高等数学习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).

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高数线面积分

则下面的四个命题等价：
10 沿D内任何一闭路L上的积分为零，即 Pdx Qdy 0 ;
L
20 曲线积分 Pdx Qdy与路径无关，只与起点 A与终点B有关;
L( AB )
30 P Q 在D内恒成立； y x
40 在D内存在二元函数 u( x, y),使du Pdx Qdy .
.
等价的意义是：若其中一个成立，另外三个也成立。
I a 2 x 2 y 2 dxdy a 2 x 2 y 2 (dxdy)
.
.
Dxy
Dxy
.
2
a 2 x 2 y 2 dxdy 2
2π
d
a
a 2 r 2 rdr
4π a3
.
Dxy
0
0
3
二4 ：球面 x 2 y 2 z 2 a 2的外侧表面，Dxy为xOy平面上的圆域：
一型：对面积
二型：对坐标
三重积分
高斯公式
1. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲线积分的比较
曲线积分标准形式物理意义
计算方法
相似处
不同处
第一型 (对弧长)
第二型 (对坐标)
f ( x, y)ds
L
f ( x, y, z)ds
L
L指曲线
⌒
AB
当 f ( x, y) 0,
f ( x, y)ds表示
L
线密度为 f ( x,
y)的曲线型构
件的质量 M .
设曲线
L： x y
φ(t) (t)
t
1.都是化曲线积分为定积分计算。
Pdx Qdy W Pdx Qdy 2.都要把曲线表示式 L
L
Pdx Qdy Rdz
表示力F P,Q

高等数学B(上)(山东联盟)知到章节答案智慧树2023年青岛理工大学

高等数学B（上）（山东联盟）知到章节测试答案智慧树2023年最新青岛理工大学
第一章测试
1.
参考答案:
周期函数
2.
参考答案:
3.
参考答案:
对
4.
参考答案:
5.
参考答案:
-4
第二章测试1.
参考答案:
2.
参考答案:
不一定可导
3.
参考答案:
4.
参考答案:
5.
参考答案:
充分必要条件第三章测试
1.
参考答案:
2
2.
参考答案:
3.
参考答案:
4.
参考答案:
5.
参考答案:
既非充分也非必要条件
第四章测试
1.
参考答案:
2.
参考答案:
错
3.
参考答案:
对
4.
参考答案:
对
5.
参考答案:
错
第五章测试
1.
参考答案:
恒为零
2.
参考答案:
3.
参考答案:
对
4.
参考答案:
错
5.
参考答案: 错。

第11章曲线积分与曲面积分习题解答(开放课程)

d
L
02
2
1 a2

cos
d

2
cos
d

2 0 2

2

1 2
a
2

2
sin
2
0
2sin 2
2

2a 2
3．计算 x2 y 2 ds ，其中 L 为曲线 x acos t t sin t ，y asin t t cos t， L
解：
xydx
1
y2 y
y2
dy

2
1 y 4dy 21 y 5 1
4.
L
1
1
5 1 5
8. 计算 x3dx 3zy 2dy x 2 ydz ，其中 L 是从点 A3,2,1 到点 B0,0,0的直线 L
段 AB 。
解：直线段 AB 的方程为 x y z ，化成参数方程为 x 3t ， y 2t ， z t ， 321

1x 0

1

x
2dx
2。
2．计算 x 2 y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 y 2 ax 。 L
解：
L
的参数方程为
x

y

1 2 1 2
a cos a sin

1 2
a
， 0

2

则 x 2 y 2 1 a cos 1 a2 1 a sin 1 | a | 21 cos
0
ex
|0a
e

青岛理工大学线性代数练习册答案

第一章n 阶行列式1.求下列各排列的逆序数：(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 （11;17;2)1(-n n ;)1(-n n ） 2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .3.计算下列各阶行列式：(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b0a 0 (3)efcf bf de cd bdaeac ab --- [2000; 0; 4abcdef]4. 设xx x x x D 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .5 求二次多项式()x f ，使得()61=-f ，()21=f ，()32=f解设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下： 06124111111≠-=-=D ，61231121161-=-=D ，121341211612==D ，183242116113-=-=D 所以 11==D D a ，22-==D D b ，33==DD c故()322+-=x x x f 为所求。

行列式的性质；克拉默法则1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). （A ）- （B ）+ （C ）n)1(- （D ）1)1(--n2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，求333231312322212113121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4--- [-12] 3. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++ [-1] 4. 计算行列式383326229432231---- [-50] 5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）(1)a11a,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0; [2--n naa ](2) aa a a x a a a x ; [1)(--n a x a ](3)n1n 321a xxxxx a x x x x xa xxx x x a xx x x x a- [利用递推公式来求]递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x Dn D =)1)(())((2121xa xx a x x a x x a x a x a n n -++-+-+--- (4) n2222232222222221[)!2(-n ](5)β+ααββ+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1000000100001000010000[n n n n βαββαα++++--11 ] 6.问λ，μ取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0x x 2x 0x x x 0x x x 321321321有非零解？ [0;1==μλ]求每类商品的销售利润率。

青岛理工大学2011级高等数学(上)B试题及答案

一、选择题：每题2分，共10分注意：请将答案填入下表，否则不给分。

1．“当0x x →时，A x f -)(是无穷小”是A x f x x =→)(lim 0的（）。

A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2．若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000=（）。

A. )(0x f '-B.)(0x f 'C. )(20x f 'D.)(20x f '- 3．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，0)(<'x f ，又0)(<a f ，则（）。

A.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f >0B.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f <0C.)(x f 在],[b a 上单减且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单增，但)(b f 的符号无法确定 4．下列反常积分发散的是（）。

A.⎰1xdx B.⎰-112x dx C.⎰+∞-0dx xe xD.⎰+∞∞-+21x dx 5．如函数y=(C 1+C 2x)e 2x，满足初始条件： y|x=0=0， y '|x=0=1，则C 1,C 2的值为（）。

A. C 1=0，C 2=1 B. C 1=1，C 2=0 C. C 1=π，C 2=0 D. C 1=0，C 2=π 二、填空题：每题2分，共10分注意：请将答案填入下表，否则不给分。

1．极限⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x 7sin 3sinlim =_______________。

2．设x x f arctan )(=，则)0(f ''=_____________。

3．反常积分⎰+∞∞-++222x x dx=___________________。

高等数学习题册解答_7.微分方程(青岛理工大学)

1 (u 1) u 1
2
2u 1
4
班级
姓名
学号
成绩：
2u 1 du 4dx u
2u-lnu=4x+C 2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C
§4 一阶线性微分方程 1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy 的通解是（）
A.
y
1 1
y2
1
3
y3
C
B.
x
1 1
y2
1
3
y3
du dx 1 u2 x
ln u 1 u2 ln x ln C
u 1 u2 Cx
y
1
y
2
Cx
x
x
y x2 y2 Cx2
将 y|x=1=0 代入的特解为 y x2 y2 x2 或 y 1 x2 1 22
7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在 x 轴上的截距解：设曲线上任一点 P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y(X-x)
又 x2 y2 x y y
2
得
x y
1 x dx , y dy
令u x y
整理得： y du 1 u2 dy
解得： ln u 1 u2 ln y C
得通解 x x2 y2 C
六、求 y x 2y 1 的解。 2x 4y 1
解：令 u=x+2y，则 u=1+2y'
§5 全微分方程
1.下面方程中不是全微分方程的是（） A. (3x2+6xy2）+(6x2y+4y2)dy=0 B. eydx+(xey-2y)dy=0

高等数学基础习题集(含答案)

【详解】①原式= lim
x 0
x2 x2 1 =2 ；②原式= lim 2 = ； x 0 2x 1 2 2 x 2 x sin x = lim x 0 x3 x (x 1 3 x + (x 3 )) 1 3! = 3 x 6
③原式= lim
x 0
6、求下列极限
2 x x 1 ) ① lim( x 1 x 1
x a
子也以 0 为极限，故 lim f ( x) f (a) 0 ，所以 lim f ( x) 存在，为 f (a) .
1 2 ex sin x 8、极限 lim 2 x 0 1 e x ln(1 x)
.
4
高等数学基础练习题
【解题思路】因为中间变量出现了
2019 考研高等数学基础习题集答案详解
目
第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章第九章第十章
录
函数、极限、连续............................................................................................................ 3 导数与微分........................................................................................................................ 9 中值定理及导数应用...................................................................................................... 14 不定积分.......................................................................................................................... 24 定积分及其应用.............................................................................................................. 29 常微分方程...................................................................................................................... 37 向量代数和空间解析几何（数一）..............................................................................47 多元函数微分学.............................................................................................................. 52 多元函数积分学.............................................................................................................. 60 无穷级数（数一、三）.................................................................................................. 71

第十一章线面积分（何涛一）

一基本要求1. 理解两类线面积分的概念，掌握两类线面积分的性质。

2. 掌握两类线积分以及两类面积分之间的联系和区别，会计算两类线面积分。

3. 熟练掌握格林（Green）公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件。

4. 熟练掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，会计算空间曲线积分5. 会用两类线面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积，弧长，质量，重心，转动惯量，功等）。

6. 了解散度，旋度以及场论的概念及其计算方法.二学习指导【11-1】第一型曲线积分的要点是什么？答第一型曲线积分是关于曲线弧长的积分（22)()(dy dx ds +=），计算时应根据不同的曲线方程变换相应的，转换成定积分. ds 【11-2】关于第一型曲线积分的对称性.1.设L 为光滑曲线，且关于轴对称，为曲线y 1L L 位于轴右侧的弧段，在y (,)f x y L 上的连续，则10(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩∫∫为的奇函数为的偶函数2. 设L 为光滑曲线，L 的方程关于y x ,具有轮换性，为(,)f x y L 上的连续函数，则(,)(,)LLf x y ds f y x ds =∫∫，3. 设为光滑的空间曲线，ΓΓ的方程关于z y x ,,具有轮换性，为上的连续函数，则（f Γ∫∫∫ΓΓΓ==ds z f ds y f ds x f )()()(222)()()(dz dy dx ds ++=）4.当被积函数1),(=y x f 时，（弧长计算公式）∫=LLds ds y x f ),(∫……………………………………………………………………………… 【11-3】第二型曲线积分的主要计算方法.(1) 将曲线方程（直角坐标，参数方程，极坐标方程）代入后化定积分计算. (2) 用格林（Green）公式化二重积分计算. (3) 用平面曲线积分与路径无关的条件计算.………………………………………………………………………………………… 【11-4】第一型曲面积分的要点是什么？计算应注意什么？答第一型曲面积分是关于曲面面积的积分。

高等数学基础习题集(含答案)

sin x
,则 f ( x ) 是（
）（C）周期函数（D）单调函数
（B）无界函数
【解题思路】把函数看成三个分函数，该指数函数无奇偶性， x 为非周期函数， tan x 无严格单调性. 【详解】 f ( x ) x tan x e
sin x
中， tan x 无界，另负无穷到正无穷都能取到，故整体无界.
n
7、已知极限 lim
x a
f ( x) f (a) 存在，则 lim f ( x) 是否存在？若存在，为多少？ x a xa f ( x) f (a) 0 中，分母趋向于 0，而此极限存在，故只能为型，因此分 xa 0
x a x a
【解题思路】考虑极限的类型. 2、设 f ( x) 0, 1,
x 1, x 1, g ( x ) e x ，求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] ，并作出这两个函数的图形. x 1,
x
x x 【解题思路】求 f [ g ( x)] 时，中间变量为 g ( x ) e ，利用函数 y e 的单调性质，考虑 e
【解题思路】利用数列的单调有界准则. 先求出 a2 , a3 ，易猜测数列是单调递减的，故只需证有下界即可. 【详解】由已知条件易得 an 0 ，利用基本不等式可得， an+1 = (an + 有下界；又因为 an +1 an = 限 lim an 存在. 证毕.
x a
子也以 0 为极限，故 lim f ( x) f (a) 0 ，所以 lim f ( x) 存在，为 f (a) .
1 2 ex sin x 8、极限 lim 2 x 0 1 e x ln(1 x)

高等数学课件--D11_习题课

y O
r
t
ax
d s x2 y2 d t
2013-8-9 同济版高等数学课件
目录上页下页返回结束
P244 3(3). 计算
其中L为摆线
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
原式 a
2
0 t sin t d t
2π 0
2π
a t cos t sin t
D
上页
O
y
结束
x
下页返回
2 I (4 x 2 y 3z )dS 3
y
2 ( x y 6) dxd y
D
O
1 D
1x
12 dxd y
D
24
D 的形心
x y0
2013-8-9
同济版高等数学课件
目录上页下页返回结束
二、曲面积分的计算法
2 2 2
目录上页下页
2
结束
同济版高等数学课件
返回
例8. 计算曲面积分
中是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I
( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS

(2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) y dS
(2) 确定积分上下限
练习题: P244
2013-8-9
题 3 (1), (3), (6)
同济版高等数学课件
目录上页下页返回结束
解答提示: P244 3 (1)
计算提示: 利用极坐标 , 其中L为圆周
ds
原式 =

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22R y x =+解:⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,
(=⎰L
ds y x f ,
(⎰1
, L ds y x f C. (⎰-1
, 2L ds y x f D.ABC都不对
2、设L是以点((((1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1--D C B A为顶点的正方形边界,
y x dxdy d r r dr ππ
θθ∑
∑
∑
+≤==⎡⎤=--+-=
+-⎣⎦=--=-
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:由对称性原式
三、用两类曲面积分之间的关系计算
1.求⎰⎰∑
++dS z y x cos cos cos (333γβα其中∑是柱面222a y x =+在h z ≤≤0部分,
γ
βαcos , cos , cos是∑的外法线的方向余弦
(00=ϕ,计算
((
(
⎰+1, 10
, 02dy x y dx xy ϕ的值解:取路径:沿0=x从(0, 0到(1, 0;再沿1=y从(1, 0到(1, 1则
(2
1
01
1
=
+=
⎰
⎰
xdx dy y I ϕ或
(((2' 00, 2x x x y
P
x Q ===⇒∂∂=∂∂ϕϕϕ得又
§4对面积的曲面积分1、计算曲面积分⎰⎰∑
解:由奇偶对称性
022=+L
dx y x , L :ππ→-==:, sin , cos t t a y t a x
=
I ((=
++⎰-
dt t a t t a dt t t a
cos 1ln cos sin cos sin 3
2
2
4
π
πππ
π
4
cos sin 4
2
2
4
a dt t t a =⎰-
3. (⎰Γ
y x ydy
xdx
3. L为222a y x =+的正向, =+--+L
y x dy
y x dx y x 2
2 ( ( A.2π
π C.0 D.π
二、计算
1. ((
dy y x dx y x L
⎰-++2222,其中L由曲线(2011≤≤--=x x y从
(0, 2A到(0, 0O方向
解:(1, 1B 01:, :; 12:, 2:___
((112
2
20
1
1112
14
xy
x
D z dxdy x y dxdy dx x y dy -∑
=--=--
=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:由轮换对称性原式
2. (x y dydz ∑
+⎰⎰其中∑为锥面22y x z +=被平面1=z所截部分的外侧
(2221
22
2
cos 3
x x y ydydz xdydz x z dxdy d r
x xdy ydx l
L
4、验证((
dy e xy dx ye y
x x +++22
在xoy面上是某函数(y x u ,的全微分,求出(y x u ,
解:
x e y y
P
x Q +=∂∂=∂∂2, (x ye xy y x u +=2, , 5、设曲线积分(⎰+dy x y dx xy ϕ2与路径无关,其中(x ϕ具有连续的导数,且
y x
原积分=222
2cos 2a adt t a ==⎰π
7. , 2⎰L
ds x其中L为球面2222a z y x =++与平面0=-y x的交线
解:将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L的参数方程:t
a z t a y t a x sin , sin 2
四、空间每一点处(z y x P , ,有力(z y x F , , →
,其大小与(z y x P , ,到z轴的距离成反比,方向垂直指向z轴,试求当质点沿圆周t z y t x sin , 1, cos ===从点(0, 1, 1M到
(1, 1, 0N时,力(z y x F , , →
所作的功
解:由已知(}0, ,
zdxdz
3.设∑为球面122=++z y x取外侧, 1∑为其上半球面,则有(
A.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
2zds zds ⎰⎰∑∑
=1
2zdxdy zdxdy C.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
222dxdy z dxdy z D. 0
二、计算
1. ∑
++dxdy z dzdx y dydz x 222其中∑由1=++z y x及三个坐标面所围成闭曲面的外侧
x t t , 2
1, 5100=-=z y
§2对坐标的曲线积分一、选择题
1.设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x P ,关于y是偶函数时, (=⎰L
dx y x P , A.0 B. (⎰1, 2L dx y x P C.(⎰-
, 2L dx y x P都不对
2.设L为1=+y x的正向,则=++L
____
→=→-=x x y BO x x y AB
=
I =
+
⎰
⎰____
___
BO
AB (((
(
((
3
41220
1
22
1
2
2
2
2
-
=++---+-+⎰⎰dx x x
dx x x dx x x
2. []
d y y x x xy y dx y x L
ln((2222+++++其中L是正向圆周曲线
222a y x =+
解:(
2
2
155121241
1
1
+
-=
+
+⎰
⎰
xdx dy y
y 5. , ds y L
⎰其中L为双纽线0(( (222222>-=+a y x a y x
解:原积分=((
22sin 4sin 4420
2
2' 21
-==+=⎰
⎰⎰a d a
d r r r ds y L χπ
π
θθθθθ
6. ⎰+L
ds y x , 22其中L为(022>=+a ax
=++++L
y x
y x dy
e dx y x 2ln 22222
解:将方程代入被积函数在由格林公式得
(=-=+-L
D
y dxdy dy e dx x 0 00(21ln 2
2. ((⎰+-+-L
dy y x x y dx x y xy , 3sin 21cos 23233其中L为点(0, 0O到⎪⎭
{
, , 2
2
2
2
y
x ky y
x kx z y x F +-+-=
2ln 2
cos 1
cos
cos 2
2
2
22
2
k
t d t t
k dy y x ky dx y x
kx
W L
=
+-=
+-+
+-=
⎰⎰π
五、将积分y y x Q x y x P L d , (d , (⎰+化为对弧长的积分,其中L沿上半圆周
+
+ds y x z 3

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