数学_2009年北京市宣武区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2009年北京市宣武区高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1. 已知复数𝑧=11+𝑖，则𝑧¯⋅𝑖在复平面内对应的点位于（ ）

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

2. 极限lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)存在是函数𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑥0处连续的（ ）

A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件

3. 已知非零向量𝑎→、𝑏→若|𝑎→|=|𝑏→|=1，且𝑎⊥𝑏，又知(𝑘𝑎→−4𝑏→)⊥(2𝑎→+3𝑏→)，则实数𝑘的值为（ ）

A 6 B 3 C −3 D −6

4. 关于直线𝑎、𝑏，以及平面𝑀、𝑁，给出下列命题：

①若𝑎 // 𝑀，𝑏 // 𝑀，则𝑎 // 𝑏；

②若𝑎 // 𝑀，𝑏⊥𝑀，则𝑎⊥𝑏；

③若𝑎 // 𝑏，𝑏 // 𝑀，则𝑎 // 𝑀；

④若𝑎⊥𝑀，𝑎 // 𝑁，则𝑀⊥𝑁．

其中正确命题的个数为（ ）

A 0 B 1 C 2 D 3

5. 等比数列{𝑎𝑛}中，其公比𝑞<0，且𝑎2=1−𝑎1，𝑎4=4−𝑎3，则𝑎5+𝑎6等于（ ）

A 8 B −8 C 16 D −16

6. △𝐴𝐵𝐶中，𝑎，𝑏，𝑐分别是内角𝐴，𝐵，𝐶的对边，且cos 2𝐵+3cos(𝐴+𝐶)+2=0，𝑏=√3，则𝑐:sin 𝐶等于（ ）

A 3:1 B √3:1 C √2:1 D 2:1

7. 已知𝑓(𝑥)是𝑅上的偶函数，且𝑓(1)=0，𝑔(𝑥)是𝑅上的奇函数，且对于𝑥∈𝑅，都有𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥−1)，则𝑓(2009)的值是（ ）

A 0 B 1 C −1 D 2

8. 如图，在直三棱柱𝐴1𝐵1𝐶1−𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=𝜋2，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴1𝐴=1，已知𝐺与𝐸分别是棱𝐴1𝐵1和𝐶𝐶1的中点，𝐷与𝐹分别是线段𝐴𝐶与𝐴𝐵上的动点（不包括端点）．若𝐺𝐷⊥𝐸𝐹，则线段𝐷𝐹的长度的取值范围是（ ）

A [1√5, 1) B [15, 2) C [1, √2) D [1√5, √2)

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9. 已知函数𝑓(𝑥)={3𝑥，(𝑥≤0)log2𝑥(𝑥>0)，则𝑓[𝑓(14)]=________．

10. (1−2𝑥)6的展开式中，𝑥2的系数为________；其所有项的系数之和为________．

11. 某企业要从某下属的6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案有________种．

12. 四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中，共顶点𝐴的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，√6，3，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为________．

13. 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，其前𝑛项和𝑠𝑛满足𝑠𝑛√𝑠𝑛−1−𝑠𝑛−1√𝑠𝑛=2√𝑠𝑛𝑠𝑛−1(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗)，则𝑎𝑛=________．

14. 已知𝑓1(𝑥)=sin𝑥+cos𝑥，记𝑓2(𝑥)=𝑓1′(𝑥)，𝑓3(𝑥)=𝑓2′(𝑥)，…，𝑓𝑛(𝑥)=𝑓𝑛−1′(𝑥)(𝑛∈𝑁∗, 𝑛≥2)，则𝑓1(𝜋2)+𝑓2(𝜋2)+...+𝑓2009(𝜋2)=________．

三、解答题（共6小题，满分80分）

15. 已知：𝑎→=(2cos𝑥, sin𝑥)，𝑏→=(√3cos𝑥, 2cos𝑥)．设函数𝑓(𝑥)=𝑎→⋅𝑏→−√3(𝑥∈𝑅)求：

（1）𝑓(𝑥)的最小正周期；

（2）𝑓(𝑥)的单调递增区间；

（3）若𝑓(𝛼2−𝜋6)−𝑓(𝛼2+𝜋12)=√6，且𝛼∈(𝜋2，𝜋)，求𝛼．

16. 设{𝑎}是正数数列，其前𝑛项和𝑆𝑛满足𝑆𝑛=14(𝑎𝑛−1)(𝑎𝑛+3)．

（1）求𝑎1的值；求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

（2）对于数列{𝑏𝑛}，令𝑏𝑛=1𝑠𝑛，𝑇𝑛是数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和，求lim𝑛→∞𝑇𝑛．

17. 已知参赛号码为1∼4号的四名射箭运动员参加射箭比赛．

（1）通过抽签将他们安排到1∼4号靶位，试求恰有一名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；

（2）记1号，2号射箭运动员，射箭的环数为𝜉(𝜉所有取值为0，1，2，3…，10)．

根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：

𝜉 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝑃1 0 0 0 0 0.06 0.04 0.06 0.3 0.2 0.3 0.04

𝑃2 0 0 0 0 0.04 0.05 0.05 0.2 0.32 0.32 0.02

①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中8环的概率；

②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．

18. 已知直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶=90∘，且𝐴𝐵=𝐴𝐴1，𝐷、𝐸、𝐹分别为𝐵1𝐴、𝐶1𝐶、𝐵𝐶的中点．

（1）求证：𝐷𝐸 // 平面𝐴𝐵𝐶；

（2）求证：𝐵1𝐹⊥平面𝐴𝐸𝐹；

（3）求二面角𝐵1−𝐴𝐸−𝐹的余弦值．

19. 已知函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥2)+𝑎𝑥．(𝑎≤0)

（1）若𝑓(𝑥)在𝑥=0处取得极值，求𝑎的值；

（2）讨论𝑓(𝑥)的单调性；

（3）证明：(1+19)(1+181)…(1+132𝑛)<√𝑒（𝑛∈𝑁∗，𝑒为自然对数的底数）．

20. 已知数列{𝑎𝑛}与数列{𝑏𝑛}(𝑛∈𝑁∗, 𝑛≥1)满足：①𝑎1<0，𝑏1>0；②当𝑘≥2时，𝑎𝑘与𝑏𝑘满足如下条件：

当𝑎𝑘−1+𝑏𝑘−12≥0时，𝑎𝑘=𝑎𝑘−1，，𝑏𝑘=𝑎𝑘−1+𝑏𝑘−12；当𝑎𝑘−1+𝑏𝑘−12<0时，𝑎𝑘=𝑎𝑘−1+𝑏𝑘−12，𝑏𝑘=𝑏𝑘−1．

求：

（1）用𝑎1，𝑏1表示𝑏𝑛−𝑎𝑛；

（2）当𝑏1>𝑏2>...>𝑏𝑛(𝑛≥2)时，用𝑎1，𝑏1表示𝑏𝑘．(𝑘=1, 2,…𝑛)

（3）当𝑛(𝑛≥2, 𝑛∈𝑁∗)是满足𝑏1>𝑏2>...>𝑏𝑛(𝑛≥2)的最大整数时，用𝑎1，𝑏1表示𝑛满足的条件．

2009年北京市宣武区高考数学一模试卷（理科）答案

1. B

2. B

3. A

4. C

5. C

6. D

7. A

8. A

9. 19

10. 60,1

11. 21

12. 16𝜋

13. {1,𝑛=18𝑛−8,𝑛≥2

14. 1

15. 解：𝑓(𝑥)=𝑎⋅𝑏−√3=2√3cos2𝑥+2sin𝑥cos𝑥−√3

=sin2𝑥+√3(2cos2𝑥−1)

=sin2𝑥+√3cos2𝑥

=2sin(2𝑥+𝜋3)(1)函数𝑓(𝑥)的最小正周期最小正周期为𝑇=2𝜋2=𝜋 （2）由2𝑘𝜋−𝜋2≤2𝑥+𝜋3≤2𝑘𝜋+𝜋2得2𝑘𝜋−5𝜋6≤2𝑥≤2𝑘𝜋+𝜋6

∴ 𝑘𝜋−5𝜋12≤𝑥≤𝑘𝜋+𝜋12，(𝑘∈𝑍)

∴ 函数𝑓(𝑥)的单调增区间为[𝑘𝜋−5𝜋12，𝑘𝜋+𝜋12]，(𝑘∈𝑍)

（3）∵ 𝑓(𝛼2−𝜋6)−𝑓(𝛼2+𝜋12)=√6，∴ 2sin𝛼−2cos𝛼=√6

∴ 2√2sin(𝛼−𝜋4)=√6，∴ sin(𝛼−𝜋4)=√32

∵ 𝛼∈(𝜋2，𝜋)，∴ 𝛼−𝜋4∈(𝜋4，3𝜋4，

∴ 𝛼−𝜋4=𝜋3或2𝜋3，∴ 𝛼=7𝜋12或11𝜋12

16. 解：（1）由𝑎1=𝑆1=14(𝑎1−1)(𝑎1+3)，及𝑎𝑛>0，得𝑎1=3

由𝑆𝑛=14(𝑎𝑛−1)(𝑎𝑛+3)得𝑆𝑛−1=14(𝑎𝑛−1−1)(𝑎𝑛−1+3)．

∴ 当𝑛≥2时，𝑎𝑛=14(𝑎𝑛2−𝑎𝑛−12)+2(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)

∴ 2(𝑎𝑛+𝑎𝑛−1)=(𝑎𝑛+𝑎𝑛−1)(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1)∵ 𝑎𝑛+𝑎𝑛−1>0∴ 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=2，

∴ {𝑎𝑛}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴ 𝑎𝑛=2𝑛+1

（2）由（1）知𝑆𝑛=𝑛(𝑛+2)∴ 𝑏𝑛=1𝑆𝑛=12(1𝑛−1𝑛+2)，

𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+...+𝑏𝑛

=12(1−13+12−14++1𝑛−1−1𝑛+1+1𝑛−1𝑛+2)

=12[32−2𝑛+3(𝑛+1)(𝑛+2)]=34−2𝑛+32(𝑛+1)(𝑛+2)

∴ lim𝑛→∞𝑇𝑛=lim𝑛→∞[34−2𝑛+32(𝑛+1)(𝑛+2)]=34(13分)

由𝑎𝑛+𝑏𝑛2<0，得𝑎1+(𝑏1−𝑎1)⋅(12)𝑛<0

得𝑎1+𝑏12𝑛<−𝑎，得𝑏1−𝑎1−𝑎1<2𝑛

∴ log2𝑎1−𝑏1𝑎1<𝑛

因而𝑛满足log2𝑎1−𝑏1𝑎1<𝑛的最小整数

17. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是把4名运动员安排到4个位置，

从4名运动员中任取一名，其靶位号与参赛号相同，有𝐶41种方法，

另3名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有2种，

∴ 恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为𝑃=𝐶41⋅2𝐴44=824=13