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绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A（B（C）3 （D）5考点：复数的基本概念及其四则运算概念：①；②两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数解析：因为所以所以z ⋅⎺z = (2+i) (2-i)=22-i2=4-(-1)=5，答案：D（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4考点：考查程序框图的应用，考查学生逻辑推理能力、运算求解能力解析：解决此类问题最常用的方法就是代入求值法。
当k=1，s=1时，，不满足k≥3，进入循环；当k =2，s =2时，，不满足k ≥3，进入循环； 当k =3，s =2时，， 满足k ≥3，退出循环；输出s =2； 答案：B（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65考点：考查点到线的距离【直线与方程】和参数方程与一般方程的转化 概念：平面中点(m,n )到直线ax+by+c =0的距离为d解析：首先，将直线l 由参数方程转变为一般方程。
由x=1+3t 可得,将t 代入至y=2+4t 中可得转化成一般方程为4x-3y+2 =0其次，根据点到直线的距离公式，代入公式算出数值即可答案：D（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b2（C ）a =2b （D ）3a =4b考点：椭圆的性质概念：①椭圆（a ＞b ＞0）的离心率解析：根据椭圆方程的公式可知：推出推出3a 2=4b 2 答案：B（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7考点：不等式的计算及应用解析：解题思路：作图法。
2019 年高考真题北京卷理科数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）1.已知复数z = 2 + i，则z⋅ z =（）．A.√3B.√5C.3D.5【答案】D【解析】复数z = 2 + i，∴z= 2 − i，∴z⋅ z = (2 + i)(2 − i)= 4 − i2 = 5．故选D ．2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）．A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得k = 1，s = 1；s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 2，s = 2，不满足条件k⩾ 3，执行循环体，k = 3，s = 2，此时，满足条件k⩾ 3，退出循环，输出s的值为2．故选：B．3.己知直线l 的参数方程为{x = 1 + 3t（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）．y = 2 + 4tA.1 B.2 C.4 D.6 5 5 5 5【答案】 D【解析】 l 的参数方程{x = 1 + 3t ，y = 2 + 4t∴l 的一般方程：4x − 3y + 2 = 0，∴点(1,0)到l 的距离，d =|4+2| √42+32故选D ．= 6． 54.已知椭圆x 2+ y 2= 1（a > b > 0）的离心率为1，则（ ）．a 2b 22A.a 2 = 2b 2B.3a 2 = 4b 2C.a = 2bD.3a = 4b【答案】 B【解析】 由题意，c = 1，得c 2 = 1，则a 2−b 2 = 1，a2a 24a 24∴ 4a 2 − 4b 2 = a 2，即3a 2 = 4b 2． 故选：B ．5.若x ，y 满足|x | ⩽ 1 − y ，且y ⩾ −1，则3x + y 的最大值为（ ）．A.−7B.1C.5D.7【答案】 C【解析】 由{|x | ⩽ 1 − yy ⩾ −1作出可行域如图，联立{y = −1x + y − 1 = 0，解得A (2, −1)，令z = 3x + y ，化为y = −3x + z ，由图可知，当直线y = −3x + z 过点A 时，z 有最大值为3 × 2 − 1 = 5．故选：C．6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2 −m1 =5 lg E1，其中星等为m的星的亮度为E (k = 1,2)．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是2 E2k k−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）．A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10−10.1【答案】A【解析】设太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，由题得，−1.45 − (−26.7) =5 lg2E1，E2∴lg E1E2= 25.25 × 25= 10.1，∴E1 = 1010.1 ．E2故选A．→→→→→7.设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】A，B，C不共线，→→→BC = AC− AB，→→→若|AB + AC| > |BC|，→→→→即|AB + AC| > |AC− AB|，→→→→∴(AB + AC)2 > (AC− AB)2，→→→→→→→→即AB2 + AC2 + 2AB⋅ AC > AB2 + AC2− 2AB⋅ AC，→→4AB⋅ AC > 0，→→|AB| ⋅ |AC| ⋅ cos A > 0，∴cos A > 0，→→即AB与AC为锐角或同向共线，∴A，B，C不共线，→→∴AB与AC夹角为锐角，→→→→→∴“AB与AC的夹角是锐角”是“|AB + AC| > |BC|”的充要条件．故选C．8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C: x2 + y2 = 1 + |x|y就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）．A.①B.②C.①②D.①②③【答案】C【解析】将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x = 0时，代入得y2 = 1，∴ y = ±1，即曲线经过(0,1)，(0, −1)；当x > 0时，方程变为y2− xy + x2− 1 = 0，所以Δ = x2− 4(x2− 1) ⩾ 0，解得x∈ (0，2√3]，3所以x只能取整数1，当x = 1时，y2− y = 0，解得y = 0或y = 1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当x > 0时，由x2 + y2 = 1 + xy得x2 + y2− 1 = xy⩽x 2+y2，（当x = y时取等），2∴ x2 + y2⩽ 2，∴ √x2 + y2 ⩽√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；故②正确．在x 轴上图形面积大于矩形面积= 1 × 2 = 2，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积= 12× 2 × 1 = 1，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于2 + 1 = 3，故③错误．故选C ．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9.函数f (x ) = sin 22x 的最小正周期是 ．【答案】π 2【解析】 f (x ) = sin 22x=1−cos 4x2 = − 12cos 4x + 1，2∴最小正周期T = 2π = π．42故答案为：π．210.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2 = −3，S 5 = −10，则a 5 = ，S n 的最小值为．【答案】 0 −10【解析】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2 = −3，S 5 = −10，a 1 + d = −3∴ {5a+ 5×4 d = −10 ，2解得a 1 = −4，d = 1，∴ a 5 = a 1 + 4d = −4 + 4 × 1 = 0，S = n a+n (n−1) d = −4n +n (n−1)19 281，n12= (n − ) −22 2 8∴ n = 4或n = 5时，S n 取最小值为S 4 = S 5 = −10． 故答案为：0，−10．11. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 ．1。
2019年北京卷 理科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。
1.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ） A.3B.5C. 3D. 5【答案】D 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B .3.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【答案】D【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离226543d ==+,故选D.4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.5.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） A. −7 B. 1C. 5D. 7【答案】C 【详解】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】D【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E EE E -=⋅= ， 故选D.7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不2结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019北京高考试题解析版-数学（理）（纯word ）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！数学〔理〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分、考试时长120分钟、考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、第一部分〔选择题共40分〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分、在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项、1、集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，那么A B =〔〕A 、()1-∞-，B 、213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭， C 、233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D 、()3+∞，【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A 、应选D 、 【答案】D2、设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D 、在区域D 内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是〔〕A 、π4B 、π22-C 、π6D 、4π4-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，应选D 。
【答案】D3、设a b ∈R ，、“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的〔〕A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】当a ＝0时，如果b 也等于0，那么i a b +是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +为纯虚数，那么一定有a ＝0，所以是必要条件，选B 。
2019年高考理数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知复数z=2+i ，则 z ·z −=（ ）A. √3B. √5C. 3D. 5 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知直线l 的参数方程为 {x =1+3ty =2+4t （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（ ）A. 15 B. 25 C. 45 D. 65 4.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （a>b>0）的离心率为 12 ，则（ ） A. a 2=2b 2 B. 3a 2=4b 2 C. a=2b D. 3a=4b 5.若x ，y 满足|x|≤1-y ，且y≥-1.则3x+y 的最大值为（ ） A. -7 B. 1 C. 5 D. 76.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2= 52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.17.设点A ，B ，C 不共线，则“ AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2+y 2=1+|x|y 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任一点到原点的距离都不超过 √2 ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考理数真题试卷（北京卷）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.（2019•北京）已知复数z=2+i，则=（）A. B. C. 3 D. 52.（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43.（2019•北京）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A. B. C. D.4.（2019•北京）已知椭圆（a>b>0）的离心率为，则（）A. a2=2b2B. 3a2=4b2C. a=2bD. 3a=4b5.（2019•北京）若x，y满足|x|≤1-y，且y≥-1.则3x+y的最大值为（）A. -7B. 1C. 5D. 76.（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m1-m2=，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.17.（2019•北京）设点A，B，C不共线，则“ 与的夹角为锐角”是“| + |>| |”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.（2019•北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）A. ①B. ②C. ①②D. ①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.（2019•北京）函数f（x）=sin22x的最小正周期是________.10.（2019•北京）设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3，S5=-10，则a5=________，S n的最小值为________.11.（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得.其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1.那么该几何体的体积为________.12.（2019•北京）已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：①l⊥m：②m∥α：③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________。
2019北京卷理科数学一、单选题1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=A B C ．3D ．5【答案】D 【解析】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D. 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B . 3．已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D 【解析】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D. 4．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查. 5．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】D 【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=， 10.110.112211010E EE E -=⋅= ， 故选D.7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u v 与AC u u u v的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∵|AB u u u v +AC u u uv |>|BC u u u r|⇔|AB u u u v +AC u u u v |>|AB u u u v -AC u u uv |⇔|AB u u u v +AC u u u v |2>|AB u u u v -AC u u uv |2AB u u u r ⇔•AC u u u v >0AB u u u r ⇔与AC u u u v的夹角为锐角.故“AB u u u v与AC u u u v 的夹角为锐角”是“|AB u u u v +AC u u uv |>|BC u u u r|”的充分必要条件,故选C.8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；①曲线C ； ①曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论∵正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点. 结论∵正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法∵错误.故选C. 二、填空题9．函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 【答案】2π. 【解析】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π 【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】0. -10. 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】在正方体中还原该几何体，如图所示几何体的体积V=43-12（2+4）×2×4=4012．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l①m；①m①α；①l①α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l∵α，m∵α，则l∵m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l∵α，m∵α，则l∵m. 正确；（2）如果l∵α，l∵m，则m∵α.不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l∵m，m∵α，则l∵α.不正确，有可能l与α斜交、l∵α.13．设函数f（x）=e x+a e−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】-1; (],0-∞. 【解析】若函数()xxf x e ae -=+为奇函数,则()()(),xx x x f x f x eae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()xxf x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0xxf x e ae-=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；①在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 【答案】130. 15. 【解析】（1）x =10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒， 需要支付（60+80）-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y ＜元时，李明得到的金额为y ×80%，符合要求.120y ≥元时，有（y -x ）×80%≥y ×70%成立，即8（y -x ）≥7y ，x ≤8y ，即x ≤（8y）min =15元. 所以x 的最大值为15.三、解答题15．在①ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （①）求b ，c 的值； （①）求sin （B –C ）的值．【答案】(∵) 375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩；(∵)【解析】(∵)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.(∵)由同角三角函数基本关系可得：sin 2B ==， 结合正弦定理sin sin b c B C =可得：sin sin 14c B C b == 很明显角C为锐角，故11cos 14C ==， 故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=16．如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ①平面ABCD ，AD ①CD ，AD ①BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （①）求证：CD ①平面PAD ； （①）求二面角F–AE–P 的余弦值； （①）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解析】(∵)由于P A ∵平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ∵CD ， 由题意可知AD ∵CD ，且P A ∩AD =A ， 由线面垂直的判定定理可得CD ∵平面P AD .(∵)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ，由13PF PC =u u u r u u u r 可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12PE PD =u u u r u u u r可得()0,1,1E ，设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =u r，则()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-u r，很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =r，cos ,m n m n m n⋅<>===⨯u r ru r r u r r ，二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P. (∵)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =u u u r u u u r 可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-u r，其0m AG ⋅=u r u u u r且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内.17．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（①）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（①）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（①）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【解析】(∵)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540---=人，则： 该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4021005p ==. (∵)由题意可知，仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25， 仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 可能的取值为0,1,2.()32605525p X ==⨯=，()22321315525p X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525p X ==⨯=，X 的分布列为：其数学期望：()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=. (∵)我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。
