强Wolfe条件下一类修正FR共轭梯度法

一类修正的Perry 共轭梯度法及其全局收敛性摘要 本文提出了一种包含了Perry 共轭梯度法的修正形式的新共轭梯度法. 该方法确保了在精确线搜索下的充分下降的独立性. 本文所提方法的一个重要性质就是，通过使用一个新的正割条件，在逼近目标函数的二阶曲率信息时具有高阶准确性. 此外，我们所给的方法对于满足Wolfe 线搜索条件的一般函数具有全局收敛性. 我们的数值实验表明，就效率和鲁棒性而言，所提方法总体上比经典的共轭梯度法更具适用性.关键词：无约束优化；共轭梯度法；充分下降性；混合割线方程；全局收敛性 1 引言考虑一个无约束优化问题),(min x f nRx ∈ (1) 其中f 是R R n →上的一个光滑的线性函数，其梯度记为)()(x f x g ∇=.求解问题（1），共轭梯度法在效率上是一个很好的选择，尤其是共轭梯度法对于大规模问题有低存储和收敛性的特点. 一般而言，一个非线性共轭梯度法从初始点n R x ∈0开始，产生一组点列{}k x ，使用如下的迭代格式k k k k d x x α+=+1 （2） 其中n k R x ∈是（1）式解的第k 步逼近；0>k α是由某个特定的非线性搜索得到的步长；k d 是搜索方向，定义如下⎩⎨⎧+-=-=-,,;0,10otherwise d g k if g d k k k k β （3）)(k k x g g =且k β是标量. 在所参阅的文献中已经提出过几类k β，并由此而产生具有相当高计算效率与收敛性质特特点的共轭梯度法.经典的k β公式包括HS ，FR 以及PRP .本文中，我们重点是Perry 法，其参数是,)(1111-----=k T k k k T k P k d y s y g β （4）其中11---=k k k x x s ,11---=k k k g g y .该种共轭梯度法基于的是拟牛顿法的思想，在关于无约束优化问题的文章中，已被公认为是最有效的方法之一.在过去的十几年里，专家学者们都致力于有高计算效能和强收敛性特性的新共轭梯度法的发展. 特别是，诸多研究人员基于割线方程提出新的共轭梯度法，其在逼近二阶曲率信息时具有高度准确性.在合适的条件下，这些方法都是具有全局收敛性的，且有时候数值实验的效果比经典的共轭梯度法还要好. 但是，这些方法并没有满足充分下降条件. 因此，在他们的分析和应用中开始新的研究以得到保证收敛性的新算法. 袁亚湘和戴彧虹等考虑了提出了一不同的方法提高共轭梯度法的数值实验效能. 他们所提出的共轭梯度法在Wolfe 线搜索条件下产生了新的下降方向. 基于这个想法，Zhang 等人考虑去修正按如下方式修正搜索方向：.)1(121--++-=k FR k k kk T k FRkk d g g d g d ββ（5）如此就满足充分下降条件2k k Tkg d g -=.他们的方法所具有的比较吸引人的一个性质就是满足了2k k Tkg d g -=，独立地线搜索和k β的选择.此外，（5）式中的k β由其他已有的共轭梯度法公式所确定，我们就可以得到相关修正的共轭梯度法，参见文献[16,17,19,31,44-46].近来，研究人员特别关注杂合上述两种方法以得到拥有良好数值实验效果和强收敛性的方法. 进一步分析，已提出的新共轭梯度法包含了产生下降方向，避免由此而来的常见的低效重启这些好的特质. 这些方法已经表现出全局收敛性以及理论上比经典方法更具优势，通过新修正的割线方程在逼近最小函数的曲率中展现出了更高精确度. 作者展现了一些数值结果来说明他们所提方法的计算效能与鲁棒性. 沿着这个方向，我们提出一种新的共轭梯度法，该方法保证了充分下降性与线搜索独立精确性. 通过使用一新的混合割线条件，我们所提出的方法在逼近目标函数的二阶曲率信息上表现出更高的精确度. 而且，在Wolfe 线搜索条件下的全局收敛性也得到保证. 我们的实验结果也证明了所提方法的计算效能和鲁棒性.本文以下部分的内容这样安排：第二节，给出我们的目标和所提共轭梯度法. 第三节，给出全局收敛性分析. 第四节，使用文献[18]中性能选项陈列数值实验. 第五节. 给出我们的总结性结论.2 修正的perry 共轭梯度法在本节，我们再次说明，对于拟牛顿法，Hessian 阵)(12-∇k x f 的近似矩阵1-k B 是变化着的，所以一个新的矩阵k B 满足如下割线条件11--=k k k y s B , （6） 在现有的迭代中，标准的割线方程（6）只使用了可得到的梯度信息并且忽视了函数值. Zhang 等人以及Xu 扩展了割线方程（6），得到了一个修正的割线条件，即在两个连续点处既包含梯度也包含函数值，具体如下 ,,11111111--------+==k k Tk k k k k k k u us y z z s B θ （7）其中.)()(61111----++-=k T k k k k k s g g g f f θ （8）且n k R ∈-1μ是一个满足)(,01k k Tk x f f u s =≠-的向量参数. 注意到为了让目标函数是二次的，其应当满足01=-k θ. 那么，修正的割线方程（7）降为标准的割线方程（6）. 此外，修正的割线方程（7）的理论优势可以从下面的定理中看出. 定理1 假定函数f 足够光滑且1-k s 充分小，则下面两个无穷小关系是成立的.).())((),())((411121311121--------=-∇=-∇k k k k T k k k k k T k s O z s x f ss O y s x f s很明确，定理1表明了修正的割线方程（7）优于经典的割线方程（6），因为1-k z 比1-k y 更好地逼近了12)(-∇k k s x f .近来，Babaie-Kafaki 等人[7]发现1-k s 的特征值比1大（如11>-k s ），标准的割线方程（6）在预期上比割线方程（7）更精确. 为了解决这个不足，该文作者考虑了割线方程（7）的一种扩展形式，如下：,}0,max{,1111111~1~1---------+==k k Tk k k k k k k k u u s y z z s B θρ （9） 其中参数}1,0{1∈-k ρ且通过设定11≤-k s 时，11=-k ρ，其他情况下01=-k ρ，使参数可在（6）与（9）式之间转换.本文中，也提出了几种向量参数1-k u 的选择，该参数可以产生不同计算效率修正形式的割线方程. 首先，Zhang 和Xu[43]以及之后的Yabe 和Takano[39]提出了11--=k k s u 和11--=k k y u 两种参数的选择形式. 此处，为了应用上[39,43]中关于修正割线方程的有趣性质，我们考虑向量参数1-k u 作为向量11,--k k y s 的凸集组合而提出一种混合这些方程的形式，如：[]1,0,)1(111∈+-=---k k k k k k s y u λλλ. （10） 注意到，在[7]中之前方程中的1=k λ将（9）变为了修正的割线方程. 因此，我们提出的混合割线方程可以考虑为[7]中所示修正的割线方程的一种拓展形式. 接着，受到文献[4,10]中观点的启发，我们提出一种适应性公式来计算k λ,k λ是基于Li 和Fukushima [27]所提出的修正形式的割线方程.为了提高我们的混合割线方程的精度，k λ是通过使用两个之前步骤信息而计算出来的. 更特别的是，k λ可根据割线方程（9）来计算，在第)1(-k 迭代时，如下形式的修正割线方程应当满足：22---=k k k z s B （11） 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=------------,0,max ,22222222222rk k k T k k k r k k k k g s y s C h s g h y z其中，0>r ,C 是一个正常数. 将（11）式与1-k s 做内积并利用修正的割线方程（9），在经过几步简单的代数运算之后，我们就可以得到,)(11111------=k k T k k Tk k s y y ωωλ（12）其中1121-----=k k k k s s γω，而{}.0,max 1112211---------=k k k Tk k T k k y s z sθργ （13）注意到（13）中的分母通常是不为0的，否则（9）式就表示使用了经典的割线方程（6）. 此外，为了在（10）中得到一个凸组合，我们把k λ的特征值限定于[0，1]之间，也就是说如若0<k λ我们就令0=k λ；若1>k λ,就令1=k λ.接下来，考虑修正的割线方程（9）的理论优势和[29，30，40，41]中的Perry 共轭梯度法计算效率做比较. 我们提出的Perry 公式的一种修正形式如下：,)(11~11~-----=k T k k k TkMP k d z s z g β（14）这里，1~-k z 由（8）式和（9）式定义. 进一步地，为了保证我们所提方法会产生下降方向，我们使用[47]中德修正FR 共轭梯度法的想法. 更特别的是，搜索方向由下定义.)1(11--++-=k MP k k kk T k MP kk d g g d g d ββ（15）很容易就能看出，使用任何线搜索都能满足.2k k Tkg d g -= （16）若目标函数是一个严格凸二次函数，且步长由精确线搜索确定，那么我们就有,01=-k θ01~=-k z 且01=-k T k s g .因此我们的公式（14）降为含线性共轭梯度法框架的Hestenes-Stiefel 公式. 而且，为了对一般函数也具有全局收敛性，我们用类似于[22]中Gilbert 和Nocedal 的方法，通过令}.0,)(max{11~11~----+-=k Tk k k T kMP k d z s z g β （17）限制MP k β公式的最小值.下面，我们给出所提修正Perry 共轭梯度法（MP-CG ）的算法. 算法21（MP-CG ）Step 1：初始点n R x ∈0,[]1,01∈λ且1021<<<σσ；令0=k . Step 2：如果0=k g ，则停止；否则，转Step3. Step 3：用方程（15）计算下降方向k d . Step 4：使用Wolfe 线搜索,)()(1k Tk k k k k k d g x f d x f ασα≤-+（18）.)(2k Tk k T k k k d g d d x g σα≥+（19）确定一个步长k α. Step 5: 令k k k k d x x α+=+1. Step 6: 令1+=k k ，转Step 2.注1 在算法21中，因为（15）中的变更的参数k β是由方程（17）计算出来的，我们称之为算法CG MP -+.此外，因为线搜索满足（18）和（19）的Wolfe 线搜索条件，这就可以知道对任意的k ，01111~>≥----k Tk k Tk d y d z ,这表明公式（14）与（17）的定义是可行的.3 全局收敛性在本节，我们基于以下对目标函数f 的假设，给出所提算法的全局收敛性分析.假设1 水平集{})()(0x f x f R x n ≤∈=ϕ是有界的，即，存在一个正常数B ，使得 .,ϕ∈∀≤x B x （20） 假设2 在ϕ的某个领域u 内，f 是可微的，其梯度g 满足李普希茨连续，即存在一个正常数L ，使得()()y x L y g x g -≤-,u y x ∈∀, （21）因为{}k f 是一个下降数列，那么由算法MP-CG 产生的点列{}k x 包含于ϕ之中，且存在一个常数*f 使得.)(lim *f x f k k =∞→且，其满足假设1和2，存在正常数0>M 使得ϕ∈∀≤x M x g ,)(. （22） 为了更好的说明收敛性分析，先阐释如下的引理.引理1[7]. 如果假设1和2 对方程（9）定义的1~-k z 成立,我们就有.411~--≤k k s L z （23） 下面一个引理是满足Wolfe 线搜索条件（18）和（19）的共轭梯度法的一个通用结论.引理2 如果假设1和2成立. 考虑形式（2）的任何方法，其中k d 是一个下降方向，使得0<k Tk g d 且k α满足Wolfe 线搜索条件（18）和（19），那么 +∞<∑≥022)(k kk Tk d d g .显然，从引理2和（16）就可以得到+∞<∑≥024k kk d g , （23）该式对全局收敛性的分析相当有益.接着，我们对统一形式的凸函数形成算法MP-CG 的全局收敛性.定理2 假定假设1和2 都成立，且f 是一致凸的，也就是说存在一个常数0>γ,使得.,,)())()((2ϕγ∈∀-≥--y x y x y x y g x g T （24） 如果点列{}k x 是由算法MP-CG 所产生，那么可知，对于某个k 要么0=k g 成立，要么.0lim =∞→k k g成立.证明：假设对任意的k ，0≠k g 恒成立. 那么证明就可分为三步：Step 1.首先，我们给11~--k Tk d z 估计一个较小的边界. 从假设（24）的凸性以及方程（9），我们有.2111111~------>≥k k k Tk k Tk d d y d z γα（25）Step 2.对于MP k β，我们得到一边界. 结合引理1与关系式（20），（25），我们得到.5)()(111~11~11~11~---------≤+≤-=k kk Tk k k k k Tk k k TkMP k d g L d z s z g d z s z g γβ （26）Step 3.我们给出k d 的一个上界. 利用（15）和（16），我们可知.)51()(112k k MP k k k kT kk MPkk k g Ld g d g g g I g d γββ+≤+≤-+-=--在方程（23）中插入k d 的上界，则∞<∑≥02k kg ，证毕.接下来，我们展示算法CG MP -+对一般非线性函数的全局收敛性. 首先，我们给出一个引理即，渐近地，搜索方向缓慢改变.引理3 如果假设1和2成立，令{}k x 和{}k d 是由算法CG MP -+产生的点列，如果存在一个常数0>μ，使得.0,≥∀≥k g k μ （27）则0≠k d 且,211∞<-∑≥-k k k ωω其中.kkk d d =ω 证明 首先，记0≠k d ，否则（16）就会导出0=k g .因此，k ω就有了定义. 现定义,:,:1kk MP k k kkk d d d r -+==βδυ （28）其中，.)1(21k kk T k MP kk g g d g -++-=βυ接着，通过方程（15），我们有.1-+=k k k k r ωδω （29） 使用该关系式，其中明确了11==-k k ωω,且有.11k k k k k k k r ωδωωδω-=-=--此外，使用该式需先明确0≥k δ,我们可以得到.21-1-1k k k k k k k k k k γωδωωδωωδω=-+-≤-- （30） 紧接着，我们给k υ估测一个上界.注意到 .11~1111111---------≤≤+=k Tk k Tk k T k k T k k Tkd z d y d gd y d g （31）根据Wolfe 条件（19），我们可以得到.-1211~21121------+≥≥k Tk k Tk k T k k Tk d g d z d g d g σσσ通过重排之前的不等式，我们可得到,)1-(11~221----≥k Tk k Tkd z d g σσ同（31）式一起，我们有.1,1max 2211~1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤---σσk Tk k T k d z d g （32）另外，其在方程（29）、引理1和关系式（20），（22），（23）遵循k υ的定义，即存在一个常数0>D ，使得.1,1max 5)())(1()1(2211~111~2111~11~21D LB d z d g s z g g g d g d z s z g g g d g k Tk k T k k k k kkk Tk k Tk k k T kkkk T k MP kk ∆-----------+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≤++≤-+≤+=σσγβυ因此，我们就可建立k υ的一个上界. 通过关系式（23），（28），（33）以及（35），我们能得到.444124421212121+∞<≤≤=-∑∑∑∑≥≥≥≥-k kk k kkk kk k kd g D d r μυωω至此，证明完成.接下来，我们给出一个引理，该引理可以表明当步长1-k s 很小，这也就表明算法MP-CG 不会出现无效率的干扰现象[36]时，MP k β也会很小. 这个性质与性质（*）相似但有一点不同，即它源于Gilbert 和Nocedal [22].引理4 如果假设1和2成立. 令{}k x 和{}k d 是由算法CG MP -+产生的点列，如果存在一个常数0>μ，使得方程（35）成立. 那么就存在常数0>b 且0>λ使得对所有的1≥kb MP k ≤β （34） 而且.11bs MP k k ≤⇒≤-βλ （35）证明. 使用关系式（9），（16）和（19），我们可以得到.)1()1(2121121111~--------≥-≥≥k k Tk k T k k Tk g d g d y d z σσ 用上述不等式以及（9），（22）和（35），我们可以得到.)1(5)()(112211~11~11~11~-∆---------=-≤+≤-=k k k Tk k k k k Tk k k T kMP ks c s L d z s z g d z s z g μσγβ（36） 因此，通过设定}2,2max{:CB b =以及Cb1:=λ，我们就能有关系式（34）和（35）成立，至此也就完成了证明.从方程（17）中+MP k β的定义可以看出，对任意的0>k ，MP k MP k ββ≤+成立. 所以，对于算法CG MP -+，我们就能得到引理4中的相同结果.接着，使用引理3和4，我们建立算法CG MP -+的全局收敛性定理，其证明过程与文献[24]中的定理 3.2相似，我们在此再展示一遍以表示文章的完整性.定理3 若假设1和2成立. {}k x 是算法CG MP -+得到的点列，那么我们就能有 0inf lim =∞→k k g （37）证明 我们使用放缩的方法来处理. 假定结论（37）不正确，也就是说，存在一个常数0>μ使得对所有的k 均有μ≥k g 成立. 证明过程分为一下几个步骤. Step1.步长是有界的. 观察到，对任意的k l ≥，都有.)()(11111∑∑∑∑-=-=-=-=+-+==-=-l kj k j j l kj k j l kj j j l kj j j k l w w s w s w s x x x x根据假设1以及三角不等式，我们有).(111k j l kj j l kj k j k l l kj j w w s B w w x x s -+≤-+-≤∑∑∑-=-=-= （38）记∆是一个正整数，且足够大使得BC 4≥∆, （39） 其中B 和C 分别由（20）和（34）定义. 根据引理3，我们可以选择0k 足够大使得.4121∆≤-∑≥+k i ii w w （40） 对任意的0k k j ≥>且∆≤-k j ，使用（40）式以及可喜施瓦茨不等式可以得到.21)41()(21211111=∆∆≤--≤-≤-∑∑-=+-=+j ki i i j ki i i k j w w k j w w w w将上式与（38）一起使用，可得B s l kj j 21<∑-=, （41）其中0k k l >>且∆≥-k l .Step2.搜索方向l d 有界. 我们记（15）式为 .)(12-+-+-=l ll T l MP kl k d g g g I g d β（42）因为l g 与12)(--l ll T l d g g g I 正交的，且2ll T l g g g I -是一个工程矩阵，我们从（22）、（34）及（42）可得.2222)(2121222122212---+-++≤+≤+≤l l l MP k ll MP k l ld s C M d g d g d ββ定义222i i s C S =，我们就由，对0k l >， .)(21211220∏∑∏-=+=-=+≤l k j jk l k i l ij jlS d S M d（43） 以上，无论指数范围是否为空，乘积都定义为1. 接着，考虑如下∆和连续的j S 的乘积，其中0k k ≥. 将式（39）和（41）与柯西施瓦茨不等式一同使用，就有.21)22()2(222112210∆∆∆-∆+=-∆+=-∆+=≤∆≤∆≤=∑∏∏BC s C s C S k kj jk k j jk k j j 因为∆和连续的j S 的乘积是小于∆21. 这就符合式（43），对某一确定的常数01>c 且独立于l ，就有212c l cd l+≤. 所以，我们就有.021224+∞=+≥∑∑≥≥k k kk c k c d g μ这就和（23）式矛盾了. 证毕.。

共轭梯度法求解优化问题共轭梯度法是一种用于求解优化问题的迭代算法，常用于解决线性方程组或者二次型目标函数的无约束优化问题。

它的特点是具有快速收敛速度和较好的数值稳定性，在优化问题中得到了广泛的应用。

共轭梯度法是一种迭代法，它通过在每次迭代中选择一个特定的搜索方向来逐步逼近最优解。

在优化问题中，我们通常会定义一个目标函数和一组约束条件。

目标函数通常表示我们希望最小化或最大化的目标，而约束条件则表示问题的限制条件。

在共轭梯度法中，我们首先需要计算初始梯度，然后根据一定的规则选择一个搜索方向。

在每次迭代中，我们将根据预定义的条件更新参数，并计算新的搜索方向。

这个更新步骤将一直进行下去，直到满足特定的终止条件。

共轭梯度法的核心思想是利用已有的搜索方向和之前的搜索方向进行共轭，以提高搜索效率。

这就意味着，如果选择了一个搜索方向后，我们将需要在下一次迭代中选择一个与之前搜索方向共轭的方向，以确保在这个方向上搜索不会重复之前的工作。

共轭梯度法的步骤如下：1.初始化参数：选择一个初始点和一个初始搜索方向。

2.计算梯度：计算目标函数在当前点的梯度。

3.更新步长：根据预定义条件更新步长，并计算新的搜索方向。

4.更新参数：根据步长和搜索方向更新参数。

5.判断终止条件：判断是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。

共轭梯度法的收敛性证明较为复杂，但一般情况下，它具有较好的收敛性和数值稳定性。

最坏情况下，共轭梯度法的收敛速度为指数级收敛，因此在实际应用中往往能够获得较好的优化结果。

共轭梯度法的应用广泛，特别适用于解决大规模线性方程组、二次型目标函数等优化问题。

在实际应用中，我们可以通过调整初始点的选择、搜索方向的选取以及步长的更新规则等来进一步提高算法的收敛速度和稳定性。

总结起来，共轭梯度法是一种求解优化问题的有效算法，具有快速收敛速度和较好的数值稳定性。

它通过选择共轭的搜索方向来逼近最优解，广泛应用于线性方程组和二次型目标函数的优化问题中。

非线性共轭梯度法的文献综述研究摘要：共轭梯度法最早是由Hestenes 和Stiefel 于1952年提出来的，用于解正定系数矩阵的线性方程组，在这个基础上，Fletcher 和Reeves 于1964年首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。

由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点，于是，共轭梯度法的理论研究受到了人们的关注，现在共轭梯度法已经广泛地应用与实际问题中。

关键词：共轭梯度法，非线性最优化，线性搜索，收敛性1.共轭梯度法共轭梯度法最早是由计算数学家Hestenes 和几何学家Stiefel 在20世纪50年代初为求解线性方程组,n Ax b x R =∈而独立提出的。

他们奠定了共轭梯度法的基础，他们的文章详细讨论了求解线性方程组的共轭梯度法的性质以及它和其他方法的关系。

当A 对称正定时，上述线性方程组等价于最优化问题1min 2n T Tx R x Ax b x ∈-基于此，Hestenes 和Stiefel 的方法可视为求解二次函数极小值的共轭梯度法。

1964年，Fletcher 和Reevse 将此方法推广到非线性优化，得到了求一般函数极小值的共轭梯度法。

而本书中，戴彧虹和袁亚湘介绍了多种类型的共轭梯度法，各方法的区分主要在于每次迭代的方向上，并且他们检验了每种方法在不同搜索下的全局收敛性。

在他们的研究中，目标函数连续可微有下界，导数满足Lipschitz 条件，他们通过对Zoutendijk 条件的判断，通常用反证的方法来考察全局各共轭梯度法的全局收敛性问题。

对于无约束优化问题min ()nx Rf x ∈一般给出一初值1x ，经由算法迭代产生23,,x x 。

在第k 次迭代，当前迭代点为kx ，用一种方法产生一搜索方向nk d R ∈。

然后下一迭代点为：1k k k kx x d α+=+其中，迭代方向kd 的不同选取产生了不同的共轭梯度法，kα为步长因子，步长的不同选取产生了不同的搜索准则。

fr 共轭梯度法
共轭梯度法是一种优化算法，用于求解线性方程组和最小化二次
函数的问题。

该算法通过不断地搜索迭代寻找函数的最小值，并不断
地更新搜索方向，最终达到收敛的目的。

共轭梯度法在优化算法中比较高效，尤其适用于计算复杂度高的
问题。

该算法的主要优点是不需要存储矩阵，仅需要存储少量的向量，因此可以大大减少存储空间的需求。

此外，共轭梯度法具有收敛速度
快的特点，可以使算法在较短的时间内找到最优解。

共轭梯度法的基本思想是，通过寻找互相正交的搜索方向，来避
免梯度下降算法中可能出现的慢收敛问题。

在每一步迭代中，共轭梯
度法使用一个新的搜索方向，并计算该方向上的最优步长。

总的来说，共轭梯度法是一种高效的优化算法，可以在较短的时
间内找到问题的最优解。

这种算法在很多领域都有广泛的应用，如图
像处理、机器学习、数据挖掘等。

强Wolfe-Powell 条件下改进的DY 共轭梯度算法糜利栋 姜汉桥 李俊键 （中国石油大学，北京 102249）摘要：本文针对无约束最优化问题提出了一种新的改进算法。

对Dai-Yuan 共轭梯度法通过利用进退法和强Wolfe-Powell 非精确线搜索条件获得新的步长k α，此算法同时满足了共轭条件和充分下降条件。

使得在迭代初始值不太好的情况下也能保证全局收敛性，同时加快收敛速度。

通过和两种改进的最速下降法进行了比较，数值实验的计算结果也表明该算法具有较好的收敛效果。

关键词：无约束优化、共轭梯度法、Wolfe-Powell 、全局收敛性 中国分类号：+O110.7480 文献标识码：AA Modification of the Dai-Yuan Conjugate GradientAlgorithm with strong Wolfe-Powell conditionMI Li-dong JI Han-qiao LI Jun-jian(China Univercity of Petroleum,Beijing 102249)Abstract: A new algorithm is presented based on unconstrained optimization problems. Using the strong Wolfe-Powell inexact line search and the method of advance and retreat, a new step k αfor the Dai-Yuan conjugate gradient algorithm is obtained and also the algorithm satisfies both the sufficient descent and conjugacy condition. A global convergence result and a fast convergence speed are proved when the initial value is not very well. By comparing the results between this new conjugate gradient algorithm and other two modification Steepest Descent methods, it shows that the new conjugate gradient algorithm have favorable convergence effect.Keywords: Unconstrained Optimization, Conjugate Gradient Method, Strong Wolfe-Powell, Global convergence1 引言无约束最优化方法的核心问题是选择搜索方向。

在数学和计算机科学领域，无约束优化问题一直是一个热门的研究课题。

而fr共轭梯度法作为一种求解无约束优化问题的重要方法，在实际应用中展现出了强大的优化能力。

本文将就fr共轭梯度法求解无约束优化问题进行全面评估和探讨。

1. 无约束优化问题的定义无约束优化问题是指在没有约束条件的情况下，寻找一个函数的最小值或最大值的问题。

数学上通常用以下形式表示：\[ min\ f(x) \]\[ s.t.\ x \in R^n \]其中，\( f(x) \)为目标函数，\( x \)为自变量。

无约束优化问题在实际应用中广泛存在，比如在机器学习、信号处理、金融等领域都有着重要的应用价值。

2. fr共轭梯度法的基本原理fr共轭梯度法是一种常用的无约束优化方法，它主要用于求解二次型函数的极小值点。

其基本原理是通过迭代的方式，利用fr共轭方向进行搜索，从而逐步逼近最优解。

具体来说，fr共轭梯度法的迭代公式为：\[ x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k \]其中，\( x_k \)为第k次迭代的解，\( d_k \)为fr共轭方向，\( \alpha_k \)为搜索步长。

3. fr共轭梯度法的优势和局限性fr共轭梯度法相对于其他优化算法具有一定的优势，比如收敛速度较快、内存占用小等。

但是，它也存在一些局限性，比如对非二次型函数的性能表现不佳、依赖初始点选取等。

在实际应用中需要结合具体问题特点来选择合适的优化算法。

4. fr共轭梯度法在深度学习中的应用在深度学习领域，优化算法对于模型训练的收敛速度和性能表现有着重要影响。

fr共轭梯度法作为一种优化算法，被广泛应用于深度学习模型的训练过程中。

它可以有效地加速模型的收敛速度，提高训练效率。

5. 个人观点和理解从我个人的角度来看，fr共轭梯度法作为一种经典的优化算法，在实际应用中展现出了较高的效率和性能。

它在求解无约束优化问题时具有明显的优势，特别适用于二次型函数的优化。