电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)
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工程电磁场数值分析(有限元法)
b0
1 2 3 4 5 6
N 0 fd
三角形单元内的基函数
设三角形三个顶点处待求函数值 分别为u1, u2, u3。如果单元足够小， 可以采用线性近似，将单元内任 意p点的u(x,y)表示为
u ( x, y ) a bx cy
代入三个顶点的坐标，可以解出a、 b、c。得到
3 ( x, y) 1 ( x, y) 2 ( x, y) u( x, y) u1 u2 u3
1 1 x1 2 y1
1 1 1 x 2 y 1 1 2 x1 2 y1
1 x2 y2
1 x2 y2 1 x y
1 x3 y3
1 x3 y3 1 x3 y3 1 1 3 x1 2 y1
第4章 电磁场有限元法（FEM）
1. 有限元的基本原理与实施步骤 2. 有限元方程组的求解 3. 前处理与后处理技术 4. 渐近边界条件 5. 矢量有限元法 6. 求解运动导体涡流问题的迎风有限元法
1. 有限元法的基本原理与实施步骤
有限元法的数学基础是加权余量法，基本思想：
考虑算子方程
L(u ) f
n i 1
用 u 作为该方程的近似解（试探解）： u ii
代入方程得余量：
R L(u ) f
在有限元法中，基函数一般用 {Ni , i 1, 2, , n} 表示。 采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交
化：
( Ni , R) Ni [ L(u ) f ] d 0
工程电磁场数值分析
（有限元法）
华中科技大学电机与控制工程系
陈德智
2007.12
第4章 电磁场有限元法 （Finite Element Method, FEM）
FEM_有限元法 PPT
优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限 元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质 变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不 受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒 质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独 处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意， 通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选 取，可以充分保证所需的数值计算精度。
❖ 应用范围
广泛地被应用于各种结构工程 成功地用来解决其他工程领域中的问题
➢热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、 机械零件强度分析、电磁工程问题等等
有限元法
❖ Finite Element Method的缩写，有限单元法，其实际应用 中往往被称为有限元分析（FEA），是一个数值方法解偏微 分方程。FEM是一种高效能、常用的计算方法，它将连续体 离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力 学问题。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的， 所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各 类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。 自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法 中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元 方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类 物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联 系．
❖ FEM是应用于现代复杂机械结构优化设计的非常重要的计算 机辅助分析方法。FEM早期主要应用于航空航天制造、船舶 工业及高端军事领域 。
方法运用的基本步骤
❖ 基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
❖ 步骤1：剖分 ❖ 将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素பைடு நூலகம்单
元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元 或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元 的顶点称为节点（或结点）。
❖ 应用范围
广泛地被应用于各种结构工程 成功地用来解决其他工程领域中的问题
➢热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、 机械零件强度分析、电磁工程问题等等
有限元法
❖ Finite Element Method的缩写，有限单元法，其实际应用 中往往被称为有限元分析（FEA），是一个数值方法解偏微 分方程。FEM是一种高效能、常用的计算方法，它将连续体 离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力 学问题。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的， 所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各 类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。 自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法 中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元 方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类 物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联 系．
❖ FEM是应用于现代复杂机械结构优化设计的非常重要的计算 机辅助分析方法。FEM早期主要应用于航空航天制造、船舶 工业及高端军事领域 。
方法运用的基本步骤
❖ 基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
❖ 步骤1：剖分 ❖ 将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素பைடு நூலகம்单
元）的形状原则上是任意的．二维问题一般采用三角形单元 或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等．每个单元 的顶点称为节点（或结点）。
有限元法介绍
通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。
这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。
有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。
由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。
有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。
事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。
理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。
为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。
有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。
大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。
有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。
电磁场有限元Matlab解法
nel=n1;
%总网格数
%******************定义各个单元的常量和矩阵************************ K=zeros(ndm,ndm); %定义 K 矩阵 Ke=zeros(3,3); %单元 Ke 矩阵 s=0.5/(Jmax*Jmax); %单元面积 b=zeros(ndm,1); %b 矩阵 be=1:3; %单元 be 矩阵 eps=1:nel; rho=1:nel; %定义 ε 和 ρ 数组 for n=1:2*Jmax*Imax %定义上下两部分的 ε 和 ρ 值，,两部分的 ε 分别 为 9 和 1，ρ 都为 0 eps(n)=eps1; rho(n)=rho1; end for n=2*Jmax*Imax+1:nel eps(n)=eps2; rho(n)=rho2; end %****************计算系统的[K][b]矩阵************************* for n=1:nel for i=1:3 n1=NE(1,n); n2=NE(2,n); n3=NE(3,n); %给每个单元的点进行编号 bn(1)=Y(n2) - Y(n3); bn(2)=Y(n3) - Y(n1); bn(3)=Y(n1) - Y(n2); cn(1)=X(n3) - X(n2); cn(2)=X(n1) - X(n3); cn(3)=X(n2) - X(n1); for j=1:3 Ke(i,j)=eps(n)*(bn(i)*bn(j)+cn(i)*cn(j))/(4*s); be(i)=s*rho(n)/3; %计算每个单元的 Ke 和 be 矩阵 end end for i=1:3 for j=1:3 K(NE(i,n),NE(j,n))=K(NE(i,n),NE(j,n))+Ke(i,j); b(NE(i,n))=b(NE(i,n))+be(i); %把 Ke 和 be 分别相加求总矩阵 end end end
有限元法(FEM)简介
EA ( − cosθ sin θ u1 − sin 2 θ v1 + cosθ sin θ u2 + sin 2 θ v2 ) + EA ( v2 − v3 ) l1 l2
节点3的x方向 节点3的y方向
Fx 3 = Rx23 = 0 EA 2 Fy 3 = Ry 3 = ( −v2 + v3 ) l2
u12=1，u11= v11= v12= 0
EA R = k13 = − cos 2 θ l1
1 x1
v12=1，u11= v11= u12= 0
R11 = k14 = − x R11 = k24 = − y
1 Rx 2 = k34 =
EA cos θ sin θ l1 EA 2 sin θ l1
EA R = k23 = − cos θ sin θ l1
写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
EA ( cosθ sin θ u1 + sin 2 θ v1 − cosθ sin θ u2 − sin 2 v2 ) l1
EA ( − cos2 θ u1 − cosθ sin θ v1 + cos2 θ u2 + cosθ sin θ v2 ) l1
节点2的y方向
2 Fy 2 = R1 2 + Ry 2 = y
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM偏微分方程数值模拟常用的方法主要有三种：有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、有限体积方法（FVM），本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。
有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法包括区域剖分和差商代替导数两个过程。
具体地，首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。
其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替来进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。
对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。
目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据问题模型和Courant稳定条件来决定。
请输入标题有限元方法(Finite Element Methods)的基础是变分原理和分片多项式插值。
该方法的构造过程包括以下三个步骤。
首先，利用变分原理得到偏微分方程的弱形式(利用泛函分析的知识将求解空间扩大)。
其次，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元(三角形、四边形、四面体、六面体等)。
再次，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。
利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活(复杂区域)、单元类型灵活(适于结构网格和非结构网格)、程序代码通用(数值模拟软件多数基于有限元方法)等特点。
电磁场计算中的有限元方法教程
电磁场计算中的有限元方法教程引言电磁场计算是电磁学领域中重要的研究内容之一，广泛应用于电气工程、通信工程、电子技术等领域。
而有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算技术，可以解决电磁场计算中的复杂问题。
本文将介绍有限元方法在电磁场计算中的基本原理、步骤和应用。
一、有限元方法简介有限元方法是一种通过将待求解区域划分成有限数量的小单元，利用单元上的近似函数构造整个区域上的解的数值计算方法。
有限元方法的基本思想是在每个小单元内近似解以建立一个代数方程组，通过将这些方程组联立得到整个区域上的解。
有限元方法具有处理复杂几何形状、边界条件变化和非线性问题的优势，因此被广泛应用于工程和科学计算中。
二、电磁场方程建立在电磁场计算中，关键是建立合适的电磁场方程。
常见的电磁场方程包括静电场方程、恒定磁场方程、麦克斯韦方程等。
根据具体情况选择适用的方程，并根据材料的性质和边界条件确定相应的方程形式。
三、有限元网格划分有限元方法需要将计算区域划分为有限数量的小单元。
在电磁场计算中，通常采用三角形或四边形单元来进行划分，这取决于计算区域的几何形状和分辨率要求。
划分过程需要考虑电场变化的特点和计算精度的需求，合理划分网格对精确计算电磁场起着重要的作用。
四、有限元方程的建立有限元网格划分完成后，需要建立相应的有限元方程组。
以求解静电场问题为例，我们可以利用能量最小原理、偏微分方程等方法建立有限元方程组。
有限元方程组的建立需要考虑电场的连续性、边界条件和材料特性等。
五、有限元方程求解有限元方程组的求解是求解电磁场分布的核心任务。
根据具体的方程形式和计算区域的几何形状，可以采用直接法、迭代法、近似法等方法来求解方程。
在电磁场计算中，常用的求解算法包括高斯消元法、迭代法、有限元法和有限差分法等。
六、计算结果的后处理在得到有限元方法计算的电磁场分布结果后，需要进行相应的后处理，进行数据分析和可视化。
fem原理及方法
fem原理及方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：FEM原理及方法有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种用于求解偏微分方程的数值方法。
它通过将求解域划分为有限数量的单元，然后在每个单元上建立局部近似，最终将所有单元的近似组合在一起，得到整个求解域的近似解。
FEM由于其高度灵活性和适用性，在工程学、物理学、生物学等领域都得到了广泛应用。
FEM的基本原理是将连续的物理问题转化为离散的数学问题，进而通过数值计算方法求解。
将求解域离散为有限个小单元，通常采用三角形或四边形单元。
然后，在每个单元内，假设解具有线性或更高次的形式，并通过插值函数对解进行近似。
最终将整个问题转化为一个大型的线性代数方程组，通过数值方法求解该方程组，得到问题的数值解。
FEM的求解过程包括以下几个步骤：1. 网格划分：首先需要将求解域划分为有限数量的单元，这些单元通常是简单几何形状，如三角形、四边形等。
这些单元的集合称为网格。
2. 单元建模：在每个单元内，需要选择适当的数学模型，即插值函数。
通常使用一些常见的插值函数，如线性插值、二次插值等。
通过这些插值函数，可以在每个单元内对解进行近似。
3. 建立局部方程：根据物理问题的边界条件和数学模型，在每个单元内建立局部方程。
这些局部方程通常是微分方程的离散形式。
4. 组装全局方程：将所有单元的局部方程组合在一起，形成整个求解域的全局方程。
这个方程通常是一个大型的线性代数方程组。
5. 求解方程组：通过数值方法，如直接法、迭代法等，求解全局方程组，得到问题的数值解。
FEM方法具有许多优点，例如：适用于不规则几何形状的求解域；可以灵活地处理复杂的边界条件；精度较高；适用于各种类型的偏微分方程等。
FEM在工程领域被广泛应用，如结构力学、热传导、流体力学等。
尽管FEM方法有诸多优点，但也存在一些挑战和局限性。
网格划分可能会导致计算误差；求解大规模方程组需要大量的计算资源；对于高次形状和非线性问题，求解比较困难等。
电磁场有限元方法
电磁场有限元方法
电磁场有限元方法（finite element Method,FEM）是电磁场分析和设计中一种新兴的解析方法，它将电磁场问题看作是一个数学方程组，然后用”有限元”的数值求解方法进行求解。
可以简单的理解电磁有限元方法的原理就是，先将物理场先用几何拼装的对象表示，用有限个节点(Node)和有限个单元(Element)来组合起来，并对每一个单元内的所有量(如场、势等)的作量线性拟合，这样就将复杂的电磁场问题拆分成几何元素相互连接在一起的小片状，甚至可以定义为0维，1维，2维，3维电磁场问题，可以作出相应的对应有限元元素，比如三维空间就有单元四面体和单元六面体，这样子就可以将这些有限元元素拼成一个完整的电磁场，并且在每个单元内使用坐标系，用均匀格点的方法将微分方程数值插值，以达到计算的目的。
因此求解此式的核心就是有限元的概念，它的基本思想就是对一个复杂的模型分割成若干小几何实体，在这些小几何实体上需要求解的量的取值用某种连续的样条函数的插值来表示，给定一族几何实体上的及其边界条件，可以求出各个点上的量的值。
工程电磁场数值分析(有限元法)
使用适当的数值方法求解离散方程组，得到场函数的近似解 。
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
FEM_有限元法
离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原
理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆 逊定理等）。因此，基于问题固有的物理特性而 予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法 的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。
有限元法主要特点2
优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限
某飞机设计公司利用Abaqus子模型功能，对舱段的局部细 节进行分析，其中模型包括窗口、加强筋等细节。用户可以 利用总体分析的位移和应力结果作为局部结构的边界条件， 利用CAD模型构建子模型，对局部结构的网格重新划分，进
而得到结构的局部细节位移及应力分析结果。
子弹穿甲模拟分析：
下图左为子弹正打钢板480微秒后的的三维立体图片。
潜艇的水下爆炸模拟： Abaqus/Explicit具有强大的分析水下爆炸(UNDEX)的功能，下图 左为潜艇处于深海中的三维立体模型，下图右为Abaqus分析的 潜艇外壳受冲击后的应力等值线分布。
谢 谢！
有限元（FEM）
数值解法与数值模拟技术
高世军 李 涛 徐艺琛
概述
历史 1943 Courant 最早提出思想 50年代 用于飞机设计 1960 Clough在著作中首先提出名称 1964—1965年间数学家冯康独立地开创有限元方法并奠 定其数学基础 1965 Winslow首次应用于电气工程问题 1969 Silvester推广应用于时谐电磁场问题
元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质 变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不 受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒 质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独 处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意， 通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选 取，可以充分保证所需的数值计算精度。
理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆 逊定理等）。因此，基于问题固有的物理特性而 予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法 的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。
有限元法主要特点2
优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限
某飞机设计公司利用Abaqus子模型功能，对舱段的局部细 节进行分析，其中模型包括窗口、加强筋等细节。用户可以 利用总体分析的位移和应力结果作为局部结构的边界条件， 利用CAD模型构建子模型，对局部结构的网格重新划分，进
而得到结构的局部细节位移及应力分析结果。
子弹穿甲模拟分析：
下图左为子弹正打钢板480微秒后的的三维立体图片。
潜艇的水下爆炸模拟： Abaqus/Explicit具有强大的分析水下爆炸(UNDEX)的功能，下图 左为潜艇处于深海中的三维立体模型，下图右为Abaqus分析的 潜艇外壳受冲击后的应力等值线分布。
谢 谢！
有限元（FEM）
数值解法与数值模拟技术
高世军 李 涛 徐艺琛
概述
历史 1943 Courant 最早提出思想 50年代 用于飞机设计 1960 Clough在著作中首先提出名称 1964—1965年间数学家冯康独立地开创有限元方法并奠 定其数学基础 1965 Winslow首次应用于电气工程问题 1969 Silvester推广应用于时谐电磁场问题
元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质 变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不 受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒 质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独 处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意， 通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选 取，可以充分保证所需的数值计算精度。
弹性力学有限元第七章FEM部分之一有限单元法入门资料
第七章 有限单元法入门
河海大学 机电工程学院 力学教研室
第六章空间问题的基本理论和解答
§7-1 引言
实际工程问题，我们一般得不到它们的精确解，这主要是因为 微分方程组的复杂性，以及难以确定的边界条件和初值条件；
有限元FEM(Finite Element Method),FEA(Finite Element Analysis) 是一种用于求解各类工程问题的数值计算方法。
0
k1
0
0
0
k1 k1 k2 k2
k2 k2 k3
k3
k3 k3 k4
k4
u1 0
u2
0
k4
uu43
0 0
k4 u5 P
R Ku F
[反作用力矩阵]=[刚度矩阵][位移矩阵]－[荷载矩阵]
第七章 有限单元法入门
§7-2 有限单元法的‘Hello, World’
K
1
k1 k1
k1
k1
第七章 有限单元法入门
§7-2 有限单元法的‘Hello, World’
单元刚度矩阵在总体刚度矩阵中的位置
K
1
k1 k1
k1
k1
K
2
k2 k2
k2
k2
K
3
k3 k3
k3
k3
K
4
k4 k4
k4
第七章 有限单元法入门
§7-1 引言
有限单元法分析的基本过程
•建立求解域，离散化成单元(Element)和节点(Node) •假定描述单元属性的形函数(Shape Function)，即用一个近似的连续 函数描述每个单元的解 •建立单元刚度矩阵 •组装单元，构造总体刚度矩阵 •应用边界条件和初值条件，并施加荷载
河海大学 机电工程学院 力学教研室
第六章空间问题的基本理论和解答
§7-1 引言
实际工程问题，我们一般得不到它们的精确解，这主要是因为 微分方程组的复杂性，以及难以确定的边界条件和初值条件；
有限元FEM(Finite Element Method),FEA(Finite Element Analysis) 是一种用于求解各类工程问题的数值计算方法。
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k1
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k1 k1 k2 k2
k2 k2 k3
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k3 k3 k4
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u2
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k4
uu43
0 0
k4 u5 P
R Ku F
[反作用力矩阵]=[刚度矩阵][位移矩阵]－[荷载矩阵]
第七章 有限单元法入门
§7-2 有限单元法的‘Hello, World’
K
1
k1 k1
k1
k1
第七章 有限单元法入门
§7-2 有限单元法的‘Hello, World’
单元刚度矩阵在总体刚度矩阵中的位置
K
1
k1 k1
k1
k1
K
2
k2 k2
k2
k2
K
3
k3 k3
k3
k3
K
4
k4 k4
k4
第七章 有限单元法入门
§7-1 引言
有限单元法分析的基本过程
•建立求解域，离散化成单元(Element)和节点(Node) •假定描述单元属性的形函数(Shape Function)，即用一个近似的连续 函数描述每个单元的解 •建立单元刚度矩阵 •组装单元，构造总体刚度矩阵 •应用边界条件和初值条件，并施加荷载
工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
(
d2N dx2
j
+N
j)
d
Ni
d2N dx2
j
d
Ni N j d
基函数 Ni 只是一阶可导 的，不能严格满足微分方 程，称为“弱解”。
工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
（3）方程离散
Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd
由于基函数 Ni 局域支撑，显见只有 Ki,i1, Ki,i, Ki,i1 不为0。 使用分步积分：
j1
记 Ki,j NiL(Nj)d bi Ni fd
得代数方程组： Kαb 工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
利用有限元法求解一维边值问题：
L(u)
ddx2u2
ux
u(0) u(1) 0
0x1
（1）单元剖分
如图5个单元，6个节点
（2）选取基函数
x xi1
Ni
xi xi1
xi 1
K0116N0L(N1)d b Nfd 0 1 2 3 4 5 6 0
工程电磁场数值计算(有限元法)剖析
以下把单元e的贡献记为
K(e) ij
eNi(e)L(N(je))d
b(e) i
e
N(e) i
f(e)d
这样，就有
K 0 0 K 0 ( 1 0 ) K 0 ( 0 2 ) K 0 ( 0 3 ) K 0 ( 0 4 ) K 0 ( 0 5 ) K 0 ( 0 6 )
n=6
w(3) = 0.0951585117d0
x(1)= 0.932469514203152d0
w(4) = 0.1246289713d0
x(2)= 0.6612d0
w(5) = 0.1495959888d0
电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)
x1 y
y
J 称为泛函 J[ y] 的一次变分 （简称变 分）。而 2 J 、 3 J ……分别是函数变分y 及其导数y 的二次、三次齐次式……等的
积分，依次称为二次变分，三次变分……
令变分问题的解为 y y(x) ，且设极值解
y y(x) 稍有变动 y y ，且令
y (x)
满足(x1) (x2 ) 0齐次边界条件的可微函数
任意给定的微量实参数
y y(x, )
J[ y(x, )]
J[ y ] J[ y(x, )] ( )
0 极值
( ) 在 0时取得极值的必要条件是 () 0 (0) 0
( ) x2 F[x∴, y(x, ), y(x, )]dx x1
( ) x2 { F[x, y(x, ), y(x, )] y(x, )
自变量的微分 －表示自变量值的微小 变化
简单泛函 J[v(x)] x2 F[x,v(x)]dx x1
函数变分 v (x) －表示函数形式的
微小变化，其中 1是正的任意给
定的常数，(x) M 为可取函数 [ x1 , x2 ]
dx 引起的函数值变化可利用Taylor级 v 引起的泛函值的变化可展开为
x2
1 y2 dx
0
x1 2gy
式中 J J[ y(x)]不仅取决于积分端 点 x1 和 x2 ，而且取决于 y y(x) 的选 取。J 取决于 y(x) ，所以 J 是函数 y(x) 的 函 数 ， 称 之 为 y(x) 的 泛 函 ， 记 作 J[ y(x)] 。于是所述之最速降线问题，在 数学上就归结为研究泛函 J[ y(x)] 的极
❖ 应用范围
广泛地被应用于各种结构工程 成功地用来解决其他工程领域中的问题
工程电磁场数值分析4(有限元法)
变分原理
有限元法的数学基础是变分原理， 即通过求解泛函的极值问题来得 到原问题的近似解。
微分方程
有限元法将微分方程转化为等价 的变分问题，然后通过离散化将 变分问题转化为标准的线性代数 方程组。
插值函数
为了将连续的物理量离散化，有 限元法使用插值函数来近似表示 连续函数，从而得到离散化的数 值解。
有限元法的离散化过程
01
MATLAB/Simulin k
流行的数值计算和仿真软件，提 供丰富的数学函数库和图形界面， 适用于有限元分析。
02
COMSOL Multiphysics
多物理场有限元分析软件，支持 多种编程语言接口，如Python、 Java等。
03
ANSYS Maxwell
专业的电磁场有限元分析软件， 提供强大的前后处理和求解功能。
对初值条件敏感
有限元法的数值解对初值条件较为敏感，可能导致计算结果的不稳 定。
对边界条件的处理复杂
对于某些复杂边界条件，有限元法需要进行特殊处理，增加了计算 的复杂性。
有限元法的改进方向与未来发展
高效算法设计
研究更高效的算法，减少计算量，提高计算 效率。
自适应网格生成技术
发展自适应的网格生成技术，根据求解需求 动态调整离散化参数。
通过选择适当的离散化参数和节点数，有 限元法能够获得高精度的数值解。
灵活性好
可并行计算
有限元法可以灵活地处理复杂的几何形状 和边界条件，方便进行模型修改和扩展。
有限元法可以方便地进行并行计算，提高 计算效率。
有限元法的缺点
计算量大
有限元法需要对整个求解区域进行离散化，导致节点数和自由度 数增加，计算量大。
电磁兼容性分析
电磁场有限元法PPT教案
——使用残数加权法求解微分方程 假设 是 LФ=f 的近似解，则得到非零的残数为 ：
残数加权方法要求
wi是所选择的加权函数
10
伽辽金(Galerkin)方法
在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所 用的函数相同，这样可得到最精确的解。 假设近似解为：
则取加权函数选为：
因此：
得到： vi Lvjd{c} vi fd i 1,2,3, , N
i1 j1
e x
Nie x
N
e j
x
y
Nie y
N
e j
y
Nie
N
e j
dxdy
用矩阵表示为：
[K
e
]
K1e1 K2e1
K1e2
K
e 22
K1e3
K
e 23
12ee
K3e1
K3e2
K3e3
e 3
18
1
1 2
2 3 3
5
K矩阵的形成
图中箭头所指为相应三角形
4
单元的起始结点1，并且规定
4
结点1、2、3按顺时针排列。
6
K (1) 33
K (1) 13
0
[K
]
K (1) 23
0 0
K (1) 31
K (1) 11
K (2) 33
K (3) 33
K (3) 13
K (1) 21
K (2) 23
K (2) 13
K (3) 23
0
0 K (3)
31
K (3) 11 0
K (3) 21 0
e i
x,
y
1 2e
aie bie x cie y
残数加权方法要求
wi是所选择的加权函数
10
伽辽金(Galerkin)方法
在伽辽金方法中，加权函数与近似解展开中所 用的函数相同，这样可得到最精确的解。 假设近似解为：
则取加权函数选为：
因此：
得到： vi Lvjd{c} vi fd i 1,2,3, , N
i1 j1
e x
Nie x
N
e j
x
y
Nie y
N
e j
y
Nie
N
e j
dxdy
用矩阵表示为：
[K
e
]
K1e1 K2e1
K1e2
K
e 22
K1e3
K
e 23
12ee
K3e1
K3e2
K3e3
e 3
18
1
1 2
2 3 3
5
K矩阵的形成
图中箭头所指为相应三角形
4
单元的起始结点1，并且规定
4
结点1、2、3按顺时针排列。
6
K (1) 33
K (1) 13
0
[K
]
K (1) 23
0 0
K (1) 31
K (1) 11
K (2) 33
K (3) 33
K (3) 13
K (1) 21
K (2) 23
K (2) 13
K (3) 23
0
0 K (3)
31
K (3) 11 0
K (3) 21 0
e i
x,
y
1 2e
aie bie x cie y
基于有限元的电磁场仿真与数值计算课案
鼠笼异步电动机磁场的有限元分析摘要鼠笼异步电动机具有结构简单、价格低廉、运行可靠、效率较高、维修方便等一系列的优点，在国民经济中得到广泛的应用。
工业、农业、交通运输、国防工程以及日常生活中都大量使用鼠笼异步电动机。
随着大功率电子技术的发展，异步电动机变频调速得到越来越广泛的应用，使得鼠笼异步电动机在一些高性能传动领域也得到使用。
鼠笼异步电动机可靠性高，但由于种种原因，其故障仍时有发生。
由于电动机结构设计不合理，制造时存在缺陷，是造成故障的原因之一。
对电机内部的电磁场进行正确的磁路分析，是电机设计不可或缺的步骤。
利用有限元法对电机内部磁场进行数值分析，可以保证磁路分析的准确性。
本文利用Ansys Maxwell软件，建立了鼠笼式异步电机的物理模型，并结合数学模型和边界条件，完成了对鼠笼式异步电动机的磁场仿真，得到了物理模型剖分图，磁力线和磁通分布图，为电机的进一步设计研究提供了依据。
关键词：Ansys Maxwell；鼠笼式异步电机；有限元分析一、前言当电机运行时，在它的内部空间，包括铜与铁所占的空间区域，存在着电磁场，这个电磁场是由定、转子电流所产生的。
电机中电磁场在不同媒介中的分布、变化及与电流的交链情况，决定了电机的运行状态与性能。
因此，研究电机中的电磁场对分析和设计电机具有重要的意义。
在对应用于交流传动的异步电机进行电磁场的分析计算时，传统的计算方法因建立在磁场简化和实验修正的经验参数的基础之上，其计算精度就往往不能满足要求。
如果从电磁场的理论着手，研究场的分布，再根据课题的要求进行计算，就有可能得到满意的结果。
电机电磁场的计算方法大致可以分为解析法、图解法、模拟法和数值计算法。
数值解法是将所求电磁场的区域剖分成有限多的网格或单元，通过数学上的处理，建立以网格或单元上各节点的求解函数值为未知量的代数方程组。
由于电子计算机的应用日益普遍，所以电机电磁场的数值解法得到了很大发展，它的适用范围超过了所有其它的解法，并能达到足够的精度。
FEMM软件操作手册详解教学文案
标识线圈宽度b值曲线显示可以看到线圈在磁迥间隙的平均b值b平均值工具可以通过修改numbercontours的数值调整磁力线的疏密度显示默认值
FEMM软件操作手册详解
一、软件背景
介绍
有限元法电磁学(Finite Element Method Magnetics FEMM)是为了解决 2d平面和轴对称有限元的电磁学等相关问题。
六、模拟数据输出及导入FineMotor
6.3. FineMotor软件显示导入|B|值曲线
THANK S 通力電子控股有限公司
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
(2)鼠标右键选择中
，选中后呈红色，然后按 空格键 或者选择“ ”按钮
弹出定义参数对话框进行编辑如右上图,完成（ )。其他区域同上进行逐个定义。
四、材料添加及定义
4.2.2. 材料定义(1018 Steel)
备注：
使用鼠标右键同时选择中
，选中后呈红
色，然后按 空格键 弹出定义参数对话框进行编辑
如右上图对(T铁和华司)可以同时定义。
四、材料添加及定义
4.2.3. 材料定义(磁铁)
1.精度建议使用≤0.3； 2.磁力线方向270\-90均可，副 磁则90；但对于径向磁路，则是 0\180。
五、运算及分析工具
5.1. 保存-网格划分-运算-结果显示
将所有材料定义完后进行保存 查看结果
网格划分 后台分析
五、运算及分析工具
5.2. |B|值运算及曲线显示工具
标识线圈宽度 必须将音圈卷幅标识为红色。
|B|值曲线显示
五、运算及分析工具
5.3. |B|平均值计算工具
|B|平均值工具 可以看到线圈在磁迥间隙的平均|B|值
FEMM软件操作手册详解
一、软件背景
介绍
有限元法电磁学(Finite Element Method Magnetics FEMM)是为了解决 2d平面和轴对称有限元的电磁学等相关问题。
六、模拟数据输出及导入FineMotor
6.3. FineMotor软件显示导入|B|值曲线
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(2)鼠标右键选择中
，选中后呈红色，然后按 空格键 或者选择“ ”按钮
弹出定义参数对话框进行编辑如右上图,完成（ )。其他区域同上进行逐个定义。
四、材料添加及定义
4.2.2. 材料定义(1018 Steel)
备注：
使用鼠标右键同时选择中
，选中后呈红
色，然后按 空格键 弹出定义参数对话框进行编辑
如右上图对(T铁和华司)可以同时定义。
四、材料添加及定义
4.2.3. 材料定义(磁铁)
1.精度建议使用≤0.3； 2.磁力线方向270\-90均可，副 磁则90；但对于径向磁路，则是 0\180。
五、运算及分析工具
5.1. 保存-网格划分-运算-结果显示
将所有材料定义完后进行保存 查看结果
网格划分 后台分析
五、运算及分析工具
5.2. |B|值运算及曲线显示工具
标识线圈宽度 必须将音圈卷幅标识为红色。
|B|值曲线显示
五、运算及分析工具
5.3. |B|平均值计算工具
|B|平均值工具 可以看到线圈在磁迥间隙的平均|B|值
工程电磁场数值计算FEM程序(EMF2D)
( 10－11 行) 打开数据文件
C INITIALIZATION
C READ IN STRUCTA DATA FROM FILE AGEN.DAT CALL READST（NX1，NY1，CPM，SD）
( 12 行) 说明行——初始化 ( 13 行) 说明行—— 由 AGEN.DAT 数据文件读入
系数矩阵下三角变带宽一维压缩存贮数组
构造系数矩阵
源区单元从 1 起始编号所得最后的编号
源区单元总数
● 程序（EMF2D）
PARAMETER （LND=700, LEL =1200, LNZ =30100） PARAMETER （LB=100） REAL K，K0 INTEGER E， SL， BNODE(LB) COMMON /LKK/ L(LND)，K0(LND)，K(LNZ) /NM/ NN1，N1，N COMMON /XY/ LASTND，X(LND)，Y(LND) * /ELEM/ LASTEL，NUMBER1，NODEI(LEL)，NODEJ(LEL)，NODEM(LEL)
● 变量与哑元说明
LASTND LASTEL X, Y（N0）
节点总数 N0 三角元总数 E0 节点 N 的 x、y 坐标
NODEI, NODEJ, NODEM（E0） 三角元 特征参数
前处理：三角元剖分数据文件 给定问题的物理参数
U（N0）
LBN BNODE（LBN） BPTAL（LBN） NX1, NY1
CALL AD（SL）
( 17 行) 执行语句：子程序 AD
IF （SL. GT. LNZ） THEN
235
WRITE （*，235） FORMAT（1X，’PLEASE EXTEND THE GIVEN STORAGE RANGE’ ）
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有限元（FEM）
概述
❖ 历史
1943 Courant 最早提出思想 20世纪50年代 用于飞机设计 1960 Clough在著作中首先提出名称 1964—1965年间数学家冯康独立地开创有限元
方法并奠定其数学基础 1965 Winslow首次应用于电气工程问题 1969 Silvester推广应用于时谐电磁场问题
x1 y
y
J 称为泛函 J[ y] 的一次变分 （简称变 分）。而 2 J 、 3 J ……分别是函数变分y 及其导数y 的二次、三次齐次式……等的
积分，依次称为二次变分，三次变分……
令变分问题的解为 y y(x) ，且设极值解
y y(x) 稍有变动 y y ，且令
y (x)
满足(x1) (x2 ) 0齐次边界条件的可微函数
❖ 有限元思想3
有限元法的核心在于剖分插值，它是将所研究的 连续场分割为有限个单元，用比较简单的插值函 数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单 元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总 体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对内 部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法 构造极大地得到简化。
x2
1 y2 dx
0
x1 2gy
式中 J J[ y(x)]不仅取决于积分端 点 x1 和 x2 ，而且取决于 y y(x) 的选 取。J 取决于 y(x) ，所以 J 是函数 y(x) 的 函 数 ， 称 之 为 y(x) 的 泛 函 ， 记 作 J[ y(x)] 。于是所述之最速降线问题，在 数学上就归结为研究泛函 J[ y(x)] 的极
任意给定的微量实参数
y y(x, )
❖ 有限元思想4
由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒质 分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合 成时将隐含地得到满足，也就是说，自然边界条 件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单 独列出，而唯一考虑的仅是强制边界条件（第一 类边界条件）的处理，这就进一步简化了方法的 构造。
❖ 有限元法主要特点1
函数族
仅有一个 y(x) 能使定积分 J[ y] 达到极小值
间接解法是将变分问题转化为尤拉方程 （微分方程）的定解问题，即边值问题来求解。
J[ y] x2 F(x, y, y)dx x1
y称之为 y(x) 的变分，它反映了整个函数的变化量 相应于变分y的泛函增量为
J J[ y y] J[ y]
❖ 有限元思想1
有限元法是函数逼近理论、偏微分方程、变分与 泛函分析的巧妙结合。从数学上分析，有限元法 是Rayleigh-Ritz-Galerkin法的推广。
传统的有限元以变分原理为基础
➢ 变分问题就是求泛函极值的问题
直接解法－把变分问题化为普通多元函数求极值的问题－ Ritz ✓ 寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界 条件的基函数
❖ 例如最速降线问题，即在于研究当质点从定 点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短， 试求指点应延着怎样形状的光滑轨道下滑。
O A(x1, y1)
dx
x
沿曲线滑行弧线所需时间为
ds
dt ds secdx 1 y2 dx
v 2gy
2gy
B(x2, y2)滑行总时间为
y
T
J[ y(x)] T[ y(x)] dt
间接解法 －变分原理
➢ 变分问题与对应的边值问题等价
❖ 有限元思想2
有限元法采取了与变分问题间接解法相反的途径, 把所要求的微分方程型数学模型――边值问题， 首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题； 然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元 函数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数 方程组，解之即得待求边值问题的数值解。
x2 [F(x, y y, y y) F(x, y, y)]dx x1
由多元函数的泰勒公式展开
J
{[ F y
y
F
y
y]
1 2
2F [ y2
(
y)2
2
2F yy
y
y
2F y2
(
y)2
]
}dx
J J 2J 3J J
式中作为泛函增量 J 的线性主部为
J x2 [F y F y]dx
离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原 理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆 逊定理等）。因此，基于问题固有的物理特性而 予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法 的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。
❖ 有限元法主要特点2
优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限 元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质 变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不 受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒 质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独 处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意， 通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选 取，可以充分保证所需的数值计算精度。
❖ 有限元法主要特点3
可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的 子程序集合。容易并行。
从数学理论意义上讲，有限元作为应用数学的一 个分支，它使微分方程的解法与理论面目一新， 推动了泛函分析与计算方法的发展。
&3.1变分原理与尤拉方程
❖ 在微积分学形成的初期，以数学物理问题为 背景，与多元函数的极值问题相对应，就已 经在几何、力学上提出了若干求解泛函极值 的问题。
❖ 应用范围
广泛地被应用于各种结构工程 成功地用来解决其他工程领域中的问题
➢热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、 机械零件强度分析、电磁工程问题等等
❖ 电磁工程应用及发展 静态场～时变场，闭域～开域，线性～非 线性，散射，波导、腔体、传输线 标量有限元发展到矢量有限元 高阶矢量有限元 单一方法发展到混合方法 (快速算法) 频域求解发展到时域求解 (区域分解技术) 商用软件：比如HFSS、ANSYS
值问题，即
J[ y(x1) 0
1 y2 dx min
2gy y(x2 ) y2
泛函的极值（max或min）问题就称为变分问题。
对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量 x 、
单个函数 y(x)及其导数 y(x) 的已知函数
J[ y] x2 F(x, y, y)dx x1
概述
❖ 历史
1943 Courant 最早提出思想 20世纪50年代 用于飞机设计 1960 Clough在著作中首先提出名称 1964—1965年间数学家冯康独立地开创有限元
方法并奠定其数学基础 1965 Winslow首次应用于电气工程问题 1969 Silvester推广应用于时谐电磁场问题
x1 y
y
J 称为泛函 J[ y] 的一次变分 （简称变 分）。而 2 J 、 3 J ……分别是函数变分y 及其导数y 的二次、三次齐次式……等的
积分，依次称为二次变分，三次变分……
令变分问题的解为 y y(x) ，且设极值解
y y(x) 稍有变动 y y ，且令
y (x)
满足(x1) (x2 ) 0齐次边界条件的可微函数
❖ 有限元思想3
有限元法的核心在于剖分插值，它是将所研究的 连续场分割为有限个单元，用比较简单的插值函 数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单 元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总 体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对内 部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法 构造极大地得到简化。
x2
1 y2 dx
0
x1 2gy
式中 J J[ y(x)]不仅取决于积分端 点 x1 和 x2 ，而且取决于 y y(x) 的选 取。J 取决于 y(x) ，所以 J 是函数 y(x) 的 函 数 ， 称 之 为 y(x) 的 泛 函 ， 记 作 J[ y(x)] 。于是所述之最速降线问题，在 数学上就归结为研究泛函 J[ y(x)] 的极
任意给定的微量实参数
y y(x, )
❖ 有限元思想4
由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒质 分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合 成时将隐含地得到满足，也就是说，自然边界条 件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单 独列出，而唯一考虑的仅是强制边界条件（第一 类边界条件）的处理，这就进一步简化了方法的 构造。
❖ 有限元法主要特点1
函数族
仅有一个 y(x) 能使定积分 J[ y] 达到极小值
间接解法是将变分问题转化为尤拉方程 （微分方程）的定解问题，即边值问题来求解。
J[ y] x2 F(x, y, y)dx x1
y称之为 y(x) 的变分，它反映了整个函数的变化量 相应于变分y的泛函增量为
J J[ y y] J[ y]
❖ 有限元思想1
有限元法是函数逼近理论、偏微分方程、变分与 泛函分析的巧妙结合。从数学上分析，有限元法 是Rayleigh-Ritz-Galerkin法的推广。
传统的有限元以变分原理为基础
➢ 变分问题就是求泛函极值的问题
直接解法－把变分问题化为普通多元函数求极值的问题－ Ritz ✓ 寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界 条件的基函数
❖ 例如最速降线问题，即在于研究当质点从定 点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短， 试求指点应延着怎样形状的光滑轨道下滑。
O A(x1, y1)
dx
x
沿曲线滑行弧线所需时间为
ds
dt ds secdx 1 y2 dx
v 2gy
2gy
B(x2, y2)滑行总时间为
y
T
J[ y(x)] T[ y(x)] dt
间接解法 －变分原理
➢ 变分问题与对应的边值问题等价
❖ 有限元思想2
有限元法采取了与变分问题间接解法相反的途径, 把所要求的微分方程型数学模型――边值问题， 首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题； 然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元 函数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数 方程组，解之即得待求边值问题的数值解。
x2 [F(x, y y, y y) F(x, y, y)]dx x1
由多元函数的泰勒公式展开
J
{[ F y
y
F
y
y]
1 2
2F [ y2
(
y)2
2
2F yy
y
y
2F y2
(
y)2
]
}dx
J J 2J 3J J
式中作为泛函增量 J 的线性主部为
J x2 [F y F y]dx
离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原 理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆 逊定理等）。因此，基于问题固有的物理特性而 予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法 的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。
❖ 有限元法主要特点2
优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限 元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质 变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不 受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒 质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独 处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意， 通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选 取，可以充分保证所需的数值计算精度。
❖ 有限元法主要特点3
可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的 子程序集合。容易并行。
从数学理论意义上讲，有限元作为应用数学的一 个分支，它使微分方程的解法与理论面目一新， 推动了泛函分析与计算方法的发展。
&3.1变分原理与尤拉方程
❖ 在微积分学形成的初期，以数学物理问题为 背景，与多元函数的极值问题相对应，就已 经在几何、力学上提出了若干求解泛函极值 的问题。
❖ 应用范围
广泛地被应用于各种结构工程 成功地用来解决其他工程领域中的问题
➢热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、 机械零件强度分析、电磁工程问题等等
❖ 电磁工程应用及发展 静态场～时变场，闭域～开域，线性～非 线性，散射，波导、腔体、传输线 标量有限元发展到矢量有限元 高阶矢量有限元 单一方法发展到混合方法 (快速算法) 频域求解发展到时域求解 (区域分解技术) 商用软件：比如HFSS、ANSYS
值问题，即
J[ y(x1) 0
1 y2 dx min
2gy y(x2 ) y2
泛函的极值（max或min）问题就称为变分问题。
对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量 x 、
单个函数 y(x)及其导数 y(x) 的已知函数
J[ y] x2 F(x, y, y)dx x1