第九章
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第九章 微分方程与差分方程简介习 题 九(A )1畅验证下列各函数是所给微分方程的通解:(1)y =(x +C )e-x,y ′+y =e-x;(2)x 2+y 2=C (C >0),y ′=-x /y ;(3)y =cos2x +C 1cos3x +C 2sin3x ,y ″+9y =5cos2x ;(4)y =C 1e-x+C 2ex+e2x-e3x,y ″-y =3e2x-8e3x.解 (1)∵ y ′=e-x-(x +C )e-x=e-x-y∴ y ′+y =e-x(2)∵ 2x +2yy ′=0∴ y ′=-x /y(3)∵ y ′=-2sin2x -3C 1sin3x +3C 2cos3x y ″=-4cos2x -9C 1cos3x -9C 2sin3x∴ y ″+9y =(-4cos2x -9C 1cos3x -9C 2sin3x ) +9(cos2x +C 1cos3x +C 2sin3x )=5cos2x(4)∵ y ′=-C 1e-x +C 2ex+2e2x-3e3x y ″=C 1e-x+C 2ex+4e2x -9e3x ∴ y ″-y =(C 1e-x+C 2ex+4e2x-9e3x) -(C 1e-x+C 2ex+e2x-e3x)=3e2x-8e3x2畅试验证:lny =C 1ex+C 2e-x+x 2+2(C 1,C 2为任意常数)是方程1y y ′2-1yy ″=x 2-lny 的通解;并求y (0)=y ′(0)=e时的特解.解 对已知函数lny=C1ex+C2e-x+x2+2①两端求导,得1y y′=C1ex-C2e-x+2x②再对②式两端求导,得1y2[yy″-(y′)2]=C1ex+C2e-x+2①lny-x2由此即得1y y′2-1y y″=x2-lny.由y(0)=y′(0)=e和①、②两式,得C1+C2+2=1C1-C2=1解得C1=0,C2=-1.因此,特解为lny倡=x2+2-e-x3畅求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解:(1)y2dx+(x-1)dy=0;(2)y′=xy+yx+xy;(3)(xy2-x)dx+(x2y+y)dy=0;(4)xydx+1+x2dy=0,y(0)=1;(5)yy′+xey=0,y(1)=0;(6)3extanydx+(1+ex)sec2ydy=0,y(0)=π4.解 (1)分离变量得-1y2dy=1x-1dx积分得1y=ln|x-1|+C∴y=1ln|x-1|+C 或 y[ln|x-1|+C]=1其中C为任意常数.(2)将方程变形并分离变量,得1+1ydy=1+1xdx 积分得y+ln|y|=x+ln|x|+C1由此式得yey=Cxex其中C=±eC1为任意常数.(3)分离变量,得yy2-1dy+xx2+1dx=0积分得ln|y2-1|+ln[1+x2)=C1痴(1+x2)|y2-1|=eC1由此得通解y2=1+C1+x2其中C=±eC1为任意常数.(4)分离变量得1ydy+x1+x2dx=0积分得ln|y|+1+x2=lnC 于是,该方程的通解为y=Ce-1+x2其中C为任意常数.由y(0)=1,得C=e.故所求特解为y=e1-1+x2(5)分离变量得ye-ydy+xdx=0积分得通解(y+1)e-y=12x2+C 其中C为任意常数.由y(1)=0,得C=12.于是,所求特解为(y +1)e-y=12(x 2+1)(6)分离变量得coty ·sec2y dy +3ex1+ex dx =0积分得lntany +3ln(1+ex)=lnC 故通解为(1+ex)3tany =C 由y (0)=π4,得C =8.于是,所求特解为(1+ex)3tany =8 或 y =arctan8(1+ex )34畅求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解:(1)(x 2+y 2)dx -2xy dy =0;(2)3xy 2dy =(2y 3-x 3)dx ;(3)y ′=y x +sinyx;(4)(y +x ey /x)dx =x dy ,y (1)=0;(5)xy ′=y +x 2+y 2,y (1)=0;(6)y ′=yx 2+yx+4,y (1)=2.解 (1)将原方程变形为齐次方程dy dx =x 2+y22xy令y =xu ,则y ′=u +xu ′,代入上式得xu ′=1-u 22u分离变量得2u 1-u 2du =1x dx 或 1x dx -2u1-u2du =0积分得ln[x (1-u 2)]=lnC ,即x (1-u 2)=C 将u =y /x 代入上式,得通解为x (1-y 2/x 2)=C 或 y 2=x 2-Cx(2)将原方程变形为齐次方程y ′=2y 3-x33xy2令y =xu ,则y ′=u +xu ′,代入上式得xu ′=-1+u33u2分离变量得3u 21+u 3du +1x dx =0积分得ln[x (1+u 3)]=lnC ,即x (1+u 3)=C将u =yx代入上式,得通解为y 3=Cx 2-x3(3)令y =xu ,则由原方程可得y ′=u +xu ′=u +sinu由此式得cscu du =1xdx积分得ln|cscu -cotu |=ln|x |+ln|C |即cscu -cotu =Cx其中cscu -cotu =tanu2,于是tanu2=Cx 由此可得通解为y =2x arctan(Cx )(4)令y =xu ,则原方程化为(xu +x eu)dx =x (x du +u dx )由此得e-udu =1x dx积分得原方程通解为lnx +e-u=lnx +e-y /x=C将y (1)=0代入上式,得C =1.于是,所求特解为lnx +e-y /x=1 或 y =-x ln(1-lnx )(5)设x >0,y =xu ,则原方程化为x (u +xu ′)=xu +x 2+x 2u2由此得11+u 2du =1x dx 积分得ln(u +1+u 2)=lnx +lnC即u +1+u 2=Cx代回原变量,得y +x 2+y 2=Cx2由y (1)=0,得C =1.于是,所求特解为y +x 2+y 2=x2化简得y =12(x 2-1)(6)令y =xu ,则原方程化为u +xu ′=u 2+u +4由此得14+u2du =1x dx 积分得12arctanu2=lnx +C 代回原变量,得y =2x tan(lnx 2+2C )由y (1)=2,得2C =π4.于是,所求特解为y =2x tanlnx 2+π45畅求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解:(1)y ′-3y =e2x;(2)y′-ysinx=12sin2x;(3)y′+3ytan3x=sin6x;(4)y′-1x+2y=x2+2x,y(-1)=32;(5)y′-1x y=-2xlnx,y(1)=1;(6)y′-2x+1y=(x+1)2ex,y(0)=1;(7)y′-3x2y=13x2(1+x3),y(0)=-19.解 本题各小题均为一阶线性微分方程,根据教材§9畅4,可采用变量变换法或常数变易法求解.为简单起见,下面直接采用通解公式(9畅34)求解.(1)由式(9畅34),得y=e∫3dx C+∫e2xe-∫3dxdx=e3x C+∫e2x·e-3xdx=e3x C+∫e-xdx=e3x(C-e-x)=Ce3x-e2x(2)由式(9畅34),得∫sinxdxdxy=e∫sinxdx C+∫1=e-cosx C+∫sinx·cosx·ecosxdx=e-cosx C-∫cosxecosxdcosx=e-cosx C-cosxecosx-∫ecosxdcosx=e-cosx(C-cosxecosx+ecosx)=Ce-cosx-cosx+1(3)由式(9畅34),得y=e-3∫tan3xdx C+∫sin6xe3∫tan3xdxdx =elncos3x C+2∫sin3x·cos3x·e-lncos3xdx=cos3x C+2∫sin3xdx=cos3x C-23cos3x(4)由式(9畅34),得y=e∫1x+2dx C+∫(x2+2x)e-∫1x+2dxdx=eln(x+2)C+∫(x2+2x)e-ln(x+2)dx=(x+2)C+∫x2+2x x+2dx=(x+2)C+12x2由y(-1)=32得C=1.于是,所求特解为y=(x+2)1+12x2(5)由式(9畅34),得y=e∫1xdx C-∫2x·lnx·e-∫1xdxdx=elnx C-2∫1x2lnxdx=x C+2∫lnxd1x=x C+2lnx x-2∫1x2dx=x C+2x(lnx+1)=Cx+2(lnx+1)由y(1)=1得C=-1.于是,所求特解为y=2(lnx+1)-x (6)由式(9畅34),得y=e∫21+xdx C+∫(x+1)2exe-∫21+xdxdx=(1+x)2(C+ex)由y(0)=1得C=0.于是,所求特解为y=(1+x)2ex (7)由式(9畅34),得y=e∫3x2dxC+13∫x2(1+x3)e-∫3x2dxdx=ex3C+13∫x2(1+x3)e-x3dx其中∫x2(1+x3)e-x3dx令u=x313∫(1+u)e-udu =-13(1+u)e-u-∫e-udu =-13(2+u)e-u=-13(2+x3)e-x3由此得y=Cex3-19(x3+2)由y(0)=-19得C=19.于是,所求特解为y=19(ex3-x3-2)6畅求下列二阶齐次线性微分方程的通解或满足给定初始条件的特解:(1)y″-7y′+6y=0;(2)y″-4y′+13y=0;(3)y″-6y′+9y=0;(4)y″+9y=0;(5)y″-2y′-3y=0,y(0)=y′(0)=2;(6)y″+6y′+8y=0,y(0)=0,y′(0)=-2;(7)y″-10y′+25y=0,y(0)=1,y′(0)=4;(8)y″-2y′+10y=0,yπ6=0,y′π6=eπ/6.解 (1)特征方程为λ2-7λ+6=(λ-1)(λ-6)=0故有两个相异的实特征根λ1=1,λ2=6.因此,所求方程的通解为y=C1ex+C2e6x(2)特征方程为λ2-4λ+13=0有一对共轭复特征根λ=2±3i.因此,所求方程的通解为y=e2x(C1cos3x+C2sin3x)(3)特征方程为λ2-6λ+9=(λ-3)2=0有一个重特征根λ=3.因此,所求方程的通解为y=(C1+C2x)e3x(4)特征方程为λ2+9=0有一对共轭复特征根λ=±3i.因此,所求方程的通解为y=C1cos3x+C2sin3x(5)特征方程为λ2-2λ-3=(λ+1)(λ-3)=0有两个相异实特征根λ1=-1,λ2=3.因此,所求方程的通解为y c=C1e-x+C2e3x由初始条件y(0)=y′(0)=2,可得C1=C2=1.因此,所求特解为y倡=e-x+e3x(6)特征方程为λ2+6λ+8=(λ+2)(λ+4)=0有两个相异实特征根λ1=-2,λ2=-4.因此,所求方程的通解为y c=C1e-2x+C2e-4x由初始条件y(0)=0,y′(0)=-2,可得C1=-1,C2=1.因此,所求特解为y倡=e-4x-e-2x(7)特征方程为λ2-10λ+25=(λ-5)2=0有一个重特征根λ=5.因此,所求方程的通解为y c=(C1+C2x)e5x由初始条件y(0)=1,y′(0)=4,可得C1=1,C2=-1.因此,所求特解为y倡=(1-x)e5x(8)特征方程为λ2-2λ+10=0有一对共轭复特征根λ=1±3i.因此,所求通解为y c=ex(C1cos3x+C2sin3x)由yπ6=0得C2=0,再由y′π6=eπ/6得C1=-13.因此,所求特解为y倡=-13excos3x7畅求下列二阶非齐次线性微分方程的通解或满足给定初始条件的特解:(1)y″-2y′+2y=2x2;(2)y″+3y′-10y=144xe-2x;(3)y″-6y′+8y=8x2-4x+12;(4)y″-6y′+25y=30sinx+18cosx;(5)y″+y=cos3x,yπ2=4,y′π2=-1;(6)y″-4y′+3y=8e5x,y(0)=3,y′(0)=9;(7)y″-8y′+16y=e4x,y(0)=0,y′(0)=1.解 (1)由特征方程λ2-2λ+2=(λ-1)2+1=0得特征根λ=1±i.因此,对应齐次方程的通解为y c=ex(C1cosx+C2sinx)设非齐次方程有特解珋y=ax2+bx+c其中a,b,c为待定常数.将珋y代入所给方程,得珋y″-2珋y′+2珋y=2ax2+(2b-4a)x+(2a-2b+2c)=2x2由此可得a=1,b=2,c=1.于是,所求特解为珋y=x2+2x+1=(x+1)2因此,所求非齐次方程的通解为y=y c+珋y=ex(C1cosx+C2sinx)+(x+1)2(2)由特征方程λ2+3λ-10=(λ+5)(λ-2)=0得特征根λ1=-5,λ2=2.于是,对应齐次方程的通解为y c=C1e-5x+C2e2x设非齐次方程有特解珋y=(a+bx)e-2x将珋y代入所给方程,可得a=1,b=-12.于是,非齐次方程有特解珋y=(1-12x)e-2x因此,所给非齐次方程的通解为y=y c+珋y=C1e-5x+C2e2x+(1-12x)e-2x (3)由特征方程λ2-6λ+8=(λ-2)(λ-4)=0得特征根λ1=2,λ2=4.于是,对应齐次方程的通解为y c=C1e2x+C2e4x设非齐次方程有特解珋y=a+bx+cx2将珋y代入所给方程,可得a=2,b=1,c=1因此,非齐次方程有特解珋y=x2+x+2从而,所给非齐次方程的通解为y=y c+珋y=C1e2x+C2e4x+x2+x+2(4)由特征方程λ2-6λ+25=0得复特征根λ=3±4i.于是,对应齐次方程的通解为y c=e3x(C1cos4x+C2sin4x)设非齐次方程有特解珋y=Acosx+Bsinx则珋y′=-Asinx+Bcosx珋y″=-Acosx-Bsinx将珋y、珋y′、珋y″代入所给方程,得珋y″-6珋y′+25珋y=(24A-6B)cosx+(6A+24B)sinx=18cosx+30sinx由此得24A-6B=18,6A+24B=30由此解得A=B=1.于是,非齐次方程有特解珋y=cosx+sinx从而,所给非齐次方程的通解为y=y c+珋y =e3x(C1cos4x+C2sin4x)+cosx+sinx (5)由特征方程λ2+1=0得复特征根λ=±i.于是,对应齐次方程的通解为y c=C1cosx+C2sinx设非齐次方程有特解珋y=Acos3x+Bsin3x将珋y代入所给方程,可得A=-18,B=0.于是,非齐次方程有特解珋y=-18cos3x从而,所给方程的通解为y=y c+珋y=C1cosx+C2sinx-18cos3x由初始条件yπ2=4,y′π2=-1,可得C1=58, C2=4于是,所求特解为y=58cosx+4sinx-18cos3x(6)由特征方程λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3)=0得特征根λ1=1,λ2=3.于是,对应齐次方程的通解为y c=C1ex+C2e3x设非齐次方程有特解珋y=Ae5x将珋y代入所给方程,可得A=1.于是,非齐次方程有特解珋y=e5x从而,所给方程的通解为y=y c+珋y=C1ex+C2e3x+e5x由初始条件y(0)=3,y′(0)=9,可得C1=C2=1.于是,所求特解为y=ex+e3x+e5x(7)由特征方程λ2-8λ+16=(λ-4)2=0得重特征根λ=4.于是,对应齐次方程的通解为y c=(C1+C2x)e4x因λ=4=μ为重特征根,故设非齐次方程特解为珋y=Ax2e4x将珋y代入所给方程,可得A=12.于是,非齐次方程有特解珋y=12x2e4x从而,所给方程的通解为y =y c +珋y =(C 1+C 2x )e4x +12x 2e4x=C 1+C 2x +12x 2e4x由初始条件y (0)=0,y ′(0)=1,可得C 1=0,C 2=1.于是,所求特解为y =x +12x 2e4x8畅已知某商品的生产成本C =C (x )为产量x 的函数,C 与x 有如下关系:C ′(x )=1+x +C1+x又知产量为零时的固定成本C (0)=C 0≥0.求成本函数C (x ).解 因为C ′(x )=11+xC +1所以,由式(9畅34)得C (x )=e∫11+x dxC 1+∫e-∫11+x dxdx=(1+x )[C 1+ln(1+x )]由C (0)=C 0得C 1=C 0.于是,该商品的成本函数为C (x )=(1+x )[C 0+ln(1+x )]9畅已知某商品的销售收益R =R (x )为销售量(需求量)x 的函数,且R 与x有如下关系:R ′(x )=αR 3-x3xR2,R (10)=0其中0<α<1为已知比例常数.求收益函数R (x ).解 令R =xy ,则R ′=y +xy ′,代入上述关系式得y +xy ′=αy -1y2=αy -αy2由此得y 2α+(1-α)y3dy =-1x dx 积分得13(1-α)lnα1-α+y 3=lnC -lnx =lnCx由此得α1-α+y 3=Cx3(1-α)代回原变量得R =xC x3(1-α)-α1-α1/3由R (10)=0,得常数C =10α1-α1/[3(1-α)]将此式代入上式,得收益函数R =xα1-α10x3(1-α)-11/3=10α1-αx103α-x 1031/3注:题设R (10)=0,即销售10个单位产品的收益为零,这显然不合理.之所以如此假设,仅为确定积分常数C 时,简单起见.另外,在这个假设之下,当x >10时,恒有R (x )<0,这表明销售量x <10时,收益才为正值,这也不含经济意义.实际上,若设R (x 0)=R 0>0(x 0>0),则有R =x 0xx 03αR 0x 03+α1-α-α1-αx x 031/310畅设Y =Y (t )和D =D (t )分别为t 时刻的国民收入和国民债务,它们满足如下关系:D ′=αY +β,D (0)=D 0>0Y ′=kY ,Y (0)=Y 0>0其中α,β和k 为已知正的常数.(1)求Y (t )、D (t );(2)求极限limt →∞D (t )Y (t ).解 (1)由Y ′=kY ,Y (0)=Y 0,解得Y =Y (t )=Y 0ekt再由D ′=αY +β=αY 0ekt+β积分得D =D (t )=αkY 0ekt+βt +C由D (0)=D 0,得C =D 0-αkY 0于是得D(t)=αk Y0ekt+βt+D0-αk Y0(2)因为D(t)Y(t)=αk+βt+D0-αk Y0Y0ekt所以limt→∞D(t)Y(t)=αk11畅设Y=Y(t)、C=C(t)和I=I(t)分别为t时刻的国民收入、总消费和总投资,它们满足如下关系:Y=C+IC=a+bY,a≥0,0<b<1I=kC′,k>0其中a,b和k为已知常数(a为最低消费水平,b为边际消费倾向,k为投资加速数).(1)求Y(t)、C(t)和I(t);(2)求极限limt→∞Y(t)I(t),limt→∞Y(t)C(t).解 (1)将后两个方程代入第一个方程,可得Y′=1-b bk Y-a bk这是关于Y(t)的一阶线性方程,其通解为Y=Y(t)=C1eμt+Y e其中记μ=1-b bk, Y e=a1-b由Y(0)=Y0得C1=Y0-Y e.于是Y(t)=(Y0-Y e)eμt+Y e从而有C=C(t)=a+bY(t) =a+b(Y0-Y e)eμt+bY e=b(Y0-Y e)eμt+Y eI=I(t)=kC′(t)=bkμ(Y0-Y e)eμt=(1-b)(Y0-Y e)eμt(2)由Y(t)I(t)=11-b+Y e(1-b)(Y0-Y e)eμt 可得limt→∞Y(t)I(t)=11-b由Y(t)C(t)=(Y0-Y e)eμt+Y eb(Y0-Y e)eμt+Y e=(Y0-Y e)+Y ee-μtb(Y0-Y e)+Y ee2μt可得limt→∞Y(t)C(t)=1b12畅确定下列差分方程的阶:(1)3y t+2-6y t+1=5t+2; (2)y t+3-7y t=9;(3)y t+2-7y t+1+9y t=5;(4)3y t+6-5y t+1=7.解 (1)一阶;(2)三阶;(3)二阶;(4)五阶.13畅证明下列函数是给定方程的解(其中a,b,c为任意常数):(1)y t=a1+at,(1+y t)y t+1=y t;(2)y t=a+b·2t,y t+2-3y t+1+2y t=0;(3)y t=a+b·2t+c·3t,y t+3-6y t+2+11y t+1-6y t=0.解 将所给函数代入相应方程,可得:(1)(1+y t)y t+1=1+a1+at a1+a(t+1)=1+a(t+1)1+at·a1+a(t+1)=a1+at=y t(2)y t+2-3y t+1+2y t =(a+b·2t+2)-3(a+b·2t+1)+2(a+b·2t)=(a-3a+2a)+(4b-6b+2b)·2t=0(3)y t+3-6y t+2+11y t+1-6y t =(a+b·2t+3+c·3t+3)-6(a+b·2t+2+c·3t+2) +11(a+b·2t+1+c·3t+1)-6(a+b·2t+c·3t)=(a-6a+11a-6a) +(8b-24b+22b-6b)·2t +(27c-54c+33c-6c)·3t=014畅求下列差分方程的通解或满足给定初始条件的特解:(1)y t+1-5y t=8; (2)y t+1+y t=3t;(3)y t+1+2y t=t+3;(4)y t+1-2y t=3tcosπt;(5)y t+1-αy t=eβt,α、β为常数且α≠0;(6)y t+1+3y t=-1,y0=34;(7)y t+1-2y t=t+1,y0=1;(8)y t+1-y t=2t-1,y0=5;(9)y t+1+4y t=3sinωt(ω为已知常数),y0=1.解 (1)对应齐次方程y t+1-5y t=0的通解为y c(t)=c·5t设非齐次方程有特解y倡(t)=A,代入方程求得A=-2,即非齐次方程有特解y倡(t)=-2.因此,所求非齐次方程的通解为y t=y c(t)+y倡(t)=C·5t-2(2)对应齐次方程y t+1+y t=0的通解为y c(t)=C·(-1)t设非齐次方程有特解y倡(t)=A·3t,代入方程求得A=14,即非齐次方程有特解y倡(t)=14·3t因此,所求非齐次方程的通解为y t=y(t)+y倡(t)=C·(-1)t+14·3t(3)对应齐次方程y t+1+2y t=0的通解为y c(t)=C·(-2)t设非齐次方程有特解y倡(t)=At+B将其代入方程,可得A=13,B=89.因此,特解为y倡(t)=t3+89从而,所给方程的通解为y t=y c(t)+y倡(t)=C·(-2)t+19(3t+8)(4)对应齐次方程的通解为y c(t)=C·2t设非齐次方程有特解y倡(t)=3t(Acosπt+Bsinπt)将其代入所给方程,得3t+1[Acosπ(t+1)+Bsinπ(t+1)]-2·3t(Acosπt+Bsinπt) =3t(-5Acosπt-5Bsinπt) =3tcosπt由此得A=-15,B=0.因此,特解为y倡(t)=-15·3tcosπt从而,所给方程的通解为y t=y c(t)+y倡(t)=C·2t-15·3tcosπt (5)对应齐次方程的通解为y c(t)=C·αt设非齐次方程有特解y倡(t)=Aeβt将其代入所给方程,可得A(eβ-α)=1因此,若α≠eβ,则A=1eβ-α.于是,有特解y倡(t)=1eβ-αeβt,α≠eβ若α=eβ,则改设特解为y倡(t)=Ateβt将其代入所给方程,可得A=1α=e-β.于是,特解为y倡(t)=tαeβt=teβ(t-1),α=eβ综上所述,所求通解为y t=y c(t)+y倡(t)=C·αt+1eβ-αeβt,α≠eβ(αC+t)αt-1,α=eβ(6)对应齐次方程的通解为y c(t)=C·(-3)t设非齐次方程有特解y倡(t)=A代入所给方程,可得A=-14.于是,所给方程的通解为y t=y c(t)+y倡(t)=C·(-3)t-14由y0=34,可得C=1.因此,满足给定初始条件的特解为珋y t=(-3)t-14(7)对应齐次方程的通解为y c(t)=C·2t设非齐次方程有特解y倡(t)=At+B代入所给方程,可得A=-1,B=-2,即特解为y(t)=-t-2于是,所给方程的通解为y t=y c(t)+y倡(t)=C·2t-(t+2)由y0=1可得C=3.因此,满足初始条件的特解为珋y t=3·2t-(t+2)(8)对应齐次方程的通解为y c(t)=C设非齐次方程有特解y倡(t)=A·2t+Bt代入方程可得A=1,B=-1,即特解为y倡(t)=2t-t于是,所给方程的通解为y t=y c(t)+y倡(t)=C+2t-t由y0=5,可得C=4.因此,满足给定初始条件的特解为珋y t=2t+(4-t)(9)对应齐次方程的通解为y c (t )=C ·(-4)t设非齐次方程有特解y 倡(t )=A sinωt +B cosωt将其代入所给方程,可得A sinω(t +1)+B cosω(t +1)+4(A sinωt +B cosωt )=(A cosω-B sinω+4A )sinωt +(A sinω+B cosω+4B )cosωt=3sinωt由此得(cosω+4)A -sinω·B =3sinω·A +(cosω+4)B =0解得A =3(cosω+4)(cosω+4)2+sin2ω,B =-3sinω(cosω+4)2+sin2ω于是,特解为y 倡(t )=3(cosω+4)(cosω+4)2+sin2ωsinωt -3sinω(cosω+4)2+sin2ωcosωt =3(cosω+4)17+8cosωsinωt -3sinω17+8cosωcosωt 从而,所求方程通解为y t =C (-4)t +12+3cosω17+8cosωsinωt -3sinω17+8cosωcosωt由y 0=1,得C =1+3sinω17+8cosω,于是y t =1+3sinω17+8cosω(-4)t +12+3cosω17+8cosωsinωt -3sinω17+8cosωcosωt .倡15畅求下列二阶差分方程的通解:(1)y t +2-7y t +1+12y t =0;(2)y t +2+4y t +1+4y t =0;(3)y t +2-y t +1+y t =0;(4)y t +2-4(a +1)y t +1+4a 2y t =0,其中a 为常数,且1+2a >0;(5)y t +2-19y t =1;(6)y t+2+y t+1+14y t=94;(7)y t+2-2y t+1+4y t=3t+6;(8)y t+2-3y t+1+2y t=3·5t.解 (1)由特征方程λ2-7λ+12=(λ-3)(λ-4)=0得特征根λ1=3,λ2=4.因此,方程的通解为y c(t)=C1·3t+C2·4t(2)由特征方程λ2+4λ+4=(λ+2)2=0得重特征根λ=-2.因此,方程的通解为y c(t)=(C1+C2t)(-2)t(3)由特征方程λ2-λ+1=0 (a=-1,b=1)得复特征根λ1,2=12±32i.因为a=-1,b=1,所以r=b=1tanω=-1a4b-a2=3,ω=π3∈(0,π)故方程的通解为y c(t)=r t(C1cosωt+C2sinωt)=C1cosπ3t+C2sinπ3t(4)由特征方程λ2-4(a+1)λ+4a2=0可得两个相异的实特征根λ1=2(a+1-2a+1),λ2=2(a+1+2a+1)因此,所求通解为y c(t)=[C1(a+1-2a+1)t+C2(a+1+2a+1)t]·2t (5)由特征方程λ2-19=0可得特征根λ1=-13,λ2=13.于是,对应齐次方程的通解为y c(t)=C1·-13t+C2·13t不难求得非齐次方程有特解y倡(t)=98因此,所求通解为y t=y c(t)+y倡(t)=C1·-13t+C2·13t+98(6)由特征方程λ2+λ+14=λ+122=0得重特征根λ=-12.于是,对应齐次方程的通解为y c(t)=(C1+C2t)-12t不难求得非齐次方程有特解y倡(t)=1因此,所求通解为y t=y c(t)+y倡(t)=(C1+C2t)-12t+1(7)由特征方程λ2-2λ+4=(λ-1)2+3=0得复特征根λ1,2=1±3i.因为a=-2,b=4,所以r=b=2tanω=-1a4b-a2=3,ω=π3∈(0,π)故对应齐次方程的通解为y c(t)=2t C1cosπ3t+C2sinπ3t设非齐次方程有特解y倡(t)=A+Bt代入方程可得A=2,B=1,即有特解y倡(t)=2+t因此,所求通解为y t=y c(t)+y倡(t)=2t C1cosπ3t+C2sinπ3t+t+2(8)由特征方程λ2-3λ+2=(λ-1)(λ-2)=0得特征根λ1=1,λ2=2.因此,对应齐次方程的通解为y c(t)=C1+C2·2t设非齐次方程有特解y倡(t)=A·5t代入方程可得A=14,即特解为y倡(t)=14·5t因此,所求通解为y t=y c(t)+y倡(t)=C1+C2·2t+14·S t16畅经济学家卡恩(Kahn)曾提出如下宏观经济模型:Y t=C t+I,C t=α+βY t-1其中Y t和C t分别为t期国民收入和消费,I为各期相同的投资;α>0,0<β<1为常数.求Y t和C t.解 由卡恩模型消去C t,得Y t=βY t-1+(I+α)易知其通解为Y t=C~·βt+Y e其中C~为任意常数,Y e=I+α1-β(称为均衡国民收入).令t=0,可得C~=Y0-Ye.因此,得Y t=(Y0-Y e)·βt+Y eC t=α+βY t-1=(Y0-Y e)·βt+βI+α1-β17畅设Y t、C t和I t分别为t期的国民收入、消费和投资.三者之间有如下关系:Yt=C t+I tC t=α+βY t,α>0,0<β<1Y t+1-Y t=γI t,γ>0求Y t、C t和I t.解 由所给关系式消去C t、I t,可得Y t+1-[1+γ(1-β)]Y t=-αγ其解为Y t=(Y0-Y e)(1+R)t+Y e其中Y e=α1-β(均衡国民收入),R=γ(1-β).于是,由所给关系式可得C t=α+βY t=β(Y0-Y e)(1+R)t+Y eI t=Y t-C t=(1-β)(Y0-Y e)(1+R)t(B)1畅填空题:(1)y′=2xy的通解y c(t)= ;(2)函数y=cosx x应满足的一阶微分方程是 ;(3)y″+y=-2x的通解y c(t)= ;(4)已知某商品的需求价格弹性为EQ Ep=-1Q,且当p=e100时,Q=0,则需求函数为 ;t+1-3y t=4满足初始条件y0=1的特解为 .答 (1)Cex2;(2)y′+1x y=-sinx x;(3)C1cosx+C2sinx-2x;(4)Q=100-lnp; (5)3t+1-2.解 (1)分离变量得1ydy=2xdx积分得ln|y|=x2+ln|C|由此得|y|=|C|ex2 痴 y=Cex2(2)对y=cosx x求导,得=-sinx x-1x yy′=-sinx·x-cosxx2由此得y′+1x y=-sinx x(3)由特征方程λ2+1=0得复特征值λ1,2=±i.于是,对应齐次方程的通解为y c(x)=C1cosx+C2sinx设非齐次方程有特解y倡(x)=Ax代入方程得A=-2,即特解为y倡(x)=-2x从而通解为y=y(x)=y c(x)+y倡(x)=C1cosx+C2sinx-2x(4)依假设有EQEp=pQ dQdp=-1Q由此得dQ=-1pdp积分得Q=C-lnp由Q(e100)=0,得C=lne100=100.所以,需求函数为Q=100-lnp (5)易知该差分方程的通解为y t=C·3t-2于是,由y0=1得C=3.因此,所求特解为y t=3t+1-22畅单项选择题:(1)下列方程中, 是齐次方程.(A)dy y2-2xy=dxx2-xy+y2; (B)y′=1x-y2(C)(2x-y+3)dy=(x-2y+1)dx;(D)x2+ydy=y2+xdx(2)微分方程y′=4ex-3y的通解是 .(A)y=ex(B)y=ex+ex (C)y=Ce-3x+ex;(D)y=-e-3x+ex.(3)已知f (x )是微分方程y ′+P (x )y =Q (x )的一个特解,则该方程的通解为 .(A)y =Cf (x )+e∫P (x )dx; (B)y =f (x )+C e∫P (x )dx;(C)y =Cf (x )+e-∫P (x )dx;(D)y =f (x )+C e-∫P (x )dx.(4)微分方程(xy ′-y )cos2yx+x =0的通解是 .(A)y x +sin2y x+2ln|x |=C ;(B)2y x +sin2y x+2ln|x |=C ;(C)y x +sinyx+4ln|x |=C ;(D)2y x +sin2y x+4ln|x |=C .答 (1)A;(2)C;(3)D;(4)D.解 (1)易知(B)、(C)、(D)均不能化为齐次方程的形式:y ′=φyx.而(A)可化为y ′=y 2-2xyx 2-xy +y2=yx 2-2yx1-y x +y x2=φyx因此,应选(A).(2)因为(A)、(B)、(D)中均不含任意常数,故不是通解.而(C)中含任意常数且为方程的解.故应选(C).(3)(A)、(C)中任意常数C 不是出现在对应齐次方程的通解中,不对;(B)中C e∫P (x )dx不是对应齐次方程的解;而(D)中C e-∫P (x )dx是对应齐次方程的通解.因此,应选(D).(4)将所给方程变形为y ′-yx=-1cos2y x令u =yx,则可得cos2u du +1xdx =0积分可得2u +sin2u +4ln|x |=C 即2y x +sin2y x+4ln|x |=C 因此,应选(D).3畅求下列微分方程的通解或特解:(1)sinx cos2y dx +cos2x dy =0;(2)3xy dx +2x 3-1ey 2dy =0,y (1)=0;(3)(xy -x 2)dy =y 2dx ,y (1)=1;(4)xy 2dy =(x 3+y 3)dx ,y (1)=0;(5)y ′+2xy =e-x 2x sinx ,y (0)=1;(6)y ′=x 4+y3xy2;(7)y ′=2xy 1+x 2+4arctanx 1+x2y ;(8)y ″-(α+β)y ′+αβy =a eαx+b eβx,其中a ,b ,α和β为已知常数;(9)y ″-3y ′+2y =4+2e-x,limx →+∞y (x )=2;(10)y ′+f (x )y =f (x )f ′(x ),其中f (x )为已知的连续可微函数.解 (1)将原方程变形为sec2y dy +sinxcos2xdx =0积分得通解为tany +secx =C 或 y =arctan(C -secx )(2)将原方程变形为3(x 3-1)x dx +2y ey 2dy =3x 2-1xdx +ey 2dy 2=0积分得通解为x 3-3ln|x |+ey 2=C由y (1)=0,得C =2.于是,所求特解为x 3-3ln|x |+ey 2=2 或 y 2=ln(2+3ln|x |-x 3)(3)将原方程变形为齐次方程y′=y2xy-x2=yx2yx-1令u=yx,则由上式可得xu′=u u-1 或 u-1udu=1xdx积分得u-lnu=lnx+lnC痴u=ln(cxu)代回原变量,得通解yx=ln(Cy) 或 Cy=ey/x由y(1)=1,得C=e.于是,所求特解为y=ey x-1=e(y-x)/x (4)将原方程变形为齐次方程y′=x3+y3xy2=x y2+y x令y=xu,则由上式得u2du=1xdx积分得13u3=lnx+lnC=ln(Cx)代回原变量,得通解y3=x3ln(Cx)3由y(1)=0,得C=1.于是,所求特解为y3=x3lnx3 或 y=x(3lnx)1/3(5)利用一阶线性微分方程的通解公式(9畅34),得y=e-∫2xdx C+∫xsinx·e-x2·e∫2xdxdx=e-x2C+∫xsinx·e-x2·ex2dx=e-x2C+∫xsinxdx=e-x2C-∫xdcosx=e-x2C-xcosx+∫cosxdx=e-x2(C-xcosx+sinx)由y(0)=1,得C=1.于是所求特解为y=(1+sinx-xcosx)e-x2(6)令u=y3,则原方程变形为u′=3y2y′=3x4+y3x=3x3+3x u这是关于u的一阶线性方程,由公式(9畅34),其通解为u=e∫3xdx C+∫3x3e-∫3xdxdx=x3(C+3x)代回原变量,得通解y3=x3(C+3x) 或 y=x(C+3x)1/3(7)令u=y,则原方程变形为u′=x1+x2u+21+x2arctanx其通解为u=e∫x1+x2dx C+∫21+x2arctanx·e-∫x1+x2dxdx=1+x2C+∫2arctanx1+x2·11+x2dx=1+x2C+2∫arctanxdarctanx=1+x2[C+(arctanx)2]代回原变量,得通解y=(1+x2)[C+(arctanx)2]2(8)α≠β时,由特征方程λ2-(α+β)λ+αβ=(λ-α)(λ-β)=0得特征根λ1=α,λ2=β.于是,对应齐次方程的通解为y c=C1eαx+C2eβx因α、β为特征根,故设非齐次方程有特解y倡=Axeαx+Bxeβx将其代入方原,可得A=aα-β, B=bα-β于是,有特解y倡=xα-β(aeαx+beβx)从而,非齐次方程的通解为y=y c+y倡=C1+axα-βeαx+C2+bxα-βeβx,α≠βα=β时,由特征方程λ2-2αλ+α2=(λ-α)2=0得重特征根λ=α.于是,齐次方程的通解为y c=(C1+C2x)eαx因α为重特征根,故设非齐次方程有特解y倡=Ax2eαx代入方程可得A=12(a+b),即特解为y倡=12(a+b)x2eαx从而,非齐次方程的通解为y=y c+y倡=C1+C2x+12(a+b)x2eαx,α=β综上所述,所求方程的通解为y=C1+axα-βeαx+C2+bxα-βeβx,若α≠βC1+C2x+12(a+b)x2eαx,若α=β(9)由特征方程λ2-3λ+2=(λ-1)(λ-2)=0得特征根λ1=1,λ2=2.故齐次方程的通解为y c=C1ex+C2e2x 设非齐次方程有特解y倡=A+Be-x代入方程可得A=2,B=13,即特解为y倡=2+13e-x于是,非齐次方程的通解为y =y c +y 倡=C 1ex +C 2e2x +2+13e-x由条件limx →+∞y (x )=2,可得C 1=C 2=0.从而,所求特解为y =2+13e-x(10)由通解公式(9畅34),得y =e-∫f ′(x )dxC +∫f (x )f ′(x )e∫f ′(x )dxdx=e-f (x )C +∫f (x )ef (x )df (x )=e-f (x )C +∫f (x )def (x )=e-f (x )C +f (x )ef (x )-∫ef (x )df (x )=e-f (x )C +f (x )ef (x )-ef (x )=C e-f (x )+f (x )-14畅利用适当的变量代换求下列方程的通解:(1)xy ′=y (1+lny -lnx );(2)x +y cosyxdx -x cosyxdy =0;(3)y ′=(x +y )2; (4)y ′=y 2x -12y tany2x;(5)y ′=2y -x -52x -y +4.解 (1)将原方程变形为齐次方程y ′=y x1+lnyx令y =xu ,则由上式可得1u lnu du =1xdx 积分得lnlnu =lnx +lnC =ln(Cx )由此得lnu =Cx 或 u =eC x代回原变量得通解y =x eCx(2)将原方程两端同除以x ,得1+y x cosy xdx -cosyxdy =0令y =xu ,则dy =u dx +x du ,代入上式可得cosu du =1xdx积分得sinu =ln|x |+C 由此得u =arcsin(ln|x |+C )代回原变量得通解y =x arcsin(ln|x |+C )(3)令u =x +y ,则u ′=1+y ′=1+u 2 痴 11+u2du =dx 积分得arctanu =x +C 或 u =tan(x +C )代回原变量得通解y =u -x =tan(x +C )-x(4)令z =y2x或y 2=xz ,则2yy ′=z +xz ′于是,由原方程得z +xz ′=z -tanz 即xz ′=-tanz由此得1tanz dz +1x dx =0积分得ln|x sinz |=ln|C |由此得x sinz =C代回原变量得通解x siny 2x =C 或 y 2=x arcsinC x(5)令x =u +α,y =v +β,则2y -x -5=(2v -u )+(2β-α-5)2x -y +4=(2u -v )+(2α-β+u )令2β-α-5=0, 2α-β+4=0解得α=-1,β=2.于是,变量代换为x =u -1,y =v +2于是,得dy dx =dv du =2v -u 2u -v 令z =vu或v =uz ,则上式变形为uz ′=z 2-12-z由此得1u du =2-z z 2-1dz =121z -1-3z +1dz 积分得lnu =12[ln(z -1)+3ln(z +1)]+12lnC~由此得lnu 2=lnC ~(z -1)(z +1)3或u 2=C ~(z -1)(z +1)3将z =vu代入上式,得u 2=C ~·v u -1v u+13=C ~·u 2·v -u(u +v )3由此得v -u(u +v )3=1C~=C 于是,代回原变量得通解y -x -3(y +x -1)3=C 5畅求满足下列方程的可微函数f (x ):(1)f (x )=∫x0f (t )dt +e2x;(2)f (x )=∫2x0ft2dt +ln2;(3)x 2f (x )=1+∫x1f 2(t )dt ;(4)f (x )=cos2x +∫x 0f (t )sint dt .解 (1)对给定方程两端求导,得f ′(x )=f (x )+2e2x这是关于f (x )的一阶线性微分方程,由公式(9畅34),得f (x )=e∫dxC +∫2e2x e-∫dxdx=exC +2∫ex dx =ex(C +2ex)=C ex+2e2x由给定方程有f (0)=1,代入上式得C =-1.因此,满足给定方程的函数为f (x )=2e2x-ex(2)对给定方程两端求导,得f ′(x )=2f (x )由此得f (x )=C e2x因f (0)=ln2,故C =ln2.于是得f (x )=(ln2)·e2x(3)对给定方程两端求导,得2xf (x )+x 2f ′(x )=f 2(x )由此得f ′(x )=f (x )x2-2f (x )x令u (x )=f (x )x 或f (x )=xu (x ),则f ′(x )=u (x )+xu ′(x )=u 2-2u由此得dx=1u(u-3)du=131u-3-1udu或3xdx=1u-3-1udu积分得3lnx+lnC=ln(u-3)-lnu=lnu-3u由此得u-3u=Cx3痴u=31-Cx3从而得f(x)=xu=3x1-Cx3由所给方程有f(1)=1,代入上式得C=-2.于是,所求函数为f(x)=3x1+2x3(4)对给定方程两端求导,得f′(x)=-2sin2x+f(x)sinx由此得f(x)=e∫sinxdx C-2∫sin2xe-∫sinxdxdx=e-cosx C-4∫sinx·cosxecosxdx=e-cosx C+4∫cosxecosxdcosx=e-cosx C+4cosxecosx-∫ecosxdcosx=e-cosx[C+4(cosxecosx-ecosx)]=Ce-cosx+4(cosx-1)因f(0)=1,故由上式得C=1.于是,所求函数为f(x)=e-cosx+4(cosx-1)6畅求满足方程f(x)=ex-∫x0(x-t)f(t)dt的二阶可微函数f(x).解 将所给方程改写为f(x)=ex-x∫x0f(t)dt+∫x0tf(t)dt对上式求导得f′(x)=ex-∫x0f(t)dt-xf(x)+xf(x)=ex-∫x0f(t)dt①再对上式求导得f″(x)=ex-f(x)即f″(x)+f(x)=ex②由特征方程λ2+1=0得复特征根λ1,2=±i,故②的对应齐次方程通解为f c=C1cosx+C2sinx设②有特解f倡=Aex代入②得A=12,即特解为f倡=12ex于是,②的通解为f(x)=f c+f倡=C1cosx+C2sinx+12ex③由给定方程和①得f(0)=1,f′(0)=1,代入③可得C1=12, C2=12因此,所求函数为f(x)=12(cosx+sinx+ex)7畅已知差分方程(a+by t)y t+1=cy t,t=0,1,2,…其中a,b,c为正的常数,且y0>0.(1)试证:y t>0,t=1,2,…(2)试证:变换u t=1y t将原方程化为u t的线性方程,并由此求出y t的通解.(3)求方程(2+3y t)y t+1=4y t,y0=12的解.解 (1)因为a ,b ,c ,y 0>0,所以y 1=cy 0a +by 0>0, y 2=cy 1a +by 1>0若y t >0,则y t +1=cy ta +by t>0于是,由归纳法可知y t >0,t =1,2,…(2)设u t =1y t ,即y t =1u t,则(a +by t )y t +1=a +bu t1u t +1=c u t由此得cu t +1=au t +b 或 u t +1=a c u t +bc由此可解得u t =C~act+b c -a,a ≠c C ~+ba t ,a=c代回原变量得y t =C~act+b c -a -1,a ≠c C ~+bat-1,a =c由初始条件y 0可得C ~=1y 0+b a -c,a ≠c 1y 0,a =c由此得y t =1y 0+b a -cac t-b c -a-1,a ≠c 1y 0+b a t -1,a =c(3)因为a =2,b =3,c =4,y 0=12,且a ≠c ,所以y t =2-3212t+32-1=12t +1+32-18畅已知某商品的净利润L 与广告支出x 有如下关系:L ′=a -b (x +L )其中a ,b 为正的常数,且L (0)=L 0>0.求净利润函数L (x ).解 因为L ′=a -b (x +L )=-bL +(a -bx )所以L (x )=e-bxC +∫(a -bx )ebxdx =e-bxC +1b ∫(a -bx )debx=e-bxC +1b (a -bx )ebx +1b∫ebx dbx=e-bxC +1b (a -bx )ebx +1bebx=C e-bx+a +1b-x 由L (0)=L 0,得C =L 0-a +1b.因此,净利润函数为L (x )=L 0-a +1b e-bx +a +1b-x9畅假设某品牌小汽车t 时刻的运行成本和转让价值分别为R =R (t )和S =S (t ),它们满足如下关系:R ′=a S (t ), S ′=-bS其中a ,b 为正的常数.已知R (0)=0,S (0)=S 0(S 0为购买成本).求R (t )和S (t ).解 首先,由S ′=-bS 和S (0)=S 0,可得S (t )=C 1e-bt=S 0e-bt其次,由R ′=aS和上式,得R ′=a S 0ebt积分得R (t )=a S 0bebt+C 2由R (0)=0,得C 2=-aS 0b.于是得R (t )=aS 0b(ebt -1)10畅设某公司办公用品的月平均成本C 与公司雇员人数x 有如下关系:C ′=e-xC 2-2C ,C (0)=1求月平均成本函数C (x ).解 C 应满足的方程为n =2的伯努利方程.因此,令y =C1-2=C-1,则y ′=-C 2C ′ =-C-2(e-xC 2-2C )=2y -e-x由此得y =e∫2dxC ~-∫e-x ·e-∫2dxdx=e2xC ~-∫e-3xdx=e2xC ~+13e-3x=C ~e2x +13e-x 代回原变量得C =C (x )=1y =3ex1+C 1e3x (C 1=3C ~)由C (0)=1,得C 1=2.因此,月平均成本函数为C (x )=3ex1+2e3x11畅设w =w (t )和y =y (t )分别为t 时刻的人均小麦产量和人均国民收入,它们满足如下关系:w ′=1αy+k eβt ,w (0)=w 0>0y ′=βy ,y (0)=y 0>0其中α,β和k 为常数,且β>0,αβy 0>k(1)求w (t )、y (t );(2)求极限limt →+∞w (t )y (t )解 (1)由y ′=βy ,y (0)=y 0,得y =y (t )=y 0eβt340 于是有w ′=1αy +k eβt =1αy 0e-βt +k eβt 积分得w =w (t )=k βeβt -1αβy 0e-βt +C 由w (0)=w 0,得C =w 0+1αβy 0-k β(2)由β>0和w (t )y (t )=k βy 0-1αβy 20e-2βt +C y 0e-βt 可得limt →+∞w (t )y (t )=k βy 012畅(I.Johanhen模型) 设K =K (t )、H =H (t )分别为某国t 时刻的资本存量、外援水平,它们满足如下方程:K ′=αK +H ,H ′=βH其中α,β为正的常数.已知K (0)=K 0>0,H (0)=H 0>0.求K (t ),H (t ).解 由H ′=βH ,H (0)=H 0,得H =H (t )=H 0eβt 于是得K ′=αK +H 0eβt这是关于K 的一阶线性微分方程,其通解为K =K (t)=C +H 0β-αe(β-α)t eαt ,α≠β(C +H 0t )eαt ,α=β由K (0)=K 0,得K =K (t )=K 0+H 0α-βeαt +H 0β-αeβt ,α≠β(K 0+H 0t )eαt ,α=β13畅梅茨勒(Metzler,L.A.)曾提出如下库存模型:y t =u t +S t +αu t =βy t -1S t =β(y t -1-y t -2)。