2018学年萧山区九上期末测试卷

期末综合达标测试卷(满分：120分 时间：120分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在BC 、AC 边上．若BD ＝CD ，∠B ＝∠CDE ，DE ＝2，则AB 的长为( A )第2题A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC ＝50°，则∠CDB 的度数为( A )第3题A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点C ′处，并且C ′D ∥BC ，则CD 的长是( A )第4题A ．409B ．509C ．154D ．2545．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是( C )A ．15B ．25C ．35D ．236．在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝bx 2＋a (b ≠0)的图象可能是( C )7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦DC ⊥AB 于点E ，∠DCB ＝30°，EB ＝3，则弦DC 的长度为( D )第7题A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 38．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别在AD 和BC 上，AB ∥EF ∥DC ，且DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，则FB 等于( B )第8题A ．32B ．83C ．5D ．69．在一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为23，应在该盒子中再添加红球( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．已知关于x 的方程ax －x 2＋2x －3＝0只有一个实数根，则实数a 的取值范围是( C )A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ≠0D ．a 为一切实数二、填空题(每小题4分，共32分)11．给出下列四个函数：①y ＝－x ；②y ＝x ；③y ＝1x ；④y ＝x 2(x ＜0)．其中，y 随x 的增大而减小的函数有 ①④ .(写出正确答案的序号)12．如图，D 、E 两点分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE 与BC 不平行，当满足条件__∠ADE ＝∠C (答案不唯一)__(写出一个即可)时，△ADE ∽△ACB .第12题13．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵ ＝CD ︵ ＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是__51°__ .第13题14．如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC .若BD ＝4，DA ＝2，BC ＝5，则EC ＝ 53.第14题15．在一个暗箱里放有m 个除颜色外其他完全相同的球，这m 个球中绿球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到绿球的频率稳定在25%，那么可以推算出m 大约是__12__.16．出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出(6－x )个，则当x ＝__3__元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．17．一个扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则此扇形的半径为__9__ .18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发，设运动时间为t s ，当t ＝6411或245时，△CPQ 与△CBA 相似．第18题三、解答题(共58分)19．(8分)在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1,2,3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M 的横坐标，将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M 的纵坐标．(1)写出点M 坐标的所有可能的结果； (2)求点M 在直线y ＝x 上的概率；(3)求点M 的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率． 解：(1)列表如下：纵坐标 横坐标1 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3(3,1)(3,2)(3,3)由表可知，点M ，(3,1)，(3,2)，(3,3)． (2)由表可得，点M 在直线y ＝x 上的结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，共3个，∴所求概率P ＝39＝13.(3)点M 的横、纵坐标之和为偶数的结果有(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，共5个，∴所求概率P ＝59.20．(8分)如图，AB ＝3AC ，BD ＝3AE ，BD ∥AC ，点B 、A 、E 在同一条直线上．第20题(1)求证：△ABD ∽△CAE ；(2)如果AC ＝BD ，AD ＝22BD ，设BD ＝a ，求BC 的长．(1)证明：∵BD ∥AC ，点B 、A 、E 在同一条直线上，∴∠DBA ＝∠CAE .又∵AB AC ＝BDAE ＝3，∴△ABD ∽△CAE .(2)解：∵AB ＝3AC ＝3BD ，AD ＝22BD ，∴AD 2＋BD 2＝8BD 2＋BD 2＝9BD 2＝AB 2， ∴∠D ＝90°.由(1)得∠E ＝∠D ＝90°.∵AE ＝13BD ，EC ＝13AD ＝223BD ，AB ＝3BD ，∴在Rt △BCE 中，BC 2＝(AB ＋AE )2＋EC 2＝12BD 2＝12a 2，∴BC ＝23a .21．(9分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D .求证：第21题(1)D 是BC 的中点；(2)△BEC ∽△ADC ； (3)BC 2＝2AB ·CE .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD 是底边BC 上的高．又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形，∴D 是BC 的中点． (2)∵∠CBE 与∠CAD 是同弧所对的圆周角，∴∠CBE ＝∠CAD .又∵∠BCE ＝∠ACD ，∴△BEC ∽△ADC . (3)由△BEC ∽△ADC ，知CD AC ＝CE BC ，即CD ·BC ＝AC ·CE .∵D 是BC 的中点，∴CD ＝12BC .又∵AB ＝AC ，∴12BC ·BC ＝AB ·CE ，即BC 2＝2AB ·CE . 22．(9分)如图，已知AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上一点，连结BP ，并延长BP 到点C ，使PC ＝PB ，连结AC .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AB ＝4，∠ABC ＝30°，求阴影部分的面积．第22题(1)证明：连结AP .∵AB 是半圆O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴AP ⊥BC .又∵PC ＝PB ，∴△ABC 是等腰三角形，即AB ＝AC . (2)解：∵∠APB ＝90°，AB ＝4，∠ABC ＝30°，∴AP ＝12AB ＝2，∴BP ＝AB 2－AP 2＝2 3.连结OP .∵∠ABC＝30°，∴∠P AB ＝60°，∴∠POB ＝120°.∵点O 是AB 的中点，∴S ΔPOB ＝12S ΔP AB ＝12×12AP ·PB ＝14×2×23＝3，∴S 阴影＝S 扇形BOP －S ΔPOB ＝120π×22360－3＝43π－ 3. 23．(10分)某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y (单位：元)与销售价x (单位：元/件)之间的函数解析式； (2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？ (4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？并求出最大利润．解：(1)由题意，得y ＝(x －30)[600－10(x －40)]＝－10x 2＋1300x －30 000. (2)当x ＝45时，600－10(x －40)＝550，y ＝550×(45－30)＝8250.即月销售量和销售利润分别为550件，8250元． (3)当y ＝10 000时，即10 000＝－10x 2＋1300x －30 000，解得x 1＝50，x 2＝80.当x ＝80时，600－10×(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元． (4)y ＝－10x 2＋1300x －30 000＝－10(x －65)2＋12 250，故当x ＝65时，y 有最大值．即当销售价定为65元时获得最大利润，最大利润为12 250元．24．(14分)如图，已知抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与y 轴相交于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)，点C 的坐标为(0，－1)．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△CDE 的面积最大时，求点D 的坐标； (3)在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．第24题解：(1)将A 、C 的坐标代入y ＝12x 2＋bx ＋c ，易得二次函数的解析式为y ＝12x 2－12x －1. (2)设点D 的坐标为(m,0)(0＜m ＜2)，则OD ＝m ，AD ＝2－m .由△ADE ∽△AOC ，得AD AO ＝DE OC .∴2－m 2＝DE 1，∴DE ＝2－m 2，∴△CDE 的面积为12×2－m 2×m ＝－14(m －1)2＋14.当m ＝1时，△CDE 的面积最大，此时点D 的坐标为(1,0)． (3)存在．易求得直线BC 的解析式为y ＝－x －1.在Rt △AOC 中，∠AOC ＝90°，OA ＝2，OC ＝1，∴AC ＝ 5.∵OB ＝OC ，∴∠BCO ＝45°.①当PC ＝AC ＝5时，设P (k ，－k －1)．过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，如图1，则∠HCP ＝∠BCO ＝45°，CH ＝PH ＝|k |.在Rt △PCH 中，k 2＋k 2＝()52，解得k 1＝102，k 2＝－102.∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫102，－102－1或⎝⎛⎭⎫－102，102－1；②当AC ＝AP ＝5时，设P (k ，－k －1)．过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，如图2.AG ＝|2－k |，GP ＝|－k －1|.在Rt △APG 中，由AG 2＋PG 2＝AP 2，可得k 1＝1，k 2＝0(舍去)，∴P (1，－2)；③当PC ＝AP 时，设P (k ，－k －1)．过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，PL ⊥x 轴于点L ，如图3，∴L (k,0)，∴△QPC 为等腰直角三角形，PQ ＝CQ ＝k ，∴CP ＝P A ＝2k .在Rt △APL 中，AL ＝|k －2|，PL ＝|－k －1|，∴(2k )2＝(k －2)2＋(k ＋1)2，解得k ＝52，∴P ⎝⎛⎭⎫52，－72.综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫102，－102－1或⎝⎛⎭⎫－102，102－1或(1，－2)或⎝⎛⎭⎫52，－72.图1图2图3。

浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末化学试卷一、选择题1．（3分）下列化学方程式书写正确的是（）A．2NaOH+SO2═NaSO4+H2OB．C+2CuO═CO2↑+2CuC．Cu+2AgNO3═Cu（NO3）2+2AgD．Fe+2S FeS22．（3分）在试管中加入3毫升浓盐酸，发现试管内和试管口有白雾出现，然后在试管中加一定体积的氢氧化钠溶液，在反应后的液体中滴加酚酞试液不变色，下列判断正确的是（）A．盐酸一定没有残留B．氢氧化钠一定没有残留C．氢氧化钠和盐酸恰好完全反应D．白雾实质上是汽化的盐酸3．（3分）金属（Co）元素在化合物中常显+2，+3价，与铁元素类似．其碱和盐的溶解性情况与化学性质也与对应价态的铁元素类似．表是酸、碱和盐的溶解性表（20℃）中的一部分，据此判断下列有关①处物质的说法不正确的是（）部分酸、碱和盐的溶解性表（20℃）阳离子阴离子OH﹣NO3﹣………Zn2+不溶Co2+①溶………A．①处物质属于碱B．①处物质不溶于水C．①处物质不能与盐酸反应D．①处物质的化学式是Co（OH）24．（3分）下列是四位同学分别设计的实验方案，可行的是（）A．用BaCl2溶液除去KNO3溶液中混有的少量K2SO4，得到纯净的KNO3溶液B．向盐酸和氢氧化钠混合后的溶液中滴加硝酸银溶液，有白色沉淀产生，就可证明盐酸和氢氧化钠发生了化学反应C．鉴别棉纤维和羊毛纤维，可以通过灼烧、闻燃烧产生的气味、观察燃烧情况和灰烬等方法来实现D．除去硫酸铁溶液中混有的硫酸，可以往其中加入铁粉5．（3分）在下列试剂中，可以一次将氢氧化钡、盐酸、碳酸钠三种溶液区分开来的试剂是（）A．稀硫酸B．氢氧化钡溶液C．硝酸银溶液D．稀硝酸6．（3分）正确的实验步骤对实验的成功与否至关重要．下列对“先”与“后”的叙述不正确的是（）A．稀释浓硫酸时，先将水倒入烧杯中，后将浓硫酸加入水中B．检验甲烷燃烧的产物时，先将产物经过无水硫酸铜，再经过澄清石灰水C．研究杠杆平衡条件时，先调节平衡螺母，后挂钩码D．检验pH对唾液淀粉酶的影响时，在含有淀粉糊的试管中，先加入稀盐酸，再加入唾液7．（3分）如图所示为向一定量某固体中逐滴加入某溶液至过量．若x轴表示加入溶液的质量，则y轴表示的含义是（）A．A B．B C．C D．D二、实验填空题8．（7分）有一包固体，可能由硝酸铜、硫酸铜、氯化钠、碳酸氢钠、氢氧化钠中的一种或几种组成，为了探究该固体的组成，某化学小组设计并开展以下实验：（1）原固体中一定含有的物质是；（2）检验该无色气体的化学方程式；（3）步骤II中产生白色沉淀的化学方程式是；（4）某同学认为：“步骤Ⅲ产生白色沉淀，说明原固体中一定存在氯化钠”，你是否支持该观点？并写出理由．9．（7分）如图所示是氢气和氧化铜反应的实验装置图．请分析回答：（1）整个实验过程合理的操作顺序是（填字母序号）A．加热B．通氢气C．停止加热D．停止通氢气（2）在实验过程中但看到的现象是，氢气和氧化铜反应能产生土红色的中间产物Cu2O，写出生成Cu2O的反应方程式，这个反应体现了氢气的．10．（6分）NaOH与HCl的反应无明显现象，某化学兴趣小组为证明NaOH与HCl发生了化学反应，进行了如下实验探究．（1）小倩在试管中加入约2ml稀NaOH溶液，滴入2滴酚酞溶液，振荡，溶液变为红色，然后向该试管中倒入稀盐酸，观察到溶液由红色变为无色，证明NaOH与HCl发生了反应．该反应的化学方程式为；（2）小娜使用与小倩相同的试剂，通过改进上述实验中某一步的操作方法，不但证明NaOH与HCl发生了反应，还能验证二者恰好完全反应，小娜改进的实验操作中关键的一点是；（3）H2S（其溶液称为氢硫酸）与HCl化学性质相似，请写出氯硫酸与Ca（OH）2溶液反应的化学方程式．11．（8分）科学兴趣小组对某品牌牙膏中碳酸钙含量进行以下探究．该牙膏摩擦剂主要由碳酸钙、氢氧化铝组成，其他成分遇到盐酸时无气体生成．现利用如图所示装置（图中夹持仪器略去）进行实验，充分反应后，测定C中生成的BaCO3沉淀质量，以确定碳酸钙的质量分数．请回答下列问题．依据实验过程回答下列问题：（1）实验过程中先后两次鼓入空气，第二次鼓入空气的目的是．（2）写出C中的化学方程式是．（3）实验中准确称取三份样品各10.00g，进行三次测定，测得BaCO3平均质量为3.94g．则样品中碳酸钙的质量分数为．（4）某同学提出将C中Ba（OH）2溶液换成NaOH溶液，通过测定C装置反应前后的质量差也可以测定CaCO3的含量，实验证明按此测定的结果偏高，原因是．三、分析、计算题12．将20gNa2CO3和NaCl的固体混合物倒入烧杯中加热溶解，向其中逐渐滴加溶质质量分数为10%的稀盐酸，放出气体的总质量与所滴入稀盐酸的质量关系曲线如图所示，请根据题意回答问题：（1）当滴加稀盐酸至图中B点时，烧杯中溶液的pH7．（2）放出气体的总质量；（3）原固体混合物中Na2CO3的质量分数．13．（6分）某样品为Cu和CuO的混合物，为测定样品中CuO的含量，甲、乙、丙三位学生用同一种样品分别进行实验，测得的数据如下表：学生物质质量甲乙丙所取固体样品的质量/g252020加入硫酸溶液的质量/g100100120反应后剩余固体的质量/g171212（1）甲、乙、丙中恰好完全反应的一组是，理由是．（2）求硫酸溶液中溶质的质量分数．浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末化学试卷参考答案一、选择题1．C；2．B；3．C；4．C；5．A；6．D；7．C；二、实验填空题8．硫酸铜、碳酸氢钠；CO2+Ca（OH）2═CaCO3↓+H2O；CuSO4+Ba（NO3）2＝Cu（NO3）2+BaSO4↓；不赞成，一开始加入过量稀盐酸，因此溶液中一定有氯离子，会生成氯化银沉淀；9．BACD；黑色粉末变红；2CuO+H2Cu2O+H2O；还原性；10．NaOH+HCl ═NaCl+H2O；将稀盐酸倒入氢氧化钠溶液中改为逐滴加入稀盐酸至红色恰好完全消失；H2S+Ca（OH）2＝CaS+2H2O；11．驱赶残留在装置中的CO2以使生成的CO2完全被吸收；CO2+Ba（OH）2═BaCO3↓+H2O；20%；B中的水蒸气、氯化氢气体等进入装置C中；三、分析、计算题12．＜；13．乙；甲同学硫酸量不足，乙同学恰好完全反应，丙同学酸剩余；。

浙教版2018-2019学年九年级上期末数学试卷一．选择题（共10小题，3*10=30）1．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（）A．B．C．D．12．将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣93．如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞BM，AD=AM，FB=BM，EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用S1，S2，S3，S4表示，EF与MG相交与点N，则以下结论正确的有（）①N是GM的黄金分割点②S1=S4③．A．①②B．①③C．③D．①②③4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B′C′的共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组5．用圆心角为60°，半径为24cm的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（）A．4πcm B．8πcm C．4cm D．8cm6．如图，E、F分别在矩形ABCD的边CD、AB上，EF⊥AB，G、H分别是BC、EF 的中点，EH＞HG，除矩形EFBC外，图中4个矩形都彼此相似，若BC=1，则AB等于（）A．B．C．D．7．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB的弦心距为（）A．B．2 C．D．8．二次函数y=x2+5x+4，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣9．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣610．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共6小题，4*6=24）11．若+x=3，则=．12．在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有个旋转对称图形．13．在盒子里放有四张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的卡片（卡片除所画内容不同外，其余均相同），从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率是．14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E，F为BC上一点，BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC 于点H．下列结论：①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=DH；④．其中正确的结论有．15．若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．16．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是．三．解答题（共7小题，66分）17．（8分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）18．（8分）如图，已知在⊙O中，AB=3，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．（1）求⊙O的半径；（2）求出图中阴影扇形OBD的面积．19．（10分）如图，点D在△ABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F．又知BC=5．（1）设△ABC的面积为S．若四边形AEFD的面积为；求BD长．（2）若；且DF经过△ABC的重心G，求E，F两点的距离．20．（10分）某批足球的质量检测结果如下：抽取足球数n1002004006008001000合格的频数m93192384564759950合格的频率0.930.960.960.94（1）填写表中的空格．（结果保留0.01）（2）画出合格的频率的折线统计图．（3）从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由．21．（10分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x（天）1≤x＜99≤x＜15x≥15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80﹣3x120﹣x储存和损耗费用（元）40+3x3x2﹣64x+400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？22．（10分）如图，已知⊙O的半径长为4，弦AB垂直平分半径OC，弦DE∥AB，过点B作AD的平行线交直线DE于点F．（1）当点E，F不重合时，试说明△BEF是等腰三角形．（2）填空：当AD=时，四边形ABFD是菱形．23．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C （4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t 的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（）A．B．C．D．1【分析】让2除以总人数即为所求的可能性．【解答】解：选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三种情况．故甲被选中的可能性是．故选：C．【点评】本题考查的是可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．2．将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5 C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣9【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=（x﹣3）2﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．3．如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞BM，AD=AM，FB=BM，EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用S1，S2，S3，S4表示，EF与MG相交与点N，则以下结论正确的有（）①N是GM的黄金分割点②S1=S4③．A．①②B．①③C．③D．①②③【分析】首先证明四边形AMGD，四边形BMNF都是正方形，推出AM=AD=MG=BC，MB﹣BF=MN=FN，由点M是线段AB的黄金分割点，AM＞BM，推出AM2=BM•AB，可得S1+S3=S3+S4，推出S1=S4，故②正确，推出MN2=GN•DG=NG•GM，可得N是GM 的黄金分割点，故①正确，因为==，由=．可得==，故③错误；【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AM=AD，BM=BF，∴四边形AMGD，四边形BMNF都是正方形，∴AM=AD=MG=BC，MB﹣BF=MN=FN，∵点M是线段AB的黄金分割点，AM＞BM，∴AM2=BM•AB，∴S1+S3=S3+S4，∴S1=S4，故②正确，∴MN2=GN•DG=NG•GM，∴N是GM的黄金分割点，故①正确，∵==，∵=．∴==，故③错误，故选：A．【点评】本题考查黄金分割、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案．【解答】解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．故选：C．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．用圆心角为60°，半径为24cm的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（）A．4πcm B．8πcm C．4cm D．8cm【分析】正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．扇形中已知圆心角，半径，则根据扇形的弧长公式l===8π，设底面圆的半径是r，则8π=2πr，∴r=4cm．【解答】解：根据扇形的弧长公式l===8π，设底面圆的半径是r，则8π=2πr∴r=4cm，这个圆锥底面的半径是4cm．故选：C．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．6．如图，E、F分别在矩形ABCD的边CD、AB上，EF⊥AB，G、H分别是BC、EF的中点，EH＞HG，除矩形EFBC外，图中4个矩形都彼此相似，若BC=1，则AB等于（）A．B．C．D．【分析】根据条件矩形ABCD∽矩形EHGC，根据相似多边形对应边的比相等，即可求解．【解答】解：GC=BC=0.5．设AB=CD=x，CE=y．则DE=x﹣y．∵矩形ABCD∽矩形EHGC．∴=，即=（1）∵矩形ABCD∽矩形ADEF．∴=，即=（2）由（1）（2）解得：x=．故选：C．【点评】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．7．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB的弦心距为（）A．B．2 C．D．【分析】设AC和BD的交点是O．过点O作GH⊥CD于G，交AB于H．根据等角的余角相等以及圆周角定理可以证明点H是AB的中点．再过点O作MN⊥AB于M，交CD于点N．同样可以证明N是CD的中点．设该圆的圆心是O′，连接O′N、O′H．根据垂径定理的推论，得O′N⊥CD，O′H⊥AB．则O′N∥GH，O′H∥MN，则四边形O′NOH是平行四边形，则O′H=ON=CD=2．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于N，交CD于点M．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．【点评】此题综合运用了等角的余角相等以及等弧所对的圆周角相等，发现垂直于一边的直线，和另一边的交点正好是它的中点．再根据垂径定理的推论，得到垂直，发现平行四边形．根据平行四边形的对边相等，即可求解．8．二次函数y=x2+5x+4，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【分析】首先利用配方法把二次函数化成顶点式的形式，然后利用二次函数的性质判断．【解答】解：y=x2+5x+4=（x+）2﹣，二次项系数是1＞0，则函数开口向上，故A错误；函数的对称轴是x=﹣，顶点是（﹣，﹣），B错误；则D正确，函数有最小值是﹣，选项C错误．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式求最值是解题的关键，即二次函数y=a（x﹣h）2+k当x=h时有最值k．9．如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）A．1 B．2 C．12﹣6 D．6﹣6【分析】首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，∵AB=AC，AD=AG，∴AD：AB=AG：AC，∵∠BAC=∠DAG，∴△ADG∽△ABC，∴∠ADG=∠B，∴DG∥BC，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，∴FH⊥BC，AN⊥DG，∵AB=AC=18，BC=12，∴BM=BC=6，∴AM==12，∴，∴AN=6，∴MN=AM﹣AN=6，∴FH=MN﹣GF=6﹣6．故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】求方程x2+2x+1=的解，可以理解为：二次函数y=x2+2x+1与反比例函数y=的图象交点的横坐标．【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴这两个函数只在第一象限有一个交点．即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．故选：B．【点评】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数．二．填空题（共6小题）11．若+x=3，则=．【分析】将方程+x=3的两边平方，得：=9，∴=7，代入化简后的式子即可．【解答】解：将方程+x=3的两边平方，得：=9，∴=7，∵x≠0，∴===．故答案为．【点评】根据所求分式，将已知条件中的分式方程进行变形，从而求出=7，是解答问题的关键．12．在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有4个旋转对称图形．【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可．【解答】解：在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形．故答案为4；【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．13．在盒子里放有四张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的卡片（卡片除所画内容不同外，其余均相同），从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率是．【分析】先根据轴对称图形的定义得到在所给图形中轴对称图有等边三角形、矩形、圆三个，然后根据概率公式进行计算．【解答】解：因为在等边三角形、平行四边形、矩形、圆中，轴对称图有等边三角形、所以从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率是．故答案为．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了轴对称图形．14．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E，F为BC上一点，BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC 于点H．下列结论：①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=DH；④．其中正确的结论有①②③④．【分析】先判断出△ABC是等腰直角三角形，过点E作EF′⊥BC于F′，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=EF′，再根据等腰直角三角形的性质可得BF′=EF′，从而确定点F、F′重合，再利用“HL”证明△ACE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=CF，根据等腰三角形三线合一的可得AF⊥CE，判断出①正确；求出∠AFC=∠FAC=67.5°，再求出∠DAG=∠AFB=112.5°，∠BAF=∠ACE=22.5°，再根据点A、G、C、D四点共圆得到∠ADG=∠ACE，然后利用两组角对应相等，两三角形相似判断出②正确；求出△ACF和△HCD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AF=DH，判断出③正确；根据S四边形ADCG=S△ACG+S△ADC，利用三角形的面积列出整理成AF•DG的形式，再把AF用DG表示，然后代入进行计算即可判断④正确．【解答】解：∵∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，过点E作EF′⊥BC于F′，则△BEF′是等腰直角三角形，∴BF′=EF′，∵CE平分∠ACB，∴AE=EF′，∵BF=AE，∴BF=BF′，∴点F、F′重合，在△ACE和△FCE中，，∴△ACE≌△FCE（HL），∴AC=CF，∵CE平分∠ACB，∴AF⊥CE，故①正确；∵∠AFC=∠FAC=90°﹣×45°=67.5°，∴∠DAG=∠AFB=112.5°，∠BAF=∠ACE=×45°=22.5°，∵∠AGC=90°，∠ADC=90°，∴点A、G、C、D四点共圆，AC是直径，∴∠ADG=∠ACE=22.5°，∴∠ADG=∠BAF，∴△ABF∽△DGA，故②正确；∵∠CDH=90°﹣∠ADG=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠CDH=∠FAC=67.5°，又∵∠ACF=∠ACD=45°，∴△ACF∽△HCD，∴=，∵△ACD中，∠ACD=90°﹣45°=45°，∠ADC=90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AC=CD，∴AF=DH，故③正确；∵∠GDC=∠GCD=90°﹣22.5°=67.5°，∵△ABF∽△DGA，∴=，∴AF•DG=AD•AB=AD•AD=AD2，∴AD2=AF•DG，S四边形ADCG=S△ACG+S△ADC，=AG•CG+AD•CD，=×AF•DG+×AF•DG，=AF•DG，∵DG=DH+GH=DH+AG=AF+AF=AF，∴AF=DG，=×DG•DG=DG2，故④正确．∴S四边形ADCG综上所述，正确的结论有①②③④．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角梯形，根据角的度数22.5°和67.5°求出相等的角是解题的关键，也是本题的难点．15．若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．【解答】解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数16．在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P为矩形边上的一点，点P沿着B﹣C的路径运动（含点B和点C），则△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是．【分析】如图，连接AC、BD交于点O′．当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，因为△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，观察图象可知，点P沿着B﹣C的路径运动，△ADP的外接圆的圆心O的运动路径长是2OO′，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O′．当点P与B或C重合时，△PAD的外接圆的圆心与O′重合，当PA=PD时，设△PAD的外接圆的圆心为O，PO的延长线交AD于E，设PO=OD=x，Rt△ODE中，∵OD2=OE2+DE2，∴x2=（4﹣x）2+32，解得x=，∴OE=4﹣=，∵O′B=O′D，AE=DE，∴O′E=AB=2，∴OO′=O′E﹣OE=，∵△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，2OO′=．故答案为．【点评】本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找点O的运动轨迹，属于中考常填空题中的压轴题．三．解答题（共7小题）17．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为180cm．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）【分析】（1）设灯泡的位置为点P，易得△PAD∽△PA′D′，设出所求的未知数，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；（2）同法可得到横向影子A′B，D′C的长度和；（3）按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，用字母表示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离．【解答】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，∴=，解得x=180．（4分）（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，同理可得∴=，解得y=12cm；（3分）（3）记灯泡为点P，如图：∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得（1分）（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，∴=1﹣=1﹣x=（1分）．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质．18．如图，已知在⊙O中，AB=3，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．（2）求出图中阴影扇形OBD的面积．【分析】（1）由∠A=30°，可求得∠BOC=60°，再根据垂径定理得∠BOD=120°，求出BF以及OB的长即可；（2）由扇形面积公式求出阴影部分的面积即可．【解答】解：（1）∵AC⊥BD于F，∠A=30°，∴∠BOC=60°，∠OBF=30°，∠BOD=120°，∴BF=AB=，在Rt△BOF中，OB===，即⊙O的半径为；（2）图中阴影扇形OBD的面积==π．【点评】本题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质、三角函数、扇形面积的计算、以及圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由三角函数求出半径是解决问题的关键．19．如图，点D在△ABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE 交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F．又知BC=5．（1）设△ABC的面积为S．若四边形AEFD的面积为；求BD长．（2）若；且DF经过△ABC的重心G，求E，F两点的距离．【分析】（1）由题中条件可得△BDE∽△BCA∽△DCF，由相似三角形可得其面积比与对应边长的比的关系，进而再由题中的已知条件，求解其长度即可；（2）由平行线可得对应线段的比，通过线段之间的转化以及角的相等，可得△DEF∽△ABC，由其对应边成比例可得线段EF的长．【解答】解：如图，（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴△BDE∽△BCA∽△DCF，=S1，S△DCF=S2，记S△BDE∵S AEFD=S，∴S1+S2=S﹣S=S．①=，=，于是+==1，即+=，两边平方得S=S 1+S2+2，故2=S AEFD=S，即S1S2=S2．②由①、②解得S1=S，即=．而=，即=，解得BD===．（2）由G是△ABC的重心，DF过点G，且DF∥AB，可得=，则DF=AB．由DE∥AC，=，得DE=AC，∵AC=AB，∴=，==，得=，即=，又∠EDF=∠A，故△DEF∽△ABC，得=，所以EF=．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形的重心的一些基本知识，能够掌握并熟练运用．20．某批足球的质量检测结果如下：抽取足球数n1002004006008001000合格的频数m93192384564759950合格的频率0.930.960.960.940.950.95（1）填写表中的空格．（结果保留0.01）（2）画出合格的频率的折线统计图．（3）从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由．【分析】（1）根据频率=频数÷总数计算可得；（2）由表格中数据在坐标系内用点描出来，再用线段依次相连即可得；（3）根据频率估计概率，频率都在0.95左右波动，所以任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是0.95．【解答】解：（1）完成表格如下：抽取足球数n1002004006008001000合格的频数m93192384564759950合格的频率0.930.960.960.940.950.95（2）如图所示：（3）从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95，因为从折线统计图中可知，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定到常数0.95附近，所以从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了频率分布折线图．21．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间x（天）1≤x＜99≤x＜15x≥15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80﹣3x120﹣x储存和损耗费用（元）40+3x3x2﹣64x+400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价﹣进价）×销量﹣费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；（3）设第15天在第14天的价格基础上可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论．【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元），综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：y=，第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上可降a元，由题意得：380﹣127.5≤（8.1﹣4.1﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），252.5≤105（4﹣a）﹣115，a≤0.5，答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．22．如图，已知⊙O的半径长为4，弦AB垂直平分半径OC，弦DE∥AB，过点B作AD的平行线交直线DE于点F．（1）当点E，F不重合时，试说明△BEF是等腰三角形．（2）填空：当AD=4时，四边形ABFD是菱形．【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABFD是平行四边形．于是得到∠EFB=∠DAB．根据圆内接四边形的性质即可得到结论；（2）连接OA，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵DF∥AB，BF∥AD，∴四边形ABFD是平行四边形．∴∠EFB=∠DAB．∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠DEB=180°．又∵∠FEB+∠DEB=180°，∴∠FEB=∠DAB，∴BE=BF，∴△BEF是等腰三角形；（2）解：当AD=4时，四边形ABFD是菱形．理由：连接OA，∵⊙O的半径长为4，弦AB垂直平分半径OC，∴OA=4，OG=2，OG⊥AB，∴AG==2，∴AB=4，∴AD=AB=4时，四边形ABFD是菱形．故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，平行四边形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．23．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t 的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．【分析】（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB 的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，然后分①点O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A1、B1在抛物线上时，表示出点B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，。

2018-2019学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）已知＝，则＝（）A．B．C．D．2．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，0）3．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，则下列说法正确的是（）A．连续抛掷2次必有1次正面朝上B．连续抛掷10次不可能都正面朝上C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次D．通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的4．（3分）边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．25．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值是（）A．B．1C．D．6．（3分）如图，已知点P是四边形ABCD对角线AC上一点，PE∥CD交AD于点E，PF ∥BC交AB于点E，若＝，则四边形AFPE的周长l1与四边形ABCD的周长l2之比为（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝50°，∠AOC＝60°，则∠BAC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°9．（3分）已知二次函数y＝（ax﹣b）（x﹣1），当x＞1时，y随x的增大而增大，给出下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与坐标轴必有3个交点；③a≥b．则正确的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝a，点P在AD上，且AP＝2．点E是边AB上的动点，以PE为边作直角∠EPF，射线PF交边BC于点F．连接EF．给出下列结论：①tan∠PFE＝；②a的最小值为10．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对二、填空題：本题有6个小题，每小题4分，共24分11．（4分）计算：cos45°＝．12．（4分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为它是黄球概率的，则n＝．13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为．14．（4分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．15．（4分）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．若DH＝CH＝2，BD＝4，则：（1）AB的长为；（2）劣弧的长为．16．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为．三、解答题：本题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．（6分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣x+m的图象经过点（1，﹣2）（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标；（2）若P（﹣2，y1），Q（5，y2）两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小．19．（8分）已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，sin B＝，求△ABC的面积．20．（10分）如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD，矩形BNME，矩形CFMN组成，其中AE：BE＝1：3．已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设BC＝x（米），窗户边框ABCD的面积为S（米2）．（1）①用x的代数式表示AB；②求x的取值范围．（2）求当S达到最大时，AB的长．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：＝．（2）若BD＝2，BE＝3，求tan∠BAC的值．22．（12分）如图，▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠DCB交AD于点E，BF和CE相交于点P．（1）求证：AE＝DF．（2）已知AB＝4，AD＝5①求的值；②求四边形ABPE的面积与△BPC的面积之比．23．（12分）如图，等边△ABC中，点D是BC边上任一点，以AD为边作∠ADE＝∠ADF ＝60°，分别交AC，AB于点E，F．（1）求证：AD2＝AE•AC．（2）已知BC＝2，设BD的长为x，AF的长为y．①求y关于x的函数表达式；②若四边形AFDE外接圆直径为，求x的值．2018-2019学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）已知＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用比例的合比性质得到答案即可．【解答】解：∵＝，∴＝＝，故选：B．【点评】考查了比例的性质，牢记比例的合比性质是解答本题的关键，难度不大．2．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，0）【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（0，﹣2），故选：A．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．3．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，则下列说法正确的是（）A．连续抛掷2次必有1次正面朝上B．连续抛掷10次不可能都正面朝上C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次D．通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的【分析】根据概率的意义逐一判断即可得．【解答】解：A．连续抛掷2次可能有1次正面朝上，此选项错误；B．连续抛掷10次可能都正面朝上，但可能性较小，此选项错误；C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上接近50次，此选项错误；D．通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的，此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．4．（3分）边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．2【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OB＝．∴⊙O的半径是，故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．5．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值是（）A．B．1C．D．【分析】根据30°的正弦值是求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算．【解答】解：sin A＝，则∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠B＝60°，∴tan B＝tan60°＝，故选：D．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．6．（3分）如图，已知点P是四边形ABCD对角线AC上一点，PE∥CD交AD于点E，PF ∥BC交AB于点E，若＝，则四边形AFPE的周长l1与四边形ABCD的周长l2之比为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】由平行线截线段成比例求得四边形AFPE与四边形ABCD的对应边的比例，然后以后四边形的周长定义求得答案．【解答】解：∵PE∥CD，PF∥BC，＝，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝．故选：C．【点评】考查了平行线的性质，解题的关键是求得四边形AFPE与四边形ABCD的对应边的比例，难度不大．7．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．8．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝50°，∠AOC＝60°，则∠BAC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【分析】由圆心角∠AOC＝60°，可知圆周角∠ABC＝30°，所以∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°．【解答】解：∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝30°，∵∠ACB＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，关键是根据同弦所对圆心角与圆周角的关系解答．9．（3分）已知二次函数y＝（ax﹣b）（x﹣1），当x＞1时，y随x的增大而增大，给出下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与坐标轴必有3个交点；③a≥b．则正确的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由x＞1时，y随x的增大而增大，可知开口必定向上，否则不能满足x＞1时，y随x的增大而增大，故①正确；②当b＝0时，此时y＝ax（x﹣1），此时抛物线与坐标轴只有两个交点，故②错误；③x＞1时，y随x的增大而增大，∴，∵a＞0，∴b≤a，故③正确；故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝a，点P在AD上，且AP＝2．点E是边AB上的动点，以PE为边作直角∠EPF，射线PF交边BC于点F．连接EF．给出下列结论：①tan∠PFE＝；②a的最小值为10．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对【分析】①tan∠PFE＝，利用矩形ABCD四个直角，再加上∠EPF为直角，联想到构造三垂直模型，故过F作AD垂线，垂足为G，即有△AEP∽△GPF，且相似比为1：2，即求得tan∠PFE．②显然，若a要取最小值，则F、C要重合（G、D重合），又AE与PG为对应边，AE越小则PG（PD）越小，当AE＝0时，PD＝0最小，此时a＝2．【解答】解：过点F作FG⊥AD于点G∴∠FGP＝90°∵矩形ABCD中，AB＝4，∠A＝∠B＝90°∴四边形ABFG是矩形，∠AEP+∠APE＝90°∴FG＝AB＝4∵∠EPF＝90°∴∠APE+∠FPG＝90°∴∠AEP＝∠FPG∴△AEP∽△GPF∴∴Rt△EPF中，tan∠PFE＝，故①正确．如图2，当A、E重合，C、F重合，D、P重合时，AD最短，此时a＝2，故②错误．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形判定和性质，解直角三角形．关键是对几个直角的条件进行组合运用（三垂直模型），动点题求最值时可把动点移到极端位置（一般是线段端点）来思考问题．二、填空題：本题有6个小题，每小题4分，共24分11．（4分）计算：cos45°＝．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45°＝．故答案为．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答的关键．12．（4分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为它是黄球概率的，则n＝4．【分析】根据黄球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．【解答】解：根据题意得：＝×，解得：n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为40°．【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．14．（4分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为10．【分析】如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，求出x的值即可；【解答】解：如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得x＝10，故答案为10【点评】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会把实际问题转化为数学问题，属于中考常考题型．15．（4分）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．若DH＝CH＝2，BD＝4，则：（1）AB的长为8；（2）劣弧的长为．【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得到AB⊥CD，根据正弦的定义求出∠B，得到△BOD为等边三角形，根据等边三角形的性质求出OB，得到答案；（2）根据弧长公式计算即可．【解答】解：（1）连接OD，∵AB为⊙O的直径，DH＝CH，∴AB⊥CD，在Rt△BHD中，sin B＝＝，∴∠B＝60°，又OB＝OD，∴△BOD为等边三角形，∴OB＝BD＝4，∴AB＝8，故答案为：8；（2）劣弧的长＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质、弧长的计算，掌握垂径定理、弧长公式是解题的关键．16．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为﹣1．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为或﹣4．【分析】（1）将a＝1代入二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，然后配方即可．（2）先求出抛物线的对称轴是直线x＝2，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，根据函数增减性即可求出a的值．【解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∵a＝1＞0∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a＝，当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．故答案为（1）﹣1；（2）．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握最值的计算公式．三、解答题：本题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．（6分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得A型号电脑被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：∴有6种选择方案：AD、AE、BD、BE、CD、CE；（2）∵（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且A型号电脑被选中的有2种情况，∴A型号电脑被选中的概率＝＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣x+m的图象经过点（1，﹣2）（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标；（2）若P（﹣2，y1），Q（5，y2）两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小．【分析】（1）先把（1，﹣2）代入y＝x2﹣x+m求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣x ﹣，则通过解方程x2﹣x﹣＝0得抛物线与x轴的交点坐标；通过计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质，通过比较P点和Q 点到对称轴的距离大小得到y1，y2的大小．【解答】解：（1）把（1，﹣2）代入y＝x2﹣x+m得﹣1+m＝﹣2，解得m＝﹣，则抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣x﹣＝﹣，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，因为P（﹣2，y1）到直线x＝1的距离比点Q（5，y2）到直线x＝1的距离小，而抛物线开口向上，所以y1＜y2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19．（8分）已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，sin B＝，求△ABC的面积．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．∵AH＝AB•sin B＝5×＝3，∴BH＝＝4，CH＝＝3∴S△ABC＝×BC×AH＝×（4+3）×3＝，或S△ABC′＝×（4﹣3）×3＝．综上所述，△ABC的面积为或【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．20．（10分）如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD，矩形BNME，矩形CFMN组成，其中AE：BE＝1：3．已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设BC＝x（米），窗户边框ABCD的面积为S（米2）．（1）①用x的代数式表示AB；②求x的取值范围．（2）求当S达到最大时，AB的长．【分析】（1）①设AE＝a，根据题意列式即可得到结论；②解不等式即可得到结论；（2）根据题意求得函数的解析式S＝AB•BC＝•x＝﹣x2+x，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）①∵BC＝x，∴AD＝EF＝BC＝x，∵AE：BE＝1：3，∴设AE＝a，∴AB＝CD＝4a，MN＝BE＝3a，∴AB+CD+MN＝11a，∵制作一个窗户边框的材料的总长是6米，∴11a+3x＝6，∴a＝，∴AB＝；②∵AB＞0，∴＞0，解得：x＜2，∴x的取值范围为：0＜x＜2；（2）∵S＝AB•BC＝•x＝﹣x2+x，∴S＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，S取最大值，∴AB＝，则当S达到最大时，AB的长为米．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：＝．（2）若BD＝2，BE＝3，求tan∠BAC的值．【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC＝90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE＝CE，进而利用等腰三角形的性质得出∠BAE ＝∠CAE，进而证明即可；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，而AB＝AC，∴BE＝CE，∴∠BAE＝∠CAE，∴；（2）连结DE，CD，如图，∵BE＝CE＝3，∴BC＝6，∵∠BED＝∠BAC，而∠DBE＝∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴，即，∴BA＝9，∴AC＝BA＝9．∴AD＝AB﹣BD＝9﹣2＝7，∴DC＝∴tan∠BAC＝【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．22．（12分）如图，▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠DCB交AD于点E，BF和CE相交于点P．（1）求证：AE＝DF．（2）已知AB＝4，AD＝5①求的值；②求四边形ABPE的面积与△BPC的面积之比．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF＝∠AFB，得出AF＝AB，同理可证DE＝DC，推出AF＝DE即可解决问题．（2）①求出EF的值，利用平行线的性质即可解决问题．②连接P A．设△AEP的面积为S．求出四边形ABPE，△PBC的面积即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，则∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB，同理可证：DE＝DC，∴AF＝DE，∴AE＝DF．（2）①解：由（1）可知AB＝AF＝DE＝4，∵AD＝5，∴AE＝DF＝1，EF＝3，∵EF∥BC，∴＝＝．②解：连接P A．设△AEP的面积为S．∵EF＝3AE，∴△EFP的面积为3S，∵△EFP∽△CBP，∴＝（）2＝，∴S△BCP＝S，∵PB：PF＝5：3，∴S△APB：S△APF＝5：3，∴S△ABP＝S，∴S四边形ABPE＝S，∴＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题．23．（12分）如图，等边△ABC中，点D是BC边上任一点，以AD为边作∠ADE＝∠ADF ＝60°，分别交AC，AB于点E，F．（1）求证：AD2＝AE•AC．（2）已知BC＝2，设BD的长为x，AF的长为y．①求y关于x的函数表达式；②若四边形AFDE外接圆直径为，求x的值．【分析】（1）只要证明△ADE∽△ACD即可解决问题．（2）①作AM⊥BC于M．证明AD2＝AE•AB，即可解决问题．②作EH⊥AF于H，连接EF，证明△AEF的等边三角形，求出AF的值，构建方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠C，∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴＝，∴AD2＝AE•AC．（2）解：①作AM⊥BC于M．∵△ABC是等边三角形，BC＝2，AM⊥BC，∴AB＝BC＝2，∠B＝60°，BM＝MC＝1，AM＝，∵∠ADF＝60°，∴∠ADF＝∠B，∵∠DAF＝∠CAB，∴△ADF∽△AFB，∴AD2＝AF•AB，∴AM2+DM2＝AF•AB∴3+（1﹣x）2＝2y，∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．②作EH⊥AF于H，连接EF．∵AD2＝AE•AC＝AF•AB，AB＝AC，∴AF＝AE，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴四边形AEDF的外接圆的圆心O在EH上，连接OF．∵OE＝OF＝，∠OFH＝30°，∴y＝AF＝2FH＝2××＝，∴＝x2﹣x+2，∴x＝或，【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。

浙江省2018届九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共48分）1．已知，＝，则的值等于（）A．1B．C．D．2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．120°3．抛物线y＝x2+2x+1的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 4．如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．7D．85．某校组织抽奖活动，共准备了100张奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中二等奖的概率为（）A．B．C．D．6．抛物线y＝x2﹣x﹣1与坐标轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．一个半径为24的扇形的弧长等于20π，则这个扇形的圆心角是（）A．120°B．135°C．150°D．165°8．把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2B．y＝﹣（x﹣1）2+2C．y＝﹣（x+1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2+29．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m．在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝60°．则气球A离地面的高度（）A．（30﹣10）米B．20米C．（30+10）米D．40米10．如图，点G是△ABC的重心，EF∥BC，交AD于点F，则AF：FG：GD等于（）A．3：1：2B．2：1：2C．4：2：3D．4：1：3 11．如图，△ABC是⊙O的一个内接三角形，∠B＝60°，AC＝6，图中阴影部分面积记为S，则S的最小值（）A．8π﹣9B．8π﹣6C．8π﹣3D．8π﹣212．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若∠A+∠B＝α（0＜α＜90°），那么S△CDP ：S△ABP等于（）A．sin2αB．cos2αC．tan2αD．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是．14．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则＝．15．已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）是抛物线y＝x2﹣4x+1上的点，则y1，y2，y3从小到大用“＜“排列是．16．如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于．17．如图，将一个等腰直角三角形纸片ABC（如图①）沿AD折叠，使直角顶点C落在斜边AB边上的E处（如图②）．则可以利用此图求出tan22.5°的值为．18．如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角的n个小正方形与右下角的1个小正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m倍，则用含n的代数式表示m的结果为m＝．三、解答题（共78分）19．（6分）计算：cos30°﹣sin45°+tan45°cos60°20．（8分）如图，请在三个6×6的网格中各画一个有一个内角的正切值等于3的直角三角形．（要求：所画的这三个直角三角形大小不等）21．（8分）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．（1）从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）（2）从箱子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出一个球，请利用树状图或表格计算，这样先后摸得的两个球都是红球的概率．22．（10分）如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的圆与斜边AB相切于点D，P是上任意一点，过点P作⊙O的切线，交BC于点M，交AB于点N，已知AB＝5，AC＝4．（1）△BMN的周长等于；（2）⊙O的半径．23．（10分）已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，AC与BD相交于点F．（1）求证：DB＝DC；（2）若DA＝DF，求证：△BCF∽△BDC．24．（10分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为10元．经市场调查表明，当售价在12元到14元之间（含12元，14元）浮动时，日均销售y（瓶）与售价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数，且当x＝10时，y＝500；x＝12，y＝400．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）应将售价定为每瓶多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）25．（12分）如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：（1）当CP⊥OA时，求t的值；（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．26．（14分）我们把经过原点，顶点落在同一抛物线C上的所有抛物线称为抛物线C的派生抛物线．（1）若y1＝﹣x2+4x是抛物线C：y＝ax2+2的派生抛物线，求a的值．（2）证明：经过原点的抛物线y＝﹣mx2+2mx+m﹣2是抛物线C：y＝x2+的派生抛物线；（3）如图，抛物线y1，y2，y3，y4…y n都是抛物线C：y＝x2﹣2x+2的派生抛物线，其顶点A1，A2，A3，A4…A n的横坐标分别是1、2、3、4…n，它们与x 轴的另一个交点分别是B1，B2，B3，B4…B n，与原点O构成的三角形分别为△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…△OA n B n．①请用含n的代数式表示抛物线y n的函数表达式；②在这些三角形中，是否存在两个相似的三角形，若存在，请直接写出它们所对应的两个函数的表达式，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．解：因为＝，则的值＝，故选：D．2．解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝100°，故选：B．3．解：∵a＝1，b＝2，c＝1，∴抛物线y＝x2+2x+1的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1．故选：B．4．解：连接OA，∵⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，∴OA＝5，OM＝3，∴AM＝＝4，∴AB＝2AM＝8．故选：D．5．解：抽一张奖券中二等奖的概率为＝；故选：C．6．解：令x2﹣x﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2+4＝5＞0，∴抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，共3个．故选：D．7．解：设这个扇形的圆心角的度数为n°，根据题意得20π＝，解得n＝150，即这个扇形的圆心角为150°．故选：C．8．解：抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，得：y＝﹣（x﹣1）2；再向下平移2个单位，得：y＝﹣（x﹣1）2﹣2．故选：A．9．解：作AE⊥BD于E，在Rt△ACE中，CE＝＝AE，∵∠ABE＝45°，∴BE＝AE，由题意得BE﹣CE＝20，即AE﹣AE＝20，解得AE＝30+30≈47.3．答：气球A离地面的高度约为47.3m．故选：C．10．解：∵点G为△ABC的重心，∴E是AC的中点，D是BC的中点，又∵EF∥BC，∴＝＝＝，即DG＝2FG，又∵G是△ABC的重心，∴AG＝2DG＝4FG，∴AF＝3FG，∴AF：FG：GD＝3：1：2，故选：A．11．解：连接OA、OC，作OE⊥AC于E．由题意∠AOC ＝2∠ABC ＝120°，∵OE ⊥AC ，OA ＝OC ，∴∠AOE ＝∠COE ＝60°，AE ＝EC ＝3，∴OE ＝，OA ＝2，∵S 阴＝S 弓形ABC ﹣S △ACB ，∴当△ABC 面积最大时，S 阴的面积最小，∵当点B 在EO 的延长线上时，△ABC 的面积最大，∴S 阴的最小值＝S扇形OAC +S ∠AOC ﹣S △ABC ＝+×6×﹣×6×3＝8π﹣6．故选：B ．12．解：连接BD ，由AB 是直径得，∠ADB ＝90°．∵∠DPB ＝∠A +∠PBA ＝α，∴cos α＝，∵∠C ＝∠A ，∠CPD ＝∠APB∴△CPD ∽△APB ，∴＝（）2＝cos 2α．故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13．解：二次函数y ＝（x ﹣1）2﹣3开口向上，其顶点坐标为（1，﹣3）， 所以最小值是﹣3．14．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∴，故答案为：．15．解：y1＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）+1＝4+8+1＝13，y2＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+1＝1+4+1＝6，y3＝32﹣4×3+1＝9﹣12+1＝﹣2，∵﹣2＜6＜13，∴y3＜y2＜y1．故答案为：y3＜y2＜y1．16．解：连接OD，∵正方形的边长为1，即OC＝CD＝1，∴OD＝，∴AC＝OA﹣OC＝﹣1，∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD＝长方形ACDF的面积＝AC•CD＝﹣1．，∴S阴故答案为：﹣117．解：设AC＝BC＝a，由勾股定理可得AB＝a，由折叠的性质可得AE＝AC＝a，则BE＝（﹣1）a，则CD＝DE＝BE＝（﹣1）a，则tan22.5°＝＝﹣1．故答案为：﹣1．18．解：如图，过A作AB⊥FG于B，则△ABC∽△CDE，∴＝2，设小正方形的边长为1，则答正方形的边长为m，∴AB＝m﹣1，BF＝n，DE＝1，∴BC＝2DE＝2，CD＝AB＝（m﹣1），∴FG＝FB+BC+CD+DG＝n+2+（m﹣1）+1＝m，∴m＝2n+5，故答案为：2n+5．三、解答题（共78分）19．解：原式＝×﹣×+1×＝﹣1+＝1．20．解：如图所示：都是符合题意的图形．21．解：（1）∵箱子里放有1个白球和2个红球，∴从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于不可能事件；故答案为：不可能；（2）画树状图得：∵摸出的两球一共有9中可能的结果，摸出的球中有两个球刚好是一红一白有4种情况，∴两个球刚好是一红一白的概率＝．22．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，∵AC⊥BC，∴BC为⊙O的切线，∵AB为⊙O的切线，∴BD＝BC＝3，∵MN为⊙O的切线，∴PM＝CM，PN＝DN，∴BM+BN+MN＝BM+PM+BN+PN＝BM+MC+BN+ND＝BC+BD＝3+3＝6，即△BMN的周长为6，故答案为：6；（2）如图，连接OD，∵AB为⊙O的切线，∴OD⊥AB，设半径为r，则AO＝AC﹣r＝4﹣r，AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，在Rt△AOD中，由勾股定理可得r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝1.5，∴⊙O的半径为1.5．23．证明：（1）∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAC，∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠EAD＝∠DCB（圆内接四边形外角等于内对角），又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC；（2）∵DA＝DF，∴∠DAF＝∠DF A，∵∠DAF＝∠FBC，∠DF A＝∠BFC，∴∠FBC＝∠BFC，∵∠DCB＝∠DBC，∴∠DCB＝∠BFC，而∠FBC＝∠DBC，∴△BCF∽△BDC．24．解：（1）设y＝kx+b，根据题意，得：，解得：，则y＝﹣50x+1000（10≤x≤14）；（2）设毛利润为w，则w＝（﹣50x+1000）（x﹣10）＝﹣50x2+1500x﹣10000＝﹣50（x﹣15）2+1250，∴当x＜15时，w随x的增大而增大，∵10≤x≤14，∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为1200，答：应将售价定为每瓶14元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1200元．25．解：（1）如图1，当CP ⊥OA 时，sin ∠AOC ＝＝，即＝，CP ＝4， 在Rt △OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3，∴t ＝＝3…3分（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上，∴P （t ，0）；…5分当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，过P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，则∠AOC ＝∠P AH ，∴sin ∠P AH ＝sin ∠AOC ＝，∴，即PH ＝﹣4，∴AH ＝t ﹣3，OH ＝OA +AH ＝t +2，∴P （t +2， t ﹣4）；…8分（3）设切点为G ，连接PG ，分两种情况：①当P 在OA 上时，⊙P 与直线AB 相切，∵OC ∥AB ，∴∠AOC ＝∠OAG ，∴sin ∠AOC ＝sin ∠OAG ＝＝，∴＝， ∴t ＝； ⊙P 与BC 相切时，如图4，则PG ＝t ＝OP ＝4；②当点P 在OC 上时，⊙P 与AB 相切时，如图5，∴OP ＝PG ＝4，∴4×5﹣t＝4，t＝16，⊙P与直线BC相切时，如图6，∴PG⊥BC，∵BC∥AO，∴∠AOC＝∠GCP，∴sin∠AOC＝sin∠GCP＝＝，∵OP＝PG＝20﹣t，∴，∴t＝，综上所述，t的值为秒或4秒或16秒或秒…12分26．解：（1）y1＝﹣x2+4x的顶点坐标（2，4），∵y1＝﹣x2+4x是抛物线C：y＝ax2+2的派生抛物线，∴4＝4a+2，∴a＝．（2）∵抛物线经过原点（0，0），∴m﹣2＝0，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x，顶点（1，2），当x＝1时，y＝×12+＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x，顶点（1，2）在抛物线C：y＝x2+上，∴经过原点的抛物线y＝﹣mx2+2mx+m﹣2是抛物线C：y＝x2+的派生抛物线；（3）①设y n＝a（x﹣n）2+n2﹣2n+2，∵经过原点，∴0＝a（0﹣n）2+n2﹣2n+2，∴a＝﹣，∴y n＝﹣（x﹣n）2+n2﹣2n+2．②存在．y1＝﹣（x﹣1）2+1，y2＝﹣（x﹣2）2+2，理由：△OA1B1，△OA2B2都是等腰直角三角形．∴△OA1B1∽△OA2B2；。

杭州市萧山区2018届九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1、 将二次函数y =x 2的图象向上平移1个单位，则平移后图像的函数表达式为( )A . y =x 2-1B . y =x 2+1C . y =(x -1)2D . y =(x +1)2 2、 如下右图由4个小立方块搭成的几何体的俯视图是( )A .B .C .D .3、 如图，F 是△ABC 的边BC 上一点， DE ∥BC 交AF 于点G ，若34AD DB =,则GECF=( ) A .37B .47C .34D .434、 一只不透明的袋子中装有除颜色外都相同的4个黑球、2个白球，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )A . 至少有1个球是白球B . 至少有1个球是黑球C . 至少有2个球是白球D . 至少有2个球是黑球5、 如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，以O 为旋转中心作顺时针旋转，则当旋转( )度后与原图形第一次重合。

A . 36°B . 45°C . 60°D . 72°6、 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A =α，则∠OBC 等于( )A . 90°−2αB . 90°−αC . 2αD . 45°+α7、 在R t △ABC 中，∠C =R t ∠，给出下列结论：①s i nA =c o sB ；②22sin cos =1A A +；③sin tan cos BB B=；其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③8、 下列说法正确的是( )A . 菱形都相似B . 正六边形都相似C . 矩形都相似D . 一个内角为80°的等腰三角形都相似9、 已知直线m 与半径为5cm 的⊙O 相切于点P ，AB 是⊙O 的一条弦，且PA PB =，若AB =6cm ，则直线m 与弦AB 之间的距离为( ) A . 1cm 或9cmB . 4cm 或9cmC . 2cm 或8cmD . 1cm10、 若二次函数21y ax bx =+与一次函数2y ax b =+的图像经过相同的象限，给出下列结论：①a ，b 同号；②若b ＜0，则x ＞1时，12y y <.则下列判断正确的是( ) A . ①，②都对 B . ①，②都错C . ①对，②错D . ①错，②对二、填空题(每小题4分，共24分)11、 若t an θ=1,则锐角θ=________度.12、 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图. 该事件最有可能是__________.(填写一个你认为正确的序号).① 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2； ② 掷一枚硬币，正面朝上；③ 暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球.13、 如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围是__________.14、 2(1)该函数图像的对称轴为直线________.(2)当x 满足__________时，y ＞0.15、 如图，点P 是⊙O 外一点，过点P 作圆的两条切线P A 、PB ，点A 、B 是切点，Q 是⊙O 上不同于点A ，B的任意一点，已知∠P =44°，则∠AQB 的度数为 .16、 如图，四边形ABCD 的两条对角线相交于点P ，已知∠ADB =∠ACB =R t ∠，2CD CP AC =.(1)若425ABPCDPSS=，则s i n ∠DAP =__________.(2)若AD =3，AB =5，则BC =__________.三、解答题(本大题共有7个小题，共66分)17、某人的钱包内有10元钱、20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币从中随机取出2张纸币.(1)请用树状图或表格列出所有等可能结果；(2)求取出纸币的总额可购买一件60元的商品的概率.18、如图，AB是⊙O的直径，直线A T切⊙O于点A，B T交⊙O于C，已知∠B=30°，A O的直径AB和弦BC的长.19、一个几何体的三视图如图所示.(1)写出这个几何体的名称；(2)求这个几何体侧面展开图的周长和面积；20、已知矩形的两边长分别为(2t-5)与(10-t)，设矩形的面积为S.(1)求S关于t的函数表达式(化为一般式)，并写出自变量t的取值范围.(2)判断命题“当上述矩形为正方形时，面积取得最大值”是真命题还是假命题？并说明理由.21、 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦CD ⊥AB 于点E ，G 是弧AC 上任意一点，延长AG ，与DC 的延长线交于点F ，连接AC ，BC ，DG . (1)求证：∠ACG =∠F ；(2)若t an ∠BAC =12，AG BG =，求DG 的长.22、 根据学习函数的经验“先确定自变量取值范围—后观察图像归纳性质”，对函数24(1)1y x =-+图象与性质进行了探究：(1)写出自变量x 的取值范围是 ；① 表中m 的值为 ； ② 根据描出的点，画出函数24(1)1y x =-+的大致图象；（3） 根据函数图象，①请写出函数24(1)1y x =-+的两条性质；②若此函数的图像与直线y =a 的交点有2个，那么a 的取值范围.23、如图，在R t△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AB=10，点P、E、F分别是AB、AC、BC上的动点，且AP=2CE=2BF；连接PE，PF，以PE，PF为邻边平行四边形PFQE.(1)直接写出s i nB，t anA的值；(2)当点P是AB的中点时，试求线段PF的长；(3)在运动过程中，设CE=m，若平行四边形PFQE的面积恰好被线段BC或射线AC分成1：3的两部分，试求m的值；。

2018-2019学年九年级数学（上）期末试卷一•选择题（共12小题，满分48分）1 •对于抛物线y= -（x+2）2+3，下列结论中正」确结论的个数为（）①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x= - 2;③图象不经过第一象限；④当x>2时，y随x的增大而减小.A. 4B. 3C. 2 D . 12. 已知△ ABC 中，/ C=90°,AC=6 , BC=8，贝U cosB的值是（）A. 0.6B. 0.75C. 0.8 D ."3. 下列事件中，是必然事件的是（）A .明天太阳从东方升起B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数C. 射击运动员射击一次，命中靶心D .经过有交通信号灯的路口，遇到红灯4. 若2a=3b，贝叮等于（）aA.二B. 1C. = D .不能确定5. —个扇形的圆心角是60。

，半径是6cm，那么这个扇形的面积是（）A. 3 n CmB. n cmC. 6 n Cm D . 9 n Sm6. 下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂宜于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补.其中错误的结论有（）7. 如图，在厶ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若/ACD= / B , AD=1 , AC=2 ,△ ADC 的面积为3,则厶BCD 的面积为（ ）则弧DE 的长为（C .n 4四个整数中任取两个数作为一个点的坐标，那么这个点恰好在抛物线y=x 2上的概率是（） B. '■ 10. 如图，已知 AB 是。

O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与。

O 相切于 点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若。

O 的半径为4, BC=6,B. C . 68.如图，菱形ABCD 中, / B=70 ,AB=3，以AD 为直径的。

O 交CD 于点E ， B .B . 2 二C . 3D . 2.5 D . .1A . 12 D9.从 1、2、3、 A . 4则PA的长为（）11. 如图，已知点C在以AB为直径的。

2018-2019学年九年级（上册）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若2a=5b，则=（）A．B．C．2 D．52．抛物线y=x2﹣4与y轴的交点坐标是（）A．（0，﹣4）B．（﹣4，0）C．（2，0） D．（0，2）3．二次函数y=2（x+1）2﹣3的最小值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣34．某路口交通信号灯的时间设置为：红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒．当人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的概率为（）A．B．C．D．5．已知一扇形的半径长是6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（）A．πB．2πC．6πD．12π6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AC=4cm，D是AB的中点，若以点C为圆心，以3cm长为半径作⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，若这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆直行，一辆右转的概率是（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于F，若AE：DF=2：3，则BF：BC的值是（）A．B．C．D．9．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，则图中与∠EAD相等的角（不包括∠EAD）有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图，P是给定△ABC边AB上一动点，D是CP的延长线上一点，且2DP=PC，连结DB，动点P从点B出发，沿BA方向匀速运动到终点A，则△APC与△DBP面积的差的变化情况是（）A．始终不变 B．先减小后增大 C．一直变大 D．一直变小二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．抛物线y=x2﹣4x﹣1的对称轴为．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为．13．某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则一张奖券中一等奖或二等奖的概率是．14．二次函数y=a（x+3）2+k的图象如图所示，已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）和C（﹣6.5，y 3）都在该图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．15．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，排水管内水的最大深度CD是0.8m，则水面宽AB为m．16．如图，P是△ABC的重心，过点P作PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，若△PEF的周长是6，则△ABC的周长为．17．如图，点A，B，C均在⊙O上，点O在∠ACB的内部，若∠A+∠B=56°，则为度．18．如图，P是AB为直径的半圆周上一点，点C在∠PAB的平分线上，且CB⊥AB于B，PB交AC于E，若AB=4，BE=2，则PE的长为．三、解答题（共6小题，满分46分）19．如图1，在8×8方格纸中，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上．（1）请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1；（2）请在图3中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为：1．20．一个不透明的袋中，装有10个红球、2个黄球、8个篮球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）现从袋中取出若干个红球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，问取出了多少个红球？21．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线另一点D，连结AC，DE∥AC交边CB于点E．（1）求A，B两点的坐标；（2）求△CDE与△BAC的面积之比．22．如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．（1）求证：△CAB∽△EPB；（2）若AB=10，AC=6，BP=5，求CP的长．23．某农场拟建三件矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？请说明理由．24．如图，点A，B的坐标分别为（0，8），（﹣3，0），点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿射线AO方向运动，同时点E从点B出发，以1单位/秒的速度沿射线BO方向运动，以PE为斜边构造Rt△PEC（字母按逆时针顺序），且EC=2PC，抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点（0，4），（﹣1，﹣2），设运动时间为t秒．（1）求该抛物线的表达式；（2）当t=2时，求点C的坐标；（3）①当t＜3时，求点C的坐标（用含t的代数式表示）；②在运动过程中，若点C恰好落在该抛物线上，请直接写出所有满足条件的t的值．一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若2a=5b，则=（）A．B．C．2 D．5【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：两边都除以2b，得=，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键．2．抛物线y=x2﹣4与y轴的交点坐标是（）A．（0，﹣4）B．（﹣4，0）C．（2，0） D．（0，2）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令x=0，求出y的值即可．【解答】解：∵令x=0，则y=﹣4，∴抛物线y=x2﹣4与y轴的交点坐标是（0，﹣4）．故选A．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数与坐标轴交点的特点是解答此题的关键．3．二次函数y=2（x+1）2﹣3的最小值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【考点】二次函数的最值．【分析】根据顶点式解析式写出最小值即可．【解答】解：∵a=2＞0，∴二次函数y=2（x+1）2﹣3的最小值是﹣3．故选D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，掌握利用顶点式解析式确定最值的方法是解题的关键．4．某路口交通信号灯的时间设置为：红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒．当人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由红灯的时间为25秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为30秒，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：，故选D【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．已知一扇形的半径长是6，圆心角为60°，则这个扇形的面积为（）A．πB．2πC．6πD．12π【考点】扇形面积的计算．【分析】利用扇形的面积公式即可直接求解．【解答】解：扇形的面积是=6π．故选C．【点评】本题考查扇形的面积公式，正确记忆公式是关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AC=4cm，D是AB的中点，若以点C为圆心，以3cm长为半径作⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【考点】点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线．【分析】分别求出AB、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，∴AB==5，∵以点C为圆心，以3cm长为半径作⊙C，∴点A在⊙C外，∵D是AB的中点，∴CD=AB=2.5，故D在圆C内部，B在圆上，C是圆心．故选：A．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．7．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，若这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆直行，一辆右转的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，两辆汽车一辆直行，一辆右转的有2种情况，根据概率公式求解即可．【解答】解：画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，两辆汽车一辆直行，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等，∴P（两辆汽车一辆直行，一辆右转）=．故选：C．【点评】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于F，若AE：DF=2：3，则BF：BC的值是（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵DF∥AC，∴，∴，故选B【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．9．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，则图中与∠EAD相等的角（不包括∠EAD）有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】直接利用角平分线的性质结合圆内接四边形的性质得出答案．【解答】解：∵AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，∴∠EAD=∠DAC ，∵∠DAC=∠DBC ，∠EAD=∠BCD ，∴∠EAD=∠DAC=∠DBC=∠BCD ，故与∠EAD 相等的角（不包括∠EAD ）有3个．故选：B ．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及圆内接四边形的性质，正确得出∠EAD=∠BCD 是解题关键．10．如图，P 是给定△ABC 边AB 上一动点，D 是CP 的延长线上一点，且2DP=PC ，连结DB ，动点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动到终点A ，则△APC 与△DBP 面积的差的变化情况是（ ）A ．始终不变B ．先减小后增大C ．一直变大D ．一直变小【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意可得S △APC ﹣S △DBP =S △ABC ﹣﹣S △DBC =S △APC +S △BPC ﹣S △DBP ﹣S △BPC ，根据等底的三角形面积比等于高之比，可得S △DBP +S △BPC 变大，再根据等量关系即可求解．【解答】解：∵S △APC ﹣S △DBP =S △ABC ﹣﹣S △DBC =S △APC +S △BPC ﹣S △DBP ﹣S △BPC ，∵S △APC +S △BPC 不变，S △DBP +S △BPC 变大，∴S △APC ﹣S △DBP 一直变小．故选：D ．【点评】考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．抛物线y=x 2﹣4x ﹣1的对称轴为 直线x=2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴公式为x=﹣，此题中的a=1，b=﹣4，将它们代入其中即可．【解答】解：x=﹣=﹣=2．故答案为直线x=2．【点评】本题考查二次函数对称轴公式的应用，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移1个单位后所得抛物线的表达式为y=（x+1）2﹣2 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=x2﹣2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=（x+1）2﹣2，故答案为：y=（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．13．某单位工会组织内部抽奖活动，共准备了100张奖券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则一张奖券中一等奖或二等奖的概率是．【考点】概率公式．【专题】计算题．【分析】直接利用概率公式求解．【解答】解：一张奖券中一等奖或二等奖的概率==．故答案为．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．14．二次函数y=a （x+3）2+k 的图象如图所示，已知点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2）和C （﹣6.5，y 3）都在该图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 y 2＞y 1＞y 3． ．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=﹣3，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性，利用y 随x 的增大而减小，可判断y 2＞y 1＞y 3．【解答】解：由二次函数y=a （x+3）2+k 可知对称轴为x=﹣3，根据二次函数图象的对称性可知，C （﹣6.5，y 3）与D （0.5，y 3）对称，∵点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2），D （0.5，y 3）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∵﹣2＜﹣1＜0.5，∴y 2＞y 1＞y 3，故答案是：y 2＞y 1＞y 3． 【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．15．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，排水管内水的最大深度CD 是0.8m ，则水面宽AB 为 0.8 m ．【考点】垂径定理的应用．【分析】连接OB ，根据OB=OD 可得出OC 的长，再由勾股定理求出BC 的长，进而可得出结论．【解答】解：连接OB ，∵排水管道的截面直径是1m ，CD=0.8m ，∴OB=OD=0.5m ，∴OC=0.8﹣0.5=0.3m，∴BC===0.4m，∴AB=2BC=0.8m．故答案为：0.8．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．16．如图，P是△ABC的重心，过点P作PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，若△PEF的周长是6，则△ABC的周长为18 ．【考点】三角形的重心；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】延长AP交BC于Q，如图，根据三角形重心性质得=，再证明△QPE∽△QAB得到===，即AB=3PE，QB=3EQ，同理可得AC=3PF，GC=3QF，然后可得△ABC的周长=AB+AC+BC=3（PE+PF+EF）=18．【解答】解：延长AP交BC于Q，如图，∵P是△ABC的重心，∴=2，∴=，∵PE∥AB，∴△QPE∽△QAB，∴===，∴AB=3PE，QB=3EQ，同理可得AC=3PF，GC=3QF，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3PE+3PF+3EF=3（PE+PF+EF）=3×6=18．故答案为18．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．17．如图，点A，B，C均在⊙O上，点O在∠ACB的内部，若∠A+∠B=56°，则为112 度．【考点】圆周角定理．【分析】连接OC，则由圆的半径都相等可求得∠A=∠OCA、∠B=∠OCB，则可求得∠ACB，再利用圆周角定理可求得∠AOB．【解答】解：如图，连接OC，∵OA=OB=OC，∴∠A=∠OCA、∠B=∠OCB，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠A+∠B=56°，∴∠AOB=2∠ACB=112°，∴为112度，故答案为：112．【点评】本题主要考查圆周角定理，利用整体思想求得∠ACB的大小是解题的关键．18．如图，P是AB为直径的半圆周上一点，点C在∠PAB的平分线上，且CB⊥AB于B，PB交AC于E，若AB=4，BE=2，则PE的长为．【考点】圆周角定理；角平分线的性质．【分析】易证CB=BE，设PE=x，在直角△ABC中利用勾股定理即可列方程，求得PE的长．【解答】解：∵∠PAE=∠CAB，∠CAB+∠C=∠PAE+∠PEA，∴∠PEA=∠C．∵∠PEA=∠CEB，∴∠C=∠CEB，∴CB=BE=2=AB．设PE=x，PA=2x．（x+2）2+（2x）2=16，解得：x=或﹣2（舍去）．则PE=．故答案是：．【点评】本题考查了圆周角定理和等腰三角形的判定定理，以及勾股定理，正确证明CB=BE是关键．三、解答题（共6小题，满分46分）19．如图1，在8×8方格纸中，△ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上．（1）请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1；（2）请在图3中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为：1．【考点】作图—相似变换；勾股定理．【分析】（1）利用已知三角形的三边长进而结合相似比得出所求三角形的边长，进而得出答案；（2）利用已知三角形的三边长进而结合相似比得出所求三角形的边长，进而得出答案．【解答】解：（1）如图2所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图3所示：△A2B2C2即为所求．【点评】此题主要考查了相似变换，正确得出相似三角形的边长是解题关键．20．一个不透明的袋中，装有10个红球、2个黄球、8个篮球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；（2）现从袋中取出若干个红球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，问取出了多少个红球？【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）由一个不透明的袋中，装有10个红球、2个黄球、8个篮球，它们除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先设取出了x 个红球，由概率公式可得方程： =，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵一个不透明的袋中，装有10个红球、2个黄球、8个篮球，它们除颜色外都相同，∴从袋中摸出一个球是红球的概率为：=；（2）设取出了x 个红球，根据题意得：=， 解得：x=6，答：取出了6个红球．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+4与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，CD ∥x 轴交抛物线另一点D ，连结AC ，DE ∥AC 交边CB 于点E ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求△CDE 与△BAC 的面积之比．【考点】相似三角形的判定与性质；抛物线与x 轴的交点．【分析】（1）直接把y=0代入求出x 的值即可；（2）先根据CD ∥AB ，DE ∥AC 得出△CDE ∽△BAC ，求出CD 的长，再由相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵令y=0，则﹣（x ﹣1）2+4=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，∴A （﹣1，0），B （3，0）；（2）∵CD∥AB，DE∥AC，∴△CDE∽△BAC．∵当y=3时，x1=0，x2=2，∴CD=2．∵AB=4，∴=，∴=（）2=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．22．如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．（1）求证：△CAB∽△EPB；（2）若AB=10，AC=6，BP=5，求CP的长．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】（1）根据两角相等的三角形相似可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再由相似三角形的性质得出PE及BE的长，由勾股定理得出CE 的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CP，∴∠ACB=∠BEP．∵∠CAB=∠BPC，∴△CAB∽△EPB；（2）解：∵AB=10，AC=6，∴BC==8．∵△CAB∽△EPB，BP=5，∴==，即==，∴PE=3，BE=4，∴CE==4，∴CP=4+3．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．23．某农场拟建三件矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？请说明理由．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长≤20m可得x的范围；（2）令y=210求出x，根据（1）中x的范围即可判断．【解答】解：（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60﹣4x）m，∴y=x（60﹣4x）=﹣4x2+60x，∵0＜60﹣4x≤20，∴10≤x＜15；（2）不能，理由如下：当y=210时，﹣4x2+60x=210，解得：x=或x=，∵x=＜10，且x=＜10，∴不能．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．24．如图，点A，B的坐标分别为（0，8），（﹣3，0），点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿射线AO方向运动，同时点E从点B出发，以1单位/秒的速度沿射线BO方向运动，以PE为斜边构造Rt△PEC（字母按逆时针顺序），且EC=2PC，抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点（0，4），（﹣1，﹣2），设运动时间为t秒．（1）求该抛物线的表达式；（2）当t=2时，求点C的坐标；（3）①当t＜3时，求点C的坐标（用含t的代数式表示）；②在运动过程中，若点C恰好落在该抛物线上，请直接写出所有满足条件的t的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把（0，4），（﹣1，﹣2）代入抛物线解析式y=﹣2x2+bx+c，列方程组即可解决问题．（2）如图1中，t=2时，EO=1，OP=4，设C（x，y），作CH⊥x轴于H，PQ⊥HC于Q，由△PCQ∽△CEH，得==，列出方程组，解方程组即可解决问题．（3）①如图1中，设C（x，y），则PO=8﹣2t，EH=3﹣t+x，CH=y，QC=8﹣2t﹣y，PQ=x，由△PCQ∽△CEH，得==，由EC=2PC，可得==，用t表示x、y即可解决问题．②分三种情形①t＜3时，列出方程即可解决问题．②3≤t＜4时，显然不存在这样的点C在抛物线上．③t＞4时，如图2中，作CH⊥x轴于H，PQ⊥HC于Q．设C（x，y），则PO=2t﹣8，EH=t﹣3﹣x，CH=﹣y，QC=2t﹣8+y，PQ=﹣x，由△PCQ∽△CEH，得到==，解方程组即可得到点C 坐标，代入抛物线即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣2x2+bx+c经过点（0，4），（﹣1，﹣2），∴∴，∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+4x+4．（2）如图1中，t=2时，EO=1，OP=4，设C（x，y），作CH⊥x轴于H，PQ⊥HC于Q．∵∠PCQ+∠CPQ=90°，∠ECH+∠PCQ=90°，∴∠CPQ=∠ECH，∵∠Q=∠CHE=90°，∴△PCQ∽△CEH，∴==∵EC=2PC，∴==，∴x=，y=，∴点C坐标（，）．（3）①如图1中，设C（x，y），则PO=8﹣2t，EH=3﹣t+x，CH=y，QC=8﹣2t﹣y，PQ=x，∵△PCQ∽△CEH，∴==∵EC=2PC，∴==，∴x=，y=，∴点C坐标（，）．②当t＜3时，如果点C在抛物线上，则有=﹣2（）2+4•+4，解得t=1或6（舍弃），∴t=1时，点C在抛物线上．当3≤t＜4时，由图象可知，不存在这样的点C在抛物线上，当t＞4时，如图2中，作CH⊥x轴于H，PQ⊥HC于Q．设C（x，y），则PO=2t﹣8，EH=t﹣3﹣x，CH=﹣y，QC=2t﹣8+y，PQ=﹣x，∵△PCQ∽△CEH，∴==∵EC=2PC，∴==，∴x=，y=，∴点C坐标（，），如果点C在抛物线上，则有=﹣2（）2+4•+4，解得t=6或1（舍弃），∴t=6时，点C在抛物线上，综上所述t=1或6s时，点C 抛物线上．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列运算中，结果正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+B ．()3263a ba b -= C ．()236a a = D ．623a a a ÷=【答案】C【解析】A:完全平方公式: ()222+2a b a ab b +=+,据此判断即可B: 幂的乘方,底数不变,指数相乘,据此判断即可C:幂的乘方,底数不变,指数相乘D:同底数幂相除,底数不变指数相减【详解】()222+2a b a ab b +=+选项A 不正确; ()3263-a b a b -=选项B 不正确; ()236a a =选项C 正确624a a a ÷=选项D 不正确.故选:C【点睛】此题考查幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题关键2．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与一次函数y ＝ax+c 在同一坐标系中的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】先根据一次函数的图象判断a 、c 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A 、由一次函数y=ax+c 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向上，错误；B 、由一次函数y=ax+c 的图象可得：a ＞0，c ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向上，交于y 轴的正半轴，错误；C 、由一次函数y=ax+c 的图象可得：a ＜0，c ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向下，错误．D 、由一次函数y=ax+c 的图象可得：a ＜0，c ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于同一点，正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．3．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（）A．（x+3）2=﹣4 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=5 D．（x+3）2=±5【答案】C【解析】x2+6x+4=0，移项，得x2+6x=－4，配方，得x2+6x+32=－4+32，即（x+3）2=5.故选C.4．下列结论正确的是（）A．三角形的外心是三条角平分线的交点B．平分弦的直线垂直于弦C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．直径是圆的对称轴【答案】C【分析】根据三角形的外心定义可以对A判断；根据垂径定理的推论即可对B判断；根据垂径定理即可对C判断；根据对称轴是直线即可对D判断．【详解】A．三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以A选项错误；B．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，所以C选项正确；D．直径所在的直线是圆的对称轴，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆的有关概念，解决本题的关键是掌握圆的知识．5．如图，点A、B、C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，∠ACD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【答案】C【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据外角求得∠ACD的度数．【详解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC ，∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°，∴∠ACD=70°-50°=20°；故选：C ．【点睛】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键． 6．若a 是方程210x x +-=的一个根.则代数式3222019a a ++的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 【答案】C【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.【详解】解：由题意可知：21a a +=∴()322222a 2019201920192020a a a a a a a ++=+++=++=故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是根据一元二次方程的解求代数式的值，解题的关键是将已给代数式进行变形，使之与所给条件有关系，即可得解.7．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与y 轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列5个结论中，其中正确的是（ ）①abc ＞0；②4a+c ＞0；③方程ax²+bx+c=3两个根是1x =0，2x =2；④方程ax²+bx+c=0有一个实数根大于2；⑤当x ＜0，y 随x 增大而增大A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x 轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】抛物线开口向下，a ＜0，对称轴为直线x ＝1＞0，a 、b 异号，因此b ＞0，与y 轴交点为（0，3），因此c ＝3＞0，于是abc ＜0，故结论①是不正确的；由对称轴为直线x ＝− 2b a＝1得2a ＋b ＝0，当x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＜0，所以a ＋2a ＋c ＜0，即3a ＋c ＜0，又a ＜0，4a ＋c ＜0，故结论②不正确；当y ＝3时，x 1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为直线x ＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax 2＋bx ＋c ＝3的有两个根是x 1＝0，x 2＝2；故③正确；抛物线与x 轴的一个交点（x 1，0），且−1＜x 1＜0，由对称轴为直线x ＝1，可得另一个交点（x 2，0），2＜x 2＜3，因此④是正确的；根据图象可得当x ＜0时，y 随x 增大而增大，因此⑤是正确的；正确的结论有3个，故选：B ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．8．如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其-天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ）A ．①②③④B ．④①③②C ．④②③①D ．④③②①【答案】B 【分析】北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．【详解】根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北−北−东北−东， 即④①③②故选：B ．【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长．9．抛物线223y x x =--的对称轴是（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．2x =-【答案】A【分析】直接利用对称轴为2b x a =-计算即可． 【详解】∵21221b x a -=-=-=⨯， ∴抛物线223y x x =--的对称轴是1x =，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数对称轴的求法是解题的关键．10．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O 的半径为 ( )A ．22B ．4C ．23D ．5【答案】A【解析】试题解析：连接OA ，OB ．45,C ∠=︒90AOB ∴∠=︒，∴在Rt AOB △中，2 2.OA OB ==故选A.点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.11．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ）A ．摸出黑球的可能性最小B ．不可能摸出白球C ．一定能摸出红球D ．摸出红球的可能性最大【答案】D【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球，∴摸出黑球的概率是223， 摸出白球的概率是123， 摸出红球的概率是2023， ∵123＜223＜2023， ∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；故选：D ．【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．12．若一元二次方程kx 2﹣3x ﹣94＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＝﹣1B ．k ≥﹣1且k ≠0C ．k ＞﹣1且k ≠0D ．k ≤﹣1且k ≠0 【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝9+9k ≥0即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△＝9+9k ≥0，∴k ≥﹣1，∵k ≠0，∴k ≥﹣1且k ≠0，故选：B ．【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求方程中的参数，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式的应用．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转55︒得到ADE ∆，点B 的对应点是点D ，直线BC 与直线DE 所夹的锐角是_______.【答案】55︒【分析】延长DE 交AC 于点O ，延长BC 交DE 的延长线于点F ，然后根据旋转的性质分别求出∠EAC=55°，∠AED=∠ACB ，再根据对顶角相等，可得出∠DFB=∠EAC=55°.【详解】解：延长DE 交AC 于点O ，延长BC 交DE 的延长线于点F由题意可得：∠EAC=55°，∠AED=∠ACB∴∠AEF=∠ACF又∵∠AOE=∠FOC∴∠DFB=∠EAC=55°故答案为：55°【点睛】本题考查旋转的性质，掌握旋转图形对应角相等是本题的解题关键.14．将方程257x x +=化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，则一次项系数、常数项分别为____．【答案】5，7-．【分析】一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可．【详解】解：方程整理得：2570x x +-=，则一次项系数、常数项分别为5，7-；故答案为：5，7-．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为20(a 0)++=≠ax bx c ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、的坐标分别为()()2,02,1、，以原点O 为位似中心，把线段AB 放大，点A 的对应点A '的坐标为()4,0，则点B 的对应点B ′的坐标为__________．【答案】()4,2【分析】由题意可知：OA=2，AB=1，OA '=4，△OAB ∽△OA B ''，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出2A B ''=，从而求出点B ′的坐标．【详解】由题意可知：OA=2，AB=1，OA '=4，△OAB ∽△OA B '' ∴OA AB OA A B ='''即214A B =''解得：2A B ''=∴点B ′的坐标为（4,2）故答案为：()4,2．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键．16．如图，设点P 在函数y=6x 的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交函数y=2x 的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交函数y=2x的图象于点B ，则四边形PAOB 的面积为_____．【答案】4【解析】=OBD OCA PAOB OCPD S S S S ∆--四边形矩形1162222=-⨯-⨯ ＝6－1－1＝4【点睛】本题考察了反比例函数的几何意义及割补法求图形的面积．通过观察可知，所求四边形的面积等于矩形OCPD 的面积减去△OBD 和△OCA 的面积，而矩形OCPD 的面积可通过6y x =的比例系数求得；△OBD 和△OCA 的面积可通过2y x=的比例系数求得，从而用矩形OCPD 的面积减去△OBD 和△OCA 的面积即可求得答案．17．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转的到△ADE ，点C 和点E 是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________．【答案】．【解析】∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转的到△ADE ，点C 和点E 是对应点，∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°，∴BD=22AB AD +=2211+=2.故答案为:2.18．函数||2(1)k y k x -=-是y 关于x 反比例函数，则它的图象不经过______的象限.【答案】第一、三象限【解析】试题解析：函数()21k y k x -=-是y 关于x 的反比例函数，2110,k k ⎧-=-∴⎨-≠⎩解得：1,k =-比例系数120,k -=-<它的图象在第二、四象限,不经过第一、三象限.故答案为第一、三象限.三、解答题（本题包括8个小题）19．我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用500元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【答案】（1）()22003060y x x =-+≤≤ ；（2）销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.【分析】（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式；（2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．【详解】解：（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =.∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 之间的关系式为()22003060y x x =-+≤≤（2）设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)5002(65)1950W x x x =--+-=--+∵20a =-<；∴抛物线开口向下；∵对称轴65x =；∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大；∵3060x ≤≤，∴60x =时，W 有最大值；()22606519501900W =-⨯-+=最大值.即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在2b x a=-时取得。