高考复习-利用导数研究函数的单调性及极值和最值

利用导数研究函数的单调性及极值和最值知识集结知识元利用导数研究函数的单调性问题

知识讲解1．利用导数研究函数的单调性

【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：

（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的

解集与定义域的交集的对应区间为增区间；

（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的

解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：

（1）确定f（x）的定义域；

（2）计算导数f′（x）；

（3）求出f′（x）＝0的根；

（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′

（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，

对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】

题型一：导数和函数单调性的关系

典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）

＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，

即f（x）﹣2x﹣4＞0，

设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，

则g′（x）＝f′（x）﹣2，

∵对任意x∈R，f′（x）＞2，

∴对任意x∈R，g′（x）＞0，

即函数g（x）单调递增，

∵f（﹣1）＝2，

∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，

则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，

即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），

故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用

典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的

t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值

范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）

当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；

当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；

当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）

∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2

∴

由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，

所以有：，∴（10分）

（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，

由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，

∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，

∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）

∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴

【解题方法点拨】

若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数

（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲

利用导数研究函数的单调性问题

例1.函数f（x）=ex-3x+2的单调减区间为__________．例2.若函数y=-x3+ax在[1，+∞）上是单调函数，则a的最大值是___．

例3.

函数f（x）=sinx-x，x∈（0，）的单调递增区间是_______．利用导数研究函数的极值与最值问题

知识讲解1．利用导数研究函数的极值

【知识点的知识】1、极值的定义：

（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f

（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值

点；

（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f

（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值

点．

2、极值的性质：

（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较

是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；

（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一

个；

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大

值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）

是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）

是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是

极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果

左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f

（x）在这个根处无极值．

【解题方法点拨】

在理解极值概念时要注意以下几点：

（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．

（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连

续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于

另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值

大，极小值不一定比极大值小．

（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上

单调的函数没有极值．

（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大

值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有

限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，

（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点

也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究函数的最值

【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f

（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．

一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．

说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；

（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值

得出的．

（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分

条件而非必要条件．

（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也

可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：

由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行

比较，就可以得出函数的最值了．

设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值

的步骤如下：

（1）求f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】

在理解极值概念时要注意以下几点：

（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．

（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连

续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于

另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值

大，极小值不一定比极大值小．

（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上

单调的函数没有极值．

（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交

替出现的，

（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲

利用导数研究函数的极值与最值问题

例1.函数y=lnx-ex在[1，e]最大值为（）A．1-eeB．C．-eD．

例2.己知定义域为（1，+∞）的函数f（x）=ex+a-ax，若f（x）>0恒成立，则正实数a的取值范围

为（）A．（0，e2]B．（0，e2）C．[1，e2]D．（1，e2）

例3.函数f（x）=x2-lnx的最小值为（）

A．1+ln2B．1-ln2C．D．

当堂练习单选题