椭圆与双曲线的基本概念与性质

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：

（一）椭圆

1.椭圆的定义

如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆

即|PF1|+|PF

2|=2a其中P是动点，F

1,F

2是定点且|F

1F

2|=2C

当a>c时表示

当a=c时表示

当a

第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0

2.椭圆的标准方程参数方程

（1）标准方程

（2）参数方程

3.椭圆的性质

（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程

x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距

离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF

2|=(F

1，F

2分别为椭

圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称

轴的弦）|P1P

2|=

（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程

x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距

离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF

2|=(F

1，F

2分别为椭

圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)

4.椭圆系

（1）共焦点的椭圆系方程为22

21xy

kkc

(其中k>c2,c为半焦距)

（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程22

22(0)xy

ab

(二)双曲线

1.双曲线的定义

如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动

点的轨迹是双曲线

若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨

迹是双曲线的一支

F

1，F

2为两定点，P为一动点，(1)若||PF

1|-|PF

2||=2a

①0<2a<|F1F

2|则动点P的轨迹是

②2a=|F1F

2|则动点P的轨迹是

③2a=0则动点P的轨迹是

(2)若|PF

1|-|PF

2|=2a

①0<2a<|F1F

2|则动点P的轨迹是

②2a=|F1F

2|则动点P的轨迹是

③2a=0则动点P的轨迹是

2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质

圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总

一、圆椭圆双曲线抛物线的定义

1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。圆由圆心和半径唯一确定。

2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。

3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。

4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。抛物线由焦点和直线唯一确定。

二、圆椭圆双曲线抛物线的方程

1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。

2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。

3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b²

= 1，取决于焦点的位置。

4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。

三、圆椭圆双曲线抛物线的性质

1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。

2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。

3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。

4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。

四、圆椭圆双曲线抛物线的应用

1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。

2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。

3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。

4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。

五、总结

圆椭圆双曲线抛物线是数学中常见的曲线，它们有着不同的定义、方程和性质，也有着各自的应用领域。深入理解这些曲线的知识点，有助于对数学和应用数学领域有更加深入的理解和运用。六、圆椭圆双曲线抛物线的参数方程及极坐标方程

高中数学 一．椭圆

标准

方程 （焦点在x轴）

)0(12222babyax （焦点在y轴）

)0(12222babxay

定 义 第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。aMFMFM221212FFa

®®®

第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线。

范 围 xa yb xb ya

顶点坐标 )0,(a (0,)b ),0(a (,0)b

对 称 轴 x轴，y轴；长轴长为a2，短轴长为b2 M

1F 2F xyM M1F 2F

xyMM

1F 2F xyO M1F 2F

xyO

高中数学 对称中心 原点(0,0)O

焦点坐标 1(,0)Fc 2(,0)Fc 1(0,)Fc 2(0,)Fc

焦点在长轴上，22cab； 焦距：122FFc

离 心 率 ace (01e) ,abaace22222，

e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆。

准线方程 cax2 cay2

准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：ca22

顶点到准线的距离 顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为aca2

顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2

焦点到准线的距离 焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为cca2

焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2

椭圆上到焦点的最大（小）距离 最大距离为：ac

最小距离为：ac

相关应用题：远日距离ac

近日距离ac

椭圆的参数方程 cossinxayb（为参数） cossinxbya（为参数）

高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总

一、椭圆的定义和基本特性

1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a（a>0）的点P的轨迹。

2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。

3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。

二、双曲线的定义和基本特性

1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。

2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。

3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,

b>0），中心在原点，x²项系数为正。

三、抛物线的定义和基本特性

1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P的轨迹。

2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。 3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。

四、椭圆双曲线抛物线的性质比较

1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。

2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。

3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。

五、高中数学中的应用

1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。

2. 工程中的应用：椭圆、双曲线和抛物线的几何性质和轨迹特点在工程设计、建筑设计等领域有广泛的应用，比如抛物线反射器、椭圆运动轨迹等。