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第一种:在z=0和z=L的两端有边界条件
zx zy0, w0
以上条件平面应变问题是精确满足的.如图7.1a
(7.10)
第二种:柱体很长.除两端外,w=0,侧面上z向外力也为零.也可按平 面应变问题求解,如图7.1b
z z
z
x
x
x
y
(a)水坝
y
(b)隧道 图7.1
y
(c)滚轴
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
在oxy平面内构§7-1 平面应变问题
C. 变形特征
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
设 z方向为无限长，则 x , x , u, 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面
u u ( x , y ) ,v v ( x , y ) ,w 0 ( x , y ) A (7.1)
(e)
式(7.8)是应力表示的协调方程,边界条件为
n T
在 s 上(7.9)
平面应变问题:二个位移分量,三个应变分量和三个应力分量.满 足几何方程(7.2),本构关系(7.4)和平衡方程(7.6)共八个方程及边 界条件(7.9)
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
三种可以按平面应变问题求解的情况
xxxx yyyx yxfzxzx0fx 0 xyxxxyyyy yfyzzy0fy 0
(7.6)
应f x 和变协f y调是方x,程y的(3函.3数4cxx)中z五个yy自z动满z足z ,剩f下z 一0个为
将物理方2y2z2x2程y(7.2x42y)22y代z2y入2x2x上2yxyy式zyz2得x222yyx22zxzy2xy2x(( xyyxyyxzzyxzxzyz(x7xy)y.7z)) (3.34c)
为xy 平面，垂直于中面的任一直线 为 z 轴。 由于板面上不受力，有
b
x
z
2h
z zh0 因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
zxzh0 可认为整个薄板的
z 0 zx 0
y
a
y
zyzh0 各点都有：
zy 0
(7.11)
由剪应力互等定理，有 zxxz0 zy yz 0 y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
第七章 平面问题的直角坐标解答
第七章 平面问题的直角坐标解答
§7-1 平面应变问题 §7-2 平面应力问题 §7-3 平面问题及体积力为常量时的特性 §7-4 §7-5 平面应力问题的近似性质 §7-6 自由端受集中力作用的悬壁梁 §7-7 受均布荷载作用的简支梁 §7-8 三角形水坝
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
2 x 2y xy x x 2 x2 xy xy 2yf 2 x y 0 x fx y fy0
(d)
利用式(d )消2(去式xx y(xc)中y)的 y (剪y1 应力f1y)(得 x f0x y fy)0
(7.6) (7.8)
式中 2 是二维Laplace算子
2 2 2 x2 y2
2z x2
2 y 2z2 2x x 2 x 2x2 y xyz1 (2 2 y x22 y yz 2 zx (2 x) zx2 y (1 xy1 z ) x 2 y xx y y )z
(c)
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
对平衡方程(7.6)中的两式分别相对于x和y求导,相加得
2(1
E
)zx
(. b)
(5.26b)
x
y
1 ( E1 1 ( E1
x 1 y 1
y) x)
xy
11 E1
xy
E 11 E 2 ,
(7.4)
11 (7.5)
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
1 11
E
E1
应力分量只是x,y的函数,且Z方向体积力为0,则平衡方程变为
一个方向的尺寸比另两个 b 方向的尺寸小得多。
x
z
2h
ha,h b —— 平板
y
y
a
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
B. 受力特征
外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用， 沿 z 方向不变化。
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-2 平面应力问题
C. 应力特征
如图选取坐标系，以板的中面
(7.2) (3(a.1)3)
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
因 zx zy z 0由胡克定律
x
E1[z x E 1[(z y(zx) ] , y)] xy0
2(1
E
)xy
,
y
E1 [y
z(z (xx)], y)yz
2(1E)yz
,(7.3)
六个应z力分E1量[中z 独z立(x的x 也zy只y)]有,0三个zx
§7-1 平面应变问题
A. 几何特征
一个方向的尺寸比另两 个方向的尺寸大得多，且沿 长度方向几何形状和尺寸不 变化。柱体所占空间V
V { (x ,y ,z)(x ,y ) A ,0 z L }
—— 近似认为无限长
B. 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
第三种:柱体很长.高应力区远小于低应力区,且低应力区的应力 近似为零.除两端外,也可按平面应变问题求解,如图7.1c
z
x
y
(a)水坝
x y
(b)隧道 图7.1
z y
z x
(c)滚轴
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-2 平面应力问题
§7-2 平面应力问题
A. 几何特征
V{(x,y,z)(x,y) A ,zh},
yx
x x(x,y) y y(x,y)
xyyxxy(x,y)
(7.12)
x xy
x
xy x
yx
yy
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-2 平面应力问题
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
满足条件(7.1)及以上特征的弹性力学问题称为平面应变问题
将(7.1)代入几何方程(3.13)
xz xu x, xy
y ux , y v, xy xy 12 (1 2 (uy u y vx ) v x)
zy
yv ,
z y0z
1 2
(
v z
w y
)
在平面应变 z问题wz中, ，独zx 立 的12 (应wx变分uz量) 只有三个
