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牛顿法与割线法求解非线性方程在数学中，非线性方程是指方程中包含未知数的幂次大于等于2的项的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要的问题，它在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍两种常用的非线性方程求解方法：牛顿法和割线法。
一、牛顿法牛顿法是一种迭代方法，用于求解非线性方程的根。
它基于泰勒级数展开的思想，通过不断迭代逼近方程的根。
牛顿法的基本思想是：选择一个初始值x0，然后通过迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)，不断逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择一个初始值x0；2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；3. 使用迭代公式xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)计算下一个近似解xn+1；4. 判断是否满足停止准则，如果满足，则输出近似解xn+1，算法结束；如果不满足，则将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。
牛顿法的优点是收敛速度快，但缺点是对初始值的选择较为敏感，可能会陷入局部最优解。
二、割线法割线法也是一种迭代方法，用于求解非线性方程的根。
它与牛顿法类似，但是割线法不需要计算函数的导数。
割线法的基本思想是：选择两个初始值x0和x1，通过迭代公式xn+1 = xn - f(xn)(xn - xn-1)/(f(xn) - f(xn-1))，不断逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择两个初始值x0和x1；2. 使用迭代公式xn+1 = xn - f(xn)(xn - xn-1)/(f(xn) - f(xn-1))计算下一个近似解xn+1；3. 判断是否满足停止准则，如果满足，则输出近似解xn+1，算法结束；如果不满足，则将xn+1作为新的近似解，返回第2步继续迭代。
割线法的优点是不需要计算函数的导数，但缺点是收敛速度相对较慢。
三、牛顿法与割线法的比较牛顿法和割线法都是求解非线性方程的有效方法，它们各有优缺点。
牛顿法的收敛速度较快，但对初始值的选择较为敏感；割线法不需要计算函数的导数，但收敛速度相对较慢。
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
无约束非线性优化算法此类算法提供公式 2 的精确解。
但是，它们要耗费与 H 的几个分解成比例的时间。
因此，对于大型问题，需要一种不同方法。
文献（[42] 和 [50]）中提出了几种基于公式 2 的逼近和启发式方法建议。
Optimization Toolbox 求解器采用的逼近方法是将信赖域子问题限制在二维子空间 S 内（[39] 和[42]）。
一旦计算出子空间 S，即使需要完整的特征值/特征向量信息，求解公式 2 的工作量也不大（因为在子空间中，问题只是二维的）。
现在的主要工作已转移到子空间的确定上。
二维子空间 S 是借助下述预条件共轭梯度法确定的。
求解器将 S 定义为由 s1和 s2确定的线性空间，其中 s1是梯度 g 的方向，s2是近似牛顿方向，即下式的解或是负曲率的方向，以此种方式选择 S 背后的理念是强制全局收敛（通过最陡下降方向或负曲率方向）并实现快速局部收敛（通过牛顿步，如果它存在）。
现在，我们可以很容易地给出基于信赖域的无约束最小化的大致框架：1.构造二维信赖域子问题。
2.求解公式 2 以确定试探步 s。
3.如果 f(x + s) < f(x)，则 x = x + s。
4.调整Δ。
重复这四个步骤，直到收敛。
信赖域维度Δ 根据标准规则进行调整。
具体来说，它会在试探步不被接受（即f(x + s) ≥ f(x)）时减小。
有关这方面的讨论，请参阅[46] 和 [49]。
Optimization Toolbox 求解器用专用函数处理 f 的一些重要特例：非线性最小二乘、二次函数和线性最小二乘。
然而，其底层算法思路与一般情况相同。
这些特例将在后面的章节中讨论。
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
无约束非线性规划求解方法及其实现作者：杨玲指导老师：陈素根摘要:非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划属于最优化方法的一种，是线性规划的延伸。
非线性规划研究一个n元实函数在一组灯饰或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
非线性规划是20世纪50年代才形成的一门新兴学科。
1951年H.W库恩和A.W塔克发表的关于最优性条件的论文是非线性规划正是诞生的一个重要标志。
在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。
50年代末到60年代末出现了许多解线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。
非线性规划在工程，管理，经济，科研，军事等发面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。
20世纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展，非线性规划在信赖域法、稀疏牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果，无约束非线性规划问题是非线性规划的一个重要内容，很多学者对非线性规划问题进行了深入且系统的研究，研究成果丰硕。
关键词最优化共轭梯度法非线性无约束1 引言1.1 无约束非线性规划问题是最基本的非线性规划问题，在1959~1963年幼三位数学家共同研究成功求解无约束问题的DFP变尺度法，该算法的研究成功是无约束优化算法的一个大飞跃，引起了一系列的理论工作，并陆续出现了许多新的算法。
20世纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展，非线性规划在信赖域法、稀疏牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。
无约束非线性规划问题是非线性规划的一个重要内容，很多学者对非线性规划问题进行了深入且系统的研究，研究成果丰硕。
1.2 本文主要研究无约束非线性规划问题，将文章分成四个部分，首先会具体介绍无约束非线性规划的相关概念，并在此基础上研究非线性规划的相关理论与基本算法问题，接着详细介绍无约束非线性规划的几种主要的求解方法，最后举例说明他在实际生活中的应用，并编程实现它。
凸优化之⽆约束优化（⼀维搜索⽅法：⼆分法、⽜顿法、割线法）1、⼆分法（⼀阶导）⼆分法是利⽤⽬标函数的⼀阶导数来连续压缩区间的⽅法，因此这⾥除了要求 f 在 [a0,b0] 为单峰函数外，还要去 f(x) 连续可微。
（1）确定初始区间的中点 x(0)=(a0+b0)/2 。
然后计算 f(x) 在 x(0) 处的⼀阶导数 f'(x(0))，如果 f'(x(0)) >0 , 说明极⼩点位于 x(0)的左侧，也就是所，极⼩点所在的区间压缩为[a0,x(0)]；反之，如果 f'(x(0)) <0，说明极⼩点位于x(0)的右侧，极⼩点所在的区间压缩为[x(0)，b0]；如果f'(x(0)) = 0，说明就是函数 f(x) 的极⼩点。
（2）根据新的区间构造x(1)，以此来推，直到f'(x(k)) = 0，停⽌。
可见经过N步迭代之后，整个区间的总压缩⽐为（1/2）N，这⽐黄⾦分割法和斐波那契数列法的总压缩⽐要⼩。
1 #ifndef _BINARYSECTION_H_2#define _BINARYSECTION_H_34 typedef float (* PtrOneVarFunc)(float x);5void BinarySectionMethod(float a, float b, PtrOneVarFunc fi, float epsilon);67#endif1 #include<iostream>2 #include<cmath>3 #include "BinarySection.h"45using namespace std;67void BinarySectionMethod(float a, float b, PtrOneVarFunc tangent, float epsilon)8 {9float a0,b0,middle;10int k;11 k = 1;12 a0 = a;13 b0 = b;14 middle = ( a0 + b0 )/2;1516while( abs(tangent(middle)) - epsilon > 0 )17 {18 #ifdef _DEBUG19 cout<<k++<<"th iteration:x="<<middle<<",f'("<<middle<<")="<<tangent(middle)<<endl;20#endif2122if( tangent(middle) > 0)23 {24 b0 = middle;25 }26else27 {28 a0 = middle;29 }30 middle =( a0+b0)/2;31 }3233 cout<<k<<"th iteration:x="<<middle<<",f'("<<middle<<")="<<tangent(middle)<<endl;34 }1 #include<iostream>2 #include "BinarySection.h"345float TangentFunctionofOneVariable(float x)6 {7return14*x-5;//7*x*x-5*x+2;8 }910int main()11 {12 BinarySectionMethod(-50, 50, TangentFunctionofOneVariable, 0.001);13return0;14 }1th iteration:x=0,f'(0)=-52th iteration:x=25,f'(25)=3453th iteration:x=12.5,f'(12.5)=1704th iteration:x=6.25,f'(6.25)=82.55th iteration:x=3.125,f'(3.125)=38.756th iteration:x=1.5625,f'(1.5625)=16.8757th iteration:x=0.78125,f'(0.78125)=5.93758th iteration:x=0.390625,f'(0.390625)=0.468759th iteration:x=0.195312,f'(0.195312)=-2.2656210th iteration:x=0.292969,f'(0.292969)=-0.89843811th iteration:x=0.341797,f'(0.341797)=-0.21484412th iteration:x=0.366211,f'(0.366211)=0.12695313th iteration:x=0.354004,f'(0.354004)=-0.043945314th iteration:x=0.360107,f'(0.360107)=0.041503915th iteration:x=0.357056,f'(0.357056)=-0.001220716th iteration:x=0.358582,f'(0.358582)=0.020141617th iteration:x=0.357819,f'(0.357819)=0.0094604518th iteration:x=0.357437,f'(0.357437)=0.0041198719th iteration:x=0.357246,f'(0.357246)=0.0014495820th iteration:x=0.357151,f'(0.357151)=0.0001144412、⽜顿法（⼆阶导）前提：f 在 [a0,b0] 为单峰函数，且[a0,b0] 在极⼩点附近，不能离的太远否则可能⽆法收敛。
垫墼兰￡望叁兰堑圭兰垒篁塞１第一章预备知识§１．１共轭梯度方法§１．１．１引言共轭梯度法足最优化中最常用的方法之一。
它具有算法简便，存储需求小等优点，十分适合于大规模优化问题．在石油勘探，大气模拟，航天航空等领域出现的特大规模的优化问题是常常利用共轭梯度法求解。
在所有需要计算导数的优化方法中，最速下降是最简单的，但它速度太慢。
拟牛顿方法收敛速度很快，被广泛认为是非线性规划的最有效的方法。
但拟牛顿法需要存储矩阵以及通过求解线性方程组来计算搜索方向，这对于求解诸如上述问题等一些大规模问题几乎是不太可能办到的，共轭梯度法在算法的简便性，所需存储量等方面均与最速下降法差别不大，而收敛速度比最速下降法要快。
非线性共轭梯度法的收敛性分析的早期工作主要由Ｆｌｅｔｃｈｅｒ，Ｐｏｗｅｌｌ，Ｂｅａｌｅ等学者给出的，近年来，Ｎｏｃｅｄａｌ，Ｇｉｌｂｅｒｔ，Ｎａｚａｒｅｔｈ等学者在收敛性方面得到了不少的结果，使得共轭梯度法的研究由又热了起来．我国的学者也在共轭梯度法的理论研究中也取得了一定的成绩。
例如中科院应用数学所的韩继业，戴口等．§１．１．２共轭方向法共轭梯度法最本质的是共轭性质，共轭性是正交的一种推广。
定义１．１．２．１：设Ｗ∈咿×ｎ对称正定，ｄｌ，ｄ２，…，ｄ。
是咿中的一组非零向量，如果盯Ａｄｊ＝０，（ｉ≠Ｊ）．（１．１）则称ｄ１，ｄ２，…，ｄ。
是相互Ａ一共轭。
显然可见，如果ｄｌ，ｄ２，…，ｄ。
相互Ａ一共轭，则它们是线性无关的。
设Ｊ是单位阵则知，一共轭就是正交。
一般共轭方向法步骤如下：算法１．１．２．１：（一般共轭方向法）给出∞＋的初始点Ｘｌ，步ｌ：计算ｇｌ＝ｇ（Ｘ１）．步２：计算ｄｌ，使（ｆ｛’９ｌ＜０．步３：令女＝１．步４：计算口ｋ和Ｘｋ＋１，使得ｆ（ｘｋ－Ｆ‘１ｋｄｋ）。
Ｉ。
ｊ１１，‰十“呶），Ｘｋ＋１＝Ｘｋ＋ｖ。
ｋｄｋ．步５：计算以＋ｌ使得ｄ矗１Ｇｄｊ＝０，Ｊ＝１，２，…ｋ．步６：令ｋ：＝ｋ＋１，转步４．共轭方向法的一个基本性质是：只要执行精确线性搜索，就能得到二次终止性，这就足下面的共轭方向法基本定理。
