几何图形中的十字架结构

十字架模型讲解
十字架模型是一个数学模型，用于解决与折叠、对称和几何图形相关的问题。

以下是关于十字架模型的讲解：
1. 模型定义：十字架模型涉及一个中心对称轴和四个对称点。

这些对称点可以沿着对称轴进行折叠，使得对称点互相重合。

2. 模型应用：在几何问题中，十字架模型可以用于解决与正方形、矩形、三角形等图形相关的折叠问题。

通过利用对称性质和几何关系，可以找到与折叠、展开相关的角度、长度等量。

3. 解题步骤：
识别问题中的对称关系：首先确定是否存在中心对称轴，以及是否有对称点。

画出对称轴：在几何图形中，画出中心对称轴，并标记出对称点。

找出关键角度：利用对称性质找出关键角度，如对称轴与图形边的夹角等。

利用勾股定理：在直角三角形中，可以利用勾股定理求解相关长度。

计算结果：根据已知条件和数学关系，计算出所需的长度、角度等结果。

4. 注意事项：在应用十字架模型时，需要注意图形的实际大小和形状，避免因为对称关系而导致的误解。

同时，对于复杂的问题，可能需要结合其他数学模型进行分析。

总之，十字架模型是一个用于解决与折叠、对称和几何图形相关问题的数学工具。

通过掌握这个模型，可以更好地理解几何图形的性质，提高解决数学问题的能力。

相似三角形几何模型（手拉手与十字架模型）第一部分【知识点归纳】【模型一】“手拉手（旋转）”模型图1 图222ADE ABC ABC ACF ADE ∆ ∆∆  →A 绕点旋转如图：∽如图：∽ 以上就是相似三角形中的“手拉手模型”在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。

【模型二】“十字架”模型图3 图41EG AB HF BC⊥==如图3：正方形ABCD 中，EG HF,则有；EG AB HF BC ⊥=如图4：矩形ABCD 中，EG HF,则有. 以上就是矩形中的十字架模型，即矩形中两条互相垂直的线段之比等于矩形的两邻边之比。

第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】三角形中的的“手拉手（旋转）模型”【例1】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境：如图1，已知在ABC 中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且DE BC ∥．（1）操作发现：求证：AB DB =．（2）深入探究：在图1的基础上，将ADE 绕着点A 逆时针旋转一个角度得到图2，连接BD CE ，，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．拓展探究：（3）如图3，当ADE 旋转到点B D E ，，在一条直线上时，BE 与AC 交于点F ，若7BF =，9BE =，求AF CF ⋅的值．【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（90C E ∠=∠=°，30B ∠=°，45D ∠=°），AD BC =，顶点A 重合，将ADE 绕其顶点A 旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2】（22-23九年级·上海·假期作业）在ABC 中，CA CB =，在AED △中，DA DE =，点D 、E 分别在CA 、AB 上．（1）如图1，若90ACB ADE ∠=∠=°，则CD 与BE 的数量关系是 ；（2）若120ACB ADE ∠=∠=°，将AED △绕点A 旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ．【题型2】四边形中的的“手拉手（旋转）模型”【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，将正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，连接AG ，DF ，CE ．则AG 和CE 的数量关系为 ；在正方形BEFG 绕点B按顺时针方向旋转的过程中，DFCE的值为．【变式1】（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD中，等腰直角EBF△绕着B点旋转，BF EF=，90BFE∠=°，则:DE AF=．【变式2】如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C 点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC 的值为（）A．5:3 B．3:5 C．4:3 D．3:4【题型3】正方形中的“十字架模型”【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP MN=；（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD ，DC 于点M ，E ，F ，N ．求证：EF ME FN =+；【变式1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形ABCD 中，10AD =，8AB =，点E 为AD 边上一点，将ABE 沿BE 翻折到FBE 处，延长EF 交BC 于点G ，延长BF 交CD 于点H ，且FH CH =，则FG 的长是（ ）A ．95B ．94C ．45D ．185【变式2】（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 边的中点，AE 的垂直平分线分别交AD ，BC 边于点F ，G ，垂足为点H ．若4AB =，则GH 的长为 ．【题型4】矩形中的“十字架模型”【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接DE ，过点A 作AG DE ⊥于点F ，交BC 于G ，则AG 与DE 的数量关系是：AG ______DE （填“>”“=”“<”号）．(2)①如图2，在矩形ABCD 中，AB nBC M N =，、为AB CD 、上的点，连接MN ，过点D 作DE MN ⊥于点F ，交BC 于E ．小明发现，过M 作MG CD ⊥于点G ，可以得到MN 与DE 的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由；②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于______； ③应用上述结论解决问题：在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠°=，=，=，点D 是AB 的中点，连接CD ，过B 作CD 的垂线BE ，交直线AC 于E ，垂足是点F ，直接写出BE 的长度．【变式1】（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形ABCD 中，BE AC ⊥于点F ，若1,3BF BC ==，则DE 的长度为（ ）A ．1B 32C ．32D 332【变式2】（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，点E 在AD 上，连接CE ，交BD 于点F ，且DEF DBA ∽ ．（1）BD 与CE 是否垂直？ （填“是”或“否”）；（2）若1AB =，30CBD ∠=°，则EF CF的值为 ．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 ．【例2】（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰ABC 的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D 处，连接BD ′．给出下列结论：①ACD ABD ′≅△△；②ACB ADD ′ △△；③当BD CD =时，ADD ′ 的面积取得最小值．其中正确的结论有 （填结论对应的序号）．2、拓展延伸【例1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接.DE 将CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现：①当0α=°时AE BD =______； ②当180α=°时，AE BD=______． (2)拓展探究：试判断当0360α°<<°时，AE BD的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：∵ECD ACB ∽，EC AC∴=③ ． 又∵旋转ECA DCB ∠=∠，∴ECA DCB ∽△△，AE EC BD DC ∴== ． (3)用以上结论解决问题：当CDE 绕点C 逆时针旋转至A ，B ，E 三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段BD 的长 ．【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形ABCD ，DEFG ，将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE 、CG 交于点P ，请直接写出线段AE 与CG 之间的数量关系是______，位置关系是______；（2）【拓展探究】如图2，矩形ABCD ，DEFG ，22AD DE AB DG AD DG ===，，，将矩形DEFG 绕D 旋转；直线AE ,CG 交于点P ，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系；（3）【解决问题】若2428AD DE AB DG ====，，矩形DEFG 绕D 旋转过程中当点P 与点G 重合时，求线段AE 的长．相似三角形几何模型（手拉手与十字架模型）第一部分【知识点归纳】【模型一】“手拉手（旋转）”模型图1 图222ADE ABC ABC ACF ADE ∆ ∆∆  →A 绕点旋转如图：∽如图：∽ 以上就是相似三角形中的“手拉手模型”在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。

专题训练-------圆形内十字架模型专题训练 - 圆形内十字架模型概述本文档将介绍并探讨圆形内十字架模型的相关概念、设计原理和实际应用。

该模型是一种常用于建筑、工程和设计领域的空间布局模式，具有独特的美学效果和实用性。

设计原理圆形内十字架模型的设计原理可以概括如下：1. 圆形布局：该模型以中心圆形作为基础，围绕其周围放置四个相等的十字形结构。

圆形形状给人一种和谐、平衡和包容的感觉，符合人类对美感的追求。

2. 十字形结构：每个十字形结构有两条相互垂直的轴线，这提供了方向性和对称性。

这种结构使得整个模型在观感上更加稳定和有序。

实际应用圆形内十字架模型可以应用于多个领域，以下是一些常见的实际应用场景：1. 城市规划：在城市规划中，可以采用圆形内十字架模型来设计市中心广场或公园。

这种布局能够提供合适的交通流动性和视觉焦点，同时创造出舒适的空间感。

2. 建筑设计：在建筑设计中，可以利用圆形内十字架模型来规划建筑物的内部布局。

例如，可以在中心放置一个大厅或核心区域，四个十字形结构则可以用作不同功能区域的划分，如会议室、办公室等。

3. 景观设计：在景观设计中，圆形内十字架模型可以用于设计花园、庭院或公共空间。

通过将植物、雕塑或其他景观元素放置在圆形的中心和四个十字形结构之间，可以创造出独特的景观效果。

4. 室内设计：在室内设计中，可以运用圆形内十字架模型来规划家居空间的布局。

例如，可以将沙发或餐桌放置在圆心，四个十字形结构则可以用作不同功能区域的划分，如客厅、餐厅等。

结论圆形内十字架模型是一种简单而具有美感的空间布局模式，适用于多个领域的设计和规划。

通过合理运用该模型，可以在空间中创造出和谐、稳定和优美的效果。

在实际应用中，需要根据具体场景进行灵活运用，以达到最佳的设计效果和实用性。

初中数学：正⽅形中⼗字架模型01弦图的应⽤在勾股定理的证明中，我们学习过赵爽弦图，如下，有△AED≌△BFA≌△CGB≌DHC．稍作变形，若DE⊥AF，则可得：△DAE≌△ABF．（证明思路类似三垂直模型）⼀般地，在正⽅形ABCD中，若MN⊥PQ，则必有MN=PQ．法⼀：分别将PQ、MN平移⾄AF、DE位置（作平⾏线）证明AF=DE即可．法⼆：过点P作PE⊥BC，过点N作NF⊥AB交AB于点F，易证△PEQ≌△NFM．反之，若已知PQ=MN，但不⼀定存在PQ⊥MN．如下：EF=PQ=MN，但EF不与MN垂直．由位置关系可推数量关系，但由数量关系未必可推位置关系．除此之外，还有⼀些常⽤的性质和结论：1、弦图与对称考虑对称点连线被对称轴垂直且平分．将正⽅形ABCD沿MN折叠，则AA'MN且AA'⊥MN．2、弦图与辅助圆如图，垂⾜H轨迹是个圆弧（定边对直⾓）．以AD中点M为圆⼼，MA为半径的圆，两端分别的点A及对⾓线交点O．3、弦图与四点共圆如图，C、D、H、F四点共圆．∵∠DCF=∠DHF=90°，∴C、D、H、F四点共圆．连接DF，取DF中点N，以点N为圆⼼，DN为半径作圆．特别地，若E、F分别是AB、BC中点，连接CH，则CH=CD．证明：∵∠CHD=∠CFD=∠AED=∠CDE，∴CH=CD．4、矩形中的弦图构造在矩形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AF⊥DE，则AF/DE=AB/AD．证明：易证△ABF∽△DAE，∴AF/DE=AB/AD．02真题练习2018 青岛中考2018 聊城中考2018 上海中考2018 长春中考2019 ⼴西中考2018 杭州中考2019 襄阳中考⽂章选⾃：有⼀点数学、作者：刘岳； .更多优质资源可关注公众号后查看历史消息，妙解之慧由陕西西安孙冰钰⽼师创建专注分享初，⾼中数学优质资源，旨在服务于全国师⽣，让更多朋友受益。

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专题训练-------五边形内十字架模型
简介
本文档介绍了五边形内十字架模型的相关知识和使用方法。

五边形内十字架模型
五边形内十字架模型是一种常用的图形模型，常用于展示和分析不同因素之间的关系和影响。

该模型由一个五边形和一个十字架组成，五边形代表一个主要因素，而十字架表示与该因素相关的其他因素。

使用方法
以下是使用五边形内十字架模型的步骤：
1. 确定主要因素：首先，确定需要分析的主要因素。

将该因素标记在五边形的中心。

2. 确定相关因素：确定与主要因素相关的其他因素。

将这些因素标记在十字架的四个方向上。

3. 分析关系：分析每个相关因素与主要因素之间的关系。

说明这些因素对主要因素的影响和相互之间的关联性。

4. 图形化展示：使用适当的图形工具，如图表或图形，绘制五边形内十字架模型，并标注出各个因素和关系。

示例
以下是一个关于市场营销策略的五边形内十字架模型的示例：
Market size
|
Price | Promotion
--------
Place |
|
Product
总结
通过使用五边形内十字架模型，我们可以清晰地展示不同因素之间的关系和相互影响，有助于分析和制定相关策略和决策。

以上是关于五边形内十字架模型的介绍和使用方法，希望对您有所帮助。

相似三角形几何模型（手拉手与十字架模型）第一部分【知识点归纳】【模型一】“手拉手（旋转）”模型图1 图222ADE ABC ABC ACF ADE ∆ ∆∆  →A 绕点旋转如图：∽如图：∽ 以上就是相似三角形中的“手拉手模型”在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。

【模型二】“十字架”模型图3 图41EG AB HF BC⊥==如图3：正方形ABCD 中，EG HF,则有；EG AB HF BC ⊥=如图4：矩形ABCD 中，EG HF,则有. 以上就是矩形中的十字架模型，即矩形中两条互相垂直的线段之比等于矩形的两邻边之比。

第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】三角形中的的“手拉手（旋转）模型”【例1】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境：如图1，已知在ABC 中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且DE BC ∥．（1）操作发现：求证：AB DB =．（2）深入探究：在图1的基础上，将ADE 绕着点A 逆时针旋转一个角度得到图2，连接BD CE ，，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．拓展探究：（3）如图3，当ADE 旋转到点B D E ，，在一条直线上时，BE 与AC 交于点F ，若7BF =，9BE =，求AF CF ⋅的值．【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)14【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键．（1）根据平行线的性质可证ADE ABC △△∽，由此即可求解；（2）根据旋转的性质可证ABD ACE ∽，由此即可求解；（3）根据题意可得ABD ACE ∽，ABF ECF ∽△△，根据相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽， ∴AD AE AB AC=， ∴AB DB AC EC AB AC −−=，即DB EC AB AC =， ∴AB DB AC EC=． （2）解：成立，理由如下：由旋转的性质得BAC DAE ∠=∠， ∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，即BAD CAE ∠=∠， 由（1）得AD AE AB AC=， ∴ABD ACE ∽， ∴AB DB AC EC=， ∴（1）中的结论仍成立．（3）解：由（2）得ABD ACE ∽，∴ABD ACE ∠=∠， ∵AFB EFC ∠=∠， ∴ABF ECF ∽△△， ∴BF AF CF EF=， ∴BF EF CF AF ⋅=⋅，∵7BF =，9BE =，∴2EF BE BF =−=，∴7214AF CF ⋅=×=．【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（90C E ∠=∠=°，30B ∠=°，45D ∠=°），AD BC =，顶点A 重合，将ADE 绕其顶点A 旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键．解：选项A ，∵90C C ∠=∠=°，30CAF B ∠=∠=°，∴ACF BCA ∽△△，故选项A 不符合题意．选项B ，如图，设CD 与AE 交于点O ，90ACO DEO ∠=∠=°∴ACO DEO △∽△，故选项B 不合题意；选项C ，∵90BCA AED ∠=∠=°，CAF DAE ∠=∠， ∴ACF AED △∽△，故选项C 不合题意；选项D 中没有相似三角形，符合题意．故选：D ．【变式2】（22-23九年级·上海·假期作业）在ABC 中，CA CB =，在AED △中，DA DE =，点D 、E 分别在CA 、AB 上．（1）如图1，若90ACB ADE ∠=∠=°，则CD 与BE 的数量关系是 ； （2）若120ACB ADE ∠=∠=°，将AED △绕点A 旋转至如图2所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是 ．【答案】CD = CD 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理计算即可．（２）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H ，求得AC AB ，再证明ACD ABE ∆∆∽列式计算即可． 解：（1）90ACB ADE ∠=∠=° ∴DE BC ∥，∴AD DC AE EB ==，∴CD =．故答案为：CD =． （2）过点C 作CH AB ⊥交AB 于点H ，120ACB ∠=° ，30CAB ∴∠=° ，∴CA AH =，∴AC AB = 由ADE ACB ∽， 得：AD AC AE AB=， DAE CAB ∠=∠ ，∴ACD ABE △∽△，∴CDAC BE AB ==，∴CD =．故答案为：CD ． 【点拨】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．【题型2】四边形中的的“手拉手（旋转）模型”【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，将正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，连接AG ，DF ，CE ．则AG 和CE 的数量关系为 ；在正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转的过程中，DF CE的值为 ．【答案】 AE CE =【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据SAS证明ABG CBE ≌△△，即可证明AE CE =；连接BD BF ，．由1245∠+∠=°，2345∠+∠°得到13∠=∠．在Rt DBC △中，BD BC =在Rt FBE中，BF BE，则BD BF BC BE =，则BDF BCE ∽△△，即可得到结论．熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．解：∵四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，∴90ABC GBE ∠=∠=°，AB BC =，BG BE =， ∴ABC GBC GBE GBC ∠−∠=∠−∠，即ABG CBE ∠=∠． 在ABG 和CBE △中，AB BC ABG CBE BG BE = ∠=∠ =， ∴()SAS ABG CBE ≌，∴AG CE =．如图，连接BD BF ，．∵1245∠+∠=°，2345∠+∠°， ∴13∠=∠．在Rt DBC △中，∵22222BD BC CD BC =+=，∴BD =，∴BD BC= 在Rt FBE中，同理可求BF BE= ∴BD BF BC BE =， ∴BDF BCE ∽△△，∴DF BD ==故答案为：AG CE =【变式1】（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD 中，等腰直角EBF △绕着B 点旋转，BF EF =，90BFE ∠=°，则:DE AF = ．【分析】连接BD ，证AFB DEB ∽，得DE BD AF AB=，根据等腰直角三角形斜边与直角边的比例关系即可得出比值．解：如右图，连接BD ，由题知，四边形ABCD EBF △为等腰直角三角形45FBA ABE FBE ∠+∠=∠=° ，45ABE EBD ABD ∠+∠=∠=°，FBA EBD ∴∠=∠，由题知，EBF △为等腰直角三角形，ABD △为等腰直角三角形，FB AB BE BD ∴== AFB DEB ∴ ∽，DE BD AF AB ∴==【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，根据FBA EBD ∠=∠，FB AB BE BD ==AFB DEB ∽是解题的关键． 【变式2】如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC绕C 点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC 的值为（）A．5:3 B．3:5 C．4:3 D．3:4【答案】C解：由题意知△BCE绕点C顺时转动了90度，∴△BCE≌△DCF，∠ECF=∠DFC=90°，∴CD=BC=5，DF∥CE，∴∠ECD=∠CDF，∵∠EMC=∠DMF，∴△ECM∽△FDM，∴DM：MC=DF：CE，∵=4∴DM：MC=DF：CE=4：3．故选C．【题型3】正方形中的“十字架模型”【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动=；点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP MN（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，=+；BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF ME FN【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则AP BH⊥，根据平行四边形和正方形的性质求证()≌，然后根据三角形全等的性质即可证明；ABP BCH ASA=，然后根据等边对等角和等量代换求得（2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得FP FC∠=°，根据直角三角形斜边中线的性质得到FE=190AFPAP，结合（1）问结论即可求证．2解：（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP BH⊥，∥NH，BM∴四边形MBHN为平行四边形，∴=，MN BH四边形ABCD是正方形．∴=，90AB BC∠=°=∠，ABP C∠+∠=°，∴∠+∠=CBH ABH BAP ABH90∴∠=∠，BAP CBH()∴≌，ASAABP BCH∴=，BH AP∴=；MN AP（2）如图2，连接FA，FP，FC正方形ABCD 是轴对称图形，F 为对角线BD 上一点，FA FC ∴=，又FE 垂直平分AP ，FA FP ∴=，FP FC ∴=，FPC FCP ∴∠=∠，FAB FCP ∠=∠ ， FAB FPC ∴∠=∠，180FAB FPB ∴∠+∠=°，180ABC AFP ∴∠+∠=°，90AFP ∴∠=°，FE ∴=12AP ， 由（1）知，AP MN =，2MN ME EF FN AP EF ∴=++==，EF ME FN ∴=+．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键．【变式1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形ABCD 中，10AD =，8AB =，点E 为AD 边上一点，将ABE 沿BE 翻折到FBE 处，延长EF 交BC 于点G ，延长BF 交CD 于点H ，且FH CH =，则FG 的长是（ ）A ．95B ．94C ．45D ．185【答案】A【分析】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．过E 作EM BC ⊥于M ，根据矩形性质和折叠的性质，结合勾股定理求得94FH CH == 941844BH =+=，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：过E 作EM BC ⊥于M ，则90EMB EMG ∠=∠=°，四边形ABCD 是矩形，90A ABC C °∴∠=∠=∠=，10BC AD ==，ABE 沿BE 翻转到FBE 处，EF AE ∴=，8BFAB ==， 90EFB BFG A ∠=∠=∠=， 设FHCH x ==，则8BH x =+， 在Rt BCH △中，根据勾股定理得222BC CH BH +=()222108x x ∴+=+ 则94x =， 94FH CH ==， 941844BH =+=， FBG CBH =∠∠ ，BFG BCH ∠=∠BFG BCH ∴ ∽BG FG BF BH CH BC∴==8441910544BG FG === 解得：95FG =故选：A ． 【变式2】（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 边的中点，AE 的垂直平分线分别交AD ，BC 边于点F ，G ，垂足为点H ．若4AB =，则GH 的长为 ．【分析】过点B 作BN GF ∥交AD 于点N ，先证明()AAS AED BNA ≌，推出AEBN FG ==，利用勾股定理求出AE ，再证明AFH AED ∽，利用相似三角形的性质求出FH =解：过点B 作BN GF ∥交AD 于点N ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，4AB =，∴,4,90AD BC AD AB CD BAN D ===∠=∠=°∥， ∴四边形BGFN 是平行四边形，∴BN GF =，∵,AE FG BN GF ⊥∥，∴BN AE ⊥，∴90BNA EAD∠+∠=°， 90AED EAD∠+∠=°∴BNA AED ∠=∠， 在AED △和BNA 中，AED BNA D BAN AD AB ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS AED BNA ≌，∴AEBN FG ==， ∵点E 是DC 边的中点，∴2DECD ==，∴AE∴FG =∵H 是AE 的中点，∴12AH AE == ∵90,AHF D FAH EAD ∠=∠=°∠=∠，∴AFH AED ∽ ， ∴FH AH DE AD =，即2FH =∴FH =∴GH FG FH =−==，【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．【题型4】矩形中的“十字架模型”【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接DE ，过点A 作AG DE ⊥于点F ，交BC 于G ，则AG 与DE 的数量关系是：AG ______DE （填“>”“=”“<”号）．(2)①如图2，在矩形ABCD 中，AB nBC M N =，、为AB CD 、上的点，连接MN ，过点D 作DE MN ⊥于点F ，交BC 于E ．小明发现，过M 作MG CD ⊥于点G ，可以得到MN 与DE 的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由；②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于______； ③应用上述结论解决问题：在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠°=，=，=，点D 是AB 的中点，连接CD ，过B 作CD 的垂线BE ，交直线AC 于E ，垂足是点F ，直接写出BE 的长度．【答案】(1)=(2)①数量关系为DE nMN =，理由见解析；②矩形两邻边的比；③152； 【分析】（1）证明ABG DAE ≌即可；（2）①证明MNG DEC ∽，由相似的性质即可得到MN 与DE 的数量关系；②由①的解答即可完成；③延长CD 到N ，使DN CD =，分别连接AN BN ，，则可得四边形ACBN 是矩形，且BE CN ⊥，由①的结论即可求得BE 长度．（1）解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90AB AD DAE ABG =∠=∠=°，， ∴90DAF BAG ∠+∠=°，∴90ADE DAF ∠+∠=°，∴ADE BAG ∠=∠， ∴(ASA)ABG DAE ≌，∴AG DE =，故答案为：=；（2）解：①数量关系为DE nMN =理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC C ∠=∠=∠=°，AD BC AB CD ==，； ∵MG CD ⊥，∴四边形ADGM 是矩形，AD MG BC ==；∵DE MN MG CD ⊥⊥，，∴90EDC MNG MNG NMG ∠+∠=∠+∠=°，∴EDC NMG ∠=∠， ∵90MGN C ∠=∠=°， ∴MNG DEC ∽， ∴MN MG DE CD=； ∵AB nBC =，∴CD nMG =， ∴1MN DE n=， 即DE nMN =；②由①知，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于矩形两邻边的比；故答案为：矩形两邻边的比；③如图，延长CD 到N ，使DN CD =，分别连接AN BN ，，∵D 为AB 的中点，∴BD AD =，∴四边形ACBN 是平行四边形，∵90ACB ∠=°， ∴四边形ACBN 是矩形，∴8BNAC ==，由勾股定理得：10CN =；∵BE CN ⊥，∴由①的结论知：86CN AC BE BC ==， ∴661015882CN BE ×===．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性．【变式1】（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形ABCD 中，BE AC ⊥于点F ，若1,BF BC ==则DE 的长度为（ ）A ．1B C ．32 D 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明ABF BCF ∽ ，可得AF BF BF CF =，可求AF 的长，通过证明AEF CBF ∽△△，可得AF AE CF BC=，可求DE 的长． 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴,90,AD BC AD BC ABC =∠=°∥∵BE AC ⊥，1,BF BC ==∴CF =，∵90AFB CFB ABC ∠=∠=∠=°， ∴90ABF CBF ABF BAC ∠+∠=°=∠+∠，∴BAC CBF ∠=∠， ∴ABF BCF ∽ ，∴AF BF BF CF=，∴1AF =，∴AF = ∵AD BC ∥，∴AEF CBF ∽△△，∴AF AE CF BC=，=∴AE =∴DE AD AE BC AE =−=−， 故选：B ．【变式2】（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，点E 在AD 上，连接CE ，交BD 于点F ，且DEF DBA ∽ ．（1）BD 与CE 是否垂直？ （填“是”或“否”）；（2）若1AB =，30CBD ∠=°，则EF CF的值为 ．【答案】 是 13【分析】（1）根据矩形ABCD 的性质可得90DAB ∠=°，已知DEF DBA ∽ 即可证得．（2）根据矩形ABCD 的性质可得AD ，根据DEF DBA ∽ 可得DF =，在证明DFC DCB ∽ ，根据相似比即可解得．（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=°，∵DEF DBA ∽ ，∴90DFE DAB ∠=∠=°，∴BD CE ⊥；故答案为：是；（2）1AB =，30CBD ∠=°，四边形ABCD 为矩形，∴1AB CD ==，2BD =，∴AD BC ===，∵DEF DBA ∽ ，∴ EFDFAB AD =，即 1EF= ∴DF =，∵DFC BCD ∠=∠，BDC BDC ∠=∠，∴DFC DCB ∽ ，∴ DFCFCD BC =，即 1DF=∴ =，∴ 12EFCF =．故答案为： 13．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 ．【答案】152/7.5 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD ，证明△BOF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF 即可．解：如图：四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=°，又6AB =，8AD BC ==，10BD ∴=，EF 是BD 的垂直平分线，5OB OD ∴==，90BOF ∠=°，又90C ∠=°，BOF BCD ∴∆∆∽， ∴OF BO CD BC =， ∴568=OF ， 解得，15OF =，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，90A ∠=°，EDO FBO ∴∠=∠，EF 是BD 的垂直平分线，BO DO ∴=，EF BD ⊥，在DEO ∆和BFO ∆中，EDO FBO BO DOEOD FOB ∠=∠ = ∠=∠， ()DEO BFO ASA ∴∆≅∆，OE OF ∴=，1522EF OF ∴==． 故答案为：152． 【点拨】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．【例2】（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰ABC 的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D 处，连接BD ′．给出下列结论：①ACD ABD ′≅△△；ACB ADD ′ △；③当BD CD =时，ADD ′ 的面积取得最小值．其中正确的结论有 （填结论对应的序号）．【答案】①②③【分析】依题意知，ABC 和ADD ′ 是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS 证明ADC AD B ′≌△△，可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为AD AC ，故最小时ADD ′ 面积最小，即AD BC ⊥，等腰三角形三线合一，D 为中点时 .解：∵AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度得到AD ′∴DAD θ′∠=，AD AD =′ ∴CAB DAD ′∠=∠ 即CAD DAB DAB BAD ′∠+∠=∠+∠∴CAD BAD ′∠=∠ ∵AC AB CAD BAD AD AD ′= ∠=∠ =′得：ADC AD B ′≌△△（SAS ）故①对∵ABC 和ADD ′ 是顶角相等的等腰三角形∴ACB ADD ′ △△故②对 ∴2()AD D ABC S AD S AC′=△△ 即AD 最小时AD D S ′△最小当AD BC ⊥时，AD 最小点是BC 中点故③对故答案为：①②③【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 .2、拓展延伸【例1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接.DE 将CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现：①当0α=°时AE BD =______； ②当180α=°时，AE BD=______． (2)拓展探究：试判断当0360α°<<°时，AE BD的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：∵ECD ACB ∽，EC AC∴=③ ． 又∵旋转ECA DCB ∠=∠， ∴ECA DCB ∽△△，AE EC BD DC∴== ． (3)用以上结论解决问题：当CDE 绕点C 逆时针旋转至A ，B ，E 三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段BD 的长 ．【答案】DC BC【分析】（1）①先利用勾股定理可得AC =AE =，1BD =，由此即可得；②先画出图形，根据旋转的性质可得90CDE°∠=，2DE CE==，1CD =，然后根据线段和差分别求出AE ，BD 的长，由此即可得；（2）根据相似三角形的判定证出ECA DCB ∽△△，再根据相似三角形的性质即可得；（3）分①点E 在AB 的延长线上和②点E 在线段AB 上，利用勾股定理求出1BE =，从而可得AE 的长，再根据AE BD= （1）解：①当0α=°时，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，AC ∴=点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，12CE AE AC ∴===112BD CD BC ===，②如图1，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，4AB =，122DE AB ==，DE AB ∥， 90ABC ∴∠=°，90CDE ABC ∠=∠=°； 如图，当180α=°时，由旋转的性质得：CDE ∠的大小不变，仍等于90°，DE 长度不变，仍等于2，CE 的长度不变，AE AC CE ∴=+=1CD ，3BD BC CD ∴=+=，AE BD ∴==（2）解：当0360α°<<°，大小没有变化； 证明：ECD ACB ∽，EC CD AC BC ∴=， 又∵旋转ECA DCB ∠=∠， ECA DCB ∴ ∽，AE EC BD DC ∴==故答案为：CD CB （3）①如图2，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE 中，CE =2BC =，1BE ∴=，415AE AB BE ∴=+=+=，AE BD∴BD ∴== ②如图3，当点E 在线段AB 上时，在Rt BCE 中，CE =2BC ，1BE ∴=，413AE AB BE ∴=−=−=，AE BD∴BD ∴==，综上，线段BD 【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形ABCD ，DEFG ，将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE 、CG 交于点P ，请直接写出线段AE 与CG 之间的数量关系是______，位置关系是______；（2）【拓展探究】如图2，矩形ABCD ，DEFG，22AD DE AB DG AD DG ===，，，将矩形DEFG 绕D 旋转；直线AE ,CG 交于点P ，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系；（3）【解决问题】若2428AD DE AB DG ====，，矩形DEFG 绕D 旋转过程中当点P 与点G 重合时，求线段AE 的长．【答案】（1）AE CG =，AE CG ⊥；（2）AE 、CG 的数量关系不成立，位置关系仍成立，AE 、CG 的数量关系为：2CG AE =，理由见解析；（3）AE 的长为【分析】（1）证明ADE CDG ≌得到AE 与CG 的数量关系，通过角的等量代换，求得90∠=°GPE ，得到AE 和CG 的位置关系；（2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明 ∽EDA GDC ，求得AE 和CG 的数量关系；然后利用角的等量代换，求得90∠=°GPE ，得到AE 和CG 的位置关系； （3）分情况讨论，①当点P 和点G 在边CD 上方重合时，②当点P 和点G 在边CD 下方重合时，分别求解．解：（1）AE CG =，AE CG ⊥；∵四边形ABCD ，DEFG 都是正方形，∴AD CD =，DE DG =，90ADC EDG °∠=∠=．∴ADC ADG EDG ADG ∠+∠=∠+∠，∴ADE CDG ∠=∠． ∴ADE CDG ≌．∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠， DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠∴90∠=°GPE ． ∴AE CG ⊥；（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．2CG AE =，AE CG ⊥．理由如下：由题意知在矩形ABCD 、DEFG 中，90EDG ADC °∠=∠=，∴EDG GDA ADC GDA ∠+∠=∠+∠．∴EDA GDC ∠=∠．∵2AD DE =，2AB DG =， ∴12ED DG AD DC ==．∴ ∽EDA GDC ．∴2CG AE =，DEA DGC ∠=∠．∵DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠，∴90GPE °∠=．∴AE CG ⊥．综上所述：2CG AE =，AE CG ⊥；（3）如解图①，AE如解图2，连接AC ，设AE x =，则2CG x =，EG AC =在Rt AGC 中，222+=AG GC AC ，222((2)++x x ，∴x ==−x综上所述，当点P 与点G 重合时，线段AE 的长为 【点拨】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．。

⼗字架模型，⽂末下载链接⼀、考题研究在特殊的四边形问题中翻折的问题是⽐较常见的，不论是期中、期末和中考中都⽐较常见，能否采⽤合适的⽅法求出线段长，或者是利⽤⾯积之间关系求线段之间关系，这就是我们今天重点学习的⼀个模型“⼗字架模型”⼆、知识回顾1、全等三⾓形的性质与判定2、相似三⾓形的性质与判定3、矩形和正⽅形的性质与判定4、图形的变换--轴对称三、⼗字架模型【⼗字架模型】--正⽅形第⼀种情况：过顶点在正⽅形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同⾓的余⾓相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第⼆种情况：不过顶点在正⽅形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正⽅形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH【导⼊】如图，将边长为4的正⽅形纸⽚折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕的长度为______．往期经典1、中考压轴题----线段和最⼩2、⼀道关于旋转的压轴题3、你认识正⽅体吗？4、不借助⽇历，⼝算历史上任⼀天是星期⼏的⽅法5、图形的全等6、图形的全等 - 续7、中考复习尺规作图九种基本作图8、免费领取“初中九⼤⼏何模型”9、如何确定⼆次函数abc的范围以及关于abc的式⼦10、点圆模型求最值11、初中三⼤⼏何变换---对称12、初中三⼤⼏何变换---对称续13、LaTex排版---⼀元⼀次⽅程之特殊考点14、如何确定⼆次函数abc的范围以及关于abc的式⼦15、初中三⼤变换之旋转（⼿拉⼿模型）欢迎关注公众号，后期不定时更新视频，关注学习更多。

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十字模型专题知识解读【专题说明】“十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型。

常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。

围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。

这些结论对我们分析一些几何问题会比较大的帮助。

【方法技巧】类型一：【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH类型二：【十字架模型】--矩形在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；可证：△ADE ∽△BAF 所以BF AE AB AD BF AE ⋅=⋅==ab a b在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b ，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的点，其中：EG ⊥FH ，探究EG 与FH 的关系【解答】可证：△ADN ∽△BAM∴∴但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立 在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b ，其中EG ⊥FH ，探究EG 与FH 的关系可证△EOH∽△GOF【典例分析】【典例1-1】基本模型如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD，DC边上，且AF⊥BE．结论：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE；请证明【基本模型】中的结论．求证：①△ABE≌△DAF；②AF＝BE．自主探究：若将已知条件AF⊥BE改为AF＝BE，是否可以得到AF⊥BE？进而是否可以探究AF与BE交点的轨迹？【解答】基本模型：证明：①∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，∴∠ABE+∠BEA＝90°，∵AF⊥BE，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），②∵△ABE≌△DAF（ASA），∴AF＝BE；自主探究：解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在Rt△ABE和Rt△DAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，则BE⊥AF．如图，设AF、BE交于点H，AC、BD交于点O，∵BE⊥AF，∴∠AHB＝90°，点H在以AB为直径的圆上，∵点E、F分别在AD，DC边上，∴AF与BE交点的轨迹为．【典例1-2】模型演变①如图①，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在DC，AD，BC边上，且AE⊥GF．结论：AE＝GF模型演变②如图②，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，DC，BC，AD边上，且EF⊥GH．结论：EF＝GH请证明【模型演变②】的结论，求证：EF＝GH．自主探究：在【模型演变①】和【模型演变②】中，若将已知条件中两线段垂直与结论中两线段相等互换，判断结论是否还成立？请选择其中一个图形进行证明．【解答】证明：过点E作EM⊥DC于点M，过点H作HN⊥BC于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴EM＝AD＝DC＝HN，∵EM⊥HN，EF⊥HG，∴∠MEF＝∠NHG，在△MEF与△NHG中，，∴△MEF≌△NHG（ASA），∴EF＝GH；自主探究：解：不成立，证明：选择[模型演变①]，设AE与FG相交于点O，过点O作DC的平行线l，将FG沿直线l对称得到F'G'，则FG＝F'G'，由（1）可得：AE⊥FG，∴F'G'与AE不垂直，∴若条件与结论互换，结论不成立．【典例2-1】模型演变③如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且CE⊥BD．结论：△DCE∽△ADB请证明【模型演变③】的结论．求证：△DCE∽△ADB．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠CDO＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴∠DCE+∠CDO＝90°，∴∠ADB＝∠DCE，∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△DCE∽△ADB．【典例2-2】模型演变④如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在AD，BC，AB，DC边上，且EF⊥GH．结论：＝请证明【模型演变④】的结论．求证：＝．【解答】证明：如图，过点G作GM⊥CD于M，过点E作EN⊥BC于点N，∴∠GMH＝∠ENF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥GH，∴∠BGH+∠BFE＝180°，∠BGH+∠GHM＝90°，∴∠BFE＝∠GHM，∴△EFN∽△GHM，∴＝＝．【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，BF 交于点O．若BE＝3，DF＝1，则OB的长为．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴∠ABC＝90°＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝4，∵BE＝3，DF＝1，∴BE＝CF＝3，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB＝∠BFC，∵∠BFC+∠FBC＝90°，∴∠AEB+∠FBC＝90°，∴∠BOE＝90°，∴BO⊥AE，∴2S△ABE＝AB•BE＝AE•OB，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∴OB＝＝，故答案为：．【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B 落在AD边上的点F处，连接BF交CE于点G．已知AD＝5，AB＝3，则折痕CE的长为．【解答】解：由翻折的性质可知，BE＝EF，BC＝FC＝AD＝5，在Rt△CDF中，CF＝5，CD＝AB＝3，∴DF＝＝4，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，设BE＝x，则EF＝x，AE＝3﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF2+AE2＝EF2，即1+（3﹣x）2＝x2，解得x＝，即BE＝，在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝＝，故答案为：．【变式1-3】如图，在面积为16的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，F是CB上一点，CF＝AE，连接EF，过点D作DG⊥EF于点H，若S△BEF＝6，则CF＝，DG ＝．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为16，∴正方形ABCD的边长为4，设CF＝x，则BF＝4﹣x，BE＝4+x，∵S△BEF＝6，∴（4﹣x）（4+x）＝6，∴x＝±2（负值舍去），∴CF＝2＝AE，∴BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，BE＝AB+AE＝4+2＝6，∴EF＝＝＝2，∵DG⊥EF，∴∠AGD＝90°﹣∠E＝∠BFE，又∠B＝90°＝∠DAG，∴△EBF∽△DAG，∴＝，即＝，解得DG＝，故答案为：2．【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，且AM⊥DN，的值．【解答】解：过点D作AB的平行线，交过点A作BC的平行线于G，交BC的延长线于H，过点D作DP⊥AB于P，则四边形ABHG是矩形，∵AB＝AD，CB＝CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADG+∠CDH＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠DAG＝∠HDC，又∵∠G＝∠H，∴△ADG∽△DCH，∴，∴设CH＝x，则DG＝2x，∴DH＝10﹣2x，AG＝5+x，∴5+x＝2（10﹣2x），解得x＝3，∴BH＝8，∵∠NDP＝∠BAM，∠DPN＝∠ABM，∴△ABM∽△DPN，∴．【变式1-5】如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在CD边上，点A的对应点为A'，连接BB'．（1）如图②，当点B'与点D重合时，连接BE，试判断四边形BEB'F的形状，并证明；（2）求折痕EF的最大值；（3）如图③，过点E作EM⊥BC于点M，当四边形EMCD为正方形时，求CF的长．【解答】解：（1）四边形BEB'F是菱形，理由如下：由折叠的性质得：∠BFE＝∠B′FE，EF垂直平分BB′，∴BE＝B′E，BF＝B′F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠B′EF＝∠BFE，∴∠B′EF＝∠B′FE，∴B′E＝B′F，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BEB′F是菱形；（2）过点E作EG⊥BC于G，设EF与BB′交于点O，如图①所示：则∠EGF＝90°，四边形ABGE为矩形，∴∠GEF+∠EFG＝90°，EG＝AB＝6，由折叠的性质得：EF⊥BB′，∴∠BOF＝90°，∴∠EFG+∠B′BF＝90°，∴∠GEF＝∠B′BF，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∴∠C＝∠EGF，∴△EGF∽△BCB′，∴＝＝＝，∴EF＝BB′，∴当BB′取最大值，EF取得最大值，此时，点B′与点D重合，连接BD，在Rt△BCD中，BD＝＝＝10，∴EF最大＝BD＝×10＝；（3）连接BE、B′E，如图③所示：由折叠的性质得：EF垂直平分BB′，∴BF＝B′F，BE＝B′E，∵四边形EMCD是正方形，∴EM＝MC＝CD＝ED＝6，∴AE＝BM＝8﹣6＝2，在Rt△EMB和Rt△EDB′中，，∴Rt△EMB≌Rt△EDB′（HL），∴DB′＝BM＝2，∴CB′＝CD﹣DB′＝6﹣2＝4，设CF＝x，则BF＝B′F＝8﹣x，在Rt△CB′F中，由勾股定理得：CF2+CB′2＝B′F2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴CF的长为3．【变式1-6】【教材背景】课本上有这样一道题目；如图①，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF．发现其中CE＝DF．【拓展延伸】如图②，在正方形ABCD中，O为对角线BD上一点，连接AO并延长，交DC于点E，过点B作BF⊥AE于点G，交AD于点F，连接FE，BE．【问题解决】（1）若DO＝DE，求证：△ABG≌△OBG；（2）若BF＝6，求四边形AFEB的面积；（3）如图③，连接CG，若CG＝BC，求证：E是边DC的中点．【解答】【教材背景】证明：如图1中，∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴BE＝CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF；【问题解决】（1）证明：如图②中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BAO＝∠AED，∵DO＝DE，∴∠DOE＝∠DEO，∵∠AOB＝∠DOE，∴∠BAO＝∠AOB，∴BA＝BO，∵BF⊥AE，∴AG＝OG，在△BAG和△BOG中，，∴△ABG≌△OBG（SSS）；（2）解：如图②中，过点E作EH⊥AB于点H．∵AE⊥BF，∴∠AGB＝90°，∵∠ABF+∠BAG＝90°，∠DAE+∠BAG＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵BA＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°，∴△BAF≌△ADE（ASA），∴BF＝AE＝6，∵AE⊥BF，∴S四边形AFEB＝•AE•BF＝×6×6＝18；（3）证明：过点C作CT⊥BG交AB于点T，连接GT．∵CG＝CB，BT⊥BG，∴CT垂直平分线段BG，∴TB＝TG，∴∠TBG＝∠TGB，∵∠TBG+∠BAG＝90°，∠AGT+∠TGB＝90°，∴∠TAG＝∠TGA，∴TA＝TG，∴AT＝TB，∵AE⊥BF，CT⊥BF，∴AE∥CT，∵AT∥CE，∴四边形ATCE是平行四边形，∴AT＝CE，∵AB＝CD＝2AT，∴CD＝2CE，∴DE＝EC．【变式1-7】（滕州市校级模拟）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：＝；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA＝BC＝2，DA＝DC＝，∠BAD＝90°，DE⊥CF，试求的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．当∠B+∠EGC＝180°时：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴＝，∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴＝，∴＝，∴＝，即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，∵在△BAD和△BCD中，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴＝，∴＝，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣2，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣2）2+（x）2＝22，x＝0（舍去），x＝，CN＝，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝＝．。

基本模型1、在正方形ABCD 中，BN ⊥AM ，则常见的结论有哪些？2、在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF ⊥GH ，上述结论是否仍然成立？当然是仍然成立的所以大体上思路是“从垂直可利用全等推导出相等”所以反思“从相等是否可推导出垂直？”在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF=GH ，则EF 与GH 不一定垂直，请画出反例.如上图，垂直只是相等时的一种情况，另一种，只需使得AH ’=DH ，BG ’=CG ’即可作出HG=H ’G ’ 利用上述结论，做题可就方便多了！例题1、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 在AD 边，求折痕FG 的长；既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？模型拓展一如图，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，在AD 上有一点E ，若CE ⊥BD ，则CE 和BD 之间有什么数量关系？如图1，一般情况，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、AB 、CD 边上的点，当EF ⊥GH 时，又如何？图1看到上面加粗的字了吗？这个点的所在边为什么要确定？例题1、如图，已知直线2x 21-y +=与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，将△AOB 沿着AB 翻折，使点O 落在点D 上，当反比例函数xk y =经过点D 时，求k 的值.【练习】如图把边长为AB ＝6，BC ＝8的矩形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.请在20秒内快速求出此题答案模型拓展二我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形所以矩形的结论可沿用至直角三角形内例题1、在Rt △ACB 中，AC=4，BC=3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD ，当AD=CD 时，求AE 的长；1、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，点D 为BC 边上的中点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，则AF FC的值为___________.【其它四边形中的十字】1、（2017届滨湖区期中）如图，把边长为AB ＝22、BC ＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.2、（2013·武汉中考改编）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE ⊥CF ，请求出CFDE 的值．1、如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，（1）求AF 的长；（2）求△EBG 的周长；（3）求FDCH 的值.2、如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，12AD AB ，△CEF 的面积为1S ，△AEB 的面积为2S ，则12S S 的值等于 ．3、如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2A F ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD＝2．其中正确的结论有( )A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个4、新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC 中，AF 、BE 是中线，且AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC 的长为___________.5（1）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 为BC 边上的点，BE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ．AB B C 1D B DC ==，求AF FC的值； （3）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 为直线BC 上的动点(点D 不与B 、C 重合)，直线BE ⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F 。