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第七章三角形中考链接趋势一三角形有关的概念1．（2007，江西）如图1，长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，• BC′交AD于E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（•虚线也视为角的边）有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个图1 图2 图3 2．（2006，绍兴）若有一条公共边的两个三角形称为一个“共边三角形”，则图2中以BC 为公共边的“共边三角形”有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2006，广州）已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，•能组成三角形的是（） A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，104．（2007，苏州）如图3将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+•∠2=100°，则∠A的大小等于_______度．5．（2006，河北）在图4至图7中，△ABC的面积为a，探索:（1）如图4所示，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=______（用含a的代数式表示）．（2）如图5所示，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=_______（用含a的代数式表示），并写出理由．（3）在图5的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图6所示），若阴影部分的面积为S3，则S3=_____．（用含a的代数式表示）图4 图5发现:像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（•如图6所示），此时，我们称△ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF•的面积是原来△ABC面积的_______倍．图6 图7应用:去年在面积为10m2的△ABC空地上载种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH （如图7所示）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？趋势二三角形的内外角6．（2008，吉林省）如图8所示点D，B，C在同一直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=_____度．图8 图9 图10 7．（2008，荆州市）将一直角三角形板与两边平行的纸条如图9所示放置，•下列结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，•其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2007，浙江金华）如图10，直线AB∥CD，EF⊥CD，F为垂足，如果∠GEF=20°，那么∠1的度数是______．9．（2006，吉林）把一副三角板按如图11所示的方式放置，则两条斜边所形成的钝角 =______度．图11 图1210．（2007，长春市）如图12所示，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为（• ）A．22° B．52° C．60° D．82°趋势三多边形内外角和与平面镶嵌11．（2006，安徽）图考7-13是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图13（1））和梅花图案（图13（2））（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）图13A．36° B．42° C．45° D．48°12．（2008，江西省）如图14所示，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边也一点，沿与底边垂直的，方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是______．图14 图15 图1613．（2008，长春市）在平面内，有一条公共边的正六边形和正方形，如图15所示放置，则∠a等于______度．14．（2007，贵阳）如图16小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____m．15．正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性．•请你用三种不同的分割方法，将正三角形分别分割成四个等腰三角形．（在图17•所示中画出分割线，并标出必要的角的度数）图17答案:1．B 2．B 3．C 4．50°5．探索（1）a （2）2a；理由：连结AD，∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE =S△ABC =a，∴S2=2a（3）6a 发现：7 应用：拓展区域的面积：（72-1）×10=480（m2）6．45° 7．D 8．70° 9．165 10．D 11．D12．125° 13．15° 14．24015．如图:。
一、连结【方法说明】将图中两个点用线段连结起来的协助线增添方法叫做连结．连结是最简单、最常用的协助线增添方法之一．经过连结这类协助线来结构我们需要的图形的方法有好多，需要平常多累积，多应用，才能达到勤能补拙的境地．A B A B【方法概括】1、如图，经过连结建立全等三角形．B BA D A DC C2、如图，经过连结建立角均分线．A AO C O CB B3、如图，经过连结建立相等的线段．C CA BA B4、如图，连结三角形中点建立中线．A ABD C BD C5、如图，连结三角形中点建立中位线．A AD E D EB C B C6、如图，经过连结圆心和圆上的点建立圆心角．C CO OA B A B7、如图，经过连结圆上的两个点建立圆周角，特别是有直径的时候．C CO OA B A B8、如图，连结切点和圆心建立垂线．O OA A【典型例题】1．一位同学拿了两块45°三角尺△ MNK ，△ ACB 做了一个研究活动：将△ MNK 的直角极点 M 放在△ ACB 的斜边 AB 的中点处，将图 1 中的△ MNK 绕极点 M 逆时针旋转，获得图2，设 AC＝ BC＝ 4．N AAND MMCBB GCKK图 1 图 2（1）当 AD＝1 时，求重叠部分MDCG 的面积；（2）△ MNK 在绕定点旋转的过程中，保持与MN 与AC 有交点D， MK 与BC有交点（3）△ MNK G，问四边形MDCG 的面积能否会改变，请说明原因；在绕定点旋转的过程中，保持与MN 与 AC 有交点 D， MK 与BC有交点G，问DG 两点间的距离最小值是多少？试求出此时重叠部分MDCG 的周长．【思路点拨】（1）①先读题，再把已知条件（角度、长度）标志在图中；②想象图形旋转过程中的变化状况，并察看图2． M 为斜边AB 的中点，联想“三线合一”模型，并连结MC ，以下列图所示：A AN ND M D MB BC G C GK K③察看图中的三角形，△ADM 与△ CGM ，△DCM 与△ GBM ，猜想：△ ADM ≌△ CGM ，△ DCM ≌△ GBM ．经过找寻边角之间的关系证明结论；1④所以 S 四边形MDCG＝ S△DCM＋ S△CGM＝ S△DCM＋ S△ADM＝ S△ACM＝2S△ABC．（2）由（ 1）得旋转的过程中，四边形MDCG 的面积是不会改变，且等于1 S△2ABC．（3）①求最小值，联想到二次函数及配方法，所以第一步要先表示出DG 的长度；②设 CG＝ x，则 CD＝ BG＝ 4－ x，在 Rt△ DCG 中， DG 2＝ CD 2＋ BG2＝ x2 ＋(4－ x)2；③用配方法或许二次函数极点式求出 DG 最小值，并求出四边形 MDCG 的周长即可．【解题过程】解：（ 1）连结MC 则 AM ＝ CM ，∠AMC ＝∠ DMG ＝ 90o，∠A＝∠ MCG ＝45o，∠AMD ＝∠ CMG ，△ ADM ≌△ CGM （ASA ），S 四边形MDCG＝ S△DCM＋S△CGM＝ S△DCM＋ S△ADM＝S△ACM1＝2S△ABC＝12× 12× 4× 4＝ 4；AAANNNDM D M D M EBBBCGCG FCGKKK（ 2）四边形 MDCG 的面积不会改变，原因以下：【方法一】同第（ 1）小题，略；【方法二】分别过点 M 作 MD ⊥AE 于 E ， MF ⊥BC 于 F ，由（ 1）可得 ME ＝ MF ，∠ EMF ＝ 90o ，∠ NMK ＝ 90o ， ∠ DME ＋∠ EMG ＝∠ EMG ＋∠ GMF ， ∠DME ＝∠ GMF ， △ DME ≌△ GMF （ ASA ）， S △ DME ＝ S △GMF ，S 四边形 MDCG ＝ S △DME ＋ S 四边形 EMGC ＝ S △GMF ＋ S 四边形 EMGC ＝ S 四边形 EMGC ＝ 4；（ 3）【方法一】连结 DG ，由（ 2）得 AD ＝ CG ，设 CG ＝ x ，则 CD ＝ 4－ x ，∴Rt △ DCG 中， DG 2＝ CD 2＋ BG 2 ＝ x 2＋ (4－x) 2＝ 2(x － 2)2＋ 8，∴当 x ＝ 2 时， DG 2 有最小值 8，此时 DG 的最小值为 2 2 ，且 D 、G 分别为 AC 、 BC 的中点，图形与（ 1）同样，重叠部分 MDCG 的周长＝正方形 DMGC 的周长＝ 2× 4＝ 8；【方法二】连结 DG ，由（ 1）可得 DM ＝ GM ，∴在 Rt △ DMG 中， DG 2＝ DM 2＋GM 2＝ 2DM 2，1∴当 MD ⊥AC 时，依据垂线段最短得 MD 长度最小为 2AC ＝ 2， ∴DG 2＝ 8，即 DG ＝ 2 2，∵∠ C ＝ DMG ＝ MDC ＝ 90°， MD ＝ MG ，∴四边形 MDCG 为正方形，∴重叠部分MDCG 的周长＝ 4MD ＝ 8．【贯通融会】1．（ 09 鸡西）已知 Rt △ABC 中，AC ＝ BC ，∠ C ＝ 90°，D 为 AB 边的中点， ∠EDF ＝90°，∠ EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、CB （或它们的延伸线） 于 E 、△＋ S △CEF ＝ 1△F ．当∠ EDF 绕 D 点旋转到 DE ⊥ AC 于 E 时（如图 1），易证 S DEF 2S ABC 当∠ EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种状况下，上 述结论能否建立 ? 若建立，请赐予证明；若不建立， S △ DEF ， S △ CEF ， S △ABC 又有如何的数目关系？请写出你的猜想，请证明您的结论．A A AD D DEEBFC F B C F B CE图 1 图 2 图 32．如图， AB 是⊙ O 的直径，AB＝6 2，M 是弧 AB 的中点，OC⊥OD，△COD 绕点O 旋转与△AMB 的两边分别交于 E、F（点 E、F 与点 A、B、M 均不重合），与⊙O 分别交于 P、 Q 两点．（1）求证： OE＝ OF ；（2）连结 PM、QM ，尝试究：在△ COD 绕点 O 旋转的过程中，∠ PMQ 是否为定值？假如，求出∠PMQ 的大小；若不是，请说明原因；（3）连结 EF，尝试究：在△COD 绕点 O 旋转的过程中，△EFM 的周长能否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明原因．AOF PDB E MQC【参照答案】1．解：①图 2 建立，原因以下：过点 D 作 DM ⊥ AC ， DN ⊥ BC ，则∠ DME ＝∠ DNF ＝∠ MDN ＝90°，又∵∠ C ＝ 90°，∴ DM ∥BC ，DN ∥AC ，∵ D 为 AB 边的中点，由中位线定理可知：1 1BC ，∵ AC ＝ BC ，∴ MD ＝ND ，DN ＝AC ，MD ＝ 22∵∠ EDF ＝ 90°，∴∠ MDE ＋∠ EDN ＝ 90°，∠ NDF ＋∠ EDN ＝90°， ∴∠ MDE ＝∠ NDF ，在△ DME 与△ DNF 中，∵∠ DME ＝∠ DNF ， MD ＝ ND ，∠ MDE ＝∠ NDF ，∴△ DME ≌△ DNF （ASA ），∴ S △ DME ＝ S △ DNF ，∴ S 四边形 DMCN ＝ S 四边形 DECF ＝S △ DEF ＋ S △ CEF ，由以上可知 S 四边形DMCN＝1△，∴ S △ DEF ＋S △CEF＝1△．2SABC2SABC②图 3 不建立，原因以下：连结 DC ，先证明：△ DEC ≌△ DBF （ ASA ，∠ DCE ＝∠ DBF ＝ 135°），∴S △ DEF ＝S 五边形 DBFEC ＝ S △ CFE ＋S △ DBC ＝S △ CFE ＋S△ABC ，∴ S △ DEF － S △ CFE ＝S△ABC ．22故 S △DEF 、S △ CEF 、S △ ABC 的关系是： S △ DEF －S △CEF＝1△ABC ．2S2．解：（ 1）∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AMB ＝ 90°，∵M 是弧 AB 的中点，∴弧MB ＝弧 MA ，∴ MA ＝ MB ，∴△ AMB 为等腰直角三角形，∴∠ ABM ＝∠ BAM ＝ 45°，∠ OMA ＝ 45°，222 × 62＝ 6，∴∠ MOE ＋∠ BOE ＝ 90°，∵∠ COD ＝90°，∴∠ MOE ＋∠ MOF ＝ 90°，∴∠ BOE ＝∠ MOF ，在△ OBE 和△ OMF 中， OB ＝ OM ，∠ OBE ＝∠ OMF ，∠ BOE ＝∠ MOF ，∴△ OBE ≌△ OMF （ AAS ），∴ OE ＝OF ，（ 2）∠ PMQ 为定值，原因以下：∵∠ BMQ＝1∠BOQ，∠ AMP ＝1∠ AOP，2 2∴∠ BMQ ＋∠ AMP ＝12（∠ BOQ＋∠ AOP ），∵∠ COD ＝90°，∴∠ BOQ＋∠ AOP＝ 90°，∴∠ BMQ ＋∠ AMP＝12×90°＝ 45°，∴∠ PMQ ＝∠ BMQ ＋∠ AMB ＋∠ AMP ＝ 45°＋ 90°＝ 135°，（3）△ EFM 的周长有最小值，原因以下：∵OE＝OF，∴△ OEF 为等腰直角三角形，∴ EF＝ 2OE，∵△ OBE ≌△ OMF ，∴ BE＝ MF，∴△ EFM 的周长＝ EF＋ MF＋ ME＝EF＋ BE＋ ME＝ EF＋ MB＝ 2OE＋6，1 1当 OE⊥ BM 时， OE 最小，此时 OE＝2BM＝2× 6＝3，∴△ EFM 的周长的最小值为 3＋6＝9．AOF PB E MDQC。
09三角形高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形ABC V 中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,A B C 行?，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.典型考题【典型例题】如图，在⊙O中，AB是的直径，P A与⊙O相切于点A，点C在⊙O 上，且PC＝P A，（1）求证PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝P A＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△P AC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
考点16.特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精讲）【命题趋势】特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。
在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定，这部分知识主要考查基础。
【知识清单】1：等腰（等边）三角形的性质与判定（☆☆☆）1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。
2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。
3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。
5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都是60°；（3）等边三角形（边长为a6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2：垂直平分线的性质与判定（☆☆）1）垂直平分线的定理：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
3）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3：勾股定理与逆定理及其应用（☆☆）1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．4：直角三角形的性质及计算（☆☆☆）1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
第十一章三角形知识框架【三角形的概念】1、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相连。
2、基本概念：三角形有三条边，三个内角，三个顶点。
边：组成三角形的线段，表示方法：AB(c)、BC(a)、AC(b)内角：相邻两边所组成的角，表示方法：∠A、∠B、∠C顶点：相邻两边的公共端点，表示方法：A、B、C三角形ABC用符号表示为△ABC。
夹边、夹角、对边、对角3、数三角形个数技巧1）按组成三角形的图形个数来数（如单个三角形、由2个图形组成的三角形……最后求和）2）从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另外两条边；3）先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组。
练：1、下列说法中正确的是（）A、由三个角组成的图形叫三角形B、由三条直线组成图形叫三角形C、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形D、由三条线段组成的图形叫三角形2、右图中三角形的个数是（）A、6B、7C、8D、93、如右图所示：（1）图中有几个三角形？把它们一一写出来。
（2）写出△ABD的三个内角。
（3）以∠C为内角的三角形有哪些？（4）以AB为边的三角形有哪些？【分类】在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
练：1、如果三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A、锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法判断2、若△ABC三边长分别为m，n，p，且| m - n |+( n - p)2= 0 ，则这个三角形为（）A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形3、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形4、根据下列所给条件，判断△ABC的形状（若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断）（1）∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°；（2）∠C=90°；（3）∠C=120°；（4）AB=BC=4，AC=5.【三边的关系】①三角形任意两边之和大于第三边，b + c > a；②三角形任意两边之差小于第三边，b - c < a。
三角形链接专题讲解一、考点、热点回顾二、典型例题如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB=时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n=-+，代入点C(0，－3)，得4n=-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x=--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x=--=+-，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为y kx b=+，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.k bb+=⎧⎨=-⎩解得1k=，3b=-．所以直线BC的函数表达式为3y x=-．（3）①因为AB＝4，所以334PQ AB==．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==． 进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12,2)P --，265(1,)22P --．图2 图3 图4例2设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线． （1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1． 如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例3、如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，35ANAM=，所以531025tt=-．解得3031t=．此时CM6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =．①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=．(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=．(Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若12y m=，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E 在BC 上运动，观察y 随x 变化的函数图像，可以体验到，y 是x 的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E 是BC 的中点时，y 取得最大值．双击按钮“m ＝8”，拖动E 到BC 的中点，可以体验到，点F 是AB 的四等分点．拖动点A 可以改变m 的值，再拖动图像中标签为“y 随x ” 的点到射线y ＝x 上，从图形中可以看到，此时△DCE ≌△EBF ．思路点拨1．证明△DCE ∽△EBF ，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于x 的函数关系式． 2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF 为等腰三角形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m=-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△PAM 与△OAC 相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解： 如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=．例6如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．思路点拨1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310AHAB=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以AB ACDB EC=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以DE AEBC AC=，MN ANBC AC=，即|3|53DE x-=，1|3|253xMN-=．因此5|3|3xDE-=，圆心距5|6|6xMN-=．图2 图3 图4在⊙M中，115226Mr BD y x===，在⊙N中，1122Nr CE x==．①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-．如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==．②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=．当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==；当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b )|-=2|t 22|OA t tb ==．即22b t t t -=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．三、课后练习（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质。
