，位于第______象限．13．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )A ．y ＝x (x ＋1)B ．xy ＝1C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2D ．132+=x y14．下列说法中错误的是( )A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，221x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y＝－x 2的开口最大D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点（二）二次函数y ＝a (x －h )2＋k 及其图象1．已知a ≠0，(1)抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y ＝ax 2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y ＝a (x －m )2的顶点坐标为______，对称轴为______．2．若函数122)21(++-=m m x m y 是二次函数，则m ＝______．3．抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 增大而减小；当x ______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______．4．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．5．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．6．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最__7．要得到抛物线2)4(31-=x y ，可将抛物线231x y =( )A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向右平移4个单位D ．向左平移4个单位8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( ) A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2 B ．2212+=x y 与2122+=x yC ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2D ．y ＝x 2与y ＝x 2－29．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( )A ．2)5(31-=x yB ．5312--=x yC ．2)5(31+-=x yD ．2)5(31+=x y10．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x＝______时，y有最值______；当a＞0时，若x______时，y随x增大而减小．11．填表．12．一抛物线和抛物线y＝－2x的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为( )A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋313．要得到y＝－2(x＋2)2－3的图象，需将抛物线y＝－2x2作如下平移( ) A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位（三）二次函数y＝ax2＋bx＋c及其图象1．把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成y＝a(x－h)2＋k形式为______，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x＝______时，y最值＝______；当a＜0时，x______时，y随x增大而减小；x______时，y随x增大而增大．2．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为______．当x＝______时，y有最______值是______，与x轴的交点是______，与y轴的交点是______，当x______时，y随x增大而减小，当x______时，y随x增大而增大．3．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是______，它与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______．4．把二次函数y＝x2－4x＋5配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．5．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝______时，函数y有最值______，当x______时，函数y随x的增大而增大，当x＝______时，y＝0．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a＝______．7．抛物线y＝2x2先向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4．8．下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;422x xy +=③④y ＝5－2x 2，是二次函数的有( ) A ．② B ．②③④ C ．②③D ．②④9．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )A ．向下，(0，4)B ．向下，(0，－4)C ．向上，(0，4)D ．向上，(0，－4)10．抛物线x x y --=221的顶点坐标是( ) A ．)21,1(-B ．)21,1(-C ．)1,21(-D ．(1，0)11．二次函数y ＝ax 2＋x ＋1的图象必过点( )A ．(0，a )B ．(－1，－a )C ．(－1，a )D ．(0，－a )12．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．(1)将其化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式； (2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象；(5)说明其图象与抛物线y ＝x 2的关系； (6)当x 取何值时，y 随x 增大而减小； (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0； (8)当x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少? (9)当y 取何值时，－4＜x ＜0；(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；(2)若抛物线经过原点，则____________；(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________；(4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜022．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0 D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞023．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( )23 T24TA ．b ＞0，c ＞0，∆＝0B ．b ＜0，c ＞0，∆＝0C ．b ＜0，c ＜0，∆＝0D ．b ＞0，c ＞0，∆＞024．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．m ＞3C ．m ＜0D ．0＜m ＜325．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )26．函数xaby b ax y =+=221,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )27．已知抛物线y ＝x 2－3kx ＋2k ＋4．(1)k 为何值时，抛物线关于y 轴对称； (2)k 为何值时，抛物线经过原点．28．画出23212++-=x x y 的图象，并求：(1)顶点坐标与对称轴方程； (2)x 取何值时，y 随x 增大而减小? x 取何值时，y 随x 增大而增大?(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少? (4)x 取何值时，y ＞0，y ＜0，y ＝0? (5)当y 取何值时，－2≤x ≤2?29．已知函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和y 2＝mx ＋n 的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y 1＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点(0，3)． (1)求函数y 1和y 2的解析式，并画出函数示意图； (2)x 为何值时，①y 1＞y 2；②y 1＝y 2；③y 1＜y 2．30．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分；图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的是________________．(填序号)。

九年级人教版数学讲义你好！欢迎使用九年级人教版数学讲义。

下面我将详细介绍该讲义的主要内容。

一、目录九年级人教版数学讲义主要包括以下内容：第一章：实数与数轴第二章：一次函数第三章：三角形第四章：四边形第五章：圆第六章：统计初步第七章：数学思想方法二、主要内容1. 实数与数轴：本章主要介绍实数的概念和性质，以及数轴的表示方法和基本性质。

通过本章的学习，学生可以更好地理解实数与数轴上的点之间的对应关系。

2. 一次函数：本章主要介绍一次函数的概念、性质和图像，以及一次函数在生活中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握一次函数的基本思想和解题方法。

3. 三角形：本章主要介绍三角形的边角关系、三角形的分类（等腰三角形、直角三角形、一般三角形）、三角形的稳定性在实际中的应用等。

通过本章的学习，学生可以掌握三角形的基本性质和解题方法。

4. 四边形：本章主要介绍平行四边形、矩形、菱形、正方形等基本概念和性质，以及它们在实际中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握四边形的基本性质和解题方法。

5. 圆：本章主要介绍圆的基本概念、性质和定理，以及圆在实际中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握圆的性质和解题方法，并提高空间想象能力。

6. 统计初步：本章主要介绍数据的收集、整理、描述和分析方法，以及统计在生活中的应用。

通过本章的学习，学生可以掌握统计的基本思想和解题方法。

7. 数学思想方法：本章主要介绍数学思想和方法，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，以及这些思想和方法在解题中的应用。

通过本章的学习，学生可以提高数学思维能力和解题能力。

三、作业与练习九年级人教版数学讲义提供了大量的作业与练习，包括选择题、填空题、解答题等，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

学生可以通过完成这些作业与练习，加深对所学内容的理解，并提高应用所学知识解决实际问题的能力。

四、教学建议教师在教学过程中，可以根据学生的实际情况和教材内容，适当调整教学进度和难度，注重培养学生的数学思维能力和解题能力。

九年级数学知识点讲义一、整式与分式1. 整式的定义与性质定义：由常数和代数式通过加、减、乘运算组成的代数式称为整式。

性质：整式的加法、减法、乘法仍为整式。

2. 分式的定义与性质定义：形如a/b的表达式称为分式，其中a、b为整式，且b≠0。

性质：分式的乘法、除法仍为分式，分式可以约分。

二、方程与不等式1. 一元一次方程- 定义：形如ax+b=0的方程称为一元一次方程，其中a、b为已知数，x为未知数。

- 解方程的方法：同解法、异解法等。

2. 一元一次不等式- 定义：形如ax+b>0的不等式称为一元一次不等式，其中a、b为已知数，x为未知数。

- 解不等式的方法：解集的表示、图解法等。

3. 二元一次方程组- 定义：由两个未知数的一元一次方程组成的方程组称为二元一次方程组。

- 解二元一次方程组的方法：代入法、消元法等。

三、平面图形与空间图形1. 平面图形的分类与性质- 分类：点、线、线段、射线、角、多边形等。

- 性质：点是没有长度、面积和体积的；线段是有一定长度的，且有起点和终点；角是由两条射线共同确定的。

2. 平面图形的面积与周长- 面积：正方形、长方形、三角形、圆等的面积计算公式。

- 周长：正方形、长方形、三角形、圆等的周长计算公式。

3. 空间图形的分类与性质- 分类：点、线、面、体等。

- 性质：点是空间中没有长度、面积和体积的；线是有一维长度的；面是有二维面积的；体是有三维体积的。

四、函数与图像1. 函数的定义与性质- 定义：输入一个或多个数值，输出唯一一个数值的对应关系称为函数。

- 性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。

2. 平移、伸缩与反转变换- 平移：函数图像在横轴或纵轴方向上移动。

- 伸缩：函数图像在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩。

- 反转：函数图像关于横轴或纵轴进行翻转。

3. 常见函数的图像与性质- 一次函数：y=ax+b，图像为直线。

- 二次函数：y=ax^2+bx+c，图像为抛物线。