高考数学大一轮复习第五章数列等差数列及其前n项和课时达标理含解析新人教A版

第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。

(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。

2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。

(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。

3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。

(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。

(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。

(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。

(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。

1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。

5-2 等差数列及其前n 项和课时规范练 A 组 基础对点练1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( A ) A ．5 B.7 C ．9D.112．(2018·合肥质量检测)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( C ) A ．112 B.51 C ．28D.18解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋7×7－12d ＝7×13－7×9＝28，故选C. 3．(2018·陕西省高三质量检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( D ) A ．27 B.36 C ．45D.54解析：因为在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，所以a 5＝6，则S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝54.故选D.4．(2018·西安地区八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( B ) A ．S 4<S 3 B.S 4＝S 3 C ．S 4>S 1D.S 4＝S 1解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.则S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.5．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( C ) A ．d <0 B.d >0 C ．a 1d <0D.a 1d >0解析：∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n ＋1－a n ＝d ， 又数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n ＝2a 1d <1， ∴a 1d <0.故选C.6．设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( C ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 解析：∵{a n }是等差数列， ∴a 2＝a 1＋a 32.A 项中只提供a 1＋a 2＞0，并不能判断a 2＋a 3＞0，即A 错误． 同理B 也是错误的．假设0＜a 1＜a 2，则a 1＞0，公差d ＞0， ∴a 3＞0， ∴a 1＋a 32＞a 1a 3，∴a 2＞a 1a 3. 即C 正确．D 项中无法判断公差d 的正负，故(a 2－a 1)(a 2－a 3)无法判断正负，即D 错误．故选C. 7．(2016·高考北京卷)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝__6__.8．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为__5__. 9．(2016·高考江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是__20__.解析：设等数差数{a n }的公差为d ， 则由a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋55－12d ＝10，解得d ＝3，a 1＝－4，所以a 9＝a 1＋8d ＝20.10．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝5a 4－10，则数列{a n }的公差为__2__. 解析：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝5a 4－10，∴5a 3＝5a 4－10，∴5(a 4－a 3)＝5d ＝10，解得d ＝2.11．(2016·高考全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4，所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (2)设b n ＝12S n －n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 7－S 3＋1＝0，又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 7＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋6d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1，∴a n ＝n ＋1，S n ＝n n ＋32.(2)∵b n ＝12S n －n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. B 组 能力提升练1．(2018·广州综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n ，若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( A )A ．4n ＋2 B.4n C ．2n ＋1D.2n解析：因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋12n ＋12＝2a n ＋1×2n ＋12＝4n ＋2.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( B ) A ．7 B.8 C ．9D.10解析：根据等差数列的性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30构成等差数列，所以(S 20－S 10)＋(S 30－S 20)＝S 10＋(S 40－S 30)，即S 30－S 10＝S 40－S 30＋S 10，所以S 40＝2S 30－2S 10＝8.故选B.3．(2018·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A ) A ．55 B.11 C ．50D.60解析：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，所以a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.法二 设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，解得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.4．设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( A ) A ．9 B.10 C ．11D.12解析：由题意可得{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，则{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，所以S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 62·11<0，故选A.5．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( B ) A ．10 B.20 C ．30D.40解析：∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列． ∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20x 1＋x 202，∴x 1＋x 20＝20，又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16， ∴x 5＋x 16＝20.故选B.6．(2018·贵阳适应试题)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱(“钱”是古代的一种重量单位)，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”在这个问题中，丙所得为( D ) A.76钱 B.56钱 C.23钱 D.1钱解析：法一 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，公差为d ，则由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，所以a 3＝a 1＋2d ＝1.故选D.法二 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，因为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，所以5a 3＝5，则a 3＝1，所以丙所得为1钱．故选D.7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝32，则a 2＋2a 5＋a 6＝__16__. 解析：∵S 8＝32， ∴8a 1＋a 82＝32，可得a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝8.则a 2＋2a 5＋a 6＝2(a 4＋a 5)＝2×8＝16.8．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是__121__. 解析：设数列{a n }的公差为d ， 由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n n －12×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝n ＋1022n －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122n －1＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12. 又⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n －12为单调递减数列，所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121. 9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__－49__. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，所以nS n ＝n 2a 1＋n 2n －12d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x＝203处取得极小值，又n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49. 10．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1， 因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.11．(2018·郑州质量预测)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n，求{b n }的前n 项和S n .解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，因为2a 1，a 3,3a 2成等差数列，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q . 所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12(舍去)，所以a n ＝8×2n －1＝2n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛ 1n－⎭⎪⎫1n ＋2， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.。

第五章 数列 第二节 等差数列及其前n 项和[A 组 基础对点练]1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.答案：A2．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32，∴公差d ＝a 4－a 22＝12，∴a 1＝a 2－d ＝0. 答案：B3．(2021·某某某某市高三摸底考试)等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＋a 11＝4，则S 13＝( )A ．13B ．26C ．39D ．52解析：由等差数列的性质可知，a 1＋a 13＝a 3＋a 11＝4， ∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝26.答案：B4．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3).若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( )A ．3，7，9，15，100B ．4，10，12，34，100C ．5，11，16，30，100D ．4，10，13，43，100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3，9，11，33，99，n 的所有可能取值为4，10，12，34，100.答案：B5．(2020·某某六校第一次联考)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8，则a 5＝( )A ．6B ．7C ．8D ．10解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ，a 1＋d ＋a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，故a 5＝a 1＋4d ＝－2＋12＝10.法二：因为S 5＝2S 4，所以a 5＝S 4＝12S 5.因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝8，所以S 5＝（a 1＋a 5）·52＝8×52＝20，所以a 5＝12S 5＝12×20＝10.答案：D6．(2020·某某百校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1≠0，S 2＝a 4，则a 5S 3＝( )A ．1B ．23C ．53D ．79解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2＝a 4，得2a 1＋d ＝a 1＋3d ，所以a 1＝2d ，所以a 5S 3＝a 1＋4d 3a 1＋3d ＝6d 9d ＝23. 答案：B7．(2020·某某八校联考)在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则15a 4＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：法一：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以15a 4＝1.法二：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以15a 4＝1.法三：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，所以4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以15a 4＝1.答案：C8．已知{a n }是等差数列，a 1＝9，S 5＝S 9，那么使其前n 项和S n 最大的n 是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：因为a 1＞0，S 5＝S 9，所以公差小于零，数列{a n }的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为x ＝7，故n ＝7时，S n 最大．答案：B9．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________． 解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：510．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：因为{a n }，{b n }为等差数列， 所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941.答案：194111．(2020·某某第一次模拟)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于________．解析：∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )， ∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x （4x ＋2）＝（3x ）2，2x ＞0，4x ＋2＞0，3x ＞0，解得x ＝4，∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.答案：312．(2021·某某六校第三次联考)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，求a 9－13a 11的值． 解析：依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得5a 8＝120，即a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝23×24＝16. [B 组 素养提升练]1．(2021·某某某某模拟)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50解析：由y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，可得a 50＋a 51＝－2.又由等差数列的性质得a 1＋a 100＝a 50＋a 51＝－2， 则{a n }的前100项的和为100（a 1＋a 100）2＝－100.答案：B2．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1.又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：103．已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *).(1)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n .解析：(1)证明：∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a n n＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a n n＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－13＋2n －15）2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴当n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . 当n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，公差为d (d ∈N *). (1)若a 5＝30，求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在d ，n 使S n ＝10成立？若存在，试找出所有满足条件的d ，n 的值，并求出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解析：(1)当a 5＝30时，由a 5＝a 1＋4d ， 得30＝－2＋4d ，解得d ＝8， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8n －10， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝8n －10. (2)由S n ＝10，得－2n ＋n （n －1）2d ＝10，即－4n ＋dn 2－dn ＝20， 所以dn 2－(d ＋4)n －20＝0. 当n ＝1时，得－24＝0不存在； 当n ＝2时，得d ＝14符合，此时数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝14n －16；当n ＝3时，得d ＝163不符合；当n ＝4时，得d ＝3符合，此时数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －5； 当n ＝5时，d ＝2符合，此时数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －4；当n ＝6时，得d ＝2215不符合；当n ＝7时，得d ＝87不符合；当n ＝8时，得d ＝1314不符合；当n ≥9时，d ＜1均不符合，所以存在3组满足题意，其解与相应的通项公式分别为d ＝14，n ＝2，a n ＝14n －16； d ＝3，n ＝4，a n ＝3n －5； d ＝2，n ＝5，a n ＝2n －4.。

第二讲 等差数列及其前n 项和知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的差等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__公差__，通常用字母__d __表示，定义的表达式为__a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)__.(2)等差中项如果a ，A ，b 成等差数列， 那么__A __叫做a 与b 的等差中项且__A ＝a ＋b2__.(3)通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n ＝__a 1＋(n －1)d __＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝__na 1＋n n －12d __＝__a 1＋a n n2__.知识点二 等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 1＋m 2＋…＋m k ＝n 1＋n 2＋…＋n k ，则am 1＋am 2＋…＋am k ＝an 1＋an 2＋…＋an k .特别地，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝__a p ＋a q __.(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为__kd __. (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(5)n 为奇数时，S n ＝na 中，S 奇＝__n ＋12__a 中，S 偶＝__n －12__a 中，∴S 奇－S 偶＝__a 中__.n 为偶数时，S 偶－S 奇＝nd2.(6)数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.归纳拓展1．等差数列前n 项和公式的推证方法__倒序相加法__. 2．d ＝a n －a m n －m.3．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d .若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.显然当d <0时，S n 有最大值，d >0时，S n 有最小值．4．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a －d ，a ，a ＋d ；四个数成等差数列时，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则数列{a 3n }也是等差数列．( √ ) (5)若{a n }，{b n }都是等差数列，则数列{pa n ＋qb n }也是等差数列．( √ ) [解析](1)同一个常数．(2)因为在等差数列{a n }中，当公差d >0时，该数列是递增数列，当公差d <0时，该数列是递减数列，当公差d ＝0时，该数列是常数数列，所以命题正确．(3)常数列的前n 项和公式为一次函数．(4)因为{a n }是等差数列，公差为d ，所以a 3(n ＋1)－a 3n ＝3d (与n 值无关的常数)，所以数列{a 3n }也是等差数列．(5)设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则pa n ＋1＋qb n ＋1－(pa n ＋qb n )＝p (a n ＋1－a n )＋q (b n ＋1－b n )＝pd 1＋qd 2(与n 值无关的常数)，即数列{pa n ＋qb n }．也是等差数列．题组二 走进教材2．(必修5P 38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为__487__ [解析]依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 3．(必修5P 46A 组T5改编)已知等差数列5,427，347，…，则前n 项和S n ＝__114(75n －5n 2)__.[解析]由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝114(75n －5n 2)．4．(必修5P 41T2改编)设a ≠b ，且数列a ，x 1，x 2，b 和a ，y 1，y 2，y 3，y 4，b 分别是等差数列，则y 4－y 3x 2－x 1＝( A )A ．35B ．45C ．34D ．53[解析]x 2－x 1＝13(b －a )，y 4－y 3＝15(b －a )，∴y4－y3x 2－x1＝15b－a13b－a＝35.故选A．题组三走向高考5．(2020·课标Ⅱ，14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝__25__.[解析]设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，因为a2＋a6＝2，所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝－20＋45＝25.6．(2020·新高考Ⅰ，14,5分)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为__3n2－2n__.[解析]∵数列{2n－1}的项为1,3,5,7,9,11,13，…，数列{3n－2}的项为1,4,7,10,13，…，∴数列{a n}是首项为1，公差为6的等差数列，∴a n＝1＋(n－1)×6＝6n－5，∴数列{a n}的前n项和S n＝1＋6n－5×n2＝3n2－2n.考点突破·互动探究考点一等差数列的基本运算——自主练透例1 (1)(2018·，9)设{a n}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{a n}的通项公式为__a n＝6n－3__；(2)(2019·全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3＝5，a7＝13，则S10＝__100__；(3)(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝__4__；(4)(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( A ) A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10 C ．S n＝2n 2－8n D ．Sn ＝12n 2－2n [解析](1)本题主要考查等差数列的通项公式．设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋5d ＝6＋5d ＝36，∴d ＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋6(n －1)＝6n －3.(2)解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 10＝10×1＋10×92×2＝100.解法二：由题意，得公差d ＝14(a 7－a 3)＝2，所以a 4＝a 3＋d ＝7，所以S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 4＋a 7)＝100.(3)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.(4)解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n n －12d ＝n 2－4n .故选A ．解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ；a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D ，选A ．名师点拨等差数列基本量的求法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．考点二 等差数列的判定与证明——师生共研例2(2021·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．[解析]∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n2a n －1－22a n －1＝2，∴数列{b n }是公差为2的等差数列，又b 1＝22a 1－1＝2，∴b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴2n ＝22a n －1，解得a n ＝n ＋12n.名师点拨等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法证明，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项a n ，a n ＋1，a n ＋2使得这三项不满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2即可．各项不同号的等差数列各项的绝对值不构成等差数列，但其前n 项和可用等差数列前n 项和公式分段求解，分段的关键是找出原等差数列中变号的项．〔变式训练1〕(2021·某某模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．[解析](1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知{1S n }是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n.由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n n －1，又因为a 1＝12，不适合上式．所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ＝1，－12n n －1n ≥2.考点三 等差数列性质的应用——多维探究 角度1 等差数列项的性质例3 (1)(2021·某某联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝6，则3a 2＋a 16的值为( D )A ．24B ．18C ．16D ．12(2)(2020·某某百校联盟联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25＝( D )A ．1452B ．145C ．1752D ．175(3)(2021·某某某某一中月考)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( A )A ．1B ．－1C ．2D ．12[分析]由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a 1与d 的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质a m ＋a n ＝a p ＋a q ⇔m ＋n ＝p ＋q 求解(注意项数不变，脚标和不变)．[解析](1)由题意知3a 2＋a 16＝2(a 3＋a 8)＝12.故选D ． (2)∵2a 11＝a 9＋a 13＝a 9＋7，∴a 13＝7， ∴S 25＝a 1＋a 25×252＝25a 13＝175.故选D ．(3)S 9S 5＝9a 1＋a 95a 1＋a 5＝9a 55a 3，∵a 5a 3＝59，∴S 9S 5＝1.故选A ． 另解：a 5a 3＝59⇒a 1＋4d a 1＋2d ＝59⇒2a 1＝－13d ，∴S 9S 5＝9a 1＋a 95a 1＋a 5＝92a 1＋8d 52a 1＋4d ＝9－5d 5－9d＝1.名师点拨(1)等差数列中最常用的性质：①d ＝a p －a q p －q，②am 1＋am 2＋…＋am k ＝an 1＋an 2＋…＋an k ⇔m 1＋m 2＋…＋m k ＝n 1＋n 2＋…＋n k .特别地若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又漂亮． 角度2 等差数列前n 项和性质例4 (1)(2021·某某双流中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( B )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 019，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 019＝( A )A ．－2 019B ．－2 018C ．－2 017D ．－2 016[分析]思路1：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意列方程组求得a 1、d ，进而可用等差数列前n 项和公式求S 40；思路2：设{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由题意列出方程组求得A 、B ，从而得S n ，进而得S 40；思路3：利用等差数列前n 项和性质S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，由前三项求得S 20，从而得此数列的公差，进而求得S 40－S 30，得S 40；思路4：利用⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，由S 1010、S 3030可求出公差，从而可得S 4040，进而求得S 40. [解析](1)解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝1，30a 1＋30×292d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1150，a 1＝7100，∴S 40＝7100×40＋40×392×1150＝8.故选B ．解法二：设等差数列前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧100A ＋10B ＝1，900A ＋30B ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1300，B ＝115.∴S n ＝n 2300＋n15，∴S 40＝8.故选B ．解法三：由等差数列的性质知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S20)，∴S 20＝S 10＋S 303＝1＋53＝83.∴d ＝(S 20－S 10)－S 10＝23，∴S 40－5＝1＋3×23＝3，∴S 40＝8.故选B ．解法四：由等差数列的性质知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，∴S 1010，S 2020，S 3030，S 4040，即110，S 2020，16，S 4040成等差数列，∴S 4040＝16＋16－1102＝15，∴S 40＝8.故选B ． (2)由题意知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0192 019＝S 11＋(2 019－1)×1＝－2 019＋2 018＝－1.所以S 2 019＝－2 019.故选A ．名师点拨比较本例的四种解法可知，解法2、解法4运算简便适用所有公差d ≠0的等差数列．务必熟记：①等差数列前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·某某师大附中模拟)在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( C )A ．21B ．48C ．66D ．132(2)(角度2)若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足A nB n ＝2n －13n ＋1，则a 3＋a 7＋a 11b5＋b 9的值为( C )A ．3944B ．58C ．1516D ．1322(3)(角度2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝__114__. [解析](1)由题意知2a 9＝a 12＋6，即a 12＋a 6＝a 12＋6，∴a 6＝6，∴S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6＝66.故选C ．(2)a 3＋a 7＋a 11b 5＋b 9＝3a 72b 7＝32×13a 1＋a 13213b 1＋b 132＝32×A 13B 13＝32×2×13－13×13＋1＝1516.故选C ． (3)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3.又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114.名师讲坛·素养提升与等差数列前n 项和S n 有关的最值问题例5 (1)(2021·某某市调研)设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9(2)(2021·某某某某一中月考)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( B )A ．11B ．19C ．20D ．21[分析](1)由S 5＝S 9可求得a 1与d 的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用S n >0⇔a 1＋a n >0求解．[解析](1)解法一：由S 5＝S 9得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0， 即a 7＋a 8＝0，∴2a 1＋13d ＝0，又a 1>0，∴d <0. ∴a 7>0，a 8<0，∴a 1>a 2>…>a 7>0>a 8>a 9>…， ∴S n 最大时，n ＝7，故选B ．解法二：S n 是关于n 的二次函数，S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，且d <0，(n ，S n )所在抛物线开口向下 ，又S 5＝S 9，∴抛物线对称轴为n ＝7.即n ＝7时，S n 最大，故选B ．解法三：由解法一知d ＝－213a 1，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－12d n ＝－a 113n 2＋1413a 1n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，∵a 1>0，∴－a 113<0，∴当n ＝7时，S n 最大．解法四：由解法一可知，d ＝－213a 1.∵a 1>0，∴d <0.令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得132≤n ≤152.∵n ∈N *，∴当n ＝7时，S n 最大．(2)∵S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B ．[引申]①本例(1)中若将“S 5＝S 9”改为“S 5＝S 10”，则当S n 取最大值时n ＝__7或8__； ②本例(1)中，使S n <0的n 的最小值为__15__； ③本例(2)中，使S n 取最大值时n ＝__10__.[解析]①若S 5＝S 10，则S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 的对称轴为n ＝7.5，但n ∈N *，故使S n 最大的n 的值为7或8.②由a 7＋a 8＝a 1＋a 14＝0知S 14＝0，又a 8<0，∴2a 8＝a 1＋a 15<0，即S 15<0，∴使S n <0的n 的最小值为15.名师点拨求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法：〔变式训练3〕(1)(2021·某某市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( C )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)(2019·)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝__0__，S n 的最小值为__－10__.[解析](1)∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11， ∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0， ∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…， ∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C ． (2)设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝－3，S 5＝－10，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋10d ＝－10， ∴可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝1，∴a 5＝a 1＋4d ＝0.∵S n ＝na 1＋n n －12d ＝12(n 2－9n )，∴当n ＝4或n ＝5时，S n 取得最小值，最小值为－10.。

第节等差数列及其前项和考试要求.理解等差数列的概念；.掌握等差数列的通项公式与前项和公式；.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；.体会等差数列与一次函数的关系.知识梳理.等差数列的概念()如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：＋－＝(∈*，为常数).()若，，成等差数列，则叫做，的等差中项，且＝..等差数列的通项公式与前项和公式()若等差数列{}的首项是，公差是，则其通项公式为＝＋(－).()前项和公式：＝＋＝..等差数列的性质()通项公式的推广：＝＋(－)(，∈*).()若{}为等差数列，且＋＝＋(，，，∈*)，则＋＝＋.()若{}是等差数列，公差为，则，＋，＋，…(，∈*)是公差为的等差数列.()若为等差数列{}的前项和，则数列，－，－，…也是等差数列.()若为等差数列{}的前项和，则数列也为等差数列.[微点提醒].已知数列{}的通项公式是＝＋(其中，为常数)，则数列{}一定是等差数列，且公差为. .在等差数列{}中，＞，＜，则存在最大值；若＜，＞，则存在最小值..等差数列{}的单调性：当＞时，{}是递增数列；当＜时，{}是递减数列；当＝时，{}是常数列..数列{}是等差数列⇔＝＋(，为常数).基础自测.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)()数列{}为等差数列的充要条件是对任意∈*，都有＋＝＋＋.( )()等差数列{}的单调性是由公差决定的.( )()数列{}为等差数列的充要条件是其通项公式为的一次函数.( )()等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数.( )解析()若公差＝，则通项公式不是的一次函数.()若公差＝，则前项和不是二次函数.答案()√()√()×()×.(必修改编)设数列{}是等差数列，其前项和为，若＝且＝，则等于( )解析由已知可得解得∴＝＋＝.答案.(必修改编)在等差数列{}中，若＋＋＋＋＝，则＋＝.解析由等差数列的性质，得＋＋＋＋＝＝，∴＝，∴＋＝＝.答案.(·全国Ⅰ卷)记为等差数列{}的前项和.若＝＋，＝，则＝( ).－ .－解析设等差数列{}的公差为，则(＋)＝＋＋＋，即＝－.又＝，∴＝－，∴＝＋＝＋×(－)＝－.答案.(·上海黄浦区模拟)已知等差数列{}中，＝，前项和＝－，则数列{}的公差为( ).－ .－.－ .－解析设等差数列{}的首项为，公差为，因为所以解得＝－.答案.(·苏北四市联考)在等差数列{}中，已知＋>，且<，则，，…，中最小的是.解析在等差数列{}中，∵＋>，<，∴＋＝＋>，＝＝<，∴<，>，∴，，…，中最小的是.答案考点一等差数列基本量的运算【例】 ()(一题多解)(·全国Ⅰ卷)记为等差数列{}的前项和.若＋＝，＝，则{}的公差为( )()(·潍坊检测)设等差数列{}的前项和为，＝，＝－，若＝，则＝( )解析()法一设等差数列{}的公差为，依题意得所以＝.法二等差数列{}中，＝＝，则＋＝＝＋，又＋＝，所以－＝＝－＝，则＝.()设等差数列{}的公差为，依题意得解得∴＝＋(－)＝－＝，∴＝.答案() ()规律方法.等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量，，，，，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题..数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练】 ()等差数列()，()，(＋)，…的第四项等于( )()(一题多解)设等差数列{}的前项和为，＝，＝，则＝.解析()∵()，()，(＋)成等差数列，∴()＋(＋)＝()，∴[(＋)]＝()，则(＋)＝，解之得＝，＝(舍去).∴等差数列的前三项为，，，∴公差＝－＝，∴数列的第四项为＋＝＝.()法一设数列{}的首项为，公差为，由＝，＝，可得解得所以＝＋＝.法二由{}为等差数列，故可设前项和＝＋，由＝，＝可得解得即＝－，则＝－＝.答案() ()考点二等差数列的判定与证明典例迁移【例】 (经典母题)若数列{}的前项和为，且满足＋－＝(≥)，＝.()求证：成等差数列；()求数列{}的通项公式.()证明当≥时，由＋－＝，得－－＝－－，所以－＝，又＝＝，故是首项为，公差为的等差数列.()解由()可得＝，∴＝.当≥时，＝－－＝－＝＝－.当＝时，＝不适合上式.故＝【迁移探究】本例条件不变，判断数列{}是否为等差数列，并说明理由. 解因为＝－－(≥)，＋－＝，所以－－＋－＝(≥).所以－＝(≥).所以是以为首项，为公差的等差数列.所以＝＋(－)×＝，故＝.所以当≥时，＝－－＝－＝，所以＋＝，又＋－＝－＝＝.所以当≥时，＋－的值不是一个与无关的常数，故数列{}不是一个等差数列.【迁移探究】本例中，若将条件变为＝，＋＝(＋)＋(＋)，试求数列{}的通项公式. 解由已知可得＝＋，即－＝，又＝，∴是以＝为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(－)·＝－，∴＝－.规律方法.证明数列是等差数列的主要方法：()定义法：对于≥的任意自然数，验证－－为同一常数.()等差中项法：验证－＝＋－(≥，∈*)都成立..判定一个数列是等差数列还常用到结论：()通项公式：＝＋(，为常数)⇔{}是等差数列.()前项和公式：＝＋(，为常数)⇔{}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 【训练】(·全国Ⅰ卷)记为等比数列{}的前项和.已知＝，＝－.()求{}的通项公式；()求，并判断＋，，＋是否成等差数列.解()设{}的公比为，由题设可得解得故{}的通项公式为＝(－).()由()可得＝＝－＋(－).由于＋＋＋＝－＋(－).＝＝，故＋，，＋成等差数列.考点三等差数列的性质及应用多维探究角度等差数列项的性质【例－】(·临沂一模)在等差数列{}中，＋＋＝，则＋的值为( )解析∵在等差数列{}中，＋＋＝，由等差数列的性质，＋＋＝＝，∴＝，∴＋＝＝.答案角度等差数列和的性质【例－】设等差数列{}的前项和为，若＝，＝，则＋＋等于( )解析由{}是等差数列，得，－，－为等差数列，即(－)＝＋(－)，得到－＝－＝，所以＋＋＝.答案规律方法.项的性质：在等差数列{}中，若＋＝＋(，，，∈*)，则＋＝＋. .和的性质：在等差数列{}中，为其前项和，则()＝(＋)＝…＝(＋＋)；()－＝(－).【训练】 ()已知是等差数列{}的前项和，若＝－，)－)＝，则＝.()(·荆州一模)在等差数列{}中，若＋＋＝，＝，则的值是( )()等差数列{}与{}的前项和分别为和，若＝，则等于( )解析()由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为，则)－)＝＝，∴＝.故)＝＋＝－＋＝，∴＝× ＝ .()由＋＋＝及等差数列的性质，∴＝，则＝.又＋＝，得＋＝×.∴＝－＝.()＝＝＝＝＝＝.答案() () ()考点四等差数列的前项和及其最值【例】(·衡水中学质检)已知数列{}的前项和为，≠，常数λ>，且λ＝＋对一切正整数都成立.()求数列{}的通项公式；()设>，λ＝，当为何值时，数列()))的前项和最大？解()令＝，得λ＝＝，(λ－)＝，因为≠，所以＝，当≥时，＝＋，－＝＋－，两式相减得－－＝(≥).所以＝－(≥)，从而数列{}为等比数列，＝·－＝.()当>，λ＝时，由()知，＝，则＝＝＝－＝－，所以数列{}是单调递减的等差数列，公差为－，所以>>…>＝＝ > ＝，当≥时，≤＝ < ＝，所以数列()))的前项和最大.规律方法求等差数列前项和的最值的常用方法：()函数法：利用等差数列前项和的函数表达式＝＋(≠)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.()利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求的最值.①当>，<时，满足的项数使得取得最大值为(当＋＝时，＋也为最大值)；②当<，>时，满足的项数使得取得最小值为(当＋＝时，＋也为最小值).【训练】 ()等差数列{}的公差≠，且，，成等比数列，若＝，为数列{}的前项和，则数列的前项和取最小值时的为( )或或()已知等差数列{}的首项＝，公差＝－，则前项和的最大值为.解析()由题意知由≠，解得＝－，＝，∴＝＝－＋－＝－，则－≥，得≥，∴数列的前项和取最小值时的为或.()因为等差数列{}的首项＝，公差＝－，＝＋＝－×＝－＋＝－＋，又因为∈*，所以＝或＝时，取得最大值，最大值为.答案() ()[思维升华].证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前项和＝＋及通项＝＋来判断一个数列是否为等差数列..等差数列基本量思想()在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于，的方程组进行求解.()若奇数个数成等差数列，可设中间三项为－，，＋.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为－，＋，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.()灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.[易错防范].用定义法证明等差数列应注意“从第项起”，如证明了＋－＝(≥)时，应注意验证－是否等于，若－≠，则数列{}不为等差数列..利用二次函数性质求等差数列前项和最值时，一定要注意自变量是正整数.基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.已知等差数列{}前项的和为，＝，则＝( )解析设等差数列{}的公差为，由已知，得所以所以＝＋＝－＋＝.答案.(·淄博调研)设是等差数列{}的前项和，若＝，则＝( ).－解析由于＝＝×＝.答案.(·中原名校联考)若数列{}满足－＝(∈*，为常数)，则称数列{}为调和数列，已知数列为调和数列，且＋＋…＋＝，则＋＝( )解析依题意，－＝＋－＝，∴{}是等差数列.又＋＋…＋＝＝.∴＋＝，从而＋＝＋＝.答案.(·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把斤绵分给个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多斤绵，那么第个儿子分到的绵是( )斤斤斤斤解析用，，…，表示个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列，，…，是公差为的等差数列，且这项的和为，∴＋×＝，解之得＝.∴＝＋×＝，即第个儿子分到的绵是斤.答案.已知等差数列{}的前项和为，＝，－＝－，则取最大值时的为( )或解析由{}为等差数列，得－＝－＝＝－，即＝－，由于＝，所以＝－＋，令＝－＋<，得>，所以取最大值时的为.答案二、填空题.已知等差数列{}的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为.解析设项数为，则由偶－奇＝得，－＝解得＝，故这个数列的项数为.答案.已知数列{}满足＝，－＋＝＋，则＝.解析将－＋＝＋两边同时除以＋，－＝.所以是以＝为首项，为公差的等差数列，所以＝＋×＝，即＝.答案.设是等差数列{}的前项和，＝，－＝，则＝.解析依题意，，－，－，…，－依次成等差数列，设该等差数列的公差为.又＝，－＝，因此－＝＝＋(－)＝＋，解得＝，因此＝＋＝×＋×＝.答案三、解答题.等差数列{}中，＋＝，＋＝.()求{}的通项公式；()设＝[]，求数列{}的前项和，其中[]表示不超过的最大整数，如[]＝，[]＝.解()设数列{}首项为，公差为，由题意得解得所以{}的通项公式为＝.()由()知，＝.当＝，，时，≤<，＝；当＝，时，≤<，＝；当＝，，时，≤<，＝；当＝，时，≤<，＝.所以数列{}的前项和为×＋×＋×＋×＝..已知等差数列的前三项依次为，，，前项和为，且＝.()求及的值；()设数列{}的通项公式＝，证明：数列{}是等差数列，并求其前项和.()解设该等差数列为{}，则＝，＝，＝，由已知有＋＝，得＝＝，公差＝－＝，所以＝＋·＝＋×＝＋，由＝，得＋－＝，解得＝或＝－(舍去)，故＝，＝.()证明由()得＝＝(＋)，则＝＝＋，故＋－＝(＋)－(＋)＝，即数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以＝＝.能力提升题组(建议用时：分钟).(·济宁模拟)设数列{}满足＝，＝，且＝(－)－＋(＋)＋(≥且∈*)，则＝( )解析令＝，则＝－＋＋(≥)，所以{}为等差数列，因为＝，＝，所以公差＝，则＝－，所以＝，则＝，所以＝.答案.(·青岛诊断)已知等差数列{}，{}的前项和分别为，(∈*)，若＝，则＝( )解析由题意不妨设＝(－)，＝(＋)，所以＝－＝×－×＝，＝－＝×(＋)－×(＋)＝－＝，所以＝＝.答案.设数列{}的通项公式为＝－(∈*)，则＋＋…＋＝.解析由＝－(∈*)知{}是以－为首项，为公差的等差数列，又由＝－≥得≥，∴≤时，≤，当>时，>，∴＋＋…＋＝－(＋＋＋)＋(＋＋…＋)＝＋＝.答案.(·长沙雅礼中学模拟)设为等差数列{}的前项和，已知＋＝，＝.()求{}的通项公式；()令＝，＝＋＋…＋，若－≤对一切∈*成立，求实数的最小值.解()∵等差数列{}中，＋＝，＝，∴解得∴＝＝＝，∴＝＋(－)＝＋(－)＝－.()∵＝＝＝，∴＝＝，∵随着的增大而增大，知{}单调递增.又>，∴<，∴≥，∴实数的最小值为.新高考创新预测.(多填题)设为等差数列{}的前项和，满足＝，－＝，则＝，公差＝.解析由{}为等差数列，得数列是首项为，公差为的等差数列，∵－＝，∴＝⇒＝，又＝⇒＋＝＋×⇒＝－.答案－。

■课时作业•巩固提升授课提示：对应学生用书第291页[A 组基础保分练]1. （2021-石家庄摸底）在等差数列｛。

〃｝中，若。

4 +。

5 +。

6 = 27,则。

1+。

9等于（） A. 9B. 27C. 18D. 54 答案：C2. 设&为等差数列修.｝的前〃项和，若3=%则孕=（）A. 12B. 15C. 20答案：cD. 25 3.已知等差数列｛。

〃｝的前n 项和为Sn ，A.|若S8=16, 06=1，则数列｛。

〃｝的公差为（） B. -| C.| 答案：DD. -|4.等差数列｛a,,｝的前〃项和为S,，且ai <0,若存在自然数m^3,使得a m =S m ,则当n>m 时，S,与a 〃的大小关系是（）A.B. Sn Cl/i C • S 〃> Cln D.大小不能确定解析：若czi<0,存在自然数m^3,使得s=S,，则d>0,若d<0,数列是递减数列，则 S m <a m ,不存在 s=S”,.由于刃<0, d>0,当 mN3 时，有 s=S“” 因此 a m >0, S m >0,又 S” Sm +“,"+i + * * * + a”，显然 S” >答案：C5. 设等差数列｛山｝的前n 项和为S®若S 6>Sy>S 5，则满足S…S…+i<0的正整数n 的值为（）13(ai + ai3) 12(<7i+ai2) ,~ 〜斗〜 第五章数列A. 10B. 11C. 12D. 13解析：由 $6>$7>$5,得 $7 = $6 + “7<$6, $7 = $5 + “6 + <?7>$5,所以 Cl7<0,缶 + 仞〉。

，所以 活页装订方便使用&3= —=13“7<0, S12= _=6(a6+a7)>0,所以S12&3<0,即满足S…S n+i<Q 的正整数”的值为12.答案:C6.(2020-高考北京卷)在等差数列｛。

高三数学一轮复习 5.2 等差数列及其前n 项和课时训练解析新人教A 版(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．若动点P 的横坐标x 、纵坐标y 使得lg y ，lg|x |，lg y －x2成等差数列，则点P 所表示的图形是( )解析：由题意可知2lg|x |＝lg y ＋lgy －x2，即x 2＝y (y －x2)，整理得2x 2＝y 2－xy ，化简可知(2x －y )(x ＋y )＝0，即2x －y ＝0或x ＋y ＝0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，y ＞0，y －x 2＞0，答案：C2．已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{a bn }是( ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8D ．等差数列且公差为9解析：依题意有a bn ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ＋a 1－2＝2b 1＋2(n －1)×3＋a 1－2＝6n ＋a 1＋2b 1－8，故ab n ＋1－a bn ＝6，即数列{a bn }是等差数列且公差为6.故选B.答案：B3．(2011·福州模拟)等差数列{a n }的前n 项为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( ) A ．64 B ．72 C ．54D ．以上都不对解析：由a 2＋a 6＋a 7＝3a 1＋12d ＝3a 5＝18，得a 5＝6. 所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝54.答案：C4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＞0，a 8＜0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7＜S 8 B ．S 15＜S 16 C ．S 13＞0D ．S 15＞0解析：因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{a n }是递减的，且S 7最大即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立．可见选项A 错误；易知a 16＜a 15＜0，S 16＝S 15＋a 16＜S 15，选项B 错误；S 15＝152(a 1＋a 15)＝15a 8＜0，选项D 错误；S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＞0.答案：C5．数列{a n }是等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：由题意可知，数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11a 10＜－1，所以a 10＞0，a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19.答案：C6．(2011·济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，{2，4}第一组，{6，8，10，12} 第二组，{14，16，18，20，22，24}第三组则2010位于第( )组． A ．30 B ．31 C ．32D ．33解析：因为第n 组有2n 个正偶数，故前n 组共有2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n 个正偶数.2010是第1005个正偶数．若n ＝31，则n 2＋n ＝992，而第32组中有偶数64个，992＋64＝1056，故2010在第32组．答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(2010·辽宁高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：由S 3＝3，S 6＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝3，6a 1＋15d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝15.答案：158．(2010·浙江高考)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1行 第2行 第3行 …1 2 3 …2 4 6 …3 6 9 …… … … …那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .答案：n 2＋n9．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．解析：在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2得，a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝2＋2n －2n －12＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n，即n ＝33时取等号，而n ∈N *， ∴等号取不到． ∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n ＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212， ∴a n n 的最小值是212. 答案：212三、解答题10．若数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1、a 2的值；(2)记b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，是否存在一个实数t ，使数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．解：(1)由a 3＝27,27＝2a 2＋23＋1得a 2＝9，由9＝2a 1＋22＋1，得a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列．则2b n ＝b n －1＋b n ＋1, 即2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，整理得4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，又4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋t ＋1＝4a n ＋t －1，∴t ＝1，故存在t ＝1，使得数列{b n }为等差数列．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大？并说明理由． 解：(1)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d ＞0，13a 1＋13×122d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＞0，a 1＋6d ＜0.又a 3＝a 1＋2d ＝12， ∴解得－247＜d ＜－3.(2)法一：S n ＝na 1＋n n －12d (n ＝1,2,3，…，12)． ∴S n ＝n (12－2d )＋n n －12d＝d2[n －(52－12d )]2－5d －2428d .∵－247＜d ＜－3，∴6＜52－12d ＜132.∴当n ＝6时，S n 有最大值，所以S n 的值最大为S 6. 法二：由题意及等差数列的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝12a 1＋a 122＝6a 6＋a 7＞0，S13＝13a 1＋a 132＝13a 7＜0.∴a 7＜0，a 6＞0.∴在数列{a n }中，前6项为正，第7项起，以后各项为负，故S 6最大．12．(2010·江苏高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n .已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n >cS k 都成立．求证：c 的最大值为92.解：(1)由题设知，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝2d a 1－3d 2＋2d 2n . 由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2d a 1＋d 2)＝a 1＋2d a 1＋3d 2，解得a 1＝d . 故当n ≥2时，a n ＝2nd 2－d 2.又a 1＝d 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2. (2)证明：由a 1＝d 及S n ＝a 1＋(n －1)d ，得d >0，S n ＝d 2n 2. 于是，对满足题设的m ，n ，k ，m ≠n ，有S m ＋S n ＝(m 2＋n 2)d 2>m ＋n22d 2＝92d 2k 2＝92S k .所以c 的最大值c max ≥92.另一方面，任取实数a >92.设k 为偶数，令m ＝32k ＋1，n ＝32k －1，则m ，n ，k 符合条件，且S m ＋S n ＝d 2(m 2＋n 2)＝d 2((32k ＋1)2＋(32k －1)2)＝12d 2(9k 2＋4)． 于是，只要9k 2＋4<2ak 2，即当k >22a －9时，就有 S m ＋S n <12d 2·2ak 2＝aS k .所以满足条件的c ≤92，从而c max ≤92.因此c 的最大值为92.。

课堂达标(二十七) 等差数列及其前n 项和[A 根底稳固练]1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，那么数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10， ∴a 3＝5.又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2. [答案] B2．(2022·宁夏银川市二模试卷)在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，那么数列{a n }的前5项的和为( )A ．15B ．20C ．25D ．15或25[解析] ∵在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝5a 1＋2d 2＝a 1＋d a 1＋5d，解得a 1＝－1，d ＝2， ∴数列{a n }的前5项的和为：S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×(－1)＋5×4＝15.应选：A. [答案] A3．(2022·山师大附中高三三模)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，那么S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36[解析] 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 11－q 51－q＝31，应选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2. 又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 21－q 51－q＝31，应选B.[答案] B4．(2022·浙江卷){a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，假设a 3，a 4，a 8成等比数列，那么( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0[解析] ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n n －12d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.[答案] B5．(2022·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设公差d ＞0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)＜0，那么( )A ．|a 7|＞|a 8|B ．|a 7|＜|a 8|C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0[解析] 根据题意，等差数列{a n }中， 有(S 8－S 5)(S 9－S 5)＜0，即(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)＜0， 又由{a n }为等差数列，那么有(a 6＋a 7＋a 8)＝3a 7，(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)＝2(a 7＋a 8)，(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)＜0⇔a 7×(a 7＋a 8)＜0，a 7与(a 7＋a 8)异号，又由公差d ＞0，必有a 7＜0，a 8＞0，且|a 7|＜|a 8|； 应选：B. [答案] B6．(2022·湖南省常德市一模)?张邱建算经?是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈那么绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？〞(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节。

第29讲 等差数列及其前n 项和课时达标　一、选择题1．(2019·湘潭三模)《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )A.尺B.尺471629C.尺D.尺8151631B 解析 设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋d ＝390，解得d ＝30×292.故该女子织布每天增加尺．故选B.162916292．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A ．8 B ．12C ．16D ．24C 解析 由已知得a 1＋4d ＝8,3a 1＋d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝16.3×22故选C.3．(2019·东北三省联考)现给出以下几个数列：①2,4,6，8，…，2(n －1)，2n ；②1,1,2,3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中一定是等差数列的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B 解析 ①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2得数列2,4,6，8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列，故等差数列的个数为2.4．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若＝，则＝( )S n T n 3n －22n ＋1a 7b7A. B.37273828C. D.39294030A 解析 ＝＝＝＝＝＝.a 7b 72a 72b 7a 1＋a 13b 1＋b 13132 a 1＋a 13 132b 1＋b 13 S 13T 133×13－22×13＋137275．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( )A ．6B ．7C ．10D ．9B 解析 由题意可得S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以2(a 7＋a 8)＝0，即a 7＋a 8＝0.又因为a 1>0，所以该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数．所以当S n 最大时，n ＝7.6．(2019·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9B 解析 因为a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设{a n }的前k 项和数值最大，则有Error! (k ∈N *)，所以Error!所以≤k ≤，因为k ∈N *，所以满足条件的n 的值为7.193223二、填空题7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝，S k ＝－12，则正整数k ＝32________.解析 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋＝－得S k ＋1＝＝32212 k ＋1 a 1＋a k ＋12＝－，解得k ＝13.k ＋1 (－3＋32)2212答案 138．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是________．解析 S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6.因为－3<3a 3<3,0<6a 6<18，两式相加即得－3<S 9<21.答案 (－3,21)9．(2019·西安一中月考)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有＝，则＋的值为________．S n T n 2n －34n －3a 9b 5＋b 7a 3b 8＋b 4解析 因为{a n }，{b n }为等差数列，所以＋＝＋＝＝.因为＝a 9b 5＋b 7a 3b 8＋b 4a 92b 6a 32b 6a 9＋a 32b 6a 6b 6S 11T11＝＝＝，所以＝.a 1＋a 11b 1＋b 112a 62b 62×11－34×11－31941a 6b 61941答案1941三、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2，从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n .所以S n ＝＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2n [1＋ 3－2n ]2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .S nn解析 (1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋·d ＝2k ＋×2＝k 2＋k .由S k ＝110得k 2k k －12k k －12＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝＝n (n ＋1)，则b n ＝＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)n 2＋2n2S nn＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝＝.n 2＋n ＋1 2n n ＋3212．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝1，S 13＝39.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在n (n ∈N *)，使得S n ＜a n ，若存在，求满足条件的的最大值；若不存在，Sn an 请说明理由．解析 (1)因为S 13＝＝13a 7＝39，所以a 7＝3，因为a 6＝1，所以公差d ＝a 7－13 a 1＋a 132a 6＝3－1＝2，所以a n ＝a 6＋(n －6)×d ＝2n －11.(2)由(1)得a 1＝－9，则S n ＝－9n ＋×2＝n 2－10n ，由S n －a n ＝n 2－12n ＋11＝n n －12(n －11)(n －1)＜0得1＜n ＜11，因为n ∈N *，所以n ＝2,3,4，…，10.因为当n ＝2,3,4，…，10时，S n ≤0，当n ＝2,3,4,5时，a n ＜0，当n ＝6,7,8,9,10时，a n ＞0，所以当n ＝2或3或4或5时，有最大值．因为当n ＝2,3,4,5时，＝，而|S n |随n 增大而增大，|a n |随nS n a n S n a n |S n ||a n |增大而减小，所以的最大值为＝25.S n a n S 5a513．[选做题](2019·银川一中月考)在等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N *)，有以下命题：①若S 3＝S 11，则必有S 14＝0；②若S 3＝S 11，则必有S 7是S n 中的最大项；③若S 7＞S 8，则必有S 8＞S 9；④若S 7＞S 8，则必有S 6＞S 9.其中正确命题的个数是( )A ．1 B ．2C ．3 D ．4D 解析对于①，若S 11－S 3＝4(a 1＋a 14)＝0，即a 1＋a 14＝0，则S 14＝＝14 a 1＋a 14 20，所以①正确；对于②，当S 3＝S 11时，易知a 7＋a 8＝0，又a 1＞0，d ≠0，所以a 7＞0＞a 8，故S 7是S n 中的最大项，所以②正确；对于③，若S 7＞S 8，则a 8＜0，那么d ＜0，可知a 9＜0，此时S 9－S 8＜0，即S 8＞S 9，所以③正确；对于④，若S 7＞S 8，则a 8＜0，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0，即S 6＞S 9，所以④正确．故选D.。

第二节 等差数列及其前n 项和热点命题分析学科核心素养本节是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题. 本节通过对等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列性质的应用，考查考生对函数与方程思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第101页 知识点一 等差数列的概念与通项 1．等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．• 温馨提醒 •要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144 D ．288答案：B2．(易错题)一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( )A ．d ＞875B ．d ＜325C.875＜d ＜325 D ．875＜d ≤325 答案：D3．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8＝________. 答案：32知识点二 等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)， 则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列； 当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1， 则①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .(3)在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；若a 1＜0，d ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .1．(2021·吉林月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝( )A ．12B ．8C ．20D ．16答案：C2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝( )A．180 B．90 C．270 D．360答案：A3．(易错题)已知等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使数列{a n}的前n项和S n取最大值的正整数n的值是________．答案：5或6授课提示：对应学生用书第102页题型一等差数列的基本问题自主探究1．(2021·聊城期末测试)已知{a n}是公差为2的等差数列，前5项和S5＝25，若a2m＝15，则m ＝()A．4B．6 C．7D．8答案：A2．(多选题)(2021·山东模拟)已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，且∀n＞1，其前n项和S n满足S n＋1＋S n－1＝2(S n＋1)，则()A．a7＝13 B．a8＝14 C．S7＝43 D．S8＝64 解析：由S n＋1＋S n－1＝2(S n＋1)，得a n＋1－a n＝2(n≥2)，又因为a2－a1＝1，所以数列{a n}从第二项起为等差数列，且公差d＝2，故a7＝a2＋5d＝2＋5×2＝12，a8＝a2＋6d＝2＋6×2＝14，所以A错误，B正确；又S7＝a1＋6(a2＋a7)2＝1＋6×(2＋12)2＝43，S8＝a1＋7(a2＋a8)2＝1＋7×(2＋14)2＝57，所以C正确，D错误．答案：BC3．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．解析：(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n.(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n＋10≤0，解得1≤n ≤10.所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }.等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.题型二 等差数列的性质及应用 自主探究1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8答案：C2．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 020，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 020的值等于( )A ．－2 020B ．－2 018C ．－2 019D ．－2 017 答案：A3．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d 为( ) A ．10 B ．5 C ．4D ．8 解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：B应用等差数列的性质解题的两个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m－n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m ，S 2n－1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等.题型三 等差数列的判断与证明 合作探究[例] (2021·大连模拟)已知数列{a n }的各项都是正数，n ∈N *.(1)若{a n }是等差数列，公差为d ，且b n 是a n 和a n ＋1的等比中项，设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)若a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，则c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1，因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，∴{c n }是等差数列．(2)当n ＝1时，a 31＝a 21，∵a 1＞0，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，① a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n －1＝S 2n －1，②①－②得，a 3n ＝S 2n －S 2n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)．∵a n ＞0，∴a 2n ＝S n ＋S n －1＝2S n －a n ，③∵a 1＝1合适上式，∴当n ≥2时，a 2n －1＝2S n －1－a n －1，④③－④得a2n－a2n－1＝2(S n－S n－1)－a n＋a n－1＝2a n－a n＋a n－1＝a n＋a n－1，∵a n＋a n－1＞0，∴a n－a n－1＝1，∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，可得a n＝n.等差数列的判定与证明方法(1)定义法：对于任意自然数n(n≥2)，a n－a n－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式法：a n＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{a n}是等差数列．[题组突破]1．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1tan A，1tan B，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是()A．a，b，c依次成等差数列B.a，b，c依次成等差数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a3，b3，c3依次成等差数列解析：△ABC中，若1tan A，1tan B，1tan C依次成等差数列，则2tan B＝1tan A＋1tan C，整理得2cos Bsin B＝cos Csin C＋cos Asin A，利用正弦定理和余弦定理得2·a2＋c2－b22abc＝a2＋b2－c22abc＋b2＋c2－a22abc，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列，a，b，c或a，b，c或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等差数列，除非a ＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形．答案：ABD2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解析：(1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0， 所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3， 解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1， 公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3.{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2， 因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．题型四 等差数列前n 项和的最值 合作探究[例] 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9.(2)法一：由(1)得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.法二：由a n ＝2n －9，∴S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －9≤0，2n －7≥0，72≤n ≤92.又n ∈N *，∴n ＝4.即S 4最小，且S 4＝－16.求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . [对点训练](2021·北京朝阳区模拟)已知{a n }是公差为d 的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 5＝1，________.若存在正整数n ，使得S n 有最小值． (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n 的最小值．从①a 3＝－1，②d ＝2，③d ＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解析：选择①作为补充条件：(1)因为a 5＝1，a 3＝－1，所以d ＝1，所以a n ＝1＋(n －5)×1＝n －4(n ∈N *)．(2)由(1)可知a 1＝－3，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝12n (n －7)．因为n ∈N *，所以当n ＝3或4时，S n 取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n ＝3或4，使得S n 有最小值，且最小值为－6.选择②作为补充条件：(1)因为a 5＝1，d ＝2，所以a n ＝1＋(n －5)×2＝2n －9(n ∈N *)．(2)由(1)可知a 1＝－7，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n .所以当n ＝4时，S n 取得最小值，且最小值为－16. 故存在正整数n ＝4，使得S n 有最小值，最小值为－16. 不可以选择③作为补充条件．等差数列应用中的核心素养(一)数学建模——等差数列中的数学文化问题[例1] (2020·高考全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A ．3 699块B ．3 474块C ．3 402块D ．3 339块[解析] 设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列．由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块)．[答案] C等差数列的数学文化题求解关键是阅读文化信息后建立等差数列的模型，再利用等差数列相关的知识进行求解．[对点训练]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( ) A.54钱 B ．43钱C.32钱 D ．53钱答案：B(二)数学抽象——等差数列新定义问题[例2] (2021·太原期末测试)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn 为{a n }的“优值”，已知数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －20}的前n 项和为S n ，则S n 最小值为( ) A ．－70 B ．－72 C ．－64 D ．－68[解析]∵数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，∴H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn＝2n ＋1，∴a 1＋2a 2＋ (2)－1a n ＝n ·2n ＋1，∴2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n (n ≥2)，∴a n ＝4n －2(n －1)＝2n ＋2(n ≥2)，又a 1＝4，满足上式，∴a n ＝2n ＋2(n ∈N *)，∴a n －20＝2n －18，由⎩⎪⎨⎪⎧a n －20＝2n －18≤0，a n ＋1－20＝2n －16≥0得8≤n ≤9，∴S n 的最小值为S 8＝S 9＝－72. [答案] B有关等差数列的新定义问题的求解要紧扣定义信息转化为等差数列相关问题求解．[对点训练]已知定义：在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{a n}为等方差数列．下列命题不正确的是()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．{(－1)n}是等方差数列C．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)不可能还是等方差数列D．若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：C- 11 -。