《金版新学案》高三数学一轮复习 第七章 第4课时 空间中的平行关系线下作业 文 新人教A版

第7章 第4节(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分) 1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．抛物线B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆【解析】 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧|y |－1≥0，(|y |－1)2＋(x －1)2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1；或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－1，(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.【答案】 D2．若动点P 到点F (1,1)和直线3x ＋y ＝4的距离相等，则点P 的轨迹方程为( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y －2＝0D ．3x －y ＋2＝0【解析】 在直线x －3y ＋2＝0上任取一点A (－2,0)， 则|AF |＝32＋12＝10，点A 到3x ＋y －4＝0的距离d ＝|3×(－2)＋0－4|10＝10，∴|AF |＝d .故选B. 【答案】 B 3．下列说法正确的是( )A ．△ABC 中，已知A (1,1)，B (4,1)，C (2,3)．则AB 边上的高的方程是x ＝2 B ．方程y ＝x 2(x ≥0)的曲线是抛物线C ．已知平面上两定点A 、B ，动点P 满足|P A |－|PB |＝12|AB |，则P 点的轨迹是双曲线D ．第一、三象限角平分线的方程是y ＝x【解析】 选项A 符合曲线与方程的概念(1)曲线上的点的坐标均是这个方程的解，不符合(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点．选项B 符合(2)但不符合(1)．选项C 符合(2)但不符合(1)，选项D 符合(1)、(2)．故选D.【答案】 D4．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点是( )A ．(2,1)B ．(±2,1)C ．(2,1)或(25，5)D ．(±2,1)或(±22，5)【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2x 2＋y 2＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1. 故选B. 【答案】 B5．若直线y ＝kx ＋1与曲线x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y ＝0消去y 得(1＋k 2)x 2＋2kx ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝－2k1＋k 2.∵两个交点关于y 轴对称， ∴x 1＝－x 2，∴k ＝0. 【答案】 A6．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0【解析】 设C (x ，y )，则(x ，y )＝α(3,1)＋β(－1,3)＝(3α－β，α＋3β)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－β，y ＝α＋3β，解得⎩⎨⎧α＝110(3x ＋y )β＝110(3y －x )..代入α＋β＝1，得x ＋2y －5＝0.故选D.【答案】 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程是____________．【解析】 设A 点坐标为(x ，y )，则D ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2. ∴|CD |＝⎝⎛⎭⎫x 2－52＋y 24＝3(y ≠0)．整理得(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) 【答案】 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)8．如图，已知点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上运动，且|AB |＝2a (a ＞0)，则AB 的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，由中点坐标公式得A (2x,0)，B (0,2y )， ∴(2x －0)2＋(0－2y )2＝2a ，化简得x 2＋y 2＝a 2.∵点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上，∴点M 在第一象限， 即x ＞0，y ＞0，故点M 的轨迹方程为：x 2＋y 2＝a 2(x ＞0，且y ＞0)． 【答案】 x 2＋y 2＝a 2(x ＞0且y ＞0)9．曲线C 1的方程为f (x ，y )＝0，曲线C 2的方程为φ(x ，y )＝0，点M 的坐标为(a ，b )，命题p ：M ∉C 1∩C 2；命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧f (a ，b )≠0φ(a ，b )≠0，则p 是q 的________条件．【解析】 由q ：M ∉C 1且M ∉C 2，∴M ∉C 1∩C 2，p 成立． 由p ：可能有M ∈C 1但M ∉C 2或M ∈C 2但M ∉C 1，q 不一定成立． ∴p 是q 的必要非充分条件． 【答案】 必要非充分 三、解答题(共46分)10．(15分)已知⊙C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，由动点P 向⊙C 引两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，使∠APB 始终保持60°，求动点P 的轨迹方程．【解析】 由已知在Rt △CAP 中，∠CAP ＝90°，∠APC ＝30° |CA |＝2，则|PC |＝4，∴P 点轨迹是以C (－1,3)为圆心，4为半径的圆． 故动点P 的轨迹方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝16.11．(15分)设F (m,0)(m >0)为定点，P ，M ，N 为动点，且P ，M 分别在y 轴和x 轴上，若PM →·PF →＝0，PN →＋PM →＝0，求点N 的轨迹C 的方程．【解析】 设N (x ，y )，M (x 0,0)，P (0，y 0)，则PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(m ，－y 0)，PN →＝(x ，y －y 0)， 由PM →·PF →＝0，得mx 0＋y 20＝0， 由PN →＋PM →＝0，得(x 0＋x ，y －2y 0)＝0，∴将⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x y 0＝y2代入mx 0＋y 20＝0，得y 2＝4mx 即为所求． 12．(16分)已知点P 是圆x 2＋y 2＝4上一个动点，定点Q 的坐标为(4,0)． (1)求线段PQ 的中点的轨迹方程；(2)设∠POQ 的平分线交PQ 于点R (O 为原点)，求点R 的轨迹方程．【解析】 (1)设线段PQ 的中点坐标为M (x ，y )，由Q (4,0)可得点P (2x －4,2y )，代入圆的方程x 2＋y 2＝4可得(2x －4)2＋(2y )2＝4，整理可得所求轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.(2)设点R (x ，y )，P (m ，n )，由已知|OP |＝2，|OQ |＝4， ∴|OP ||OQ |＝12，由角平分线性质可得|OP ||OQ |＝|PR ||RQ |＝12.又∵点R 在线段PQ 上，∴PR →＝12RQ →，∴点R 分有向线段PQ →的比为12，由定比分点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋12×41＋12＝2m ＋43，y ＝n ＋12×01＋12＝2n 3，即⎩⎨⎧m ＝3x －42，n ＝3y2，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3x －42，3y 2，代入圆的方程x 2＋y 2＝4可得⎝⎛⎭⎫3x －422＋⎝⎛⎭⎫3y 22＝4，即⎝⎛⎭⎫x －432＋y 2＝169(y ≠0)．∴点R 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －432＋y 2＝169(y ≠0)．。

第四节平行关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．(对应学生用书第101页)[基础知识填充]1．直线与平面平行的判定与性质若直线l平面α，直线lα，l∥α，则l∥α若直线l∥平面α，l平面β，α∩β＝b，则l∥b若直线a平面β，直线bβ，a平面α，b平面α，a∩b＝A ，并且a∥β，b∥β，则α∥β(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行，即α∥β，mα，则m∥β.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)下列命题中，正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥αD[根据线面平行的判定与性质定理知，选D．]3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为mα，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．平行[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．(2017·河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若mα，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上序号)．【导学号：00090247】②[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或mβ，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．](对应学生用书第102页)N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A．][规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[变式训练1] (1)(2018·唐山模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( ) 【导学号：00090248】A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥nD．若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1其中推断正确的序号是( )图7­4­1A．①③B．①④C．②③D．②④(1)D(2)A[(1)在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或nα，故A错误．在B中，若m α，nβ，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n ∥m，nβ，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．(2)∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF ∥A 1C 1，A 1C 1与平面BC 1D 1相交，∴EF 与平面BC 1D 1相交，故②错误； ∵E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点， ∴FG ∥BC 1，∵FG平面BC 1D 1，BC 1平面BC 1D 1，∴FG ∥平面BC 1D 1，故③正确；∵EF 与平面BC 1D 1相交，∴平面EFG 与平面BC 1D 1相交，故④错误．]1111AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1； (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．图7­4­2[解] (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 2分连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.4分又∵OD 1平面AB 1D 1，BC 1平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. 6分(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O 得BC 1∥D 1O ，8分同理AD 1∥DC 1，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB，A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，又∵A 1OOB ＝1， ∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.12分[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用反证法(线面平行的定义)； (2)利用线面平行的判定定理(aα，b α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a ∥α⇒a ∥β)．2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[变式训练2] (2018·西安模拟)如图7­4­3，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点，设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1；【导学号：00090249】图7­4­3[证明] 法一：取A 1B 1的中点为F 1，连接FF 1，C 1F 1，由于FF 1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1，因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1.连接A 1D ，F 1C ，由于A 1F 1綊D 1C 1綊CD ，所以四边形A 1DCF 1为平行四边形，因此A 1D ∥F 1C ． 又EE 1∥A 1D ，得EE 1∥F 1C ，而EE 1平面FCC 1，F 1C 平面FCC 1，故EE 1∥平面FCC 1.法二：因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ，因此四边形AFCD 为平行四边形，所以AD ∥FC ．又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC 平面FCC 1，CC 1平面FCC 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又EE 1平面ADD 1A 1，所以EE 1∥平面FCC 1.如图111A1B1，A1C1的中点，求证：图7­4­4(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1. 2分又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面. 5分(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC．∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG. 7分∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB．∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG. 10分∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG. 12分[母题探究] 在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．[证明]如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B．5分又HD平面A1B1BA，A 1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA．12分[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行．线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．[变式训练3] (2016·山东高考)在如图7­4­5所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．图7­4­5(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．[证明](1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF. 2分如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF. 4分因为FB平面BDEF，所以AC⊥FB．5分①(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF. 8分又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC．又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC．因为GH平面GHI，所以GH∥平面ABC．12分②。

《金版新学案》高三数学一轮复习第七章第3课时空间点、直线、平面之间的位置关系线下作业文新人教A版(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：根据平面的基本性质进行判断．①不正确，若此三点共线，则过共线的三点有无数个平面．②不正确，当A、B、C三点共线时，P、A、B、C四点共面．③不正确，共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面．④不正确，将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，显然不是平行四边形，选A.答案： A2．若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( )A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行解析：若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交．答案： B3．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案： A4．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC解析：注意审题是选不正确的选项，分别判断易知D选项中当四点构成空间四面体时，只能推出AD⊥BC，二者不一定相等，如图易证得直线BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.答案： D5．以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．6．如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )解析：在A图中分别连接PS、QR，易证PS∥QR，∴P、S、R、Q共面；在C图中分别连接PQ、RS，易证PQ∥RS，∴P、Q、R、S共面．如图，在B图中过P、Q、R、S可作一正六边形，故四点共面，D图中PS与RQ为异面直线，∴四点不共面，故选D.答案： D二、填空题7．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．答案：1或48．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．解析：∵AB∥A1B1，∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝3a，∴B1C1＝BC＝a.∴BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.答案：30°45°9．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．三、解答题10．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝CF＝1，如图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．解析：(1)将平面BF折起后，补成长方体AEFD－A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．因为AE、EF、EB两两垂直，所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线．所以BD＝AE2＋EF2＋EB2＝42＋22＋12＝21.(2)证明：因为AD綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.所以点A、C、B、D在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形．所以AC、BD交于一点且被该点平分．11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1、AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．【解析方法代码108001090】解析：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.又∵FD1⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．如图所示．12．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝3，且AD⊥BC，对角线BD＝132，AC＝32，求AC和BD所成的角.【解析方法代码108001091】解析： 如图，分别取AD 、CD 、AB 、BD 的中点E 、F 、G 、H ，连接EF 、FH 、HG 、GE 、GF . 由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34，GE ∥BD ，且GE ＝134.GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角． 同理，GH ＝12，HF ＝32，GH ∥AD ，HF ∥BC .又AD ⊥BC ，∴∠GHF ＝90°，∴GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，EG 2＋EF 2＝1＝GF 2，∴∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.。

第7章 第2节(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知直线l 1：y ＝x sin α和直线l 2：y ＝2x ＋c ，则直线l 1与l 2( )A ．通过平移可以重合B ．不可能垂直C ．可能与x 轴围成等腰直角三角形D ．通过绕l 1上某一点旋转可以重合【解析】 l 1的斜率sin α∈[－1,1]，l 2的斜率为2，不可能相等，即两直线不可能平行，必相交，l 1绕交点旋转可与l 2重合．【答案】 D2．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0【解析】 对于对称轴是x 轴，y 轴，直线y ＝±x 时的对称问题常用代换法．如本题中因为点(x ，－y )关于x 轴对称点为(x ，y )，所以所求直线方程为3x －4(－y )＋5＝0即3x ＋4y ＋5＝0，故选A.【答案】 A3．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－2,1)【解析】 设P 点坐标为(a,5－3a )， 由题意知：|a －(5－3a )－1|2＝ 2.解之得a ＝1或a ＝2，∴P 点坐标为(1,2)或(2，－1)．故应选C. 【答案】 C4．直线l 1：2x ＋6y ＋b ＝0与l 2：ax －2y ＋2＝0相交于点A (1，c )，且l 1到l 2的角为π4，则a ，b ，c 的值分别为( )A ．1，32，11B.32，1，－11 C ．1，－11，32D ．－11，32，1【解析】 l 1与l 2的斜率分别为－13，a2，依题意得tan π4＝a 2＋131－a 2·13＝1，解得a ＝1，将点A 代入两直线方程得c ＝32，b ＝－11，选C. 【答案】 C5．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 1与直线l 垂直，直线l 2方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2【解析】 根据条件可得直线l 的斜率为k ＝tan 3π4＝－1，直线l 1的斜率为k 1＝2－(－1)3－a ＝－1k ＝1，可解得a ＝0，直线l 2与l 1平行，故其斜率存在且k 2＝－2b ＝k 1＝1，故b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.【答案】 B6．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1【解析】 由l 1∥l 3得k ＝5，由l 2∥l 3得k ＝－5，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10. 故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5，且k ≠－10. 【答案】 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知直线：l 1：x ＋y sin θ－1＝0，l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，若l 1∥l 2，则θ＝________. 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴1×1＝2sin θ×sin θ， ∴sin 2θ＝12.∴sin θ＝±22，∴θ＝k π±π4(k ∈Z )．【答案】 k π±π4(k ∈Z )8．设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．【解析】 设A (－1,1)，B (2，－1)，当AB ⊥l 时，点B 与l 距离最远，此时l 的方程为：y －1＝－11＋1－1－2(x ＋1)，即为： 3x －2y ＋5＝0. 【答案】 3x －2y ＋5＝09．点P (0,1)在直线ax ＋y －b ＝0上的射影是点Q (1,0)，则直线ax －y ＋b ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称的直线方程为______．【解析】 由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a ×1＋0－b ＝0，－a ×0－11－0＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. 即ax ＋y －b ＝0为x －y －1＝0，设x －y －1＝0关于x ＋y －1＝0对称的直线上任一点(x ，y )，点(x ，y )关于x ＋y －1＝0的对称点(x 0，y 0)必在x －y －1＝0上，且⎩⎪⎨⎪⎧y －y0x －x 0＝1，x ＋x 02＋y ＋y 02－1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－y ，y 0＝1－x ，代入x －y －1＝0，得x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝0 三、解答题(共46分)10．(15分)直线l 过原点且与直线3x －y －4＝0的夹角为π6，求直线l 的方程．【解析】 (1)若直线l 的斜率存在，设为k ，由条件与夹角公式可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －31＋k ·3＝tan π6＝33， ∴k ＝33，∴直线l ：y ＝33x . (2)若直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝0，直线3x －y －4＝0的斜率为3，故其倾斜角为π3，∴两直线的夹角为π2－π3＝π6，x ＝0成立．综上得l 的方程为x －3y ＝0或x ＝0.11．(15分)等腰直角△ABC 的斜边AB 所在直线的方程为3x －y ＝0，直角边AC 所在直线经过点P (4，－2)，且△ABC 的面积为10，求直角顶点C 的坐标．【解析】 显然直线x ＝4不可能是直角边AC 所在的直线． 设直线AC 的方程为y ＋2＝k (x －4)，它与直线AB 的夹角为45°. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －k AB 1＋k ·k AB ＝tan 45°，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －31＋3k ＝1，解得k ＝－2或k ＝12.∴直线AC 的方程为2x ＋y －6＝0或x －2y －8＝0.又△ABC 的面积为10，它等于直角顶点C (x ，y )到斜边AB 的距离d 的平方．∴d 2＝10，d ＝10，即|3x －y |10＝10.∴直角顶点又在直线3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝0上． ∴直角顶点C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0或x －2y －8＝03x －y ＋10＝0或3x －y －10＝0的解． ∴直角顶点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－45，385或⎝⎛⎭⎫165，－25 或⎝⎛⎭⎫125，－145或⎝⎛⎭⎫－285，－345. 12．(16分)已知点A (－2,2)及点B (－3，－1)，试在直线l ：2x －y －1＝0上，求出符合下列条件的点P ：(1)使|P A |－|PB |为最大； (2)使|P A |＋|PB |为最小； (3)使|P A |2＋|PB |2为最小．【解析】 (1)因A ，B 在直线l 的同侧，所以直线AB 与直线l 的交点即为所求． AB 的方程为3x －y ＋8＝0，与直线l 的方程2x －y －1＝0联立解得P (－9，－19)即为所求．(2)设点B 关于直线l 的对称点为B ′(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m ＋3＝－122·m －32－n －12－1＝0，解得B ′⎝⎛⎭⎫95，－175. 则AB ′所在直线与l 的交点P ⎝⎛⎭⎫365，－5965即为所求． (3)设P (x ，y )，则|P A |2＋|PB |2＝(x ＋2)2＋(y －2)2＋(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝2x 2＋10x ＋2y 2－2y ＋18＝2x 2＋10x ＋2(2x －1)2－2(2x －1)＋18＝10x 2－2x ＋22＝10⎝⎛⎭⎫x －1102＋21910. ∴当x ＝110时，|P A |2＋|PB |2取最小值．此时y ＝－45，即所求P 点坐标为⎝⎛⎭⎫110，－45.。

高考数学一轮复习：第七章立体几何第四节平行关系课时规范练A组——基础对点练1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是()A．平行于同一平面的两个平面一定平行B．平行于同一直线的两条直线一定平行C．垂直于同一直线的两条直线一定平行D．垂直于同一平面的两条直线一定平行解析：垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．答案：C2．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A．10B．20C．8 D．4解析：设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG ＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.答案：B3.(2020·安徽毛坦厂中学月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在解析：因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条，故选A.答案：A4．(2020·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，H ，G 分别是BC ，CD 的中点，则 ( ) A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形解析：如图，由条件知，EF ∥BD ，EF ＝15BD ，HG ∥BD ，HG ＝12BD ，∴EF ∥HG ，且EF ＝25HG ，∴四边形EFGH 为梯形．∵EF ∥BD ，EF平面BCD ，BD平面BCD ，∴EF ∥平面BCD .∵四边形EFGH 为梯形，∴线段EH 与FG 的延长线交于一点，∴EH 不平行于平面ADC .故选B. 答案：B5．(2020·蚌埠联考)过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有( ) A ．4条 B ．6条 C ．8条D ．12条解析：作出如图的图形，E ，F ，G ，H 是相应棱的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH 中．由此四点可以组成的直线有：EF ，GH ，FG ，EH ，GE ，HF 共有6条．答案：B6. (2020·郑州市高三质量预测)如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH的内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为()A．2 B．2πC．2 3 D．4解析：连接MF，FH，MH(图略)，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4，故选D.答案：D7．(2020·四川成都模拟)已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是()A．若a∥α，bα，则a∥bB．若a⊥α，bα，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b解析：对于A，若a∥α，bα，则a∥b或a与b异面，故A错误；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，bα，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错误；对于D，由a∥α，b∥α，得a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错误．答案：B8．(2020·湖南长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，给出下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若aα，bβ，α∥β，则a∥b.其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或aα，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，根据a α，b β，α∥β，可以推出a ∥b 或a 与b 异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选A. 答案：A9．(2020·沧州七校联考)有以下三种说法，其中正确的是 ________． ①若直线a 与平面α相交，则α内不存在与a 平行的直线；②若直线b ∥平面α，直线a 与直线b 垂直，则直线a 不可能与α平行； ③若直线a ，b 满足a ∥b ，则a 平行于经过b 的任何平面．解析：对于①，若直线a 与平面α相交，则α内不存在与a 平行的直线，是真命题，故①正确；对于②，若直线b ∥平面α，直线a 与直线b 垂直，则直线a 可能与α平行，故②错误；对于③，若直线a ，b 满足a ∥b ，则直线a 与直线b 可能共面，故③错误． 答案：①10．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .答案：平面ABC 和平面ABDB 组——素养提升练11．(2020·安徽安庆模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1、BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝23BD 1.由以下四个说法：(1)MN ∥平面APC ； (2)C 1Q ∥平面APC ； (3)A 、P 、M 三点共线； (4)平面MNQ ∥平面APC . 其中说法正确的是________．解析：(1)连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM 、CN ，易得AM 、CN 交于点P ，即MN平面P AC ，所以MN ∥平面APC 是错误的；(2)由(1)知M 、N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ， 所以C 1Q ∥平面APC 是正确的； (3)由(1)知A ，P ，M 三点共线是正确的； (4)由(1)知MN 平面APC ，又MN平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的．答案：(2)(3)12. (2020·河南安阳二模)如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST ，其中O ，P 分别为AD ，CD 的中点，B 1S ＝12，则AT ＝________．解析：设AT ＝x ，A 1T ＝y ，则x ＋y ＝1.由题意易知该截面六边形的对边分别平行，即OP ∥SR ，OT ∥QR ，PQ ∥TS ，则△DOP ∽△B 1SR .又因为DP ＝DO ＝1，所以B 1S ＝B 1R ＝12，所以A 1S ＝C 1R ＝32.由△ATO ∽△C 1QR ，可得AO AT ＝C 1R C 1Q ，所以C 1Q ＝32x .由△A 1TS ∽△CQP ，可得CQ CP ＝A 1T A 1S ，所以CQ ＝23y ，所以32x ＋23y ＝x ＋y ＝1，可得x ＝25，y ＝35，所以AT ＝25.答案：2513．(2020·河南安阳三模)如图所示，四棱锥A -BCDE 中，BE ∥CD ，BE ⊥平面ABC ，CD ＝32BE ，点F 在线段AD 上．(1)若AF ＝2FD ，求证：EF ∥平面ABC ；(2)若△ABC 为等边三角形，CD ＝AC ＝3，求四棱锥A -BCDE 的体积． 解析：(1)证明：取线段AC 上靠近C 的三等分点G ，连接BG ，GF . 因为AG AC ＝AF AD ＝23，则GF ＝23CD ＝BE .而GF ∥CD ，BE ∥CD ，故GF ∥BE . 故四边形BGFE 为平行四边形，故EF ∥BG . 因为EF平面ABC ，BG平面ABC ，故EF ∥平面ABC .(2)因为BE ⊥平面ABC ，BE 平面BCDE ，所以平面ABC ⊥平面BCDE .所以四棱锥A -BCDE 的高即为△ABC 中BC 边上的高．易求得BC 边上的高为32×3＝332. 故四棱锥A -BCDE 的体积V ＝13×12×(2＋3)×3×332＝1534.14．(2020·湖南雅礼中学联考)如图，在等腰梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ＝2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ，垂足为P ，将△ABP 沿BP 折起，使平面ABP ⊥平面PBCD ，连接AD ，AC ，M 为棱AD 的中点，连接CM .(1)试分别在PB ，CD 上确定点E ，F ，使平面MEF ∥平面ABC ； (2)求三棱锥A -PCM 的体积．解析：(1)E ，F 分别为BP ，CD 的中点时，可使平面MEF ∥平面ABC ，证明如下： 取BP 的中点E ，CD 的中点F ，连接ME ，MF ，EF . ∵M ，F 分别为AD ，CD 的中点，∴MF ∥AC .又E 为BP 的中点，且四边形PBCD 为梯形，∴EF ∥BC . ∵MF ∩EF ＝F ，AC ∩BC ＝C ， ∴平面MEF ∥平面ABC .(2)∵平面ABP ⊥平面PBCD ，平面ABP ∩平面PBCD ＝BP ，AP ⊥BP ，∴AP ⊥平面PBCD ， 取PD 的中点E ′，连接AE ′，ME ′，E ′C . 易知ME ′∥AP ，PE ′＝1，CE ′＝1，AP ＝1， ∴V M -APC ＝V E ′­APC .又V A -PCM ＝V M -APC ，且V A -PCE ′＝V E ′­APC ，∴V A -PCM ＝V A -PCE ′＝13S △PCE ′·AP ＝13×12PE ′·E ′C ·AP ＝16， ∴三棱锥A -PCM 的体积为16.。

《金版新学案》高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(七)第七章立体几何—————————————————————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)只有一项是符合题目要求的)1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．下列四个命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合②两条直线可以确定一个平面③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A．1 B．2C．3 D．43．一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A．2 3 B．4 3C．4 D．84．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A．54 B．54πC．58 D．58π5．设三条不同的直线a、b、c，两个不同的平面α，β，bα，cα.则下列命题不成立的是( )A．若α∥β，c⊥α，则c⊥βB．“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题C．若a是c在α的射影，b⊥a，则c⊥bD．“若b∥c，则c∥α”的逆否命题6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.637．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是( )A．梯形B．圆外切四边形C．圆内接四边形D．任意四边形8．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是( )A．①②B．②③C．①④D．③④9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πa2 B.73πa2C.113πa2D．5πa210．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BB1＝4，长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R－PQMN的体积是( )A．6 B．10C．12 D．不确定11．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β12．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，mβ，m∥α，则m∥β；③若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3第Ⅱ卷(非选择题共90分)) 13．如图，一个空间几何体的主视图左视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是________．14．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的图的序号)．15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C.若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为________．16．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BDD1B1上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)一几何体的三视图如下：(1)画出它的直观图，并求其体积；(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．18．(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝AA1＝2，D是AB的中点．(1)求证：CD⊥平面ABB1A1；(2)求二面角D－A1C－A的正切值．19．(12分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．20．(12分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝AB ＝12CD ＝1，M 为PB 的中点．(1)试在CD 上确定一点N ，使得MN ∥平面PAD ；(2)点N 在满足(1)的条件下，求直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值．21．(12分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且AG ＝13GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E是BC 的中点，四面体P －BCG 的体积为83.(1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面PBG 的距离；(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PF FC的值．【解析方法代码108001100】22．(14分)如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点． (1)若BM MA ＝BNNC，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)若D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值； (3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．【解析方法代码108001101】答案一、选择题1．B 在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．2．A ①两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故①不正确；两异面直线不能确定一个平面，故②不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故④不正确；据平面的性质可知③正确．3．C 由几何体的三视图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由主视图的面积为32，得菱形的边长为1，此几何体的表面积为S ＝8×12×1×1＝4. 4．A 设圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h ，H ，则r R ＝hH，又πR 2＝9·πr 2，∴R ＝3r ， ∴H ＝3h .∴13πR 2·H －13πr 2h ＝52. 即13πR 2·H －13π·19R 2·13H ＝52，∴13πR 2H ＝54. 5．B 命题C 即为三垂线定理；命题D 中的原命题即为线面平行的判定定理，所以D 正确；命题A 显然成立；对于命题B ，若α⊥β，则b 与β的位置关系都有可能．6．D 如图，连接BD 交AC 于O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1， ∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角，易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63. ∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 7．B P 到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则P 在平面α内的射影到四边形的四条边的距离也都相等，故四边形有内切圆．8．C 由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a ∥c ；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．9．B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a . 如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a 2，设球的半径为R ，则R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2. ∴S 球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.10．A 四棱锥R －PQMN 的底面积为S ＝S △PQM ＋S △MNP＝12PQ ·AC ＋12MN ·AC ＝12(PQ ＋MN )·AC ＝12(1＋3)×32＝6 2. 其高h ＝322，V R －PQMN ＝13Sh ＝13×62×322＝6.11．D ∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l . ∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故A 一定正确． ∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m .从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α. ∴AB β，l β.∴AB ∥β.故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．12．B 本题为线面位置关系的判定，注意对线面平行与垂直的判定定理与性质定理的应用．①错，当两平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两个平面；②正确，不妨过直线m 作一平面与α，β同时相交，交线分别为a ，b ，由α∥β知a ∥b ，又m ∥α⇒m ∥a ，∴m ∥b ，又m ⊄β，∴m ∥β；③错，不妨设该直线为正方体的两对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两对角线不垂直；④错，以正方形两平行棱，或一条棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例．二、填空题13．解析： 由三视图知该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥． 因此，其体积V ＝13π·12×3＝33π.答案：33π 14．解析： 图①为空间四边形D ′OEF 在前面(或后面)上的投影．图②为空间四边形D ′OEF 在左面(或右面)上的投影．图③为空间四边形D ′OEF 在上面(或下面)上的投影．答案： ①②③15．解析： 设AE ＝x ，BE ＝6－x ，V 1＝VAEA 1－DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1－FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B －C 1F 1C ，且V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，所以12×(3x )×4∶(6－x )×3×4∶12×(3x )×4＝1∶4∶1，解得x ＝AE ＝2，∴A 1E ＝A 1A 2＋AE 2＝13， ∴SA 1EFD 1＝413. 答案： 41316．解析： 取CC 1的中点F ，连接EF ，EF 交平面BB 1D 1D 于点N ，且EN ＝FN ， 所以F 点是E 点关于平面BB 1D 1D 的对称点， 则AM ＋ME ＝AM ＋MF ，所以当A ，M ，F 三点共线时，AM ＋MF 最小，即AM ＋ME 最小， 此时AM ＋MF ＝AF ＝AC 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫CC 122＝3a2. 答案： 32a三、解答题17．解析： (1)该几何体的直观图如图，棱锥P －ABC ，其中PC ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，△ABC 斜边AC 上的高为125cm ，PC ＝6 cm ，AC ＝5 cm ，∴V P －ABC ＝13×12×5×125×6＝12(cm 3)．(2)互相垂直的面分别有：面PAC ⊥面ABC ，面PBC ⊥面ABC ，面PBC ⊥面PAB .18．解析： (1)证明：因为AC ＝CB ，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点， 所以CD ⊥AB ，又因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，又∵AB ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，∵AC ＝CB ＝AA 1＝2，∴A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (1,1,0)，C (0,0,0)，C 1(0,0,2)．显然平面A 1AC 的法向量为m ＝(0,1,0)，设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ A 1D →·n ＝0A 1C →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y －2z ＝02x ＋2z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，令m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－33， ∴二面角D －A 1C －A 的余弦值为33，其正切值为 2. 19．解析： (1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r 8＝1.2－2r ， ∴塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1.2－2r )＝πr 2＋2.4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r )．∴当r ＝0.4时，S 有最大值，约为1.51平方米．(2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2－2×0.3＝0.6(米)．制作灯笼的三视图如图．20．解析： 方法一：(1)过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，则MN ∥ED ，∴四边形MNDE 为平行四边形，∴EM 綊DN .又∵EM 綊12AB ，而AB ＝12CD ， ∴DN ＝14CD ，∴DN ＝12. (2)∵MN ∥ED ，∴直线MN 与平面PAB 所成的角即为直线ED 与平面PAB 所成的角．∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB ，∴∠DEA 为直线ED 与平面PAB 所成的角．由题设计算得DE ＝52， ∴sin ∠DEA ＝AD DE ＝255. 方法二：过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，则MN ∥ED ，∴四边形MNDE 为平行四边形．以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，如图所示．则由题意得A (0,0,0)、B (0,1,0)、D (1,0,0)、C (1,2,0)、P (0,0,1)、M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. (1)∵D N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴|D N →|＝12. (2)∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB .又∵N M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12， D A →＝(－1,0,0)，∴cos 〈N M →，D A →〉＝NM →·DA →|NM →|·|DA →|＝152·1＝255， ∴直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为255. 21．解析： (1)由已知V P －BGC ＝13S △BCG ·PG ＝13·12BG ·CG ·PG ＝83，∴PG ＝4， 如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ， 则B (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,4)，故E (1,1,0)，GE →＝(1,1,0)，PC →＝(0,2，－4)，cos 〈GE →，PC →〉＝GE →·PC →|G E →|·|P C →|＝22×20＝1010， ∴异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值为1010. (2)平面PBG 的单位法向量n 0＝(0，±1,0)，∵GD →＝34A D →＝34BC →， B (2,0,0)，C (0,2,0)，∴GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0， ∴点D 到平面PBG 的距离为|GD →·n 0|＝32. (3)设F (0，y ，z )，则DF →＝OF →－OD →＝(0，y ，z )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y －32，z ，GC →＝(0,2,0)． ∵DF →⊥GC →，∴DF →·GC →＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y －32，z ·(0,2,0) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32＝0，∴y ＝32. 在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，则GM ＝32，MC ＝12， ∴PF FC ＝GM MC ＝3.22．解析： (1)证明：连接AC 、BD ，则BD ⊥AC ，∵BM MA ＝BN NC，∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN .又∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥MN ，∵BD ∩DD 1＝D ，∴MN ⊥平面BDD 1.又P 无论在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1，∴无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN .(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，则M (1，t,0)，N (t,1,0)，B 1(1,1,1)，P (0,0，23)， B (1,1,0)，A (1,0,0)，∵MB 1→＝(0,1－t,1)，B P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，23. 又∵BP ⊥平面MNB 1，∴MB 1→·B P →＝0，即t －1＋23＝0，∴t ＝13， ∴MB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，1， M N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，0. 设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ MB 1→·n ＝0M N →·n ＝0，得x ＝y ，z ＝－23y . 令y ＝3，则n ＝(3,3，－2)． ∵AB ⊥平面BB 1N ， ∴A B →是平面BB 1N 的一个法向量， A B →＝(0,1,0)．设二面角M －B 1N －B 的大小为θ， ∴cos 〈n ，A B →〉＝，3，－，1，22＝32222. 则二面角M －B 1N －B 的余弦值为32222. (3)存在点P ，且P 为DD 1的中点， 使得平面APC 1⊥平面ACC 1. 证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1， ∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连接PE ， 则PE ∥BD ，∴PE ⊥平面ACC 1.∵PE ⊂平面APC 1， ∴平面APC 1⊥平面ACC 1.。

【优化探究】2017届高考数学一轮复习第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．(2016·台州模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β解析：垂直于同一直线的两平面平行，故选C.答案：C2．若a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若α∥a，β∥a，则α∥βC．若a⊥α，b⊥α，则a∥bD．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ解析：对于A，空间中平行于同一个平面的两直线可能异面、相交或平行，故A错误；对于B，空间中平行于同一条直线的两平面平行或相交，故B错误；对于C，空间中垂直于同一个平面的两条直线平行，故C正确；对于D，空间中垂直于同一个平面的两平面相交或平行，故D错误．答案：C3．已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若直线m，n与平面α所成的角相等，则m∥n；③存在异面直线m，n，使得m∥α，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，m也可能在α内，①错误；对于②，直线m，n也可能相交或异面，②错误；对于③，命题成立；对于④，∵l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，∴l∥n，同理l∥m，∴m∥n，④正确．综上可知③④正确，故选B.答案：B4．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．答案：D5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．答案：D6．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论中正确的是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：由四边形ABC1D1是平行四边形可知AD1∥BC1，故①正确；根据线面平行与面面平行的判定定理可知，②④正确；AD 1与DC 1是异面直线，故③错．答案：①②④7．在三棱锥S ­ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．解析：取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝452. 答案：4528.如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P长度的取值范围是________．解析：取B 1C 1中点M ，则A 1M ∥AE ；取BB 1中点N ，则MN ∥EF ，∴平面A 1MN ∥平面AEF .若A 1P ∥平面AEF ，只需P ∈MN ，则P 位于MN 中点时，A 1P 最短；当P 位于M 或N 时，A 1P 最长．不难求得A 1P 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 9.在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．解：取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC.所以直线DE∥平面A1MC，即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.10.(2016·成都模拟)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)设BC＝3，求四棱锥B­DAA1C1的体积．解：(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，如图所示．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C.∵平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C.∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，AB ⊥BC ，∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13，∴BE ＝AB ·BC AC ＝613， ∴四棱锥B ­AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD )·AA 1·BE ＝16×3213×2×613＝3. B 组 高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面ABCD 内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ， 即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4. 由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3. 故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 2．(2015·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ；(2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2)因为棱柱ABC ­A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC .因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.。

学习资料2022版高考数学一轮复习第七章立体几何第四讲直线、平面平行的判定与性质学案（含解析）新人教版班级：科目：第四讲直线、平面平行的判定与性质知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α,b⊄α，__a∥b____a∥α__a∥α，a⊂β,__α∩β＝b__结论a∥αb∥αa∩α＝∅__a∥b__知识点二面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件__α∩β＝∅____a⊂β，b⊂β，____a∩b＝P，____a∥α，b∥α____α∥β,____α∩γ＝a，____β∩γ＝b__α∥β,a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α错误!错误!错误!错误!1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α,则a∥b”．3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ"．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．（×）（2)平行于同一条直线的两个平面平行．(×）(3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×）(4）如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．（√) （5）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α．（×）(6）若α∥β，直线a∥α,则a∥β．（×)题组二走进教材2．（必修2P58练习T3)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（D)A．存在一条直线a，a∥α,a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β,b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β,a∥β，b∥α［解析］对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交,若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理,选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中,成为相交直线，则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D．题组三走向高考3．（2019·课标全国Ⅱ)设α,β为两个平面，则α∥β的充要条件是（B)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α,β垂直于同一平面4．(2017·课标全国Ⅰ）如图，在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(A)[解析］B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ;D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ．故选A．5．（2017·天津,节选）如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E,N分别为棱P A，PC，BC的中点,M是线段AD的中点，P A＝AC＝4,AB＝2．求证：MN∥平面BDE．[证明]解法一：连PN交BE于H,连HD．∵E、N分别为PC、BC的中点,∴H为△PBC的重心,∴错误!＝2，又D、M分别为P A、AD的中点，∴错误!＝2,∴错误!＝错误!，∴DH∥MN，又DH⊂平面BDE,MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE．解法二：取EC的中点H，连MH、NH，∵N为BC的中点，∴NH∥BE，又NH⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，∴NH∥平面BDE,又E、D、M分别为PC、P A、DA的中点,∴错误!＝错误!＝2，∴DE∥MH，又MH⊄平面BDE,∴MH∥平面BDE，DE⊂平面BDE，又DE∩BE＝E, ∴平面MNH∥平面BDE,∴MN∥平面BDE．解法三：（理）如图，以A为原点，分别以错误!，错误!，错误!方向为x轴、y轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A（0，0,0)，B(2，0,0）,C(0,4，0）,P（0,0,4),D （0,0,2)，E（0,2,2），M（0，0，1)，N（1,2,0)．错误!＝（0，2,0），错误!＝(2,0，－2)．设n＝(x,y,z)为平面BDE的法向量,则错误!即错误!不妨设z＝1，可得n＝（1,0，1）．又错误!＝(1，2,－1)，可得错误!·n＝0．因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE．考点突破·互动探究考点一空间平行关系的基本问题——自主练透例1 （1）(2021·河南名校联盟质检改编）设有不同的直线a,b和不同的平面α,β，给出下列四个命题中，其中正确的是(B）①若a∥α，b∥α，则a∥b②若a∥α，a∥β，则α∥β③若a⊥α,b⊥α,则a∥b④若a⊥α，a⊥β,则α∥βA．1 B．2C．3 D．4(2）(2021·辽宁省沈阳市质监)下列三个命题在“（）"处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l，m为直线,α，β为平面），则此条件是__l⊄α__．①错误!⇒l∥α；②错误!⇒l∥α；③错误!⇒l∥α．[解析］(1)对于①，若a∥α，b∥α，则直线a和直线b可以相交也可以异面,故①错误;对于②，若a∥α，a∥β,则平面a和平面β可以相交，故②错误；对于③,若a⊥α，b⊥α,则根据线面垂直性质定理，a∥b,故③正确；对于④，若a⊥α，a⊥β，则α∥β成立；故选B．(2)①l∥m，m∥α⇒l∥α或l⊂α,由l⊄α⇒l∥α；②l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α；③l⊥m,m⊥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α．故答案为l⊄α．〔变式训练1〕（2021·吉林省吉林市调研改编)如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F,G,H分别为所在棱的中点,则下列各直线、平面中,与平面ACD1不平行的是(C）A．直线EF B．直线GHC．平面EHF D．平面A1BC1［解析]首先直线EF、GH、A1B都不在平面ACD1内,由中点及正方体的性质知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C,∴直线EF,GH，A1B都与平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1,由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A,∴EH与平面ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD1相交，故选C．考点二直线与平面平行的判定与性质——多维探究角度1线面平行的判定例2（2021·辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠BAD＝60°，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．(1）证明：BE∥平面P AD;(2）求三棱锥E－PBD的体积．[解析](1)证法一：如图，取PD的中点F，连接EF，F A．由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF∥CD,且EF＝错误!CD＝2．又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4,∴AB綊EF,∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF．又AF⊂平面P AD，BE⊄平面P AD，∴BE∥平面P AD．证法二：延长DA、CB相交于H，连PH,∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴错误!＝错误!＝错误!，即B为HC的中点，又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE⊄平面P AD,PH⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD,证法三：取CD的中点H，连BH，HE，∵E为PC中点,∴EH∥PD，又EH⊄平面P AD,PD⊂平面P AD，∴EH∥平面P AD，又由题意知AB綊DH,∴BH∥AD，又AD⊂平面P AD，BH⊄平面P AD，∴BH∥平面P AD，又BH∩EH＝H，∴平面BHE∥平面P AD，∴BE∥平面P AD．(2)∵E为PC的中点，∴V三棱锥E－PBD＝V三棱锥E－BCD＝错误!·V三棱锥P－BCD．又∵AD＝AB，∠BAD＝60°,∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2．又∵CD＝4，∠BDC＝∠BAD＝60°，∴BD⊥BC．∴BC＝错误!＝2错误!．∵PD⊥平面ABCD，∴V三棱锥P－BCD＝错误!PD·S△BCD＝错误!×2×错误!×2×2错误!＝错误!,∴V三棱锥E－PBD＝错误!．名师点拨判断或证明线面平行的常用方法（1)利用线面平行的定义（无公共点）．(2)利用线面平行的判定定理（a⊄α,b⊂α，a∥b⇒a∥α）．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β,a∥α⇒a∥β）．(5）向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．注：线面平行的关键是线线平行,证明中常构造三角形中位线或平行四边形．角度2线面平行的性质例3如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC,平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1．（1）求证：BC∥EF；(2)求三棱锥B－DEF的体积．［解析](1）证明:∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，∴BC∥平面ADEF．又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF．(2)过点B作BH⊥AD于点H，∵DE⊥平面ABCD,BH⊂平面ABCD，∴DE⊥BH．∵AD⊂平面ADEF，DE⊂平面ADEF,AD∩DE＝D，∴BH⊥平面ADEF．∴BH是三棱锥B－DEF的高．在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，AB＝2,故BH＝错误!．∵DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴DE⊥AD．由(1)知BC∥EF，且AD∥BC，∴AD∥EF，∴DE⊥EF．∴三棱锥B－DEF的体积V＝错误!×S△DEF×BH＝错误!×错误!×1×1×错误!＝错误!．名师点拨空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质定理,即a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b．(2)利用平行公理推论:平行于同一直线的两条直线互相平行．（3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行．〔变式训练2〕（1)(角度2）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G，过G和P A作平面P AHG交平面BMD于GH．求证：P A∥GH．(2）（角度1）（2020·广东佛山质检，节选)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，E、F分别为AD、PC的中点．求证：EF∥平面P AB．（3)(角度1)(2021·贵州黔东南州二模）在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面P AB⊥平面ABCD，点E,F分别为BC，AP的中点．①求证：EF∥平面PCD；②若AD＝AP＝PB＝错误!AB＝1．求三棱锥P－DEF的体积．[解析]（1)证明：如图所示，连接AC交BD于点O,连接MO,∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO．又MO⊂平面BMD,P A⊄平面BMD,∴P A∥平面BMD．∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，P A⊂平面P AHG,∴P A∥GH．（2）解法一：取PB的中点H,连FH、HA，∵F为PC的中点，∴FH綊错误!BC，又四边形ABCD为平行四边形，∴BC綊AD，从而FH綊错误!AD，又E为AD的中点，∴FH綊EA，∴EF∥AH，又EF⊄平面P AB，HA⊂平面P AB,∴EF∥平面P AB．解法二：取BC的中点H,连FH，HE，∵F为PC的中点,∴FH∥BP，又FH⊄平面P AB，∴FH∥平面P AB,又E为AD的中点，且四边形ABCD为平行四边形，∴HE∥BA,又HE⊄平面P AB，∴HE∥平面DAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面P AB，∴EF∥平面P AB．解法三:连CE并延长交BA的延长线于H，连PH．∵E为平行四边形ABCD的边AD的中点,∴△CDE≌△HAE,∴CE＝EH，又F为PC的中点,∴EF∥PH,又EF⊄平面P AB，PH⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB．(3)①证明：如图，取PD中点G，连接GF,GC．在△P AD中，G，F分别为PD,AP的中点，∴GF綊错误!AD．在矩形ABCD中，E为BC的中点，∴CE綊错误!AD，∴GF綊EC，∴四边形EFGC是平行四边形,∴GC∥EF．∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD,∴EF∥平面PCD．②∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．又AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD．∵平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面P AB，∴AD⊥BP，平面P AD⊥平面P AB．AD＝AP＝PB＝错误!AB＝1,∵AB＝2,∴AP2＋PB2＝AB2，∴AP⊥BP．∵AD∩AP＝A，∴BP⊥平面P AD．∵BC∥平面P AD，∴点E到平面P AD的距离等于点B到平面P AD的距离．∵S△PDF＝12PF·AD＝错误!×错误!×1＝错误!，∴V三棱锥P－DEF＝V三棱锥E－PDF＝错误!S△PDF·BP＝错误!×错误!×1＝错误!,∴三棱锥P－DEF的体积为错误!．考点三，两个平面平行的判定与性质—-师生共研例 4 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1,A1C1的中点，求证：（1）B，C,H,G四点共面;（2)平面EF A1∥平面BCHG．［证明]（1）因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点,所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C,H,G四点共面．（2）在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG．又因为G，E分别为A1B1,AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG．又因为A1E∩EF＝E,所以平面EF A1∥平面BCHG．［引申1]在本例条件下，若D为BC1的中点,求证:HD∥平面A1B1BA．[证明］如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点,H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA,A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA．[引申2]在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点,求证：平面A1BD1∥平面AC1D．[证明]如图所示，连接A1C，AC1交于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD,因为D为BC的中点,所以A1B∥DM．因为A1B⊂平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1．又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1．又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1,DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．名师点拨证明面面平行的方法有（1）面面平行的定义．(2）面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行"．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．（5)利用“线线平行”“线面平行"“面面平行”的相互转化．＊（6)向量法：证明两平面的法向量平行．〔变式训练3〕(2021·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，P A⊥平面ABCD,P A＝2，AB＝1．设M，N分别为PD，AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．[解析］(1）证明:∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥P A,又MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，在Rt△ACD中,∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°．又∠BAC＝60°，∴CN∥AB．∵CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴CN∥平面P AB．又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面P AB．（2）由（1)知，平面CMN∥平面P AB，∴点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝错误!，∴三棱锥P－ABM的体积V＝V M－P AB＝V C－P AB＝V P－ABC＝错误!×错误!×1×错误!×2＝错误!．名师讲坛·素养提升探索性问题求解策略例 5 (2021·安徽皖北联考）如图，在四棱锥C－ABED中,四边形ABED是正方形，点G,F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC．（2）线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．[解析］（1)∵四边形ABED为正方形,F为BD的中点,∴E、F、A共线，连AE，又G为EC的中点，∴GF∥AC，又GF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC,∴GF∥平面ABC．注：本题也可取BE的中点Q,连GQ、FQ，通过证平面GFQ∥平面ABC来证;或取BC 的中点M，AB的中点N，连GM、MN、NF,通过证四边形GMNF为平行四边形得GF∥MN 来证．(2)当H为BC的中点时,平面GFH∥平面ACD．证明如下：∵G、H分别为EC、BC的中点，∴GH∥BE，又BE∥AD，∴GH∥AD，又GH⊄平面ACD,AD⊂平面ACD,∴GH∥平面ACD，又GF∥AC，GF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴GF∥平面ACD，∴平面GFH∥平面ACD．［引申］ED上是否存在一点Q,使平面GFQ∥平面ACD．[解析］当Q为ED的中点时,平面GFQ∥平面ACD．名师点拨平行中的探索性问题（1）对命题条件的探索常采用以下三种方法:①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明;②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．〔变式训练4〕在三棱柱ABC－A1B1C1的棱BC上是否存在一点H，使A1B∥平面AC1H?并证明．［解析]BC上存在点H（即BC的中点)使A1B∥平面AC1H．证明如下：连A1C交AC1于O，则O为A1C的中点连HO，又H为BC的中点，∴HO∥A1B,又OH⊂平面AHC1，A1B⊄平面AHC1，∴A1B∥平面AC1H．。

课时分层训练(四十一) 直线、平面平行的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m ∥β且n∥β”的( )【导学号：31222255】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．] 2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )图7­4­5A．①③B．②③C．①④D．②④C[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]3．(2017·山东济南模拟)如图7­4­6所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )图7­4­6A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能B [在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1. ∵AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC .∵过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ， ∴DE ∥A 1B 1，∴DE ∥AB .]4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αB [若m ∥α，n ∥α，则m ，n 平行、相交或异面，A 错；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n ⊂α，D 错．]5．给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( )【导学号：31222256】A ．3B ．2C ．1D ．0C [①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中，l 与m 也可能异面；③中，⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γ，l ⊂α，α∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．]二、填空题6．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件：①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b .其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号).【导学号：31222257】②④ [在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交． 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α，从而α∥β，④满足．]7．如图7­4­7所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图7­4­72 [在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.]8．(2016·衡水模拟)如图7­4­8，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．图7­4­8平面ABC ，平面ABD [连接AM 并延长交CD 于E ，则E 为CD 的中点．由于N 为△BCD 的重心， 所以B ，N ，E 三点共线，且EM MA ＝EN NB ＝12，所以MN ∥AB .于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.]三、解答题9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图7­4­9所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．图7­4­9[解](1)点F，G，H的位置如图所示.5分(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.7分又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.9分又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.12分10．(2017·西安质检)如图7­4­10，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图7­4­10求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明](1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.2分又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.5分(2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.7分因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.10分因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( ) 【导学号：31222258】A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°C[因为截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]2．如图7­4­12所示，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B ∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．图7­4­12B1C＝O，连接OD.1 [设BC∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.]3．如图7­4­13所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．图7­4­13(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.2分又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.5分(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.7分证明如下：取AB的中点F，连接EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC.10分又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PBC，∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.12分。

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7-4 空间中的平行关系课时规范练A组基础对点练1．(2018·陕西质检)已知平面α,β和直线a，b，下列说法正确的是( C )A．若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β,且a∥b，则α∥βD．若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ B )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α,则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β"是“α∥β"的（ B )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（2017·江西赣中南五校联考）已知m，n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ C ）A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α,n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α,则n∥α5．(2018·唐山质检）如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M,N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：（1)BE∥平面DMF；（2)平面BDE∥平面MNG.证明：（1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O。

2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第七章　立体几何与空间向量§7.4　空间直线、 平面的平行考试要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与___________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行⇒a ∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面______，那么该直线与交线平行 ⇒a ∥b _______________1.线面平行的判定定理和性质定理a ⊄αb ⊂αa ∥b __________________a ∥αa ⊂βα∩β＝b 此平面内相交文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条_________与另一个平面平行，那么这两个平面平行⇒β∥α____________________________2.面面平行的判定定理和性质定理a ⊂βb ⊂βa ∩b ＝P 相交直线a ∥αb ∥α性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面_____，那么两条_____平行⇒a∥b______________________α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b相交交线常用结论1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.4.若α∥β，a⊂α，则a∥β.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面.( )(2)若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥α.( )(3)若直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，a ∥b ，则α∥β.( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.( )××××1.平面α∥平面β的一个充分条件是A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α√D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.2.(多选)已知α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是A.若l ∥m ，l ∥β，则m ∥β或m ⊂βB.若α∥β，m ⊂α，l ⊂β，则m ∥lC.若m ⊥α，l ⊥m ，则l ∥αD.若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝l ，则m ∥l√√对于A，若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，A正确；对于B，若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，B错误；对于C，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，C错误；对于D，由线面平行的性质知正确.平行四边形为截面，则四边形EFGH的形状为___________.∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.第二部分命题点1　直线与平面平行的判定例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.求证：BE∥平面P A D.方法一　如图，取PD的中点F，连接EF，F A.由题意知EF为△PDC的中位线，又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.又AF⊂平面P AD，BE⊄平面P AD，∴BE∥平面P AD.方法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE⊄平面P AD，PH⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.方法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE，∵E为PC的中点，∴EH∥PD，又EH⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，∴EH∥平面P AD，又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，又AD⊂平面P AD，BH⊄平面P AD，∴BH∥平面P AD，又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面P AD，又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面P A D.命题点2　直线与平面平行的性质例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和P A作平面交BD于点H.求证：P A∥GH.如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥OM，又OM⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD，又P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：(1)DF∥平面PBE；取PB中点G，连接FG，EG，因为点F为PC的中点，因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE；(2)DF∥l.由(1)知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.例3　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.思维升华(1)证明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.(1)求证：BC∥GH；∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EF A1∥平面BCHG.∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EF A1，∴平面EF A1∥平面BCHG.例4　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB 上找一点F，使EF∥平面P AD.如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.又AG⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD.所以点F即为所求的点.又P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BC，又BC⊥AB，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.所以PB⊥BC.所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋P A2.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.思维升华解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.跟踪训练3　如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点.在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.第三部分1.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则A.EF∥P AB.EF∥PBC.EF∥PCD.以上均有可能√由线面平行的性质定理可知EF∥PB.2.已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为A.3B.2√C.1D.0对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误；对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；对于③，因为l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确，因此真命题的个数为1.3.在如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系是A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能√在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.4.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有A.①②B.②③√C.①③D.①②③由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.。

∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE. ∵D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴DE∥AC1. ∵DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
证明线线平行常用方法：
(1)利用定义：证明两线共面且无公共点；
(2)利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行，转化思想
第2课时
空间中的平行关系
1．直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内—有 无数 个公共点；
(2)直线和平面相交—有且 只有一个 公共点；
(3)直线和平面平行— 没有 公共点．
2．两个平面的位置关系 (1)平行—没有 公共点 (2)相交—有 一条 公共直线
3．直线和平面平行的判定与性质
4．平面和平面平行的判定与性质
答案：
判定直线与平面平行的三种方法： (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平 面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边 形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线
解析： 当F是棱PC的中点时， BF∥平面AEC. 证明：取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE. 由EM＝ PE＝ED，知E是MD的中点． ①
连结BM、BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连OE， 所以BM∥OE.② 由①、②知，平面BFM∥平面AEC. 又BF 平面BFM，
所以BF∥平面AEC.
1．两条直线a、b满足a∥b，b A． a∥ α C．a与α不相交 答案： C

解析：本题引入正方体模型观察即易知直线a与直线c的位置
关系可能为相交下列结论错误的是( ) A．a平行于α内的所有直线 B．α内有无数条直线与a平行 C．直线a上的点到平面α的距离相等 D．α内存在无数条直线与a成90°角
解析：若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平 行，也存在无数条直线与a异面或垂直，所以A不正确，B、D正 确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正 确．
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已 知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定 理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两 直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．
(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利 用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．
所以EH∥CD，EH＝CD. 所以四边形DCEH是平行四边形． 所以CE∥DH. 又DH 平面PAD，CE 平面PAD， 所以CE∥平面PAD.
证法二：如图(2)，连接CF.
因为F为AB的中点， 所以AF＝12AB.
图(2)
又CD＝12AB，所以AF＝CD. 又AF∥CD， 所以四边形AFCD为平行四边形． 所以CF∥AD. 又CF 平面PAD，所以CF∥平面PAD. 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA. 又EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD. 又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.
1．过长方体ABCD-A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其 中能够与平面ACC1A1平行的直线有________条．
解析：如图，与AC平行的直线有4条，与AA1平行的直线有4 条，连接MN，则MN∥面ACC1A1，这样的直线也有4条(包括 MN)，共12条．

如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH. 求证：AP∥GH.
证明： 如图，连接 AC，设 AC 交 BD 于 O， 连接 MO.
∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ O 是 AC 的中点．
(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E， 连接 DE. ∵ D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点， ∴DE∥ AC1. ∵DE⊂平面 CDB1，AC1⊄平面 CDB1， ∴AC1∥平面 CDB1.
直线与平面平行的性质及应用
证明线线平行常用方法： (1)利用定义：证明两线共面且无公共点； (2)利用公理 4，证两线同时平行于第三条直 线； (3) 利用线面平行的性质定理把证线线平行 转化为证线面平行， 转化思想在立体几何中， 贯穿始终，转化的途径是把空间问题转化为 平面问题．
5．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，棱长为 a， E 为 A1B1 中点，过 E、C1、C 作一截面，则 截面的面积为________． 解析： 设截面与 AB 的交点为 F，由题意可 a 2 2 知截面 EFCC1 为一矩形， 且 EC1＝ a ＋ ＝ 2 5 a， C1C＝a. 2 5 2 ∴截面面积为 EC1· C1C＝ a . 2 5 2 答案： a 2
(3)性质定理：一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平面的交线与该 平行 ． 直线_______ 用符号表示为：a∥α，a⊂β，β∩α＝ a∥ l . l⇒____ 2．平面与平面平行的判定与性质 无 (1)定义：如果平面α与平面β___ 公共点，则 α∥ β 平面α与平面β平行，记作______.

解析：若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平 行，也存在无数条直线与a异面或垂直，所以A不正确，B、D正 确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正 确．
答案：A
3．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
(1)求证：AC⊥平面BDE； (2)若AF∥DE，DE＝3AF，点M在线 段 证B明D：上(，1)因且为BMD＝E⊥13B平D面，A求B证CD：，AAMC∥⊂平平面面BAEBFC. D， 所以DE⊥AC， 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩DE＝D， 从而AC⊥平面BDE.
(2)延长EF、DA交于点G，连接GB， 因为AF∥DE，DE＝3AF， 所以GGDA＝DAFE＝13， 因为BM＝13BD，所以BBMD＝13， 所以BBMD＝GGDA＝13，所以AM∥GB， 又AM 平面BEF，GB 平面BEF， 所以AM∥平面BEF.
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已 知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定 理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两 直线平行．注意说明已知的直线不在定义结合反证；②利 用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．
审题视点 (1)由中点联想中位线MN∥DC∥AB. (2)可在PAD中寻作与CE平行的线，或者利用面CEF∥面 PAD，证CE∥面PAD. 证明 (1)∵M、N为PD、PC的中点， ∴MN∥DC，又∵DC∥AB，∴MN∥AB.
(2)证法一：如图(1)，取PA的中点H，连接EH，DH.
图(1) 因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，EH＝12AB.

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．给出以下关于互不一样的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①假设l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，那么α∥β；②假设α∥β，l⊂α，m⊂β，那么l∥m；③假设α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，那么m∥n.其中真命题的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：①中α、β可以相交；②两平面平行，两平面中的直线可能平行，也可能异面；由l∥γ，l⊂β，β∩γ＝m⇒l∥m，同理l∥n，故m∥n，③正确，应选C.答案： C2．设α，β表示平面，m，n表示直线，那么m∥α的一个充分不必要条件是( ) A．α⊥β且m⊥βB．α∩β＝n且m∥nC．m∥n且n∥αD．α∥β且m⊂β解析：假设两个平面平行，其中一个面的任一直线均平行于另一个平面，应选D.答案： D3．假设空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为( )A．10 B．20C．8 D．4解析：设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG ＝HE＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20.答案： B4．m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，那么以下命题中正确的选项是( )A ．假设m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，那么α∥βB ．假设α∥β，m ⊂α，n ⊂β，那么m ∥nC ．假设m ∥β，n ⊂β，那么m ∥nD ．假设α∥β，m ⊂α，那么m ∥β解析： 选项A 中假设m ，n 平行，α，β可能相交；选项B 中m ，n 可能是异面直线；选项C 中m ，n 可能是异面直线；选项D 中α∥β，那么α，β无公一共点，m ⊂α，那么m 与β无公一共点，即m ∥β.答案： D5．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧a ∥cb ∥c ⇒a ∥b ②⎩⎪⎨⎪⎧a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ③⎩⎪⎨⎪⎧α∥cβ∥c ⇒α∥β④⎩⎪⎨⎪⎧α∥γβ∥γ⇒α∥β ⑤⎩⎪⎨⎪⎧α∥ca ∥c ⇒α∥a ⑥⎩⎪⎨⎪⎧α∥γa ∥γ⇒a ∥α其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①④D ．①③④解析： ①④正确，②错在a 、b 可能相交或者异面．③错在α与β可能相交．⑤⑥错在a 可能在α内．答案： C6．设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在α、β内运动时，那么所有的动点C ( )A ．不一共面B ．当且仅当A 、B 在两条相交直线上挪动时才一共面C ．当且仅当A 、B 在两条给定的平行直线上挪动时才一共面D ．不管A 、B 如何挪动都一共面解析： 设平面α、β间的间隔 为d ，那么不管A 、B 如何挪动，点C 到α、β的间隔 都分别为d2.∴动点C 都在平面α、β之间且与α、β的间隔 都相等的一个平面上． 答案： D 二、填空题7．考察以下三个命题，在“________〞处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，那么此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α ②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥mm ∥α ⇒l ∥α ③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α 解析： ①表达的是线面平行的断定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线〞，即“l ⊄α〞．它同样合适②③，故填l ⊄α.答案： l ⊄α8．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，那么BE 与平面PAD 的位置关系为________．解析： 取PD 的中点F ，连接EF ，在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF . 又∵EB ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD . 答案： 平行9．如下图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，那么PQ ＝________.解析： 如图，连结AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23， ∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .答案：223a 三、解答题10．如下图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．求证：EF ∥平面SAD .【解析方法代码108001092】证明： 证法一：作FG ∥DC 交SD 于点G ， 那么G 为SD 的中点． 连接AG ，FG 綊12CD ，又CD 綊AB ，且E 为AB 的中点， 故FG 綊AE ，四边形AEFG 为平行四边形． ∴EF ∥AG ，又∵AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ， ∴EF ∥平面SAD .证法二：取线段CD 的中点M ，连接ME 、MF ，∵E 、F 分别为AB 、SC 的中点， ∴ME ∥AD ，MF ∥SD ， 又∵ME ，MF ⊄平面SAD ，∴ME ∥平面SAD ，MF ∥平面SAD ， ∵ME 、MF 相交， ∴平面MEF ∥平面SAD ，∵EF ⊂平面MEF ，∴EF ∥平面SAD .11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD .证明： 如图，连接B 1D 1、B 1C .∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.12．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？假设存在，求点F的位置；假设不存在，请说明理由.【解析方法代码108001093】解析：存在这样的点F，使面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴AD∥CF，又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，又CC1、CF⊂平面C1CF，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。