【新】2019-2020铜陵市第一中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】

第一套：满分120分

2020-2021年铜陵市第一中学初升高

自主招生数学模拟卷

一．选择题（共6小题，满分42分）

1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是【 】

A. B. C. D.

2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x1= x2且y1=

y2时，A=B.

有下列四个命题：

（1）若A(1，2)，B(2，–1)，则，；

（2）若，则A=C；

（3）若，则A=C； 1122,,，AxyBxy1212,ABxxyy1212ABxxyy,31 AB0ABABBCABBC（4）对任意点A、B、C，均有成立.

其中正确命题的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3．（7分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE•AB．正确结论序号是（ ）

A．①② B．③④ C．①③ D．①④

4. （7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①；②当点E与点B重合时，；③；④MG•MH=，其中正确结论为（ ）

A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④

5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）

A. 4，2，1 B. 2，1，4 C. 1，4，2 D. 2，4，1

6. （7分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点DABCABC2AB12MHAFBEEF12作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为（ ）

A. B. C. D.

二．填空题（每小题6分，满分30分）

7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 .

8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线33yx相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝ ．

9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为kyx．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．

（1）当点O´与点A重合时，点P的坐标是 ；

（2）设P（t，0），当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是 ．

13392413325

10.（6分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反

比例函数2(0)yxx的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴

的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数2(0)yxx的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的

坐标为 ．

11.（6分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=41，则BN= ．

三．解答题（每小题12分，满分48分）

12.（12分）先化简，再求值：，

其中.

13.（12分）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数的图象上．

（1）求m，k的值； 32221052422xxxxxxxx20122(tan45cos30)21xxkyx O y

A

B （2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

（3）将线段AB沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA上，当线段与轴有交点时,则b的取值范围为 （直接写出答案）

14.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，

DE是⊙O 的切线，连接DE．

（1）连接OC交DE于点F，若OF=CF，证明：四边形OECD是平行四边形；

（2）若=n，求tan∠ACO的值

bkxy11BA1A11BAxOFCF

15.（12分）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

图1 A B x y

O D C

图2 A B x y

O D C P

Q E

F

图3 A B x y

O D C

2020-2021年铜陵市第一中学初升高

自主招生数学模拟卷答案解析

第一套

一、选择题

1.【考点】函数的图象．

【分析】由题得：出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C符合题意，故选C．

2.【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；命题与定理；反证法的应用.

【分析】根据新定义，对各选项逐一分析作出判断：

（1）若A(1，2)，B(2，–1)，

则. 命题正确.

（2）设C ，若，即，

∴. ∴A=C. 命题正确.

（2）用反证法，设A(1，2)，B(2，–1)，由（1）知，

取C ，，即有，

但AC. 命题错误.

（4）设C ，对任意点A、B、C，均有成立. 命题正确.综上所述，正确命题为（1），（2）（4），共3个.故选C.

3．解：∵AB是半圆直径，

∴AO=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，

∴∠CAD=∠DAO=21∠CAB，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，故①正确．

由题意得，OD=R，AC=2R，

∵OE：CE=OD：AC=22，

∴OE≠CE，故②错误；

∵∠OED=∠AOE+∠OAE=90°+22.5°=112.5°，∠AOD=90°+45°=135°，

∴∠OED≠∠AOD，∴△ODE与△ADO不相似，故③错误；

∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，

∴∠CAD=21×45°=22.5°，∴∠COD=45°，

∵AB是半圆直径，

∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=67.5°

∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），

∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣22.5°=45°，

∴△CED∽△CDO，∴COCD=CDCE， ∴CD2=CO•CE=21AB•CE，

∴2CD2=CE•AB，故④正确．

综上可得①④正确．故选：D．

4.【考点】双动点问题；等腰直角三角形的判定和性质；矩形的性质；三角形中位线定理；全等、相似判定和性质；勾股定理；旋转的应用.

【分析】①∵在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，

∴.故结论①正确.

②如答图1，当点E与点B重合时，点F与点M重合，

∴MH是△ABC的中位线.∴.

故结论②正确.

③如答图2，将△ACF顺时针旋转90°至△BCN，连接EN，

则.

∵∠ECF=45°，

∴.

∴.∴.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴△AGF和△BHE都是等腰直角三角形.

∴. ∴根据勾股定理，得，即.

∴.故结论③错误.

④∵由题意知，四边形CHNG是矩形，∴MG∥BC，MH∥CG.

∴，即.∴.

又∵，，

∴.∴.∴

∵.故结论④正确.

综上所述，正确结论为①②④.故选C.

5.【考点】阅读理解型问题；分类思想的应用.

【分析】将各选项分别代入程序进行验证即可得出结论：

A. ∵ ，∴4，2，1是该循环的数；

B. ∵ ，∴2，1，4是该循环的数；

C. ∵ ，∴1，4，2是该循环的数；

D. ∵ ，∴2，4，1不是该循环的数.故选D.

6. 【答案】A.

【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.