2014-2015学年北京师范大学附属中学八年级上学期期中数学试题(含答案)

北师大实验中学2024—2025学年度第一学期初二年级数学期中考试试卷试卷说明：1．本试卷考试时间为100分钟，总分数为110分．2．本试卷共8页，四道大题，28道小题．3．请将答案都写在答题纸上．4．一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效．5．注意保持卷面整洁，书写工整．A 卷一、选择题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）1．下列四届奥运会会徽中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列计算，错误的是（ ）A ．()3328a a =B ．358a a a ×=C ．624a a a ¸=D ．()236a a -=-3．如图，ABC CDA △△≌，50BCA Ð=°，90B Ð=°，则CAD Ð的度数等于（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．若分式21x x -+的值为0，则x 的值为A ．﹣1B ．0C ．2D ．﹣1或25．等腰三角形的一个角为50°，则顶角的度数为（ ）A ．65°或50°B ．80°C ．50°D ．50°或80°6．下列因式分解正确的是（ ）A ．()ab ac a a b c ++=+B ．()()22331a a a a --=+-C ．()2222a ab b a b ++=+D ．()()4221644a a a -=+-7．下列说法中正确的是（ ）A ．如果两个三角形全等，则它们一定关于某直线成轴对称．B ．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．C ．等腰三角形任意角的平分线与该角所对边的高线、中线互相重合．D ．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．8．如图是22´的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的ABC V 为格点三角形，则正方形网格中与ABC V 成轴对称的格点三角形的个数是（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）9．若分式12x -有意义，则x 的取值范围是 ．10．计算234x x -×= ．11．如图，BE 、CD 交于点O ，且BE CD =，请添加一个条件，使得ABE ACD V V ≌，则可以添加的条件是： ．12．如图，一个直角三角板的一条直角边经过AOB Ð的顶点O ，一把直尺经过三角板的直角顶点E 并且与这条直角边垂直，直尺与AOB Ð的两边分别交于C 、D ，当CE DE =时，AOE Ð与AOB Ð的数量关系为： ．13．关于x 的多项式()()13x x n +-展开合并后一次项系数为1-，则n 的值为 ．14．如图，射线OG 为AOB Ð的平分线，点P 为射线OG 上一点，PM OA ^于点M ，PN OB ^于点N ，且3PN =，点C 为OA 上一点，9OCP S =△，则OC = ．15．如图，线段BD 为ABC V 的中线，且BD BC ^，4BC =，若45A C Ð+Ð=°，则BD = ．16．如图，在等边ABC V 中，点P 、Q 在边BC 上，并且满足BP CQ =，连接AP 、AQ ，点N 为AC 上一动点，连接PN 、QN ．（1）当PN NQ +最短时，测量CN = cm ；（精确到0.1cm ）（2）若4AB =，则在点P 从B 运动到C 的过程中，PN QN +最短时，CN = ．三、解答题（本大题共10道小题，其中第17至21题每题8分，第22至23题每题6分，第24题5分，第25题4分，第26题7分，共68分）17．计算：(1)()()421x x x --+(2)()2322682a bc a b a b -¸18．计算：(1)22246ab c a c b c-׸(2)22331a a a a a a a -+æö××ç÷-+èø19．把下列各式分解因式：(1)221218xy xy x-+(2)()222a b a --20．如图，射线OM 平分BOA Ð．(1)按要求尺规作图：作线段AB 的垂直平分线交射线OM 于点C ，连接CB 、CA ．（保留作图痕迹）(2)请把以下解题过程补充完整：求证：180OBC OAC Ð+Ð=°．证明：在OA 上截取OD OB =，连接CD ．OM Q 平分BOAÐBOM AOM\Ð=Ð在OBC △与ODC V 中：_______OB OD BOM AOM=ìïÐ=Ðíïî①OBC ODC \≌△△（②）CD CB \=，OBC ODCÐ=ÐQ 点C 在线段AB 的垂直平分线上CB CA \=（③）CD CA\=CDA CAD \Ð=Ð（④）Q 点D 在射线OA 上180ODC CDA \Ð+Ð=°180OBC OAC \Ð+Ð=°21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A --，()1,2B -，连接AB ．(1)画线段11A B ，使得线段11A B 与线段AB 关于y 轴对称，并写出11A B 的坐标：1A _______，1B _______；(2)如果点C 在y 轴上，且ABC V 是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点C 的坐标：_______．这样符合条件的点C 共有_______个．22．化简求值：当2610x x --=时，求()()()23233x x x --+-的值．23．如图，等腰ABC V 中，AB AC =，AD BC ^于D ，过点D 分别作DE AB ^交AB 于点E ，DF AC ^交AC 于点F ．求证：BE CF =．24．如图1，小长方形的长和宽分别为a 和b ，将四块这样的长方形按如图2所示位置摆放．(1)图2中的四边形EFGH 为正方形，其边长为_______．(2)能用图2中的图形面积关系来验证的等式是：_______=_______．(3)若3x y -=，4xy =，求x y +的值．25．已知：如图，36MON Ð=°，射线OM 、ON 上分别有点A 和点B ，点P 在线段OB 上，连接PA ，()0144OAB a a Ð=°<<°．若线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，则称线段PA 为AOB V 的“a 角等分线”．(1)如图1，当90a =°时，画出AOB V 的“90角等分线”此时OAP Ð=_______°．(2)当90a ¹°时，若存在线段PA 为AOB V 的“a 角等分线”，则a =_______°．26．如图1所示，在ABC V 中，AB AC =，2BAC a Ð=()4590a °<<°，D 为线段BC 上一点，E 为CD 中点，连接AE ．作EAM a Ð=，得到射线AM ，过点E 作EF AE ^交射线AM 于点F ．(1)依题意补全图形；(2)求证：B AFE Ð=Ð；(3)如图2，当60a =°时，连接BF 、DF ，求证：FBD V 为等边三角形．B 卷四、填空题（本大题共两道小题，其中27题4分，28题6分，共10分）27．如图，点B 在线段AC 上，点E 在线段BD 上，ABD DBC Ð=Ð，AB DB =，EB CB =，M ，N 分别是线段AE 、CD 的中点．以下结论正确的是： ．①AE CD =；②AE CD ^；③AE 平分DAC Ð；④BM BN ^且BM BN=28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),R a b ．对于点P 给出如下定义：先将点P 向右()0a ³或向左()0a <平移a 个单位长度，再关于直线y b =对称，得到点P ¢，则称点P'为点P 的“R 关联点”(1)如图1，点P 坐标为()3,1①当点R 坐标为()1,2-时，则点P 的“R 关联点”P ¢的坐标为：_______；②若点()4,3Q -为点P 的“R 关联点”，则R 的坐标为_______；(2)如图2，点A (−2,0)、C (0,1)，点B 与点A 关于y 轴对称．点R 在ABC V 边上，点P 坐标为()5,0①画出点P 所有的“R 关联点”；②这些关联点组成的图形形状是：_______．(3)如图3，点(),E n n -、(),F n n --、(),G n n -、(),H n n ，0n >，点R 在正方形EFGH 边上，点()6,4M 、()7,5N ，若线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”，直接写出n 的取值范围．1．A【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：B ，C ，D 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A ．2．D【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．【详解】解：A 、()3328a a =，故该项正确，不符合题意；B 、358a a a ×=，故该项正确，不符合题意；C 、624a a a ¸=，故该项正确，不符合题意；D 、()236a a -=，故该项不正确，符合题意；故选：D ．3．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，由三角形全等可知ACB CAD Ð=Ð，进而即可得出答案．【详解】解：Q ABC CDA △△≌，ACB CAD Ð=Ð\，Q 50BCA Ð=°，50CAD \Ð=°，故选：C ．4．C【分析】根据分式值为零的条件可得x ﹣2＝0，再解方程即可．【详解】解：由题意得：x ﹣2＝0，且x +1≠0，解得：x ＝2，故选C ．5．D【分析】分50°角是等腰三角形的顶角和底角两种情况计算，熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．【详解】当50°角是等腰三角形的顶角时，顶角的度数是50°；当50°角是等腰三角形的底角时，顶角的度数是180505080°-°-°=°；故选Ｄ．6．C【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的步骤和要求是解答的关键．利用提公因式法或公式法对每个选项中的式子进行因式分解，进而可作出判断．【详解】解：A 、()1ab ac a a b c ++=++，原计算错误，不符合题意；B 、()()22331a a a a --=-+，原计算错误，不符合题意；C 、()2222a ab b a b ++=+，原计算正确，符合题意；D 、()()()()()42221644422a a a a a a -=+-=++-，原计算错误，不符合题意；故选：C ．7．B【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定及角平分线的判定依次进行判断即可．【详解】解：如果两个三角形全等，则它们不一定关于某直线成轴对称，故A 选项不符合题意；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B 选项符合题意；等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高相互重合，故C 选项不符合题意；在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故D 选项不符合题意，故选：B ．8．B【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】解：如图所示，BCD △，EBC V ，MHN V ，BAO V 与ABC V 成轴对称∴共5个．故选：B ．9．2x ¹【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．【详解】解：∵分式12x -有意义，∴20x -¹，∴2x ¹，故答案为：2x ¹．10．312x -【分析】此题考查的是单项式乘单项式，解决此题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．直接根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．【详解】解：原式312x =-．故答案为：312x -．11．B C Ð=Ð（答案不唯一）【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法．添加条件：B C Ð=Ð，再由已知条件BE CD =和公共角A Ð可利用AAS 定理证明ABE ACD V V ≌．【详解】解：添加条件：B C Ð=Ð，在ABE V 和ACD V 中，A ABC BE CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，\()AAS ABE ACD V V ≌，故答案为：B C Ð=Ð（答案不唯一）．12．12AOE AOB Ð=Ð【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定．根据SAS 可以证明OEC OED V V ≌，从而得结论．【详解】解：由题意得OE CD ^，90OEC OED \Ð=Ð=°，在OEC △和OED V 中，CE DE OEC OED OE OE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)OEC OED \V V ≌，AOE BOE \Ð=Ð，12AOE AOB \Ð=Ð，故答案为：12AOE AOB Ð=Ð．13．4【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则的应用，关键是理解展开合并后一次项系数为1-．根据多项式乘以多项式法则展开后，根据x 项的系数等于1-可得出n 的值．【详解】解：()()()22133333x x n x nx x n x n x n+-=-+-=+--Q 一次项系数为1-，31n \-=-4n \=，故答案为：4．14．6【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．首先根据角平分线的性质定理得到3PM PN ==，然后利用9OCP S =△代数求解即可．【详解】解：∵射线OG 为AOB Ð的平分线，PM OA ^，PN OB ^，且3PN =，∴3PM PN ==；∵9OCP S =△，∴192OC MP ×=，即1392OC ´=，∴6OC =．故答案为：6．15．2【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．延长BD 至点E ，使得DE BD =，连接CE ，证明ADB CDE △△≌，可得ECD A Ð=Ð，再证得45BCE Ð=°，最后根据等腰三角形判定求解可．【详解】解：如图，延长BD 至点E ，使得DE BD =，连接CE ，在ADB V 和CDE V 中，AD CD ADB CDE BD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ADB CDE \V V ≌，ECD A \Ð=Ð，45A BCD Ð+Ð=°Q ，45ECD BCD \Ð+Ð=°，45BCE \Ð=°，BD BC ^Q ，45BCE BEC \Ð=Ð=°，4BE BC \==，122BD BE \==，故答案为：216． 0.5 1【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的外角，两点之间线段最短问题．（1）作点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，连接PQ ¢，交AC 于点N ， 根据“两点之间线段最短”可知，此时PN NQ +最短，测量出CN 即可；（2）连接AQ CQ ¢¢，，根据题意证明()SAS ABP ACQ V V ≌，结合点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，证明()SSS AQC AQ C ¢V V ≌，因此AP AQ AQ BAP CAQ CAQ ¢¢==Ð=Ð=Ð，，进而证明APQ ¢△是等边三角形，根据“两点之间线段最短”可知，要使PN QN +最短，则P 、N 、Q ¢三点共线，此时PN NQ PQ ¢+=，又因为AP PQ ¢=，即AP 最小，过点A 作^AP BC 于点P ，此时AP 最小，由QN Q N ¢=，APQ ¢△是等边三角形，得AN PQ ¢^，再结合30NPC Ð=°，4AB =，即可求出答案．【详解】解：（1）作点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，连接PQ ¢，交AC 于点N ，此时PN NQ +最短，则测量0.5cm CN =；（2）连接AQ CQ ¢¢，，在等边ABC V 中，60AB AC B ACB =Ð=Ð=°，，BP CQ =Q ，()SAS ABP ACQ \V V ≌，Q 点Q 关于直线AC 的对称点Q ¢，AQ AQ CQ CQ ¢¢\==，，AC AC =Q ，()SSS AQC AQ C \¢V V ≌，AP AQ AQ BAP CAQ CAQ ¢¢\==Ð=Ð=Ð，，60BAC Ð=°Q ，60PAQ ¢\Ð=°，APQ ¢\V 是等边三角形，AP PQ ¢\=，PN QN PN NQ PQ ¢¢+=+³Q ，\要使PN QN +最短，则P 、N 、Q ¢三点共线，此时PN NQ PQ ¢+=，AP PQ ¢=Q ，即AP 最小，过点A 作^AP BC 于点P ，此时AP 最小，Q ABC V 为等边三角形，BP CP \=，Q BP CQ =，\此时P 、Q 重合，QN Q N ¢=Q ，APQ ¢△是等边三角形，AN PQ ¢\^，90906030NPC ACB \Ð=°-Ð=°-°=°，Q 4AB =，11222CP BC AB \===，112CN CP \==，\PN QN +最短时，1=CN ，故答案为：1．17．(1)2491x x --(2)34c ab-【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．（1）直接利用单项式乘多项式法则进行化简，再去括号，最后合并进而得出答案；（2）直接利用多项式除以单项式法则计算得出答案．【详解】（1）解：原式2481x x x =---，2491x x =--；（2）解：原式34c ab=-18．(1)23-(2)3a -【分析】本题考查了分式的乘法运算和分式的除法运算，熟记分式的运算法则是解题的关键．（1）根据分式的乘除法则，先将除法转化为乘法，再约分化简即可；（2）先将分子分母因式分解，再约分化简即可．【详解】（1）解：22246ab c a c b c-׸22246ab c c c b a-××=23=-；（2）22331a a a a a a a -+æö××ç÷-+èø()()223131a a a aa a a -+=××-+3a =-．19．(1)()223x y -(2)()()3a b a b --【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．（1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．（2）利用平方差公式因式分解即可．【详解】（1）221218xy xy x-+()2269x y y =-+()223x y =-；（2）()222a b a --()()22a b a a b a =-+--()()3a b a b =--．20．(1)见解析(2)OC OC =；SAS ；线段垂直平分线的性质；等边对等角【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练的作图是解本题的关键．（1）按题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定，逐步填写推理过程与推理依据即可．【详解】（1）解：如图；．（2）证明：在OA 上截取OD OB =，连接CD ．OM Q 平分BOAÐBOM AOM\Ð=Ð在OBC △与ODC V 中：OB OD BOM AOMOC OC =ìïÐ=Ðíï=î()SAS OBC ODC \V V ≌CD CB \=，OBC ODCÐ=ÐQ 点C 在线段AB 的垂直平分线上CB CA \=（线段垂直平分线的性质）CD CA\=CDA CAD \Ð=Ð（等边对等角）Q 点D 在射线OA 上180ODC CDA \Ð+Ð=°180OBC OAC \Ð+Ð=°故答案为：OC OC =；SAS ；线段垂直平分线的性质；等边对等角21．(1)图见解析，()12,1A -，()11,2B ；(2)()0,0，4．【分析】()1根据轴对称的性质画出图形并写出对称点的坐标即可；()2选取一点与线段AB 构成等腰三角形分三种情况：以点A 为等腰三角形的顶点AB 为腰；以点B 为等腰三角形的顶点AB 为腰；以AB 为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段AB 的垂直平分线上．【详解】（1）解：如下图所示，分别作点A 、B 关于y 轴的对称点1A 、1B ，连接11A B ，线段11A B 与线段AB 关于y 轴对称；Q 已知点A 、B 的坐标分别是()2,1--、()1,2-，1A \的坐标是()2,1-，1B 的坐标是(1,2)；（2）解：当以点A 为等腰三角形的顶点AB 为腰时，在y 轴上有2个点可以与线段AB 组成等腰三角形，如下图所示，当以点B 为等腰三角形的顶点AB 为腰时，在y 轴上有两个点使3C B AB =、4C B AB =，可以看出点A 、B 、3C 在同一条直线上，不能构成三角形，\在y 轴上有1个点可以与线段AB 组成等腰三角形，如下图所示，当以AB 为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段AB 的垂直平分线上，如下图所示，可以发现这个点恰好是原点．综上所述，在y 轴上有4个点可以与线段AB 构成等腰三角形，其中一个满足条件的点是()0,0．【点睛】本题考查了轴对称变换和等腰三角形的性质．关于y 轴对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；有两条边相等的三角形是等腰三角形．22．23【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式整体变形代入计算即可求值．【详解】解：∵2610x x --=∴261x x -=∴22122x x -=()()()23233x x x --+-()()223449x x x =-+--22312129x x x =-+-+221221x x =-+221=+23=．23．见解析【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．首先由三线合一性质和等边对等角得到BD CD =，B C Ð=Ð，然后证明出()AAS BDE CDF ≌△△，．即可得到BE CF =．【详解】解：∵等腰ABC V 中，AB AC =，AD BC ^于D ，∴BD CD =，B CÐ=Ð∵DE AB ^，DE AB^∴90BED CFD Ð=Ð=°∴()AAS BDE CDF ≌△△∴BE CF =．24．(1)()a b -(2)()2a b -，()24a b ab+-(3)5x y +=±【分析】此题考查了列代数式，完全平方公式和几何图形的应用，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点．（1）由小长方形的长和宽分别为a 和b 求解即可；（2）分别用两种方法表示出正方形EFGH 的面积即可求解；（3）由（2）得()()224x y x y xy -=+-，然后整体代数求解即可．【详解】（1）解：∵小长方形的长和宽分别为a 和b ，∴图2中的四边形EFGH 为正方形，其边长为()a b -；（2）解：正方形EFGH 的面积为()22EF a b =-；正方形EFGH 的面积还可以表示为()24a b ab +-；∴()()224a b a b ab -=+-；（3）解：由（2）得，()()224x y x y xy-=+-∵3x y -=，4xy =，∴()22344x y =+-´∴()225x y +=∴5x y +=±．25．(1)画图见解析；36；(2)72或108【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理及外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定．（1）作出线段OB 的中点P ，连接AP ，线段PA 为AOB V 的“90角等分线”，再根据直角三角形性质及等腰三角形性质求解即可；（2）作出图形并分两种情况讨论：作72OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =；作108OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =，再求解即可．【详解】（1）解：如图，作出线段OB 的中点P ，连接AP ，线段PA 为AOB V 的“90角等分线”，Rt AOB Q △中，AP 是斜边上的中线，OP AP PB \==，\线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，\线段PA 为AOB V 的“90角等分线”，36OAP MON \Ð=Ð=°，故答案为：36；（2）解：如图，作72OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =，36MON Ð=°Q ，OP AP =，36OAP MON \Ð=Ð=°，72OAB Ð=°Q ，723636PAB \Ð=°-°=°，72APB MON OAP Ð=Ð+Ð=°Q ，18072ABP PAB APB Ð=°-Ð-Ð=°Q ，ABP APB \Ð=Ð，AP AB \=，\线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，72a =°；如图，作108OAB Ð=°，OB 交ON 于点B ，在线段上作点P ，使得OP AP =，36MON Ð=°Q ，OP AP =，36OAP MON \Ð=Ð=°，108OAB Ð=°Q ，1083672PAB \Ð=°-°=°，72APB MON OAP Ð=Ð+Ð=°Q ，PAB APB \Ð=Ð，AB PB \=，\线段PA 将AOB V 分割为两个等腰三角形，108a =°；故答案为：72或10826．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等；（1）按要求补全图形，即可求解；（2）由角的和差得90AFE EAF Ð=°-Ð，由等腰三角形的性质得()118022B a Ð=°-，即可求证；（3）延长AE 至H 使AE EH =，连接,DH FH ，证明()SAS AEC HED V V ≌得出AC DH =，CAE EHD Ð=Ð，进而证明DHF BAF Ð=Ð，证明()SAS ABF HDF V V ≌，推出FB FD =，AFB HFD Ð=Ð，即可得出60BFD AFH Ð=Ð=°，则FBD V 为等边三角形．【详解】（1）解：如图，（2）证明：Q EF AE ^，90AEF \Ð=°，90AFE EAF\Ð=°-Ð90a =°-，AB AC =Q ，2BAC a Ð=，()118022B a \Ð=°-90a =°-，\B AFE Ð=Ð；（3）证明：延长AE 至H 使AE EH =，连接,DH FH ，∵,,AE EH AEC HED DE EC=Ð=Ð=∴()SAS AEC HED V V ≌∴AC DH =，CAE EHDÐ=Ð又∵AB AC=∴AB DH=∵60a =°，则120BAC Ð=°，60FAE Ð=°∴60BAF EACÐ=°-Ð∵EF AH ^，AE EH=∴AF FH =，∴60DHF AHF EHD EAC BAC FAE EAC BAFÐ=Ð-Ð=°-Ð=Ð-Ð-Ð=Ð∴()SAS ABF HDF V V ≌∴FB FD =，AFB HFDÐ=Ð∴60BFD AFH Ð=Ð=°∴FBD V 为等边三角形．27．①②④【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．首先证明出()SAS ABE DBC V V ≌，得到AE CD =，即可判断①；延长AE 交CD 于点F ，得到EAB BDC Ð=Ð，然后结合三角形内角和 得到90ABD DFE ==°∠∠，即可判断②；根据题意无法证明AE 平分DAC Ð，即可判断③；证明出()ASA ABM DBN V V ≌，得到ABM DBN Ð=Ð，进而可判断④．【详解】解：在ABE V 和DBC △中，AB DB ABD DBC EB CB =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE DBC V V ≌，∴AE CD =，故①正确；如图所示，延长AE 交CD 于点F∵ABD DBC Ð=Ð，点B 在线段AC 上，∴90ABD DBC Ð=Ð=°∵ABE DBCV V ≌∴EAB BDCÐ=Ð∵AEB DEFÐ=Ð∴AE CD ^，故②正确；根据题意无法证明AE 平分DAC Ð，故③错误；∵ABE DBC V V ≌，M ，N 分别是线段AE 、CD 的中点∴BM BN=又∵MAB NDB Ð=Ð，AB BD=∴()ASA ABM DBN V V ≌∴ABM DBNÐ=Ð∴ABM DBM DBN DBMÐ+Ð=Ð+Ð∴90ABD MBN Ð=Ð=°∴BM BN ^，故④正确；综上所述，结论正确的是：①②④．故答案为：①②④．28．(1)①(2,3)；②(1,1)-(2)①图见解析；②等腰三角形(3)522n ££或732n ££【分析】本题考查了坐标变换，解题关键是得到“R 关联点”变化规律.（1）根据“R 关联点”定义可得点P (,)x y 的“(),R a b 关联点”的坐标为(),2P x a b y ¢+-，据此计算即可；（2）①根据(),R a b 关联点的定义计算出当R 在三角形的顶点时，点P 的“R 关联点”坐标，即可画图；②由图可知关联点组成的图形形状是三角形.（3）分点R 在正方形的四条边上上时，坐标不同，根据()3,0P n 的“R 关联点”在线段MN 上方程和不等式求解即可.【详解】（1）解：设P 坐标为(,)x y ，设P ¢的坐标为(),P x y ¢¢¢，先将点P 向右()0a ³或向左()0a <平移a 个单位长度，得到点的坐标为(,)x a y +，再关于直线y b =对称，得到点P ¢，则2x x a y y b =+ì¢+=¢ïíïî，∴2x x a y b y =+ìí=-¢¢î即P ¢坐标为(),2x a b y +-①当点P 坐标为()3,1，点R 坐标为()1,2-时，则点P 的“R 关联点”P ¢的坐标为(31,221)-´-，即(2,3)；②点()4,3Q -为点P ()3,1的“R 关联点”，∴43321a b =+ìí-=-î解得：11a b =ìí=-î，即R 的坐标为(1,1)-，（2）解：①如图②这些关联点组成的图形形状是等腰三角形.（3）∵点()6,4M 、()7,5N ，①当点R 在EH 上时，设点(,)R a n 其中n a n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(3,2)n a n +，∴322n a n +-=，∴2a n=-又∵637n a n a n £+£ìí-££î即63(2)72n n n n n£+-£ìí-£-£î解得：522n ££，当点R 在EH 上时，522n ££， 线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”②当点R 在FG 上时，设点(,)R a n -其中n a n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(3,2)n a n +-，∵0n >，∴(3,2)n a n +-不可能在第一象限，故点R 在FG 上时，线段MN 上不存在点()3,0P n 的“R 关联点”；③当点R 在H G 上时，设点(,)R n b 其中n b n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(4,2)n b ，∴422n b -=，∴21b n =-又∵647n n b n ££ìí-££î即64721n n n n££ìí-£-£î不等式组无解，故点R 在H G 上时，线段MN 上不存在点()3,0P n 的“R 关联点”；④当点R 在EF 上时，设点(,)R n b -其中n b n -££，则线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”坐标为(2,2)n b ，∴222n b -=，∴1b n =-又∵627n n b n ££ìí-££î即6271n n n n££ìí-£-£î解得：732n ££，当点R 在EF 上时，732n ££， 线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”综上所述：当522n ££或732n ££时，线段MN 上存在点()3,0P n 的“R 关联点”。

北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N = （）A ．{21}x x -≤<∣B ．{21}x x -<≤∣C ．{2}xx ≥-∣D ．{1}xx <∣2．设ln 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．b a c<<D ．a b c <<3．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将y =cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．已知函数()21xf x =-，则不等式()f x x ≤的解集为（）A ．(],2-∞B ．[]0,1C ．[)1,+∞D ．[]1,26．设函数()e ln x f x x =-的极值点为0x ，且0x M ∈，则M 可以是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,47．在ABC V 中，90,4,3C AC BC =︒==，点P 是AB 的中点，则CB CP ⋅=（）A ．94B ．4C ．92D ．68．已知{}n a 是递增的等比数列，其前n 项和为*(N )n S n ∈，满足26a =，326S =，若2024n n S a +>，则n 的最小值是（）A ．6B ．7C ．9D ．109．设R c ∈，函数(),0,22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A ．()0,1B ．{}[)01,+∞ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．{}10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab 个小球，第二层有(1)(1)a b ++个小球，第三层有(2)(2)a b ++个小球……依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6n b d a d b c c a ++++-．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题11．若复数4i1iz =-，则复数z 的模z =．12．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若16a =，260a a +=，则8S =．13．在ABC V 中，222a cb +=+．则B ∠的值是；cos y A C =+的最大值是．14．设函数()()()11,1,lg 1.x a x x f x x a x ⎧-++<=⎨-≥⎩①当0a =时，((10))f f =；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是．15．已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0t =时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．如图，在ABC V 中，2π3A ∠=，AC ，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，CD =(1)求ADC ∠的值；(2)求BC 的长度；(3)求BCD △的面积．17．已知函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)若2A =，(0)1f =，求ϕ的值；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()f x 的解析式，并求函数()()2cos 2h x f x x =-的单调递增区间．条件①：()f x 的最大值为2；条件②：()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；条件③：()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023-年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台 3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731.6记20152023-年工业机器人产量的中位数为a ，销量的中位数为b ．定义产销率为“100%=⨯销量产销率产量”．(1)从20152023-年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；(2)从20202318-年这6年中随机取2年，这2年中有X 年工业机器人的产量不小于a ，有Y 年工业机器人的销量不小于b ．记Z X Y =+，求Z 的分布列和数学期望()E Z ；(3)从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明19．已知椭圆2222:1x y E a b+=过点()2,1P -和()Q .(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()0,2G 作直线l 交椭圆E 于不同的两点,A B ，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交y 轴于点N .若2GM GN ⋅=，求直线l 的方程.20．已知函数()ln ()x a f x x-=．(1)若1a =，求函数()f x 的零点：(2)若1a =-，证明：函数()f x 是0,+∞上的减函数；(3)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值．21．已知()12:,,,4n n A a a a n ≥ 为有穷数列．若对任意的{}0,1,,1i n ∈- ,都有11i i a a +-≤（规定0n a a =）,则称n A 具有性质P ．设()(){},1,22,1,2,,n i j T i j a a j i n i j n =-≤≤-≤-= ．(1)判断数列45:1,0.1, 1.2,0.5,:1,2,2.5,1.5,2A A --是否具有性质P ？若具有性质P ,写出对应的集合n T ;(2)若4A 具有性质P ,证明:4T ≠∅;(3)给定正整数n ,对所有具有性质P 的数列n A ,求n T 中元素个数的最小值．。

北京市海淀区中国人民大学附属中学2023~2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．北京中轴线是指位于北京老城中心，贯穿北京老城南北，并始终决定整个北京老城城市格局的庞大建筑群体．它既是城市核心建筑群的杰出范例，也是中华文明的独特见证．下面是2021北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的几件入选设计方案，其中主体图案（不包含文字内容）不是．．轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．五边形的内角和等于（）A ．180︒B ．360︒C ．540︒D ．720︒3．如图，已知图中的两个三角形全等，则α∠度数是（）A ．50︒B ．58︒C ．60︒D ．72︒4．在平面直角坐标系xOy 中，点(5,2)关于x 轴对称的点的坐标为()A ．(5,2)--B ．(5,2)C ．(5,2)-D ．(5,2)-5．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在边BC 上，满足AD AE =，下列结论不一定成立的是（）A ．ADE AED ∠=∠B ．AC CD=C ．BAE CAD ∠=∠D ．BE CD=6．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（）A ．70°B ．40°C ．70°或40°D ．70°或55°7．在等边三角形ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PCE 的周长最小时，P 点的位置在（）A ．ABC 的重心处B ．AD 的中点处C ．D 点处D ．线段AD 靠近点D 的四等分点处8．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点P ，过点P作PD BC ⊥于点D ，记ABC 的周长为p ，PD r ＝，给出下面三个结论：①135APB ∠︒＝；②CD r ＝；③·AC BC pr＝上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题10．已知三角形的两边长分别是2和5，则第三边长c的取值范围是14．如图所示的“钻石”型网格（由边长都为16．如图，,75AB AD DC BAC ==∠=17．如图，150AOB ∠=︒，OP 平分∠3PD =，则OC 的长为．18．在课堂的学习中，我们知道：在平面直角坐标系轴上找一点P ，使AOP 是等腰三角形．三、计算题19．已知一个等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组524x y x y +=⎧⎨-=⎩，求这个等腰三角形的周长．20．如图，在ABC 中，AB AC >，AD 是角平分线，AE 是高，10AE CE DAE =∠=︒，，求CAE ∠和B ∠的度数AE四、证明题21．如图，B ，C ，E ，F 在同一条直线上，AB DE ∥，A D ∠=∠，BE CF =．求证：AC DF =．五、作图题(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接AQ BQ ，，六、证明题方法一证明：过点D 分别作足分别为E ，F ．．温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分．24．小宇和小明一起进行数学游戏：已知90=︒，将等腰直角三角板在平面内，使点A 的内部，且两个底角顶点B ，C 分别放在边(1)如图1，小明摆放ABC ，恰好使得AB AC ON ⊥⊥，又由于三角形，AB AC ＝，从而直接．．可以判断出点MON ∠的角平分线上．请回答：小明能够直接．．作出判断的数学依据是______．(2)如图2，小宇调整了ABC 的位置，请判断平分MON ∠是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．七、作图题25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为()4,3，连接AO ，点P 为x 轴上一点，且AOP 是以AO 为底边的等腰三角形．(1)利用圆规和无刻度的直尺，作出点P ．（保留作图痕迹）(2)已知点Q 的坐标为()3,0，请判断：点P 与点Q 在位置上满足______（填序号），并证明这个判断．①点P 在点Q 左侧；②点P 在点Q 右侧；③点P 与点Q 重合．八、证明题26．已知：点A 为直线MN 上一定点，点B 为直线MN 外一定点，30BAN ∠=︒．将点B 关于直线MN 对称，得到点C ，连接BC 交直线MN 于点P ．点D 为直线MN 上一动点（不与点A 重合），以BD 为边，作等边BDE （B ，D ，E 三点按顺时针方向排列），直线CE 交直线MN 于点F ．(1)如图1，求证：AD CE =，并求BCE ∠的度数；(2)当点D 在直线MN 上运动的过程中，①下列结论：（A ）AD CE =始终成立，（B ）BCE ∠的度数不变，（C ）点F 的位置不变，（D ）CF DF EF +=始终成立．其中所有正确结论的序号是______．②若线段PE 长的最小值为2，则线段AB 的长为______．九、应用题27．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P a b ，给出如下定义：若0b ≥，则将点P 关于y 轴对称得到点Q ；若0b <，则将点P 向上平移3个单位，得到点Q ．称点Q 为点(1)点()3,1P 的对应点Q 的坐标为______；(2)已知点(),0A m ，()1,3B m -，()3,3C m +-，连接AB ，AC ，得到折线段B A C --①当12m =-时，如图1，请判断是否存在这样的点Q ，使得点Q 同时是折线段B A C --上不同的两个点1P ，2P 的对应点？若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（注：本问的求解过程或理由，只需图形＋简要思路即可）②若折线段B A C --上任意两点．1P ，2P 的对应点都不相同，直接写出m 的取值范围．十、证明题28．已知在ABC 中，=45ABC ∠︒，ACB ∠为锐角，AD 是BC 边上的高，在射线DA 上取一点E ，使DE DC =，在平面内取一点F ，使,CF CA CF CA ⊥=，且点E ，F 在直线BC 的异侧，连接EF 交BC 于点M ．(1)如图1，当45ACB ∠<︒时，补全图形，并证明．FCB CAD ∠=∠；(2)在图1中用等式表示线段AD ，AE ，CM 的数量关系，并证明；(3)设1,AD =当ACB ∠的大小变化时，若2BM DM<，直接写出线段CD 长的取值范围．。

一、选择题1．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且AD⊥AB，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝14，则PE的最小值为（）A．7 B．10 C．6 D．5A解析：A【分析】当EP⊥BC时，EP最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=12AD，由AD＝14，求出即可．【详解】解：当EP⊥BC时，EP最短，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BE平分∠ABC，AE⊥AB，EP⊥BC，∴EP=EA，同理，EP=ED，此时，EP=12AD=12×14=7，故选A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P点位置并应用角平分线性质求EP是解题关键．2．如图，AB是线段CD的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（）A．2对B．3对C．4对D．5对B解析：B根据线段垂直平分线的性质得到，AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，然后根据”HL”可判断Rt △AOC ≌Rt △AOD ，Rt △BOC ≌Rt △BOD ；根据“SSS”可判断△ABC ≌△ABD ．【详解】解：∵AB 是线段CD 的垂直平分线，∴AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，∴Rt △AOC ≌Rt △AOD （HL ），Rt △BOC ≌Rt △BOD （HL ），△ABC ≌△ABD （SSS ）． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质．3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）A ．m ＝2nB ．2m ＝nC ．m ＝nD ．m ＝－n D解析：D【分析】 根据角平分线的性质及第二象限内点的坐标特点即可得出结论．【详解】解：∵由题意可知，点C 在∠AOB 的平分线上，∴m=-n ．故选：D ．【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法及其性质是解答此题的关键． 4．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9D解析：D【分析】 求出DE 的值，代入面积公式得出关于AB 的方程，求出即可．解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF=2，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF ， ∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．5．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（ ）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm C解析：C【分析】 延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积．【详解】解：延长AP 交BC 于E ，∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，∴∠ABP =∠EBP ，∠APB =∠BPE =90∘，在△APB 和△EPB 中∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩APB EPB BP BPABP EBP ∴△APB ≌△EPB (ASA )，∴APB EPB S S =△△，AP =PE ，∴△APC 和△CPE 等底同高，∴APC PCE S S =,∴PBC PCE PCE S S S =+△△△=12ABC S =1632⨯=【点睛】本题考查了三角形的面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出PBC PCE PCE S S S =+△△△=12ABC S ．6．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL D解析：D【分析】 直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.7．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD C【分析】利用全等三角形的判断方法进行求解即可．【详解】A、因为 BM∥CN，所以∠ABM=∠DCN，又因为∠A=∠D， AM=DN，所以△ABN≅△DCN(AAS)，故A选项不符合题意；B、因为∠M=∠N ，∠A=∠D， AM=DN，所以△ABN≅△DCN(ASA)，故B选项不符合题意；C、BM=CN ，不能判定△ABN≅△DCN，故C选项符合题意；D、因为AB=CD，∠A=∠D， AM=DN，所以△ABN≅△DCN(SAS)，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，∠C＝40°B．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4C．∠C＝90°，AB＝6 D．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°B解析：B【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：A、根据AB＝3，BC＝4，∠C＝40°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；B、∠A＝60°，AB＝4，∠B＝45°，能画出唯一△ABC，故此选项符合题意；C、∠C＝90°，AB＝6，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；D、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4B解析：B作DH ⊥AC 于H ，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得12×2×AC+12×2×4=7，于是可求出AC 的值． 【详解】解：作DH ⊥AC 于H ，如图，∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DH ⊥AC ，∴DH=DE=2，∵S △ABC =S △ADC +S △ABD ，∴12×2×AC+12×2×4=7， ∴AC=3．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．10．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④B解析：B【分析】 由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅（SAS ）∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅（AAS ），∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠，④正确；∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅∴COM BOM ，∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ，在COM 和BOM 中OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅（ASA ）∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA OC >矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．二、填空题11．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC 的度数然后利用角平分线的判定方法得到BD 为∠ABC 的平分线再求出∠ABD 的度数根据三角形外角的性质进而求得结论【详解】解：∵∠A=32°∠ACB=9解析：61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC 的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD 为∠ABC 的平分线，再求出∠ABD 的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．【详解】解：∵∠A=32°，∠ACB =90°，∴∠CBA=58°，∵DE ⊥AB ，DC ⊥BC ，DC=DE ，∴BD 为∠ABC 的平分线，∴∠CBD=∠EBD ，∴∠CBD=12∠CBA=12×58°=29°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．故答案为：61°．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD 为∠ABC 的平分线，难度不大．12．如图，已知ABC 的周长是8，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且3OD =，ABC 的面积是______．12【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3再根据三角形的面积公式求出即可【详解】解：连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F ∵OBOC 分别平分解析：12【分析】连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵OB ， OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，∴OE=OD=3，OF=OD=3，∵△ABC 的周长是8，∴AB+BC+AC=8，∴△ABC 的面积S=S △ABO +S △BCO +S △ACO =12×AB×OE+12×BC×OD+12×AC×OF =12×AB×3+12×BC×3+12×AC×3 =12×3×（AB+BC+AC ）=12×3×8 =12，故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出OE=OD=OF=3是解此题的关键．13．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共解析：10【分析】过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．【详解】解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，∴OM OE ON 5===，又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，∴M ，O ，N 三点共线，∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．故答案为：10．【点睛】本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．14．已知70COB ∠=，30AOB ∠=，OD 平分AOC ∠，则BOD ∠=_________20°或50°【分析】根据题意分两种情况进行讨论然后根据角平分线的性质计算解决即可【详解】解:①如图∵∠BOC=70°∴∠AOC=100°∵OD 平分∠AOC ∴∠AOD=∠AOC=50°∠AOD-=2解析：20°或50°【分析】根据题意,分两种情况进行讨论,然后根据角平分线的性质计算解决即可.【详解】解:①如图∵30AOB ∠=︒,∠BOC=70°,∴∠AOC=100°,∵OD 平分∠AOC∴∠AOD=12∠AOC=50°, BOD ∠=∠AOD-AOB ∠=20°;②如图,∵30AOB ∠=︒,∠BOC=70°,∴∠AOC=40°,∵OD 平分∠AOC∴∠AOD=12∠AOC=20°, BOD ∠=∠AOD+AOB ∠=50°;故答案为：20°或50°【点睛】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握角平分线的性质，能够由角平分线得出相等的角，在解决问题时注意要分类讨论.15．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可【详解】解：添加的条件是OA ＝OB 理由如下：∵AD ∥BC ∴∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 在△AOD 和 解析：OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ,然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可．【详解】解：添加的条件是OA ＝OB ，理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D在△AOD 和△BOC 中A B AO BO AOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOD ≌△BOC （ASA ）．故答案为：OA ＝OB （答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理的内容是解答本题的关键．16．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度．66【分析】在线段CD 上取点E 使CE=BD 再证明△ADB ≅△AEC 即可求出【详解】在线段DC 取点ECE=BD 连接AE ∵CE=BD ∴BE=CD ∵AB=CD ∴AB=BE ∠BAE=∠BEA=（180°-4解析：66【分析】在线段CD 上取点E 使CE =BD ，再证明△ADB ≅△AEC 即可求出． 【详解】在线段DC 取点E ，CE =BD ，连接AE ，∵CE =BD ，∴BE =CD ，∵AB =CD ，∴AB =BE ，∠BAE =∠BEA =（180°-48°）÷2=66°，∴∠DAE =48° ，∠AED =66°，∴△ADB ≅△AEC ，∴∠BAD =∠CAE =18°，∴∠CAD =∠DAE +∠CAE =66°．故答案为：66．【点睛】本题考察了全等三角形的证明和三角形内角和定理，解题的关键是做出辅助线找到全等三角形．17．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，若12AB =，4CD =，则ABD △ 的面积为__________．24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=4然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵AD 平分交BC 边于点D ∴DE=CD=4∴的面积为AB解析：24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=4,然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，∴DE=CD=4，∴ABD △ 的面积为12AB·DE=12×12×4=24． 故答案为：24．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需条件成为解答本题的关键．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____． 32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC 得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE ⊥AB ∴∠AED ＝90°＝∠DEB 在Rt △ADE 和Rt △ADC 中∴解析：32°【分析】由HL 可证明△ADE ≌△ADC ，得出∠ADE ＝∠ADC ＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．19．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，若2DC =，则点D 到线段AB 的距离等于________．【分析】过D 作DE ⊥AB 于E 根据角平分线的性质得出DE=DC 即可求出答案【详解】解：过D 作DE ⊥AB 于E ∵∠C=90°AD 平分∠BACDC=2∴DE=DC=2即点D 到线段AB 的距离等于2故答案为：2 解析：【分析】过D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质得出DE=DC ，即可求出答案．【详解】解：过D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DC=2，∴DE=DC=2，即点D 到线段AB 的距离等于2，故答案为：2．【点睛】本题考查了考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出DE=DC 是解此题的关键．20．如图，已知点(44)A -，，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．或【分析】根据等腰三角形的性质作辅助线构造全等三角形得到对应线段相等即可得到结论【详解】①如图所示：∴∵∴∵∴∴在△和中∴△△FDE ∴∴②当时同①的方法有：∴综上所述满足条件的点坐标为或故答案为：或解析：(8)0，或(40)， 【分析】根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论．【详解】①如图所示：90AFE ︒∠=，∴90AFD OFE ︒∠+∠=，∵90OFE OEF ︒∠+∠=，∴AFD OEF ∠=∠，∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，∴45AEF EAF ︒∠==∠，∴AF EF =，在△ADF 和FOE 中，ADE FOE AFD OEF AF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△FDE ，∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，∴(40)E ，． ②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，∴(40)E ，， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8)0，或(40)，，故答案为：(8)0，或(40)【点睛】本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解．三、解答题21．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线EF经过点C，BF⊥EF于点F，AE⊥EF 于点E．（1）求证：△ACE≌△CBF；（2）如果AE长12cm，BF长5cm，求EF的长．解析：（1）证明见解析；（2）EF=17cm．【分析】（1）根据垂直的定义可得∠AEC=∠CFB=90°，然后求出∠EAC=∠FCB，再利用“角角边”证明即可；（2）由全等三角形的性质可得：AE=CF，CE=BF，再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°∵AE⊥EF，BF⊥EF∴∠ACE+∠EAC=90°∴∠CAE=∠BCF又∵ AC=CB∴△ACE≌△CBF(ASA)(2)由△ACE≌△CBF可得:AE=CF=12cm， EC=BF=5cm，∴EF=EC+CF=12+5=17cm．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并找出全等的条件是解题的关键．22．（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm，点C在射线AM上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的BC 的长约为cm（精确到0.lcm）．（2）∠MAB 为锐角，AB ＝a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC ＝x ，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是 ．解析：（1）见解析，1.2；（2）x=d 或x≥a【分析】（1）可以取BC ＝1.2cm （1cm ＜BC ＜2cm ），画出图形即可；（2）当x ＝d 或x≥a 时，三角形是唯一确定的．【详解】（1）如图，选取的BC 的长约为1.2cm ，故答案是：1.2；（2）若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是x ＝d 或x≥a ， 故答案为：x=d 或x≥a ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”，属于中考常考题型．23．如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠ ∴EAF BAD ∠=∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．24．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上的一点，过D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ，CE=DE ．连接CD 交BE 于点F ．（1）求证：BC=BD ；（2）若点D 为AB 的中点，求∠AED 的度数．解析：（1）见详解；（2）60°．（1）利用HL 直接证明Rt △DEB ≌Rt △CEB ，即可解决问题．（2）首先证明△ADE ≌△BDE ，进而证明∠AED=∠DEB=∠CEB ，即可解决问题．【详解】证明：（1）∵DE ⊥AB ，∠ACB=90°，∴△DEB 与△CEB 都是直角三角形，在△DEB 与△CEB 中，EB EB DE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DEB ≌Rt △CEB （HL ），∴BC=BD ．（2）∵DE ⊥AB ，∴∠ADE=∠BDE=90°；∵点D 为AB 的中点，∴AD=BD ；在△ADE 与△BDE 中，AD BD ADE BDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BDE （SAS ），∴∠AED=∠DEB ；∵△DEB ≌△CEB ，∴∠CEB=∠DEB ，∴∠AED=∠DEB=∠CEB ；∵∠AED+∠DEB+∠CEB=180°，∴∠AED=60°．【点睛】该命题以三角形为载体，以考查全等三角形的判定及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用全等三角形的判定及其性质，来分析、判断或推理．25．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． （1）试求∠DOE 的度数；（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．解析：（1）45︒；（2）不会变化，理由见解析．【分析】（1）根据题意可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠．即可推出12DOE AOC ∠=∠，即可求出DOE ∠． （2））根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关，所以DOE ∠的大小不会变化．【详解】（1）由图可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ．∴12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠． ∴1111()2222DOE AOB BOC AOB BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵∠AOC 是直角，∴90AOC ∠=︒，∴1452DOE AOC ∠=∠=︒． （2）根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关， ∴DOE ∠的大小不会变化且大小为12AOC ∠． 【点睛】本题考查角的计算，角平分线的性质．利用角平分线的性质找出图形中角的关系是解答本题的关键．26．如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且ABC DAE △△≌．（1）求证：BC DE CE =+；（2）当ABC 满足什么条件时，//BC DE ？解析：（1）证明见解析；（2）ACB ∠为直角时，//BC DE【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE ，AD=CE ，代入求出即可；2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA= 90︒，推出∠BDE=90︒ ，根据平行线的判定求出即可．【详解】（1）证明：∵ABC DAE △△≌，∴AE=BC ，AC=DE ，又∵AE AC CE =+，∴BC DE CE =+．（2）若//BC DE ，则BCE E ∠=∠，又∵ABC DAE △△≌，∴ACB E ∠=∠，∴ACB BCE ∠=∠，又∵180ACB BCE ∠+∠=︒，∴90ACB ∠=︒，即当ABC 满足ACB ∠为直角时，//BC DE ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．27．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC求证：AB ∥CD证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，∴∠B ＝∠∵∠B +∠C ＝∠BEC ，∠BEF +∠FEC ＝∠BEC （已知）∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠FEC （等量代换）∴∠ ＝∠ （等式性质）∴EF ∥∵EF ∥AB∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行）（2）如图3，已知AB ∥CD ，在∠BCD 的平分线上取两个点M 、N ，使得∠BMN ＝∠BNM ，求证：∠CBM ＝∠ABN ．（3）如图4，已知AB ∥CD ，点E 在BC 的左侧，∠ABE ，∠DCE 的平分线相交于点F ．请直接写出∠E 与∠F 之间的等量关系．解析：（1）BEF ，C ，CEF ，CD ；（2）证明见解析；（3）∠E ＝2∠F【分析】（1）过点E ，作EF ∥AB ，根据内错角性质即可得出∠B ＝∠BEF ，利用等量代换即可证出∠C ＝∠CEF ，进而得出EF ∥CD ．（2）如图3，过点N作NG∥AB，交BM于点G，可以知道NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，进而得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论．（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），∴∠C＝∠CEF（等式性质），∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；故答案为：BEF，C，CEF，CD；（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，∵∠BMN是△BCM的一个外角，∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，∵CN平分∠BCD，∴∠BCM＝∠NCD，∴∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．【点睛】本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．28．下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点P ．求作：直线l的垂线，使它经过点P ．作法：如图2，① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；② 连接PA和PB；③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．④ 作直线PQ ．∴直线PQ就是所求的直线．根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：∵ PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠QPB．又∵ PA= ，PQ=PQ，∴△APQ≌△BPQ（）（填推理依据）．∴∠PQA=∠PQB（）（填推理依据）．又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，∴∠PQA=∠PQB ＝ 90°．∴ PQ ⊥ l ．解析：（1）见详解；（2）PB，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等．【分析】（1）根据尺规作图的步骤先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分线PQ即作出所求图；（2）根据作图过程知PA=PB，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质．【详解】（1）如图：（2）PB；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等．【点睛】此题考查学生的动手能力——尺规作图中角平分线和垂直平分线的作法，涉及到三角形全等的判定和性质，难度一般．。