【初二上册数学】八年级秋季班-第4讲：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法

八年级数学解一元二次方程在八年级的数学学习中，我们会遇到各种各样的数学问题，其中解一元二次方程是一个重要的内容。

一元二次方程是形如ax^2 + bx + c =0的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。

解一元二次方程的过程涉及到一些数学方法和技巧，下面将详细介绍解一元二次方程的思路和步骤。

1. 一元二次方程的基本形式一元二次方程的基本形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知数，x是未知数。

在解一元二次方程之前，我们首先需要对方程进行分类，确定方程的类型。

2. 求解一元二次方程的步骤解一元二次方程的步骤可以分为以下几个部分：a) 将方程变形首先，将一元二次方程变为标准形式，即ax^2 + bx + c = 0。

如果方程已经处于标准形式，那么可以直接跳过这一步骤。

b) 利用因式分解法、配方法、求根公式等方法进行因式分解或配方，将一元二次方程转化为两个一次方程相乘的形式。

c) 求解一次方程将得到的一次方程分别进行解析，得出方程中的两个根（解）。

d) 检验答案将求得的解代入原方程，进行验证。

如果代入后等式成立，则所得解是正确的。

3. 解一元二次方程的常用方法解一元二次方程有几种常用的方法，下面将介绍其中的两种方法：配方法和求根公式法。

a) 配方法当一元二次方程无法进行因式分解时，可以使用配方法来解方程。

配方法的目的是将方程转化为完全平方形式，从而求得方程的解。

步骤如下：1) 将方程的常数项移到方程的右边，即将方程变形为ax^2 + bx = -c。

2) 将方程两边同时除以a，得到x^2 + (b/a)x = -c/a。

3) 确定一个常数k，使得(b/2a)^2 = k，即(b^2)/(4a^2) = k。

4) 将方程两边同时加上k，得到x^2 + (b/a)x + k = k - c/a。

5) 将方程左边进行完全平方，得到(x + b/2a)^2 = k - c/a。

6) 开方，解得x + b/2a = ±√(k-c/a)。

一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.1一元二次方程的概念1.1整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．1.2一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．2一元二次方程一般式的概念任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．3 一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．一元二次方程概念及解法知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲内容分析【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）20x =；（2）()()33140x x -++=；（3)()210x y --=； （4）42=0x x-；（52123x -=；（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）；（7）(3)(2)5x x x +-=+； （8）2(3)8(3)a x a -=≠．【例2】 当k ________时，方程2(60k x kx -+=一元二次方程．【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的 一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________．【例4】 写出一个满足条件一次项系数是3-，且有一个根是1-的一元二次方程．【例5】 关于x 方程2(21)350m x mx -++=有一个根是1x =-，求m 的值．【例6】 当m 取何值时，关于x 的方程21232m mx x x mx +-=-+是一元二次方程．【例7】 若关于x 的方程21(1)54aa x x +-+=．（1）方程为一元二次方程，x 的取值是？ （2）方程为一元一次方程，x 的取值是？例题解析【例8】 如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系．【例9】 关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c -+=，20a c +=，试求方程的解．【例10】 已知方程2510mx nx -+=和 2340mx nx +-=有共同的根2，试求n 的值．【例11】 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系．【例12】 若a 是方程220x x --=的一个根，则代数式2a a -的值是_______．【例13】 已知关于x 的方程32310a b a b x x +-+-=是一元二次方程，求a 、b 的值．【例14】 已知a 是方程220000x x --=的一个根，求代数式200032000120001a+++的值，用含a的式子表示．1、特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例15】 填空：（1） 方程2(1)4x -=的根是____________； （2） 方程280x x -=的根是____________；（3） 如果方程2()x a k -=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________．【例16】 如果n 是方程20x mx n ++=的根，且0n m n ≠+，则的值是（）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【例17】 方程：2331()()()0442x x x -+--=的较小的根是（） A ．34B ．34-C ．12D ．58【例18】 解关于x 的方程（用直接开平方方法）：（1）23205x -=； （2）(3)(3)9x x +-=．例题解析知识精讲模块二：特殊的一元二次方程的解法【例19】 解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x =； （2）7(3)39x x x -=-．【例20】 解关于x 的方程（合适的方法 ）：（1）2110464x x -+=；（2）22((1x +=+．【例21】 解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +-=； （2）2(41)10(14)240x x -+--=．【例22】 解关于x 的方程：2249x =．【例23】 解关于x 的方程：（1）22220x ax a b -+-=； （2）22222()40a b x abx a b --+-=；（3）222210m x mx x mx -+-+=．【例24】 已知关于x的一元二次方程22(320m x x m ++-=的一个根为0，求m 的值．【例25】 解关于x 的方程：（1）20(0)ax c a -=≠； （2）25||60x x --=．【例26】 解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b ---+++=≠．【例27】 方程2(2016)2015201710x x -⋅-=的较大的根是a ，方程2201620170x x --=的较小的根为b ，求代数式2017()a b +的值．【习题1】 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．A ．10x x -= B ．210x x ++= C1=D ．221x x x +=-随堂检测【习题2】 将关于x 的方程2(3)10m x mx +-+=是不是一元二次方程？【习题3】 已知关于x 的方程2(21)4(1)0k x kx k +-+-=，当k ________时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数是______，一次项是____________，常数项是___________．【习题4】 若方程2()0x a b -+=有解，则b 的范围是_______．【习题5】 关于x 的方程20x nx m ++=两根中只有一个根为0，则下列条件正确的是（）．A ．00m n ==，B ．00m n =≠，C ．00m n ≠≠，D ．00m n ≠=，【习题6】 方程2243x x a ==与的解相同，求a 的值．【习题7】 用指定的方法解下列方程：（1）22936364(1)x x x -+=+（直接开平方）；（2）20ax abx bc cx --+=（0a ≠）（因式分解）．【习题8】 用适当的方法解下列方程：（1）22((1x =；（2）2x x =；（3）(3)(1)5x x +-=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠．【习题9】 已知方程22310250ax bx ax bx --=+-=和有共同的根是1-，求a 的值．【习题10】 解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x -+-=．【习题11】 已知：若224250a a b b -+-+=成立，求方程20ax bx c +=的解．【习题12】 已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证这个公共根只能是1．【作业1】 下列方程中不一定是一元二次方程的是（）．A ．2(3)8(3)a x a -=≠B ．20ax bx c ++=C ．(3)(2)5x x x +-=+D232057x +-=【作业2】 （1）三个连续自然数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，设中间一个为x ，根据题意可列方程，化成一般形式为_______________；（2）关于x 的方程2(3)(4)ax bx c x x ++=-+是恒等式，则a b c ++=____________．【作业3】 方程22(2)0p x px q -++=是一元二次方程成立的条件是（）．A．p ≠ B．p ≠C．p ≠D ．0p =【作业4】 如果方程2(1)0x m x m -++=的两个根是互为相反数，那么有（ ）．A ．0m =B ．1m =-C ．1m =D ．以上结论都不对【作业5】 若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=-+=和，则方程的根是（ ）．A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无法确定【作业6】 用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x -+=； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x -++-+=；（3）2(35)5(35)40x x +-++=； （4）2220()x ax a a +-=为已知常数．课后作业【作业7】 若1x =是方程22250x x n ++-=的一个根，求n 的值．【作业8】 解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x --+-=+．【作业9】 设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值．【作业10】 已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值．【作业11】 当m 、n 为何值时，关于x 的方程212(1)230m n m x x +--++=是一元二次方程．。

一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。

3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。

4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。

(x+1)^3=2(x+1)B。

2√x+1-11=0C。

ax^2+bx+c=0D。

x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。

例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。

例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。

八年级第一学期复习讲义教案1、一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2、一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （0≠a ）其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项3、方程的解能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根4、一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）例1、把方程8)1(2)1(3++=-x x x 化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项6、已知a 是方程0120072=+-x x 的一个根，求12007200622++-a a a 的值一、填空题1、若关于x 的方程m mx x -=-122有一个根为1-，则=m2、关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ，当m 时为一元一次方程，当m 时为一元二次方程3、若方程22343x x mx =-+是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是4、关于x 的一元二次方程12)1(2=-+mx x m 的一个根是3，则=m5、一元二次方程02=++c bx ax ，若1=x 是它的一个根，则=++c b a ，若0=+-c b a ，则方程必有一个根为二、解答题1、已知关于x 的方程0)1(4)12(2=-+-+k kx x k ，问：（1）k 为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根（2）k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项2、已知方程02=++c bx ax ，当a ，b ，c 满足什么条件时：。

一元二次方程的讲解一元二次方程是数学中常见的一类方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。

一元二次方程的求解是解析几何、物理学等学科中的重要基础知识之一。

本文将从一元二次方程的定义、求解方法和应用等方面进行讲解。

一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。

它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。

其中，a 称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过将方程两边的式子分解成乘积的形式，令每个因式等于0，再求解得到方程的根。

2. 完全平方公式法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a=1，可以使用完全平方公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解方程的根。

3. 直接开平方法：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的解可以通过开方得到，可以直接进行开平方运算求解。

4. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求解一元二次方程的根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来得到。

三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。

1. 抛物线的建模：一元二次方程可以用来建立抛物线的数学模型。

抛物线的形状由方程中的二次项决定，常数项则决定了抛物线的平移。

2. 物体运动的轨迹：一元二次方程可以用来描述物体在抛体运动中的轨迹。

通过解一元二次方程，可以求得物体的落地时间、最高点高度等相关信息。

3. 经济学问题的分析：一元二次方程可以用来分析经济学中的一些问题，如成本、收益、利润等的关系。

4. 工程问题的求解：一元二次方程在工程问题的求解中也有重要应用，如电路中的电压、电流关系的建立等。

一元二次方程的概念及解法和讲义知识点一：一元二次方程的概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0）例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0；④0351=--x x，其中是一元二次方程的有。

变式:方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次程的是。

例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。

变式1：一元二次方程3（x —2）2＝5x －1的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（） A ．一元二次方程B ．一元一次方程C ．一元一次方程或一元二次方程D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程知识点二：一元二次方程的解（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

一元二次方程的概念与性质一元二次方程是数学中常见的一种类型的方程，它由一个变量的平方项、一个变量的一次项和一个常数项组成，具体形式为：ax^2 + bx + c = 0。

在这篇文章中，我们将介绍一元二次方程的概念、解的性质以及一些常见的解法。

一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个变量的平方项、一次项和常数项的方程。

在一元二次方程中，变量通常用字母x表示，方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

二、一元二次方程的解法要解一元二次方程，我们可以通过以下几种方法来求解。

1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过将方程两边置零，并运用零乘积法则来解方程。

举例说明：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0然后根据零乘积法则可得到x - 2 = 0 或 x - 3 = 0因此，方程的解为x = 2 或 x = 32. 完全平方公式法对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。

完全平方公式为(x + a)^2 = b，从中我们可以得到方程的两个解。

举例说明：解方程x^2 + 6x + 9 = 25根据完全平方公式可得(x + 3)^2 = 25再对方程取平方根，得到x + 3 = ±5因此，方程的解为x = -3 + 5 或 x = -3 - 5，即x = 2 或 x = -83. 直接使用求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解方程。

举例说明：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0根据求根公式可得x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)化简得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4 或 x = (-5 - 7) / 4，即x = 1 或 x = -3/2三、一元二次方程的性质一元二次方程具有以下性质：1. 一元二次方程的根一元二次方程的根可以是实数根或复数根。

一元二次方程的解的定义嘿，你有没有想过数学这门学科，居然也有点像探险一样的感觉？今天，我们就来聊聊一元二次方程的解，这个看似不起眼的数学概念，其实在背后藏着不少小秘密呢！1. 一元二次方程是什么首先，咱们得了解一下什么叫一元二次方程。

简单来说，一元二次方程就是形如ax² + bx + c = 0 的方程，其中的“x”就是那个未知数，a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。

听起来有点复杂，但实际上就像是一个谜题，我们需要找到“x”的值，才能让方程成立。

1.1 一元二次方程的特点一元二次方程的最大特点就是它的“二次”——这说明方程里有一个x² 的项。

你可以把它想象成一座小山，因为它的图像是一个对称的抛物线。

这个抛物线要么在 x 轴上方，要么在下方，或是穿过 x 轴。

正是因为它的这些特点，我们可以利用它来找到方程的解。

1.2 解的概念说到解，咱们就是要找到那些 x 的值，使得方程等式成立。

就好比你在解谜一样，找到这些值就是解决问题的关键。

通常来说，一元二次方程有两个解，这两个解可能是相同的，也可能是不同的。

为什么呢？因为抛物线和 x 轴的交点可以有两个，或者是一个，或者干脆没有。

2. 解的求法那么，如何找到这些解呢？咱们有几种方法可以选择，最常用的就是“求根公式”。

2.1 求根公式这可是解一元二次方程的“神器”哦！公式是这样的：x = [b ± √(b² 4ac)] / 2a。

看上去好像有点吓人，其实用起来并不复杂。

把方程中的 a、b、c 代进去，然后计算就能找到解了。

2.2 判别式说到这里，你可能会问，什么是判别式？其实，判别式就是b² 4ac，它帮我们判断方程的解的情况。

如果判别式大于零，方程有两个不同的实数解；如果等于零，方程有一个实数解；如果小于零，那就是没解了——这时，方程的解是虚数解。

3. 解的实际意义说了这么多，你可能会觉得这些解有什么实际意义？其实，解的概念在很多实际问题中都有应用。

一元二次方程的基本概念与性质一元二次方程是数学中的重要概念，其形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。

本文将从基本概念和性质两个方面来探讨一元二次方程的相关内容。

一、基本概念一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，通常表示为：ax² + bx + c = 0。

其中，a ≠ 0，a、b、c为已知常数，且a、b均不为零。

在解一元二次方程之前，需要了解以下几个基本概念：1. 方程的次数：一元二次方程的次数为2，即方程中未知数的最高次数为2。

2. 系数：方程中的a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

3. 解：解是指能够使方程成立的未知数值，也就是使方程的左边等于右边的值。

二、性质1. 解的个数：一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。

判别式Δ = b² - 4ac的值决定了解的情况。

a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解；b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，也称为重根；c) 当Δ < 0时，方程没有实数解，但可以有共轭复数解。

2. 解的表示形式：解可以用根的形式或者用因式分解的形式表示。

a) 用根的形式表示解时，通常表示为x₁、x₂。

例如方程ax² + bx + c = 0的解可以表示为x₁ = (-b + √Δ) / (2a)和x₂ = (-b - √Δ) / (2a)。

b) 用因式分解的形式表示解时，通常表示为(x - α)(x - β) = 0。

例如方程x² - (α + β)x + αβ = 0的解即为α和β。

3. 特殊情况：a) 当a = 0时，方程变为一元一次方程，解是唯一确定的。

b) 当c = 0时，方程成为一元二次齐次方程，解中必定包含0。

4. 图像表示：一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过方程的a值的正负来判断抛物线开口的方向。

a) 当a > 0时，抛物线开口向上；b) 当a < 0时，抛物线开口向下。

沪教版八年级数学上册《一元二次方程的概念》说课稿一、教材分析本节课是八年级上册的数学内容，主要讲解一元二次方程的概念和相关性质。

通过本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、解法和应用，并培养解决实际问题的数学思维能力。

二、教学目标1.知识目标：–掌握一元二次方程的定义和基本性质；–理解二次方程的求解方法，包括因式分解、配方法和求根公式；–理解一元二次方程在实际问题中的应用。

2.能力目标：–能够正确列写一元二次方程，并用不同方法求解；–能够灵活运用所学知识解决实际问题；–能够分析和解释数学问题。

3.情感目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心；–培养学生的问题解决能力，提高他们对解决实际问题的信心。

三、教学重难点1.重点：–一元二次方程的定义和基本性质；–一元二次方程的求解方法；–一元二次方程在实际问题中的应用。

2.难点：–不同求解方法的选择和灵活运用；–实际问题的转化和数学建模能力。

四、教学过程1. 导入与激发兴趣（5分钟）通过提问和示例，引导学生思考如下问题： - 一元二次方程的定义是什么？ - 你能举例说明一元二次方程在实际生活中的应用吗？2. 基础知识点讲解（15分钟）2.1 一元二次方程的定义与基本形式一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c=0的方程称为一元二次方程，其中a eq0。

2.2 一元二次方程的基本性质•解的个数和判别式的关系：当判别式b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于 0 时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于 0 时，方程没有实数解。

•对称性：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解x1和x的和 $x_1+x_2=-\\frac{b}{a}$，乘积2$x_1x_2=\\frac{c}{a}$。

3. 解一元二次方程的方法（20分钟）3.1 因式分解法利用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1. 化简方程，将方程写成ax2+bx+c=0。

2. 尝试将方程进行因式分解，找出满足方程的两个因式。

八年级数学一元二次方程一、一元二次方程的概念。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

例如方程x^2+3x - 1=0，这里a = 1，b = 3，c=-1。

2. 判断一个方程是否为一元二次方程。

- 首先看方程是否为整式方程，如果方程中含有分式（分母含有未知数），则不是一元二次方程。

- 然后看是否只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是否为2。

例如x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它含有分式；x + y^2=2也不是一元二次方程，因为它含有两个未知数x和y。

二、一元二次方程的解法。

1. 直接开平方法。

- 对于形如x^2=k(k≥0)的一元二次方程，可以直接开平方得到x=±√(k)。

- 例如方程x^2=9，解得x = 3或x=- 3。

- 对于形如(ax + b)^2=k(k≥0)的方程，先开平方得到ax + b=±√(k)，然后再解关于x的一次方程。

例如(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，即x=1±2，解得x = 3或x=-1。

2. 配方法。

- 步骤：- 先将一元二次方程化为ax^2+bx + c = 0(a≠0)的形式。

- 把二次项系数化为1，即方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。

- 在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 左边化为完全平方式(x +(b)/(2a))^2，然后用直接开平方法求解。

- 例如解方程x^2+6x - 1 = 0。

- 首先将方程变形为x^2+6x=1。

- 然后在方程两边加上((6)/(2))^2=9，得到x^2+6x + 9=1 + 9，即(x +3)^2=10。

一元二次方程的概念说课稿一元二次方程的概念说课稿一、教材分析：1、教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。

通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。

此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。

本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。

2、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的好奇心、求知欲及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在：知识与能力目标：要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分析的能力。

过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念。

情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。

3、教学重点与难点要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的`教学又要从大量的实例出发。

所以，本节课的重点是：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

鉴于学生比较缺乏社会生活经历，处理信息的能力也较弱，因此把由实际问题转化成数学方程确定为本节课的难点。

二、教法、学法：因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。

教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式。

但是由于学生将实践问题转化为数学方程的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过直观形象的观察与演示，从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。

同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。

一元二次方程的概念一元二次方程是高中数学中非常基础且重要的一部分，它是由一个未知数的平方和一次项以及常数项组成的方程。

一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c都是已知实数且a ≠ 0。

在解一元二次方程之前，我们需要先理解一些基本概念和相关性质。

一、一元二次方程的定义和性质1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a≠0，且a、b、c为实数，x为未知数。

2. 一元二次方程的次数：一元二次方程的次数为2，即方程中未知数的最高次幂为2。

3. 一元二次方程的解：一元二次方程的解是使得方程成立的x值。

一元二次方程一般有两个解，分别称为实数根或两个复数根。

实数根是指有理数或无理数的解，而复数根则含有虚数单位i。

4. 一元二次方程的系数：一元二次方程中的a、b、c分别称为二次系数、一次系数和常数项。

其中二次系数a影响方程的开口方向、形状和平移，一次系数b影响方程的对称轴和两个实数根的和或复数根的实部，常数项c影响方程的和与两个实数根的乘积或复数根的虚部。

5. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac可以用来判断方程的解的性质。

若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程没有实数根，而有两个共轭复数根。

二、解一元二次方程的方法解一元二次方程的常用方法有配方法、凑平方法、因式分解法和求根公式法。

下面我将按顺序介绍这些方法的具体步骤和应用场景。

1. 配方法：a. 检查方程是否可以因式分解成两个一次因式的乘积，如果不能，则进入下一步。

b. 将一元二次方程中的x²项系数a乘以一个适当的常数k，使得a·k²与一次项系数b的平方相等。

即a·k² = b²。

c. 将一元二次方程中的x²项和一次项分别代入公式x = (-b±√(b²-4ac)) / 2a，求得方程的解。

一元二次方程的定义知识点总结八年级数学教案定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

方程特点；（1）该方程为整式方程。

（2）该方程有且只含有一个未知数。

（3）该方程中未知数的最高次数是2。

判断方法：要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。

若是，再对它进行整理。

如果能整理为（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程。

点拨：①“a≠0”是一元二次方程的一般形式的重要组成部分，当a=0，b≠0时，她就成为一元一次方程了。

反之，如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；②任何一个一元二次方程，经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，首先化成一般形式，再判断；③二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以咋确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；④项的系数包括它前面的符号。

如：x2+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x2+4x-1=0的常数项是-1而不是1；⑤若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

求解方法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如（x+a）2=b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，2、配方法配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

初中数学什么是一元二次方程一元二次方程是初中数学中的重要内容，它是一个含有一个未知数的二次项、一次项和常数项的方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和c是已知系数，x是未知数。

一元二次方程的解是使得方程等式成立的未知数的值。

解一元二次方程的过程称为求根，求根的目的是确定方程的解的取值范围。

解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解、配方法、求根公式和图像法等。

下面将逐一介绍这些方法。

1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为两个一次因式相乘的形式时，可以直接通过因式分解求解方程。

例如，方程x^2 - 4 = 0可以因式分解为(x - 2)(x + 2) = 0，得到x = 2和x = -2两个解。

2. 配方法：当一元二次方程不能直接因式分解时，可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式。

配方法的基本思路是通过添加适当的常数项和对称性来将方程转化为完全平方的形式。

例如，方程x^2 + 6x - 8 = 0可以通过配方法转化为(x + 3)^2 - 17 = 0，进而求得x = -3 ± √17。

3. 求根公式：一元二次方程的求根公式是通过公式推导得到的，可以直接求解任意一元二次方程的解。

求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

其中，a、b和c 是方程的系数，√表示平方根。

通过代入方程的系数，可以计算得到方程的解。

4. 图像法：一元二次方程的解可以通过绘制方程的图像来确定。

一元二次方程的图像是一个抛物线，通过观察抛物线与x轴的交点，可以确定方程的解。

图像法可以提供直观的解的信息，尤其适用于方程无法通过上述方法求解的情况。

一元二次方程是数学中的重要概念，具有广泛的应用。

通过学习和掌握一元二次方程的求解方法，学生可以进一步理解二次函数的性质和应用，并将其运用于解决实际问题和建立数学模型中。