《理论力学 动力学》 第三讲 第二类拉格朗日方程的应用

第二类拉格朗日方程适用范围
（最新版）
目录
一、引言
二、第二类拉格朗日方程的概述
三、第二类拉格朗日方程的适用范围
四、结论
正文
一、引言
拉格朗日方程是分析力学的重要方程，由约瑟夫·路易斯·拉格朗日提出，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。

拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。

本文主要讨论第二类拉格朗日方程的适用范围。

二、第二类拉格朗日方程的概述
第二类拉格朗日方程是拉格朗日方程的一种，主要用于描述物体在非自由运动状态下的运动，即物体受到约束条件的运动。

第二类拉格朗日方程的形式为：δλ/δq[L/q - G/q] = 0，其中，L 表示拉格朗日量，q 表示广义坐标，G 表示广义力。

三、第二类拉格朗日方程的适用范围
第二类拉格朗日方程适用于以下情况：
1.物体受到约束条件：在实际物理系统中，物体的运动通常受到一定的约束条件，如滑动摩擦力、弹簧力等。

第二类拉格朗日方程可以用来描述物体在约束条件下的运动。

2.理论物理研究：第二类拉格朗日方程在理论物理研究中具有广泛的
应用，如在量子力学、相对论、凝聚态物理等领域。

3.工程领域：第二类拉格朗日方程在工程领域也有广泛的应用，如在机械工程、航空航天、土木工程等领域。

4.数学建模：第二类拉格朗日方程可以用来建立物体运动的数学模型，从而可以用来进行仿真和模拟。

四、结论
第二类拉格朗日方程是描述物体在约束条件下运动的重要方程，在理论物理研究、工程领域以及数学建模等方面具有广泛的应用。

拉格朗日第二类方程
拉格朗日第二类方程是经典力学中的基础概念之一。

它描述的是质点
在一定约束下的运动，是建立在尺度不变性原理的基础上的。

下面我
将按照以下列表分别介绍拉格朗日第二类方程的定义、推导过程以及
其应用。

1. 定义：
拉格朗日第二类方程是描述系统动力学的数学模型，它是由勒让德在1797年建立的，具体形式为：
d/dt (∂L/∂qᵢ) − ∂L/∂qᵢ = Qᵢ
其中，L是系统的拉格朗日函数，q是系统的广义坐标，Q是系统的非
保守力。

2. 推导过程：
拉格朗日第二类方程的推导主要分为以下几个步骤：
第一步，构建系统的拉格朗日函数，即L=T-V，其中T是系统的动能，V是系统的势能。

第二步，求出系统的广义动量pᵢ=∂L/∂qᵢ。

第三步，对广义动量求导得到系统的加速度aᵢ= d/dt (∂L/∂qᵢ)。

第四步，根据牛顿第二定律F=ma以及广义动量的定义pᵢ=∂L/∂qᵢ，将非保守力Q用广义动量表示为Qᵢ=∂V/∂qᵢ。

第五步，代入广义动量和非保守力的表达式，得到拉格朗日第二类方程d/dt (∂L/∂qᵢ) − ∂L/∂qᵢ = Qᵢ。

3. 应用：
拉格朗日第二类方程是经典力学中最基础的方程之一，它在物理学的各个领域都有广泛的应用，如
（1）陀螺的运动学研究
（2）杆的运动学研究
（3）学习简谐振动的方程
（4）学习经典电动力学中的运动方程
（5）学习光学中的光路方程等
总之，拉格朗日第二类方程在物理学研究中有着重要的地位，熟练掌握它的概念和应用对于探究自然界的规律和解决实际问题都具有重要作用。

理论力学中的拉格朗日方程在理论力学中，拉格朗日方程是一种重要的数学工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。

拉格朗日方程由意大利数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出，被广泛应用于经典力学的各个领域。

1. 拉格朗日方程的引入拉格朗日方程的引入是为了解决在复杂的力学系统中，尤其是多体系统中，求解运动方程困难的问题。

拉格朗日方程通过引入广义坐标和广义速度的概念，将原来的N个质点受力问题转化为2N个一阶偏微分方程组的求解问题。

2. 广义坐标和广义速度在拉格朗日方程中，将系统的坐标由笛卡尔坐标系转化为广义坐标系，这样可以更好地描述系统的自由度。

广义坐标的数目等于系统的自由度，它们可以用来完全描述系统的构型。

广义速度则是对广义坐标的时间导数，表示系统的运动状态。

3. 拉格朗日量在拉格朗日力学中，拉格朗日量是一个以广义坐标、广义速度和时间为变量的函数，代表系统的能量和动力学性质。

拉格朗日量可以通过系统的动能和势能函数得到。

对于自由度为n的系统，拉格朗日量可以表示为L(q, q', t)，其中q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。

4. 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是拉格朗日方程的数学形式，它由拉格朗日原理引出。

欧拉-拉格朗日方程可以描述系统在运动过程中的动力学规律。

它可以表示为d/dt(dL/dq') - dL/dq = 0，其中d/dt表示对时间求导数。

通过求解这个方程组，我们可以得到系统的运动方程。

5. 应用与例子拉格朗日方程在经典力学中的应用非常广泛。

例如，它可以用于求解刚体的运动，弹性体的振动，以及受约束的质点系等问题。

通过将系统的动能和势能函数表示为广义坐标和广义速度的函数，可以得到相应的拉格朗日量，进而求解运动方程。

总结：拉格朗日方程是一种在理论力学中广泛应用的工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。

它通过引入广义坐标和广义速度的概念，将系统的受力问题转化为求解一阶偏微分方程的问题。

代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
20
[例]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2， 半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守
系统。以物块C的平衡位置为
原点，取x为广义坐标：
AF q j
（4）不含约束力。
二、保守系统的拉格朗日方程
如果作用于质点系的力是有势力，则：
Qj
V q j
而拉氏方程为：
15
d dt
T q j
T q j
V q j
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
V q j
0,
d dt
V q j
0
上式为：
d dt
T q j
T q j
d dt
V q j
V q j
或：d dt
(T V q j
)
(T V q j
)
0
令L=T-V——拉格朗日函数
d dt
(
L q j
)
L q j
0 ( j1,2,,k )
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
Q
A
M
T
1 2P 6
9Q (R g
r ) 2
;
d T
dt
1 2P 9Q (R r)2
6
g
;
T 0
19

需要指出的是，上述各式适用于任何理想、双侧约束系统， 不论约束是否完整、是否定常，也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
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第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中，由于系统存在约束，一般情形下，各 质点的虚位移并不完全独立，应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力（generalized forces）; Qk*为广义惯性力（generalized inertia forces）
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下，δq1， δq2，…， δqN 相互独立，
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程

θ&&(θ ) = ? x&(θ ) = ?
L中无 x, t
∂T ∂x&
=
5 2
mx& +
1 2
mLθ& cosθ
=
C
&x&(θ ) = ?
5 mx&2 + 1 mL2θ&2 + 1Lmg(1− cosθ ) = E
4
6
2
2014-3-25
8
理论力学
习题课
∂T ∂x&
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根据对z轴的动量矩守恒和初始条件，可得关系式： ϕ&
=
1
sin2 θ
15
理论力学
习题课
问题：B 点的运动轨迹？
θ0
=
π
4
=
0.7854,ϕ0
=
0,θ&0
=
0,ϕ&0
=
2.0rad/s
m = 1kg L = 1m k = 10N/m
∂T
∂ϕ&
=
1 mL2 3
sin2 θϕ&
=
C1
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mL&x&cosθ
+
1 mL2θ&&+
3
1 2
mgL sinθ
=
0
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理论力学
习题课
x
A
aA
θ&&= −15 2 g,
17L
&x&
=3g 17
求地面的约束力
F
aCt A

第二类拉格朗日方程的应用
黄秋华
【期刊名称】《河池师专学报》
【年(卷),期】1991(011)003
【摘要】本文运用分析力学中的第二类拉格朗日方程,建立弹簧振子及LRC振荡电路的微分方程和计算出它们的固有周期。

【总页数】6页(P65-69,88)
【作者】黄秋华
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.第二类拉格朗日方程建模在自动武器上的应用 [J], 石韬
2.基于第二类拉格朗日方程的水雷内末弹道仿真 [J], 秦锋;逢洪照
3.从动能定理到第二类拉格朗日方程 [J], 陆明万;张雄
4.动能定理与第二类拉格朗日方程推导方法 [J], 张毅
5.第二类拉格朗日方程在无初速释放动力学问题中的应用 [J], 李海龙; 刘海燕因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

第 1节
第二类拉格朗日方程
2019年2月21日
广义坐标中的达伦伯-拉格朗日原理
第 8章
第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用
理想完整约束系统：广义坐标为q1, q2, …, qN
质点i矢径： ri ri ( q1 , q2 ,
, qN , t )
n i 1
n
ri ri qk qk k 1
Qk Q 0
* k
T d Q dt qk
* k
T q k
V 如主动力都是有势力： Qk qk
d T dt qk T V q qk k
d T dt qk
T q Qk , k 1,2, k
O
y x R
R
m
L ( J mR 2 sin 2 )
d L ( J mR2 sin2 ) 2mR2 sin cos dt
例4
解
第 8章
第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用
d L L Q dt
第 二 类 拉 格 朗 日 方 程 及 其 应 用
应用拉格朗日方程的解题步骤为 判断系统是否为完整约束，主动力是否 有势，以决定能否应用拉格朗日方程以 及应用何种形式的拉格朗日方程。 确定系统的自由度数，选择合适的广义 坐标。
按所选的广义坐标，写出系统动能、势 能或广义力。
把动能、广义力或拉格朗日函数代入拉格 朗日方程。
n n d 1 1 2 2 mi ri mi ri dt qk i 1 2 qk i 1 2

第二类拉格朗日方程曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、第二类拉格朗日方程的推导2、第二类拉格朗日方程的应用3、拉格朗日方程的初积分1、第二类拉格朗日方程的推导设由n 个质点组成的系统受m 个理想完整约束作用，系统具有N=3n-m 个自由度。

设q 1, q 2, …, q N 为系统的一组广义坐标,则每个质点的位置：12(,)(12)i i N q q q t i n =×××=×××r r ，，，，，，上式两端进行等时变分运算得到：11...i i i i N N q q t q q t d d d d ¶¶¶=+++¶¶¶r r r r 1N ikk kq q d =¶=¶år 主动力在任意虚位移上所作的虚功之和为：1δnii =×åiF r 1δNkkk Qq ==×å1、第二类拉格朗日方程的推导将以上两式代入动力学普遍方程：1()0nii iii m d =-×=åF rr &&11(δ0N nik i i k k i k Q m q q ==¶-×=¶åår r &&对于完整约束系统，广义坐标相互独立，因此δq k 是任意的，上式成立的话，恒有：0(1,2,...,)nik i i Q m k N q ¶-×==¶år r &&1、第二类拉格朗日方程的推导k Q 广义惯性力上式不便于直接应用，为此可作如下变换：(1)i i k k q q¶¶=¶¶r r &&证明：12()(12)i i N q q q t i n =×××=×××r r ，，，，，，11d d i i i ii k k q qt q q t¶¶¶==++++¶¶¶r r r r r &&&L L 注意和是广义坐标和时间的函数（不含有广义速度项），并且上式只在第k 项含有i k q ¶¶r t ¶¶ir i iq q ¶¶=¶¶r r &&k q&(2)d d i i kkt q q æö¶¶=ç÷¶¶èør r &证明：这实际是一个交换求导次序的问题12()(12)i i N q q q t i n =×××=×××r r ，，，，，，12()i i N k kq q q t q q ¶¶=¶¶r r L ，，，，对时间t 求微分1d d N ii j j kjkk q t q q q t q =æöæöæö¶¶¶¶¶=+ç÷ç÷ç÷¶¶¶¶¶èøèøèøåi r r r &221Ni j j k jk q q q q t =¶¶=+¶¶¶¶åir r &而1()N i i i j j k k j qq q q t=¶¶¶¶=+¶¶¶¶år r r &&111Ni i i i ii N j j N jq q q q q t q t =¶¶¶¶¶=+++=+¶¶¶¶¶år r r r r r &&&&L 221Ni i j j k j k q q q q t =¶¶=+¶¶¶¶år r&d d i i k kt q q æö¶¶=ç÷¶¶èør r&若函数的一阶和二阶偏导数连续12()i i N q q q t =r r L ，，，，1、第二类拉格朗日方程的推导将和代入动力学普遍方程的广义惯性力项中：i i k k q q ¶¶=¶¶r r &&d d i i kkt q q æö¶¶=ç÷¶¶èør r&1ni i i i k m q =¶×¶år r &&11d d )()d d n ni i i i i i i k k m m t q t q ==¶¶=×-׶¶åår r r r &&11d d nn i i i i i i k k m m t q q ==éù¶¶=×-×êú¶¶ëûåår rr r &&&&&11d1()d 2nni i i i i i i i k k m m t qq ==éù¶¶=×-×êú¶¶ëûåår r r r &&&&&2211d 11()()d 22nni i i i i i k km v m v t q q ==éù¶¶=-êú¶¶ëûåå&记21()ni i T m v =åd ()d k kT Tt q q ¶¶=-¶¶&1、第二类拉格朗日方程的推导将前述结果代入动力学普遍方程：11()δ0N ni k i i k k i k Q m q q ==¶-×=¶åår r &&得到d 0(12)d k k kTTQ k N t qq æö¶¶--==ç÷¶¶èøL &，，，—第二类拉格朗日方程二阶常微分方程组，方程式的数目等于质点系的自由度数。

B
B
解：以系统为研究对象，系统所 受的主动力有圆柱的重力。设两轮的 角加速度为 1 、 2 ，轮B质心的加速 度为 a 。假想加上惯性力，如图。
1 其中 M mR 21 2
g A
C
2
yC
1 2
mg
g MB
a
2
g FBg ma M B mR 2 2
此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转 角1 、 2 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
q (q1 , q2 , , q N )
ri ri (q1 , q2 , , qN , t )
由动力学普遍方程，得
F δ r m a δ r 0
i 1 i i i 1 i i i
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 y D ae a1 C1
引
言
本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来 推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学 普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而 拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动， 两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题， 它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因 此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由 质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要 比用动力学普遍方程简便得多。
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC

Q ∂L 3 Q & & = s − x cosα & g ∂s 2 g Q d ∂L 3 Q && − &&cosα = s x & dt ∂s 2 g g
∂L =0 ∂x
∂L = Qsinα ∂s
代入保守系统拉氏方程，并适当化简， 代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方 程。
& & (P+Q)& −Q⋅& cosα =0 x s & & 3& −2& cosα =2gsinα s x
拉格朗日函数
L = T −V
1 m(x2 -xθlsinθ + 1 l 2θ 2 ) & & && = 2 3 1 kx2 + mg(x + l cosθ ) 2 2
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
∂L = － + mgx kx ∂x
∂L = mx- 1 m &lsinθ & θ & ∂x 2
2 2 −mgl(θ12 +θ2 )/2 − kl 2 (θ12 −2θ1 θ2 +θ2 )/2
∂L =−mglθ −kl 2 (θ −θ ) =−(mgl + kl 2 )θ + kl 2θ 1 1 2 1 2 ∂θ1
∂L = ml 2θ & 1 & ∂θ1 d ∂L = ml 2θ && 1 & dt ∂θ1
O
r0
B k A
解：1、系统的约束为完整约束，且主动 系统的约束为完整约束， O θ B' W
r0 r

（c ）滑块做简谐振动0sin x x t ω=。

自由度为 1。

取 θ例3．在极坐标中：r r v rv r v r v r θθωθ==⎧⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩对于光滑杆我们可以设线密度为ρ，质量为：Mlρ=一个光滑杆，在铅直平面Oyz 内以角速度ω绕ox 轴转动，一个质点约束在杆上运动，0t =时，,0r b r== ，求质点运动规律和约束反力N F解：体系的自由度为 1 约束方程为：t θω= 取广义坐标为：r应用牛顿运动方程：例4．解：（1）自由度：平面运动的质点的自由度为 2，现在受到绳子的约束所以自由度为 1（2）质点受重力（主动力）和绳子的拉力（约束力）均为保守力，（3）系统是理想约束，完整体系（4）取 为广义坐标在一光滑的平面上竖直固定一半径为r的圆柱体，设长为l轻绳一端固定在柱底面的O点，另一端系着质量为m的小球，小球在平面上以垂直于绳子的方向的初速度为0v运动。

（1）写出体系的拉格朗日函数L（2）小球碰倒主体时的位置和消耗的时间[]22()2()2sin cos ()0l r r l r r gr g l r θθθθθθθθ---++--=即：[]2()22sin cos 0l r r r gr g θθθθθθ--++-=若不考虑质点势能：代入拉格朗日方程：暂时不考虑l r θ=点，21(2)0m m xkx ++= 12120sin cos y x x l y l ϕϕ==-=，，12120cos sin yx x l y l ϕϕϕϕ==-= ，，注意到01k m g δ=时： 例6．解：该系统有两个自由度，选取1x 和ϕ为广义坐标如图所示的运动系统中，重物1M 的质量为1m ，可沿光滑水平面移动；摆锤2M 的质量为2m ，两个物体用无重杆连接，杆长为l 。

试建立此系统的运动微分方程。

Lorentz 力是非保守力：()()0F q E v B ∇⨯=∇⨯+∇⨯⨯≠因此带电粒子在电磁场中的运动应该通过将洛伦兹力构建(,,)U U q qt αα= ，进而写出新的拉格朗日函数。

第二类拉格朗日方程适用范围拉格朗日方程是经典力学中的一种重要数学工具，用于描述质点、刚体等物体在力的作用下的运动规律。

在拉格朗日力学中，第二类拉格朗日方程是一种常用的分析方法，适用于一些特殊的力学系统，本文将介绍第二类拉格朗日方程的适用范围。

第二类拉格朗日方程是拉格朗日力学中的一个重要定理，它是由哈密顿原理推导出来的。

拉格朗日力学的核心思想是通过引入拉格朗日函数来描述系统的动力学行为，而第二类拉格朗日方程则是一种从拉格朗日函数中导出运动方程的方法。

第二类拉格朗日方程适用于那些具有广义坐标的力学系统。

所谓广义坐标，是指用于描述系统运动的坐标，不仅仅限于笛卡尔坐标系中的直角坐标，还可以是柱坐标、球坐标等其他坐标系。

在这种情况下，拉格朗日函数将会是广义坐标和广义速度的函数。

第二类拉格朗日方程的推导基于哈密顿原理，即系统的真实运动路径是使作用量取极值的路径。

作用量是一个积分量，由拉格朗日函数和时间的积分得到。

根据哈密顿原理，我们可以得到拉格朗日方程。

在具体应用中，第二类拉格朗日方程适用于各种力学系统的分析。

例如，刚体的运动可以通过广义坐标和广义速度来描述，而拉格朗日方程可以将刚体的运动方程表达为一组常微分方程。

此外，弹性体、流体等复杂系统的运动也可以通过第二类拉格朗日方程进行分析。

在实际应用中，第二类拉格朗日方程的求解可以通过数值方法或解析方法来实现。

对于简单的力学系统，可以使用解析方法得到精确的解析解；而对于复杂的系统，由于拉格朗日方程的非线性特性，通常需要借助于数值模拟方法进行求解。

除了力学系统，第二类拉格朗日方程还可以应用于其他领域，如电磁学、光学、量子力学等。

在电磁学中，可以利用拉格朗日方程来描述电荷在电磁场中的运动规律；在光学中，可以利用拉格朗日方程来描述光的传播和折射等现象；在量子力学中，可以利用拉格朗日方程来描述微观粒子的运动。

第二类拉格朗日方程是一种重要的数学工具，适用于描述各种力学系统的运动规律。

3、拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程给出的是关于广义坐标q k 的二阶微分方程组，如果要求系统的运动规律的话，需要求解该微分方程组，对方程进行积分。

一般来说，二阶微分方程组的积分是很困难的，但是对于保守系统，在某些特定条件下，可以方便地得出方程初积分的一般形式，这对于方程的求解是有帮助的。

1.循环积分拉格朗日函数L 中可能显含所有的广义速度，但可能不显含某广义坐标q k ，则称该坐标为循环坐标，此时有：0kLq ¶=¶d ()0d k L t q¶=¶&k Lq¶=¶&常数---拉格朗日方程的循环积分如果系统的循环坐标不止一个，那么有几个循环坐标就有几个循环积分。

注意势能V 中不显含任何广义速度，因此对于循环坐标来说，有：k q k k L Tqq ¶¶=¶¶&&常数p k , 与广义坐标q k 对应的广义动量k p ==对于循环坐标，其广义动量守恒。

3、拉格朗日方程的初积分2.广义能量积分若系统所受到的约束均为定常约束，我们知道：12()(12)i i N q q q i n =×××=×××r r ，，，，，1Nii i k i kqq =¶==¶år v r &&11111122n nN N i i i i i i k l i i k l k l T m m q q q q ====æöæö¶¶=×=×ç÷ç÷¶¶èøèøåååår r v v &&从而有:11112N N ni i i k l k l i k l m qq q q ===æö¶¶=×ç÷¶¶èøååår r &&1112N Nkl k l k l m qq ===åå&&1ni ikl i i k l m m q q =¶¶=׶¶år r ——广义质量12Nk k k Tq T q=¶=¶å&&——关于齐次函数的欧拉定理将T 展开后，很容易证明：3、拉格朗日方程的初积分注意势能V 不含项，k q &从而有：112N Nk k k k k k L T q q T q q==¶¶==¶¶åå&&&&d ()0(12)d k k L Lk N t qq ¶¶-==¶¶L &，，，d d d2(2)0d d d T L T L t t t-=-=1d ()0d Nk k k kk L L qq t q q =éù¶¶-=êú¶¶ëûå&&&1d ()0d Nk k k k kk k L L L q q q t q q q =éù¶¶¶--=êú¶¶¶ëûå&&&&&&11d 0d N N k k k k k k k k L LL q q q t q q q ==æöæö¶¶¶-+=ç÷ç÷¶¶¶èøèøåå&&&&&&2T L T V C-=+=---保守系统的机械能守恒定律---保守系统中拉格朗日方程的能量积分循环积分和广义能量积分都是由原来的二阶微分方程积分一次得到的，即将原方程降了一阶。

拉格朗日方程组拉格朗日方程组是经典力学中一种重要的数学工具，用于描述物体在给定势能下的运动。

它由法国数学家拉格朗日于18世纪提出，是一种基于能量守恒原理的变分方法。

拉格朗日方程组在物理学、工程学等领域具有广泛的应用，可以用于研究多体系统的运动、稳定性等问题。

拉格朗日方程的基本原理拉格朗日方程的基本原理是以最小作用量原理为基础的。

最小作用量原理认为，物体在运动过程中，其实际路径是使作用量最小的路径。

作用量可以看作是物体在运动过程中受到的所有作用力的积分，可以表示为：S=∫Ldt其中，L是拉格朗日函数，t是时间。

拉格朗日函数L是系统的动能T与势能V的差值，即L=T−V。

根据哈密顿原理，最小作用量原理可以转化为运动方程的变分问题。

拉格朗日方程的推导过程为了推导拉格朗日方程，我们首先需要定义广义坐标。

广义坐标是一组独立的变量，可以完全描述系统的状态。

假设系统有n个自由度，那么可以选择n个广义坐标q1,q2,...,q n。

系统的广义速度可以表示为q i对时间的导数q i。

接下来，我们定义拉格朗日函数L。

拉格朗日函数是系统的动能T与势能V的差值，即L=T−V。

动能T可以表示为广义速度的函数，即T=T(q1,q2,...,q n,q1,q2,...,q n)。

势能V可以表示为广义坐标的函数，即V=V(q1,q2,...,q n)。

因此，拉格朗日函数可以表示为：L=L(q1,q2,...,q n,q1,q2,...,q n)根据最小作用量原理，我们需要求解使作用量S最小的路径。

根据变分法，我们可以对广义坐标q i进行变分δq i，使得作用量的变分为零。

即：δS=δ∫Ldt=0根据变分法的性质，我们可以将变分操作符δ移到积分号内部，得到：∫δLdt=0由于δL是L对广义坐标q i和广义速度q i的变分，我们可以将其表示为：δL=∂L∂q iδq i+∂L∂q iδq i根据变分法的链式法则，我们有δq i=ddt(δq i)。

n 1 1 2 2 ( m v ) ( m v i i i i ) k d i 1 2 i 1 2 [ ]q j j q q j j 1 dt n
d T T [ ]q j j q j j 1 dt q
k
( m)
13
将（d）（m）代入（c）得：
9
j — 广义速度 式中：q
ri ri , 由（a）知 只是广义坐标和时间的函数，与广义速 q j t
j 求偏导： 度无关，故将上式对q
ri vi j q j q
②将（g）对任一广义坐标ql 求偏导：
( h)
k k vi 2 ri 2 ri ri ri j j ( )q ( ) q ql j 1 ql q j ql t tql j 1 ql q j
故：
3M 2 gt ( 2 P 9Q )( R r ) 2
20
[例]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2， 半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守 系统。以物块C的平衡位置为 原点，取x为广义坐标：
1 1 1 1 2 2 2 2 T m1 x J A A m2 v A J B B 2 2 2 2 2 1 2 11 2 1 11 x x 2 2 2 x m1 x m2 R ( ) m2 ( ) m2 R ( ) 2 22 2R 2 2 22 R 1 2 (8m1 7m2 ) x 16
v A ( R r ) vA Rr A r r
18
1 1Q 2 1 2 2 T J O v A J A A 2 2g 2 2 11 P 1 Q 1 1 Q ( R r ) 2 2 2 (R r)2 (R r)2 r2 23 g 2g 2 2g r2 1 2 P 9Q 2 (R r)2 12 g

i1
i1
n
对理想约束 N i ri 0 i 1
n
(Fi miri )ri 0
i1
达朗伯-拉格朗日原理的证明
由理想约束的定义和达朗伯-拉格朗日原理：
n
n
(Fi miri)ri Niri 0
i1
i1
n
(Fi Ni miri)ri 0
i1
用约束反力代替约束后，质系就变成了自 由质系，所有虚位移都是相互独立的，故
F i N i m ir i 0 , i 1 ,2 , ,n
例1
圆轮固定于O点，不考虑圆轮在质量和摩擦。 建立系统的运动微分方程。
o y
m1
x m2
解法1 几何法
n
(Fi miri )ri 0
i1
r1 r2 a1 a2
( m 1 g m 1 a 1 ) r 1 ( m 2 g m 2 a 2 ) r 2 0
xr
C 纯滚动
x
x
O
水平面光滑
y
解
O
xr
Cx
取x和xr为广义坐标。
x
Vmgxrsin O
xr vC
x
T1 2M x21 2m(x2xr22xxrcos)1 21 2mr2x r2 r2 1 2(Mm)x24 3mxr2mxxrcos
L 1 2 (M m )x 2 4 3 m x r 2 m x x rc o s m g x rs in
T qk
qTk
qVk
Qk
V qk
V 0 qk
d dt q L k q L k 0, k1,2, ,N主的动拉力格为朗势日力方时程
L = T – V — 拉格朗日函数，或动势