商的变化规律整理和复习

1、被除数÷除数＝商……余数
被除数＝除数×商＋余数
除数＝（被除数－余数）÷商
商＝（被除数－余数）÷除数
余数＝被除数－除数×商
2、被除数前两位<除数时，商是一位数，
被除数前两位≧除数时，商是两位数。

3、商的变化规律：
（1）、在除法算式中，被除数不变，除数
乘以（或除以）几（0除外），商反而要除
以（或乘以）相同的数。

（2）、在除法算式中，除数不变，被除数
乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。

简便记法：除数与商的变化方向相反，被
除数与商的变化相同。

（3）、在除法算式中，被除数和除数同时
乘以（或除以）相同的数（0除外），商不变。

这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。

商的变化规律哎呀，说起这商的变化规律，那可真是数学世界里一个特别有趣又实用的玩意儿！咱们先从最简单的例子说起。

比如说，你和小伙伴一起去买糖果，一包糖果 10 块钱，你有 20 块钱，能买到 2 包糖果，这时候商就是 2。

但要是糖果突然打五折，一包只要 5 块钱，那 20 块钱能买到 4 包糖果，商就变成了 4。

瞧，价格变了，能买到的糖果数量也就跟着变啦，这就是商的变化规律在生活中的小体现。

在咱们的数学教材里啊，商的变化规律主要有这么几条。

首先是被除数不变，除数变化引起商的变化。

就像刚才说的买糖果，被除数 20 块钱不变，除数从 10 变成 5，商就从 2 变成了 4。

除数变小，商反而变大。

然后是除数不变，被除数变化引起商的变化。

还是拿买糖果举例，如果一包糖果还是 10 块钱，你一开始有 20 块钱能买 2 包，后来你又多了 30 块钱，一共 50 块钱，那就能买 5 包了。

被除数变大，商也跟着变大。

还有被除数和除数同时变化的情况。

比如说被除数乘以 2，除数乘以 3，那商就会变小。

这就好比原本你有 20 块钱能买 2 包 10 块钱的糖果，现在你有 40 块钱，但是糖果变成一包 15 块钱了，那你能买到的糖果就少啦。

我记得有一次在课堂上，我给孩子们出了一道题：“如果120÷30=4，那（120×2）÷（30×2）等于多少？”孩子们都开始埋头苦算，有个小家伙特别机灵，一下子就喊出来：“老师，还是 4 ！”我问他怎么这么快就想出来了，他一脸骄傲地说：“您刚讲的被除数和除数同时乘以一个数，商不变呀！”那一刻，我心里别提多开心了，这孩子把知识学活啦！在实际解题的时候，掌握了商的变化规律可太有用啦。

比如说计算560÷70，我们可以把被除数和除数同时除以 10，变成 56÷7，一下子就能算出商是 8 。

总之啊，商的变化规律就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。

商的变化规律嘿，咱们今天来好好聊聊“商的变化规律”这个有趣的事儿！还记得我之前教过的一个班，有个叫小明的孩子。

那时候我们刚开始接触商的变化规律，这孩子一脸迷茫，小眼睛里充满了困惑。

咱们先来说说什么是商的变化规律。

简单来讲，就是被除数和除数的变化会引起商的相应变化。

比如说，被除数扩大或缩小几倍，除数不变，商就跟着扩大或缩小相同的倍数；被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。

就拿个具体的例子来说吧。

假设咱们有 60 ÷ 20 ＝ 3 这个式子。

如果被除数 60 扩大 2 倍变成 120，除数 20 不变，商就从 3 变成 6 啦，是不是很神奇？再比如说，如果被除数不变还是 60，除数 20 扩大 2 倍变成 40，那商就从 3 变成 15 咯。

回到小明身上，刚开始他怎么都理解不了。

我就给他举了个生活中的例子。

我说：“小明啊，你想想，假如你有 10 个苹果要分给 2 个小朋友，那每人能分到 5 个。

可要是小朋友的数量不变，苹果变成 20 个，那每人不就能分到10 个啦。

但要是苹果还是10 个，小朋友变成4 个，那每人是不是就只能分到 25 个啦？”小明听完，眼睛突然亮了起来，好像一下子就开窍了。

在实际的数学计算中，掌握商的变化规律那可是大有用处。

比如说，当我们计算 900 ÷ 25 时，如果直接算可能有点麻烦。

但我们知道 25×4＝ 100，那我们可以把被除数和除数同时乘以 4，式子就变成 3600 ÷100 ＝ 36，这样一下子就简单多了。

还有啊，在解决一些应用题的时候，商的变化规律也能帮我们快速找到解题的思路。

比如有一道题说：工厂原来生产一个零件需要 8 小时，技术改进后，生产时间缩短为 4 小时。

原来一个月（按 30 天计算）能生产 360 个零件，现在能生产多少个？这时候就得用到商的变化规律啦。

原来一天工作的时间是 8×30 ＝ 240 小时，现在一天工作 4×30＝ 120 小时，时间缩短了一半，那生产的零件数量就会翻倍，所以现在能生产 360×2 ＝ 720 个零件。

人教版数学四年级上册第一单元整理和复习教案本单元的“整理和复习”，主要是对除数是两位数的口算、笔算以及商的变化规律进行回忆整理，提升学生对本单元所学知识的掌握水平，培养学生总结归纳、汇总的能力，提高学生的学习能力。

同时，教材安排了解决实际问习题，使学生感受计算在生活中的应用价值，增强应意图识。

这局部内容可用2课时进行教学。

详细内容的说明和教学建议1．第⑴2习题的说明和教学建议。

第 1习题，用于回忆整理除数是两位数除法口算、笔算方法。

教材用情境图、统计表、文字表述三结合的方式，呈现给学生小丽家居民楼3个单元的住户十月份用水情况的信息和数学问习题。

在问习题下面，由小精灵聪聪提出：“解决上面的问习题，你用了什么计算方法？”教材的设计，把计算方法的回忆整理与解决实际问习题严密联络在一起，体现了改革的理念。

课前，把第1习题制成投影片，或多媒体课件。

教学时，呈现第1习题的同时，请学生注意观察，并相互说一说习题意。

吸引学生的注意，促使学生认识剖析、解决问习题。

接着，请学生独立把统计表填完整，并解决第（2）习题的实际问习题。

然后，请学生展示解决问习题的方法和结果。

让学生在展示活动中再次相熟解决问习题的方法，体验运用数学知识解决问习题的乐趣，增强学好数学的信心。

教学中，注意借助学生展示方法中的笔算、口算，引导学生回忆整理相应的计算方法。

可以适当补充一些笔算、口算式习题，让学生完成计算，并讨论总结归纳计算方法，提升学生对除法计算方法的掌握水平。

注意，不要要求学生用标准的数学语言总结归纳成法则，学生表达的意思正确就可以了。

第2习题，完成竖式计算。

用于复习商的变化规律。

教材给出两个不完整的除法竖式，请学生“接着往下算”。

竖式旁边小精灵明明提出：“为什么可以这样算？”呈现方式新颖，思考性强。

有利于学生主动思考、回忆所学的数学知识。

教学时，可以先请学生独立完成两个竖式计算，再思考答复小精灵明明提出的问习题。

也可以请学生先观察2个不完整的竖式，说一说发现了什么？（第一个竖式除数、被除数末尾同时去掉一个0，第二个竖式除数、被除数末尾同时去掉2个0），再思考答复小精灵明明提出的问习题。

2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题10 商的变化规律典例分析【典例分析01】两数相减，被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？分析与解答：被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。

【典例分析02】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？分析与解答：两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。

所以商是8，余数是20×10=200。

【典例分析03】两数相乘，积是48。

如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？分析与解答：一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。

所以最后的积是48×2÷3=32。

【典例分析04】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。

原来两个数相加的正确答案是多少？分析与解答：根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。

这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。

所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940。

【典例分析01】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。

正确的差是多少？分析与解答：根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60。

这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。

因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。

正确的差是：189＋58=247。

真题百分练一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•沈丘县期末）123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时乘7时，余数（）A．不变B．除以7 C．乘7【思路引导】根据商不变的性质“被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变”，所以，123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时乘7时，商仍然是24；但是余数变了，余数与被除数和除数一样，也乘7，据此解题即可。