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一元二次方程实根在给定范围内的充要条件及应用学校：盐亭县八角初中姓名：张元勇一、引论：1、二次函数f(x)=ax2 +bx+c(a>0)的图象是开口向上，顶点横坐标X=- 的抛物线。
2、一元二次方程f(x)=ax2 +bx+c=0两定实根x1、x2，由韦达定理有 = - ，当对应抛物线与x为x1、x2，若x1<x2时则必x1<- <x2。
二、问题的引出: -若一元二次方程f（x）=0有任意实根的充要条件是△=b2-4ac≥0。
若f（x）=0有实根且实根在某个给定范围（R之子集）内充要条件（即与a、b、c关系）又是怎样的？三、定理：f（x）=ax2+bx+c=0（a > 0）的判别式△>0的充要条件是：存在实数m，使f（m）<0。
证明：⑴若△>0，f（m）=ax2+bx+c=a（m+ ）2 + <0。
⑵若存在实根m，有f（m）<0，即a（m+ ）2 + <0，得4ac-b2<0，即△>0，命题成立。
四、推论：1、对于f(x)=ax2 +bx+c=0（a>0），△>0 ⇔f(- ) <0。
2、对于f(x)=ax2+bx+c ，△>0 ⇔af(- ) <0。
即a的正负号未明确时，可用该推论，亦可以分a>0，a<0讨论。
五、结论：f（x）=ax2+bx+c=0（a>0）两实根X1<X2，m、n、p、r为常数。
说明：1、若“某一元二次方程实根在（a ，b ）内”分为①仅一根在其内（较大根或者较小根）；②两根都在其内的情形。
f(- )f （- >m f （- )f- >mX△>0m < - <nf ff （ f （ f （ Xf （ f （ f （ f （ f f2、联系一元二次方程、二次函数、一元二次不等式知识。
六、应用举倒：例1：m为何值时，方程x2-6（m-1)x+7m-9m-1=0有两实根都在（- ∞，5）内？解法1：设方程f（x）=0△>0f（5）>0 解得： <m< 或m <2-3（m-1）<5解法2：方程f（x）=0有两实根，Δ≥0得到m<2或m> 且X=3(m-1)+,只需较大的根在（- ∞，5）内，3(m-1)+<5 ,得到m<综合得： <m< 或m <2 。
