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第4章 连续系统的频域分析

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信号与系统自测题(第4章 连续时间信号与系统的复频域分析)含答案

信号与系统自测题(第4章 连续时间信号与系统的复频域分析)含答案

） 。
D
、6
−t
18
( s) s 、线性系统的系统函数 H (s) = Y = ，若其零状态响应 y(t ) = (1 − e F ( s) s + 1
D B
−t
)u (t )
，则系
统的输入信号 f (t ) = （
A
） 。
−t
、 δ (t )
、e
u (t )
C
、e
−2 t
u (t )
D
、 tu(t )
C
2
、s
ω e −2 s + ω2
12
、原函数 e
1 − t a
t f( ) a
的象函数是（
B
B
） 。
C
s 1 F( + ) 、1 a a a 注：原书答案为 D
A
、 aF (as + 1)
、 aF (as + a)
D
、 aF (as + 1 ) a
t f ( ) ↔ aF (as ) a e f (t ) ↔ F ( s + 1)
A
−s s −s s
A
s 、1 F ( )e a a
−s
b a
B
s 、1 F ( )e a a
− sb
C
s 、1 F ( )e a a
t 0
s
b a
D
s 、1 F ( )e a a
sb
、 已知信号 x(t ) 的拉普拉斯变换为 X (s) ，则信号 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ 的拉普拉斯变换 为（ B ） 。 1 1 1 1 A、 X ( s ) B、 X (s) C、 X ( s) D、 X (s) s s s s 注：原书答案为 C。 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ = tu(t ) ∗ x(t )u(t ) tu(t ) ∗ x(t )u(t ) ↔ s1 X (s) 9、函数 f (t ) = ∫ δ ( x)dx 的单边拉普拉斯变换 F ( s ) 等于（ D ） 。 1 1 A、 1 B、 C、 e D、 e s s

04四章 连续时间信号与系统的S域分析

04四章 连续时间信号与系统的S域分析

相应的傅里叶逆变换为
• Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为 Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、双边拉氏变换的收敛域
能使
收敛的S值的范围。
若f(t)绝对可积，则 F(jω)=F(s)|σ=0 或F(jω)= F(s)|s= jω
S平面与零点、极点
N (s) F ( s) D( s )
例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的 象函数
• 解： L[e (t )] 0 e e dt 0 e
s0 t s0t st



( s s0 ) t
dt
1 , Re[ s] Re[ s0 ] s s0 1 t , Re[ s ] 若s0为实数，令s0＝，则有 e (t ) s

三、 S域平移（Shifting in the s-Domain）: 若 x(t ) X (s), ROC: R 则
x(t )e X ( s s0 ), ROC : R Re[s0 ]
s0t
表明 X (s s0 ) 的ROC是将 X ( s)的ROC平移了 一个Re[ s0 ] 。
1 s2 X 1 ( s) 1 , s 1 s 1
1 X 2 ( s) , s 1
ROC: 1
ROC: 1
而 x1 (t ) x2 (t ) t 1 ROC为整个S平面 • 当R1 与R2 无交集时，表明 X ( s) 不存在。
二、 时移性质（Time Shifting）:
ROC : 包括 R1 R2
x1 (t ) x2 (t ) X1 (s) X 2 ( s)

精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章

精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章
F1= w0/(s^2+w0^2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)

连续时间系统的频域分析-资料

连续时间系统的频域分析-资料
对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性 相位系统，当相位特性的斜率是整数时，只引起信号 的时域移位。若相位特性的斜率不是整数，由于离散 时间信号的时移量只能是整数，需要采用其他手段实 现，其含义也不再是原始信号的简单移位。
傅里叶变换形式的系统函数
et ht rt
设
E H R
若e(t) E(), 或E(j)
第
7
页
二维傅里叶变换的模
模相同，相位为零
模为1，相位相同
第
8
页
相位相同，模为（g）图的
（g）图
4.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
The Magnitude-Phase Representation of the Frequency Response of LTI Systems
• LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面: 1.
求 稳 v2 (t)态 响 应
解：
V 1 ( j) j π ( 0 ) ( 奇函0 ) 数
V 2 (j) H (j)V 1 (j)
偶函数
H () j e j ( ) j π ( 0 ) ( 0 )
所 V 2 ( j ) H ( j 0 ) 以 j π ( 0 ) e j ( 0 ) ( 0 ) e j ( 0 )
这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含在 其频谱的模和相位中。
因此，导致信号失真的原因有两种： 1.幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。 2.相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。
在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失真 和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同的 技术指标要求。
原图像 傅里叶变换的相位
第四章 连续时间系统频域分析 齐开悦

信号与系统第4章 连续信号的频域分析

信号与系统第4章 连续信号的频域分析

1
信号与系统
出版社 理工分社
4.1 周期信号的傅里叶级数
所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构成 一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可以 用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的线 性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为这 些正交函数的加权和。
35
信号与系统
出版社 理工分社
4.6.1 帕塞瓦尔定理 对周期功率信号 f（t），假设其傅里叶系数为 Fn，则其平均功率为
对能量信号 f（t），假设其傅里叶变换为 F（ jω），则其能量为
36
信号与系统
出版社 理工分社
这说明，式（4.6.1）右边的每一项代表周期 信号中每个复简谐分量的平均功率，而式中右边的 积分是根据时域表达式计算信号平均功率的定义式 。因此，式（4.6.1）所示周期信号的帕塞瓦尔定 理说明，周期信号的平均功率等于各分量的平均功 率之和。考虑到 |Fn|为偶函数，并且由式（4.1.6 ）可知 |Fn|=An/2，代入式（4.6.1）还可以得到周 期功率信号帕塞瓦尔定理的另一种描述，即
33
信号与系统
出版社 理工分社
③非周期信号只有傅里叶变换和频谱密度。而 周期信号既有频谱，也有频谱密度，它们之间可以 通过式（4.5.4）进行转换。
④周期信号的频谱密度都是由冲激函数构成的 。此外，许多不满足绝对可积条件的信号，如果存 在傅里叶变换，其频谱密度中一般都含有冲激函数 ，如单位阶跃信号。
图 4.5.1 复简谐信号、余弦信号和正弦信号的频谱图

第4章 连续信号与系统的复频域分析

第4章 连续信号与系统的复频域分析

式（ 4.1-5 ）和（ 4.1-6 ）称为双边拉普 拉斯变换对，可以用双箭头表示f ( t )与F(s) 之间这种变换与反变换的关系
记F (s) L [ f (t )], f (t ) L [ F (s)]
-1
f (t ) F ( s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉 斯变换的过程中可以看出，f (t) 的双边 拉普拉斯变换F(s)=F( j )是把f (t)乘 以e - t之后再进行的傅里叶变换，或者 说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。
j
1
j
st
ds
t > 0
(4.1-9）
记为£ -1[ F(s)]。即
F(s) =£ [ f (t) ]
–1 [ F (s) ] 和 f (t) = £
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋， 目的是可把t = 0－时出现的冲激考虑到变换中 去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时， 可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得全 部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。
经过 0 的垂直线是收敛边界，或称为 收敛轴。
由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] = > 0的半平面组成，因此其收敛 域都位于收敛轴的右边。
凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指 数阶函数”，意思是可借助于指数函数的 衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下 去，使之成为收敛函数。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存 在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不 存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应， 即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式， 由于收敛域不同，可能会对应两个完全不 同的时间函数。
因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域。

信号与系统第四章-连续信号复频域分析


j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )




f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]



f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt


它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。

信号与系统自测题（第4章连续时间信号与系统的复频域分析）含答案

《信号与系统信号与系统》》自测题第4章 连续时间连续时间信号与信号与信号与系统的的系统的的系统的的复复频域分析一、填空题1、由系统函数零、极点分布可以决定时域特性，对于稳定系统，在s 平面其极点位于 左半开平面（不含虚轴） 。

2、线性时不变连续时间系统是稳定系统的充分必要条件是()H s 的极点位于s 平面的 左半开平面（不含虚轴） 。

3、()H s 的零点和极点中仅 极点 决定了()h t 的函数形式。

4、()H s 是不 随系统的输入信号的变化而变换。

5、已知某系统的系统函数为()H s ，唯一决定该系统单位冲激响应()h t 函数形式的是()H s 的 极点 。

6、如下图所示系统，若221()2()()22U s H s U s s s ==++，则L = 2 H ，C =14F 。

注：2211()121/2()1()(0.5)1221/2U s Cs H s U s Ls Cs s s Ls Cs +====++++++2Ls s =222LCs s = 所以 2L = 1/4C =7、某信号2()x t t =，则该信号的拉普拉斯变换是32s。

注：1!()nn n t t sε+↔8、若信号3()t f t e =，则()F s =13s −。

9、431s s ++的零点个数是 0 ，极点个数是 4 。

10、求拉普拉斯逆变换的常用方法有 部分分式分解法 、 留数法 。

1(U s Ls+−+−2()s11、若信号的单边拉普拉斯变换为32s +，则()f t =23()t e u t −。

12、已知6()(2)(5)s F s s s +=++，则原函数()f t 的初值为 1 ，终值为 0 。

注：6(0)lim 1(2)(5)s s f s s s →∞+=×=++ 06()lim 0(2)(5)s s f s s s →+∞=×=++13、已知2()(2)(5)sF s s s =++，则原函数()f t 的初值为 2 ，终值为 0 。

实验四连续时间系统的复频域分析

理论数据表
根据实验原理和系统设计，计算出理论上的关键数据，并与实验数据进行对比，以验证实验结果的正确性。
结果对比分析பைடு நூலகம்
1 2
波形图对比
将实验波形图与理论波形图进行对比，观察两者 在幅度、频率和相位等方面的差异，并分析产生 差异的原因。
数据对比
将实验数据与理论数据进行对比，计算误差并分 析误差来源，以评估实验结果的准确性和可靠性。
系统函数与传递函数
系统函数
描述系统动态特性的数学表达式，通 常表示为微分方程或差分方程的形式。 系统函数反映了系统对输入信号的响 应特性。
传递函数
在复频域中，传递函数表示系统输入 与输出之间的关系。它是系统函数在 复频域的表示形式，便于分析系统的 频率响应和稳定性。
稳定性分析
稳定性定义
稳定性是指系统在受到扰动后，能够恢复到原来平衡状态的 能力。对于连续时间系统，稳定性通常指系统的输出在有限 时间内有界。
稳定性判据
根据实验结果，可以总结出连续时间系统稳定的充分必要条件是系统函数H(s)的极点全部 位于s平面的左半平面。
收获与体会
理论与实践结合
通过实验操作，加深了对连续时间系统复频 域分析理论的理解，实现了理论与实践的有 机结合。
实验技能提升
在实验过程中，熟练掌握了信号发生器、示波器、 频谱分析仪等实验仪器的使用，提高了实验技能。
系统函数
连续时间系统的系统函数是复频域中 的传递函数，描述了系统的频率响应 特性。
03 复频域分析方法
CHAPTER
傅里叶变换与拉普拉斯变换
傅里叶变换
将时间域信号转换为频域信号，便于 分析信号的频率特性。通过正弦和余 弦函数的叠加来表示信号，实现信号 的时频转换。

信号与系统第4章

35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
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下图所示RC 电路，在输入端1 1加入矩形脉冲v1 t ， 例题： 利用傅里叶分析方法求2 2端电压v2 t 。
1
v1 ( t )
1
R
2
v 1(t ) E
C
v2 (t )
2
O

t
Y H j F
yt F 1R j
所以
2 3 j
y(t ) 2e (t )
3t
例题：LTI 系统如下图所示，C 1, 求系统的冲激响应h(t )。
i t C

v t
1 t 1 h(t ) v(t ) i (t ) d t (t ) C C
1 H (j ) F h(t ) j
印刷照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一点 就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些采样 点足够近的话，这幅印刷照片看起来就是连续的。
一、采样信号
基本概念
1. 模拟信号 时间连续或幅值连续的信号。 • 时间连续：信号在所有时间点上都有定义； • 幅值连续：信号的幅值为无限多个。
2. 数字信号 时间离散且幅值离散的信号。 (k ) • 时间离散：信号并不是在所有时间 1 点上均有定义； • 幅值离散：信号的幅值为有限多个。 1 0 1 2
三、信号通过理想滤波器
滤波器
若系统能让某些频率成分的信号通过，其他频率的信号受 到抑制，这样的系统称为滤波器。
理想滤波器
若系统的幅频特性在某一频率范围内为常数，而在带外为 零，相频特性始终为一条过原点的直线，这样的系统称为理 想滤波器。
H (j )

1
c
c O
t0
H ( j ) ——频域的系统函数，简称系统函数。
时域内系统的零状态响应： y (t ) f (t ) * h(t ) 由时域卷积定理得：
Y ( ) F ( ) H (j )
Y ( ) 响应的频谱函数 H (j ) F ( ) 激励的频谱函数
系统函 数公式
系统函数的频率特性
j E 1 e j j


V2 j H j V1 j E Sa e j 2


j
j

2
E e j 2 j

2

e
j

2
e
j

2
求v2(t)
E v2 j 1 e j j j
h( )e j0 (t ) d

e
j0t


h( )e j0 d
等于激励 e( t ) 乘以加权函数 (j 0 ) H
H (j0 ) e j0t
系统函数的物理意义
系统可以看作是一个信号处理器。 对信号各频率 分量进行加权 激励：F() 响应：H(j)·() F
E (j ) E (j ) e je ( ) H (j ) H (j ) e
jh ( )
E ( )的幅度 由 H ( ) 加权
R(j ) E (j ) H (j )
r ( ) e ( ) h ( )
由 修正
E 的相位
H (j ) H (j ) e
j ( )
H (j ) ~ ：幅频特性 ( ) ~ ：相频特性
有问题有待斟酌。
LTI系统的零状态响应 = 激励函数f(t) × 加权函数H(jω0)
设激励为 e(t ) e j0t , 则系统的零状态响应为 r (t ) h(t ) f (t )
0

C h(t ) Sa[(C (t t0 )]
h(t )
H j e
jt0
H ( j )
c
C
1
0
t0
C
t
C
C

( )
几点认识
1．比较输入输出，可见严重失真； t 1信号频带无限宽，
而理想低通的通频带(系统频带)有限的 0 ~ c 当 t 经过理想低通时， c 以上的频率成分都衰 减为0，所以失真。 h( t ) ( t ) 当 c 时， 系统为全通网络，可以 无失真传输。 2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统
在什么条件下抽样信号能够保留原连续信
号中的信息量而不受损失。这由抽样定理来保
证。
信号抽样的应用

电影是连续画面的抽样：
电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一幅 画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间样 本），当以足够快的速度来看这些时序样本时，就会 感觉到是原来连续活动景象的重现。

印刷照片是连续图象的采样：
原因：从h(t)看，t<0时已有值。
例题：带限信号f (t)通过如图所示系统，已知f (t)、 H1(j)、
H2(j)频谱如图所示，画出x(t)、y(t)的频谱图。
f (t)
cos9t
F(j)
1
H1(j)
x(t )
H2(j)
y (t)
cos9t
H1(j)
1
X(j)
½
H2(j)
2
-15
TS
f (t )
0
f s (t )
t
0 TS 2TS 3TS
t

3 4 5 6
k
抽样
从连续信号f(t)中抽取一系列的离散值，这个过程称为 抽样，得到的信号称为抽样信号。
f (t )
f s (t )
抽样
抽样信号
0
t
TS
0 TS 2TS 3TS
t
注意：抽样信号 ≠ 抽样函数
抽样的实现
信号抽样的物理模型
0
实际应用系统无失真传输
对于实际的线性系统，其幅频特性和相频特性不可能完 全满足不失真条件，信号在传输过程中，幅度一定会有不同 程度的衰减，传输时间会有延迟即相移，因此，工程上，只 要信号在占有频率范围内，系统的幅频和相频基本满足无失 真传输条件，就认为该系统为无失真传输系统。
系统无失真传输的应用
H ( j ) K 即: t 0
信号无失真传输的条件
H j
K
t 0
O

O


信号无失真的条件
系统的幅频特性在整个频率范围（-∞, ∞）内应为常量； 系统的相频特性在整个频率范围内与ω成正比，比例系数 为t0。 只要系统的冲激响应为冲激函数，则信号经过系 统后必无失真。H ( j ) Ke jt0 h(t ) K (t t )
利用失真——产生某种特定波形。
H j
t
r t
E j 1

R j H j
例题：在如图所示电路中，输出电压
iS (t ) ε(t), 输入电流 is(t), 试求电路频 域系统函数H(j)。为了能无失 真传输，试确定R1和R2的数值。
R1
其它
通
C 2 C1
H ( j )
1
通
通
C1 C 2

H ( )
理想低通滤波器的冲激响应
已知：G (t ) Sa(

2
)
C 将 换成2c，得： Sa( C t ) G2 ( )
c
c
根据对称性： Sa( t ) 2 G ( )
2
C Sa[(C (t t0 )] G2 ( ) e j t 根据时移特性：






波形及频谱图
1
v1 ( t )
1
R
2
H j 1
C
v2 (t )
2
2 2
O
E


v 1(t ) E
V1 j
O
v 2 (t ) E

t
O
V2 j

O

t
O

二、信号的无失真条件
信号无失真传输定义
函数规则不变
是指输入信号经过系统后，输出信号与输入信号相比，只 有幅度大小和出现时间先后的不同，而波形形状不变。




1 1 1 e j E j j E E j 1 e 1 e j j j





所以 v2 t E t t E et t e t t E 1 et t E 1 e t t
f (t )
y (t )
f(t)
t
线性系统
y(t)
t0
t
y(t ) Kf (t t0 )
Y ( ) KF ( )e jt0
H ( j ) K Y ( ) jt0 H ( j ) Ke F ( ) t0
无失真传输系统函数的频率特性
第4章 连续信号的频域分析
主讲：刘春侠
防灾仪器系通信技术专业
本章主要内容
本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系
统中的几个主要方面——滤波、抽样和调制。 • 系统函数H(jω)及傅里叶变换分析法； • 信号无失真传输条件； • 理想滤波器模；
• 抽样信号的传输与恢复；
• 频分复用与时分复用。
主要章节
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抽样器 信号抽样的数学模型
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