一元二次不等式解法

一元二次不等式的解法

[学习目标]

1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

2.掌握图像法解一元二次不等式

[教学过程]

一、一元二次不等式的概念

一元二次不等式

定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式

表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数

解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合

ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合

思考 下列不等式是一元二次不等式的有________．

①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.

答案 ①②

解析 ①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．

二、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像

ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根

ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} 错误! R

ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅

思考 一元二次不等式解集的端点(非无穷大的一侧)与对应一元二次方程的根________．(填“相同”或“不相同”)

等式，分式不等式，高次不等式的简单解法，对含参的一元二　次不等式的解法做深入阐述．　关键词：一元二次方程；二次函数；一元二次不等式　一元二次不等式的解法是职高数学教学的重点和难点之一．　从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该　内容涉及的知识点较多且应用广泛．从思想层次上看，它涉及到　数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想　将在中学数学中产生广泛而深远的影响．以下从一元二次不等式　入手，讨论绝对值值不等式，分式不等式，高次不等式以及含　参数的一元二次不等式的解法．　一、一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系　ｎ＞０　△＞０　△＝０　△＜０　一元二次函数Ｙ＝　＼　＼＼＼／／／　（ＩＸ　＋ｈ＋ｃ的图象　ｌ＝Ｘ２　元二次方程　：＋　有两实根　有两相等的实根　无实根　６　＋Ｃ＝０的根　＝　Ｉ旦ｋ　＝　２　＝　１＝Ｘ２　一元二次不等式　：＋　｛　ｌ　＜　ｌ，或　＞　≠丢｝　Ｒ　ｂ　＋ｃ＞０的解集　一元二次不等式　＋　｛　ｌ　１＜　＜　２｝　６　＋ｃ＜０的解集　一元二次方程的根，一元二次不等式的解集以及二次函数　的图象结合起来解决问题．即一元二次方程根的分布转化为～元　二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数的值域问题　来求解．　例１解下列一元二次不等式：　（１）２ｘ　＋乱＋３＜０；　（２）一３ｘ　一２ｘ＋８≤０：　（３）８ｘ一１≥１６ｘ０．　解：（１）因为△＝４　～４×２　Ｘ　３＝１６—２４＝一８＜０，　所以方程２ｘ２＋乱＋３＝０没有实根．　所以　＋乱＋３＜０的解集为　．　（２）原不等式等价于３　＋２ｘ一８≥０甘（　＋２）（３　～４）≥　０　≤一２或　≥　４．　ｊ　所以不等式的解集为（一。。，一２　３Ｕ［丁４，＋　）．　２８基础教育论坛［２０１２年第４期　所以只有当４ｘ一１＝０，即　＝丁１时不等式成立，　故不等式解集为｛｝｝．　【注】一元二次不等式ｏｇｇ　＋６　＋ｃ＞０（＜０）（０≠０）的解题步骤：　（１）将二次项系数化为正数；　（２）看判别式△的符号；　（３）求出相应一元二次方程的根（若根存在）；　（４）根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的　关系，结合不等号定解集．　有时通过因式分解，直接求出方程的根．　二、与一元二次不等式有关的其他不等式的解法　１．解含有绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号．去绝　对值的常用方法有：　（１）依据绝对值的定义：即ｌ。Ｉ＝ｆ。－（ａ。（ａ≥＜。Ｏ）．，　（２）利用不等式的性质：｛ｌ厂（　）ｌ＜６１，得一。＜ｆ（　）＜ｎ；　ｌｆ（ｘ）ｌ＞。得ｆ（　）＞ｏ，或ｆ（ｘ）＜一ｎ．　（３）平方法：将不等式两边同时平方去绝对值符号，两边　非负．　（４）解含多个绝对值符号的不等式，常根据绝对值的定义去　绝对值符号，求解过程不要漏掉区间端点的讨论，以免漏解．　例２解下列不等式：　（１）ｌ　一３　ｌ＞２ｘ；　（２）｝．１７＋２　Ｊ＞ｆ　一１　ｌ一３．　（１）解法一：（定义法）　原不等式等价于｛　：：３＿　）　，或ｉ（２　：－一３，＜）＞０，　．　解得　＞３或　≤一ｘ／３或一、／３＜　＜１．　故原不等式的解集为｛　ｌ　＞３或　＜１｝．　解法二：（平方法）　原不等式　）２＞　或　．　解得　＞３或０≤　＜１或　＜０．　故原不等式的解集为｛　Ｉ　＜Ｉ或　＞３｝．　解法三：（图象法）　令Ｙ１＝ｌ　一３　ｌ，　＝２ｘ，可知交点坐标为（１，２）和（３，６）．　故满足Ｙ　＞　的不等式的解集为｛　Ｉ　＜１或　＞３｝．　（２）分别令　＋２＝０，　一１＝０，得原不等式的零点为一２，１．

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法 设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

注意：

（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集。

知识点三：解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程

规律方法指导

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数

二次函数

（）的图象

经典例题透析

类型一：解一元二次不等式

1．解下列一元二次不等式

（1）； （2）； （3）

思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

总结升华：

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.

第二课时 一元二次不等式解法(一)

教学目标：

通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想，提高运算(变形)能力，渗透由具体到抽象思想.

教学重点：

一元二次不等式解法

教学难点：

一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.

数形结合思想渗透.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

1.｜x｜＞a及｜x｜＜a(a＞0)型不等式解法.

2.｜ax＋b｜＜c及｜ax＋b｜＞c（c＞0）解的结果.

3.绝对值符号去掉的依据是什么?

Ⅱ.讲授新课

1.“三个一次”关系

在初中我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数.它们之间具有什么关系呢?

我们共同来看下面问题：

y＝2x－7

其部分对应值表

x

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y －3 －2 －1 0 1 2 3

图象：

填表：

当x＝3.5时，y＝0，即2x－7＝0

当x＜3.5时，y＜0，得2x－7＜0

当x＞3.5时，y＞0，得2x－7＞0

注：(1)引导学生由图象得结论.(数形结合)，(2)由学生填空.

从上例的特殊情形，可得到什么样的一般结论？

教师引导下让学生发现其结论.

一般地，设直线y＝ax＋b与x轴的交点是(x0，0)就有如下结果.

一元一次方程 ax＋b＝0的解集是{x｜x＝x0}

一元一次不等式ax＋b＞0（＜0)解集

(1)当a＞0时，一元一次不等式

ax＋b＞0的解集是{x｜x＞x0}，一元

一次不等式ax＋b＜0的解集是

{x｜x＜x0}.

(2)当a＜0时，一元一次不等式

ax＋b＞0的解集是{x｜x＜x0}；一元

一次不等式ax＋b＜0的解集是{x｜x＞x0}. 2.“三个二次”的关系

一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间关系.

从下面特例寻求“三个二次”关系.

举例：y＝x2－x－6，对应值表

x －3 －2 －1 0 1 2 3 4

y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6