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2-4隐函数、参数方程求导,相关变化率

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参数方程的导数及相关变化率问题

参数方程的导数及相关变化率问题

x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
dt
dt
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度

2-4隐函数的求导法则.

2-4隐函数的求导法则.

·复习初等函数的求导法则，基本初等函数的求导公式.·引入前面我们所遇到的函数都是y=f(x)的形式，这种函数的求导问题已经解决，下面我们来学习几种特殊的求导法.·讲解新课第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数一隐函数的求导法把一个变量明显是另一个变量的函数，并可以表示为y=f(x)的形式的函数叫做显函数．把一个函数的自变量x和变量y之间的对应关系由一个二元方程F(x,y)=0所确定的函数叫做隐函数．如4x-5y+8=0，x2+y2=R2，x+y-ey=0都是隐函数．把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化.如将方程x+y-1=0化成y=隐函数的显化有时是有因难的．甚至是不可能的．如隐函数xy=ex+y3就无法化成显函数．但在实际问题中，常常需要计算隐函数的导数．求隐函数的导数的方法是将方程两边同时对自变量x求导，把y看成是关于x的函数，把关于y的函数应看成是关于x的复合函数．例1 求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数的导数y'x． y'解：将方程两边同时对x求导，得ey'x+y+xyx=0，解得yy'x=-y(x+ey≠0). yx+edy中允许dx一般地，由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y，它的导数含有y．例2 求方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y在x=0的导数dy． dxx=0解：将方程的两边同时对x求导，得5y4dydy+2-1-21x6=0， dxdxdy1+21x6所以． =4dx5y+2当x=0时，由方程y5+2y-x-3x7=0得y=0，所以二对数求导法形为y=u（其中u、v都是x的函数）的函数叫做幂指函数．在求导运算中，常会遇到这样两类函数求导问题：一类是幂指函数，另一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数。

可以用对数求导法来求着两类函数的导数。

所谓对数求导法，就是两边先取对数，然后利用隐函数的求导法求的结果。

隐函数和参数方程求导、相关变化率

隐函数和参数方程求导、相关变化率
#
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .

D2_4隐函数

D2_4隐函数

例9. 设由方程
x t2 2t
t 2 y sin y 1
(0 1) 求
dx
解
2t 2 dt
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2 (t 1) dt d y 2t
d t 1 cos y
故
dy dx
dy dt
dx dt
t
(t 1)(1 cos y)
dx dx
dx
2
由(1)(2）得 H (x, dy ) 0 3
解(3)得
dy d x dx
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对方程 F(x, y) 0若能确定可导隐函数x g y,即有 F(g y, y) 0
我们把左边视为复合函数
u F(x, y) x g y,
复合后u是以y为自变量的函数且 u y 0, 故
解: 两边取对数 , 化为隐式
ln y sin x ln x
两边对 x 求导
1 y
y
cos x ln x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
注: 这是处理幂指函数导数的重要方法还有别的
方法吗?
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2) 有些显函数求导
例6
的导数！
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一、隐函数的导数
对方程 F(x, y) 0
若能确定 以x 为自变量的函数 y f x,或确定以y为 自变量的函数 x g y. 假设它们可导情况下如何求它们
的导数。 在这里我们假定所给方程能确（隐）函数且可导。
至于方程满足什么条件能确定（什么样的隐）函数， 以及什么条件时可导我们下册探讨。

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第四节 隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 四、内容小结及作业 五、思考与练习
2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数
由 y f (x) 表示的函数 , 称为显函数 .
(t)(t) (t)(t)

2 (t)


(t
)
(t) (t) 3 (t )
(t)
(t)
2-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
注意
:
已知
dy dx

(t) (t )
,
d2 y d x2

(t)

若上述参数方程中 (t), (t) 二阶可导, 且 (t) 0,
则由它确定的函数 y f (x) 可求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d dx
(dy) dx

d dt
(
dy dx
)

d d
tdx xd t
d t 2 500
相关变化率问题解法: 找出相关变量的关列方程所确定的隐函数 y = y (x) 的导数 dy . dx
(1) e y xy e 0 ; (2) y5 2 y x 3x7 0.
例2.
求椭圆 x2 16

y2 9

1在点

2,
3 2
3

处的切线方程.
例3. 求下列方程所确定的隐函数 y = y (x) 的二阶导数.

2-4隐函数和参数方程求导--经济数学--赵树嫄 共25页

2-4隐函数和参数方程求导--经济数学--赵树嫄 共25页


3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即
3x4y830
03.07.2019
蚌埠学院 高等数学
5
对数求导法
1.方法: 先在 y f(x) 两边取对数, 然后利用隐函 数的求导方法求出y的导数.
2.适用范围: 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数.
例如幂指函数：yu (x)v(x) (u (x)0)
dx d t dt dy

dx dt

1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
03.07.2019
蚌埠学院 高等数学
10
若上述参数方程中(t),(t)二阶可导,且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
dV dt
故

dx dt
两边对 t 求导
R2 h2
(hx)2 d
d

25h2
R2(h
x)2
,
x t
,
而
dV
25(cm3
r
s)R

h
h
x
dt
r hxR
当x

h 2
时,
dx dt
1R020(cmhs)
03.07.2019
蚌埠学院 高等数学
20
内容小结
1. 隐函数求导法则
思考与练习
1.
求螺线
r在对应于


2
的点处的切线方程.
x r cos co s

2.4隐函数求导


x ln(1 t 2 ) 例8 求由方程 表示的 y t arctan t
函数y=y(x)的二阶导数。
dy 1 1 2 1 dy dt 1 t t 解： 2t 2 dx dx 2 1 t dt
d 1 d 2 y d dy d 1 dt ( ) ( t ) ( t) 2 dx dx dx dx 2 dt 2 dx
( x 1)( x 2) ( 3 x )( 4 x )
用同样的方法可得与上面相同的结果.
注：学生做题时可忽略定义域。
( x 1)3 x 1 , 求y . 例7 设 y 2 x ( x 4) e
解:
等式两边取对数，得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
y
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 对①再求导, 得
① 1 y (0) e ②
y 2 e y (e x) y 2 y 0 y
将 x 0, y 1, y(0) e 1 再代入 ② 得
1 y(0) 2 e
例5. 求
的导数 . 幂指函数
为两可导函数 之间有联系
相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变பைடு நூலகம்率
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h tan 则 500 500 两边对 t 求导

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率


第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos

1
−
cos

=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .

2-4隐函数


上升 , 其速率为 140 米 / 分 .当气球高度为 观察员视线的仰角增加 率是多少 ?
解
设气球上升 的仰角为
t 秒后 , 其高度为
h , 观察员视线
500 米
,则
tan
h 500

d dt 1 500
2
上式两边对
dh
t 求导得
sec
2

dh dt
500 米

d dt
sin x
(cos x ln x
sin x x
)
一般地
f ( x ) u( x )
v( x)
( u( x ) 0)
ln f ( x ) v ( x ) ln u( x )
又 d dx ln f ( x ) 1 d f ( x)
f ( x ) dx
f ( x ) f ( x )

a sin t a a cos t
2 1 cos 2

sin t 1 cos t

dy dx
t 2
sin
1.
当 t

2
时 , x a(

2
1 ), y a .
所求切线方程为
y a x a(
即 y x a(2

2
1)

2
2
2
t cos t
t ( sin t )
tan t
d y dx
2
2

d dx
(
dy dx
4
)
( tan t ) ( a cos
3
t )

2-4隐函数

17
例8
x a ( sin ) 求由摆线的参数方程 y a ( 1 cos )
所确定的函数二阶导数.
y
a
o 解
dx d

πa
2πa
x
a ( 1 cos ),
dy d
a sin ，
则
dy dy
a sin sin d ， 2 n , n 为整数. a ( 1 cos ) dx 1 cos dx dy d 2 2 1 d y d d ( sin ) 1 cos ( 1 cos ) sin 2 2 a ( 1 cos ) dx dx d 1 cos dx ( 1 cos )
dy dy
y t x
或
d
(
dy
)
dx dx
dt dx dx dt
注意 cos t , 求椭圆在 t 处的切线方程. 例7 已知椭圆的参数方程为 4 y b sin t . a 2 b 2 解 当 t 时， ( ， ) 椭圆上的相应切点 M 0 的坐标是： 4 2 2


x

y

y

dy dx
解 方程两边对 x 求导
y
y x
得
5y

4
dy dx
dy dx
2

dy dx
4
1 21x 0
6
1 21x
6
5y 2
结论中允许含y
因x=0时y=0, 故
7
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解 椭圆方程两边对 x 求导
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此结果意味着，两辆汽车间的距离是以每小时 3 公里的 变化率减少的（在我们考虑的时刻） 。
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z2 x2 y2
六、内容小结
1. 隐函数求导法则 2. 参数方程求导法 直接对方程两边求导 参数方程求导公式： 1阶，2阶
3. 极坐标方程求导 转化 参数方程求导
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式（必要时画图）
dy dx
x 0
dy x y dy y x e e 0 dx dx
ex y x ey
x 0 y 0
1.
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例2： 设 x 4 xy y 4 1 , 求 y 在点 (0,1) 处的值 . 解： 方程两边对 x 求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
隐函数的显化
问题 : 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 例: y x sin y 0 (0 1) 下面的问题是：对于给定的方程 F ( x , y ) 0 （1）在什么条件下此方程可以确定一个隐函数 y y( x ) （2）在（1）成立的条件下，如何求 y
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由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) ， dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy 即 dt dx dx dt
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x (t ) 若函数 二阶可导 , 且 ( t ) 0 , 则 y (t )
t t0
y
v0
vy
v vx
v0 sin gt0 . v0 cos
o
x
( 2) 炮弹在 t0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
dx vx dt dy vy dt
t t0
(v0 t cos ) t t0 v0 cos 1 2 (v0 t sin gt ) t t0 v0 sin gt0 2
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四、相关变化率
设 x x ( t )及 y y( t )都是可导函数, 而变量 x与 dx y之间存在某种关系 , 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 .
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
隐函数求导法则: 利用复合函数的求导法则，
直接对方程两边求导.
例1：求由方程 xy e x e y 0 所确定的
dy dy 隐函数 y 的导数 , dx dx
解：方程两边对 x 求导得 解得

x 0
.
dy e x y 由原方程知 x 0 , y 0 , y , dx x e
利用参数方程的求导法求。
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例6：求螺线
在
的点处的切线方程.
x r cos 解: 化为参数方程 y r sin
dy dy sin cos d d x dx cos sin d
当 时对应点 M ( 0 , ) , 2 2 2 dy 斜率 k dx 2 2 ∴ 切线方程为 y x 2

x
d dx . 已知 100 米 分 , x 500 米 , 求 dt dt
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例8：有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ， 今以 25 cm 3 s 自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 1 1 R R 2 h r 2 ( h x ) 2 [ h3 ( h x )3 ] 3 3 3h 两边对 t 求导 r hx dV R 2 d x d V R s) h 2 ( h x ) 2 , 25 (cm 3 而 hx h dt dt dt r R 2 h 25h d x 100 故 2 2 , 2 (cm s ) R (h x ) dt R
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r
例 9：假设有两辆汽车 A 和 B，汽车 A 以每小时 55 公里的速度在一条路上径直向北远离你家 H 的方向 行驶，汽车 B 以每小时 45 公里的速度在另一条路上 径直向西朝向你家的方向行驶。 当 A 到达你家 H 北面 21 公里，而 B 到达你家东面 28 公里时，两辆汽车间 的距离的变化率是多少？
1 y ; 代入 x 0, y 1 得 x 0 4 y 1
(1)
将方程 (1) 两边再对 x 求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y)2 4 y 3 y 0
代入 x 0 , y 1 , y x 0
y 1
1 1 得 y x 0 . 4 16 y 1
t t0

在 t0 时刻炮弹的速度为
2 2 2 2 v vx v2 v 2 v gt sin g t0 y 0 0
结束
三、由极坐标确定的函数的导数
问题：若曲线方程为极坐标方 程 ( ) 时，
dy 如何求 ? dx
x ( ) cos 方法：化成参数方程： y ( ) sin
解： (1) 在 t0 时刻的运动方向，
即轨迹在 t0 时刻的切线 方向, 可由切线的斜率 来反映 .
o
y
v0
vy
v vx
x
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1 2 dy (v0 t sin 2 gt ) v sin gt 0 dx (v0 t cos ) v0 cos
dy dx
d 2 y d dy d ( t ) d ( t ) dt ( ) ( ) ( ) 2 dx dx dx dx ( t ) dt ( t ) dx
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 ( t ) (t )
1 y x 2
问题: 如果消参困难或无法消参如何求导?
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x (t ) 在方程 中, y (t )
设函数 x (t ) 具有单调连续的反函数t 1 ( x ) , y [ 1 ( x )]
再设函数 x ( t ) , y ( t ) 都可导 , 且 ( t ) 0 ,
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例5：不计空气的阻力, 以初速度 v0 , 发射角 发射
x v0 t cos , 炮弹 , 其运动方程为 1 2 求 y v0 t sin gt , 2 (1) 炮弹在时刻 t0 的运动方向; ( 2) 炮弹在时刻 t0 的速度大小 .
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求解相关变化率问题的一般步骤 （1）读题。识别出所有的量，并注意哪一个量是你 需要对其求变化率的。必要时请画图。 （2）列方程。求出一个关联所有量的方程（可能会 有不止一个方程），如果你有不止一个方程，试着联 立它们并消去不必要的量。 （3）求导。对剩余的方程两边关于时间 t 求导，得 到一个或多个关联相关变化率的方程。 （4）求解。将你知道的所有值代入方程，求出你所 需要的变化率。
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思考题: 当气球升至 500 米 时停住 , 有一观测者以
100 米／分 的速率向气球出发点走来, 当距离为 500 米
时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
d 500 d x sec 2 dt x dt
2
500
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结束
例7： 一汽球从离开观察员 500 米处离地面铅直上
升 , 其速率为 140米 / 分 . 当气球高度为 500 米时, 观 察员视线的仰角增加 率是多少 ? 解：设气球上升 t 分后 , 其高度为 h , 观察员视线 的仰角为 , 则 h米 h 2 2 sec 1 tan tan 500 d 1 dh 2 500米 上式两边对 t 求导得 sec dt 500 dt dh 140米 / 分, 当 h 500米 时, sec2 2 dt d 0.14 (弧度 / 分 ) 仰角增加率 dt
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例4 ：设
解： t 0 x 0, y 1, 方程组两边对 t 求导, 得
,求
dy dx
t 0
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t 0 x 0，y 1。
方程组两边同时对 t 求导, 得
2
2 2 d2y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 2 e 3e 2 e 2 e 6 2 3 3 dx t 0 (t ) 4 2 t 0
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二、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y 与 x 间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确 定的函数 .
例如
x 2t , 2 y t ,
2
x t 2
2
消去参数 t
x 2 x yt ( ) 2 4