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1月17日复华七年级数学实数12.1 实数的概念一、引入 数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。
分类： 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数：)0,(≠q q p qp都是整数，且 质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。
这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。
由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。
追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3：2是有理数吗？ 因为：有理数=分数)0,(≠q q p qp都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。
问题4：无限不循环小数还有吗？Π是有理数码？ 二、归纳1．无理数（1）无限不循环小数叫做无理数。
（2）无理数包括正无理数和负无理数。
（3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。
2．实数（1）有理数和无理数统称为实数。
(2)实数可以这样分类：正有理数有理数 零 ——有限小数或无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 ——无限不循环小数负无理数三、练习1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、722、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜； 正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜； 非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式)2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。
学科教师辅导讲义学员学校：年级：初一课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题实数全章复习授课时间：备课时间：教学目标1、理解实数的分类，了解无理数的概念2、会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较.3、理解平方根、算术平方根和立方根等概念会求一个数的平方根和立方根4、掌握实数间的运算法则，会计算简单的实数运算。
重点及难点1、理解平方根、算术平方根和立方根等概念会求一个数的平方根和立方根2、掌握实数间的运算法则，会计算简单的实数运算。
教学内容知识精讲一、主要知识点：注意：(1)实数还可按正数，零，负数分类．(2)整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n (n 为整数)表示；奇数一般用2n -1或2n +1(n 为整数)表示．(3)正数和零常称为非负数．1.1.2平方根、算术平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)，即如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．正数a 的平方根，记作：a ±．正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作：a ．正数和零的算术平方根都只有一个．零的算术平方根是零．⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a注意：a 的“双重非负性” ：⎩⎨⎧≥≥．，00a a1.1.3立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根(或叫做a 的三次方根)，即如果a x =3，那么x 就叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面．例题精讲（一）、有理数无理数的判别：1. 在-1.732，2，π， 3.41 ，2+3，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为( ). A.5 B.2 C.3 D.4（二）、算术平方根、平方根、立方根的概念：1. 若1-m 与3m+1是同一个数的平方根，则这个数可能是2.一个正数x 的平方根为2a-3和5-a ，则x=．巩固练习1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ；2、8的立方根是 ；327-＝ ；3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是4、23的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。
《实数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0；（3().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算： ⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数2a 0≥0a ≥数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列各式正确的是（ ）A 7=-B 3=±C =D 4=【答案】D举一反三：【变式】如果m 有算术平方根，那么m 一定是（ ）A ．正数B ．0C ．非负数D ．非正数【答案】C2、观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1=1.414=14.14==0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2=2.2367.071= ，= ；（3=1=10=100…小数点变化的规律是： ．（4=2.154=4.642= ，= ．【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642类型二、与实数有关的问题 3、．把下列各数填入相应的集合中： 3.14，-2π，-917，3100-， 0 ，1.212212221… ，3，0.151151115 无理数集合{ … }；有理数集合{ … }；非正数集合{ … }． 【详解】由立方根的性质得：31000-<，无理数集合{-2π， 1.212212221…，…}；有理数集合{3.14，0，0.151151115，… }；非正数集合{-2π，0，… }；举一反三：【变式】在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；类型三、与实数有关计算4、计算：（1）⎛- ⎝； （2|1--【答案】（1；（2）12-解：（1）⎛ ⎝=；（2|1--=914+-=12-举一反三：【变式】计算：（1）83237⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭． （2（3）221(12)332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭．【答案】（1）67；（2）4；（3）-11．解：（1）83237⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭ =827-+ =67；（2+=-2+6=4；（3）221(12)332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭ =1(12)96-⨯-=-2-9=-11．5、已知：（a+6）2+=0，则2b 2﹣4b ﹣a 的值为 ．【答案】12．解：∵（a+6）2+=0，∵a+6=0，b 2﹣2b ﹣3=0，解得，a=﹣6，b 2﹣2b=3，可得2b 2﹣4b=6，则2b 2﹣4b ﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为：12．举一反三：【变式1】实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简＋∣a －b ∣＝ .【答案】2a-1a 解：∵a ＜0＜b ,∴a －b ＜0 ∴＋∣a －b ∣＝－a －(a －b )＝b －2a .【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；【答案】； 类型四、实数综合应用6、小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式343V r π=，r 为球的半径．） 【答案】3cm ．【分析】设球的半径为r ，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．解：设球的半径为r ，小水桶的直径为12cm ，水面下降了1cm ， ∴小水桶的半径为6cm ，∴下降的水的体积是π×62×1=36π(cm 3)，即34363r ππ=，解得：327r =，3r =，答：铅球的半径是3cm ．举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863m ，池深1.5m ，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为x ，由题意得答：这个水池的底边长为18m .2a a 2,1,,a a a a -21a a a a <<<-2 1.5486x ⨯=2324x =18x =。
有理数和无理数一、知识梳理：知识点一、有理数和无理数的分类：1、按照有理数和无理数分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 2、按照正数和负数分类：3、无理数：无限不循环小数叫无理数，初中遇到的无理数有四种。
eg ：①含有π的，②根号开不尽的，③无限不循环小数④ 部分三角函数例1、下列各数是正数还是负数？是有理数还是无理数？-7.5，0，4，32，38，2，4π，51.0&，-3.2，2013，3.1415926， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅3.141592，⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.131313，2.345，1.121121112…，有理数_____________…，无理数_____________…正实数,_____________…负数_____________… 【变式练习】：在实数4π,271,4227,64,12,49,0,....1234325.0,23,43----π中，共有____个无理数 知识点二、实数中的几个概念：①数轴（三要素）任何实数都可以在数轴上表示； 作用：表示数的位置；比较数的大小例1、比较41,31,21---的大小关系：__________________例2、已知2,,1,10x x xx x ，那么在<<中，最大的数是___________例3、实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图1所示，化简：（1） b a a c --+ •-2 -1 0 12 a 图13••bc（2）b c c b c ---+23【变式练习】：1、已知的大小顺序是，则2,,1,01x x xx x <<-___________2、实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ）①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab > ②相反数与倒数（字母a 、b 不单单表示一个数，也可以是单项式，也可以是多项式）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 ； a 和b 互为倒数⇔1=ab例1、已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是1，求2m cd mba +-+的值；③绝对值（几何意义：这个数的点到原点的距离，强调三种非负性。
4.科学计算器的应用
例9.用计算器计算2116.0的按键顺序是______,结果等于_____. 六．复习时需要强调和注意的问题
1．平方根与算术平方根的联系和区别：
(1)联系：只有非负数有平方根和算术平方根．0的平方根，算术平方根都为0．
(2)区别：正数的平方根有两个，互为相反数，正数的算术平方根只有一个，用a表示一个正数，其平方根为a?，其算术平方根为a(a为正数)
(3)当0a?时，0a?；0a?时，a无意义
2．平方根与立方根的性质：
3．无理数是无限不循环小数，一般来说开方开不尽的数，如2,3等都是无理数，但是并不是所有的无理数都可以写成根号的形式，如π就是一个特例．
4．在实数范围内，对于非负数是可以开平方的，但负数开平方是没有意义的．
5．实数的分类
例1判断题：
(1)16的平方根是4?( )
(2)25?是425的平方根( )
(3)25?是425的平方根( ) (4)425的平方根是25?( )。
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
实数知识点一（平方根和立方根） 【知识梳理】1．一般的，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0．2．一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这就是说，如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根，a 的平方根记为a ±．3．求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．4．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．5．一般的，如果_一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，a 的立方根记为3a ．6．求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方．7．正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0． 8．一般的，=-3a 3a -．【例题精讲】题型1：平方根、算术平方根、立方根的概念 例1：25111的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 125的立方根是______；81-的立方根是______．例2：判断正误（1）3是9的算术平方根．（ ） （2）3是9的一个平方根．（ ） （3）9的平方根是－3．（ ） （4）（－4）2没有平方根．（ ） （5）－42的平方根是2和－2．（ ） （6）6427的立方根是43±．（ ） （7）有理数一定有立方根．（ ）例3：下列说法中正确的是（ ）A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数题型2：计算例1： 计算：（1）=121______；（2）=-256______；（3）=±212______；（4）=43______；（5）=-2)3(______；（6）=-412______． （7）=3064.0______； （8）=3216______；（9）=-33)2(______；（10）=364611______ 例2：求下列各式的值：（1）325 （2）3681+ （3）25.004.0- （4）121436.0⋅（5）327102-- （6）3235411+⨯ （7）3231)3(27---+-例3：求下列各数中的x 值⑴225x = ⑵2810x -= ⑶2449x = ⑷225360x -=⑸3512x = ⑹3641250x -= ⑺()31216x -=-题型3：实际应用例1：要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？例2：要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？例3：已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．【课堂练习】一、选择题1. ）．Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4． 2.下列说法正确的是（ ）A 、64-的立方根是4±；B 、64-的平方根是8-；C 、8的立方根是2±；D 、27-的立方根是3-。
1、 七年级数学讲义一：实 数姓名【知识梳理】实数的分类无理数数轴上的点与实数一一对应右边的点表示的数比左边的大数轴上两点之间的距离b a AB -=实数的运算 分数指数幂已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32⨯-•π25， 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）.（1）按要求填空：无理数有______________________________,有理数有______________________________，整数有________________________________.分数有______________________________,（2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置.（3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）例题2 平方根.立方根,n 次方根的概念填空：（1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______；（3）64=______； （4）32的五次方根是______；（5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______；（7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．2．的算术平方根是________．3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________．4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________．5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________．6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______，7．当a ________时，1-a 有意义．8、 求下列各式的值．（138-= （2）327= （3）30.125-=（4）33(0.001)--= （53512= （6）32764--= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169=9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数例题3 概念辨析：下列等式是否正确改错。
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。
简单来说，实数就是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）以及分数（正分数、负分数），都属于有理数。
例如3、－5、0、1/2 等等。
而无理数呢，则是无限不循环小数。
比如大家熟知的圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356 这些数都是无理数。
二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。
如果按照符号来分，可以分为正实数、零、负实数。
正实数，就是大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数，是小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
零，既不是正实数，也不是负实数。
从另一个角度，如果按照是否为有理数来分，实数就分为有理数和无理数。
有理数又可以进一步细分为整数和分数。
整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b，在三种关系中，有且仅有一种成立：a ＜ b，a ＝ b，a ＞ b。
2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的，也就是说，在任意两个不同的实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。
3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算（除数不为 0），其结果仍然是实数。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：a × b ＝ b × a乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)乘法分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，其定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。
绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。
四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
七年级第六章实数知识点实数是数学中的基础概念之一，也是数学中最基本的知识点之一。
本文将介绍七年级第六章实数的知识点，包括实数的定义、实数的分类、实数的运算、实数的性质等方面。
一、实数的定义实数是指所有有理数和无理数的总称，是数学中最基本的数量类型之一。
实数包括整数、分数、小数、无限不循环小数和无限循环小数。
二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是指可以表示成两个整数的比的数，包括正整数、负整数、正分数和负分数。
无理数是指不能表示为两个整数的比的数，无限不循环小数和无限循环小数都是无理数。
三、实数的运算实数可以进行加、减、乘、除四则运算。
具体的运算规则如下：1.加法：两个实数相加，其和仍是一个实数。
2.减法：两个实数相减，其差仍是一个实数。
3.乘法：两个实数相乘，其积仍是一个实数。
4.除法：两个实数相除，其商仍是一个实数。
四、实数的性质实数具有以下性质：1.交换律：实数加法和乘法具有交换律，即a+b=b+a，ab=ba。
2.结合律：实数加法和乘法具有结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)。
3.分配律：实数乘法对加法具有分配律，即a(b+c)=ab+ac。
4.存在相反数：对于任意实数a，存在它的相反数-b，使得a+b=0。
5.存在倒数：对于任意非零实数a，存在倒数1/a，使得a×(1/a)=1。
6.存在无限接近的实数：对于任意实数a和正数ε，总存在一个实数b，使得|a-b|<ε。
综上所述，实数是数学中最基本的知识点之一。
了解实数的定义、分类、运算和性质对于学好数学非常重要。
我们希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地掌握实数的知识。
可编写可更正《实数》全章复习与牢固（基础）1. 认识算术平方根、平方根、立方根的看法，会用根号表示数的平方根、立方根.2. 认识开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.认识无理数和实数的看法，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；认识数的范围由有理数扩大为实数后，看法、运算等的一致性及其发展变化. 4. 能用有理数预计一个无理数的大体范围.【知识网络】【重点梳理】重点一、平方根和立方根种类平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a 3 a一个正数有两个平方根，且互为一个正数有一个正的立方根；性质相反数；一个负数有一个负的立方根；零的平方根为零；零的立方根是零；数没有平方根；( a ) 2a( a 0)(3 a ) 3a重要a 2a(a0)3a3aaa( a0)3a 3 a重点二、 n 次方根假如一个数的 n 次方（ n 是大于1的整数）等于 a ，那么个数叫做 a 的 n 次方根.当 n奇数，个数 a 的奇次方根；当n 偶数，个数 a 的偶次方根.求一个数 a 的n 次方根的运算叫做开n 次方， a 叫做被开方数，n 叫做根指数.数 a 的奇次方根有且只有一个，正数 a 的偶次方根有两个，它互相反数；数的偶次方根不存在. ；零的n次方根等于零 .重点三、数有理数和无理数称数．1.数的分重点：（ 1）全部的数分成三：有限小数，无穷循小数，无穷不循小数．其中有限小数和无穷循小数称有理数，无穷不循小数叫做无理数．（ 2）无理数分成三：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特别意的数，如π；③有特定构的数，如⋯（3）凡能写成无穷不循小数的数都是无理数，而且无理数不可以写成分数形式 .2.数与数上的点一一.数上的任何一个点都一个数，反之任何一个数都能在数上找到一个点与之.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有以下三种形式：（ 1）任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a | ≥ 0；（ 2）任何一个实数 a 的平方是非负数，即a2≥0；3a 0( a 0 ).（）任何非负数的算术平方根是非负数，即非负数拥有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和还是非负数；（3）几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0.4.实数的运算：数 a 的相反数是－ a ；一个正实数的绝对值是它自己；一个负实数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是0.有理数的运算法规和运算律在实数范围内依旧成立. 实数混杂运算的运算序次：先乘方、开方、再乘除，最后算加减. 同级运算按从左到右序次进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法规在实数范围内依旧成立.法规 1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右侧的数总比左侧的数大；法规 2．正数大于0， 0 大于负数，正数大于全部负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法规 3.两个数比较大小常有的方法有：求差法，求商法，倒数法，估量法，平方法.重点四、近似数及有效数字1. 近似数：完整吻合实质地表示一个量多少的数叫做正确数；与正确数达到必定凑近程度的数叫做近似数.2. 精确度：近似数与正确数的凑近程度即近似程度. 对近似程度的要求叫做精确度.重点讲解：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．可编写可更正3. 有效数字：从一个数的左侧第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的全部的数字都是这个数的有效数字，如的有效数字有三个：2， 0， 8．重点五、分数指数幂n a mm1ma n a 0 ， a n a0 ，此中m、n为正整数， n 1 .n a mm m上边规定中的 a n和 a n 叫做分数指数幂， a 是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.重点讲解：设 a 0， b0， p、 q 为有理数，那么（ 1）a p a q a p q， a p a q a p q.（ 2）a p qa pq.pp p（ 3）ab a p b p，aa .b b p【典型例题】种类一、有关方根的问题1、以下命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根必定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④假如一个数的算术平方根是这个数自己，那么这个数是1或 0；⑤假如一个数的立方根是这个数自己，那么这个数是 1 或 0 ，此中错误的有（）个个个个【答案】 B；【分析】①负数有立方根；②0 的平方根是0；⑤立方根是自己的数有0，± 1.【总结升华】掌握平方根和立方根的定义是解题重点.贯穿交融：【变式 1】以下运算正确的选项是（）A．42B．235C．382D．| 2|2【答案】 C；可编写可更正【变式 2】243的 5 次方根是＝ _________. 10243【答案】；42、若102.01 10.1 ，则± 1.0201 ＝若30.7160 ，3 1.542 ，则3367 _____________【答案】±；；【分析】向左挪动 2 位变为，它的平方根向左挪动 1 位，变为，注意符号；向右挪动 3 位变成 367，它的立方根向右挪动 1 位，变为【总结升华】一个数向左挪动 2 位，它的平方根向左挪动 1 位；一个数向右挪动 3 位，它的立方根向右挪动 1 位.种类二、与实数有关的问题3、把以下各数填入相应的会集：－1、3、π、－、9 、 6 2 、2、．2（ 1）有理数会集｛｝；（ 2）无理数会集｛｝；（ 3）正实数会集｛｝；（ 4）负实数会集｛｝．【思路点拨】第一把能化简的数都化简，而后比较看法填到对应的括号里.【答案与分析】（ 1）有理数会集｛－1、－、9、｝；（ 2）无理数会集｛ 3 、π、6 2 、2｝；2（ 3）正实数会集｛ 3 、π、9、62、｝；（ 4）负实数会集｛－ 1、－、2｝．2【总结升华】有理数是有限小数和无穷循环小数，无理数是无穷不循环小数. 总结常有的无理数形式 .贯穿交融：【变式】（ 2015? 绥化）在实数 0、π、、 、﹣ 中，无理数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 B ；34、计算（ 1） 3 216 3 1000( 2 ) 2 （ 2）3 （3） (1)235)( 1(11)39 3261 (1 5)2274【思路点拨】 先逐一化简后，再依据计算法规进行计算.【答案与分析】解：（ 1） 3 21631000( 2)2＝6 10 2162333326 1(15)2＝32（ 2）1 1 1 1 127427 4 3 4 121 2 35 1 1 42 18 1 2 13（3）()(1 )(1) ＝3333 273 3.39 39 3【总结升华】 依据开立方和立方， 开平方和平方互逆运算的关系，可以经过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.贯穿交融：【变式】计算 (1) 326 13327(2)2 3(4)2 3( 4)3 ( 1 )2( 3)22【答案】解： (1)26 1 33327312729 1501(2)2 3( 4) 23( 4)3 ( )2 ( 3)2128 44 3432 1 3 36 .225、（ 2015? 资阳）已知：（ a+6） +=0，则 2b ﹣ 4b ﹣ a 的值为．【答案】 12．【分析】解：∵（ a+6） 2+=0，∴ a +6=0， b 2﹣ 2b ﹣ 3=0，2解得， a=﹣6， b ﹣ 2b=3，可得 2b 2﹣ 4b=6，则 2b 2﹣ 4b ﹣ a=6﹣（﹣ 6） =12，故答案为： 12．【总结升华】 本题主要观察了非负数的性质，初中阶段有三各种类的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根） ．当它们相加和为 0 时，一定满足此中的每一项都等于0．贯穿交融：【变式 1】实数 a 、 b 在数轴上所对应的点的地点以以下图：化简 a 2 ＋∣ a － b ∣＝.【答案】解：∵ a ＜ 0＜ b ,∴ a － b ＜ 0∴ a 2 ＋∣ a － b ∣＝－ a － ( a － b ) ＝ b － 2 a .【变式 2】实数 a 在数轴上的地点以以下图， 则 a, a, 1, a 2的大小关系是：；a-1 a 0可编写可更正【答案】1a a2 a ；a6、用四舍五入法，按括号中的要求把以下各数取近似数.(1)( 精确到；(2)( 精确到千分位) ；(3)( 精确到个位 ) ；【答案与分析】解：（ 1）≈；（2）(2)≈；（3）≈ 64.【总结升华】从一个数的左侧第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的全部的数字都是这个数的有效数字.近似数末位的0 不可以随意去掉，去掉了就会改变它的精确度.7、把以下方根化为幂的形式：（1）315；（2）473；（3）1；（4）51. 83【答案与分析】1解：（ 1）31515 3；4 733（ 2）74；11（ 3）8 2；8111153 5.（4）533n a m m【总结升华】 a n a 0 ，此中m、n为正整数， n 1 .种类三、实数综合应用8、现有一面积为150 平方米的正方形鱼池，为了增添养鱼量，欲把鱼池的边长增添6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留 4 个有效数字）可编写可更正【答案与分析】解：由于原正方形鱼池的面积为150 平方米，依据面积公式，它的边长为（米）．由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（＋6）米，因此扩建后鱼池的面积为18.247 2≈（平方米）．答：扩建后的鱼池的面积约为（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150 平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增添的 6 米，故新鱼池面积可求．贯穿交融：【变式】一个底为正方形的水池的容积是486 m3，池深m，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为x ，由题意得x2486x2324x18答：这个水池的底边长为18 m .。
初一数学知识点第六章 实数 知识点归纳一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（3）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； 3. 实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、 无限小数是有理数（×） 无限小数是无理数（×）有理数是无限小数（×） 无理数是无限小数（√）数轴上的点都可以用有理数表示（×） 有理数都可以由数轴上的点表示（√）数轴上的点都可以用无理数表示（×） 无理数都可以由数轴上的点表示（√）数轴上的点都可以用实数表示（√） 实数都可以由数轴上的点表示（√）三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
教育学科教师辅导讲义根据定义，巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例题 1： 已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.巩固： 若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.巧解方程例2： 解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 （3）27)3(83=--x巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例1 、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.巩固①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
②已知互为相反数，求a ，b 的值§3 .2 实数一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
关于数系扩张后与有理数的知识链接1 关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．2．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、等．3.实数的大小比较 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根的区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
