河南省林州一中(分校部)2020-2021学年下学期高一4月调研考试数学试题 答案和解析

2019-2020学年河南省安阳市林州一中高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角} D ．以上都不对【答案】D【解析】先根据题意得出A ∩B ，再比较A ∩B 与小于90°的角、锐角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论． 【详解】解：∵A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}， ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°， 故选D ． 【点睛】此题考查了象限角、任意角的概念，交集及其运算，熟练掌握基本概念是解本题的关键． 2．若α为三角形的一个内角，且sin α，cos α，是方程2320x x c -+=的两个根，则这个三角形是（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形但不是正三角形D ．钝角三角形 【答案】D【解析】由韦达定理得出12x x +，两边平方得到α三角函数乘积，再判断三角形形状. 【详解】由韦达定理得2sin cos 3αα+=，两边平方得412sin cos 9αα+=， 即5sin cos 18αα=-，又0απ<<，所以cos 0α<，2παπ<<，所以ABC ∆是钝角三角形.故选：D 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、同角三角函数的性质. 3．函数cos tan y x x =⋅的值域是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．[]1,1-C ．(1,1)-D ．[1,0)(0,1)-【答案】C 【解析】2x k ππ≠+时，sin y cosx tanx x =⋅=()sin 1,1y x ∴=-y cosx tanx =⋅的值域是()1,1-故选C4．要得到函数πy sin 2x 4⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将函数πy cos 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象( ) A ．向右平移π24个单位 B ．向左平移π24个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】A【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果． 【详解】 函数ππy cos 2x cos 2x 66⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，转换为：πππy sin 2x sin 2x 263⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数的图象向右平移π24个单位， 得到πy sin 2x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 5．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A． B ．12-C ．12D【答案】B【解析】利用平移后的图像关于y 轴对称求出ϕ，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值. 【详解】平移得到的图像对应的解析式为()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为()g x 为偶函数，所以()0sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，其中k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当2x π=时，()min 12f x =-，故选B . 【点睛】本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题. 6． ）A ．2sin 44cos4-B ．2sin 44cos4--C ．2sin 4-D ．4cos42sin 4-【答案】D 【解析】因为2sin 4cos 42cos 44cos 42sin 4==--=- 选D7．已知O 为ABC ∆内一点，且有23OA OC BC +=，则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】取AC 中点，利用向量中线定理，得到中线与BC 平行，三角形的面积比转化为边长比. 【详解】设D 是AC 的中点，则2OA OC OD +=， 又因为23OA OC BC +=， 所以223OD BC =,3BC OD =，//OD BC ， 所以12OBC DBC ABC ABC S S DC S S AC ∆∆∆∆=== 故选：C 【点睛】本题主要考查向量基本定理，属于基础题.8．已知向量()1,2a =，()1,b t =，82,3c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()2//a b c +，则向量b 在a方向上的投影为（ ） A． B．CD 【答案】B【解析】通过向量共线解得t ，然后利用向量的数量积转化求解向量b 在a 方向上的投影． 【详解】解：由已知可得2(1,2)2(1,)(3,22)a b t t +=+=+，因为()2//a b c +，8(2,)3c =-，所以82(22)0t --⨯+=，解得3t =-，故(1,3)b =-，则||5a =，||10b=，cos ,2a b <>==，故向量b 在a 方向上的投影为2||cos ,10()52b a b <>=⨯-=-， 故选：B ． 【点睛】本题考查向量的共线与向量的数量积的应用，向量的投影的求法，属于基础题． 9．已知平面向量,a b →→满足(1,3)a →=，||3b →=，(2)a a b →→→⊥-，则|23|a b →→-=（ ） A ．73 B ．7 C ．4 D ．5【答案】A【解析】根据向量的垂直关系求出a b ⋅，再将向量的模长转化为向量的数量积，即可求解. 【详解】由题意可得||132a =+=且(2)0a a b ⋅-=， 即220a a b -⋅=，所以420a b -⋅=， 所以2a b ⋅=，222|23|(23)4129a b a b a a b b -=-=-⋅+16248173=-+=．故选：A . 【点睛】本题考查向量的数量积运算，熟记公式即可，属于基础题．10．如图所示，在ABC 中，设,AB a AC b ==，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP =（）A ．1122a b + B ．1233a b +C ．2477a b + D ．4277a b + 【答案】C【解析】由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出AP ． 【详解】如图，连接BP ，则AP AC CP b PR=+=+，①AP AB BP a RP RB=+=+-.②①+②，得2AP a b RB=+-.③又()11112222RB QB AB AQ a AP⎛⎫==-=-⎪⎝⎭，④将④代入③，得11222AP a b a AP⎛⎫=+--⎪⎝⎭，解得2477AP a b=+.故选C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，属中档题．11．求23445cos cos cos cos cos cos111111111111ππππππ=（）A．512B．412C．512-D．412-【答案】A【解析】直接利用二倍角公式化简求解即可．【详解】解：2345cos cos cos cos cos1111111111πππππ23452sin cos cos cos cos cos1111111111112sin11πππππππ=223452sin cos cos cos cos11111111114sin11ππππππ=43452sin cos cos cos111111118sin11πππππ=3352sin cos cos 11111116sin11ππππ=652sin cos 111132sin11πππ=10sin 1132sin11ππ=132=． 故选：A ． 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力，属于中档题． 12．已知1e 、2e 是两个不共线的向量，若1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-，则（ ）A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、C 、D 三点共线 C ．A 、B 、D 三点共线 D ．B 、C 、D 三点共线【答案】C【解析】利用平面向量共线的基本定理可判断A 、B 、C 、D 四个选项的正误. 【详解】对于A 选项，1228AB e e =-，123CB e e =+且2813-≠，则AB 、CB 不共线， 则A 、B 、C 三点不共线，A 选项错误；对于B 选项，()()12121228311AC AB BC e e e e e e =+=--+=-，122CD e e =-且11121-≠-，则AC 、CD 不共线，则A 、C 、D 三点不共线， B 选项错误；对于C 选项，()()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-， 所以，2AB BD =，则A 、B 、D 三点共线，C 选项正确； 对于D 选项，123CB e e =+，122CD e e =-且1321≠-，则CB 、CD 不共线，则B 、C 、D 三点不共线，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查利用共线向量的基本定理判断三点共线，考查计算能力与推理能力，属于基础题.13．已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( ) A ．1 B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】利用a b ⋅的坐标运算列方程求出1tan 2α=-，再将22sin cos 2sin cos αααα-变形，用tan α表示出来，代入tan α的值即可.【详解】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---， 故选：A . 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题.14．在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则AB BE ⋅= A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】B【解析】根据向量的线性运算得()1·2AB BE AB BA BC =⨯+ 21122AB AB BC =-+⋅，再利用和数量积的运算，即可求解． 【详解】由题意，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，22BC AB ==，E 为AC 的中点，所以()1·2AB BE AB BA BC =⨯+ 21122AB AB BC =-+⋅11cos120122AB BC =-+⋅︒=-【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的线性表示和数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列不可能是()f x 图象的对称中心的是（ ）A ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭B ．11012π⎛⎫⎪⎝⎭， C ．203π⎛⎫⎪⎝⎭， D ．7,06π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由函数图象求出函数的周期，利用周期公式求出ω，由图象过点5(,2)12π即可求出ϕ的值，得到函数的解析式，再根据正弦函数的对称性，得出结论． 【详解】解：由图象可得1254312T ππ=-，解得T π=，2ω∴=，又图象过点5(,2)12π，∴52sin(2)212πϕ⨯+=，则23k πϕπ=-+，k Z ∈，||2πϕ<，∴3πϕ=-，∴()sin()f x x π=-223．1111()2sin(2)2012123f πππ=⨯-=-≠， ∴11(,0)12π 不可能是函数()f x 的对称中心．故选：B ． 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，正弦函数的对称性，考查了数形结合思想，属于中档题．16．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由()0,0x f x →>得到答案．【详解】()211sin sin 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题． 17．若02πα<<，2ππβ-<<-，1cos 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．D 【答案】D【解析】利用同角三角函数的平方关系求得sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭、sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，利用两角差的余弦公式可求得cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】02πα<<，2ππβ-<<-，则3444πππα<+<，32424ππβπ<-<，sin 43πα⎛⎫∴+==⎪⎝⎭，sin 42πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭， 因此，cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133333⎛=⨯-+= ⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题. 18．已知函数()()2log 3f x x =-，若对于任意的实数x ，都有()223sin cos 4f a x f a x ⎛⎫+≤++ ⎪⎝⎭成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1⎤-⎦ B ．⎡-⎣C ．2⎤⎦D ．(][)2-∞+∞,-1,【答案】A【解析】根据()f x 在(,3)-∞上单调递减，将所求不等式转化为2233sin cos 4a x a x >+≥++恒成立，先有23sin a x >+求出a 的取值范围，再由223sin cos 4a x a x +≥++，分离参数得223cos sin 4a a x x -≥-+，求出23cos sin 4x x -+的最大值，进而得到关于a 的不等式，求解即可求出结论.【详解】()f x 的定义域为(,3)-∞且单调递减，对于任意的实数x ，()223sin cos 4f a x f a x ⎛⎫+≤++ ⎪⎝⎭恒成立， 即2233sin cos 4a x a x >+≥++恒成立，由23sin a x >+对任意x 恒成立，则213,a a +<<<由223sin cos 4a x a x +≥++， 得223cos sin 4a a x x -≥-+对任意x 恒成立， 设222371cos sin sin sin (sin )2442y x x x x x =-+=--+=-++， 当1sin 2x =-时，22max 2,2,20y a a a a =∴-≥--≥，1a ≤-或2a ≥，又a <<所以1a <≤-. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，以及不等式恒成立求参数范围，注意函数的定义域，考查计算求解能力，属于中档题.19．过圆221:68210O x y x y +--+=上一动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，设向量PA 、PB 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．141,949⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．117,925⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1741,2549⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎣⎦【答案】A【解析】通过分析，||PO 最小时，θ最大，cos θ最小；||PO 最大时，θ最小，cos θ最大，所以转化成圆1O 的圆心到O 上点在最值，求出||PO 的取值范围，从而求出cos θ的取值范围，得出结论. 【详解】0θπθ∈∴（，），最大时，cos θ最小；θ∴最小时，cos θ最大， 22,sin AO APO APO PO POθ=∠∠==||PO ∴最小时，θ最大，cos θ最小；||PO ∴最大时，θ最小，cos θ最大圆221:68210O x y x y +--+=，22(3)(4)4x y ∴-+-=15O O ==，2237,sin 73PO APO ∴≤≤∴≤∠≤， 由2cos 212sin θθ=-222212()cos 12()37θ∴-≤≤-即141cos 940θ≤≤ 故选：A . 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、圆外点到圆上点的取值范围、以及三角函数值、二倍角公式的计算，难度不大，属于基础题. 20．π()sin()(0,),2f x x ωϕωϕ=+>≤若π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴，()f x 在区间ππ(,)54上单调，则ω的最大值是( ) A ．14 B ．18C ．20D ．22【答案】A【解析】因为π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴， 所以2144n T n N ，π+=∈，即21244n ππω+=, n N ∈，即42,?n n N ω=+∈，即ω为正偶数.因为()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ππ45202T π-=≤，即210T ππω=≥. 20ω≤.当18ω=时，ππ sin 18088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得9 ,4k k Z πϕπ-+=∈，9 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=，()πsin 184f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π779518,42020x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，其中，901202f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 当14ω=时，ππ sin 14088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得7 ,4k k Z πϕπ-+=∈，7 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=-，()πsin 144f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π516514,42020x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，满足()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调. 故ω的最大值是14. 故选A.点睛：本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.二、填空题21．函数224sin 6cos 633y x x x ππ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭的值域________． 【答案】16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】利用同角三角函数基本关系22sin 1cos x x =- 将已知条件化简为关于cos x 的函数，配方即可得值域 【详解】224sin 6cos 64(1cos )6cos 6y x x x x =+-=-+-22314cos 6cos 24(cos )44x x x =-+-=--+，233x ππ-≤≤， 1cos 12x ∴-≤≤ ，故231164(cos )444x -≤--+≤，故答案为：16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了三角函数值域的求法，属于基础题.22．已知关于x 的方程22sin 3sin 210x x m -+-=在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 【答案】()2,1--【解析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可. 【详解】22sin 3sin 210x x m -+-=，∴ 1cos 23sin 210x x m --+-= ，即cos 23sin 20x x m +-=，∴ 2sin(2)6x m π+= ，即sin(2)62mx π+=， ,2πx π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7132(,)666x πππ+∈，设7132,(,)666x t t πππ+=∈，则sin 2m t =在713(,)66t ππ∈上有两个不同的实数根，∴ 1sin y t =，22m y =713(,)66t ππ∈的图像有两个不同的交点，如图由图象可知， 1122m -<<- ，即21m -<<- 故答案为：()2,1-- 【点睛】本题主要考查了函数零点的判断，利用三角函数的倍角公式，将三角函数化简，利用三角函数图象和性质解决问题，属于中档题.23．已知向量()1,2a =-，()1,b λ=，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． 【答案】()1,22,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【解析】根据题意即可得出12020λλ->⎧⎨+≠⎩，然后解出λ的范围即可．【详解】 解：a 与b 的夹角为锐角∴0a b >，且,a b 不共线， ∴12020λλ->⎧⎨+≠⎩，解得12λ<且2λ≠-，∴实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．故答案为：()1,22,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．24．关于平面向量有下列四个命题： ①若a b a c ⋅=⋅，则b c =；②已知(),3a k =，()2,6b =-．若//a b ，则1k =-．③非零向量a 和b ，满足a b a b ==-，则a 与 a b +的夹角为30．④0a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中正确的命题为________．（写出所有正确命题的序号）【答案】②③④【解析】根据向量数量积的定义，向量平行的坐标表示，由向量加减法的几何意义，向量数量积的运算律对各个命题进行判断．【详解】①当0a=时，由a b a c⋅=⋅不能得出b c=，①错误；②//a b，则6(6)0k--=，1k=-，②正确；③如图，设,OA a OB b==，则BA a b=-，OC a b=+，由已知a b a b==-，则OAB是等边三角形，四边形OABCB是菱形，且60AOB∠=︒，所以a与a b+的夹角为COA∠=30，③正确；④22110a b a b a ba a ab b b⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⋅-=-=-=⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④正确．故答案为：②③④【点睛】本题考查向量的数量积，向量共线的坐标表示，考查向量加减法的几何意义．考查知识点较多，属于中档题．三、解答题25．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(3)P-.（Ⅰ）求tan()sin()2cos()sin(3)πααπαπα-++---的值；（Ⅱ）求tan2tan2αα+的值.【答案】（Ⅰ）23-；（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）根据三角函数的定义求出cos α、sin α、tan α的值，再利用诱导公式将所求代数式化简，将角α的三角函数值代入进行计算可得出结果； （Ⅱ）利用二倍角公式求出tan2α的值，利用半角公式sin tan 21cos ααα=+求出tan 2α的值，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】（Ⅰ）由题意得：1sin ,cos tan 2ααα=== 原式tan cos (cos )sin αααα-+=-⋅23==- （Ⅱ）22tan tan 21tan ααα==-1sin tan 221cos ααα===+tan 2tan2αα+=2．【点睛】本题考查三角函数定义、诱导公式、二倍角公式以及半角公式，在三角求值时，充分利用相关公式进行化简，朝着已知角进行化简计算，着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平，属于中等题．26．设平面向量16sin ,2m x ⎛⎫= ⎪⎭，()2cos ,1n x =，函数()()f x m n n =-⋅．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【答案】（1）T π=；（232，最小值72-【解析】（1）本题首先可根据题意得出())12f x xx x =-，然后通过三角恒等变换得出()32sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最后根据周期计算公式即可得出结果；（2）本题可根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得出22363x πππ-≤-≤，然后根据正弦函数性质即可得出结果. 【详解】（1）因为16sin ,2m x ⎛⎫= ⎪⎭，()2cos ,1n x =，所以()())12cos 2f x m n n xx x =-⋅=-213cos 2cos 2cos 222x x x x x =--=-- 32sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故函数()f x 的最小正周期22T ππ==， （2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22363x πππ-≤-≤，故当263x ππ-=，即4x π=时，函数()f x 取最大值，342f π⎛⎫=⎪⎝⎭， 当262x ππ-=-，即6x π=-时，函数()f x 取最小值，672f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-. 【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期以及最值，考查三角恒等变换以及正弦函数的相关性质，考查三角函数的周期计算公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.27．已知函数()()f x a b c =+，其中向量()sin ,cos a x x =-，()sin ,3cos b x x =-，()cos ,sin c x x =-，x ∈R .（Ⅰ）若()52f α=，588ππα-<<-，求cos2α的值； （Ⅱ）不等式()2f x m -<在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）(0,4 【解析】(Ⅰ)利用向量数量积公式得到()f x 后,再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式,根据已知条件及同角公式解得3cos 244πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再将所求变成33cos 2cos 244ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦后,利用两角差的余弦公式求得; (Ⅱ)将不等式恒成立转化为最大最小值可解得. 【详解】()()f x a b c =+()()sin ,cos sin cos ,sin 3cos x x x x x x =---222sin 2sin cos 3cos 1sin 22cos x x x x x x =-+=-+32cos 2sin 2224x x x π⎛⎫=+-=++⎪⎝⎭（Ⅰ）若()52f α=，则352242πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3sin(2)44πα+=， 由588ππα-<<-∴544ππα-<2<-，即3242πππα-<2+<，则3cos 244πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则333333cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4242⎛=-+= ⎝⎭（Ⅱ）∵不等式()2f x m -<在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴()22f x m -<-<，即()()22f x m f x -<<+在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，当,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，372,44x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则当324x ππ+=，即8x π=时,()f x 取得最大值，最大值为()max 2f x =，当33242x ππ+=，即38x π=时,()f x 取得最小值，最小值为()min 322f x π=+2=-第 1 页 共 6 页则2222m m >-⎧⎪⎨<⎪⎩,得04m <<， 即实数m的取值范围是(0,4.。

某某省某某市林虑中学2020-2021学年高一数学下学期开学考试试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}*A 2,n n x x N ==∈，{}*2n,n B x x N ==∈，则（ ） A. A B ⊆ B. B A ⊆ C. A B ⋂=∅D. A B =2. 已知是R k ∈，直线3(2)y k x -=+总经过点（ ）A. (2,3)-B. (2,3)-C. (2,0)-D. (0,3)3. 已知2510a b ==，则11a b +的值为（ ） A. 1B. 2C. 7D. 104. 已知圆C 经过原点(0,0)O ，()4,3A ，(1,3)B -三点，则圆C 的方程为（ ）A. 22430x y x y +--=B. 2230x y x y +-+=C. 22550x y x +--=D. 2270x y x y +-+=5. 已知水平放置的平面四边形ABCD ，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则ABCD 的周长为（ ）A. 2B. 6C. 422+D. 86. 已知,a b 为不同的直线，αβ，为不同的平面，有下列四个命题： ①////a b a b αα⎧⇒⎨⊂⎩②a b a b αα⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩③a b b a αβαββ⊥⎧⎪⋂=⇒⊥⎨⎪⊥⎩④//a a a αββαα⊥⎧⎪⊥⇒⎨⎪⊄⎩. 其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称，则,a b 的值分别为（ ）A. 1，3B. 12-，32-C. -2，0D. 12，52- 8. 已知函数2()2f x x x a =++在区间(0,2)内有零点，则实数a 的取值X 围是（ ）A. (,1)-∞B. (8,1]-C. (8,0)-D. [8,0]-9. 如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 52510. 已知函数2()(2)f x x m x n =+-+为偶函数，那么函数()1log m g x x =- ）A. (,2]-∞B. (0,2]C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 11. 已知圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142340C x y x y +--+=，两圆公切线的条数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 在平面ABCD 的同侧，AE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，且2AE DF ==.点Q 为DF 的中点，点P 是CE 上的动点，则PQ 长的最小值为（ ）A. 2523第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知三角形的三个顶点是(0,0)O ，(4,3)A ，(2,1)B -，则此三角形AB 边上的中线所在直线的方程为____________.14. 四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为____________.15. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =--，当1≥x 时，2()log f x x =，则不等式()2f x ≤的解集为____________.16. 在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足2AE D E DF B F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为____________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A -，(3,2)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等.（1）某某数a 的值；（2）已知2a >-，试求l 上点C 的坐标，使得A ，B ，C 构成以C 为直角顶点的直角三角形.18. 在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.19. 已知函数2320()10x x x x f x e x ⎧-+>=⎨+≤⎩. （1）若()1f a =，某某数a 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=恰有三个解，某某数m 的取值X 围.20. 如图.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,90ACB ∠=︒,AE PB ⊥于E 点,AF PC ⊥于F点,2PA AB ==,30BPC ∠=︒.（1）求PB AF ⊥；（2）求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.21. 已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足：1()()2x f x g x +-=.（1）求函数()f x 与()g x 解析式；（2）若对任意实数x ，都有()()0f x mg x +>恒成立，某某数m 的取值X 围.22. 点(4,0)A ，圆22:(4)16B x y ++=，动点P 在圆B 上，Q 为PA 中点，直线:2l y kx =+.（1）求点Q 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 交于不同两点S ，T ，坐标原点为O ，当△OST∠SOT 为锐角时，求斜率k 的值；（3）若k =1，当过直线l 上的点C 能作曲线E 的两条切线时，设切点分别为M ，N ，直线MN 是否过定点？若过定点，请求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.林虑2020级高一下学期开学检测数学答案1. 【答案】A【解析】【分析】可根据特殊元素与集合的关系作答.【详解】A. *n 2,n N ∀∈为偶数，故2n B ∈，故A B ⊆ B. 6,6B A ∈∉，故B 错C. 4,4B A ∈∈，故A B ⋂=∅错D. 6,6B A ∈∉,故D 错. 故选：A2.【答案】B【解析】【分析】把3(2)y k x -=+整理成()3(2)0y k x --+=，根据方程特点可得答案.【详解】由3(2)y k x -=+得()3(2)0y k x --+=，对于R k ∈总成立，3020y x -=⎧⎨+=⎩ ，所以32y x =⎧⎨=-⎩，即总经过点是()2,3-.故选：B. 3. 【答案】A【解析】【分析】由2510a b ==求出a 、b ，表示出11a b 、，进而求出11a b +的值. 【详解】252510log 10,log 10a b a b ==∴==，,11lg 2,lg 5a b ∴==11lg 2lg 5lg101a b∴+=+==. 故选：A4. 【答案】D【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，解方程组16943019300D E F D E F F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩即得解. 【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，把点(0,0)O ，(4,3)A ，(1,3)B -代入得1694301930D E FD E FF++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩, 解得7D=-，1E=，0F=，所以圆的方程是2270x y x y+-+=．故选：D．5. 【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可.【详解】由直观图可得原图形如图，根据斜二测画法可知，1AB CD==,22AC=Rt ABC中,2222(22)13BC AC AB=+=+=,又AD BC=,所以四边形ABCD的周长为23218⨯+⨯=,故选：D6.【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判断定理判断①，根据线面垂直，面面垂直的性质定理判断②③④. 【详解】①不成立，缺少aα⊄这个条件；②不成立，不满足线面垂直的判断定理；③不成立，缺少条件bα⊂；④正确，根据面面垂直的性质定理判断.故选：A7. 【答案】B【解析】【分析】点,A B关于直线0ax y b++=对称，则利用垂直关系，以及线段AB的中点在直线0ax y b++=上，列式求解.【详解】40202ABk-==--，若点(2,0)A与()0,4B关于直线0ax y b++=对称，则直线AB与直线0ax y b++=垂直，直线0ax y b++=的斜率是a-，所以()()21a-⋅-=-，得12a=-.线段AB的中点()1,2在直线0ax y b ++=上，则20a b ++=，得32b =-, 故选:B 8. 【答案】C 【解析】【分析】由函数零点问题，转化为22a x x =--，()0,2x ∈成立，求函数的值域.【详解】220x x a ++=在区间(0,2)内有解，转化为22a x x =--，()0,2x ∈成立， ()22211a x x x =--=-++，()0,2x ∈时，()8,0a ∈-.故选：C 9. 【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，计算体积即可.【详解】 还原几何体如图，为四棱柱，底面积为11⨯，高为2故体积为：2故选：A10. 【答案】B【解析】【分析】根据是偶函数求出m ，代入()1log m g x x =-【详解】2()(2)f x x m x n =+-+为偶函数，故对称轴为202m x -==，故2m = 2()1log g x x =-0x >且2log 1x ≤解之得02x <≤故选：B11. 【答案】C【解析】【分析】首先判断两圆的位置关系，再判断公切线条数.【详解】圆()()221:321C x y -++=，圆心()13,2C -，半径11r =，圆()()222:7116C x y -+-=，圆心()27,1C ，半径24r =，圆心距()()2237215d =-+--=，12d r r =+，所以两圆相外切，公切线条数是3条.故选：C12. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AE 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，把PQ 转化为2||365(02)PQ x x x =-+≤≤，利用二次函数求最小值.【详解】如图示，以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AE 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A （0,0,0）、D （2,0,0）、C （2,2,0）、E （0,0,2）、F （2,0,2）、Q （2,0,1）、设P （x,y,z ）,由点P 是CE 上的动点，知(01)CP CE λλ=≤≤,即(2,2,)(2,2,2)x y z λ--=--，故P (x ,x ,2-x ), 所以2222||(2)(0)(1)365(02)PQ x x x x x x =-+-+-=-+≤≤当1x =时min ||3652PQ =-+=故PQ 长的最小值为2.故选：A 13.【答案】30x y -=【解析】【分析】先求线段AB 的中点D 的坐标，再求直线OD 的方程. 【详解】()4,3A ，()2,1B -，线段AB 的中点是()3142,22D +-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()3,1D ，13OD k =，所以三角形AB 边上的中线所在直线的方程为13y x =，即30x y -=.故答案为：30x y -=14.【答案】60°【解析】【分析】根据AB ∥CD ,得到异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD ,由△ VCD 为等边三角形，即可求解.【详解】如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ,所以异面直线VC与AB 所成角即为∠VCD.又各条棱长均2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°.故答案为：60° 15.【答案】(,4]-∞【解析】【分析】可求出分段函数在1x <时的解析式，分两种情况解不等式，求并集. 【详解】当1≥x 时，2()log f x x =，2log 2x ≤，则14x ≤≤当1x <时，21x ->，故()2()(2)log 2f x f x x =--=--，()2log 22x --≤，则()2log 22x -≥-，则124x -≥，则74x ≤，则此时1x < 综上有4x ≤故答案为：(,4]-∞ 16. 【答案】178π【解析】【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P t ，由//PB 平面CEF 可得P 点的坐标，根据四棱锥P ABCD -的特点可得外接球的直径可得答案. 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，由2AE D E DFB F '==，则(9,6,0),(0,9,0)EC ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ， ∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =-设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==，得1,1,33n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为//PB 平面CEF ，所以0PB n ⋅=，即1919303t ⨯+⨯-=，解得4t =，所以(0,0,4)P ，由PD ⊥平面ABCD ，且底面是正方形，所以四棱锥P ABCD -外接球的直径就是PB ，由()9,9,4PB =-，得29PB ==所以外接球的表面积241782PB S ππ⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭. 故答案为：178π.【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力. 17. 【答案】（1）12a =-或2a =-；（2）C 点的坐标为(0,1)-或163,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式建立等式求解a 的值；（2）可求出以AB 为直径的圆的方程，与直线的方程联立即得C 点的坐标. 【详解】（12211a a =++，即133a a -=+，133a a ∴-=+或1(33)a a -=-+， 12a ∴=-或2a =-. （2）()1,0A -，(3,2)B 的中点为(1,1)M()221115MA =++=，以AB 为直径的圆的方程为22(1)(1)5x y -+-=，直角三角形ABC 的直角顶点C 是以AB 为直径的圆与直线l 的交点. 设(),C x y ，故满足22(1)(1)5x y -+-=由2a >-知，12a =-，直线:220l x y --=， 又(),C x y 在:220l x y --=上 联立方程22220,(1)(1) 5.x y x y --=⎧⎨-+-=⎩消去x 得：25230y y +-=，1y或35y =. 0,1.x y =⎧∴⎨=-⎩或16,53.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 点的坐标为(0,1)-或163,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】①A ，B ，C 构成以C 为直角顶点的直角三角形，等价于以AB 为直径的圆过点C ，且A ，B ，C 三点不共线.②处理圆与直线交点问题时，可由圆心到直线的距离与半径作比较，得出位置关系.联立两者方程，可求出交点坐标.18.【答案】（1）证明见解析；（2）233. 【解析】【分析】（1）连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO ，证明11B O DO 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）由题意可得平面11DAC ⊥平面11B D DB ，过点O 作1OH DO ⊥于H ，在矩形11B D DB 中，连接1OO ，可得1OOD OHD ∽△△，由三角形相似，对应边成比例即可求解. 【详解】（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =，11B O DO ∴是平行四边形.11//BO DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BBB D B ⋂=， 11AC ∴⊥平面11BD DB . ∴平面11DAC ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1OOD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=，3OH ∴==即点O 到平面11DA C的【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点O 作1OH DO ⊥于H ，得出OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离，考查了计算能力.19. 【答案】（1）32a =；（2）()1,2. 【解析】【分析】（1）令()1f a =，分0a >和0a ≤两种情况解方程，求出a 的值； （2）在同一坐标系内分别作出1()=y f x 和2y m =的图像，观察交点的个数求出m 的取值X 围.【详解】（1）当0a >，()1f a =即2321a a -+=，解得a =，均满足条件. 当0a ≤时，0a e >，11a e +>，()1f a ∴=无解.故a =. （2）如图示，在同一坐标系内分别作出1()=y f x 和2y m =的图像，当0x ≤时，()f x 单调递增，()12f x <≤；当0x >时，()f x 在30,2⎛⎤⎥⎝⎦上递减，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，3124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故当12m <<时，方程()0f x m -=恰有三个解，即实数的取值X 围是()1,2.【点睛】分离参数法求参数的X 围：数形结合求零点个数的问题是转化为()f x k =，分别做出1()=y f x 和2y k =的图像，观察交点的个数即为零点的个数，根据交点个数求出m 的取值X 围.20. 【答案】(1)证明见解析；6【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定可证得BC ⊥平面PAC ,则平面PBC ⊥平面PAC ,由AF PC ⊥,进而可得AF ⊥平面PBC ,即可证得结论.(2)由AF ⊥平面PBC ,则EF 就是AE 在平面PBC 内的射影,AEF ∠即为AE 与平面PBC 所成的角,计算即可求得结果. 【详解】(1)证明：PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC .BC PA ∴⊥.又BC AC ⊥,PA AC A =,BC ∴⊥平面PAC .考试∴平面PBC ⊥平面PAC .又平面PBC平面PAC PC =,AF ⊂平面PAC ,AF PC ⊥,AF ∴⊥平面PBC .又PB ⊂平面PBC ,AF PB ∴⊥.(2)由(1)知AF ⊥平面PBC ,连结EF ,则EF 就是AE 在平面PBC 内的射影.AEF ∴∠就是AE 与平面PBC 所成的角.22PB =2BC =2AC =,222336AF ==. 2AE =.在Rt AFE 中,6sin AF AEF AE ∠==. AE ∴与平面PBC 6. 21. 【答案】（1）()22x xf x -=-，()()22x x g x -=-+；（2）(,1]∞-.【解析】【分析】（1）用x -代替x 代入1()()2x f x g x +-=中，得到另外一个式子，用方程思想求解()f x 与()g x 的解析式即可.（2）化简不等式，分离参数，转化为22()121x h x =-+求值域的问题.【详解】（1）用x -代替x 代入1()()2x f x g x +-=中，得1()()2xf xg x ----=，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，1()()2x f x g x -∴--=，上式与1()()2x f x g x +-=联立，可得()22x xf x -=-，()()22x x g x -=-+.（2）()()0f x mg x ->即()2222x xxxm --->+，222121xx m -<+. 令2221()21x x h x -=+，则22()121x h x =-+.x ∈R ，2211x ∴+>，210121x <<+，222021--<<+x ，2211121x -<-<+. 1m ∴≤-，即实数m 的取值X 围是(,1]∞-.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .22.【答案】（1）224x y +=；（2）3k =±；（3）直线MN 过定点(2,2)-. 【解析】【分析】（1）由Q 为PA 的中点，得122OQ PB ==，点Q 的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆，直接写出圆的方程；（2）利用垂径定理，把△OST 的面积表示出来，求出斜率k ； （3）先表示出MN 的方程，在整理成点斜式002(2)2x y x x --=++，证明过定点（-2,2）. 【详解】（1）由题意知122OQ PB ==，则点Q 的轨迹E 是以O 为圆心，2为半径的圆，其方程为224x y +=.（2）设O 到直线l 的距离为d ，则ST =由△OST 12d ⋅⋅d = 1.当1d =时，SOT ∠为钝角，舍去，故d ==k =. （3）当1k =时，:2l y x =+.CM OM ⊥，CN ON ⊥，C ∴，M ，O ，N 四点在以OC 为直径的圆上.设()00,2C x x +，则以OC 为直径的圆的方程为()2220002022224x x x x x y +++⎫⎫⎛⎛-+-=⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ 即()220020x y x x x y +--+=.()()2200002220,2404.x y x x x y x x x y x y ⎧+--+=⇒++-=⎨+=⎩. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()0101240x x x y ++-=，()0202240x x x y ++-=.M ，N 的坐标都适合方程()00240x x x y ++-=，即直线MN 的方程为()00240x x x y ++-=，可整理为002(2)2x y x x --=++， ∴直线MN 过定点(2,2)-.【点睛】（1）待定系数法、定义法是求二次曲线标准方程的常用方法；（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；②直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ．。

2021年高一下学期4月检测数学试题 Word版含答案xx.4.23一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．.1.简谐振动的初相是 .答案:2.计算 .答案:3.函数的定义域为________.答案:4.函数的单调增区间为________.答案:5.已知，则________.答案:6.已知，，若点在线段上，且，则点的坐标为________.答案:7.在中，若，则该三角形是三角形.答案:等腰或直角三角形8.如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是．答案: Array 9.已知，是方程的两根，则的值为.________答案:10.若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为.答案:11. 式子的值为.答案:12. 在平面直角坐标系中，已知，，为坐标原点，的平分线交线段于点，则点的坐标为________．答案:13.函数，，在上有最大值，无最小值，则.答案:或14.在中，AB=2，AC=1，,O点是的外心，满足,其中为非零实数，则= ．答案:二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知平面向量＝(cos，sin)，＝(cosx，sinx)，＝(sin，－cos)，其中0＜＜，且函数f(x)＝(·)cosx ＋(·)sinx的图象过点(，1)，（1）求的值（2）将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值解：（1），，即∴，而，∴（2）由（1）得，，于是，即，当时，，所以，即当时，取得最小值，当时，取得最大值116.（本小题满分14分）已知向量＝(－1，2)，又点A(8，0)、B(n，t)，C(ksin，t)(0≤≤)(1)若⊥，且||＝||，求向量(2)若向量与向量共线，当k＞4，且tsin取最大值为4时，求解: ，又||＝||，∴5×64＝(n－8)＋t＝5t，得，或(2)＝(ksin－8，t)，∵与向量共线，∴t＝－2ksin＋16，∵tsin＝(－2ksin＋16)sin＝－2k(sin－)＋，又∵k＞4，∴1＞＞0232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k kθθθθ=-+=--+，,当sin ＝时， 取最大值为，由，得k ＝8，此时，17. （本小题满分14分）在平面四边形中，(1)若已知，，，，且.求的值；(2)若，，求的值.解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6，∠ADC ＝90°，则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513. ∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2)由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →，所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →.(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →)＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5.18. （本小题满分16分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M(－2，0)的直线L 与圆x ＋y ＝1交于P 、Q 两点(1)若＝－，求直线L 的方程 (2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线L 的斜率. （1）依题意，直线L 的斜率存在，因为 直线L 过点M(－2，0)，可设直线L ：y ＝k(x ＋2)因为P 、Q 两点在圆x ＋y ＝1上，所以||＝||＝1，因为·＝－，所以·＝||||cos ∠POQ ＝－，所以∠POQ ＝120，所以O 到直线L 的距离等于，所以，得k ＝±，所以直线L 的方程为x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0（2）因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以， 设P(x ，y)、Q(x ，y)，所以，，所以 即 （*） 因为P 、Q 两点在圆上，所以 把（*）代入得故故直线L 的斜率k ＝k ＝±.19. （本小题满分16分）如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪ABC ，直角边AB =40米，AC =米，扇形花坛ADE 是草坪的一部分，其半径为20米,为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路OM 和ON ，考虑到小区整体规划，要求M 、N 在斜边BC 上，O 在弧 上，，．（1）设∠OAE =，记,求的表达式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计的大小使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．解：（1）如图过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，则AF=20，OF=NG=20，CG=20，ON=，OM=ON,则120cos )]0,32l πθθθ⎛⎡⎤=++∈ ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭，...................................8分 （2）...............................12分，，即，总费用最少为..............................16分20. （本小题满分16分）设函数22()cos 2sin 262()f x x t x t t x R =--+-+∈，其中，将的最小值记为．（1）求的表达式；（2）当 时，要使关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．（3）问取何值时，方程在上有两解？解：（1）由已知有：由于，∴ ………………3分∴ 当 时，则当时，；当 时，则当时，；当 时，则当时，；综上， ……………………6分 D A BC O E M N 第19题图（2）当 时，，方程 即：即方程 在区间有且仅有一个实根，………8分令 ，则有：解法1：①若当k=-4时，方程有重根t=1，当k=-8时，方程有重根t=-1 ∴ ……10分② 628k k k +⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩＜-8＜-1k ＜-8q(-1)＜0＜k ＜-4q(1)＞0 或624k k k +⎧⎪⎧⎪⎪⇒⇒-⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩＞1＞-4q(-1)＞0k ＞-8＞k ＞-4q(1)＜0 综上，当时，关于的方程在区间有且仅有一个实根． ……………………………………12分解法2：由),4[]8,(0)4)(8(0)1()1(+∞---∞∈⇒≥++≤- k k k q q ，得．（3）令，22()6151g u u u a u u u a =-+=-⇒-+=或 ……………………………………16分(P, 34964 8894 袔=X29521 7351 獑32647 7F87 羇39875 9BC3 鯃@ 33540 8304 茄。

2020~2021年度下学期河南省高一年级期末考试数 学考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修3，必修4.第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.25sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．12-D ．122.已知向量()3,1a =-，(),2b m =- ，若//a b ，则m =（ ）A ．6-B ．23-C ．23D ．6 3.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示正面朝上的点数为奇数，则下列事件中与事件A 为对立事件的是（ ）A ．正面朝上的点数大于3B ．正面朝上的点数是2的倍数C ．正面朝上的点数为4或6D ．正面朝上的点数是3的倍数4.已知向量a ，b 满足24a b -=，且()12a a b ⋅+=，则向量a ，b 的夹角是（ ） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 5.已知扇形AOB 的周长为10，面积为6，则该扇形的圆心角为（ ）A ．3B ．43或3 C ．34 D ．34或3 6.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的贏得比赛（单局中无平局）.若甲，乙每局获胜的概率相同，则甲赢得比赛的概率为（ ） A ．316B ．14C ．516D ．127.已知函数()()()2cos sin f x x x ωϕωϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．128.某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A ，B ，C ，D 四个区间内，根据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（ ）A ．该校高一年级有300名男生B ．该校高一年级学生体重在C 区间的人数最多C ．该校高一年级学生体重在C 区间的男生人数为175D ．该校高一年级学生体重在D 区间的人数最少9.已知函数()44cos sin 2x x x f x =-+，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 是奇函数B ．()g x 的最小正周期是2πC ．()g x 的图象关于直线4x π=对称D ．()g x 在58,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 10.执行如图所示的程序框图，若输出的16s =，则判断框内填入的条件可以是（ ）A ．1k >？B ．2k >？C ．3k >？D ．4k >？11.某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名（每次考试无并列名次）.现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期3次考试名次的数据分别为甲同学：平均数为3，众数为2； 乙同学：中位数为3，众数为3； 丙同学：众数为3，方差小于3； 丁同学：平均数为3，方差小于3.则一定符合推荐要求的同学有（ ） A ．甲和乙B ．乙和丁C ．丙和丁D ．甲和丁12.已知函数()3sin 2cos2f x x m x =+，若对任意的[m ∈，()f x ≥x 的取值范围是（ ） A ．57,()2424k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．711,()2424k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZC ．572,2()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．7112,2()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13.已知某企业有男职工1800人，女职工1200人，为了解该企业职工的业余爱好，采用抽样调查的方式抽取150人进行问卷调查，最适当的抽样方法是 ；其中女职工被抽取的人数为 ．（本题第一空2分，第二空 3分） 14.已知in()3s 4a β+=，()1sin 3αβ-=，则tan tan αβ= ． 15.在区间[]0,3上随机取一个数a ，则函数()2sin 24f x x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在5,242ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点的概率为 ．16.在平行四边形ABCD 中，()()0AB AD AB AD +-=⋅，且4AB AD +=.若233BAD ππ≤∠≤，则AB AD ⋅的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量a ，b 的夹角为30︒，且2a =，3b =. （1）求2a b -的值；（2）若()()2ka b a kb -⊥-，求k 的值.18.已知α是第二象限角，且23sin()cos cos(3)sin 2212sin()cos cos ππαπαπααααα⎛⎫⎛⎫+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+. （1）求tan α的值； （2）求3sin 2cos 2αα+的值.19.某高校将参加该校自主招生考试的学生的笔试成绩按得分分成5组，得到的频率分布表如图1所示.该校为了选拔出最优秀的学生，决定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，根据面试成绩（满分：100分），得到如图2所示的频率分布直方图.图1图2（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差； （2）若该高校计划录取15人，求该高校的录取分数.20.已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）若16[],3x m ∈，函数()f x 的值城为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围. 21.随着经济的发展，人民生活水平得到提高，相应的生活压力也越来越大，对于娱乐生活的需求也逐渐增加.根据某剧场最近半年演出的各类剧的相关数据，得到下表：好评率是指某类剧演出后获得好评的场次与该类剧演出总场次的比值. （1）从上表各类剧中随机抽取1场剧，估计这场剧获得了好评的概率；（2）为了了解A ，B 两类剧比较受欢迎的原因，现用分层随机抽样的方法，按比例分配样本，从A ，B 两类剧中取出6场剧，对这6场剧的观众进行问卷调查.若再从这6场剧中随机抽取2场，求取到的2场剧中A ，B 两类剧都有的概率.22.已知函数()sin 2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）当0m =时，求方程()12f x =的解的集合； （2）当[]0,x π∈时，()f x 的最大值为8，求m 的值. 2020~2021年度下学期河南省高一年级期末考试数学参考答案1.A解析：25sin sin 8sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2.D解析：由题意可得()320m -⨯--=，解得6m =. 3.B解析：事件A 的对立事件为正面朝上的点数为偶数，即2的倍数. 4.C解析：因为()12a a b ⋅+=， 所以212a a b +⋅= 所以2124a b a ⋅=-=-. 因为cos ,a b a b a b ⋅=，所以41cos ,422a b a b a b⋅-===-⨯，则2,3a b π=. 5.B解析：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，由题意可得210,16,2r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得6,3l r =⎧⎨=⎩或4,3,l r =⎧⎨=⎩则该扇形的圆心角为43或3.6.C解析：由题意可知甲、乙打满4局比赛的胜负情况如下：由树状图可知，胜负情况共有16种，其中甲赢得比赛的情况有5种.故所求概率516P =. 7.A解析：()2cos()sin())f x x x x ωϕωϕωϕθ=+++=++，其中tan 2θ=. 因为()f x 是奇函数， 所以()k k ϕθπ+=∈Z ，所以()k k ϕπθ=-∈Z ，故tan tan 2ϕθ=-=-. 8.C解析：由题意可得该校高一年级有608012040300+++=名女生，则有800300500-=名男生，则男生体重在A ，B ，C ，D 区间内的人数分别为75，150，175，100，从而该校高一年级学生体重在A ，B ，C ，D 区间的人数分别为135，270，255，140，故A ，B ，D 错误，C 正确.9.D解析：由题意可得()22cos sin 2cos 222sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+⎪⎝⎭， 则()2sin 26g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，从而()g x 的最小正周期22T ππ==，故A ，B 错误. 令2()62x k k πππ-=+∈Z ，解得()23k k x ππ+∈=Z 当4x π=时，16k =-∉Z ，故C 错误.令3222()262k x k k πππππ''+≤+'-∈≤Z ，解得5()36k k x k ππππ'''≤≤+∈+Z . 当2k '=时，71736x ππ≤≤， 因为58717,,2336ππππ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以D 正确. 10.C解析：输入3m =，5n =，0k =，0s =.第一次循环可得2m =，3n =，5m =，5s =，1k =，判断条件不成立； 第二次循环可得2m =-，5n =，3m =，8s =，2k =，判断条件不成立； 第三次循环可得2m =，3n =，5m =，13s =，3k =，判断条件不成立； 第四次循环可得2m =-，5n =，3m =，16s =，4k =，判断条件成立. 跳出循环体输出结果.因此，判断框内的条件应为“3?k >”. 11.D解析：对于甲同学，平均数为3，众数为2，则3次考试的成绩的名次为2、2、5，满足要求；对于乙同学，中位数为3，众数为3，可举反例：3、3、6，不满足要求；对于丙同学，众数为3，方差小于3，可举特例：3、3、6，则平均数为4，方差()()222123464233s ⎡⎤=⨯-+-=<⎣⎦，不满足条件；对于丁同学，平均数为3，方差小于3，设丁同学3次考试的名次分别为1x ，2x ，3x ，若1x ，2x ，3x 中至少有一个大于等于6，则方差()()()2232212133333s x x x +-⎡⎤=-+->⎣⎦，与已知条件矛盾，所以1x ，2x ，3x 均不大于5，满足要求. 12.A解析：由题意可得3sin 223sin 22x x x x ⎧+≥⎪⎨≥⎪⎩2626x x ππ⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩则3222,464()3222464k x k k k x k ππππππππππ⎧+≤+≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤-≤+⎪⎩Z ，解得7,2424()5112424k x k k k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤≤+⎪⎩Z ， 故x 的取值范围是57,()2424k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 13.分层抽样；60解析：最适当的抽样方法是分层抽样.女职工被抽取的人数为12001506018001200⨯=+.14.135解析：由题意可得3sin cos cos sin 4a a ββ+=，1sin cos cos sin 3a βαβ-=， 则13sin cos 24αβ=，5cos sin 24αβ=，则tan sin cos 13tan cos sin 5ααββαβ==. 15.23解析：因为5,242x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以52,464x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 因为()f x 在5,242ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点， 所以[)1,2a ∈-. 因为[]0,3a ∈，所以[)0,2a ∈，则所求概率202303P -==-. 16.88,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：因为()()0AB AD AB AD +⋅-= ， 所以20AB AD -=，0AC BD ⋅=， 所以四边形ABCD 是菱形. 记AC ，BD 的交点为O （图略）， 因为4AB AD +=， 所以2AE =. 设2BAD θ∠=， 所以BAC θ∠=， 所以cos AO AB θ=，即cos AOAB θ=， 则222224cos 24||cos 2cos 28cos cos cos AB AD AB θθθθθθ⎛⎫⋅====- ⎪⎝⎭.因为233BAD ππ≤∠≤，即2233ππθ≤≤， 所以63ππθ≤≤，所以1cos 2θ≤≤， 所以213cos 44θ≤≤，则2164163cos θ≤≤， 故24888cos 3θ-≤-≤，即883AB AD -≤⋅≤. 17.解：（1）由题意可得||||cos ,233a b a b ab ⋅=〈〉=⨯=， 则22222(2)4442437a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯+=， 故2|2|(2)7a b a b -=-=.（2）因为()()2ka b a kb -⊥-， 所以()()20ka b a kb -⋅-=所以222220ka k a b a b kb -⋅-⋅+=， 所以231160k k -+=， 即()()3230k k --=.解得23k =或3k =. 18.解：（1）因为23sin()cos cos(3)sin 2212sin()cos cos ππαπαπααααα⎛⎫⎛⎫+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+， 所以222sin cos 12sin cos cos ααααα+=-+， 所以222sincos 2sin cos cos ααααα+=-+，即2sin 2sin cos ααα=-.因为α是第二象限角，所以sin 0α≠，cos 0α≠， 所以tan 2α=-.（2）2222226sin cos cos sin 6tan 1tan 3sin 2cos 2sin cos tan 1ααααααααααα+-+-+==++，由（1）可知tan 2α=-，所以226tan 1tan 1214153tan 1415ααα+--+-==-=-++. 19.解：（1）由题意可知抽取比例为601150303=+，则从第4组应抽取的人数为1150503⨯=， 从第5组应抽取的人数为130103⨯=. 故第4组和第5组的学生进人面试的人数之差为501040-=. （2）由题意可知该高校的录取率为品15100%25%60⨯=. 因为()0.020.04100.60.75+⨯=<，0.60.03100.90.75+⨯=>. 则该高校的录取分数在[)80,90内.设该高校的录取分数为x ，则()800.030.60.75x -⨯+=， 解得85x =.故该高校的录取分数为85分.20.解：（1）由图可得3A =，474433T ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭. 因为0ω>， 所以22T ππω==， 所以()3cos 2f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为()f x 的图象经过点4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3cos 33πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 所以()223k k πϕπ-+=∈Z ， 所以()223k k πϕπ=+∈Z .因为0ϕπ<<， 所以23πϕ=.故()23cos 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）因为163x m ≤≤， 所以102232323m x πππππ≤+≤+. 因为()f x 的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以2144233m ππππ≤+≤. 解得2038m ≤≤. 故m 的取值范围为20,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21.解：（1）设“随机抽取1场剧，这场剧获得好评”为事件N .获得了好评的场次为4000.92000.81500.61000.51500.6750⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.所以()750310004P N ==. （2）根据题意，A ，B 两类剧演出场次之比为400:2002:1=.所以A 类剧抽取4场，记为1a ，2a ，3a ，4a ，B 类剧抽取2场，记为1b ，2b ，从中随机抽取2场，所有取法为()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()12,a b ，()12,b b ，共15种.取到的2场中A ，B 两类剧都有的取法为()11,a b ，()21,a b ，()31,a b ，()41,a b ，()12,a b ，()22,a b ，()32,a b ，()42,a b ，共8种.所以取到的2场中A ，B 两类剧都有的概率815P =. 22.解：（1）当0m =时，()1sin 22f x x ==. 则22()6x k k ππ=+∈Z 或522()6x k k ππ=+∈Z ， 解得()12x k k ππ=+∈Z 或5()12x k k ππ=+∈Z . 故方程()12f x =的解的集合为12x x k ππ⎧=+⎨⎩或5,12x k k ππ⎫=+∈⎬⎭Z .（2）设sin cos 4t x x x π⎛⎫=⎪⎭- ⎝=-，则2sin 2 2sin cos 1x x x t ==-+.因为[]0,x π∈，所以3,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则[1t ∈-，故2 ()1(1y f t t mt t ==-++-≤.当12m<-，即2m <-时，()f t 在-⎡⎣上单调递减，则()max 1(8)f f t m =-=-=，解得8m =-，符合题意；当12m -≤≤，即2m -≤≤ ()f t 在1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2m ⎛- ⎝上单调递减，则2max 1()1824m f t f m ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得m =±当2m>m > ()f t 在-⎡⎣上单调递增，max ()18f t f =-=，解得2m =，符合题意.综上，m 的值为8-或2。

16B.-C.2020-2021学年河南省高一下学期期末考试数学试题考生注意：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A 版必修3,必修4.第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 顷（号）=（）D.5. 已知扇形AO8的周长为10,面积为6,则该扇形的圆心角为（） B.沁6. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的赢得比赛（单局中无平局）.若甲，乙每局获胜的概率相同，则甲赢得比赛的概率为（）2.己知向量。

=（一3,1）,片=（〃?,一2） ，若 allb,则 =A. -6B.2C.— 3D.3. 抛掷一枚质地均匀的骰子, 事件的是（）A.正面朝上的点数大于3C.正面朝上的点数为4或6 事件A 表示正面朝上的点数为奇数，则下列事件中与事件4为对立B. 正面朝上的点数是2的倍数D.34.己知向量。

，b 满足。

一2 5 =4 ,12,则向量。

，的夹角是（）A.- 671B. 一3571 D.— 6A. 37. 己知函数/(x) = 2cos (69x+^) + sin (69x+^?)是奇函数，则 tan°=() A. —2B. 2C.D.—228.某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A , B, C,。

四个区间 内，根据调查结果得到如下统计图B. 该校高一年级学生体重在C 区间的人数最多C. 该校高一年级学生体重在C 区间的男生人数为175D. 该校高一年级学生体重在。

区间的人数最少9.已知函数/（x ） = cos 4x-sin 4x+^3sin 2x ，将函数/（工）的图象向右平移：个单位长度，得到函数g （尤）的图象，则下列说法正确的是（）A. g （x ）是奇函数B. g （x ）的最小正周期是生,则下列说法正确的是（）女生体国宜方图男生体质扇形图TT c. g（x）的图象关于直线x =-对称D. g⑴在上单调递减10.执行如图所示的程序框图，若输出的5 = 16，则判断框内填入的可以是（）A. k>lB. k>2C. k>3D. k>411.某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评件除了要求该生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3 型考试中，每次考试的名次都在全校前5名（每次考试无并列名条件选条次大现有12.已知函数 /(%) = 3sin2x+mcos2% ,若对任意的 7??e[->/3,V3], /(%)> 5/6 恒成立，则 x 的取值范围是（）第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知某企业有男职工1800人，女职工1200人，为了解该企业职工的业余爱好， 的方式抽取150人进行问卷调查，最适当的抽样方法是_______________________________________________________________________ ； 抽取的人数为 ______________________ ・（本题第一空2分，第二空3分）Q1 tan OL14. 已知sin(a + /?) = a ，sin(a") = g, WJ —JT15.在区间[0,3] ±随机取一个数。

2024届河南省林州市林虑中学数学高一下期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知之间的一组数据如下： 1 3 4 7 8 10 1657810131519则线性回归方程所表示的直线必经过点 A ．（8，10）B ．（8，11）C ．（7，10）D ．（7，11）2．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2221,2b ac AB =+边上的中线长为2,则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．43．己知关于x 的不等式21x a x -++≥解集为R ，则突数a 的取值范围为( ) A ．](),13,⎡-∞⋃+∞⎣ B ．[]1,3 C ．](),31,⎡-∞-⋃-+∞⎣ D ．[]3,1--4．如果存在实数x ，使1cos 22x xα=+成立，那么实数x 的取值范围是（ ） A ．{1,1}-B ．{|0x x <或1x =}C ．{|0x x >或1}x =-D ．{|0x x ≤或1}x ≥5．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是（ ）A ．至多有一件次品B ．两件全是正品C ．两件全是次品D ．至多有一件正品6．为了得到函数sin(2)3y x π=+，(x ∈R )的图象，只需将sin(2)3y x π=-( x ∈R )的图象上所有的点（ ）.A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位 7．向量(1,1)a =-，(1,0)b =，若()(2)a b a b λ-⊥+，则λ=（ ） A ．2B ．2-C ．3D ．3-8．经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线10x y -+=的直线方程为( ) A ．10x y --=B ．10x y +-=C ．50x y --=D ．50x y +-=9．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制。

2024届河南省林州市第一中学分校高一数学第二学期期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．直线与圆交于不同的两点，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( ) A ．12倍 B ．2倍 C 2 D 2倍 3．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A,B,C,D 的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法正确的是A ．A+B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B+C 与D 不是互斥事件，但是对立事件C ．A+C 与B+D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．B+C+D 与A 是互斥事件，也是对立事件4．设函数21(0)()lg (0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2()()20f x af x -+=恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,22B ．()22,3C ．()3,4D ．()22,45．已知函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，且此函数的图象如图所示，由点(,)P ωϕ的坐标是（ ）A ．2,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,4π⎛⎫⎪⎝⎭6．已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．4B ．5C ．8D ．67．圆222440x y x y ++-+=的半径为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a =，4b =，则B =（ ）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒9．已知1cos(75)3α+=，则sin(15)α-值为 A ．13-B ．13C 22D ．2210．已知集合{}0,1,2,3,4M =，()(){}250N x x x =--<，则M N =（ ）A ．{}3,4B ．{}2,3,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,4,5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

河南省林州市第一中学-2020学年高一数学3月线上
调研考试试题
一、单选题（每题5分，共100分）
1.下列说法中，正确的是( )
A、第二象限的角是钝角
B、第三象限的角必大于第二象限的角
C、是第二象限角
D、，，是终边相同的角
2.若，，则的终边在（）
A、第一、三象限
B、第二、四象限
C、第一、三象限或轴上
D、第二、四象限或轴上答案 D
解析因为，所以 .
又，所以 .
所以，
所以，，
所以的终边应在第二、四象限或轴上.
3.已知扇形的周长是，扇形面积为，扇形的圆心角的弧度数是（）
A、B、C、D、
答案 A
解析设扇形的半径为，弧长为，则，解得，，
所以 .
4.已知点为角的终边上的一点，且，则的值为（）
A、B、C、D、答案 A。

2020-2021学年河南省安阳市林州市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 下列角中与390°终边相同的角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，则a ⃗ ⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=( )A. 4B. 3C. 2D. 03. 某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是( )A. 44号B. 294号C. 1196号D. 2984号4. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 为线段AD的中点，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值为( ) A. 13B. −13C. −16D. 165. 学校医务室对本校高一1000名新生的实力情况进行跟踪调查，随机抽取了100名学生的体检表，得到的频率分布直方图如下，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一新生中视力在4.8以下的人数为( ) A. 600 B. 390C. 610D. 510 6. 若cos(α−π6)=−√33，则cos(α−π3)+cosα=( ) A. −2√23 B. ±2√23 C. −1 D. ±17. 从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是( )A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则M 处可填入的条件为( )A. k ≥31B. k ≥15C. k >31D. k >159. 要得到函数y =3sin(2x +π5)图象，只需把函数y =3sin2x 图象( ) A. 向左平移π5个单位B. 向右平移π5个单位 C. 向左平移π10个单位D. 向右平移π10个单位 10. 下列说法错误的是( ) A. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度与向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等B. 零向量与任意非零向量平行C. 长度相等方向相反的向量共线D. 方向相反的向量可能相等11. 在[−1,1]上随机的取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆(x −5)2+y 2=9相交”发生的概率为( )A. 45B. 12C. 34D. 35 12. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n 的值为( ) A. 1B. 2C. −2D. 94二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 2020年疫情期间，某高中组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人、50人．若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生______人．14. 函数f(x)=2cos(12x +π3)−1在(0,2020π)的零点个数为______．15. 设θ为两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角，且θ=π6，已知对任意实数t ，|b ⃗ +t a ⃗ |的最小值为1，则|b ⃗ |=______．16. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知角α为第一象限角，且sinα=√55． (1)求cosα，tanα的值；(2)求3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)的值．18. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．(1)从袋中不放回随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)从袋中不放回依次抽取两个球，将点数分别记为x ，y.求点P(x,y)在直线x −y =1上的概率．)的部分图象如图所19.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2示．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及解析式；]上的最小值．(Ⅱ)设g(x)=f(x)−cos2x，求函数g(x)在区间[0,π220.设向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=1，且|3a⃗−2b⃗ |=√7．(1)求a⃗与b⃗ 的夹角；(2)求|2a⃗+3b⃗ |的大小．21.已知向量a⃗=(cosx,−1)，b⃗ =(√3sinx,1)，函数f(x)=(a⃗+b⃗ )⋅a⃗−1．2(1)求函数f(x)的单调递减区间；)上有解，求实数t的取值范围．(2)若方程f(x)−t=0在x∈(0,π222.某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分为100分)，从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所有数据均在[40,100]内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，回答下列问题：(1)算出第三组[60,70)的频数，并补全频率分布直方图；(2)请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数．(每组数据以区间的中点值为代表)答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵390°=30°+1×360°，∴30°与390°角是终边相同的角，故A选项正确，390°−60°=330°≠k⋅360°，k∈Z，故B选项错误，390°−120°=270°≠k⋅360°，k∈Z，故C选项错误，390°−150°=240°≠k⋅360°，k∈Z，故D选项错误．故选：A．根据终边相同的角的定义，即可求解．本题主要考查了终边相同的角的概念，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，a⃗⋅b⃗ =−1，则a⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=2a⃗2−a⃗⋅b⃗ =2+1=3，故选：B．3.【答案】B【解析】解：某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，=15，抽到的84号是第6段的第9个，故每段被抽到的号为15k+9，k∈Z，k=0，则分段的间隔为30002001，2，3， (199)故选：B ．根据系统抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵点E 为线段AD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12[AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=12(−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−16．故选：C ．根据题中所给条件，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求得λ．本题考查平面向量的基本定理，做题时需注意合理应用平面向量的线性运算，属基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由频率分布直方图求出第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，再由后四组的频数成等差数列，求出后四组的频数分别为：27，24，21，18，从而视力在4.8以下的频率为：3+7+27+24100=0.61，由此能估计高一新生中视力在4.8以下的人数．【解答】解：由频率分布直方图得：第一组有100×0.015×0.2=3人，第二组有100×0.35×0.2=7人，第三组有100×1.35×0.2=27人，后四组的频数成等差数列，故后四组的频数分别为：27，24，21，18，∴视力在4.8以下的频率为：3+7+27+24100=0.61，∴估计高一新生中视力在4.8以下的人数为1000×0.61=610．故选：C．6.【答案】C【解析】解：∵cos(α−π6)=−√33，∴cos(α−π3)+cosα=cosαcosπ3+sinαsinπ3+cosα=12cosα+√32sinα+cosα=√32sinα+32cosα=√3(12sinα+√32cosα)=√3cos(α−π6)=√3×(−√33)=−1．故选：C．展开cos(α−π3)，整理后再由两角差的余弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的余弦，是基础题．7.【答案】B【解析】解：从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，在A中，“至少一个红球”与“至少一个黄球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至多一个红球”与“都是红球”是对立事件，故B正确；在C中，“都是红球”与“都是黄球”是互斥事件，但不是对立事件，故C错误；在D中，“至少一个红球”与“至多一个黄球”能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：B．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得k=1不满足判断框内的条件，执行循环体，S=1，k=3不满足判断框内的条件，执行循环体，S =4，k =7不满足判断框内的条件，执行循环体，S =11，k =15由题意，此时应该满足判断框内的条件，退出循环，输出的结果为11，可得M 处可填入的条件为k ≥15？故选：B ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】C【解析】解：把函数y =3sin2x 图象向左平移π10个单位，可得y =3sin2(x +π10)=3sin(2x +π5)的图象， 故选：C ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题目．根据平面向量的基本定义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：对于A ，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等，方向相反，故A 正确；对于B ，零向量与任意非零向量是共线向量，即平行向量，故B 正确；对于C ，长度相等方向相反的向量是相反共线，是共线向量，故C 正确；对于D ，方向相反的向量可能相等，命题错误．故选D ．11.【答案】C【解析】解：圆(x −5)2+y 2=9的圆心为(5,0)，圆心到直线y =kx 的距离为d =√1+k 2，要使直线y =kx 与圆(x −5)2+y 2=9有公共点， 应满足√1+k 2<3，解得−34≤k ≤34，所以在区间[−1,1]上随机取一个数k ，使直线y =kx 与圆(x −5)2+y 2=9有公共点的概率为P =34−(−34)1−(−1)=34． 故选：C ．利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，求出满足条件的k ，根据几何概型的概率公式计算即可．本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质问题，是基础题目．12.【答案】B【解析】解：由已知得AO ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 结合AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12n AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又因为O ，M ，N 三点共线，所以12m +12n =1，所以m +n =2．故选：B ．根据平面内三点共线的充要条件进行判断，即若A ，B ，C 三点共线，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,(x +y =1)． 本题考查了平面内三点共线的充要条件的推论．注意抓住是从同一点出发的三个向量间的关系，注意辨析．13.【答案】3000【解析】解：由已知，高三年级抽取的学生数为150−40−50=60， 设该高中的学生总数为n ，则601200=150n ，解得n =3000，所以该高中共有学生3000人．故答案为：3000．先求出高三年级抽取的学生数，然后由比例关系，列式求解即可．本题考查了分层抽样的理解和应用，解题的关键是掌握分层抽样的特点，即按比例抽取，考查了逻辑推理能力，属于基础题．14.【答案】1009【解析】解令f(x)=0等价于cos(12x+π3)=12．因为0<x<2020π，所以π3<12x+π3<1010π+π3．由函数图象及性质可知，cost=12(t∈(π3,1010π+π3))共有1009个解，故f(x)=2cos(12x+π3)−1,x∈(0,2020π)的零点个数为1009．故答案为：1009直接利用函数的零点和方程的根的关系及三角函数的图象和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：由题意，|b⃗ +t a⃗|2=b⃗ 2+2t a⃗⋅b⃗ +t2a⃗2，∴f(t)=b⃗ 2+2t a⃗⋅b⃗ +t2a⃗2，t∈R，∴f(t)的最小值为4a⃗2⋅b⃗2−(2a⃗ ⋅b⃗)24a⃗2=4a⃗2b⃗2−4a⃗2b⃗2cos2θ4a⃗2=4b⃗2sin2θ4=1，即|b⃗ |2sin2θ=1，解得|b⃗ |=2，故答案为2．计算|b⃗ +t a⃗|2，它是关于t的二次函数，利用二次函数的性质求该函数的最小值，从而求出|b⃗ |的值．本题考查了平面向量数量积与模长的计算问题，同时也考查了运算求解能力，是中档题．16.【答案】π8【解析】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，所以黑色部分的面积为S =12π⋅12=π2，则所求的概率为P =π222=π8． 故答案为：π8．根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的概率公式计算即可．本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵角α为第一象限角，且sinα=√55， ∴cosα=√1−sin 2α=2√55，tanα=sinαcosα=12． (2)3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)=3sinα+2cosαsinα=3+2tanα=3+212=7．【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．(1)由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解；(2)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．18.【答案】解：(1)从装有四个形状大小完全相同的球的袋中，不放回随机抽取两个球，没有顺序的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，其中取出的球的编号之和不大于4的基本事件有：(1,2)，(1,3)，共2个，故取出的球的编号之和不大于4的概率为26=13；(2)不放回抽取点数分别记为x ，y ，因此需要考虑顺序，则总的基本事件有4×3=12种，其中在直线x −y =1上的有(2,1)，(3,2)，(4,3)，共3种， 故点P(x,y)在直线x −y =1上的概率为312=14．【解析】(1)求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．(2)求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)由图可知A=1，T 2=23π−π6=π2，∴T=π，ω=2----------------------(2分)当x=π6时，f(x)=1，可得sin(π3+ϕ)=1，∵|ϕ|<π2，∴ϕ=π6，∴f(x)=sin(2x+π6)-------------------------------------------(5分)(Ⅱ)g(x)=f(x)−cos2x=sin(2x+π6)−cos2x=sin2xcos π6+cos2xsinπ6−cos2x=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)-------------------------------------------------(7分)∵0≤x≤π2∴−π6≤2x−π6≤5π6-------------------------------(8分)∵−12≤sin(2x−π6)≤1，∴g(x)的最小值为−12---------------------------(10分)【解析】(Ⅰ)根据图象求出A，计算周期T，将x的值代入表达式求出对应的系数，求出函数的解析式即可；(Ⅱ)求出g(x)的表达式，将其化简，根据三角函数的性质求出其最小值即可．本题考查了求三角函数的解析式，考查三角函数的性质，是一道中档题．20.【答案】解：(1)∵|a⃗|=|b⃗ |=1，|3a⃗−2b⃗ |=√7；∴(3a⃗−2b⃗ )2=9a⃗2+4b⃗ 2−12|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >=9+4−12cos<a⃗,b⃗ >=7；∴cos<a⃗,b⃗ >=12；又0≤<a⃗,b⃗ >≤π；∴a⃗与b⃗ 的夹角为π3；(2)∵a⃗⋅b⃗ =12,a⃗2=b⃗ 2=1；∴(2a⃗+3b⃗ )2=4a⃗2+12a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2=4+6+9=19；∴|2a⃗+3b⃗ |=√19．【解析】(1)根据|a⃗|=|b⃗ |=1，对|3a⃗−2b⃗ |=√7两边平方，进行数量积的运算即可求出cos<a⃗,b⃗ >=12，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；(2)可求出a⃗⋅b⃗ =12，从而可求出|2a⃗+3b⃗ |2=19，从而求出|2a⃗+3b⃗ |=√19．考查数量积的运算及计算公式，以及向量长度的求法．21.【答案】解：(1)由于向量a⃗=(cosx,−1)，b⃗ =(√3sinx,1)，所以a⃗+b⃗ =(cosx+√3sinx,0)，故f(x)=(a⃗+b⃗ )⋅a⃗−12=1+cos2x2+√3sin2x2−12=sin(2x+π6).令π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得π6+kπ≤x≤kπ+2π3(k∈Z)，故函数的单调递减区间为[π6+kπ,kπ+2π3](k∈Z)．(2)由于x∈(0,π2)故2x+π6∈(π6,7π6)，所以f(x)=sin(2x+π6)∈(−12,1],由于方程f(x)−t=0在x∈(0,π2)上有解，即函数y=f(x)和函数y=t有交点，所以t∈(−12,1]．,1]．故t的范围为(−12【解析】(1)直接利用向量的坐标运算和向量的数量积的应用和三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间；(2)利用函数的图象和三角函数的定义域及值域的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22.【答案】解：(1)因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60,70)内的频率为：f=1−10(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15，所以第三组[60,70)的频数为120×0.15=18(人)，完整的频率分布直方图如图：(2)因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分；又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45×(10×0.005)+55×(10×0.015)+65×(10×0.015)+75×(10×0.03)+85×(10×0.025)+95×(10×0.01)=73.5(分)．所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分．【解析】(1)频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[60,70)内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；(2)根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，x=中位数将所有的小长方形的面积均分；同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分．本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．本题属于中档题．。