2020年全国普通高等学校招生高考数学仿真试卷(理科)(一)
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2020年全国普通高等学校招生高考数学仿真试卷（理科）（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（ ）
A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B）
2．（5分）已知复数z满足iz＝1﹣i，则＝（ ）
A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i
3．（5分）已知双曲线的离心率为，则抛物线x2＝4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1﹣a5﹣a10﹣a15+a19＝2，则S19的值为（ ）
A．38 B．﹣19 C．﹣38 D．19
5．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
6．（5分）在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）函数y＝（x﹣）sinx的图象是（ ）
A．
B．
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C．
D．
8．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（ ）
A．﹣1 B． C．2 D．1
9．（5分）直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个必要不充分条件是（ ）
A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜0 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1
10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直线y＝与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A．f（x）在上单调递减
B．f（x）在上单调递减
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C．f（x）在上单调递增
D．f（x）在上单调递增
11．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，e] B．[，+∞） C．[，e] D．[，]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设x、y满足约束条件，则z＝﹣2x+3y的最小值是
．
14．（5分）已知向量与满足||＝2||，若向量＝+，且⊥，则与的夹角大小为 ．
15．（5分）的展开式的常数项是 ．
16．（5分）设数列{an}的前n项和是Sn，满足，a1＝1，a2＝2，则当n≥2时，Sn＝ ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题每个题目考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA
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（1）求角B的大小；
（2）若线段BC上存在一点D，使得AD＝2，且AC＝，CD＝﹣1，求S△ABC．
18．（12分）如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O，AC＝BC＝AA1，∠ACB＝90°．
（1）求证：AB⊥平面OCC1；
（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．
19．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为．
（1）若出现故障的机器台数为X，求X的分布列；
（2）该厂到多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%？
（3）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的数学期望．
20．（12分）如图，已知圆E：x2+（y﹣1）2＝4经过椭圆（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与直线OA（O为原点）平行的直线交椭圆C于M，N两点，当△AMN的面积取取最大值时，求直线l的方程．
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21．（12分）已知函数（a∈R，a为常数），函数（e为自然对数的底）．
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）若不等式f（x）≤g（x）对x∈[1，+∞）恒成立，求实数的a取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝8．
（1）求曲线C1和C2的普通方程；
（2）若曲线C1和C2交于两点A，B，求|AB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．已知函数f（x）＝|x+a|，g（x）＝|x+3|﹣x．
（1）若a＝3，求不等式f（x）+g（x）＞0的解集；
（2）若对任意x∈[﹣1，1]，f（x）＜g（x）+x恒成立，求实数a的取值范围．
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2020年全国普通高等学校招生高考数学仿真试卷（理科）（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x≥1}，则集合{x|x≤0}等于（ ）
A．A∩B B．A∪B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B）
【解答】解：由，得x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1．
所以A＝{x|＜0}＝{x|0＜x＜1}，
又B＝{x|x≥1}，
则A∪B＝{x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}＝{x|x＞0}，
所以，集合{x|x≤0}＝∁U（A∪B）．
故选：D．
2．（5分）已知复数z满足iz＝1﹣i，则＝（ ）
A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i
【解答】解：∵iz＝1﹣i，∴﹣i•iz＝﹣i•（1﹣i），z＝﹣i﹣1．
＝﹣1+i．
故选：C．
3．（5分）已知双曲线的离心率为，则抛物线x2＝4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线的离心率e＝＝＝，即＝2，
则双曲线的渐近线方程y＝±x，即y＝±2x，
抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），
则F（0，1）到y±2x＝0的距离d＝＝，
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∴抛物线x2＝4y的焦点到双曲线的渐近线的距离，
故选：B．
4．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1﹣a5﹣a10﹣a15+a19＝2，则S19的值为（ ）
A．38 B．﹣19 C．﹣38 D．19
【解答】解：∵a1﹣a5﹣a10﹣a15+a19＝2，
∴2a10﹣2a10﹣a10＝2，
∴a10＝﹣2，
∴S19＝19a10＝﹣38，
故选：C．
5．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：∵a＝log23∈（1，2），，
＝log330＞log39＞2，
∴c＞a＞b．
故选：C．
6．（5分）在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设MP＝x，则NP＝16﹣x（0＜x＜16）
矩形的面积S＝x（16﹣x）＞60，
∴x2﹣16x+60＜0
∴6＜x＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于60cm2的概率P＝＝，
故选：A．
7．（5分）函数y＝（x﹣）sinx的图象是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数是偶函数，当x∈（0，1）时，y＜0，且x＝1是函数的零点，A、B、C均不符，只有D符合．
故选：D．
8．（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（ ）
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A．﹣1 B． C．2 D．1
【解答】解：框图首先给变量S，k赋值S＝2，k＝2010．
判断2010＜2013，执行S＝＝﹣1，k＝2010+1＝2011；
判断2011＜2013，执行S＝，k＝2011+1＝2012；
判断2012＜2013，执行S＝，k＝2012+1＝2013；
判断2013＜2013，执行输出S，S＝2
故选：C．
9．（5分）直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个必要不充分条件是（ ）
A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜0 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝2，圆心为（1，0），半径r＝，
若直线与圆有两个不同的交点，
则圆心到直线的距离d＝，
即|1+m|＜2，得﹣2＜1+m＜2，得﹣3＜m＜1，
则﹣3＜m＜1的一个必要不充分条件是m＜1，
故选：C．
10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函数，直
