浙江大学城市学院2006至2007学年第二学期线性代数期末考试试题

浙2006— 2007学年第 二 学期期末考试试卷 《 线 性 代 数 》 开课单位： 计算分院 ；考试形式：闭卷；考试时间：_2007_年_7_月_11日； 所需时间： 120 分钟一．_填空题_(本大题共_10_空，每空_2_分，共_20_分。

) 1． 齐次线性方程组121200x x x x λλ+=⎧⎨+=⎩的系数行列式D ＝___________， 当λ＝___________时， 此方程组有非零解。

2． 已知三阶方阵,A B ， 且A ＝－2， B ＝12，则*A ＝______，1AB -＝______ 。

3． 已知[]1100T ε=, []2010T ε=, []3001T ε=是3R 的一组基, 则[]113T α=-在此基下的坐标为 ___________. 4．1200013025-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝ __________________ 5．设方阵A ＝12422421x --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦与对角阵Λ＝50000004y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x ＝ ________， y ＝________。

6．已知二次型123(,,)f x x x =22212312132323456x x x x x x x x x ++++-, 则二次型f 的矩阵 A ＝________________， 二次型的秩为________。

二．问答题（本大题共_5_题，每题_4_分，共_20_分。

） 1． 矩阵乘法满足交换律吗？ 请举例说明.2． 12312132227x x x x x x x ++=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩有解吗？ 请说明理由。

3． []1212T α=-， []2322T α=-， []3220Tα=线性相关吗？ 请说明理由。

4． 若1X , 2X 是非齐次线性方程组的AX b =的解, 则12X X +是对应的齐次方程组0AX =的解吗? 请说明理由。

浙江大学2006-2007秋冬 线性代数一、填空题（20分） 1. 设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABBC CA E ===，则222A B C ++= 。

解 因为AB =BC =E ，则A =B −1，C =B −1，从而A =C 。

又因为AC =E ，则A 2=E 。

同理可得B 2=C 2=E ，因此A 2+B 2+C 2=3E2. 设n 阶矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b = ，其中0,(1,2,,),0,(1,2,,)i j a i n b j n ≠=≠= ， 则()r B = 。

解 B =�a 1b 1a 1b 2⋯a 1b n a 2b 1a 2b 2⋯a 2b n ⋮⋮⋱⋮a n b 1a n b 2⋯a n b n�=�a 1a 2⋮a n �[b 1b 2⋯b n ]，因为a i ≠0，b i ≠0，�i =1，2，⋯，n�，则r ��a 1a 2⋮a n ��=r ([b 1b 2⋯b n ])=1，且r (B )≥1。

又因为r (B )≤r ��a 1a 2⋮a n��=1，所以r (B )=1。

说明 此时不必要求a i ≠0，b i ≠0，�i =1，2，⋯，n�，只要a 1，a 2，⋯，a n 中至少有一个不为零，并且b 1，b 2，⋯，b n 中也至少有一个不为零即可。

记住这个结论，经常要用到这个结论。

3. 设A 是n 阶矩阵，且2240,A A E +−=则1()A E −−＝ 。

4. 设123(1,0,1,2),(2,1,2,6),(3,1,,4),(4,1,5,10)T T T T a αααβ=−=−−==−−，已知β不能由 123,,ααα线性表示，则a = 。

5. 设123000000a A a a =，132000000a B a a =，则当C ＝ 时，T C AC B =。

诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2006—2007学年第二学期考试试卷《 微积分（B ）II 》开课单位：计算分院 ；考试形式：闭卷；考试日期：07年7月10日；时间：120分钟一． 微分方程问题(本大题共 3 题，每题 5分，共15 分)1． 求解微分方程 20(4)2,1x y x xy y ='-==.解：222(4)2, (4)dy dy x x xy dx dx y x -==-； ()()122222121,　4(4)(4)ln ln 4, 4,　c dy x dy dxd x y x y x y x C ye x ==---=-+=±-⎰⎰⎰⎰记1cC e =±，得通解：()24y C x =-， 由01x y==，得14C =-，所以微分方程特解为()2144y x =-- 点评：此题考可分离变量微分方程掌握情况。

可分离变量微分方程的关键是将方程通过因式分解，使,x y “分家”，变成：()()f y dy g x dx =形式，然后积分。

本题还要注意1cC e =±的变化。

2.求解微分方程 22x y xy xe -'-=.解: 2()2,()x p x x q x xe -=-=,()222222222222(2)(2)22221241144x dx x dxx x x x x x x x x x x xy e xe e dx C e xe e dx C e xe dx C e e d x C e e C e Ce ----------⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+=--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰点评： 本题为典型的一阶线性微分方程()()y p x y q x '+=，这类方程只要记住公式：()()()p x dx p x dxy e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰注意公式中三个不定积分计算后不需要另再加积分常数，因为本公式中已经有C 了。

线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。

7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。

8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。

9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。

10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。

三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。

12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。

四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。

14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。

浙江大学城市学院2004-2005第二学期《线性代数》期终考试题第二学期《线性代数》期终考试题一．选择题：（每小题3分,共15分）分）（每一个小题后面有四个选项，其中只有一个选项是正确的，把正确的选项填写在后面的括号内）号内）1．已知4阶矩阵,A B 的行列式12341235,,,,,,,A k B m a a a a a a a a ====，则，则矩阵2A B +的行列式2A B +是 【 】. (A).2k m +, (B).9(2)k m + (C).8 (2k m +), (D).27(2k m +).2．设A 是m n ´阶矩阵，b 是m 维列向量，x 是n 维列向量，线性方程组Ax b =对应的齐次线性方程组为0Ax =,命题命题①.齐次线性方程组为0Ax =只有唯一零解,则线性方程组Ax b =只有唯一解，只有唯一解， ②.齐次线性方程组为0Ax =有无穷多解,则线性方程组Ax b =有非零解，有非零解， ③.线性方程组Ax b =只有唯一解, 则齐次线性方程组为0Ax =只有唯一零解只有唯一零解 ④.线性方程组Ax b =有无穷多解，则齐次线性方程组为0Ax =有无穷多解有无穷多解则上面命题中正确的个数是则上面命题中正确的个数是【 】(A).1个，个， (B).2个，个，(C).3个，个，(D).4个. 3．A 是n 阶矩阵,且20E A -=,则下面结论中正确的是则下面结论中正确的是【 】. (A).1是A 的特征值, (B).1-是A 的特征值,(C).1和1-都是A 的特征值,(D).1或者1-中至少有一个是A 的特征值.4．A 是n 阶矩阵，l 是A 的的特征值，,a b 是A 的属于特征值l 的线性无关的特征向量，则下面向量中是A 的属于特征值l 的特征向量的是的特征向量的是【 】. (A).1k a ，（其中1k 是任意数）是任意数）(B).2k b ，（其中2k 是任意数）是任意数）(C).12k k a b +，（其中12,k k 是任意不全为零的数）是任意不全为零的数）(D).12k k a b +，（其中12,k k 是任意数）.5．二次型22121212(,)28f x x x x x x =++，它的矩阵表示是，它的矩阵表示是【 】 (A).112224(,)41x x x x æöæöç÷ç÷èøèø, (B).112228(,)01x x x x æöæöç÷ç÷èøèø, (C).112221(,)71x x x x æöæöç÷ç÷èøèø, (D).112220(,)81x x x x æöæöç÷ç÷èøèø. 二．简答题：（每小题5分，共25分）（本题必须写出简要的步骤，否则不给分）（本题必须写出简要的步骤，否则不给分） 1． 设A 是4阶实矩阵，且*8A =，求A ，（其中*A 是A 的伴随矩阵）.2． 设A 是3阶矩阵，且11212325124A a -éùêú=-êú-ëû，决定参数a 的值，使得矩阵A 的秩最小.3． 设A 是54´矩阵，x 是4维列向量，b 是5维列向量，()2R A =，向量123,,h h h 是线性方程组Ax b =的3个解，求线性方程组Ax b =的通解. （其中123(2,1(2,1,,1,4),(1(1,,2,0,3),(0,3,1(0,3,1,,1)T T T h h h =-=-=-）.4． 设,a b 都是n 维向量，且2,3a b ==，求：2222a b a b ++-.5．设A 是3阶矩阵，2A E =，且,A E A E ¹¹-，计算[()1][()1]R A E R A E +-´-- （其中()R A 表示矩阵A 的秩）的秩）二．计算题：1．计算行列式1111111111111111x x y y +-+-. （本题10分）2．已知矩阵2222A éù=êúëû，计算23,,n A A A . （本题12分）3．已知向量组．已知向量组12345(1,1,2,4),(0,3,1(0,3,1,2),,2),(3,0,7,14),(1,1,2,0),(2,1,5,0)a a a a a =-===-=， 求出向量组1234,,,a a a a 的秩和最大无关组，并用此最大无关组来表示其余的向量.（本题12分）分）4．设3阶实矩阵522252225A éùêú=êúêúëû, (1).求A 的特征值，的特征值， （2）分别求出A 的属于各特征值的所有特征向量, (3).求正交矩阵Q ,使得1T Q AQ Q AQ -=为对角矩阵,并写出此对角矩阵. （本题12分）分）5．3阶矩阵A 得特征值为1232,2,3l l l ==-=，*A 是A 的伴随矩阵，***123,,l l l 是*A 的特征值，求：特征值，求：（1）***123,,l l l ，（2）112233A A A ++，（其中112233,,A A A 分别是矩阵A 中元素112233,,a a a 的代数余子式）. （本题8分）分）四．证明题：（本题6分）分）1．设A 是n 阶实反对称矩阵（T A A =-），x 是n 维列向量，如果存在n 维列向量y ，使得Ax y =，求证：x 与y 正交.2．设A 是n 阶矩阵，a 是n 维列向量，且0A a ¹，而20A a =，求证,A a a 线性无关.。

浙江大学城市学院2004——2005学年第二学期期末试卷课程名称：微积分A 考试形式： 闭 卷 考试时间：2小时6分，共24分）1． 设xy ye x z +=2sin 2，求)2,1(x z ∂∂，)2,1(y z∂∂。

2． 设()22,y x xy f z -=，且),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2。

3． 设),(y x z z =由方程z y x z y 32)53sin(2-+=-所确定，求x z ∂∂，yz ∂∂。

4．设有向量场→→→→++=k zx j yz i xy A ，求该向量场在点)3,2,1(P 处的散度。

二．求二重积分（每小题7分，共14分）1． 求二重积分2Dx yd σ⎰⎰，其中{}2(,)02,0D x y x y x =≤≤≤≤。

2． 求二重积分⎰⎰+Dd y x σ22，其中D 是由圆y y x 222=+所围成的平面区域。

三．求三重积分（每小题7分，共14分）1．求三重积分⎰⎰⎰Ωzdvxy sin，其中{}(,,)01,1,0x y z x y e zπΩ=≤≤≤≤≤≤。

2．求三重积分⎰⎰⎰Ω+dvyx)(22，其中Ω为锥面22yxz+=与平面2z=所围的有界闭区域。

四．求曲线曲面积分（每小题6分，共18分）1．计算第一类曲线积分2()lx ydl +⎰，其中l 是上半圆周222a y x =+，0≥y 。

2．求曲线积分⎰-Lxdy ydx ，其中L 是由两条坐标轴和直线623=+y x 所构成的三角形正向边界。

3． 求曲面积分⎰⎰∑+zdxdy x dydz xy 22 ，其中∑是由上半球面222y x a z --=与平面 0=z 所围成的空间区域的边界面,取外侧。

6分，共18分）1．求微分方程222x xe xy dxdy-=+的通解。

2．求方程02)1(2='-''+y x y x 满足初始条件02x y ==，01x y ='=的特解。

学院： 专业：班级：装姓名：线学号：2005级线性代数期末试卷(B)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．当()k ≠时，方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩只有零解。

A. 0;B. -1 ;C. 2 ;D. -22．设,A B 均为n 阶方阵，且()0A B E -=, 则 （ ） A. 0A =或 B E =;B. 0A =或 0B E -=;C. 0A =或 1B =;D. A BA =.3．以初等矩阵100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭左乘矩阵001100010A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行（ ）的初等变换.A. 23r r ↔,B. 23c c ↔,C. 13r r ↔, B. 13c c ↔,4．设向量组的秩为r ,则( )A. 该向量组所含向量的个数必大于r 。

B. 该向量组中任何r 个向量必线性无关,任何1r +个向量必线性相关。

C. 该向量组中有r 个向量线性无关,有1r +个向量线性相关。

D. 该向量组中有r 个向量线性无关,任何1r +个向量必线性相关。

5．设A 为n 阶方阵,则“0是A 的一个特征值“是“A 为奇异矩阵“的( )A. 充分非必要条件;B. 必要非充分条件;C. 既非充分也非必要条件;D. 充分必要条件。

二、填空题（每小题3分，共15分） 6． 设()2201x x e f x =，则()'0f =7． 设A,B 均为n 阶方阵，2,3A B ==-，则*12A B -= 。

8．设A 是43⨯矩阵，且()2R A =，而102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB = 。

9． 设()()()1231,1,1,,0,,1,3,2a b ααα===，若1,23,ααα线性相关，则,a b 满足关系式 。

10．设n 阶方阵A 有n 个特征值0,1,2,,1n -,且方阵B 与A 相似，则B E += 。

浙江大学2006-2007秋冬 线性代数 填空题（20分）1. 设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，则222A B C ++= 。

2. 设n 阶矩阵11121212221211n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0,(1,2,,),0,(1,2,,)i j a i n b j n ≠=≠=，则()r B = 。

3. 设A 是n 阶矩阵，且2240,A A E +-=则1()A E --＝ 。

4. 设123(1,0,1,2),(2,1,2,6),(3,1,,4),(4,1,5,10)T T T T a αααβ=-=--==--，已知β不能由123,,ααα线性表示，则a = 。

5. 设123000000a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132000000a B a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则当C ＝ 时，T C AC B =。

一、解答题1. （10分）设(1,0,2,4),(2,1,3,1)T T αβ==--，T A αβ=，计算2E A -。

2. （10分）设3阶矩阵101010101A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且适合*22A B AB E A -=+，求矩阵B 。

3. （15分）问k 为何值时，线性方程组1232123123424x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 有唯一解、无解、无穷多解？在有解的情况下，求出其全部解。

4. （15分）设二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-。

（1）写出该二次型的矩阵；（2）该二次型是否是正定二次型；（3）用非退化线性替换X CY =化该二次型为标准型，并写出所用的线性替换。

5. 设A 是3阶实对称矩阵，特征值1,1,1--，属于特征值1的特征向量为(1,0,1)Tβ=-，求（1） 属于特征值1-的所有特征向量；（2）矩阵A 。

线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。

左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。

北京科技大学2006--2007学年第二学期线性代数 试卷（试卷（A A 卷）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩占课程占课程考核成绩考核成绩 85 % 平时平时成绩占成绩占 15% 课程考核成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 小计 得分 评阅 审核一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．四维向量()()1,1,1,1,2,0,3,6TT=--=--a b 的夹角是 。

2．设A 是5阶方阵，且2=-A ，那么2A -= 。

3．设12304501A æöç÷=ç÷ç÷èø，则()1A -*= 。

4．与向量()()1,2,2,2,1,2-TT同时正交的单位向量是 。

5．若二次型()()222123123121323,,1424f x x x x t x tx x x x x x x =++++--正定，那么参数t 应该满足的条件是 。

得 分装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊二、选择题（本题共15分，每小题3分）1．若12312,,,,a a a b b 均为四维列向量，且满足行列式1312,,,2=a a b a ，2231,,,3=a b a a ，那么行列式12312,,,+=a a a b b 。

（A ）5 （B ）-5 （C ）1 （D ）-1 2.具有零特征值是方阵不可逆的 。

（A ）充分条件，但不是必要条件 （B ）必要条件，但不是充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分条件，也非必要条件3．若向量组1234,,,a a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是 。

（A ）1121231234,,,++++++a a a a a a a a a a（B ）12123434,,,-+-+a a a a a a a a （C ）12233441,,,++++a a a a a a a a（D ）1121231234,,,--+-+-a a a a a a a a a a 4．下列命题正确的是 。

线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。

浙江大学城市学院线性代数期末试卷及解答浙江大学姜豪汇编2012年2月目录第一部分试卷真题城院线代11—12学年第一学期期末试卷 (2)城院线代10—11学年第二学期期末试卷 (4)城院线代10—11学年第一学期期末试卷 (6)城院线代09—10学年第二学期期末试卷 (7)城院线代09—10学年第一学期期末试卷 (9)第二部分答案与评估城院线代11—12学年第一学期期末试卷答案 (11)城院线代11—12学年第一学期期末试卷难度与题量评估 (12)城院线代10—11学年第二学期期末试卷答案 (12)城院线代10—11学年第二学期期末试卷难度与题量评估 (13)城院线代10—11学年第一学期期末试卷答案 (13)城院线代10—11学年第一学期期末试卷难度与题量评估 (14)城院线代09—10学年第二学期期末试卷答案 (14)城院线代09—10学年第二学期期末试卷难度与题量评估 (16)城院线代09—10学年第一学期期末试卷答案 (16)城院线代09—10学年第一学期期末试卷难度与题量评估 (17)第三部分试题详解城院线代11—12学年第一学期期末试卷详解 (18)城院线代10—11学年第二学期期末试卷详解 (24)城院线代10—11学年第一学期期末试卷详解 (31)城院线代09—10学年第二学期期末试卷详解 (37)城院线代09—10学年第一学期期末试卷详解 (43)第一部分 试卷真题城院线代11—12学年第一学期期末考试卷一、填空题（每空2分，共20分）1．3阶行列式132201171--中12a 的余子式为______，23a 的代数余子式为._______2．设B A ,均为3阶方阵，且3|| ,2||==B A ，则__,|2|=T AB __|)(|12=-A 。

3．已知向量111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且T A αα=，则A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ，2012A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

4．已知向量组321,,ααα线性无关，4321,,,αααα线性相关，则_____4α（填能或不能）由321,,ααα线性表示。

诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2006—2007学年第二学期考试试卷《 微积分（B ）II 》开课单位：计算分院 ；考试形式：闭卷；考试日期：07年7月10日；时间：120分钟一． 微分方程问题(本大题共 3 题，每题 5分，共15 分)1． 求解微分方程 20(4)2,1x y x xy y ='-==.解：222(4)2, (4)dy dy x x xy dx dx y x -==-； ()()122222121,　4(4)(4)ln ln 4, 4,　c dy x dy dxd x y x y x y x C ye x ==---=-+=±-⎰⎰⎰⎰记1cC e =±，得通解：()24y C x =-， 由01x y==，得14C =-，所以微分方程特解为()2144y x =-- 点评：此题考可分离变量微分方程掌握情况。

可分离变量微分方程的关键是将方程通过因式分解，使,x y “分家”，变成：()()f y dy g x dx =形式，然后积分。

本题还要注意1cC e =±的变化。

2.求解微分方程 22x y xy xe -'-=.解: 2()2,()x p x x q x xe -=-=,()222222222222(2)(2)22221241144x dx x dxx x x x x x x x x x x xy e xe e dx C e xe e dx C e xe dx C e e d x C e e C e Ce ----------⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+=--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰点评： 本题为典型的一阶线性微分方程()()y p x y q x '+=，这类方程只要记住公式：()()()p x dx p x dxy e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰注意公式中三个不定积分计算后不需要另再加积分常数，因为本公式中已经有C 了。

浙江大学2007-2008学年春季学期微积分Ⅱ课程期末考试试卷一 、填空题每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上 1.点M 1,－1, 2到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微,(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在0,1上连续,且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,把所选字母填入题后的括号内6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 A 2π . B 3π . C 4π . D 6π. 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分cos 20d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为A 10(,)dy f x y dx ⎰⎰B 100(,)dy f x y dx ⎰⎰C 1(,)dx f x y dy ⎰⎰D 10(,)dx f x y dy ⎰⎰8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -= ＜A 12.B 12-.C 34.D 34-.9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处A 偏导数存在,函数不连续B 偏导数不存在,函数连续C 偏导数存在,函数连续D 偏导数不存在,函数不连续 三、解答题10.本题满分10分求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M 1,－1,2处的切线方程与法平面方程.11.本题满分10分设F 可微,z 是由F x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数,并设23F F ''≠,求z zx y∂∂+∂∂. 12.本题满分10分设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集,求2[e sin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.本题满分10分求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.本题满分10分设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤,计算二重积分22 1 d Dxy σ+-⎰⎰.15.本题满分5分设当y ＞0时(,)u x y 可微,且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y . 浙江大学2007－2008学年春季学期微积分II 课程期末考试试卷答案一、填空题每小题5分,共25分 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=DDd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ, ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题每小题5分,共20分 6．选B. l 1的方向向量{}1,2,1-,l 2的方向向量{}2,1,1--,{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选D. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ,化成直角坐标后故知选D.8．选C. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选A. ()()0000,0lim 0,0,00x y x f f x→-''===,偏导数存在.取kx y =,()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异,所以不连续．三、解答题10～14每题10分,15题5分,共55分 10．由L ,视x 为自变量,有 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,,得 87,45==dx dz dx dy ,所以切线方程为87245111-=+=-z y x , 法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=,即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-. 12．D 在第一象限中的一块记为D 1,D 在第三象限中的一块记为D 2,()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.所以,原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ,它的最大值点,最小值点与2z 的一致,用拉格朗日乘数法,设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x z y x z z y x F μλμλ,求偏导数,并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂,1830Fy x λμ∂=+=∂, 2430F z z z λμ∂=-+=∂,22920Fx y z x∂=+-=∂ , 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时,1=z 最小；当35,5-=-=y x 时,5=z 最大.14．将分成如图的两块,41的圆记为D 1,另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++,有222xy y x y x u ++=∂∂,从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,,又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂,推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++, 所以,()2221,arctan 2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可： 所以,()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期微积分Ⅱ 课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题每小题5分,满分30分 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数,则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D,则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切,则切点坐标为 ,公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ,∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π,其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π,则.)27(=S二、 满分10分求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.三、 满分10分计算⎰⎰-10222d d x ye x y .四、 满分15分已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定,试求1022==∂∂y x x z.五、 满分15分设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离,求),,(z y x d 的最大,最小值 .六、 满分15分如图是一块密度为ρ常数的薄板的平面图形在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形,矩形的另一边为h ,已知平面图形的形心位于原点0, 0. 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.满分5分 求证:当0,1≥≥s t时,成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰1222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y ex ey 2y yy四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d 最小距离：2236),,(323131-=-d ,最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x x七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s且对固定的1>t , 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以,t s ln =取得最小值且为0,则 0),(≤s t F ,即1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是 ____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 c .A 1p >B 1p <C 12p <<D 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数 b .A 在原点无定义B 在原点二重极限不存在C 在原点有二重极限,但无定义D 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是 a. A123I I I >> B 213I I I >> C123I I I << D213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解 d . A b ax y += B xe b ax y 3)(+= C x e bx ax y 32)(+= D x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna d .A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 不定 一、填空题每小题3分,共15分1、2(1)1x y y -+. 2、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>;且4=x 时,8=y ;于是)6()3(分分24882233837730(4)16(80)33128128(80)775127V y dy y dyy ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰12、求二重极限11lim22220-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x 3分2)11(lim 220=+++=→→y x y x 6分13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2. 解：设(,,)zF x y z z e xy =+-,则x F y=-,y F x=- ,1zz F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++, 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ 3分222111(1)1(1)z z z zz z z z e y e z ye xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===-⎪∂∂∂++++⎝⎭6分14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. 3分故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 6分15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182xyyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ 6分 6、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝1320d r drπθ⎰⎰＝8π6分17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= 3分 ⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ 6分18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=3分因为lim 11n n →∞==19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , 3分 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n x x x ,33<<-x . 6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略 解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 3分0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C , 064802>-=-=B AC D ,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0万元,报纸广告费用25.1万元. 6分 四、证明题每小题5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, 3分 并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n n nv u收敛; 6分1、设22(,)yf x y x y x -=-,则=),(y x f _____________. 2、已1()2Γ=,则5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值,则常数 4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________5、以xx e C e C y 321+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是__________________. 6、已知dxep x⎰∞+- 0与⎰ep x x dx1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 .A 0>pB 0<pC 1<pD 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0) .A 不是驻点B 是驻点而非极值点C 是极大值点D 是极小值8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则 . A12I I = B12I I > C12I I < D2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解 . A b ax y += B xe b ax y 2)(+= C x e bx ax y 22)(+= Dx e bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nnna收敛,则级数∑∞=1n na.A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不定11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 0xy y x y x +→→.13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂. 14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.15、计算⎰⎰101d e d yx x xy .16、计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程0='+''y y x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛12!n nn n 的敛散性.19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.21、设222ln z y x u ++=,证明222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z ++.22、若∑∞=12n na与∑∞=12n nb都收敛,则∑∞=1n nn ba 收敛.可能会有错误大家一定要自己核对一、填空题每小题3分,共15分1、设)(y x f y x z -++=,且当0=y 时,2x z =,则=z ;2222x xy y y -++2、计算广义积分⎰+∞13x dx = ;123、设xye z =,则=)1,1(dz ;)(dy dx e +4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.xe bx ax 22)(+5、设14n n u ∞==∑,则11122nn n u ∞=⎛⎫-=⎪⎝⎭∑_________;1二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 AD.不存在2、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 A ;A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 D ; A.d d θπr r r4222-⎰⎰；B.204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰； D.442012d d θπr r r-⎰⎰4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 C ;A.xx e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C xx x -+- 5、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n p 为任意实数 D A 、收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、无法判断 三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：x y →→;解：0x y →→00x y →→= …3分1)112x y →→==+= …6分2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：421d x V xπ=⎰ …4分7.5π= …6分3、求由xyz e z=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂; 解：方程两边对x 求导得:x z xy yz x z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z x z xy e yz x z z…3分方程两边对y 求导得:y z xy xz y z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z y z xy e xz y z z …6分4、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值; 解：322(,)42f x y x x xy y =-+-,则2(,)382x f x y x x y=-+,(,)22y f x y x y=-,(,)68xx f x y x =-,(,)2xy f x y =,(,)2yy f x y =-，求驻点,解方程组23820220x x y x y ⎧-+=⎨-=⎩，，得)0,0(和(2,2). …2分对)0,0(有(0,0)80xx f =-<,(0,0)2xy f =,(0,0)2yy f =-,于是2120B AC -=-<,所以)0,0(是函数的极大值点,且(0,0)0f = …4分对(2,2)有(2,2)4xx f =,(2,2)2xy f =,(2,2)2yy f =-,于是2120B AC -=>, (2,2)不是函数的极值点;6、计算积分⎰⎰D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；解：221x x Dyy d dx dyxx σ=⎰⎰⎰⎰. (4)分213924xdx ==⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足⎰+=xx x xf dt t f 0)(2)(,且0)1(=f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即x x f x x f 21)(21)(-=+' …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：=1)(1-=+-xc c x x…5分又0)1(=f ,即01=-c ,故1=c ,所以11)(-=x x f …6分8、求解微分方程212y y y '-+''=0 ;解：令y p '=,则dp y pdy ''=,于是原方程可化为：221dp p p dy y +=- …3分即201dp p dy y +=-,其通解为22111(1)dy yp c e c y --⎰==- …5分21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12)1(=-故原方程通解为：2111c x c y +-= …6分9、求级数1n n ∞=的收敛区间; 解：令2t x =-,幂级数变形为1n n ∞=1lim 1n t n n n a R a →∞+===. …3分当1-=t 时,级数为0(1)nn ∞=-∑收敛；当1=t 时,级数为1n ∞=.故1n n ∞=)1,1[-=t I , (5)分那么1n n ∞=的收敛区间为[1,3)x I =. …6分 10、 判定级数∑∞=⋅1!)2sin(n n n x 是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛;解：因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤ (2)分由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数1n ∞=也收敛;证：)(2111+++≤n n n n u u u u , …3分而由已知∑++)(211n nu u 收敛,故由比较原则,∑+1n n u u 也收敛; …5分2、设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明：因为22f f xy x z '-=∂∂, (2)分222f f y f y z '+=∂∂ (4)分所以222212211y zyf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=∂∂+∂∂. …5分一、填空题每小题3分,共15分1、设()z x y f y x =++-,且当0x =时,2z y =,则=z ;2222x xy x y -++2、计算广义积分21dxx +∞⎰= ;13、设)1ln(22y x z ++=,则(1,2)dz=;1233dx dy +4、微分方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.xe bx ax 323)(+5、级数∑∞=+1913n nn 的和为 ;58二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 BA 、0B 、3C 、2D 、不存在2、),(y x f x 和),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 BA.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面224x y +=所围的体积是 BA. 2400d rπθ⎰⎰；B.2204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰；D.204d rπθ⎰⎰4、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =,x e y =2,x e y 23=,则其通解为 D A 、22212()()x x x C e e C e x -+-； B 、22123x xC x C e C e ++；C 、2212x xx C e C e ++； D 、)()(22212xx x e x C e e C x -+-+5、无穷级数121(1)n pn n -∞=-∑p 为任意实数 A A 、无法判断 B 、绝对收敛 C 、收敛 D 、发散 三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：00x y →→;解：0000x x y y →→→→=…3分0011224x y →→-===-+ …6分2、求由在区间]2,0[π上,曲线x y sin =与直线2π=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：220sin d x V x xππ=⎰ …4分214π= …6分3、求由xy xyz z=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂; 解：一令=),,(z y x F xy xyz z--e 则 y yz x F --=∂∂, x xz y F --=∂∂, xy z F z -=∂∂e利用公式,得xy y yz xy y yz z F x Fx z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …3分 xy x xz xy x xz z F y Fy z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …6分二在方程两边同时对x 求导,得解出xy y yz x z z-+=∂∂e , …3分 同理解出xy x xz y z z-+=∂∂e …6分4、求函数33812),(y xy x y x f +-=的极值; 解：33812),(y xy x y x f +-=,则yx y x f x 123),(2-=,xy y x f y 1224),(2-=,x y x f xx 6),(=,12),(-=y x f xy ,，y y x f yy 48),(=求驻点,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-，，01224012322x y y x 得)0,0(和)1,2(. …2分对)0,0(有0)0,0(=xx f ,12)0,0(-=xy f ,0)0,0(=yy f ,于是01442>=-AC B ,所以)0,0(点不是函数的极值点. …4分对)1,2(有12)1,2(=xx f ,12)1,2(-=xy f ,48)1,2(=yy f ,于是048121442<⨯-=-AC B ,且012>=A ,所以函数在)1,2(点取得极小值,33(2,1)21221818f =-⨯⨯+⨯=- …6分 …5分6、计算二重积分⎰⎰+D d y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域； 解：211(2)(2)yyDx y d dy x y dxσ+=+⎰⎰⎰⎰ …4分2221119(21)6y dy y =--=⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0=++⎰xx x f dt t f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：01)(2)(=+'+x f x f 即21)(21)(-=+'x f x f …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：2221)(x x x ce c e e --+-=+-= …5分 又0)0(=f ,即c +-=10,故1=c ,所以1)(2-=-xe xf …6分8、求微分方程02)1(2='-''+y x y x 的通解;解 这是一个不明显含有未知函数y 的方程作变换 令 dyp dx =,则22d y dp dxdx =,于是原方程降阶为2(1)20dpx px dx +-=…3分, 分离变量221dp xdx p x =+,积分得21ln ln(1)ln p x C =++即21(1)p C x =+,从而 21(1)dyC x dx =+ …5分再积分一次得原方程的通解y ＝312()3x C x C ++ …6分9、求级数∑∞=-1)3(n nn x 的收敛区间; 解：令3-=x t ,幂级数变形为∑∞=1n n n t ,11lim 1n tn n n a n R a n →∞++===. …3分当1-=t 时,级数为∑∞=-01)1(n nn 收敛；当1=t 时,级数为∑∞=11n n 发散.故∑∞=1n nn t 的收敛区间是)1,1[-=t I , (5)分那么∑∞=-1)3(n n n x 的收敛区间为)4,2[=x I . …6分 10、 判定级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛：解：因为cos()1!!n x n n ⋅≤ …2分 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1cos()!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设级数21nn a∞=∑收敛,证明1(0)nn n a a n ∞=>∑也收敛;证：由于)1(21||22n a n a n n +≤, …3分 而∑2na ,∑21n 都收敛,故∑+)1(2122n a n 收敛,由比较原则知 n a n ∑收敛.;…5分2、设)2(cos 22tx z -=,证明:02222=∂∂∂+∂∂t x z t z ;证明： 因为)2sin()21()2sin()2cos(22t x t x t x t z -=-⋅--⋅-=∂∂, …2分)2cos(22t x t z--=∂∂, 22222)2cos(2t z t x x t z t x z ∂∂-=-=∂∂∂=∂∂∂, …4分 所以02222=∂∂∂+∂∂t x zt z (5)分中南民族大学06、07微积分下试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题每小题3分,共15分7 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 .A 1p >B 1p <C 12p <<D 2p >8 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y xy x x y x f 在原点间断,是因为该函数 . A 在原点无定义B 在原点二重极限不存在C 在原点有二重极限,但无定义D 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是 .A 123I I I >> B213I I I >>C123I I I << D213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解 .A b ax y +=B xe b ax y 3)(+=C x e bx ax y 32)(+=D x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna .A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 不定6分,共60分23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略.5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂.22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题每小题3分,共15分1、2(1)1x y y -+. 2、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题每小题3分,共15分6、C .7、 B.8、A .9、D. 10、D. 三、计算题每小题6分,共60分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>;且4=x 时,8=y ;于是12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x 3分2)11(lim 220=+++=→→y x y x 6分13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2. 解：设(,,)zF x y z z e xy =+-,则x F y=-,y F x=- ,1zz F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++, 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ 3分222111(1)1(1)z z z zz zz z e y e z ye xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭6分14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. 3分故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 6分15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182xyyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ 6分 16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝1320d r drπθ⎰⎰＝8π6分17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= 3分 ⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ 6分18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=3分因为lim 11n n →∞== 6分19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , 3分那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n xx x ,33<<-x . 6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略.解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--= 令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 3分0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C , 064802>-=-=B AC D ,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0万元,报纸广告费用25.1万元. 6分 四、证明题每小题5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++ 3分2233113311331111333311331133x y z zx y x y x y x yx yx x x y --∂∂+=⋅+⋅∂∂++⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭6分22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, 3分 并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n nn v u 收敛; 6分06年B 卷一、填空题每小题3分,共15分1、设22(,)yf x y x y x -=-,则=),(y x f _____________.2、已1()2Γ=,则5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值,则常数 .4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________.5、以xx e C e C y 321+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是__________________.二、选择题每小题3分,共15分 6、已知dxep x⎰∞+- 0与⎰ep x x dx1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 .A 0>pB 0<pC 1<pD 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0) .A 不是驻点B 是驻点而非极值点C 是极大值点D 是极小值点8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则 . A12I I = B12I I > C12I I < D2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解 . A b ax y += B xe b ax y 2)(+= C x e bx ax y 22)(+= Dx e bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nnna收敛,则级数∑∞=1n na.A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 敛散性不定6分,共60分11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 0xy y x y x +→→.13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂.14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.15、计算⎰⎰101d e d yx x xy .16、计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第.17、解微分方程0='+''yy x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛12!n nnn 的敛散性.19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x的幂级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.5分,共10分21、设222ln zyxu++=,证明222222zuyuxu∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z++.22、若∑∞=12nna与∑∞=12nnb都收敛,则∑∞=1nnnba收敛.07年A卷一、填空题每小题3分,共15分1、设)(yxfyxz-++=,且当0=y时,2xz=,则=z .2、计算广义积分⎰∞+13xdx= .3、设xyez=,则=)1,1(dz.4、微分方程xxeyyy265=+'-''具有形式的特解.5、设14nnu∞==∑,则11122n nnu∞=⎛⎫-=⎪⎝⎭∑_________二、选择题每小题3分,共15分6、22223sin()limxyx yx y→→++的值为 .A 3B 0C 2 D不存在7、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 .A 必要非充分的条件B 充分非必要的条件C 充分且必要的条件D 即非充分又非必要的条件 8、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 . Ad d θπr r r4222-⎰⎰B204d rπθ⎰⎰C20d rπθ⎰⎰D442012d d θπr r r-⎰⎰9、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 .A xx e C e C x 221++ B x x e C e C x C 2321++C )()(221x x x e x C e e C x -+-+ D)()(2221x e C e e C xx x -+-10、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n p 为任意实数 .A 收敛B 绝对收敛C 发散D 无法判断6分,共60分11、求极限0x y →→12、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.。

大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ）5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。