自动控制原理(数学模型)
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自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
自动控制原理第二章数学模型
) （1）方程的系数 ai ( i 0 ,1 , n )、bj ( j 0,1, m为实常数。 （2）方程左端导数阶次高于方程右端。这是由于系统中含有 质量、惯性或滞后的储能元件。（n大于等于m）。 （3）方程两端各项的量纲是一致的。
相似系统——任何系统，只要他们的微分方程具有相同的形式 就是相似系统。在微分方程中占据相同位置的物 理量叫做相似量。
'
df x0 x kx ， 可得 y dx
简记为 y=kx
若非线性函数由两个自变量，如 y＝f（x1, x2）， 则在平衡点处可展成
f ( x10 , x20 ) f ( x10 , x20 ) y f ( x1 , x2 ) f ( x10 , x20 ) [ ( x1 x10 ) ( x2 x20 )] x1 x2 f ( x10 , x20 ) 1 2 f ( x10 , x20 ) 2 [ ( x x ) 2 ( x x10 )(x x20 ) 1 10 2 2! x1x2 x1 2 f ( x10 , x20 ) 2 ( x x ) ] 2 20 2 x2
dt
d 2 (t )
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§2.3 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
返回子目录
§2.3 非线性微分方程的线性化
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有 诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必 非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或 小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直 线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x) 在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开
自动控制原理课件：线性系统的数学模型
式中
L1——信号流图中所有不同回环的传输之和；
L2——所有两个互不接触回环传输的乘积之和；
L3——所有三个互不接触回环传输的乘积之和；
……………
Lm——所有m个互不接触回环传输的乘积之和；
26
梅逊公式：信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式.
1 n
G ( s ) Pk k
1. 确定系统的输入量和输出量；
2. 根据物理或化学定理列出描述系统运动规律的一组
微分方程；
3. 消去中间变量，最后求出描述系统输入与输出关系
的微分方程---数学模型。
如微分方程为线性，且其各项系数均为常数，则称为
线性定常系统的数学模型。
例2.1 如图所示为一RC网络，图中外加输入电压ui，电容电压
L 0
1
2
1
1
2
2
2
1 L1 1 G2 (s)H1 (s) G1 (s)G2 (s)H2 (s)
1 1
2 1
G1 ( s )G2 ( s ) G3 ( s )G2 ( s )
C (s)
R( s ) 1 G2 ( s ) H1 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) H 2 ( s )
duc (t )
RC
uc (t ) ui (t )
dt
设初始状态为零，对方程两边求拉普拉斯变换，得
U c (s)
1
G (s)
U i ( s ) RCs 1
典型环节的传递函数
b0 s m b1s m1 bm1s bm
G( s)
a0 s n a1s n1 an1s an
L1——信号流图中所有不同回环的传输之和；
L2——所有两个互不接触回环传输的乘积之和；
L3——所有三个互不接触回环传输的乘积之和；
……………
Lm——所有m个互不接触回环传输的乘积之和；
26
梅逊公式：信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式.
1 n
G ( s ) Pk k
1. 确定系统的输入量和输出量；
2. 根据物理或化学定理列出描述系统运动规律的一组
微分方程；
3. 消去中间变量，最后求出描述系统输入与输出关系
的微分方程---数学模型。
如微分方程为线性，且其各项系数均为常数，则称为
线性定常系统的数学模型。
例2.1 如图所示为一RC网络，图中外加输入电压ui，电容电压
L 0
1
2
1
1
2
2
2
1 L1 1 G2 (s)H1 (s) G1 (s)G2 (s)H2 (s)
1 1
2 1
G1 ( s )G2 ( s ) G3 ( s )G2 ( s )
C (s)
R( s ) 1 G2 ( s ) H1 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) H 2 ( s )
duc (t )
RC
uc (t ) ui (t )
dt
设初始状态为零，对方程两边求拉普拉斯变换，得
U c (s)
1
G (s)
U i ( s ) RCs 1
典型环节的传递函数
b0 s m b1s m1 bm1s bm
G( s)
a0 s n a1s n1 an1s an
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型可编辑全文
下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
自动控制原理 第2章数学模型
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件 都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
自动控制原理 2-数学模型..
B( s) br [ ( s p1 )r ]s p1 A( s)
br j
br 1
d B( s) { [ ( s p1 )r ]}s p1 ds A( s)
1 d j B( s ) { j[ ( s p1 )r ]}s p1 j ! ds A( s )
1 d r 1 B( s ) b1 { r 1 [ ( s p1 )r ]}s p1 ( r 1)! ds A( s )
M
fm
解： 假设初始状态 (t ) 0 在平衡位置，扭矩 M (t )
应与阻力矩总和平衡，即 牛顿定律
M1 M 2 M 3 M
（ ）
d 2 (t ) M1 J dt 2 d (t ) M 2 fm dt
式中，M1——惯性体所产生的阻力矩，为 M2——阻尼器所产生的阻尼力矩，为
其余各极点的留数确定方法与上同。
对于三阶以下的系统也可以用待定系数法 （解方程）
例1 设线性微分方程为
d y( t ) dy( t ) 3 2 y( t ) 5u( t ) 2 dt dt
2
L[
df ( t ) ] sF ( s ) f (0) dt
d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0) f ' (0) 2 dt
mx( t ) fx( t ) kx( t ) F ( t )
例2. RLC电路。分析在输入电压ur(t)作用下，电容上 电压uc(t)的变化。 R L ur(t) i(t) C uc(t)
解： 设中间变量为 i(t)，ur(t) 、uc(t)分别为 输 入、输出变量。 依据：电学中的基尔霍夫定律
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Tm m m K m ur
Tmm m K m ur
Tm J m R /( R fm ce cm K m cm /( R fm ce cm )
)
电机时间常数 电机传递系数
例4 X-Y 记录仪
反馈口： u ur up 放大器： u K1u 电动机： Tmm m Kmu 减速器： 2 K3m 绳 轮： L K32 电 桥： up K4L
证明：左 e At f (t ) etsdt f (t ) e(s A)tdt
0
0
令 sA s
f (t ) estdt F (s) F(s A) 右 0
例7 例8
L
L
e at
e-3t
L
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证明：左
f t estdt
estdf t
e-st f
t
0
f t dest
0
0
0
0-f 0 s f testdt sF s f 0 右
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
线性定常系统微分方程的一般形式
d nc(t)
d n1c(t)
dc(t )
an dt n an1 dt n1 ... a1 dt a0c(t )
t0
（4）实位移定理
L f (t 0 ) eτ0s F(s)
证明：
左
0
f
(t
0 ) etsdt
令 t 0
f ( ) es( 0 )d e0s f ( ) e sd 右
0
0
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
ss2
cos5(t
π 15
2
s2 s2 2
)
52
（6）初值定理 lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0) 0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
0 t 0
例6 f t 1 0 t a , 求F(s)
0 t a
解. f (t) 1(t) 1(t a)
L
f
(t)
L1(t ) 1(t
a)
1 s
e as
1 s
1 e as s
（5）复位移定理 L e At f (t) F (s A)
h0
Qr 0 S
上两式相减可得线性化方程
dh
1
dt
2S
h0 h S Qr
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
三、拉普拉斯变换
定义： L[ f (t )] F (s) f (t ) etsdt 0
F(s) 像
f
(t
)
原像
1 常见函数的拉氏变换
1 t 0 （1）阶跃函数 f (t) 0 t 0
第二章 控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程 复域模型 — 传递函数
• §2.1 引言 • §2.2 控制系统的数学模型—微分方程
• §2.3 控制系统的复域模型—传递函数
• §2.4 控制系统的结构图及其等效变换
§2.1 引言
•数学模型
数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的 数学表达式。在静态时（即可变量的导数为零），描述变 量之间关系的代数方程，叫静态方程式。
0 初条件 n>m
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
uc (t )
d 2uc (t ) dt 2
R L
duc (t ) dt
1 LC
uc (t )
1 LC
ur (t)
例2 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K1( xi xm )
B :
Fm f ( x m x o )
0
f nt snF s sn-1 f 0 sn-2 f 0 sf n-2 0 f n1 0
0初条件下有： L f nt snF s
例2 求 L (t) ?
解. t 1t
s
lim s
s
1 s2
0
（7）终值定理 lim f (t) lim s F(s) （终值确实存在时）
t
s0
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0) 0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
1 s
1
Y (s) s(s2 a1s a2 )
L-1变换 yt L1 Y (s)
用L变换方法解线性常微分方程
anc (n) an1c (n1) ... a1c a0c bm r (m ) bm 1r (m 1) ... b1r b0 r
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
dh
1
h
h0
dt
|h0 h
h0 2
h h0
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
d (h0 h) (
dt
S
Hale Waihona Puke h021 h0
h)
1 S
(Qr 0
Qr )
dh0 dt S
L1t
1 estdt
0
1 s
e st
0
1 0 1
s
1 s
（2）指数函数 f (t ) eat
L[ f (t )] eat estdt esatdt
0
0
1 sa
e (sa)t
0
1 (01) sa
消去中间变量可得：
L 1 Tm
L
K1K2K3K4Km Tm
L
K1K2K3K4Km Tm
ur
获得微分方程的步骤
1.根据各元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定输入、输 出。
2.根据元件的工作原理，列出相应的微分方程。 3.消去中间变量，得到输出、输入之间关系的微分方程。
控制系统微分方程的建立： 控制系统的微分方程和前面没有什么区别，但是 一般来说控制由许多子系统组成： 1.一级一级传送； 2.前后两个连接的两个元件中，后级对前级有否负载效应。
Lδt L1t s 1 δ 0 1 0 1 s
例3 求 Lcos( t) ?
解. cos t 1 sin t
Lcos t 1
Lsin t
1
s
s2
2
s
s2 2
（3）积分定理
cos
1t
5t
e at
s2
1 1
s ssa s
s
52 ss3
a
s
s3 3 2
52
例9
Le
2t cos
- π s e 15
( 5t
s 2
s
π 3
52
)
Le
2t
π s
e 15
s0 0 dt
s0
左 df (t) limestdt 0 dt s0
t
df (t) lim df (t)
0
t 0
lim f (t) f (0) 右 lims F(s) f (0)
t
s0
例11 F (s)
1
s(s a)( s b)
1 sa
（3）正弦函数
0 f(t) sinωt
t0 t 0
L
f(t)
sin t estdt
1
e jt e jt est dt
0
0 2j
1
e -(s-j)t e(s j)t dt
0 2j
1 2j
d mr(t)
d m1r(t)
dr (t )
bm dt m bm1 dt m1 ... b1 dt b0r(t )