人教版八年级数学下册18.2 特殊的平行四边形练习

18.2《特殊的平行四边形》测试卷、练习卷(带答案解析）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接这个四边形各边中点所得四边形是()A. 平行四边形B. 正方形C. 矩形D. 菱形2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分3.平行四边形两邻边之比为3:4，两条对角线长都是10，则这个平行四边形的周长是()．A. 14B. 20C. 28D. 无法确定4.如图，P为矩形ABCD外一点，S△PCD=5，S△PBC=8，则△PAC的面积是()．A. 3B. 4C. 1.5D. 2.55.顺次连结矩形各边的中点，所得四边形是()．A. 筝形B. 矩形C. 菱形D. 正方形6.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为()A. (√3,1)B. (2,1)C. (1,√3)D. (2,√3)7.如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(−1,1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为()A. (3,1)B. (−1,1)C. (3,5)D. (−1,5)8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是()A. BE=AFB. ∠DAF=∠BECC. ∠AFB+∠BEC=90∘D. AG⊥BE9.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45∘，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD交于点F，则B′F的长度为()A. 1B. √2C. 2−√2D. 2√2−210.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，EF=2，设AE=x.当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是()①当x=0(即E、A两点重合)时，P点有6个②当0<x<4√2−2时，P点最多有9个③当P点有8个时，x=2√2−2④当△PEF是等边三角形时，P点有4个A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.如图，在菱形ABCD中，∠B=50∘，点E在CD上，若AE=AC，则∠BAE=°.12.如下图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50∘，则∠BEF的度数为．13.如下图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，⋯⋯，依次类推，则平行四边形AO2019C2020B的面积为．14.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC的度数为°.三、解答题（本大题共7小题，共58.0分）15.已知：四边形ABCD中，AB=CD，∠A+∠D=180°，AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形。

人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷一．选择题（共10小题）1．下列性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．4个内角相等D．一条对角线平分一组对角2．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（）A．B．BD＝CD C．D．4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD6．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．157．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．49．已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BDA．选①②B．选①③C．选②③D．选②④10．如图，在正方形ABCD内，以BC为边作等边三角形BCM，连接AM并延长交CD于N，则下列结论不正确的是（）A．∠DAN＝15°B．∠CMN＝45°C．AM＝MN D．MN＝NC二．填空题（共8小题）11．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是．12．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．13．矩形ABCD中，要使矩形ABCD成为正方形还需满足的条件是（横线只需填一个你认为合适的条件即可）14．如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，则AC的长为cm．15．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若BD＝8，则MN的长为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，D是AB的中点，则∠DCB＝度．17．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是（1，5），（4，1），点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为．18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN 的长为．三．解答题（共8小题）19．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE ∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．21．如图．在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、DB、BF．（1）求证：DE＝BF；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．22．已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证四边形ACED是正方形．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．24．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．26．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，故选项A、B不合题意；∵矩形的四个角都是直角，故选项C不合题意；∵矩形的一条对角线不一定平分一组对角；故D符合题意；故选：D．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，∵∠D＝130°，∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，∴∠1＝∠DAB＝25°．故选：B．3．【解答】解：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD＝CD＝BC，故选项A、B、D不符合题意．若∠BAC＝90°时，AD＝BC才成立，否则不成立．故选项C符合题意．故选：C．4．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．7．【解答】解：∵BE＝DB，∴∠BDE＝∠E，∵∠DBA＝∠BDE+∠BED＝45°∴∠BDE＝×45°＝22.5°．故选：A．8．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．9．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．10．【解答】解：作MG⊥BC于G．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝∠DAB＝°∠DCB＝90°∵△MBC是等边三角形，∴MB＝MC＝BC，∠MBC＝∠BMC＝60°，∵MG⊥BC，∴BG＝GC，∵AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∴∠ABM＝30°，∵BA＝BM，∴∠MAB＝∠BMA＝75°，∴∠DAN＝90°﹣75°＝15°，∠CMN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，故A，B，C正确，故选：D．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．故答案为：三个角是直角的四边形为矩形12．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图，∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；故答案为：菱形．13．【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．14．【解答】解：∵菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，∴×4×AC＝6，解得：AC＝3，故答案为：3．15．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，BD＝8∴BD＝2BO，即2BO＝8．∴BO＝4．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝2．故答案是：2．16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝28°，∴∠DCB＝90°﹣28°＝62°，故答案为：62．17．【解答】解：如图，当AB为对角线时，观察图象可知D（5，3）．当AB为矩形的边时，观察图象可知D2（﹣3，2），∴直线AD2的解析式为y＝x+，∴C1（0，），∵AC1＝BD1，∴D1（3，），综上所述，满足条件的点D的坐标为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．故答案为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．18．【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6，∴GF＝GB＝6，BC＝9，∴GC＝GB+BC＝6+9＝15，∴CF＝＝＝3．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．【解答】证明；∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．20．【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝BE，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF；（2）证明：由（1）得，四边形DEBF是平行四边形，∴DC＝AB，CD∥AB，∴DF∥EB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠ADB＝90°，∴DE＝AB，∴DE＝EB，∴四边形DEBF是菱形．22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．∵O是CD的中点，∴OC＝OD，在△AOD和△EOC中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE．又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠COE＝∠BAE＝90°．∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD．∴菱形ACED是正方形．23．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．25．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．。

人教版八年级数学18.1 平行四边形一、选择题1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()A. OE＝12DC B. OA＝OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE2. 如图，在平行四边形ABCD中，5AD=，3AB=，AE平分BAD∠交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4如图DCEBA3. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°4. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．215. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A . 10B . 14C . 20D . 226. 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）种A ．3B ．4C ．5D ．67. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．158. 如图，D 是△ABC内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为A ．12B ．14C ．24D ．219.已知四边形的四条边长分别a b c d ，，，其a b ，对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形10.（2020·P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S，PBC∆的面积为2S，则（）A.122SS S+> B.122SS S+<C.212SS S+= D.21S S+的大小与P点位置有关二、填空题11. 如图，在平行四边ABCD中，120A∠=︒，则D∠=︒．EAB C图图1DCBA如图，在平行四边形ABCD中，DB DC=，65A∠=︒，CE BD⊥于E，则BCE∠=︒．EEAB C图AB CD图2D13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．14. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．OE DCBA15. 如图，已知等边三角形的边长为10，P是ABC∆内一点，PD AC∥，PE AB PF BC∥，∥，点D E F，，分别在AB BC AC，，上，则PD PE PF++=P FEDCBA16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．三、解答题17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.18. （2020·淮安）如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF 相交于点O，且AO=CO．（1）求证∶△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．19. 如图，在等腰ABC∆中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD BC CE DE ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCB A20. 如图，在ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC KHF FABCD EPPE D C BA21. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，求证222222AC BD AB BC CD DA +=+++．DCBA人教版 八年级数学 18.1 平行四边形 培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】A 、B 、C 均正确，因为OB 不一定等于OC ，所以∠OBE 不一定等于∠OCE .2. 【答案】B3. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°， 又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6， 由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°， ∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为6×3=18， 故选C ．5. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .由AC ＋BD ＝16可得OA ＋OB ＝8，又∵AB ＝CD ＝6，∴△ABO 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝8＋6＝14.6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3， ∴BC=2222=43BD CD ++=5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点， ∴EH=FG=12BC ，EF=GH=12AD ， ∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ， 又∵AD=7，∴四边形EFGH 的周长=7+5=12．故选A ．9. 【答案】B10. 【答案】C然后使分割后的图形与PAD∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.11. 【答案】60︒12. 【答案】25︒【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒．13. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．14. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE，OE．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋8ABCD 的周长＝16．故答案为16．15.16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠F AE=∠CDE ， ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△F AE ≌△CDE ，∴CD=F A ， 又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由:∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD=2CD ， ∵AD=BC ，∴BC=2CD.18. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ， 中∴△AOF和△COE（ASA）．（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．19.20. 【答案】分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。

第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形1．矩形的定义：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形．（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．2．矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________； ②矩形的对角相等且四个角都是__________； ③矩形的对角线__________；④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．3．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于__________．【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．4．矩形的判定：（1）有一个角是直角的__________是矩形； （2）有三个角是__________的四边形是矩形； （3）对角线__________的四边形是矩形． 【注意】（1）判定矩形的常见思路有三个角是直角→矩形四边形对角线相等→矩形平行四边形有一个角是直角→矩形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．5．菱形的定义：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________．菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．6．菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形的四条边都__________．学-科网（3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角．（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．（5）菱形的面积等于__________乘积的一半．7．菱形的判定：（1）一组邻边__________的平行四边形是菱形．（2）对角线__________的平行四边形是菱形．（3）四条边__________的四边形是菱形．（4）对角线__________的四边形是菱形．【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．8．正方形的定义：（1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形．（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．9．正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是__________，四条边都__________；②正方形的两条对角线__________并且互相__________，每条对角线__________一组对角．（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．10．正方形的判定：（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的__________是正方形； （3）有一个角是直角的__________是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．一、矩形的性质1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角．2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．【例1】如图，在矩形ABCD 中，1205BOC AB ︒∠==，，则BD 的长为A ．5B ．10C ．12D ．13二、矩形的判定1．定义法；2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的三角形是矩形．【例2】下列说法正确的是A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C ．对角线互相平分的四边形是矩形D ．对角互补的平行四边形是矩形三、直角三角形斜边中线的性质1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等； 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质． 【例3】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为 A ．52B ．6C ．13D ．132四、矩形中的折叠问题矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解．【例4】如图，长方形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为A ．1B ．32C ．43D ．2五、菱形的性质及应用1．菱形具有平行四边形的一切性质．2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【例5】在菱形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且AM =AN =MN =AB ，则∠C 的度数为A ．120°B ．100°C ．80°D ．60°六、菱形的面积菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．【例6】已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是 A ．212cm B ．224cmC ．248cmD ．296cm七、菱形的判定菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的． 【例7】如图，在四边形ABCD 中，AB =AD,CB =CD,E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ． （1）求证：∠BAC =∠DAC ，∠AFD =∠CFE ； （2）若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．八、正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．【例8】如图，正方形ABCD满足∠AEB=90°，AE=12，BE=16，则阴影部分的面积是A．400 B．192C．208 D．304九、正方形的判定1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；3．对角线互相垂直的矩形是正方形；4．对角线相等的菱形是正方形．【例9】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC垂直平分线分别交BC，AB于D、E，过C作CF∥AB，交BC的垂直平分线于F，连接BF．（1）判定四边形BECF的形状，并证明；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BECF是正方形？证明你的结论．1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是 A ．对角线互相平分的四边形 B ．对角线互相垂直且平分的四边形 C ．对角线相等的四边形D ．对角线相等且互相垂直的四边形2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是 A ．6B ．8C ．12D ．243．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是 A ．对角线相等，对边平行且相等 B ．一组对边平行，一组对角相等C ．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D ．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB =30°，AB =4，则OC =A ．5B ．4C ．3.5D ．35．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC 的度数是A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm ，8 cm ，则下列结论不正确的是 A ．斜边长为10 cmB ．周长为25 cmC ．面积为24 cm 2D ．斜边上的中线长为5 cm7．在四边形ABCD 中，对角线，AC BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD ⊥C ．AB CD =D ．AB CD ∥8．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为A．158B．154C．152D．159．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm10．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是A．30 B．24 C．18 D．611．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于A．60°B．55°C．45°D．30°12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．18．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG ⊥DE．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：（2）当∠BCD=________°时，△BED是等边三角形．22．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形． （2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =7，DF 平分∠ADC ，AF ⊥EF ．（1）求证：AF =EF ； （2）求EF 长．24．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点． （1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．25．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°26．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB =8，AC =6，则△DEF 的周长为A ．12B ．13C ．14D ．1527．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO =20°，则∠CAD 的度数是A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°28．如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．则下列结论错误的是A ．AD 平分∠MANB ．AD 垂直平分BC C ．∠MBD =∠NCD D ．四边形ACDB 一定是菱形29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是A．3 B．4 C．5 D．630．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为A．2B．22C．2+1 D．22+131．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是____________．34．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．36．（2018·浙江台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形37．（2018·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°40．（2018·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．1441．（2018·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·广西贵港）如图，在菱形ABCD 中，AC =62，BD =6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB 上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是A ．6B ．33C ．26D ．4.543．（2018·湖南湘潭）如图，已知点E 、F 、G ．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形44．（2018·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．45．（2018·四川甘孜州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，， OE AD ⊥于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为__________．46．（2018·辽宁锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为__________．47．（2018·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．48．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．49．（2018·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．51．（2018·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．。

人教版八年级数学下册特殊的平行四边形同步练习（解析版）同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直选D2．如图，矩形ABCD的对角线AC﹨BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD ﹣DF解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．6．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．8．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+1解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E﹨F分别是BC﹨CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．10．如图是由三个边长分别为6﹨9﹨x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．二．填空题（共5小题）11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30．解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．故答案为：30．12．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，∵P2是AD的中点，∴BP2==，易证得BP1=BP2，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．13．有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20．解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．14．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC 的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…﹨则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是（21008，0）．解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2016÷8=252∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2016的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．17．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC﹨AD分别相交于P﹨Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP﹨△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．18．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE﹨CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠D，∴∠A=∠D=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，即DF=．20．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE﹨EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：成立．（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．。

第1页 共10页特殊的平行四边形练习一、选择题1. 已知四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AD //BC ，下列判断中错误．．的是( ) A. 如果AB =CD ，AC ＝BD ，那么四边形ABCD 是矩形B. 如果AB //CD ，AC ＝BD ，那么四边形ABCD 是矩形C. 如果AD =BC ，AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是菱形D. 如果OA =OC ，AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是菱形2. 下列命题中是真命题的是( )A. 同位角相等B. 对角线相等的四边形是平行四边形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 矩形的对角线一定互相垂直3. 如图，广场中心的菱形花坛ABCD 的周长是40米，∠A =60°，则A ，C 两点之间的距离为( )A. 5米B. 5√3米C. 10米D. 10√3米4. 如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC =8，BD =6，则菱形ABCD 的周长是( )A. 32B. 24C. 40D. 205. 如果点E ，F ，G ，H 分别是菱形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，那么四边形EFGH 是( ).A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 以上都不是 6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的特殊性质是( )A. 对边相等B. 对角线互相平分C. 对角线相等D. 对角相等7. 如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为( )A. ﹣4+4√2B. 4√2+4C. 8﹣4√2D. √2+18.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=√3,AC=2,BD=4,则AE 的长为()A. √32B. 32C. √217D. 2√2179. 已知四边形ABCD和对角线AC,BD，顺次连接各边中点得四边形MNPQ，给出以下4个命题：①若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；②若所得四边形MNPQ为菱形，则AC= BD；③若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90∘；④若所得四边形MNPQ为菱形，则AB =AD.以上命题中，正确的是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ①②③④10.如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A的坐标为(-4,0),顶点B在第二象限,∠BAO=60°,BC交y轴于点D,BD∶DC=3∶1,若函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点C,则k的值为()A. √33B. √32C. 2√33D. √3二、填空题11. 把20 cm长的铁丝剪成两段后，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值是________.12. 如图，在△ABC中，AB =AC，将△ABC绕点C旋转180°，得到△FEC，连接AE,BF，当∠ACB=__________时，四边形ABFE是矩形.13. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，△AEF是等边三角形，如果AB=1，那么CE的长是________.三、解答题14.如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O ,O是AC的中点,AD∥BC,AC=8,BD=6.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若AC⊥BD,求▱ABCD的面积.15. 如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别在边CD，AB上.(1)若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长.第3页共10页16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=1AC，连接2CE，OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE=CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长.17.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.18. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120∘，AB=4 cm，求矩形对角线AC的长.19. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE于F，求证：AF=CD.20. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F.求证：四边形AEDF是菱形.21. 如图，在四边形ABCD中，BE= DF，AC和EF互相平分于点O，∠B=90∘.求证：四边形ABCD是矩形.第5页共10页参考答案1. 【答案】A【解析】A:由AD//BC，AB=CD不能判定四边形是平行四边形，组成的四边形可能是等腰梯形，故A错；B:由AD//BC，AB//CD得四边形ABCD是平行四边形，由AC＝BD得对角线相等的平行四边形是矩形，B正确；C:由AD//BC，AB//CD得四边形ABCD是平行四边形，由AC⊥BD得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；D:由AD//BC得∠ADO=∠CBO，又AC⊥BD，得∠AOD=∠COB，OA=OC，∴△AOD≌△COB，∴AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，得对角线互相垂直的平行四边形是菱形.故选A.2. 【答案】C【解析】如图1，∠1与∠2是同位角，但不相等，故A错误；如图2，AC=BD，但四边形ABCD不是平行四边形，故B错误；四条边相等的四边形是菱形，正确，故C正确；如图4，矩形的对角线不一定垂直，故D错误.故选C.3. 【答案】D【解析】设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=40÷4=10米，∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=10米，OD=OB=5米，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA=5√3米，∴AC=2OA=10√3米.故选D.4. 【答案】D【解析】已知菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=8，BD=6，由菱形对角线互相垂直平分，可得BO=OD=3，AO=OC=4，在△AOB中，根据勾股定理可得AB=5，菱形的四条边都相等，周长为20，故选D.第7页 共10页5. 【答案】B 【解析】如图，连接AC ,BD ,∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD .而点E ，F ，G ，H 分别是菱形ABCD 四边的中点， ∴EF ∥AC ，EF =12AC ,GH ∥AC ，GH =12AC ，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 为平行四边形,∵EF ∥AC ，FG ∥BD ，AC ⊥BD ，∴∠EFG =90°，∴四边形EFGH 为矩形， 故选B.6. 【答案】C 【解析】直接利用矩形的性质判断即可.7. 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D =90°，∠ACD =45°，AD =CD =2，则S △ACD =12AD ⋅CD =12×2×2=2，AC =√2AD =2√2，则EC =2√2−2， ∵△MEC 是等腰直角三角形，∴S △MEC =12ME ⋅EC =12(2√2−2)2=6﹣4√2， ∴阴影部分的面积=S △ACD ﹣S △MEC =2﹣(6﹣4√2)=4√2−4.故选A.8. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形,∴OA =12AC =1,OB =12BD =2.在△AOB中,OA 2+AB 2=1+3=4=OB 2,∴∠OAB =90°,∴BC =√AB 2+AC 2=√(√3)2+22=√7. ∵AE ⊥BC ,∠OAB =90°,∴AB ·AC =BC ·AE ,∴AE =AB·ACBC=√3√7=2√217,故选D .9. 【答案】A 【解析】如图1，在矩形MNPQ 中，M ,N ,P ,Q 分别是各边的中点，∴∠QPN =90∘，PQ //AC //MN ，PN //BD //QM ，∴AC ⊥ BD ，但∠BAD ≠90∘，①正确，③不正确；如图2，∵四边形MNPQ 为菱形，M ,N ,P ,Q 分别是各边的中点，∴MQ =PQ =PN =MN ，∴AC =BD ，但AB ≠AD ，②正确，④不正确，故选A.10. 【答案】D【解析】因为BD︰DC=3︰1,OA=4,所以点C的横坐标为1,因为∠DCO=∠BAO=60°,∠ODC=90°,DC=1,所以点C的纵坐标为√3所以C(1,√3因为函数y=kx的图象经过点C,所以k=xy=√3,故选D.11. 【答案】252cm2【解析】铁丝剪成两段后，分别围成正方形，∴两个正方形边长之和为5.设其中一个正方形的边长为x cm，0<x<5,则另一个正方形的边长为(5-x)cm，则两个正方形的面积和为x2+(5−x)2=2(x−52)2+252，当x=52时，面积有最小值252cm2.12. 【答案】60∘【解析】∵AC=CF，BC=CE，∴四边形ABFE是平行四边形，要使▱ABFE是矩形，只需AF=BE，即AC=BC，∴AC=BC=AB，因此△ABC是正三角形，∴∠ACB=60∘，故应填60°.13. 【答案】√3−1【解析】在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°,△AEF是等边三角形，∴AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF,∴CE=CF，设CE=CF=x，则BE=1-x,EF=AE=√2x,在Rt△ABE中，由AB²+BE²=AE²得1²+(1-x) ²=(√2x)²，解得x₁=√3−1,x₂=−√3−1(舍去)，∴CE长是√3−1.14.(1) 【答案】∵O是AC的中点,∴OA=OC,∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO,在△AOD和△COB中,{∠ADO=∠CBO∠AOD=∠COBOA=OC,∴△AOD≌△COB(AAS),∴OD=OB,∴四边形ABCD是平行四边形.(2) 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形.∴S菱形ABCD =12AC·BD=12×8×6=24.15.(1) 【答案】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形.(2) 【答案】∵四边形AFCE是菱形，∴AE=CE，设DE=x，则AE=√62+x2，CE=8-x，则√62+x2=8−x，解得：x=74，则菱形AFCE的边长为8−74=25 4，∴菱形AFCE周长为4×254=25.16.(1) 【答案】在菱形ABCD中，OC=12AC，AC⊥BD，∴DE=OC. ∵DE∥AC，∴四边形OCED是矩形，∴OE=CD.(2) 【答案】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=2.∴在矩形OCED中，CE= OD=√AD2−AO2=√4−1=√3.在Rt△ACE中，AE=2+CE2=√3+4=√7.17.(1) 【答案】∵AD=2BC,E为AD的中点,∴DE=BC.∵AD∥BC,∴四边形BCDE为平行四边形.∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=DE,∴四边形BCDE为菱形.(2) 【答案】∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴AB=BC=1.∵AD=2BC=2,∴∠ADB=30°.∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=√AD2-CD2=√22-12=√3.18. 【答案】在四边形ABCD中，OA=OB，∵∠AOD=120∘，∴∠AOB=60∘，∴△AOB为等边三角第9页共10页形.∵AB =4 cm，∴AC=2OA =2AB=8 cm.19. 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ADE=∠DEC.∵AF⊥DE于F，∴∠AFD=∠C=90°.∵DE=DA，∴△ADF≌△DEC.∴AF=CD.20. 【答案】证明：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°在△AEO和△AFO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF，∴△AEO≌△AFO(ASA)，∴EO=FO.即EF,AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形.又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形.21. 【答案】连接AF，CE.∵AC和EF互相平分，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE =CF，AE // CF. 又∵BE=DF，∴AE+BE=CF+DF，即AB =CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠B=90∘，∴四边形ABCD是矩形.。

18.2特殊的平行四边形》同步提升训练（附答案）1．如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD 的面积为（）A．24B．24C．12D．124．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分5．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（）A．B．3C．D．7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（）①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形A．①②B．②C．②④D．③④8．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（）A．3B．C．2D．9．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.410．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE ＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（）①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC＝2AB；④∠AOE＝150°；⑤S△AOE＝S△COE．A．2 个B．3个C．4 个D．5个11．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为．12．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为．13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB ＝AE，则PE的长为．15．在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的度数是．16．如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，若CG＝7，则GH的长为．17．已知菱形ABCD的面积是96，对角线AC是12，那么菱形ABCD的周长是．18．如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE 上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为．19．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．20．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE 与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．21．如图，在菱形ABCD中，BC＝3，BD＝2，点O是BD的中点，延长BD到点E，使得DE＝BD，连接CE，点M是CE的中点，则OM＝．22．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形．（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：∠DAC＝∠DCA；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．25．如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．（1）如果AB＝AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；（2）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．27．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．28．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．参考答案1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，∴DE∥BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形，∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴▱BCED是矩形，故选：B．2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∴AF＝CF＝BC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∵AE平分∠BAC，AE＝CE，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，∴BC＝BE+CE＝6，∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．4．解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．故选：D．5．解：如图：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠HDO＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠GDO+∠ODC＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ODC+∠DCO＝90°，∴∠HDO＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝25°，∴∠DHO＝25°，故选：B．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠PEB＝90°．∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．∴四边形PQBE为矩形．∴PE＝BQ．∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，∴△P AQ为等腰三角形．∴PQ＝AQ．∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．故选：B．7．解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；故选：B．8．解：在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD＝，∴AB＝＝＝3，∵DH×AB＝AC×BD，∴DH＝＝2，∴BH＝＝＝2，故选：C．9．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．10．解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；∵AO＝CO，∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；故选：B．二．填空题（共11小题）11．解：当点P在AD上时，∵PD＝3AP，PD+AP＝8，∴AP＝2，当点P在AB上时，∵PD2＝AP2+AD2，∴9AP2＝AP2+64，∴AP＝2，综上所述：AP＝2或2，故答案为2或2．12．解：如图1，当点E在AD上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∵DE＝2，∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案为：5或1．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．14．解：当点P在AD边上时，∵PB＝AE，点E为边BC中点，∴点P为边AD中点，∴PE＝AB＝2；当点P在CD边上时，∵PB＝AE，点E为边BC中点，∴点P为边CD中点，∴PE＝＝＝．所以PE的长为：2或．故答案为：2或．15．解：如图，连接BN，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，∴AD＝AB，∠ABC＝72°，∠CAB＝54°，∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴AN＝NB，∴∠CAB＝∠ABN＝54°，∴∠CBN＝72°﹣54°＝18°，在△DCN和△BCN中，，∴△DCN≌△BCN（SAS），∴∠CDN＝∠CBN＝18°，故答案为：18°．16．解：如图，连接AG，GE，∵AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，∴AG＝GE，AH＝HE，AH⊥HE，设AD＝CD＝BC＝AB＝2a，∵点E是CD的中点，∴CE＝DE＝a，∵AG2＝AB2+BG2，GE2＝EC2+GC2，∴4a2+（2a﹣7）2＝a2+49，∴a1＝4，a2＝0（舍去），∴EC＝DC＝4，AD＝8，∴GE＝＝＝，AE＝＝＝4，∴HE＝2，∴GH＝＝＝3，故答案为：3．17．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD＝BD，AO＝OC＝AC＝6，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∴AC•BD＝96，∴BD＝16，∴BO＝8，∴AB＝＝＝10，∴菱形的周长＝4×10＝40．故答案为：40．18．解：连接CP，BD，交AC于M，∵四边形ABCD为正方形，BC＝2，∴BD⊥AC，垂足为M，BM＝MC＝BC＝，∵S△BCE＝CE•BM，S△PCE＝CE•PF，S△BCP＝BC•PG，S△BCE＝S△PCE+S△BCP，∴CE•BM＝CE•PF+BC•PG，∵BC＝CE，∴BM＝PF+PG，∴PG+PF＝．故答案为．19．解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，同理可得HE＝1，在Rt△GHE中，GH＝＝＝，故答案为：．20．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，∴CF＝4，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故答案为：．21．解：连接OC，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝3，BO＝OD＝1，∴CO⊥BD，∴OC＝，∵DE＝BD＝2，在Rt△EOC中，CE＝，∵点M是CE的中点，∴OM＝，故答案为：．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形．（2）解：由（1）得：▱ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，AO＝CO，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE，∵AE＝AF＝3，∴∠AFE＝∠AEF，又∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝5，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，∴AO＝AC＝4．23．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCA；（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OE＝OA＝2．24．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．25．解：（1）四边形ADCF为矩形，理由如下：∵AF＝DC，AF∥BC，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AF＝CD，又∵E为AD的中点，AF∥BD，∴AE＝DE，∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴BD＝AF，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AFCD为矩形；（2）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；理由：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，∴AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，∴平行四边形ADCF为矩形，∴矩形ADCF为正方形．26．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E作EH⊥AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝4，∴CH＝2，∴CE＝；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形27．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．28．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．。

章节测试题1.【题文】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的度数．【答案】见解析【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM=DM，DN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，等量代换得到∠ADM=∠CDN，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD与△CDE中，∵AD=CD，∠ADB=∠ADC，DB=DE，∴△ABD≌△CDE；（2）解：∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM=DM，DN=CN，∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，∴∠ADM=∠CDN，∵∠CDN+∠ADN=90°，∴∠ADM+∠ADN=90°，∴∠MDN=90°．2.【题文】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立，即EG=CG且EG⊥CG.【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;【解答】解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△D AG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。