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数学文化创新题型(高三数学高考中的数学文化)数学文化创新题型（高三数学高考中的数学文化）随着科技的进步和社会的发展，数学作为一门基础科学对人类文明起着举足轻重的作用。
在高考中，数学作为一门主科，占据着重要的地位。
高三数学高考中的数学文化创新题型成为了近些年来备受关注的话题。
本文将从数学文化创新题型的定义、特点以及对学生的影响等角度进行探讨。
首先，什么是数学文化创新题型？数学文化创新题型是指在传统数学题型基础上融入了数学文化元素和创新思维的题型。
这些题型既与日常生活紧密相关，又能够培养学生的数学思维和创新能力，进一步提高他们的数学素养。
数学文化创新题型的特点可以概括为以下几点。
首先，题目具有一定的开放性。
与传统题型相比，数学文化创新题目不局限于固定的解题思路，更注重学生的创造性思维和多元化解题方法。
其次，题目与实际生活密切相关。
这种题型常常通过引入日常生活中的实际问题，让学生能够将数学知识应用到实际生活中，培养他们的应用能力。
此外，数学文化创新题型还追求美感。
它强调解题过程中的审美和艺术创造，鼓励学生通过数学的方式去发现美、传达美，使数学更富有艺术性和人文关怀。
对于高三学生来说，数学文化创新题型有着重要的意义和影响。
首先，从知识与技能的角度来看，数学文化创新题型能够帮助学生理解和应用数学知识。
通过将数学知识与实际问题相结合，学生能够更好地理解数学的实质和内涵，培养他们的数学思维和应用能力。
其次，从态度与价值观的角度来看，数学文化创新题型能够培养学生对数学的兴趣和热爱。
通过引入数学文化元素，学生能够感受到数学的魅力和美妙之处，从而增强他们对数学的兴趣和学习动力。
最后，从能力与素养的角度来看，数学文化创新题型能够提高学生的综合素质和解决问题的能力。
这些题型要求学生发散思维，解决复杂的问题，培养他们的创新精神和团队合作能力。
然而，数学文化创新题型的推广和实施也面临一定的挑战。
首先，有些学校和教师对于数学文化创新题型的理解和掌握程度不同，导致其在教学过程中的运用不够广泛和深入。
专题14 集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）一、单选题1．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker ，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z 满足()202012Z i i =+，则Z 的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i − C ．12i − D ．12i +【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得12Z i =+,然后利用共轭复数的概念判定. 【详解】解：()505202041,12,12i i Z i Z i ==∴=+∴=−,故选：C.2．（2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者【答案】A【分析】由S A B =I 即可判断S 的含义.【详解】解：由图可知，集合S 是集合A 与集合B 的交集， 所以集合S 表示：感染未发病者，即无症状感染者， 故选：A.3．（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若p ，则q ”为真命题，则“由p 可以推出q ”，即一旦p 成立，q 就成立，p 是q 成立的充分条件.也可以这样说，若q 不成立，那么p 一定不成立，q 对p 成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件， 故选：B.4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛. 因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 故选：C5．（2020·陕西榆林·z a bi =+（a ，b ∈R ）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z r r i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．16【答案】D【解析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫===+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z .故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.6．（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元n 次复系数多项式()f x 在复数集中有n 个复数根（重根按重数计）那么()31f x x =−在复平面内使()0f x =除了1和12−这两个根外，还有一个复数根为（ ）A ．12B ．12−C ．12D ．12−【答案】B【分析】利用方程根的意义，把12−代入方程，经化简变形即可得解.【详解】因12−是方程()0f x =的根，即32111))22(1(2−−−=⇒==221111)())222(2(−=−−−+⇒=3111)())1222222((−−=−+−⇒=，所以12−是方程()0f x =的根.故选：B7．（2021春·安徽宣城·高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式i cos isin x x x e =+（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，3i 4e π表示的复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式代入求解即可. 【详解】解：根据欧拉公式i e cos isin x x x=+，得3πi 43π3πecosisin 44=+=+，即它在复平面内对应的点为22⎛ ⎝⎭， 故位于第二象限. 故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔()ReneDescartes 创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数z ，1z =且(1i)0z ⋅+>(其中i 是虚数单位)，则复数z =（ ）ABC D 【答案】C【分析】根据条件，设i z a b =+，再列式求,a b ，即可得到复数. 【详解】设i z a b =+，221a b +=，①()()()()i 1i i>0a b a b a b ++=−++，得0a b +=，且0a b −> ②，由①②解得：a =b =所以22z =−. 故选：C9．（2022·全国·高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i 在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i 的重要性．对于方程310x +=，它的两个虚数根分别为（ ）A ．12B ．12−C D 【答案】A【分析】根据方程根的定义进行验证．【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数，因此排除CD ，A 选项，31110+=+==， 因此选项A 正确，则选项B 错误（因为3次方程只有3个根（包括重根））．故选：A ．10．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=−，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（ ） A ．12i −+ B ．2i −−C ．12i −±D ．2i −±【答案】C【分析】设出复数z 的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a −++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧−++=⎨+=⎩，解得12a b =−⎧⎨=±⎩，所以12i z =−±. 故选：C11．（2022·高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？现有如下表示：已知{}32,A x x n n N *==+∈，{}53,B x x n n N *==+∈，{}72,C x x n n N *==+∈，若x A B C ∈⋂⋂，则下列选项中符合题意的整数x 为 A ．8 B ．127C ．37D ．23【答案】D【解析】将选项中的数字逐一代入集合A 、B 、C 的表达式，检验是否为A 、B 、C 的元素，即可选出正确选项．【详解】因为8711=⨯+，则8C ∉，选项A 错误；1273421=⨯+，则127A ∉，选项B 错误； 373121=⨯+，则37A ∉，选项C 错误；23372=⨯+，故23A ∈；23543=⨯+，故x B ∈；23732=⨯+，故x C ∈，则23A B C ∈⋂⋂，选项D 正确. 故选：D ．12．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34,|B x x x =−<<∈Z ，则A B ⋂的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D【分析】根据自恋数的定义可得集合A ，再根据交集的定义求出A B ⋂，从而可得答案. 【详解】解：依题意，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，{}2,1,0,1,2,3B =−−， 故{}1,2,3A B =，故A B ⋂的子集个数为8． 故选：D ．13．（2019·江西·高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和d c （,,,abcd N +∈），则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 2.71828e =⋯，若令2714105e <<，则第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e 的近似分数为 A ．10940B ．6825C ．197D ．8732【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案. 【详解】第一次用“调日法”后得4115是e 的更为精确的过剩近似值，即27411015e <<；第二次用“调日法”后得6825是e 的更为精确的过剩近似值，即27681025<<e ；第三次用“调日法”后得197是e 的更为精确的不足近似值，即1968725<<e ，所以答案为197. 故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.14．（2022·上海·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10g B ．小于10gC ．大于等于10gD ．小于等于10g【答案】A【分析】设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .根据天平平衡，列出等式，可得12,m m 表达式，利用作差法比较12m m +与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >）， 先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m . 由杠杆的平衡原理：15bm a =⨯，25am b =⨯．解得15a m b =，25bm a=， 则1255b am m a b+=+. 下面比较12m m +与10的大小：（作差比较法）因为()()2125551010b a b a m m a b ab−+−=+−=， 因为a b ¹，所以()250b a ab−>，即1210m m +>. 所以这样可知称出的黄金质量大于10g . 故选：A15．（2022·图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）A ．如果,a b b c >>，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．如果,0a b c >>，那么ac bc >D ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 【答案】D【分析】直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则222c a b =+，利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论．【详解】直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，则222c a b =+，在正方形的面积为2c ，四个直角三角形的面积和为2ab ，因此有22c ab ≥，即222a b ab +≥，当且仅当a b =时，中间没有小正方形，等号成立． 故选：D ．16．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，可以直接通过比较线段OF 与线段CF 的长度完成的无字证明为（ ）A ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）B ．0,0)2a ba b +>>>C ．2a b +≤a ＞0，b ＞0） D ．2aba b≤+a ＞0，b ＞0） 【答案】C【分析】由图形可知()1122OF AB a b ==+，()12OC a b =−，在Rt △OCF 中，由勾股定理可求CF ，结合CF ≥OF 即可得出.【详解】解：由图形可知，()1122OF AB a b ==+，()()1122OC a b b a b =+−=−， 在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ∵CF ≥OF ，()12a b ≥+，故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z −−的最大值为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9【答案】C【分析】由复数几何意义可得(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=，从而将问题转化为点(),Z x y 到点()3,4的距离，则所求最大值为圆心到()3,4的距离加上半径. 【详解】2z =，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z −−的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴−−==.故选：C.18．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式i e cos isin x x x =+，（其中i 是虚数单位，e 是自然对数的底数，x ∈R ），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．i πe 10−=B ．i i 2cos e e x x x −=+C ．i i 2sin e e x x x −=−D ．2022i 122⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解. 【详解】对于A ，πi e πcos i πsin 1=+=−，所以i πe 1112−=−−=−，故A 不正确； 对于B ，i e cos isin x x x =+，()()i ecos isin cos isin xx x x x −=−+−=−，所以i i e e 2cos x x x −+=，故B 正确； 对于C ，i e cos isin x x x =+，()()i ecos isin cos isin xx x x x −=−+−=−，所以i i e e 2isin x x x −=−，故C 不正确；对于D ，202220222022πi 4ππ2022π2022πcos isin e cosisin 4444⎫⎛⎫⎛⎫=+==+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ππcosisin i 22=−−=−，故D 不正确. 故选：B.19．（2020·天津·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N ⋃=Q ，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素 【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D 都能举出特定的例子，排除法则说明C 选项错误【详解】若{},0M x Q x =∈<，{},0N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0；故A 正确；若{,M x Q x =∈，{,N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素；故B 正确； 若{},0M x Q x =∈≤，{},0N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确； M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 不正确.故选：C20．（2021春·安徽·高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】原方程可化为20202(1)1x y +−=，所以2||1,(1)1,x y ≤−≤即11,02x y −≤≤≤≤，(),x y Z ∈再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对(,)x y ， 因为202022,(,)x y y x y Z +=∈ 所以20202(1)1x y +−=当20201x >或2(1)1y −>时，等号是不能成立的， 所以2||1,(1)1,x y ≤−≤即11,02x y −≤≤≤≤，(),x y Z ∈ （1）当=1x −时，2(1)0y −=即1y = （2）当0x =时，2(1)1y −=即0y =或2y = （3）当1x =时，2(1)0y −=即1y =综上所述，共有四组解()()()()1,1,0,0,0,2,1,1−− 故选：D21．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）． A．B ．10 C ．5+D ．252【答案】C【分析】先由勾股定理得2225a b +=，再利用基本不等式易得()250a b +≤，由此得到5a b c ++≤+问题得解.【详解】不妨设该直角三角形的斜边为5c =，直角边为,a b ，则22225a b c +==，因为222ab a b ≤+，所以()222222a b ab a b ++≤+，即()250a b +≤，当且仅当a b =且2225a b +=，即a b ==因为0,0a b >>，所以a b +≤所以该直角三角形周长5a b c c ++≤=+5+. 故选：C.22．（2017·湖北·校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；3:P 圆22(1)(1)4x y −+−=的一个太极函数为32()33f x x x x =−+； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形；5:P 奇函数都是太极函数；6:P 偶函数不可能是太极函数.A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【详解】由定义可知过圆O 的任一直线都是圆O 的太极函数，故1P 正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，那么该直线表示的函数为太极函数，故2P 错误；∵()()3323311f x x x x x =−+=−+，∴()f x 的图象关于点()1,1成中心对称，又∵圆()()22114x y −+−=关于点()1,1成中心对称，故()3233f x x x x =−+可以为圆()()22114x y −+−=的一个太极函数，故3P 正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形，例如：故4P 函数可以为太极函数，故5P 正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故6P 错误；则错误的命题有3个，故选B.二、多选题23．（2021春·广东梅州·高二统考期末）欧拉公式i cos isin x e x x =+（其中i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．复数i e 对应的点位于第一象限B ．i e π为纯虚数C ix 的模长等于12D ．i 6e π的共轭复数为12【答案】AC【分析】根据欧拉公式计算出各复数，再根据复数的几何意义，纯虚数的概念，复数模的计算公式，共轭复数的概念即可判断各选项的真假． 【详解】对A ，i cos1isin1e =+，因为012π<<，所以cos10,sin10>>，即复数i e 对应的点()cos1,sin1位于第一象限，A 正确；对B ，i cos isin 1e πππ=+=−，i e π为实数，B 错误；对C ()i cos isin ix x x +，ix12，C 正确；对D ，πi 6ππ1cos isin i 662e =++1i 2−，D 错误． 故选：AC ．24．（2022春·广东梅州·高一统考期末）欧拉公式i e cos isin x x x =+（本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ） A ．i πe 10+=B ．复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限C ．复数πi 3e 1i 2D ．复数i e )(R θθ∈在复平面内对应的点的轨迹是圆 【答案】ABD【分析】由欧拉公式和特殊角的三角函数值可判断A ；由欧拉公式和三角函数在各个象限的符号可判断B ；由欧拉公式和共轭复数的概念可判断C ；由欧拉公式和复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A ，i πcos πisin π1101e 10=++=−+++=，A 正确； 对于B ，2i e cos2isin 2=+，cos 20,sin 20<>，∴复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限，B 正确；对于C ，πi 3cosis ππ1e 33n i 2==+，共轭复数为12，C 错误； 对于D ，i e cos isin (R)θθθθ+∈=，在复平面内对应的点为()cos ,sin θθ， 又()()22cos 0sin 01θθ−+−=，∴在复平面内对应的点的轨迹是圆.故选：ABD.25．（2022·高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“· ”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；②e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，③a G ∀∈，b G ∃∈，使a ·b =b ·a =e ，则称G 关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（ ）A ．{1,0,1}G =−关于数的乘法构成群B ．G ={x |x =1k，k ∈Z ，k ≠0}∪{x |x =m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群C ．实数集关于数的加法构成群D ．{|,Z}G m m n =∈关于数的加法构成群 【答案】CD【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.【详解】对于A ：若{1,0,1}G =−，对所有的a 、b G ∈，有{1,0,1}a b G ⋅∈−=， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的e 为1，但当0a =时，不存在b G ∈，使得··1a b b a e ===，即③不成立， 即选项A 错误； 对于B ：因为12a G =∈，且3b G =∈，但13322a b G ⋅=⨯=∉，所以选项B 错误；对于C ：若R G =，对所有的a 、R b ∈，有R a b +∈， 满足加法结合律，即①成立，满足②的e 为0，R a ∀∈，R b a ∃=−∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项C 正确；对于D：若{|,Z}G m m n =∈，所有的11a m =、22b m G =∈，有1212(+)a b m m n n G +=+∈，,,,a b c G ∀∈()()++=++a b c a b c 成立， 即①成立；当0a b ==时，0a =，满足的0e =，即②成立；a m G ∀=∈，b m G ∃=−∈，使0a b b a +=+=，即③成立；即选项D 正确. 故选：CD.26．（2020秋·江苏盐城·高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得abd a b=+； ②由AE AF ≥2a b+≥； ③由AD AE ≥211a b ≥+； ④由AD AF ≥可得222a b ab +≥. A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABCD【解析】根据图1，图2面积相等，可求得d 的表达式，可判断A 选项正误，由题意可求得图3中,,AD AEAF的表达式，逐一分析B 、C 、D 选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b=+，故①正确； 对于②：因为AF BC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯，所以AF =，设图3中内接正方形边长为t ，根据三角形相似可得a t t a b−=，解得abt a b =+，所以AE ==因为AE AF ≥，所以a b ≥+2a b +≥，故②正确； 对于③：因为D 为斜边BC的中点，所以AD =因为AD AE ≥≥211a b≥+，故③正确； 对于④：因为AD AF ≥≥，整理得：222a b ab +≥，故④正确； 故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得,,AD AE AF 的表达式，根据图形及题意，得到,,AD AE AF 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力. 27．（2022秋·黑龙江佳木斯·高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点D 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且CD AB ⊥.设AC a =，CB b =，CE OD ⊥，垂足为E ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A2aba b+B．2a b +≤C．2a b+≥ D．22a b +≥【答案】AC【解析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．【详解】解：根据图形，利用射影定理得：2CD DE OD =，由于：OD CD …，所以：0,0)2a ba b +>>． 由于2·CD AC CB ab ==，所以22CD abDE a b OD ==+所以由于CD DE …，2aba b+． 故选：AC ．【点睛】关键点点睛：射影定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．28．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此..若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ） A ．168cm B ．172cmC ．176cmD ．180cm【答案】BC【分析】设身高为cm x ，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高. 【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A B C D 、、、,假设身高为cm x ，即cm =AD x ，，ACCD∴=AC∴=.AC CD x+=，且AC=，=CD x+，=x,12CD x∴==，ABBC∴=,AB∴=,AB BC CD x++=,且AB，CD=，BC x+=，)2BC x∴=,)2AB x∴===,由题意可得26105AB xCD⎧=<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，xx⎧<⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩178.21169.89xx<⎧∴⎨>⎩，169.89178.21x∴<<,故BC正确.故选：BC29．（2021秋·全国·高一期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称2a b+为正数,a b,a b的几何平均数，并把这两者()0,02a ba b+≤>>叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A．若4ab=，则4a b+≥B．若0a>，0b>，则()112a ba b⎛⎫++⎪⎝⎭最小值为C．若(),0,a b∈+∞，21a b+=，1142a b+≥D ．若实数,a b 满足0a >，0b >，4a b +=，则2211a b a b +++的最小值是83 【答案】CD【分析】通过反例可知A 错误；根据基本不等式“1”的应用可求得BC 正误；令11a m +=>，11b n +=>，将所求式子化为62mn+，利用基本不等式可知D 正确. 【详解】对于A ，若2a =−，2b =−，则44a b +=−<，A 错误；对于B ，0a >，0b >，0a b∴>，0ba >，()1122333a b a b a b b a ⎛⎫∴++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），即()112a ba b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为3+B 错误；对于C ，(),0,a b ∈+∞，0a b∴>，0ba >，又21ab +=，()111122224222b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当22b a a b =，即122b a ==时取等号），C 正确；对于D ，令11a m +=>，11b n +=>，则6m n +=，()()22221111116422211m n a bm n a b m n m n m n mn−−+=+=+++−=++=+∴≥+++26832m n =+⎛⎫ ⎪⎝⎭（当且仅当3m n ==时取等号），即2211a ab ++的最小值是83，D 正确. 故选：CD.30．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若a b >，01c <<，则a b c c < C ．若1a b >>，1c >，则log log a b c c < D ．若1a b <<−，0c >，则cca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】利用不等式性质结合可判断A ，根据指数函数的性质可判断B ，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C ，根据幂函数的性质可判断D.【详解】A 中，0a b <<时，则11a b<，错误；B 中，因为a b >，01c <<，所以a b c c <成立，正确；C 中，因为1a b >>，1c >，所以log log 0c c a b >>，10log log c c a b>⋅，所以11log log c c a b<，即log log a b c c <，正确； D 中，由1a b <<−，可得10a b b a >>>，又0c >，所以cca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确.故选：BCD.三、填空题31．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b −=__________． 【答案】96i +【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.【详解】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b −=+−=++++−−=+ ；故答案为：96i + .32．（2022·全国·高三专题练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【详解】“好汉”⇒“到长城”， “到长城”⇒“好汉”， 所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分33．（2022·高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.【答案】 {}60,120,180 {}*60,N x x n n =∈【分析】根据题设集合元素为5，4，3的公倍数，进而应用列举法、描述法分别写出集合即可.。
创新题型近年数学高考试题中，出现一些立意新、情境新、设问新的试题。
此类试题新颖、灵活又不过难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力，把此类试题统称为创新试题。
创新试题主要考查学生的探索能力、发散思维能力、直觉思维能力、数学应用意识和应用能力。
创新试题打破了固定的模式和解题套路，而是通过设计新问题、新背景来考查学生运用现有知识解决问题的能力，具体表现有如下几种方式：一．设计非常规的数学问题，考查学生的探索能力，培养学生的探索精神。
在数学问题中，有一些问题没有现成的方法或解题模式套用；有一些问题的条件、结论、解题策略是不唯一的或需要探索的（见开放性试题），因此解决这些问题的过程中能有效地展示考生的思维水平。
例1．设函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，在函数值、)1(-f 、)1(f 、)2(f )5(f 中最小的一个不可能是_____________________ 答案：、)1(f例2．作出函数])2,2[(cos ππ-∈-=x x x y 的图象。
例3．一圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是标准答案应为：D （但是图不标准，看推导（最后））二．拓展常规题，考查发散思维能力发散性思维虽然也遵循已有的规律和事实，但它的思维过程无固定方向或范围，体现为探索途径及结果的新颖性、多样性和独创性。
（知识网络交汇点、新形式） 例4．无盖圆柱形容器的底面半径为3，母线长为9，现将盛满水的该容器缓慢倾斜，当圆柱的母线与水平面所成的角为︒60，则剩下的水的体积为 A.21π B.18π C.27π D.24π 答案：D例5．无盖的圆柱形容器的底面半径为2。
母线长为3，现将盛满水的该容器缓慢地倾斜，当水剩下原来的32时，圆柱的母线与水平面所成的角∈α（） A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ答案C例6．设函数1)(+=x x f ，在)(x f 的定义域内任取21x x <，则在（1）)]()()[(2121<--x f x f x x ；（2）)()(2121>--x x x f x f ；（3）2)()()2(2121x f x f x x f +>+中结论正确的是________ 答案（2）（3）例7．函数)(lim N n xx x x y n nnn n ∈+-=--∞→的大致图象为例8．一广告气球被一束平行光线投射到水平面上，其投影为椭圆，离心率为23，则这束光线对于水平面的入射角是________ 答案3π例9．有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率分别为：,)21(,)21(,2132...n )21(,,...（n 为正整数），且都以1=x 为准线，则所有这些椭圆的长轴长之和为___________ 答案2例10．64个正数排成8行8列，如下所示：181211...a a a 282221...a a a............ 888281...a a a在符号)8181(≤≤≤≤j i a ij ，中，i 表示该数所在的行数，j 表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（每列的公比q 都相等），2111=a ，124=a ，4132=a ，（1）求ij a 的通项公式；（2）记第k 行各项和为k A ，求1A 的值及k A 通项公式；（3）若1<k A ，求k 的值。
2020年4月22日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A．8岁B．11岁C．20岁D．35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为a1，则S9=9a1+9×8×3=207，解得a1=11．2故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝1，CD＝2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（）A B C．D．24π【答案】B【解析】【分析】由题意易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,根据长方体体对角线等于外接球直径,利用公式计算即可.【详解】易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,故画出如图所示鳖臑.设长方体体对角线即外接球直径为D 则22221126D =++= ,故外接球体积31166V D π===.故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体中三棱锥的外接球问题,注意体对角线等于外接球直径即可.属于基础题型.4．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A ．1B ．1+C ．2+D ．2+【答案】C 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。
热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题，计算题和证明题比较少，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。
2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景，以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。
②以数学猜想和定理为命题背景。
③以数学名家的故事为命题背景，以数学家的故事，为考查背景，正是对创新精神数学精神的一种传承。
④以数学的应用为命题背景。
⑤历史名人。
⑥历史发展。
3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。
这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。
4、数学高考题渗透了大量的数学文化，尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。
但这些题目考查的知识点有限，很多内容并未涉及到。
我们现在的社会在飞速发展，无论是科技还是人的思想都不断地变化。
为了让学生能够更好地适应未来社会的发展，我们的教育需要及时更新，不仅仅要反映在教材，考试也应该与时俱进，而不再是摸小球，投骰子，算水费这些老古董的模型背景，更应该与时俱进。
比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。
像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上，它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料，而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。
除次以外，同样可以结合其他学科知识和实际民生，比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景，进入数学高考题。
【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。
2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会对给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。
哈尔滨师范大学附属中学刘冰2017年，高考考试大纲修订内容中增加了对数学文化的要求，但是高考数学试题中早就出现过以数学文化为背景的新颖命题，经过持续发展，在2018年高考中呈现出了求新、求变的效果.把历史和文化内容引入高考数学，为高考数学题打上了文化的烙印.教师应在平时的教学中弘扬中国传统文化，吸收世界文化的精华，引导学生胸怀祖国，放眼世界.例1（2018年全国新课标I，理10）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，A C.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3解析：设AB=a，A C=b，BC=a2+b2，√设整个图形的面积为S则p1=ab2S，p2=1S｛π（a2）22+π（b2）22-［π（a2+b2√2）22-1 2ab］｝=ab2S=p1故选A.【数学文化】古希腊数学家希波克拉底发现的一条平面几何里应用广泛的优美定理———月牙定理，指以直角三角形两条直角边为直径向外做两个半圆，以斜边为直径向内做半圆，则三个半圆所围成的两个月牙型面积之和等于该直角三角形的面积.本题依据这一定理考查几何概型问题.例2（2017年全国卷II，理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析：设顶层灯数为a1，q=2，s7=a1（1-27）1-2=381，解得a1=3.故选B.【数学文化】《算法统宗》，又名《直指算法统宗》《新编直指算法统宗》，明代数学家程大位撰，共17卷.1592年编成《算法统宗》共列算题595道，以珠算为主要的计算工具，卷一介绍数学常识，卷二介绍珠算，卷三以后分别为方田、粟布、衰分、少广、分田截积、商功、均输、盈亏、方程、勾等，第十七卷附以难题杂法，又列有14个纵横图.本题以数学史中《算法统宗》的一个问题为包装，考查数列问题.例3（2016年全国新课标II，理8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，实现该算法的程序框图见下页.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=.（A）7（B）12（C）17（D）34解析：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C.【数学文化】秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.在著作《数书九章》中提出了这一先进的多项式简化算法.一般一元n次多项式的求值需要经过n（n+1）2次乘. All Rights Reserved.a ，ba ≠ba ＞ba =a -bb =b-aa法和n 次加法，而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法.在人工计算时，大大简化了运算过程.本题以数学史中《秦九韶算法》的问题为背景，考查程序框图问题.例4（2015年全国卷II，理8）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =.（A ）0（B ）2（C ）4（D ）14解析：逐次运行程序，直至程序结束得出a .a=14，b =18.第一次循环：14≠18且14＜18，b =18-14=4；第二次循环：14≠4且14＞4，a=14-4=10；第三次循环：10≠4且10＞4，a=10-4=6；第四次循环：6≠4且6＞4，a=6-4=2；第五次循环：2≠4且2＜4，b =4-2=2；第六次循环：a=b =2，跳出循环，输出a=2，故选B.【数学文化】更相减损术出自《九章算术》中的求最大公约数的算法，原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合.本题将更相减损术与程序框图相结合，加大了该问题的考查难度.考生若能看出此程序框图的功能，便很容易解决.例5（2015年湖北卷，理2）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓有人送来米1534石，验得米内夹谷，254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（A ）134石（B）169石（C）338石解析：254粒和1534致相同的，设1534解得x =169，故这批米内夹谷约为169石.【数学文化】中的“米谷粒分”问题，体.本题以《数书九章》为载体，例6（2018年全国新课标II，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A.112B.114C.115D.118解析：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有n =C 210=45种不同的情况，其中和等于30的有7+23=30，11+19=30，13+17=30，共m =3种不同的情况，则所求的概率p =m n =345=115，故选C.【数学文化】在1742年给欧拉的信中，哥德巴赫提出了如下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个素数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明.1966年，陈景润证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”.本题依据这一定理，考查古典概型问题.“数学文化”题是经典与创新的完美结合，也是近几年全国及各省份高考数学题中的一大亮点.我们在教学中应引导学生多多了解中国数学史及世界数学史，以便学生在高考中更好地发挥.编辑/王一鸣E-mail：***************考试KAOSHI. All Rights Reserved.。
高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化背景：高考数学文化题目常以等差数列、等比数列为背景，考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力。
预测：本文将以等差数列为题材，考查数列中的文化。
回顾：以2017年高考数学文化题目为例，考查了古代数学名著《算法统宗》中的问题，要求求解一座7层塔顶层的灯数，利用等比数列的知识进行计算。
典例分析：以2017江西红色七校联考为例，考查了《张丘建算经》中的问题，要求求解一个女子每天织布的数量，利用等差数列的知识进行计算。
另一道题目则考查了《算法统宗》中的问题，要求求解一个人走378里路后第二天走了多少里程，利用等比数列的知识进行计算。
规律总结：我国古代数学注重算理算法，很多问题可转化为等差数列、等比数列问题。
数学文化题目考查的是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立数列模型，进行数列的基本计算，利用方程思想求解。
1.XXX是明代的一位著名音乐家、数学家和天文历算家。
他在著作《律学新说》中制定了十二平均律，这是目前世界上通用的将一组音分成十二个半音音程的律制。
这些音程之间的频率比完全相等，因此也被称为十二等程律。
具体来说，一个八度包含13个音，相邻两个音之间的频率比相等，而最后一个音的频率是最初那个音的2倍。
如果设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则f2/f1=2^(2/12)=1.1228.2.《孙子算经》是我国古代的一部数学名著。
其中有一个问题是：“今有五个诸侯，共分60个橘子，每人加三个。
问：五人各得几何？”这个问题的意思是：五个人要分60个橘子，他们分得的橘子数构成一个公差为3的等差数列。
得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.3.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作。
其中有一个问题是：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去。
已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里；驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里。
专题09 解析几何专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．2216416x y +=B ．2211664x y +=C ．22125616x y +=D ．2216432x y +=【答案】A【分析】由题得32ab =，再判断选项得解.【详解】解：矩形ABCD 的四边与椭圆相切，则矩形的面积为22128a b ⋅=，所以32ab =. 只有选项A 符合. 故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为12345,,,,O O O O O ，若双曲线C 以13,O O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A B C ．1311D ．125【答案】B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出双曲线渐近线的方程，结合离心率的意义计算作答.【详解】依题意，以点2O 为原点，直线13O O 为x 轴建立平面直角坐标系，如图，点4(13,11)O −−，设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>，其渐近线为b y x a=±，因直线24O O 为一条渐近线，则有1113b a =，双曲线C 的离心率为e ===故选：B3．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆22:1169x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径．【详解】解：由蒙日圆的定义，可知椭圆22:1169x y C +=的两条切线4x =、3y =的交点()4,3在圆上，所以蒙日圆的半径5R ==. 故选：C ．4．（2022·全国·的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C 为“最美椭圆”，且以椭圆C 上一点P 和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C 的方程为（ ）．A ．2212x y +=B ．22142x y +=C ．22163x y +=D ．22184x y +=【答案】D【分析】先由e =2c a =与2b a =，再由12PF F S 的最大值得4bc =，进而求得28a =，24b =，故可得到椭圆C 的方程.【详解】解：由已知c e a ==c =，故b ，∵121211222PF F P P S F F y c y bc ==⨯≤，即()12max4PF F S bc ==，∴422a a ⨯=，得28a =，故22142b a ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：D ．5．（2022秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A 、B 是MON ∠的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，ACB ∠最大问题的答案是：当且仅当ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P ，Q 的坐标分别是(2,0)，(6,0)，R 是y 轴正半轴上的一动点，当PRQ ∠最大时，点R 的纵坐标为（ ）AB ．2C ．D ．4【答案】C【分析】由米勒定理确定PRQ △的外接圆与y 轴的位置关系，再应用垂径定理、直线与圆关系确定圆心和半径，进而写出PRQ △的外接圆的方程，即可求R 的纵坐标.【详解】因为P ，Q 分别是(2,0)，R 是y 轴正半轴上的一动点， 根据米勒定理知，当PRQ △的外接圆与y 轴相切时，PRQ ∠最大， 由垂径定理知，弦PQ 的垂直平分线必过PRQ △的外接圆圆心， 所以弦PQ 中点G 的坐标为(4,0)，故弦PQ 中点的横坐标即为PRQ △的外接圆半径的大小，即4r =，由垂径定理得圆心为，所以PRQ △的外接圆的方程为22(4)(16x y −+−=，令0x =，得R 的纵坐标为 故选：C6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为28:29，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（ ）A ．159B ．12C ．2956D ．157【答案】D【分析】根据题意可得2829a c a c −=+，进而即得. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ， 由题意可得2829a c a c −=+， 所以57a c =，即157c a =， 因此地球运行轨道所在椭圆的离心率是157． 故选：D.7．（2022秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点,M N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大.”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()()1,2,1,4M N −，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．7−C ．1或1−D ．1或7−【答案】A【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点P 为过M ，N 两点且和x 轴相切的圆与x 轴的切点，求出切点的横坐标即可.【详解】由题意知，点P 为过M ，N 两点且和x 轴相切的圆与x 轴的切点，线段MN 的中点坐标为()03，，线段MN 的垂直平分线方程为3y x −=−， 所以以线段MN 为弦的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x −=−上， 所以可设圆心坐标为(),3C a a −，又因为圆与x 轴相切，所以圆C 的半径3r a =−，又因为CN r =，所以()()()2221343a a a −+−−=−，解得1a =或7a =−，即切点分别为()1,0P 和()7,0P '−，由于圆上以线段MN （定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，，且过点,,M N P '的圆的半径比过,,M N P 的圆的半径大，所以MP N MPN '∠<∠，故点()1,0P 为所求，所以当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是1. 故选：A.8．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点， 且 |AB | = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ） A ．到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线 B ．到,A B 两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆 C ．到,A B 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆 D ．到,A B 两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线 【答案】D【分析】判断到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;C,D .【详解】对于A ，到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，正确； 对于B ，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()2,0,2,0A B −，设动点(,)P x y ，由题意知||2||PA PB =,2= ，化简为221064()39x y −+=， 即此时点的轨迹为圆，B 正确；对于C ，不妨设动点P 到,A B 两点距离之和等于5 ，即5PA PB +=，由于54>， 故到,A B 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，C 正确； 对于D ，设动点P 到,A B 两点距离之差等于3 ，即||||3−=PA PB ,由于34<， 故到,A B 两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线靠近B 侧的一支，D 错误， 故选：D9．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程()()22221223m x y y x y +++=−+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（ ）A ．()0,8B ．()8,+∞C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】A【分析】将原方程两边同时开平方，结合两点得距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得关于m 的不等式，从而可得出答案.【详解】解：由方程()()22221223m x y y x y +++=−+，0m >，得()()2221223m x y x y ⎡⎤++=−+⎣⎦，223x y =−+，=可得动点(),x y 到定点()0,1−和定直线2230xy −+=， 1>，解得08m <<. 故选：A.10．（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin （17941847−）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切于,E F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于,C B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE AC =，AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=.由,B C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以,E F 为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的焦距为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】C【分析】设球O 与1PA 相切与点E ，可得2tan 3OPE ∠=，利用二倍角正切公式可得12tan A PA ∠，由此可得a ，由1A F a c =−可求得焦距.【详解】设球O 与1PA 相切与点E ，作出轴截面如下图所示，由题意知：2OE OF ==，523PE =−=，2tan 3OE OPE PE ∴∠==， ()12242tan 123tan tan 241tan 519OPE A PA OPE OPE ∠∴∠=∠===−∠−， 又15PA =，1212A A ∴=，6a ∴=，又12A F a c =−=，4c ∴=，∴椭圆的焦距为28c =.故选：C.11．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上顶点．直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89−，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【答案】B【分析】由题意得到方程组ab =①和2289b a =②，即可解出a 、b ，求出长轴长.【详解】椭圆的面积S ab π==，即ab =. 因为点P 为椭圆C 的上项点，所以()0,P b .因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设(),A m n ，则(),B m n −−且22221m n a b +=，所以22222a n m a b=−. 因为,PA PB 的斜率之积为89−，所以89n b n b m m −−−⋅=−−，把22222a n m a b=−代入整理化简得：2289b a =②①②联立解得：3,a b == 所以椭圆C 的长轴长为2a =6. 故选：B12．（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，平面上点(),M x y 与点(),N a b 的距离.结合上述观点，可得()f x =（ ）A ．5BCD ．2【答案】C【分析】记点(),0P x 、()5,1A −、()3,2B −−，可得出()f x PA PB =+，数形结合可求得()f x 的最小值.【详解】因为()f x =记点(),0P x 、()5,1A −、()3,2B −−，则()f x PA PB AB =+≥==f x当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时，等号成立，即()故选：C.13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．0°B．1°C．2°D．3°【答案】C【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角.【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°. 故选：C14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中学校联考期中）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为()()22111x y ++−≤，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为50x y +−=，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A．B ．C ．1D ．1【答案】C【分析】先求出将军出发点M 关于河岸所在直线的对称点N ，再连接CN 交河岸所在直线于点P ，则由对称性可知1NC −为最短距离，求解即可． 【详解】解：如图，设()1,0M 关于河岸线所在直线:50l x y +−=的对称点N 为(,)a b ，根据题意，设军营所在区域为以圆心为C ，半径1r =的圆上和圆内所有点，1NC −为最短距离，先求出N 的坐标，MN 的中点为1(2a +，)2b，直线MN 的斜率为1，则(1)1115022ba ab ⎧⋅−=−⎪⎪−⎨+⎪+−=⎪⎩，解得54a b =⎧⎨=⎩，(5N ∴，4)，又(1,1)C −，所以111NC −==， 故选：C ．15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于13−，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．23CD【答案】D【分析】设内层椭圆方程为2221x y a b+，则外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=（1m >），分别列出过,A C 和,B D 的切线方程，联立切线和内层椭圆，由Δ0=分别转化出2212,k k 的表达式，结合221219k k ⋅=可求a 与b 关系式，齐次化可求离心率.【详解】设内层椭圆方程为22221x y a b +=（0a b >>），因为内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成()()22221x y ma mb +=（1m >），设切线AC 方程为()1y k x ma =+，与22221x y a b+=联立得，()2222224222113120ba k x ma k x m a k ab +++−=，由()()()23222224222111Δ240ma k b a k m a k a b =−+⋅−=，化简得：()2212211b k a m =⋅−，设切线BD 方程为2y k x mb =+，同理可求得()222221b k m a=−，所以()22242221222241113191b b b k k m a m a a ⎛⎫=⋅⋅⋅−==− −⎭=⎪⎝，2222222113b ac c a a a −==−=，所以2223c a =，因此3c e a ==. 故选：D二、多选题16．（2020秋·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）2020年11月24日，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，它将首次带月壤返回地球，我们离月球的“距离”又近一步了.已知点()10M ，，直线:2l x =−，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段 B ．26y x =+不是“最远距离直线” C ．112y x =+是“最远距离直线” D ．点P 的轨迹与直线'l ：=1x −是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点) 【答案】BCD【分析】由题意结合抛物线的定义可得点P 的轨迹，可以判断选项A ，根据抛物线的曲线性质可判断选项D ，对于选项B 和C ，结合题意可知，判断直线是否是“最远距离直线”,只需要联立抛物线与直线方程，通过判断方程是否有解即可.【详解】由题意可得：点P 到点M 的距离比等于点P 到直线l 的距离，由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以()10M ，为焦点的抛物线，即：24y x =， 故A 选项错误；对于选项B 和C ：判断直线是不是“最远距离直线”， 只需要判断直线与抛物线24y x =是否有交点，所以联立直线26y x =+与抛物线24y x =可得方程2590x x ++=， 易得方程2590x x ++=无实根，故选项B 正确； 同理，通过联立直线112y x =+与抛物线24y x =可得方程21240x x −+=， 易得方程2590x x ++=有实根，故选项C 正确；由于抛物线24y x =与其准线=1x −没有交点，所以选项D 正确； 故选：BCD.【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．而抛物线的定义是我们解题的关键，牢记这些对解题非常有益．17．（2022·广东·统考模拟预测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.(),A x y与点(),B a b 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数()f x =下列结论正确的是（ ）A ．()6f x =无解B ．()6f x =的解为x =C ．()f x 的最小值为D ．()f x 的最大值为【答案】BC【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可．【详解】解：()f x =，设(),1P x ，()2,0A −，()2,0B ， 则()f x PA PB =+，若()6f x =，则64PA PB AB +=>=， 则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 此时26a =，2c =，即3a =，2945b =−=，即椭圆方程为22195x y +=，当1y =时，得2141955x =−=，得2365x =，得5x =±，故A 错误，B 正确， B 关于1y =对称点为()2,2C ，则PA PB PA PC AC +=+≥，当,,A P C 三点共线时，()f x 最小，此时()f x AC =====，()f x 无最大值，故C 正确，D 错误， 故选：BC .18．（2022秋·广东茂名·高二统考期末）(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c −=−C ．11c a <22c a D ．1212c a a c >【答案】BD【分析】根据题意得1122a c a c PF −=−=，再结合不等式的性质即可得答案.【详解】观察图形可知1122a c a c +>+，即A 不正确；1122a c a cPF −=−=，即B 正确；由11220a c a c =−>−，120c c >> 知，112212a c a c c c −−<，即1212a a c c <，从而1212c a a c >,即：1212c c a a > ,即D 正确，C 不正确． 故选：BD【点睛】本题考查知识的迁移与应用，考查分析问题与处理问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于由图知1122a c a c PF −=−=，进而根据不等式性质讨论求解. 19．（2022·全国·为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：22221(0)x y a b a b +=>>与它的焦点圆在第一象限的交点为Q ，则下列结论正确的有（ ） A ．21ωω+=B ．黄金椭圆离心率e ω=C ．设直线OQ 的倾斜角为θ，则sin θω=D ．交点Q 坐标为(b ,ωb )【答案】AC【分析】A ：由方程210ωω+−=的根可判断正误；B ：由题设b aω=，根据椭圆参数关系及离心率c e a =即可判断正误；C ：由圆的性质有12QF QF ⊥且122QF F θ∠=，122QF QF a +=，结合同角平方关系、倍角正弦公式可判断正误；D ：由C 易得Q 点纵坐标为c ω且b c ≠，即可判断正误. 【详解】A ：方程210ωω+−=的一个根为ω=B：由题意知，b a ω==，则c e a ω====≠，错误； C ：易知12QF QF ⊥，且122QF F θ∠=，则212sin ,2cos 22QF c QF c θθ=⋅=⋅，所以122sin cos 222QF QF c a θθ⎛⎫+=⋅+= ⎪⎝⎭，即sin cos 22a c θθ+==1sin 1θω+===即sin 1θω==，正确；D ：由OQ c =，结合sin θω=知：Q 点纵坐标为sin c c θω=，而b c ≠，错误. 故选：AC【点睛】关键点点睛：根据黄金椭圆、焦点圆定义及椭圆参数关系，计算离心率、夹角正弦值以及判断交点坐标.20．（2022·全国·高二假期作业）1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC 的顶点()()1,0,0,2B C −，重心12,63G ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．点A 的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．ABC 为等边三角形 C ．欧拉线方程为2430x y +−=D ．ABC 外接圆的方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【分析】根据重心公式计算得到A 正确；计算5,2AB AC BC ===B 错误；计算线段BC 垂直平分线的方程得到C 正确；计算外接圆圆心为15,48M ⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆方程，D 正确，得到答案.【详解】12,63G ⎛⎫ ⎪⎝⎭为ABC 的重心，设(),A x y ，由重心坐标公式()1016320233x y ⎧+−+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得320x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 正确；5,2AB AC BC ===ABC 不是等边三角形，故选项B 错误；AB AC =，ABC 的外心､重心､垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，ABC 的顶点()()1,0,0,2B C −，线段BC 的中点的坐标为1,12⎛⎫− ⎪⎝⎭，线段BC 所在直线的斜率()20201BC k −==−−，线段BC 垂直平分线的方程为11122y x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，即2430x y +−=，ABC 的欧拉线方程为2430x y +−=，故选项C 正确；因为线段AB 的垂直平分线方程为14x =，ABC 的外心M 为线段BC 的垂直平分线与线段AB 的垂直平分线的交点，所以交点M 的坐标满足243014x y x +−=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得15,48M ⎛⎫⎪⎝⎭，外接圆半径r MB ==ABC 外接圆方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确. 故选：ACD.21．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知()4,3A −，()2,3B ，动点P 满足2PAPB=，记点P 的轨迹为圆C ，又已知动圆D ：()()22cos sin 1x y θθ−+−=.则下列说法正确的是（ ）A ．圆C 的方程是()()224316x y −+−=B ．当θ变化时，动点D 的轨迹方程为221x y +=C ．当32πθ=时，过直线AD 上一点Q 引圆C 的两条切线，切点为E ，F ，则EQF ∠的最大值为2π D ．存在θ使得圆C 与圆D 内切 【答案】ABC【分析】对于A 根据“阿波罗尼斯圆”的定义列式化简即可；对于B ，设圆心(),D x y ，而cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，消去θ即可得到圆心D 的估计方程；对于C ，因为CQE △是直角三角形，根据三角函数找出CQE ∠的最大值，再得出EQF ∠的最大值；对于D ，根据两点间的距离公式计算出CD 范围，再根据两圆内切条件判断即可. 【详解】.解：设(),P x y ，由2PAPB=2=化简整理得：()()224316x y −+−=.故A 正确；设(),D x y ，则cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩消去θ得221x y +=.故B 正确；当32πθ=时，()0,1D −，直线AD 的方程为：10x y ++=. 因为4sin CE CQE CQCQ∠==，要使EQF ∠最大，只需CQ 最小.所以min CQ ==()max sin CQE ∠=()max 4EQC π∠=.所以EQF ∠的最大值为2π，故C 正确；因为[]4,6CD =，若两圆内切有413CD =−=，故不存在θ使得3CD =，故D 错误. 故选: ABC22．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期末）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点()1,0F a −，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有（ ） A ．双纽线C 关于x 轴对称B ．022a a y −≤≤ C．双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个 D ．PO 【答案】ABD【解析】对A ，设动点(),C x y ，则对称点(),x y −代入轨迹方程，显然成立；对B ，根据12PF F △的面积范围证明；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在y 轴上，代入轨迹方程求解；对D ，根据余弦定理分析12PF F △中的边长关系，进而利用三角形的关系证明即可.【详解】对A ，设动点(),C x y ，由题意可得C 2a =把(),x y 关于x 轴对称的点(),x y −代入轨迹方程，显然成立，故A 正确； 对B ，因为()00,P x y ，故12121212011sin 22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅． 又212PF PF a ⋅=，所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅，即012sin 22a ay F PF =∠≤，故022a a y −≤≤．故B 正确；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上．故此时00x =2a =，可得00y =，即()0,0P ，仅有一个，故C 错误； 对D ，因为12POF POF π∠+∠=， 故12cos cos 0POF POF ∠+∠=，222222112212022OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +−+−+=⋅⋅，因为12OF OF a ==，212PF PF a ⋅=，故22221222OP a PF PF +=+． 即()2221212222OP a PF PF PF PF +=−+⋅，所以()22122OP PF PF =−．又12122PF PF F F a −≤=，当且仅当P ，1F ，2F 共线时取等号． 故()222122(2)OP PF PF a =−≤，即222OP a ≤，解得OP ≤，故D 正确． 故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了动点轨迹方程的性质判定，因为轨迹方程比较复杂，故在作不出图像时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性分析，同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、填空题23．（2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为260︒时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率e =_____________．【答案】12##0.5【分析】由伞沿半径及圆心到伞柄底端的距离，得伞柄与地面夹角为60︒，阳光光线与伞柄平行，易得椭圆长半轴，短半轴的长，可求出离心率.【详解】因为伞沿是半径为2设伞柄与地面的夹角为θ，则tan θ==60θ=︒，即阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴2sin 60a ==︒，短半轴2b =，离心率12e ==.故答案为：12.24．（2022秋·河南·高二校联考期末）台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边BC ，CD 两次反弹后击打目标球N ，点M 到,CD BC 的距离分别为200cm,60cm ，点N 到,CD BC 的距离分别为80cm,120cm ，将M ，N 看成质点，本球在M 点处，若击打成功，则tan θ=___________．【答案】914【分析】以C 为原点，,DC BC 边分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出,M N 的坐标，求出N 关于x 轴的对称点N '的坐标，N '关于y 轴的对称点N ''的坐标，则直线MN ''方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果.【详解】以C 为原点，,DC BC 边分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(120,80),(60,200)N M −−−−，N 关于x 轴的对称点为(120,80),N N '−'关于y 轴的对称点为(120,80)N ''， 直线MN ''方向为本球射出方向，故π8020014tan()=2120609θ+−=+,9tan 14θ=. 故答案为：914. 25．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点(2,0)C 和一动点P 满足||2CP =，若过点M 的直线l 将动点P 的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．2【分析】过定点M 的直线l 将动点P 的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，圆心到直线l 的距离最远，即为圆心到M 的距离.此时，直线l 与CM 垂直，由1l CM k k =−可得答案. 【详解】依题意可知，动点P 的轨迹是以C 为圆心，2r =为半径的圆， 即22:(2)4C x y −+=e .因为22(12)34−+=<，故点M 在C 内. 当劣弧所对的圆心角最小时，CM l ⊥.因为直线CM的斜率CM k == 所以所求直线l的斜率k =故答案为：2. 26．（2022秋·湖南·高二校联考期中）古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆221287x y +=，则该椭圆的面积为________．【答案】14π【分析】根据椭圆方程求出a 、b ，依题意椭圆的面积S ab π=，从而计算可得.【详解】解：对于椭圆221287x y +=，则a =b =，所以椭圆的面积14S ab ππ==； 故答案为：14π27．（2022·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=−−.已知P 是直线:2150l x y +−=上的动点，当P 与O （O 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 【答案】6【分析】由条件确定P 与O 两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点P 的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可.【详解】因为点P 是直线l ：2150x y +−=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =−，所以12POk =，由方程组215012x y y x +−=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6x =，3y =， 所以，P ，O 两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6.28．（2022·全国·高二假期作业）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为______厘米．。
㊀㊀㊀数学文化巧融合㊀数列求和妙应用以一道高考数学题为例◉安徽省太和县第二中学㊀谭续续１引言数学文化问题作为新课标高考中比较常见的一类创新应用问题,在试卷中以各种方式出现,不仅能够反映古今中外劳动人民的聪明才智和数学家探索数学科学的精神与品质,而且能够让学生体验数学产生与发展的过程,体会数学的本质特征．特别是,结合中华优秀传统文化情境,展现我国古代劳动人民的智慧与创造,形成民族自豪感和远大理想,在高考数学试卷中倍受关注．２真题呈现高考真题㊀(２０２１年高考数学新高考Ⅰ卷第１６题)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为２０d mˑ１２d m的长方形纸,对折１次共可以得到１０d mˑ１２d m,２０d mˑ６d m两种规格的图形,它们的面积之和S１＝２４０d m２,对折２次共可以得到５d mˑ１２d m,１０d mˑ６d m,２０d mˑ３d m三种规格的图形,它们的面积之和S２＝１８０d m２,以此类推．则对折４次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么ðn k＝１S k＝d m２．３真题剖析此题以我国传统文化剪纸艺术为背景,通过两小问的设置,借助穷举法解决第一小问,再进一步归纳整理并计算得到第二小问的结果,让考生体验从特殊到一般探索数学问题的过程,体现了数学中的归纳思想方法,带领学生从有穷走向无穷,是思维上的一个飞跃与拓展,重点考查考生灵活运用数学知识分析与解决问题的能力．此题依次呈现高中数学核心素养中的直观想象㊁数学建模㊁逻辑推理以及数学运算等四个方面,对学生的能力与素养进行了全方位的考查．４真题破解解法１:(穷举法＋错位相减法)由条件可知:对折１次得到２种规格:１０d mˑ１２d m,２０d mˑ６d m;对折２次得到３种规格:５d mˑ１２d m,１０d mˑ６d m,２０d mˑ３d m;对折３次得到４种规格:５d mˑ６d m,５２d mˑ１２d m,１０d mˑ３d m,２０d mˑ３２d m;对折４次得到５种规格:２０d mˑ３４d m,１０d mˑ３２d m,５d mˑ３d m,５２d mˑ６d m,５４d mˑ１２d m;猜想对折n次得到n＋１种不同规格的图形,且这n＋１个长方形的面积相等,等于２４０ˑ１２æèçöø÷n,故面积和S n＝(n＋１)ˑ２４０ˑ１２æèçöø÷n,所以S＝ðn k＝１S k＝S１＋S２＋ ＋S n＝２ˑ２４０ˑ１２æèçöø÷１＋３ˑ２４０ˑ１２æèçöø÷２＋ ＋nˑ２４０ˑ１２æèçöø÷n－１＋(n＋１)ˑ２４０ˑ１２æèçöø÷n,则有S＝ðn k＝１S k＝２４０ðn k＝１k＋１２k．记T n＝ðn k＝１k＋１２k,则１２T n＝ðn k＝１k＋１２k＋１,故１２T n＝ðn k＝１k＋１２k－ðn k＝１k＋１２k＋１＝１＋ðn－１k＝１k＋２２k＋１－ðn k＝１k＋２２k＋１æèçöø÷－n＋１２n＋１＝１＋１４１－１２n－１æèçöø÷１－１２－n＋１２n＋１＝３２－n＋３２n＋１,则T n＝３－n＋３２n．故S＝ðnk＝１S k＝２４０３－n＋３２næèçöø÷．４８教育纵横数学文化㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年６月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀故填答案:(１)５;(２)２４０３－n ＋３２n æèçöø÷．点评:此解法是绝大多数考生在考场上采用的基本破解方案,第一问难度不大,学生多会用穷举法;在第二问中,错位相减法是平时解决数学问题时练习比较多的解决数列求和问题的基本方案．解法２:(穷举法＋裂项相消法)以上部分同解法１．猜想对折n 次得到n ＋１种不同规格的图形,且这n ＋１个长方形的面积相等,都等于２４０ˑ１２æèçöø÷n,故面积之和为S n ＝(n ＋１)ˑ２４０ˑ１２æèçöø÷n．因为n ＋１２n ＝n ＋２２n －１－n ＋３２n,所以S ＝ðnk ＝１S k ＝S １＋S ２＋ ＋S n ＝２４０３２０－４２１æèçöø÷＋２４０４２１－５２２æèçöø÷＋ ＋２４０n ＋２２n －１æèç－n ＋３２nöø÷＝２４０３－n ＋３２n æèçöø÷．故填答案:(１)５;(２)２４０３－n ＋３２n æèçöø÷．点评:此解法对数列求和的能力要求比较高,在第二问中,利用数列中通项关系式的变形与转化,合理通过待定系数法来进行裂项相消的工作,进而达到数列求和的目的,此方法对数列通项的推理与代数变形的技巧与要求比较高,在平时的教学中可以视学生情况进行选讲㊁拓展．解法３:(归纳推理法＋数列求和法)显然对折n 次后,得到矩形的规格为:长２０ˑ１２æèçöø÷m,宽１２ˑ１２æèçöø÷n －m,０ɤm ɤn ,m ,n ɪN ,当m 取遍从０到n 的整数时,长２０ˑ１２æèçöø÷m的数值呈现严格单调递减的变化趋势,宽１２ˑ１２æèçöø÷n －m的数值呈现严格单调递增的变化趋势,但面积保持不变,每个小矩形的面积为２０ˑ１２æèçöø÷mˑ１２ˑ１２æèçöø÷n －m＝２４０ˑ１２æèçöø÷n,假设当m 取遍从０到n 的整数时,即长２０ˑ１２æèçöø÷m单调递减,宽１２ˑ１２æèçöø÷n －m单调递增的变化过程中,存在出现相同小矩形的特殊情况,即存在整数i ,且i ʂm ,使得２０ˑ１２æèçöø÷m＝１２ˑ１２æèçöø÷n －i,可得m ＋i －n ＝l og ３５,又m ,i ,n ɪN ,则m ＋i －n ɪN ,这与l og３５∉N 矛盾,舍去．故不存在出现相同小矩形,即每个小矩形的规格必须互不相同,于是当k 取遍从０到n 的整数时,长２０ˑ１２æèçöø÷m会出现n ＋１种不同的数值,必须会出现n ＋１种不同的小矩形．以下具体计算可以通过解法１或解法２中的数列求和加以处理．故填答案:(１)５;(２)２４０３－n ＋３２n æèçöø÷．点评:对于解决第一小问,往往直接穷举法就可以达到列举与应用的目的,此归纳推理法有些牛刀宰鸡的感觉,一般学生不会从这个推理角度来分析与应用,但从对学生严密逻辑思维能力的训练角度来看,学优生还是需要这样严密的推理过程的,助其养成良好的严谨的数学思维品质．解法４:(穷举法＋高观点下的数学求和法)以上部分同解法１．对折n 次后各图形的面积之和为S n ＝(n ＋１)ˑ２４０ˑ１２æèçöø÷n＝２４０ˑ(n ＋１)ˑ１２æèçöø÷n,构造函数f (x )＝(n ＋１)x n ,则F (x )＝ʏf (x )d x ＝x n ＋１,g (x )＝ðnk ＝１f (x )＝d d x ðnk ＝１F (x )()＝d d x(x ２＋x ３＋ ＋x n ＋１)＝d d x x ２－x n ＋２１－x æèçöø÷＝(n ＋１)x n ＋２－(n ＋２)x n ＋１－x ２＋２x (１－x )２,所以S n ＝２４０ˑf １２æèçöø÷,ðn k ＝１S k ＝２４０ˑðnk ＝１f １２æèçöø÷＝２４０ˑg １２æèçöø÷＝２４０３－n ＋３２n æèçöø÷．故填答案:(１)５;(２)２４０３－n ＋３２n æèçöø÷．点评:此法只供教师参考,从高观点视角来剖析数学求和问题,供有一定高等数学基础的学生观摩,不作要求．从高等数学的角度,降维打击数列求和中的大量繁杂运算,开拓学生的视野,对少部分有兴趣㊁有能力的学生展示了高等数学的强大,激发学生探求新知的热情与欲望．５解后反思作为填空题的最后一题,有一点压轴的味道,其中数学文化情境的合理设置,很好地考查考生的阅读理解能力,并在充分理解题目情境与背景的条件下,融合相应的数学知识㊁数学思想方法和数学能力等,同时需要解题者有较好的数学核心素养,直观想象㊁数学建模㊁逻辑推理㊁数学运算等核心素养,一个都不能少．５８２０２２年６月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀数学文化教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
与数学文化相关的创新题目
1、中国传统数学以(实用)为基础,以算术为主,寓理于算;
2、哪个人是非欧式几何的创始人之一(罗巴切夫斯基)
3、阿尔-花拉子模称为“平方和根等于数”的方程形如（x^2+10x=39）
4、柯西把分析学的基础建立在（代数学基础）之上
5、中国传统数学体系的特征：以--实用---为基础，以--算术---为主，--在解决实际问题中--广泛应用
6、世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明：
和复变函数论的创立，（H.庞加莱、P.库辛、F.M.哈托格斯）
7、卢卡斯推广了斐波那契数列，如果卢卡斯数列的前三项是1，3，4，则它的第五项应是（11）
8、一个农村少年，提了一筐鸡蛋到市场上去卖。
他把所有鸡蛋的一半加半个，卖给了第一个顾客；又把剩下的一半加半个，卖给了第二个顾客；再把剩下的一半加半个，卖给了第三个顾客.....当他把最后剩下的一半加半个,卖给了第六个顾客的时候,所有的鸡蛋全部卖完了,并且所有顾客买到的都是整个的鸡蛋.这个少年一共拿了?个鸡蛋到市场上去卖?（63个）
9、周末哥哥们与弟弟去逛书店,书店里有本书哥们用所带的钱买客观存在缺5元,弟弟用所带钱买它缺1分钱。
哥哥与弟弟两个人所带的七之和也不够买这本书。
请问这本书的价格是多少？（5元）。
压轴题08数学文化与创新型问题《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》第10页中写道“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动.”由此可见，数学文化试题在高考中会长期存在数学文化高考试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力，因此备受命题者的青睐近三年的数学文化高考试题有以下特征1)从题型来看，多为选择题与填空题(选择题最多);2)从知识点的分布来看，多涉及统计与概率、立体几何、数列、函数与方程、不等式;3)从题目的背景来看，包括数学史、世界名题、浓厚的时代气息等○热○点○题○型1数学史为背景的数学文化题○热○点○题○型2来源于生活的数学文化创新题一、单选题1．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策路、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛最后，中国队有两名选手a，b，日本队有一名选手c，韩国队有一名选手d，规定a与c对阵，b与d对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，四位选手之间相互获胜的概率如下：ab c d a 获胜概率/0.50.60.8b 获胜概率0.5/0.50.6c 获胜概率0.40.5/0.4d 获胜概率0.20.40.6/则最终中国队获得冠军的概率为（）A ．0.24B ．0.328C ．0.672D ．0.76【答案】C【分析】中国队获得冠军共分为三种情况：①a 与c 对阵a 赢，b 与d 对阵b 赢，a 与b 对阵无论谁赢中国队都是冠军；②a 与c 对阵a 赢，b 与d 对阵d 赢，a 与d 对阵a 赢；③a 与c 对阵c 赢，b 与d 对阵b 赢，c 与b 对阵b 赢；然后根据独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得到答案.【详解】中国队获得冠军共分为三种情况：a 与c 对阵a 赢，b 与d 对阵b 赢，a 与b 对阵无论谁赢中国队都是冠军，设这种情况为事件1A ，则根据独立事件的概率计算公式可得1()0.60.610.36=创=P A ；a 与c 对阵a 赢，b 与d 对阵d 赢，a 与d 对阵a 赢，设这种情况为事件2A ，则根据独立事件的概率计算公式可得2()0.60.40.80.192=创=P A ；a 与c 对阵c 赢，b 与d 对阵b 赢，c 与b 对阵b 赢，设这种情况为事件3A ，则根据独立事件的概率计算公式可得3()0.40.60.50.12=创=P A ；设中国队获得冠军为事件A ，则由互斥事件的概率计算公式可得：123123()()()()()0.360.1920.120.672P A P A A A P A P A P A =⋃⋃=++=++=．故选：C2．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的表面积为（）A ．8πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】B【分析】将该多面体补形为正方体，得到经过该多面体的各个顶点的球为正方体ABCD EFGH -的棱切球，求出该正方体的边长，求出棱切球的半径，得到表面积.【详解】将该多面体补形为正方体，则由1OR =，,AO AR AO AR =⊥，所以由勾股定理得：22AO AR ==，所以正方体的边长为2222´=，所以经过该多面体的各个顶点的球为正方体ABCD EFGH -的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为222⨯=，故过该多面体的各个顶点的球的半径为1，球的表面积为24π14π⨯=.故选：B3．足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的．即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的13处将其顶角截去，截去12个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构．已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱的边数为（）．A ．60B ．90C ．105D ．120【答案】B【分析】计算原来正二十面体共有多少条棱，再计算出截去12个顶角后每个面会多出3条棱，从而计算共多出多少条棱数，即可求得答案.【详解】由题意可知原来正二十面体的每一条棱都会保留13，正二十面体每个面3条棱，每条棱属于两个面，则原来共有320=302⨯条棱，此外每个面会产生3条新棱，共产生32060⨯=条新棱，∴共有306090+=条棱，故选：B ．4．如图甲（左），圣 于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为40m ，如图乙（右），在它们之间的地面上的点M （,,B M D 三点共线）处测得楼顶A ､教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为15︒，则估算索菲亚教堂的高度CD 约为（）A ．50B ．55C ．60D ．70【答案】C【分析】在Rt ABM ，由边角关系得出2AM AB =，再由正弦定理计算出ACM △中的3CM AB =，最后根据直角三角形DCM 算出CD 即可.【详解】由题意知：60CAM ∠=︒，75AMC ∠=︒，所以45ACM ∠=︒，库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯故选：C ．6．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%【答案】C【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r πααπ---+==≈=.故选：C.8．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <47b b<故D正确.9．为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若MA⊥平面ABC，NB⊥平面ABC，60mAC=，BC=，3tan4MCA∠=，14cos15NCB∠=，150MCN∠=︒，则塔尖MN之间的距离为（）A．B．C．150m D．二、多选题10．某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16π，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（）A ．直线AD 与平面DEF 所成的角为π3B ．经过三个顶点A ，B ，C 的球的截面圆的面积为8π3C ．异面直线AD 与CF 所成角的余弦值为58D ．球上的点到底面DEF 的最大距离为6323+【答案】AC【分析】根据直线与平面所成角的定义，确定所求解的角判断A ；求出ABC 外接圆的面积判断B ；作出异面直线所成的角，并求出这个角判断C ；求出球心到平面DEF 的距离判断D.【详解】根据图形的形成可知，,,A B C 三点在底面DEF 上的投影分别是DEF 三边中点,,M N P ，如图所示，对于A ，AM ⊥面DEF ，∴ADE ∠就是直线AD 与平面DEF 所成的角，ADE 是等边三角形，π3ADE ∴∠=，A 正确；对于B ，ABC 与MNP △全等且所在平面平行，截面圆就是ABC 的外接圆与MNP △的外接圆相同，由题意知MNP △的边长为2，其外接圆半径为323233r =⨯=，圆的面积24ππ3S r ==，B 错误；则OH ⊥面ABC ，又CH ⊂22232233OH ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴球上的点到底面DEF 的最大距离为故选：AC.三、填空题11．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，11A F B F ==124AB AA AD ===，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，1C E ，1BB ，1A F 的中点，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值是______．21521515【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，求出,PQ MN ，利用向量关系即可求出.【详解】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，因为1122A F B F ==，124AB AA AD ===，所以可得()()()()2,2,0,0,3,5,2,4,2,,2,1,5P Q M N ，所以()()2,1,5,0,3,3PQ MN =-=- ，所以12215cos ,153032PQ MN PQ MN PQ MN⋅<>===⨯⋅ ，所以异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值是21515.故答案为：21515.12．发现问题是数学建模的第一步，对我们中学生来说养成发现问题并将问题记录下来的习惯相当重要．相传2500多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面的图案（如图）反映了直角三角形三边的某种数量关系，他将自己的发现记录下来，经过后续研究发现了勾股定理．请你也来仔细观察，观察图中的多边形面积，然后用文字写出你的一个关于多边形面积的发现：________（提示：答案可以是疑问句，也可以陈述句，答案不唯一）．【答案】分别以等腰直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积.（答案不唯一）【分析】根据题意可以得出分别以等腰直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积，证明即可.【详解】解：分别以等腰直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积.如图，ABC 为等腰直角三角形，BC 为斜边，则有222BC AB AC =+，以边AB 为边长的正方形的面积21S AB =，以边AC 为边长的正方形的面积22S AC =，以边BC 为边长的正方形的面积23S BC =，所以312S S S =+，故答案为：分别以等腰直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积.（答案不唯一）13．如图，某校学生在开展数学建模活动时，用一块边长为12dm 的正方形铝板制作一个无底面的正n 棱锥（侧面为等腰三角形，底面为正n 边形）道具，他们以正方形的儿何中心为田心，6dm 为半径画圆，仿照我国古代数学家刘徽的割圆术裁剪出m 份，再从中取n 份，并以O 为正()3n n ≥棱锥的顶点，且O 落在底面的射影为正n 边形的几何中心11122,O AO A nπ∠=，侧面等腰三角形的顶角为12AOA ∠α=，当112cos 2cos 1AO A ∠α=-时，设正棱锥的体积为3dm V ，则V n的最大值为___________.14．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm .同学朝山沿直线行进，在前后相距a 米两处分别观测山顶的仰角α和β(βα>)，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h =___________；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n 次测量，其误差n ε近似满足20,n N n ε⎛⎫~ ⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9973，至少要测量___________次.参考数据：若占()2,N ξμσ ，则(3,3)0.9973P μσξμσ-<+=.。
高考数学新题型：文化背景1．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据: 1.414≈，1.732≈)（）A ．1.012米B ．2.043米C ．1.768米D ．2.945米2．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（）注：“相差”是指差的绝对值A ．立春和立冬的晷长相同B ．立夏和立秋的晷长相同C ．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长D ．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长3．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A ．27B ．42C ．55D ．2104．自宋朝以来，折扇一直深受文人雅土的喜爱，在扇面(折扇由扇骨和扇面组成)上题字作画是生活高雅的象征.现有一位折扇爱好者准备在如图所示的扇面上题字，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面部分的概率为（）A ．47B ．34C ．1649D ．40495．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、.癸酉，甲戌、乙亥、丙子、.癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60个组合，周而复始，循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支纪年法”中的（）A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年6．黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为12的点.利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知C ，D为AB 的两个黄金分割点，研究发现如下规律：AC BD CD AB AB BC ===若CDE △是顶角为36°的等腰三角形，则cos 216︒=（）A ．514-B ．14-C ．512-D ．12-7．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A ．30B ．40C ．44D ．708．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦+矢）⨯矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据： 3.14π≈ 1.73≈）A ．220平方米B ．246平方米C ．223平方米D ．250平方米9．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A ．3sin θB ．3cos θC ．12sin θD ．12cos θ10．“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，为探究下面“瓦当”图案的面积，向半径为10的圆内投入1000粒芝麻，落入阴影部分的有400粒.则估计“瓦当”图案的面积是（）A ．40B ．40πC ．4D ．4π11．明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米（称一指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换、调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则sin 2α=（）A ．1235B ．17C ．817D ．81512．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到6sin 的近似值为（）A ．30πB ．60πC ．90πD ．180π13．中国的少数民族有不少具有鲜明特色的建筑，如图①所示的建筑为坐落于广西三江林溪河上的程阳永济桥，是典型的侗族建筑，该类建筑由桥、塔、亭组成，其中塔、亭建在石桥上，具有多层结构，被称为世界十大最不可思议桥梁之一，因为行人过往能够躲避风雨，故名“风雨桥”.已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列.若这四层六边形的周长之和为156，，则最外层六边形的周长为（）A ．54B ．48C ．42D ．3014．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得60AB =米，60BC =米，40CD =米，60ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD 大约为（）．（结果精确到1米）1.414≈ 1.732≈2.236≈ 2.646≈）A ．39米B ．43米C ．49米D ．53米15．祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立.据此，短轴长为6cm ，长轴为8cm 的椭球体的体积是（）3cmA ．24πB ．48πC ．192πD ．384π16．龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u ，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（）A ．1340B ．720C ．14D ．31017．“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图．圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为（）A ．85kmB ．42.5kmC ．50kmD ．100km18．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周四尺.高三尺.何积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为4尺.米堆的高为3尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A ．7斛B ．3斛C ．9斛D ．12斛19．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音1c 的频率正好是中音c 的2倍.已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是（）A ．dB ．fC ．eD ．#d20．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．)02a b a b +>>>B ．()2220a b ab a b +>>>C ．)20ab a b a b <>>+D ．)02a b a b +<>>21．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为（）A ．37B ．47C ．314D ．111422．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36o 的等腰三角形（另一种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126= （）A ．14-B ．38+C ．14+D ．48+23．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（）A ．55πB ．60πC ．63πD ．68π24．玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8cm ，孔径4.9cm 、外径17.6cm .琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为（单位：3cm ）（）A ．6250B ．3050C ．2850D ．235025．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为2a 的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h 的平面为α，记平面α截牟合方盖所得截面的面积为S ，则函数()S f h =的图象是（）A ．B ．C ．D ．26．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t的函数关系式为（）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞二、多选题27．如图所示，4个长为a ，宽为b 的长方形，拼成一个正方形ABCD ，中间围成一个小正方形1111D C B A ，则以下说法中正确的是（）A ．2()4a b ab+≥B ．当a b =时，1A ，1B ，1C ，1D 四点重合C ．2()4a b ab-≤D ．22()()a b a b >+-三、填空题28．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以化的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 AB 的长度为π，则该勒洛三角形的面积为___________.29．我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图1)．在xOy 平面上，将双曲线的一支2214x y -=及其渐近线12y x =和直线y =0，y =2围成的封闭图形记为D ，如图2中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周所得的几何体为Ω，利用祖暅原理试求Ω的体积为________．30．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放a ，b 个坛子，一共堆了n 层，则酒坛的总数(1)(1)(2)(2)(1)(1)S ab a b a b a n b n =+--+--+⋅⋅⋅+-+-+个.现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为______.31．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，则球的半径R =______________．32．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积和周长.如图①，若用圆的内接正六边形的面积1S ，来近似估计半径为1的O 的面积，再用如图②的圆的内接正十二边形的面积2S 来近似估计半径为1的O 的面积，则21S S -=______.（结果保留根号）33．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______34．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为___________cm .35．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20cm 的圆面中剪下扇形OAB ，使扇形OAB 的面积与圆面中剩余部分的面积比值为12-（12≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比值为12-．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为________cm 2．36．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大”，如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且射线QB 相切的圆的切点，根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN∠取最大值时，点P 的坐标为___________37．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928'︒，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱ABCDEF A B C D E '''''﹣的三个顶点,,A C E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M ABF -，O BCD -，N DEF -，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则cos θ=________.（用含tan 5444'︒的代数式表示）38．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为______米.39．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.40．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，53.14,sin 22.513π≈≈ ，答案四舍五入，只取整数．．．．．．．．．．．）41．若点M 在平面α外，过点M 作面α的垂线，则称垂足N 为点M 在平面α内的正投影，记为()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合）1()Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，2()Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭；②存在点P 使得1//PQ 平面β；③存在点P 使得12PQ PQ ^；其中正确结论的序号是______.42．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：数字形式123456789纵式横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示.如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为______.43．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，13AA =，11A BCC -外接球的表面积为25π，则阳马111A BCC B -体积的最大值为_________.44．《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ ABCD -，下底面ABCD 是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ 的中点R 在底面ABCD 上的投影为矩形ABCD 的中心点O ，//PQ AB ，4AB =，3AD =，2PQ =，1OR =（长度单位：丈）.则楔体PQ ABCD -的体积为___________（体积单位：立方丈）.四、双空题45．在中国古代数学著作《九章算术》的“方田”篇中，有一篇关于环形田的面积计算问题：今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？答：二亩五十五步，其大致意思为：现有一个环形田（如图），中周长92步，外周长122步，径长5步，问田的面积是多少？答：2亩55步2，则根据该问题中的相关数据可知该题所取的圆周率 的近似值是______；若已知某环形田的中周长1l步，外周长2l步，径长c步，则该环形田的面积为______．（单位：步2）．参考答案1．C【分析】先计算弓所在的扇形的弧长，算出其圆心角后可得双手之间的距离.【详解】弓形所在的扇形如图所示，则 AB的长度为5 288πππ+=，故扇形的圆心角为58=524ππ，故55 1.414 1.7675 1.76844AB=≈⨯=≈.故选：C.2．D【分析】根据对称性判断出说法不正确的选项.【详解】根据对称性可知：立春和立冬的晷长相同、立夏和立秋的晷长相同、春分和秋分的晷长相同；与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长（冬至晷长最大，夏至晷长最小）.所以说法错误的是D.故选：D【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，属于基础题.3．B【分析】根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为()5132，化为十进制数即可得出结果.【详解】由题意可知，孩子已经出生的天数的五进制数为()5132，化为十进制数为()251321535242=⨯+⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查五进制数化为十进制数，考查计算能力，属于基础题.4．D 【分析】求出整个折扇和只有扇骨处的面积，相减即得扇面的面积，代入几何概型概率公式即可得解.【详解】S 大扇形212aR =，S 小扇形212r α=，22294014949R r P R -∴==-=.故选：D.【点睛】本题考查了扇形的面积公式和几何概型，考查了计算能力，属于简单题.5．A 【分析】根据“干支纪年法”依次写出2011-2019年的“干支纪年”，得到结果.【详解】2011年是辛卯年，2012年是玉辰年，2013年是癸已年，2014年是甲午年，2015年是乙未年，2016年是丙申年，2017年是丁酉年，2018年是戊戌年，2019年是己亥年.故选：A 【点睛】本题考查新定义，重点考查读懂题意，列举法，属于基础题型.6．A 【分析】由题可得BC CE =，可得12CD CE =，设2CE =，1CD =-，即可由余弦定理求出cos36︒，再由诱导公式即可求出.【详解】由题意得在正五角星中，C ，D 为AB 的两个黄金分割点，易知BC CE =.。
专题11 立体几何专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()1,1,1−−B ．()1,1,1C ．()1,1,1−D ．()1,1,1−−−【答案】B【分析】由图写出点A 的坐标，然后再利用关于x 轴对称的点的性质写出对称点的坐标. 【详解】由图可知，点(1,1,1)A −−，所以点A 关于x 轴对称的点的坐标为(1,1,1). 故选：B.2．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径16cm AB =，圆柱体的高8cm BC =，圆锥体的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（ ）A ．2192πcmB ．2208πcmC ．2272πcmD ．2336πcm【答案】C【分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案. 【详解】圆柱、圆锥的底面半径为8cm ，10cm =，所以陀螺的表面积是22π82π88π810272πcm ⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故选：C3．（2022秋·安徽·高二合肥市第八中学校联考期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”A OBCD −中，E 为ACD 的重心，若AB a =，AC b =，AD c =，则BE =（ ）A ．1122a b c −++B ．1133a b c −++C ．2233a b c ++D ．1133a b c −+−【答案】B【分析】连接AE 并延长交CD 于点F ，则F 为CD 的中点，利用向量的加减运算得答案 【详解】连接AE 并延长交CD 于点F ，因为E 为ACD 的重心，则F 为CD 的中点，且23AE AF =()2211133233BE AE AB AF AB AC AD AB AC AD AB ∴=−=−=⨯+−=+− 1133a b c =−++.故选：B ．4．（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）榫卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．凸出的部分叫做榫（或叫榫头），凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）．现要在一个木头部件制作一个榫眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么制作成的榫眼的俯视图可以是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用排除法结合俯视图的定义和已知条件分析判断.【详解】法一：榫眼的形状和榫头一致，故榫眼的俯视图的轮廓线为虚线且从结果图可知榫眼应为通透的，排除AD；又C选项的结构左下方部分缺了一块，这与榫眼的结构不符，符合条件的只有B．法二：因榫眼的制作部件为长方体，所以，C，D不正确；又榫眼应为通透的，所以A不正确，所以符合条件的只有B．故选B．5．（2021秋·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A BCD −的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且2AB CD ==，1BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A ．30B ．2C ．D ．【答案】D【分析】由BC CD ⊥，AB ⊥底面BCD ，将三棱锥A BCD −放在长方体中，求出外接球的半径以及圆周率的值，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示：因为BC CD ⊥，AB ⊥底面BCD 1=，2AB CD ==， 所以将三棱锥A BCD −放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中， 三棱锥A BCD −的外接球即为该长方体的外接球，外接球的直径3AD ，利用张衡的结论可得2π5168=，则π=所以球O 的表面积为234π9π2⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D.6．（2021春·陕西榆林·高三校考阶段练习）“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（ ）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.2【答案】A【分析】玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，将圆柱侧面展开，线段AB 的长就是沿该圆柱表面由A 到B 的最短距离．【详解】本题考查传统文化与圆柱的侧面展开图.由题意，将玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看A 到B ，如图，将圆柱侧面展开，可知()min8.4AB =≈.故选：A ．7．（2022·全国·高一专题练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈10=尺）；若该圆锥的母线长x 尺，则x =（ ）A B C D【答案】C【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，从而利用勾股定理即可求出该圆锥的母线长. 【详解】易知三丈五尺=35尺，五丈一尺=51尺， 设圆锥的底面半径为r ，则235r π=，所以352r π=，所以x = 故选：C.8．（2021秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为40cm ，则该阿基米德多面体的表面积为（ ）A ．(24800cm +B ．(24800cm +C ．(23600cm +D ．(23600cm +【答案】A【分析】通过图形可知阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，分别求解正方形和等边三角形面积，加和即可.【详解】由题意知：阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，∴阿基米德多面体的表面积()221684800cm 2S =⨯+⨯⨯=+.故选：A.9．（2022秋·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考开学考试）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为4V V π=牟球，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即38V r V =−牟方盖差，从而计算出343V r π=球.如果记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V ，则:V V =方差盖（ ） A．2B ．1 CD．【答案】C【分析】计算出V 方盖差，V ，即可得出结论.【详解】由题意，3333114418833V r V r r r ππ=−=−⨯⨯⨯⨯=方盖差牟，所有棱长都为r的正四棱锥的体积为313V r r =⨯⨯=正，∴31r V V =方盖差正故选：C ．10．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A C BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB yAA z AC =++，则x y z ++=（ ）A ．32B ．23C ．1D ．34【答案】A【分析】利用空间向量运算求得正确答案. 【详解】()1111112222AG AM AN AA AC AB AA ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++， 所以13132442x y z ++=++=. 故选：A11．（2022秋·江西抚州·高二临川一中校考期中）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm ，上口直径约为28cm ，经测量可知圆台的高约为16cm ，圆柱的底面直径约为18cm ，则该组合体的体积约为（ ）（其中π的值取3）A ．11280cm 3B ．12380cm 3C ．12680cm 3D ．12280cm 3【答案】D【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 【详解】由题意得圆柱的高约为401624−=（cm ）， 则何尊的体积()222π14914916π924122803V V V =+=⨯++⨯⨯+⨯⨯≈圆柱圆台（cm 3） 故选：D ．12．（2022秋·安徽·高三校联考开学考试）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作， 其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）A B ．3πC ．D ．【答案】A【分析】根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解. 【详解】设圆锥底面半径为r ，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，圆锥高h r =，母线长l ，圆锥的侧面积为2πrl r ==，解得r =所以圆锥的体积为211ππ33r h ==.故选：A.13．（2022秋·青海西宁·高三统考期中）我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底､长方形足､器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm ，口长13.5cm ，口宽12cm ，底长12.5cm ，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm ，下部分看作台体，则其体积约为（ ）11.5≈，12.7≈）A ．37460.8cmB ．3871.3cmC ．31735.3cmD ．32774.9cm【答案】D.【详解】解：因为( 13V S S h =+上台下 (31162131.25162342.9cm 3=+⨯=， 3111628432cm 33V Sh ==⨯⨯=锥，所以32774.9cm V V V =+=台锥.故选：D14．（2022秋·湖北·高二校联考期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．23D ．34【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值． 【详解】图，设上底面圆心为1O ，连接1OO ，OC ，OB ，以O 为原点，分别以OC ，OB ，1OO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则()2,0,0C ，()0,4,0A ，()10,2,4B ，()14,0,4D ， 则()12,0,4CD =，()10,2,4AB =−， 1111114cos ,520CD AB CD AB CD AB ⋅===，又异面直线所成角的范围为π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，故异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为45．故选：A ．15．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）39.6,1L 1000cm ≈=，参考公式：(13V S S h 下上棱台=+⋅）A ．1.5LB ．2.4LC ．5.0LD ．7.1L【答案】B【分析】由勾股定理算出高h ，即可由公式求体积.【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为h ，则222222336711.591.752224h 骣骣琪琪琪=-=-==琪琪琪桫桫桫，故(223120112371.2cm 2.4L 3V 棱台=⨯+≈≈.故选：B16．（2022春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考阶段练习）波利亚在其论著中多次提到“你能用不同的方法推导出结果吗？”，“试着换一个角度探索下去……”.这都属于“算两次”的原理.另外，更广义上讲，“算两次”也是对同一个问题，用两种及其以上的方法解答出来，即对同一个问题解两次，得到相同的结果，体现殊途同归，一题多解.试解决下面的问题：四面体ABCD 中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的表面积为（ ）A ．7925πB ．7320πC ．6316πD ．4π【答案】C【分析】取CD 的中点E ，连接,AE BE ，取AB 的中点F ，连接EF ，即可得到CD ⊥平面ABE ，求出ABES，即可求出三棱锥的体积，设内切球O 的半径为R ，利用等体积法求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积；【详解】解：取CD 的中点E ，连接,AE BE ，取AB 的中点F ，连接EF ，由题意AE CD ⊥，BE CD ⊥，又,,AE BE E AE BE ⋂=⊂平面ABE ，∴CD ⊥平面ABE ，又6AB CD ==，其余棱长均为5，∴5,3==AD DE ，在Rt ADE △中，可得4AE =，同理可得4BE =，所以等腰三角形ABE 底边上的高==EF 162=⨯=△ABE S∴三棱锥ABCD 的体积13=⨯=△ABE V S CD .又1122=⨯⨯=△ACD S CD AE ，设内切球O 的半径为R ，三棱锥的体积1443−==⨯⨯⨯△O ACD ACD V V S R ，可得R =所以球的表面积为26363446416=⨯=R πππ. 故选：C.17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考开学考试）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积2S Rh π=．已知该灯笼的高为46cm ，圆柱的高为3cm ，圆柱的底面圆直径为30cm ，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）A ．22090cm πB ．22180cm πC ．22340cm πD ．22430cm π【答案】B【分析】由勾股定理求出R ，则205cm h R =−=，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积.【详解】由题意得222466=152R −⎛⎫− ⎪⎝⎭，得25cm R =，25205cm h =−=，所以两个球冠的表面积之和为224500cm S Rh ππ==， 灯笼中间球面的表面积为2245002000cm R πππ−=． 因为上下两个圆柱的侧面积之和为22303180cm ππ⨯⨯=， 所以围成该灯笼所需布料的面积为220001802180cm πππ+=． 故选：B.18．（2022秋·湖北武汉·粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为43π时，该裹蒸粽的高的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】A【分析】要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，内切球的半径为r ，根据球的体积求出r ，再根据等体积法求出h ；【详解】解：要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切， 设正四面体的棱长为a ，高为h ，内切球的半径为r ，则34433r ππ=，解得1r =， 如图正四面体S ABC −中，令D 为BC 的中点，1O 为底面三角形的中心，则1SO ⊥底面ABC所以11433S ABC ABCABCV Sh Sr −==⋅⋅，即44h r ==.故选：A19．（2023·全国·高三专题练习）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．(86+B ．(68+C ．(86+D ．(68+【答案】A【分析】补形出正方体，结合图形求出正方体棱长，然后直接求解可得.【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图，因为,2,2AD BD AB ADB π==∠=，所以2sin4AD π==故该正方体的棱长为2+且被截去的正三棱锥的底面边长为2，则该几何体的表面积为2116[(24828(622S =+−⨯+⨯⨯=+．故选：A20．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（ ）A ．B ．24+C ．24+D ．24+【答案】B【分析】计算出几何体每个面的面积，相加即可得解. 【详解】设几何体为EF ABCD −，如下图所示：矩形ABCD 的面积为2446=⨯，侧面为两个全等的等腰三角形ABE 、CDF ，两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE ， 设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ， 过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥，连接EM ，过点H 在平面ABCD 内作HN CD ⊥，连接FN ，FH ⊥平面ABCD ，HN 、CD ⊂平面ABCD ，FH CD ∴⊥，FH HN ⊥，HN CD ⊥，FHHN H =，CD \^平面FHN ，FN ⊂平面FHN ，FN CD ∴⊥，易知2FH =，2HN =，则在CDF 中，斜高为FN ===所以，12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知，梯形BCFE 的高为EM ==，所以，()12ADFE BCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此，该几何体的表面积为(24224+⨯=+ 故选：B.二、多选题21．（2021秋·重庆沙坪坝·高二重庆市天星桥中学校考阶段练习）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则（ ）A ．该玉琮的体积为3π184+(3cm ) B ．该玉琮的体积为7π274−(3cm ) C ．该玉琮的表面积为54π+(2cm ) D ．该玉琮的表面积为549π+(2cm )【答案】BD【分析】体积为圆筒体积（外圆柱减去内圆柱体积）加上正方体体积减去内切圆柱体积．组合体的表面包含下面几个部分：外圆柱侧面在正方体外面的部分，正方体上下两个底面去掉其内切圆的部分，圆筒的上下两个底面（两个圆环），正方体的4个侧面，内圆柱的侧面，面积相加可得．【详解】由图可知，组合体的体积222337ππ41333π327224V ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯−+⨯⨯−⨯⨯=−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(3cm ). 222333π1233π3342π12π4549π22S ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯−⨯+⨯⨯+⨯−+⨯=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2cm ).故选：BD ．22．（2022·全国·高三专题练习）“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为6cm 的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为3cm 2，高为6cm （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm 的半球的体积，则（ ） 4.44≈）A ．这两碗馅料最多可包三角粽35个B ．这两碗馅料最多可包三角粽36个C ．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D ．这两碗馅料最多可包竹筒粽 【答案】AC【分析】分别求出一个正四面体状的三角粽的体积，一个圆柱状竹筒粽得体积及两碗馅料得体积，即可得出答案.【详解】解：两碗馅料得体积为：331426288cm 23ππ⨯⨯⨯=，如图，在正四面体D ABC −中，CM 为AB 边上得中线，O 为三角形ABC 的中心，则OD 即为正四面体的高，6CM ==，23OC CM ==，OD ==，所以正四面体的体积为311632⨯⨯⨯=，即一个正四面体状的三角粽的体积为3，因为28835.52π÷≈，所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A 正确，B 错误；一个圆柱状竹筒粽得体积为233276cm 22ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，因为2728821.332ππ÷≈， 所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C 正确，D 错误. 故选：AC.23．（2022·全国·高三专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30︒锥的（ ）A ．底面边长为6米 BC ．侧面积为D ．体积为【答案】ACD【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案. 【详解】如图所示，在正四棱锥P ABCD −中，O 为正方形ABCD 的中心，且PH BC ⊥，设底面边长为2a ，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30︒，所以30PHO ∠=，则,,OH a OP PH ===，在直角PHC V 中，可得222HC PH PC +=，即22)21a +=，解得3a =， 所以正四棱锥P ABCD −的底面边长为6，所以A 正确； 因为PO ⊥平面ABCD ，所以PBO ∠为侧棱PB 与底面所成的角，在直角POB 中，可得cos7BO PBO PB ∠===，所以B 错误；正四棱锥P ABCD −的侧面积为1462S =⨯⨯⨯=C 正确；正四棱锥P ABCD −的侧体积为1663V =⨯⨯=D 正确.故选：ACD.24．（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为“鳖臑”.在鳖臑−P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，则（ ） A ． 0AB AC ⋅=可能成立 B ． 0BC AC ⋅=可能成立 C ． 0PA BC ⋅=一定成立 D ． 0BC AB ⋅=可能成立【答案】BCD【分析】利用线面垂直的判定与性质判断出线线是否垂直，即可判断对应的向量的数量积是否为0． 【详解】因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥，所以0PA BC ⋅=一定成立；故C 正确． 若90BAC ∠=︒，如图所示：则△ABC 为直角三角形，所以222BC AB AC =+.因为PA ⊥底面ABC ，所以,PA AC PA AB ⊥⊥,所以△PAB ,△PAC 均为直角三角形. 所以222PB AB PA =+,222PC PA AC =+.在△PBC 中，由222BC AB AC =+，222PB AB PA =+，222PC PA AC =+可知，三边不满足勾股定理，所以△PBC 不是直角三角形，三棱锥不是“鳖臑”.故A 错误． 由三棱锥是“鳖臑”可知：△ABC 为直角三角形.由上面的推理可知：90BAC ∠=︒不成立，则90ACB ∠=︒，或90ABC ∠=︒. 当90ACB ∠=︒时，AC CB ⊥.又PA BC ⊥，PA AC A ⋂=，且PA ⊂面PAC ，AC ⊂面PAC ，所以BC ⊥面PAC ，所以BC ⊥PC ，则90PCB ∠=︒，三棱锥是“鳖臑”；故B 正确． 同理可证：若90ABC ∠=︒，则90PBC ∠=︒，三棱锥是“鳖臑”；故D 正确． 故选：BCD25．（2022春·广东广州·高一广州科学城中学校考期中）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值可能为( )A B C D 【答案】AC【分析】首先设圆柱的高与半球的半径分别为h ，R ，酒杯的容积为V ，则222S R Rh ππ=+，再根据343V R π≤和0h >R ≤<. 【详解】设圆柱的高与半球的半径分别为h ，R ，酒杯的容积为V ，则222S R Rh ππ=+， 所以22S Rh R ππ=−， 所以323233224332323S S V R R h R R R R R R ππππππ⎛⎫=+=+−=−+≤ ⎪⎝⎭解得R ≥又0h >，所以202S R π−>，解得R <R < 故选：AC.26．（2022·海南·统考模拟预测）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）A ．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B ．该“十字贯穿体”的表面积是112−C ．该“十字贯穿体”的体积是483−D ．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路线长为43+【答案】BCD【分析】根据图形分别求出CD =，CE DE ==4个正方形和16个与梯形BDEF 全等的梯形组成，分别计算；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；分别计算按A C P M D B →→→→→路线和在表面内移动最短的路径长．【详解】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE 、DE则在梯形BDEF 中，可知3BD =2,3,BF EF DE BE ===设,DEF BEF αβ∠=∠=，则cos αβ==根据立体图可得CD =，CE DE ==222CE DE CD +≠即CE 、DE 不垂直，A 不正确；该“十字贯穿体”的表面积是由416个与梯形BDEF 全等的梯形组成则表面积44162112S =⨯+=−B 正确； 如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST ，取CS 的中点I则多面体CDGEST 可以分成8个全等三棱锥C GEI −，则1233C GEI V −==该“十字贯穿体”的体积即为2248483C GEI V V −=⨯−−=，C 正确；若按A C P M D B →→→→→路线，则路线长为(4312+=−若在表面内移动，则有：借助部分展开图，如图所示： ∵21cos cos 22cos 103FEN αα∠==−=−<，即FEN ∠为钝角，过B 作NE 的垂线BH ，垂足为H ，则BH 在展开图内()sin sin 2sin 2cos cos 2sin BEN αβαβαβ∠=−=−=+2sin 3BH BE BEN =∠=+根据对称可知此时最短路径为42123BH =+<−则从顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路径为43+D 正确；故选：BCD ．27．（2022·全国·高三专题练习）祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β距离为d 的平面截两个几何体得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立，若椭半球的短轴6AB =，长半轴5CD =，则下列结论正确的是（ ）A ．椭半球体的体积为30πB ．椭半球体的体积为15πC ．如果4CFFD =，以F 为球心的球在该椭半球内，那么当球F 体积最大时，该椭半球体挖去球F 后，体积为863π D ．如果4CFFD =，以F 为球心的球在该半球内，那么当球F 体积最大时，该椭半球体挖去球F 后，体积为29π 【答案】AC 【分析】由题可得12V V V V ==−圆柱圆锥椭球，可判断AB ，利用椭圆的性质可得球F 的最大半径为1，进而可判断CD.【详解】由题意知，短轴6AB =，长半轴5CD =的椭半球体的体积为22161655302232V V V V πππ⎛⎫⎛⎫==−⋅⋅−⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=圆柱圆锥椭球，∴A 正确，B 错误； 椭球的轴截面是椭圆，它的短半轴长为3，长半轴长为5，所以半焦距为4，由于4CF FD =，所以F 椭圆的焦点，因此FD 是椭圆的最小焦半径，即球F 的最大半径为1，该椭半球体挖去球F 后，体积为4863033πππ−=，故C 正确，D 错误. 故选：AC.三、填空题28．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，定义了三个特别重要而基本的多面体，它们是：（1）“堑堵”：两个底面为直角三角形的直棱柱；（2）“阳马”：底面为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；（3）“鳖臑（biēnào ）”：每个面都为直角三角形的四面体.魏晋时期的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“堑堵”都可以分割成一个“阳马”和一个“鳖臑”且“阳马”和“鳖臑”的体积比为定值.则此定值为______.【答案】2:1【分析】画出图形，在图形中分别表示出“阳马”和“鳖臑”的体积即可求解.【详解】如图所示，图为底面为直角三角形的直三棱柱“崭堵”，90ABC ∠=，若以111A B C △作为“鳖臑”的底面，则可选点A 或点C 作为顶点，我们选取点C 为例，连接11,B C A C ，则四面体111C A B C −满足条件，且棱锥11C AA B B −也满足“阳马”的条件，BC ⊥面11AA B B 且四边形11AA B B 为长方形，设1,,,AB c BC a AC b BB h ====，。
专题03 三角函数专题（数学文化）一、单选题1．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考开学考试）屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为2.4m ，内环弧长为0.6m ，径长（外环半径与内环半径之差）为0.9m ，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（ ）A ．21.20mB ．21.25mC ．21.35mD ．21.40m【答案】C【解析】设扇环的圆心角为α，内环半径为1r ，外环半径为2r ，根据题设可得210.9r r −=和()123r r α+=，从而可求扇环的面积.【详解】设扇环的圆心角为α，内环半径为1r ，外环半径为2r ，则210.9r r −=， 由题意可知，10.6r α=，2 2.4r α=，所以()123r r α+=， 所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为 ()()()222112211122S r r r r r r αα=−=+−2130.9 1.35m 2=⨯⨯=.故选：C.2．（2021秋·湖南娄底·高三校考阶段练习）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：已知甲､乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/秒，乙的速度为3步/秒，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇.甲､乙各走了多少步？（ ）A ．20，8B ．24，10C ．10.5，24.5D ．24.5，10.5【答案】D【分析】根据题目信息画出示意图，假设甲､乙相遇时经过时间为t 秒，每步走a 米，分别得到3AC ta =，10AB a =，(710)BC t a =−，再在直角三角形中利用勾股定理求解相遇时经过的时间，从而得到甲乙相遇时，甲､乙各走的步数.【详解】由题意，得到示意图如图所示，甲､乙从A 点出发，甲走到B 处后，又斜向北偏东某方向走了一段后与乙相遇，即在C 点相遇，假设甲､乙相遇时经过时间为t 秒，每步走a 米，则3AC ta =，10AB a =，(710)BC t a =−在Rt ABC 中，222AC AB BC +=, 即222(3)(10)[(710)]ta a t a +=−， 解得：72t =， 故甲走了49724.52t ==步，乙走了21310.52t ==步. 故选：D.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.3．（2021·河南许昌·校联考一模）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当物体横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，为ϕ两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长()91600nm 1nm 10m λ−==，测得某时刻频移()99.0101/h p f =⨯，则该时刻高铁的速度约等于（ ）A ．360km/hB ．340km/hC ．320km/hD ．300km/h【答案】A【分析】由已知函数关系知2sin pf v λϕ=，结合已知及示意图求出sin ϕ，代入求值即可. 【详解】由题设知：2sin pf v λϕ=，而sin ϕ=，则61.610m λ−=⨯，∴6951.610 3.610m/h0.0229.010v −⨯⨯==≈⨯⨯，即360km/h v ≈. 故选：A.4．（2021·全国·高三专题练习）音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如sin y A wx =的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图1,2,3三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（ ）A ．()0.06sin10000.02sin15000.01sin 3000f t t t t πππ=++B ．()0.06sin5000.02sin 20000.01sin300f t t t t πππ=++C ．()0.06sin10000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++D ．()0.06sin10000.02sin 25000.01sin3000f t t t t πππ=++ 【答案】C【分析】由图1求出A 、T 、ω的值，写出对应函数的解析式，再结合选项得出函数()f t 的解析式． 【详解】解：由图1知，0.06A =，211500500500T =−=， 所以21000Tπωπ==，所以0.06sin1000y t π=； 结合题意知，函数()0.06sin10000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++． 故选：C ．5．（2022春·陕西汉中·高一统考期中）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．2月5日，在北京冬奥会短道跑道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌，这也是中国代表团在本届冬奥会上赢得的首枚金牌．短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m ，直道长为28.85m ．若跑道内圈的周长等于半径为27.78m 的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取1753.42π=）（ ）A ．2πB ．53C ．2D ．23π 【答案】C【分析】先计算出跑道内圈的周长，利用扇形的弧长公式即可求得扇形的圆心角. 【详解】由题意得跑道内圈的周长为28.528.852111.12m π⨯+⨯=，所以该扇形的圆心角为111.12227.78227.78−⨯=．故选：C6．（2022·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积”：以斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里就有已知三边求三角形面积的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13，14，15，则该三角形田地的面积是（ ） A ．84 B ．168 C ．79 D ．63【答案】A【分析】根据“三斜求积”可得三角形面积公式为S = 【详解】解：依题意设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a b c ≥≥，则三角形面积公式为S =15a =，14b =，13c =，所以84S = 故选：A7．（2022·全国·高一假期作业）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（ ）A ．2tan18︒B ．12tan18︒C ．5πD ．5π 【答案】B【分析】设O 为内切圆的圆心，r 为内切圆的半径，根据正多边形的性质，可得36AOB ∠=︒，再根据锐角三角函数计算可得； 【详解】解：如图，设O 为内切圆的圆心，r 为内切圆的半径．正十边形的每个外角为3601036︒÷=︒，内角为18036144︒−︒=︒，所以1144722OBA ∠=⨯︒=︒，所以36AOB ∠=︒，1AB =，tan22AOB AB r∠=，得1tan182r ︒=，解得12tan18r =︒．故选：B ．8．（2022·全国·模拟预测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，这种证明方式优雅而直观.观察图形可知，阴影直角三角形的短直角边为()cos αβ+或cos cos sin sin αβαβ−，所以该图直观地反映了公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=−.通过观察图中阴影直角三角形长直角边和长方形的宽，可得公式（ ）A ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ−=+B ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ−=−C ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=−D ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ 【答案】D【分析】观察可知图中阴影直角三角形长直角边为()sin αβ+，长方形的宽为sin cos cos sin αβαβ+，由二者相等可得结果.【详解】图中阴影直角三角形长直角边为()sin αβ+，长方形的宽为sin cos cos sin αβαβ+， 显然二者相等，所以有()sin cos cos sin αβαβαβ+=+. 故选：D.9．（2022·吉林·统考模拟预测）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是2cos3y x =，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是sin()y A x ωϕ=+（其中0,0,02A ωϕπ>>≤<），则ϕ=（ ）A ．2πB ．πC ．32π D ．6π 【答案】C【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】由于抵消噪声，所以振幅没有改变，周期没有改变，即2A =，3ω=， 即2sin(3)y x ϕ=+，要想抵消噪声，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是2cos3y x =−， 即3π2π(Z)2k k ϕ=+∈， 因为0πϕ≤<2，所以令0k =，即3π2ϕ=， 故选：C10．（2022·高一课时练习）2021年1月7日，一个戴着红帽子，扎着红围脖，身材圆滚的大雪人在哈尔滨市友谊西路音乐公园内落成．这个用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人”，寓意着可爱祥和、喜庆丰收，每天约有3000人前来和大雪人合影打卡，已成为松花江畔冬天的新地标，这满满的冬日仪式感就是冰城独特的浪漫．小明同学为了估算大雪人的高度，在大雪人的正东方向找到一座建筑物AB ，高为13m 2，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A ，雪人头顶C 的仰角分别是15°和45°，在楼顶A 处测得雪人头顶C 的仰角为15°，则小明估算大雪人的高度为（ ） A． B ．13mC．D．【答案】A【分析】先根据题设画出示意图，利用三角变换公式可求雪人的高度. 【详解】根据题意可得如图所示的示意图：其中151530CAM ∠=︒+︒=︒，45CMD ∠=︒，15AMB ∠=︒故120AMC ∠=︒，所以30ACM ∠=︒，故132sin15sin15ABCM MA ===︒︒，又()1sin15sin 45302⎫︒=︒−︒==⎪⎪⎝⎭，故1326CM ==，故CD == 故选：A.11．（2023·全国·高三专题练习）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是710π，“弓”所在圆的半径为1.05米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为1.414≈1.732≈）（ ）A ．1.819米B ．1.485米C ．1.649米D ．1.945米【答案】AAOC ∠，根据2AB AC =可求得结果. 【详解】根据题意作图如下，由题意知：ADB 的长为710π，D 为ADB 的中点，7201.053AOC ππ∴∠==，22 1.05sin2.1 1.81932AB AC π∴==⨯=⨯≈，即所求距离约为1.819米. 故选：A.12．（2022春·北京丰台·高一统考期末）古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus ，约前417-前369）通过图⋅⋅⋅．记BAC α∠=，DAC β∠=，则()cos αβ+=（ ）A2BCD2【答案】B【分析】利用锐角三角函数求出cos α，sin α，cos β，sin β，再利用两角和的余弦公式计算可得；【详解】解：由图可知cos α=sin α=cos β=sin β== 所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=−==故选：B13．（2022·四川广安·统考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ<<的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α、β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()7tan 9αβ−=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍 A ．1 B ．23C ．52D ．72【答案】B【分析】由已知可得出tan 3α=，由已知条件结合两角差的正切公式可求得tan β的值，即可得解. 【详解】设第()1,2i i =次的“晷影长”是i l ，“表高”为i h ， 由题意可知11tan 3l h α==，又因为()7tan 9αβ−=，则()()()73tan tan 2029tan tan 71tan tan 303139ααββααβααβ−−−=−−====⎡⎤⎣⎦+−+⨯，故222tan 3l h β==. 故选：B.14．（2022·全国·高三专题练习）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ∠=︒，60DBC ∠=︒，14AB =米，则岳阳楼的高度CD 为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得ABD △为等腰三角形，故有14BD AB ==米，在Rt BCD 中，利用cos CD BD BDC =?求解即可.【详解】解：因为30DAC ∠=︒，60DBC ∠=︒， 所以30ADB ∠=︒， 所以ABD △为等腰三角形， 所以14BD AB ==米，在Rt BCD 中，906030BDC ∠=︒−︒=︒，所以cos 14cos30CD BD BDC =?窗=. 故选：B.15．（2022春·辽宁葫芦岛·高一统考期末）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45和60，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为（ ）A ．54mB ．47mC ．50mD ．44m【答案】A【分析】根据题意求得AM =AMC 中由正弦定理求出CM ，即可在直角CDM V 中求出CD . 【详解】由题可得在直角ABM 中，45AMB ∠=︒，36AB =，所以AM = 在AMC 中，180604575AMC ∠=︒−︒−︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒， 所以180756045ACM ∠=︒−︒−︒=︒，所以由正弦定理可得sin 45sin 60AM CM =︒︒，所以CM ==则在直角CDM V 中，sin 6054CD CM =⋅︒=，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故选：A.16．（2022·浙江·校联考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l 与太阳天顶距θ（0180θ︒≤<︒）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ−=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A ．1倍 B ．23C ．52倍D ．72倍【答案】A【分析】先由题意可得tan 3α=，再由正切的和差公式求得tan β，进而可得第二次 “晷影长”与“表高”的倍数关系.【详解】由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，tan 3α=，又()1tan 2αβ−=， 所以()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132ααββααβααβ−−−⎡⎤=−−===⎣⎦+−+⨯， 故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 故选：A.17．（2022·广西南宁·统考模拟预测）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈） A ．3.05 B ．3.10C ．3.11D ．3.14【答案】C【分析】根据24个等腰三角形的面积之和约等于圆的面积即可求解.【详解】设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形， 且顶角为3601524︒=︒， 所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152r r r ⨯=︒⨯⨯⨯︒，所以有2212sin15r r ︒=π，解得12sin15 3.11π=︒≈, 故选：C ．18．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”以上文字用公式表示就是S =其中a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，S 是△ABC 的面积，在△ABC 中，若3a =，5b =，6c =，则△ABC 的内切圆的面积为（ ） A ．7π2BC ．8π7D ．9π7【答案】C【分析】由内心性质得12ABCSlr =（l 为△ABC 周长），即可求出内切圆半径为r ，即可求内切圆的面积. 【详解】因为3a =，5b =，6c =，所以ABCS=== △ABC 的周长35614l =++=， 设△ABC 的内切圆半径为r ，由12ABCSlr =，解得r = 所以△ABC 的内切圆的面积为28ππ7r =． 故选：C ．19．（2021秋·辽宁营口·高三统考期末）勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形ABC 的边长为2，则勒洛三角形面积为（ ）A ．2π−B ．2πC ．43πD ．4π【答案】A【分析】根据题意，勒洛三角形面积为以2为半径的半圆的面积减去两个边长为2的正三角形的面积，再代入数据计算即可.【详解】根据题意，以正三角形三个顶点为圆心，以边长2 为半径形成的三个圆弧的构成了以2为半径的半圆，此时勒洛三角形面积为半圆的面积再减去两个正三角形的面积即可.所以勒洛三角形面积为21122222sin 60222ABC S S S ππ=−=⨯⨯−⨯⨯⨯⨯=−△半圆故选：A.【点睛】本题考查扇形的面积计算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，将问题转化为求以2为半径的半圆的面积减去两个边长为2的正三角形的面积.20．（2022·全国·高三专题练习）勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA 延长至D ）得到图2．在图2中，若5AD =，BD =D ，E ）A ．2B C ．1 D 【答案】C【分析】在BDE △中利用余弦定理可求出cos DBE ∠，则可得cos CBD ∠，再由锐角三角函数的定义可求出CB ，由勾股定理求出CD ，从而可求得答案【详解】连接DE ，由条件可得5BE AD ==，在BDE △中，由余弦定理得2222225cos2BD BE DEDBE BD BE+−+−∠===⋅ ∴()cos cos cosCBD DBE DBE π∠=−∠=−∠=，∴cos 3BC BD CBD =⋅∠=，9CD ==， ∴4CA =，所以弦图中小正方形的边长为1CA CB −=．故选：C21．（2022·福建漳州·统考三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G ，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P 处，从P 出发的光线经过镜面（点M 处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q 处，镜面绕M 点顺时针旋转a 角后，反射光线照射在刻度尺的点Q '处，若△PMQ 是正三角形．PQ a QQ b ='=，（如图3），则下列等式中成立的是（ ）A．tan α=B．tan α=C．tan 2α=D．tan 2α=【答案】C【分析】过点M 作MD PQ ⊥，则12DQ a b =+，2MD =，602MQ D α'∠=︒−，所以()tan 6022a b α︒−=+，即可求解tan 2α．【详解】过点M 作MD PQ ⊥，因为△PMQ 是正三角形．PQ a QQ b ='=， 则12DQ a b '=+，MD ，602MQ D α'∠=︒− 所以()2tan tan 6022MD MQ D a DQ b α'∠=︒−=='+则tan 60tan 21tan 60tan 22a b αα︒−==+︒⋅+，解得tan 2α=故选：C22．（2022·全国·高三专题练习）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形组成），如图（1）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边角形，设3DF AF =，若向三角形ABC 内随机投一粒芝麻（忽略该芝麻的大小），则芝麻落在阴影部分的概率为（ ）A ．79B ．34C ．56D ．37【答案】D【分析】根据几何概型的概率公式，求出DEF 和AFC △的面积，计算所求的概率值． 【详解】由题意，π3DFE ∠=，π2ππ33AFC ∴∠=−=，3DF AF =，4CF AF ∴=，由余弦定理可得2222π2cos3AC AF CF AF CF =+−⋅， 2221AC AF ∴=，∴22221πsin93231π217sin 23DEF ABCDF S AF SAF AC ===⋅， ∴芝麻落在阴影部分的概率为 37P =．故选：D ．23．（2022·河南郑州·统考三模）位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为14米，则表高（即AC 的长）约为（ ）（其中3tan 32.55︒≈，27tan 79.55︒≈）A ．9.27米B ．9.33米C ．9.45米D ．9.51米【答案】C【分析】根据题意,tan tan AC ACBC CD ABC ADC∠=∠=，14BC CD −=，进而代入数据求解即可.【详解】解：如图，32.579.5,1,4AD DB C C AB ∠∠===， 设表高AC h =，则由题知，tan ,tan AC ACABC BC C ADC D∠=∠=， 所以,tan tan AC ACBC CD ABC ADC∠=∠=，因为3tan 32.55︒≈，27tan 79.55︒≈，14=DB ，所以5514327h h −=，解得27189149.454020h =⨯==， 所以，表高（即AC 的长）约为9.45米. 故选：C24．（2022秋·河南郑州·高三统考开学考试）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18表示．若实数n 满足224sin 184n +=，则221sin184sin 18n −的值为（ ） A ．4 B ．14C ．2D ．12【答案】D【分析】先由平方关系得2214cos 8n =，再由倍角公式化简得()221sin181sin184sin 1821cos72n −−=−，最后由诱导公式求解即可.【详解】由题意知，222o 44sin 18184c s n ==−，则()()2222221sin181sin181sin181sin181sin184sin 1816cos 18sin 184sin 21cos 7242cos18sin1386n −−−−−====−⋅， 又()cos 72cos 9018sin18=−=，则221sin1814sin 182n −=. 故选：D.25．（2022·高一课时练习）数学家傅里叶关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声等都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，对应的函数解析式是()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π，则（ ）A ．3ω=，6πϕ= B ．6ω=，3πϕ=C ．3ω=，4πϕ=D ．6ω=，56πϕ=【答案】C【分析】由图象求得函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，然后代入点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭可求得ϕ的值. 【详解】由图象可知，函数()f x 的最小正周期为1172212123T πππ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭， 则23Tπω==，所以()sin(3)f x A x ϕ=+． 因为77sin 0124f A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()f x 在712x π=附近单调递增，所以724k πϕπ+=()k ∈Z ，则724k πϕπ=−()k ∈Z ， 因为0ϕπ<<，所以4πϕ=．故选：C ．26．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考开学考试）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在农业生产中得到使用 (图 1)， 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 (图 2).现有一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向每分钟旋转 1 圈，筒车的轴心距离水面的高度为 2 米， 设筒车上的某个盛水筒 P 到水面的距离为 d (单位: 米) (在水面下则 d 为负数)， 若以盛水筒 P 刚浮出水面为初始时刻， 经过 t 秒后， 下列命题正确的是（ ）(参考数据: 2cos483≈︒)①23sin 30πθ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭d t ， 其中2sin 3θ=， 且 02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，②23sin 30πθ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭d t ， 其中2sin 3θ=， 且 02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，③当 38t ≈ 时， 盛水筒P 再次进入水中， ④当 22t ≈ 时， 盛水筒P 到达最高点. A ．①③ B ．②③C ．②④D ．①④【答案】C【分析】根据题意作出示意图，如图所示，其中O 为筒车的轴心的位置，AC 为水面，过O 作OD AC ⊥于点D ，P 为筒车经过t 秒后的位置，连接OP ，过P 作PB OD ⊥于点B ，首先根据已知条件求出ω，进而得出sin 30t OB OP πθ⎛⎫=⋅− ⎪⎝⎭，2d OB =-，即可判断①②，将38t =代入求得的解析式可判断③，将22t =代入求得的解析式可判断④.【详解】根据题意作出示意图，如图所示，其中O 为筒车的轴心的位置，AC 为水面，过O 作OD AC ⊥于点D ，P 为筒车经过t 秒后的位置，连接OP ，过P 作PB OD ⊥于点B ，筒车的角速度为226030T πππω===rad/s ， 由题意可知2sin sin 3OD OAC OA θ∠===，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 所以sin sin 30t OB OPB OP πθ⎛⎫∠=−=⎪⎝⎭, 所以sin 30t OB OP πθ⎛⎫=⋅− ⎪⎝⎭，因为2d OB =-，所以23sin 2sin 3030t t d ππθθ⎛⎫⎛⎫=−−=+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2sin 3θ=， 且 02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以①错误，②正确，对于③，当38t =时，381804830p =??，sin 483︒≈，sin 3θ=，所以()()52sin 4823sin 48cos cos 48sin 3d θθθ=+︒−=−︒−︒=，故盛水筒P 没有进入水中，所以③错误，对于④，当22t =时，22904230p =??，2sin 42cos 483︒=︒=，即42θ=?，所以()2cos 4223cos05d θ=+︒−=+︒=，所以盛水筒P 到达最高点，所以④正确，故选：C27．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ−为角θ的正矢，记作versin θ；定义1sin θ−为角θ的余矢，记作covers θ.给出下列结论：①函数()ver sin covers f x x x =−在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；②若covers 12ver sin 1x x −=−，则2ver sin 2covers215x x −−=；③若()ver sin covers g x x x =⋅，则()g x 的最小值为0；④若()ver sin 2covers h x x x =−，则()h x 的最小值为98−.其中所有正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①③④D ．②③④【答案】D【分析】利用定义性函数和三角函数关系式的变换判断各选项即可得到结论.【详解】因为()ver sin covers sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=−=−=− ⎪⎝⎭，所以()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故①错误；因为covers 1sin tan 2ver sin 1cos x x x x x−−===−−，所以2ver sin 2covers211cos 2sin 22cos 2sin cos x x x x x x x −−=−−+=−+22222cos 2sin cos 22tan 2sin cos tan 15x x x x x x x −+−+===++，故②正确；()()()()versin covers 1cos 1sin 1sin cos sin cos g x x x x x x x x x =⋅=−−=−++，令sin cos x x t ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t x x −=，所以()()22111222t m t t t =−+=−，所以()()min 10g x m ==，故③正确；因为()2219ver sin 2covers cos 2sin 2sin sin 12sin 48h x x x x x x x x ⎛⎫=−=−+=+−=+− ⎪⎝⎭，所以()min 98h x =−，故④正确.故选：D.28．（2022秋·广东肇庆·高三统考阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若6AF =，BF =G ，F 两点间的距离为“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）A ．9B ．4C ．3D ．8【答案】B【分析】先在BFG 中，利用余弦定理求解cosEBF ∠=BEF △中结合勾股定理求解,BE EF ，继而分析即得解.【详解】由条件可得6BG AF ==.在BFG 中，由余弦定理得222cos2BG BF GF GBF BG BF +−∠==⋅∴cosEBF ∠∴cos 4BE BF EBF =⋅∠=，12EF ==， ∴6EA =，∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为2EA BE −=， ∴面积为4. 故选：B29．（2022·上海嘉定·统考一模）中国古代数学家用圆内接正6n 边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率π的值.若据此证明π 3.14>，则正整数n 至少等于（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】先求出圆内接正6n 边形的周长，与直径之比与3.14进行比较即可.【详解】如图，圆内接6n 边形，122ππ,63AOA B n n∠==为12AOA 中点，半径为1211ππ,22sin 2sin ,12sin 66r A A A B r AOB r C nr n n∴==∠=∴=， 圆周率π12sinπ6π6sin 26nr n n r n≈=，由计算器可得：10.n ≥ 故选：C二、多选题30．（2021秋·山东临沂·高一临沂第四中学校考期末）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为1S ，圆心角为1α，天坛中剩余部分扇形的面积为2S ，圆心角为2α，()12αα<当1S 与2S0.618≈时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（ ）A ．1137.5α︒≈B ．1127.5α︒≈C．21)απ=− D．12αα=【答案】ACD【分析】理解题意，根据扇形的面积公式化简，对选项依次判断【详解】设天坛的圆形的半径为R，由211122221212R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，所以22122ααπ+=，解得21)απ=−，故C 正确；0.618≈1 1.236≈，所以21) 1.236180222.5απ︒︒=≈⨯≈， 所以1360222.5137.5α︒︒︒≈−=，故A 正确，B 错误．故选：ACD31．（2020秋·福建福州·高三福建省福州华侨中学校考阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.若选用一个三角函数()f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ）A ．() 2.5cos 56x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【答案】BCD【分析】依据题中所给表格，写出()f x 的表达式而判断选项A ，B ；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C ，D.【详解】依据表格中数据知，可设函数为()sin f x A x k ω=+， 由已知数据求得 2.5A =，5k =，周期12T =，所以26T ππω==﹐ 所以有() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A 错误；选项B 正确；。
2020年4月22日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B【解析】【分析】 由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率．【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．《算法统宗》是中国古代数学名着，由明代数学家程大位编着，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名着，在这部着作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A．8岁B．11岁C．20岁D．35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为a1，则a9=9a1+9×8×3=207，解得a1=11．2故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝1，CD＝2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（）A．B C．D．24π3【答案】B【解析】【分析】由题意易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,根据长方体体对角线等于外接球直径,利用公式计算即可.易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,故画出如图所示鳖臑.设长方体体对角线即外接球直径为D 则22221126D =++= ,故外接球体积31166V D π===. 故选：B【点睛】本题主要考查了长方体中三棱锥的外接球问题,注意体对角线等于外接球直径即可.属于基础题型.4．《九章算术》是我国古代数学名着，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A ．1+B ．1+C ．2D ．2+由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。
【详解】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱1AD =，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA PC ==，∴四棱锥的表面积为1122121121222SAD SAB ABCD S S SS =++=+⨯⨯⨯+⨯⨯=底面 故选C【点睛】 本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．5．《九章算术》中记载了一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（ ）立方寸.（ 3.14π≈）由三视图可得，该几何体是一个圆柱和一个长方体组成的几何体，该几何体的体积为：()21 1.6 5.4 1.63112.6562V π⎛⎫=⨯⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭. 6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．6+【答案】D【解析】【分析】 根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ．【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．3B C ． D ．2【答案】D【解析】【分析】 先将三视图还原成直观图，然后利用体积公式计算即可.【详解】的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，如图：故体积为1222V ==. 故选：D.【点睛】 本题考查由几何体的三视图求体积的问题，解题关键是正确将三视图还原成直观图，属于常考题.8．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部着作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（ ）A ．18种B ．24种C ．30种D ．36种【解析】分析：先不考虑限制条件，则共有2343C A 种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可.详解：先不考虑限制条件，则共有234336C A =种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有22326C A =种方法； 甲分到2本（包括《周髀算经》），此时共有326A =种方法，则分配方法共有366624--=种.点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题9． 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中46寸表示115寸146分（1寸=10分）.已知《易经》中记录的冬至晷影长为寸，夏至晷影长为寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．寸B ．寸C ．寸D ．寸【答案】C【解析】 设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1130.0a =，1314.8a =，则130.01214.8d +=，解得9.6d =-，∴6130.09.6582.0a =-⨯=，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸，故选C.春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度（ ）A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺 【答案】A【解析】【分析】先设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，根据题意有14713931.5a a a a d ++=+=，9193685.5S a d =+=，然后由两式求解.【详解】设等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，根据题意得14713931.5a a a a d ++=+=，9193685.5S a d =+=，解得113.5,1a d ==-，所以918 5.5a a d =+=.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A ．120B ．260C ．340D ．420【答案】D【解析】由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5431354322180240420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=故选D12．如图，是三世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图.它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽.正方形ABCD内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形（阴影部分）的概率是（）A．14B．125C．34D．2425【答案】B【解析】【分析】根据题干可设小方格的边长为1，进而得到三角形的边长和正方形的边长，再根据几何概型的面积公式得到结果.【详解】根据条件可设小方格的边长为1，则三角形的边长为3和4，由勾股定理得到正方形的边长为5，最中间的小正方形的边长为1，面积为1，故根据几何概型中的面积型的公式得到概率为1=.25 SS小正方形大正方形故答案为：B.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．二、填空题13．“方锥”，在《九章算术》卷商功中解释为正四棱锥.现有“方锥”S ABCD -，其中4AB =，SA 与平面ABCD ，则此“方锥”的外接球表面积为________. 【答案】2899π 【解析】【分析】如图所示，连接AC ，BD 相交于O ，连接SO ，计算得到3SO =，在Rt O OA '∆中，利用勾股定理计算半径176R =，代入球的表面积公式得到答案. 【详解】如图所示：连接AC ，BD 相交于O ，连接SO ，故SO ⊥平面ABCD则tan 4SO SAO AO ∠==，解得3SO = 易知四棱锥S ABCD -的外接球球心O '在直线SO 上设外接球半径为R ，则在Rt O OA '中，222(3)R R -+=，解得176R =， 故所求外接球表面积228928944369S R πππ==⨯=. 故答案为：2899π【点睛】14．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1AP=AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连结EF ，当AEF ∆的面积最大时，tan BPC ∠=__________.【答案】2【解析】 【分析】利用PA ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面PAB ，进而可以证明出BC AE ⊥，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明AE ⊥平面PBC ，因此可以证明出AE PC ⊥，最后利用线面垂直定理证明出PC ⊥平面AEF ，因此得到AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点. 解法1：设AB x =，BC y =，利用三角形面积公式可以求出AE 的长，在利用PFE PBC ∆∆∽，求出EF 的长，最后求出AEF ∆的面积表达式，利用换元法和配方法求出AEF ∆面积平方的最大值，最后求出tan BPC ∠的值； 解法2：设BPC θ∠=，求出EF 、BC 、PB 、AB 的大小，再求出AE 的大小，最后求出AEF S ∆表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出tan BPC ∠的值. 【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AE ⊥，又PB AE ⊥， 所以AE ⊥平面PBC ，所以AE PC ⊥，又AF PC ⊥，所以PC ⊥平面AEF ，综上AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点. 解法1：设AB x =，BC y =，则221x y +=，又1AP=AC =，则AE =，又PFE PBC ∆∆∽，可得EF =，所以12AEF S EF AE ∆=⋅⋅=，所以()()()22222222218181x x x y S x x -==++，令21x t +=，则222222(1)(2)32123113118884464t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫⎛⎫===-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当134t =时即213x =，223y =，()max 18AEF S ∆=，此时tan 2BC BPC PB ∠===，故填2. 解法2.设BPC θ∠=，则tan 2EF PF θ==，所以tan 2EF θ=.又BC θ=，PB θ=，所以AB =，所以PA AB AE PB ⋅==所以11tan 222AEFS EF AE θ∆=⋅⋅==221tan 1tan 1428θθ+-==≤⋅= 当且仅当22tan 1tan θθ=-即tan θ=.故答案为：2【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，平面四边形ABCD 中，1AB CD ==，BD BD CD =⊥,将其沿对角线BD 折成一个鳌臑A BCD '-，则该鳌臑内切球的半径为__________．【答案】12【解析】 【分析】结合几何体的内切球的特点，把几何体分割为四个小几何体，小几何体的体积之和等于大几何体的体积. 【详解】因'1A D CD ==，且'A CD ∆为直角三角形，所以'CD A D ⊥，又,'CD BD BD A D D ⊥⋂=，所以CD ⊥平面'A BD ，所以'CD A B ⊥.又由''1,A B A D BD ===得''A B A D ⊥所以'A B ⊥平面'A CD ，所以''A B A C ⊥，易得'A C =r ，则()'''13A BC A CD A BD BCD S SSS+++'13A BDr CD S =⋅.即1111113222232r ⎛+++=⨯⨯⎝⎭，解得1.2r = 【点睛】本题主要考查数学文化，空间几何体与球的相切问题，考查空间想象能力.16．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a =_______．【答案】 7 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出a 的值. 【详解】由程序框图可知：9863a b =>=，359863,286335a b ∴←=-←=-， 73528,21287a b ∴←=-←=-， 14217,72114a b ←=-←=-，7147a ←=-，则7a b ==，因此输出的a 为7，故答案为7.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 17．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a 等于_______.【答案】2 【解析】由a =14，b =18，a <b ， 则b 变为18?14=4， 由a >b ，则a 变为14?4=10， 由a >b ，则a 变为10?4=6， 由a >b ，则a 变为6?4=2， 由a <b ，则b 变为4?2=2， 由a =b =2， 则输出的a =2.18．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为__________．【答案】3π 【解析】【分析】利用四个面都是直角三角形，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，将三棱锥补成以,,AB BD CD 为棱的正方体，则此鳖儒的外接球即为边长为1的正方体的外接球，即可求解. 【详解】根据题意，将鳖儒ABCD 补成以,,AB BD CD 为棱的正方体，边长为1的正方体的外接球半径为2，其表面积为3π. 故答案为:3π 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，运用割补法转化为特殊图形的外接球的表面积，属于基础题.19．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分(1寸=10分).已知《易经》中记录的冬至晷影长为寸，夏至晷影长为寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为_________寸. 【答案】82 【解析】设《易经》中二十四节气晷影长为等差数列{a n }，公差为d ，a 1=130，a 13=,则d=14.81309.6131-=--，所以惊蛰晷影长为a6=a1+5d=82.20．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.【答案】420【解析】【分析】分成1,2,3号区间用2种颜色和3种颜色两种情况，分别计算涂色方案种数，再根据加法原理求得结果.【详解】将区域标注数字序号如下图：当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时共有涂色方法：211533180A C C=种当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：311522240A C C=种则不同的涂色方案总数为：180240420+=种本题正确结果：420【点睛】本题考查排列组合问题中的涂色问题，解决涂色问题的关键是能够找到“中轴线”，根据“中轴线”的颜色数量确定剩余区域的可选颜色数量；也可以根据对称区间同异色来进行讨论.21．《周髀算经》是我国最古老的天文学与数学着作，书中讨论了测量“日高”（太阳高度）的方法.大意为：“在,A B 两处立表（古代测望用的杆子，即“髀”），设表高均为h ，测得表距为d ，两表日影长度差为()0εε>，则可测算出日高”由所学知识知，日高H =__________．（用,h d 表示）【答案】()h d εε+【解析】 【分析】如图，由题意可知AD BC h ==，AB d =，设EF H =，AE x =，1AA y =则1BB y ε=+，由题可知11A AD A EF ∆∆∽且11B BC B EF ∆∆∽，利用三角形相似得到边的比例关系，再化简即可得到. 【详解】解：如图，由题意可知AD BC h ==，AB d =， 设EF H =，AE x =，1AA y =则1BB y ε=+ 由题可知11A AD A EF ∆∆∽且11B BC B EF ∆∆∽11A E EF AD A A ∴=，11B EEF BC B B= 即H x y h y +=，H x y d h y εε+++=+ 即()Hy h x y =+①，()()()()H y h x y d h x y h d εεε+=+++=+++②， ②减①得()H h d εε=+()h d H εε+∴=故答案为：()h d εε+【点睛】本题考查解三角形的应用，题目新颖，属于难题.三、解答题22．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，1AC AA ==60ABC ∠=︒．(1)证明：三棱柱111ABC A B C -是堑堵； (2)求二面角1A A C B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】(1)根据条件由正弦定理可求30ACB ︒∠=，从而可证明90BAC ︒∠=，可得证.（2）建立空间坐标系，用向量法求解二面角的余弦值即可. 【详解】(1)在ABC ∆中，1AB =，AC =60ABC ︒∠=，由正弦定理得sin sin AC ABABC ACB=∠∠ ,即1sin 2ACB ∠== , 因为在ABC 中，AB AC <则ABC ACB ∠>∠,30ACB ︒∠=，所以90BAC ︒∠=，即BA AC ⊥．又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱. 所以三棱柱111ABC A B C -是堑堵．(2)以点A 为坐标原点，以AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(1,0,0)B，C，1A ．于是(1,0,0)AB =，1(0,AC =，(BC =-． 设平面1A BC 的一个法向量是(,,)n x y z =，则由10,0,n AC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0,0.x =-+=⎪⎩ 所以可取(3,1,1)n =．又可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的一个法向量， 所以15cos ,||||n m n m n m ⋅〈〉==． 所以二面角1A A C B --的余弦值为5．【点睛】本题主要考查二面角的求法，同时考查数学文化．本题还可以由二面角的平面角的定义作出平面角直接求解,属于中档题.。
