思维训练01 兔子数列和极端分析二(通用版)(含答案)

源起根据高德纳（Donald Ervin Knuth）的《计算机程序设计艺术》（The Art of Computer Programming），1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长阔刚好为1 和 2 的可行方法数目时，首先描述这个数列。

在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多（又名费波那西），他描述兔子生长的数目时用上了这数列。

第一个月有一对刚诞生的兔子第二个月之后它们可以生育每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子兔子永不死去假设在n 月有新生及可生育的兔子总共 a 对，n+1 月就总共有 b 对。

在n+2 月必定总共有a+b 对：因为在n+2 月的时候，所有在n 月就已存在的 a 对兔子皆已可以生育并诞下 a 对后代；同时在前一月(n+1月)之 b 对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。

数学求解：为求得费波那西数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。

高中的初等数学知识也能求出。

已知∙a1 = 1∙a2 = 1∙a n = a n− 1 + a n− 2首先构建等比数列设a n + αa n− 1 = β(a n− 1 + αa n− 2)化简得a n = (β−α)a n− 1 + αβa n− 2比较系数可得:不妨设β > 0,α > 0解得：所以有a n + αa n− 1 = β(a n− 1 + αa n− 2)，即为等比数列。

求出数列{a n + αa n− 1}由以上可得：变形得：。

令求数列{b n}进而得到{a n}设，解得。

故数列为等比数列即。

而，故有又有和可得得出a n表达式可以参考网站：/wiki/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5% A5%91%E6%95%B0%E5%88%97程序实现解法：#include <iostream>using namespace std;int fact(int n){if(n==0)return(0);else{if(n==1)return(1);elsereturn(fact(n-1)+fact(n-2));}}int main(){ int i;cout<<"请输入月份"<<endl;cin>>i;cout<<fact(i)<<endl;}。

兔子繁殖问题与斐波那契研究成果是在不定分析和数论方面，他的“裴波那契数列”成为世人们热衷研究的问题． 保存至今的裴波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘书》，《算盘书》中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的“兔子繁殖问题”． 如果每对兔子每月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？可以这样思考：第一个月后即第二个月时，1对兔子变成了两对兔子，其中一对是它本身，另一对是它生下的幼兔． 第三个月时两对兔子变成了三对，其中一对是最初的一对，另一对是它刚生下来的幼兔，第三对是幼兔长成的大兔子． 第四个月时，三对兔子变成了五对，第五个月时，五对兔子变成了八对，这组数可以用图来表示，这组数从三个数开始，每个数是两个数的和，按此方法推算，第六个月是13对兔子，第七个月是21对兔子……，裴波那契得到一个数列，人们将这个数列前面加上一项1,成为“裴波那契数这个数列在许多场合都会出现，在数学的许多不同分支中都能碰到它． 如果把普遍目前数列邻项之比作为一个新数列的项，我们得到： 138,85,53,32,21,11，可以证明这个数列的极限是：()618.0215≈-=r ，这是非常有名的黄金分割率，大自然中许多现象总是力求接近黄金比r ，这个黄金比在科学中甚至艺术中也经常出现． 例如，宽比长的比等于黄金比r 时最美：黄金比在古希腊建筑和陶瓷中可以经常见到埋在现代建筑设计等方面也越来越多地显示出黄金比的独特魅力． 裴波那契数列的许多有趣的性质和重要应用，引起了近800年数学历史上许多学者的兴趣，世界上有关裴波那契数列的研究文献多得惊人，裴波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．后人从裴波那契数列得到一系列的辉煌成果，但是我们不能忘记，这些成果都是起因与裴波那契的《算盘书》中提到的兔子问题．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

2023版初中数学九年级下册同步训练《学法大视野》(湘教版)含答案62页概述本文档是关于2023版初中数学九年级下册同步训练《学法大视野》(湘教版)含答案62页的详细介绍。

该教材是针对初中九年级学生编写的数学同步训练教材，在学生学习过程中起到辅助和巩固知识点的作用。

本文档将逐一介绍该教材的目录结构和内容特点，以及一些学生在使用该教材时应注意的事项。

同时，为了帮助学生更好地使用该教材，我们还将提供一些学习方法和解题技巧。

目录结构《学法大视野》(湘教版)含答案62页的目录结构如下：•Unit 1: 分析推理与证明–Section 1: 数列的前后关系–Section 2: 函数的概念–Section 3: 合成函数与反函数–Section 4: 不等式与绝对值•Unit 2: 线性方程与一次函数–Section 1: 一元一次方程–Section 2: 配方法与分式方程–Section 3: 一次函数的图象与性质•Unit 3: 二次根式与二次函数–Section 1: 二次根式的运算–Section 2: 二次函数的概念与图象–Section 3: 初等函数的图象与性质内容特点《学法大视野》(湘教版)含答案62页作为初中九年级数学的同步训练教材，具有以下内容特点：1.有机结合知识点：教材通过合理的章节划分，将数学知识点进行了有机组合，帮助学生更好地理解数学知识的内在联系。

2.着重培养思维能力：教材中的习题涵盖了不同难度和类型的题目，旨在培养学生的分析和推理能力，提高解决问题的能力。

3.强调实用应用：教材中的习题不仅涵盖了基本的数学理论和概念，还包括大量实际应用题，帮助学生将数学知识应用到实际生活中。

4.强调题目解析：教材中每个习题都配有详细的解析过程和答案解释，帮助学生理解解题思路和方法，从而更好地掌握数学知识。

5.高质量的练习题：教材中的习题经过精心编选，保证了题目的准确性和丰富性，适合学生进行系统性的练习。

第一章兔子数列和极端分析（随堂测试）1.在628后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被2，4，9整除，且使这个数尽可能大。

则这个六位数是多少？2.一个各位数字互不相同的三位数能被2、3、5整除，这个数最大是多少？3.一楼梯共10级，小嘉每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？4.一楼梯共10级，小时每步只能跨上一级、两级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？5.一个五位数能被2、5、7整除,这个数最大是多少？*6.N是一个各位数字互不相等的两位数，它能被它的每个数字整除。

N的最大值多少？*7.有一个楼梯共有十级，第三级和第七级不能踩，小时每次只能跨一级或者两级，那么小时走完有多少种走法？【参考答案】1.6289922.9603.894.2745.99960*6. 48*7. 8➢知识点睛1.斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368 ……2.特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。

3.这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

➢精讲精练【板块一】斐波那契初级经典例题1（1）一楼梯共8级，小嘉每步只能跨上一级或两级，要登上第8级，共有多少种不同走法？（2）蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间。

问小蜜蜂由1号房间到达8号房间有多少种方法？练一练小嘉要打十拳，每次可选择双手打或者单手打（双手打算两拳，不区分左右手），那么小嘉有多少种打法？经典例题2每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子。

如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？*经典例题3一楼梯共8级，小嘉每步只能跨上一级、两级或三级，要登上第8级，共有多少种不同走法？*练一练小时要打十下，每次可选择双手双脚任意出击（不区分手脚，不考虑站姿，最多可双手双脚同时出击算四下），那么小时有多少种打法？【板块二】极端分析经典例题4一个各位数字互不相同的六位数能被41整除，这个数最大是多少？最小是多少？练一练一个六位数能被17整除，这个数最大是多少？最小是多少？经典例题5一个各位数字互不相同的六位数能被5、6整除，这个数最大是多少？练一练一个各位数字互不相同的五位数能被2、5、7整除，这个数最大是多少？*【板块三】斐波那契综合应用经典例题6（1）用3个形如“”的方格覆盖23⨯的方格（“”）；有多少种不同的摆法？（2）用4个形如“”的方格覆盖⨯的方格（“”）；有多少24种不同的摆法？（3）用10个形如“”的方格覆盖2×10的方格（“”）；有多少种不同的摆法？经典例题7对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到为1操作停止。

第五节极端性原理内容讲解我们认识事物时，总是从特殊情况出发，逐步认识事物所具有的一般属性，在解题时，若能直接通过抓住全体研究对象的极端情形或全体对象中具备极端性质的某个对象加以分析、研究，从而化繁为简地解决问题，即为极端性原理．常常把极端性原理作为解决非常规问题的出发点和突破口．极端性问题常体现在：距离、长度、角度、面积或某一类数值的最大或最小及其图形的极端情形等．极端性原理主要用于解决存在性问题，经常与构造法、反证法联用．例题剖析例1 夏令营组织1998•名营员去游览长沙市的三大景点：岳麓山、烈士公园和世界之窗，规定每人必须去一处，•最多去两处游览，那么至少有______个人游览的地方完全相同．分析：用极端性原理考虑至少有一个景点去了1998÷3=666（人），由于每个人可以去两个不同景点，则再用极端性原理考虑666÷2=333（人），所以至少有333人去了相同的景点．解：至少有333人游览的地方完全相同．评注：用极端性原理解题时，应先选定极端情况，使“变动”转化为“确定”，从而能分散问题的难点．例2 在边长为6cm的等边三角形内任取一点，•由该点至三边作垂线段，这些垂线段的长度之和为_________．分析：不妨取极端位置，即使等边三角形的一顶点做为题目中的点．解：如图，当点P与顶点A重合时，P到边AB和边AC的距离均为零，而P到边BC的距离恰好等于三角形的高AD，由此可得这些垂线段的长度之和为AD的长，在Rt△ABD 中，AD=ABsinB=6×2． (P)AD C 评注：此例体现了运用极端性原理（特殊化思想）解题简捷性，当然，•本题还可用面积法来解题．例3 在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P ，Q ，R ，S 分别是边AB ，•BC ，CD ，DA 上的动点，则PQ 2+QR 2+RS 2+SP 2的最大值与最小值之和为________．分析：考虑极端位置：在顶点处取最大值，在四边中点时取到最小值．解：PQ 2+QR 2+RS 2+SP 2=AP 2+BP 2+BQ 2+CQ 2+RC 2+DR 2+DS 2+AS 2=AB 2+BC 2+CD 2+DA 2-2AP ×BP-2BQ ·CQ-2RC ·DR-2DS ·AS ．AP ·BP ≤（2AP BP +）2=16， RC ·RD ≤（2RC RD +）2=16， BQ ·CQ ≤（2BQ CQ +）2=9， ∴DS ·AS ≤（2DS AS +）2=9． 所以PQ 2+QR 2+RS 2+PS 2有最小值为100；又P 与A 重合，Q 与B 重合，R 与C 重合，S 与D 重合时，AP=0，BQ=0，CR=0，DS=0．此时，PQ 2+QR 2+RS 2+PS 2有最大值为200． 则PQ 2+QR 2+RS 2+SP 2的最大值与最小值之和为300．评注：本题通过从极端情形入手，为正确解题指明方向．此外要领会ab •≤（2a b +）2在解题中的作用．例4 把1600颗花生，分给100只猴子．证明：不管怎样分，至少有4•只猴子得到的花生一样多，并设计出一种分法，使得没有5只猴子得到一样多的花生．分析：要使没有4只猴子得到的花生一样多，我们考虑极端情况．解：最经济（即所用花生数目最少）的分法是：3只得0颗，3只得1颗，……，3•只得32颗，还有一只得33颗，这样共需花生数3×（0+1+2+……+32）=1617．已知超过了花生总数1600颗，所以不管怎样分，至少有4•只猴子分得的花生一样多． 没有5只猴子一样多的分法是很多的．评注：例如，对前述极端情况稍作调整可得到一种分法：4只得0颗，3只得1颗，3只得2颗，……，3只得31颗，2只得32颗，还有一只得48颗，共计3×（0+1+2+……+32）-32+48=1600（颗）．例5 把2005分解成若干不同的正整数之和，问至多能分成几项？分析：要求至多能分成几项，考虑“极端”──每一项尽可能少．解：令2005=a 1+a 2+a 3+…＋a k ，且1≤a 1≤a 2≤a 3≤…≤a k ，a 1，a 2，…，a k ，均为正整数，则a 1的最小值为1，由此可知a 2的最小值为2，……，这样就有2005≥1+2+…+k=12k （k+1），得k ≤12（）． 因为k 为整数，所以k ≤62．又当a 1=1，a 2=2，…，a 61=61，a 62=114，有2005=a 1+a 2+a 3+…+a 62，故至多可以分解为62项．评注：当一个问题不易解决时，可以先考虑其某个极端状态，•从对这一极端状态的研究得到启发，然后再来研究所要解决的问题．例6 设有n （n ≥2）名选手进行比赛，任两选手都进行一场比赛，每场比赛均决出胜负．求证：存在选手A ，使得其他的任一选手，或是输给A ，或是输给被A 打败的某一名选手．分析：要寻求的选手A，依直觉，应是“实力”最强的选手．因此，在这n名选手中，设取胜的场次最多的一名选手为A（考虑极端!）．下面证明他满足题目的要求．证明：对其他的任一选手B，若B不是输给A，即B胜A．因B战胜的对手不多于A•战胜的对手，故除A，B之外，A战胜的对手必多于B战胜的对手，从而，必存在选手C，是A战胜的，但不是B战胜的，即B输给被A打败的选手C，故结论成立．评注：本题的解法关键是抓住了“取胜的场次最多的一名选手”，•利用这一点，解决了我们“无从着手”的难处，使解题简捷明快．例7 某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次，•求证：必有六场比赛，其中12个参赛选手各不相同．分析：“极端”──设k为使得安排k场比赛由2k名不同成员参加的最大整数．解：设k为使得安排k场比赛由2k名不同成员参加的最大整数，则其余的20-2k•名成员中，每两名都互不比赛，否则，与k最大性矛盾．再由余下的20-2k名选手，每名至少比赛一场（与前面2k名成员），•因此他们至少要比赛20-2k场，由已知有14=（20-2k）+k解得k=6．即必有6场比赛，其中12个参赛选手各不相同．评注：使用极端性原理的关键在于抓住问题的极端状态，数学中常见的极端状态有：最大值、最小值，图形的极限位置等．例8 平面上给定n个点（n≥3），任三点不共线，求证：在这n•个点中存在三个点A、B、C，使其余n-3个都在△ABC之外．分析：此题有多种思考方法，其中最自然的想法是：面积越小的三角形，其内的点越少，而形外的点越多，所以要使其余n-3个点都在△ABC之外，•自然取面积最小的三角形．证明：在n个点中任取两点B、C，作线段BC，则其余n-2个点都不在BC•所在的直线上，以BC为底边，其余n-2个点为顶点可得n-2个三角形，取面积最少的，记为△ABC•<S△ABC，这与S△ABC最小矛盾．即为所求，事实上，如果△ABC内还有一点A′，则S△A`BC评注：本题还可以从以下几种极端状态着手：（1）取其余n-2个点到直线BC的距离最小的一点A，则△ABC即为所求；（2）其余n-2个到BC的视角最大的点设为A，则△ABC即为所求；（3）以B为顶点，旋转BC，首先交到的点（或说旋转角最小的点）设为A，则△ABC•即为所求．以上四种思考方法，从不同角度取定一个几何量，•在系统自身状态不断变化时考虑极端情况（最大或最小），使问题迎刃而解．例9 平面上给定2010个点，任意两点的距离小于2005，•任意三点是某个钝角三角形的顶点．求证：存在直径不超过2005的圆，覆盖这2010个点．分析：“极端”──距离最大的两点．解：在这2010年点中，设两两之间距离最大的两点是A，B，且AB<2005．以AB为直径的圆覆盖了这2010个点．这是因为，如图，分别为A、B作AB的垂线L1、L2，则给定的点不能在直线L1、L2围成的带形区域之外，否则，这点P到点B（或A）的距离大于AB，这与AB的最大性矛盾．同时，给定的点也不能在带形区域的圆外．否则，这点P′与A、B•不能构成钝角三角形，与已知条件矛盾，故结论成立．评注：此例可一般化为：平面上给定n个点，任两点距离小于常数a，任三点是某个钝角三角形的顶点，求证：存在直径不超过a的圆，覆盖这n个点．例10 平面上有n个点，其中任三个点都可组成三角形，且其面积均不超过1，•证明存在一个面积不超过4的三角形，它能覆盖住所有n个点．分析：由于面积越大的三角形，覆盖的总越多，所以我们自然地会想到：从取面积最大的三角形入手．证明：平面上由n个点组成的三角形的数目是有限的，•其中必有一个面积最大的三角形，设为△ABC，过各顶点分别作对边的平行线，可得一个新△A′B′C′如图，=4S△ABC，∵S△ABC≤1，∴S△A`B`C`≤4．则S△A`B`C`平面上所有的n个点全被△A′B′C′覆盖住，否则设△A′B′C′外有一点P， >S△ABC．则有S△PBC这与S最大矛盾．△ABC评注：由以上的分析、证明，•我们不难发现利用极端性原理的步骤：选取适当的量─考虑极端状态─反证法证明．例11 平面上有n个点，其中过任意两点的直线都必过第三点，证明：这n•个点必在同一条直线上．分析：“极端”──点到不过这点的直线的垂线段中的最小者为d．解：若这n个点不全在同一条直线上，过这n个点中的任意两点所确定的每条直线，都必然有不在此直线上的点，对每一条直线，求出n个点中不在这条直线上的点到直线的距离，这些距离的个数是有限的，所以其中一定有一个最小的，设为d 0．如图，设d 0是点A 到B 、C 所确定的直线的距离，作AP ⊥BC ，P 为垂足，则d 0=AP ．由题设，在直线BC 上还至少有这n 个点中的另一个点E ，显然，B 、C 、E 三点中至少有两个点位于P 点同侧（E 可能与P 重合），不妨设C 、C 在P 点同侧，且PE ≤PC ．作EQ ⊥AC 于Q ，记d 1=EQ ，应有d 1≥d 0，但△CEQ ∽△CAP ，所以10d EQ CE CP d AP AC AC==≤<1 即d 1<d 0矛盾，这就表明这n 个点全在同一条直线上．评注：极端性原理主要用于解决存在性问题，经常与构造法、反证法联用．例12 在凸五边形ABCDE 的边和对角线中，没有互相平行的线段．延长边AB •和对角线CE ，使之相交于某个点，然后在边AB 上标上一个箭头，使之指向交点的方向．依此办法把五条边都标上箭头，求证：必有两个箭头指向五边形的同一个顶点．分析：抓住“极端”──面积最小来解题．证明：考虑由凸五边形的每三个相邻顶点所组成的五个三角形，其中必有面积最小者． 设△ABC 的面积最小．下面证明：BC 边上箭头必指向B 点．由于DA 不平行于BC ，再由S △ABC 的最小性知S △ABC <S △DBC ，设M 、N 分别是由A 与D 向BC 所引垂线的垂足，于是DN>AM ，所以，直线AD 与直线BC 交点在CB 的延长线上，且位于B 的一方．从而，依箭头的标法，BC 边上的箭头指向B ．同理，AB边上的箭头指向B，结论得证．评注：由于一些数学问题中所出现的各个元素的地位是不平衡的，其中的某个极端元素或个别元素的极端状态往往具有优先于其他元素的特殊性质，•而这又恰好为解题提供了突破口．这时从极端元素入手，便能简捷地解决问题．巩固练习1．如图1，已知⊙O的半径为R，C，D是直径AB•同侧圆周上的两点，弧AC的度数为95°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值_____．（1）(2)2．在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB·PC的值为（）（A）m2（B）m2+1 （C）2m2（D）（m+1）23．已知△ABC的面积为24，且AB=•AC=•8，•则底BC•上任一点P•到两腰距离之和为________．4．如图2，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，PCD是割线，E是CD中点，若使∠APB=40°，则∠AEP=（）（A）40°（B）50°（C）60°（D）70°5．要把54名学生分成若干个小组，使得每组中至少有一人，任意两个小组的人数均不相等，则至多可分成______个小组．6．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A′B•′C′D，且正方形A′B′C′D′的顶点A′在正方形ABCD的中心，当正方形A′B′C•′D′绕A′转动时，两个正方形的中和部分的面积必然是一个定值，这个结论对吗？证明你的判断．7．有四个工厂A ，B ，C ，D 且AB=a （千米），BC=2a （千米），CD=4a （千米），∠ACB=90°，∠BCD=120°，现在要找一个供应站H 的位置，•使它到四个工厂的距离和HA+HB+HC+HD 为最小，说明道理，并求出最小值．8．ABCD是一个边长为1的正方形，U，•V•分别是AB，CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q，求四边形PUQV面积的最大值．9．如图，两圆外切于点P，过点P作两条互相垂直的割线APA1和BPB1，•设两圆直径为d1，d2，求证AA12+BB12=定值．10．1600颗花生，分给100只猴子，求证：不管怎么分，至少有4•只猴子得到的花生一样多．11．用百分制记分，得分为整数，证明：（1）若201人的总分为9999分，则至少有3人的分数相同；（2）若201人的总分为10101分，则至少有3人的分数相同；（3）若201•人的总分为10000分，且已知无3人的分数相同，则必有1人100分，2人0分；（4）若201人的总分10100分，且已知无3人的分数相同，则必有1人0分，2人100分．12．平面上有40个点，任何三个点不共线，已知每一个点至少和其余27•个点之间有线段联结，求证：必可找到4个点A、B、C、D，它们之间任何两点间都有线段联结．13．平面上给出n≥3个点，并且所以的点不在同一直线上，证明：可以找到经过三个已知点的圆，使得其余的任何一个给定的点都不在该圆内部．14．有n个男生，m个女生（n，m≥2），每个男生至少与一个女生彼此相识，每个女生不全认识男生，证明：他们中必有两个男生与两个女生，•其中每个男生恰好认识其中一个女生，其中每个女生恰好认识其中一个男生．15．平面上有n个点，其中任意三个点做成的三角形的面积都小于1，求证：存在一个面积小于4的三角形包含这n个点．16．有201人参加考试，用百分制计分，总分为9999，求证：至少有三人同分．17．某车间的机床平均每小时有4台损坏需要修理，•损坏期间因停工所造成的损失每小时8元，为保证生产，车间准备请一名修理工，为机床进行长期保养维修．•现有甲、乙两名修理工情况如下：甲每小时可修5台，每小时工资为3元；乙每小时可修8台机床，但每小时工资为5元．试问：车间应请哪一名修理工核算？18．如图，在矩形ABCD中，AB=20厘米，若在AC，AB上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小．19．如图，八个点处各写一个数字，•已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，求代数式1()21()3a b c d e f g ha b c d e f g h+++-++++++-+++的值．20．求证：方程x2+y2=3xy不存在正整数解．21．试把220分拆成9个不同的自然数之和，使其中最大数减去最小数的差为最小，并求出这个最小值．22．把100以内的自然数全部填入10行10列的方格表中，每格填一个，试证：•不存在这样的填法，使得每两个有公共边的相邻方格中所填的数字之差都不大于5．23．设S为平面上的一个有限点集（点数≥5），其中若干点涂上红色，•其余的点涂上蓝色．设任何三个或三个以上同色的点不共线，求证：存在一个三角形，使得（1）•它的三个顶点涂有相同的颜色；（2）这个三角形至少有一条边上不包含另一种颜色的点．24．有20支球队参加全国联赛，问至少要进行多少场比赛，•才能使任何三个队中必有两个队彼此比赛过？答案:1．提示：设D′是D点关于直线AB的对称点，连CD′交AB与P，由圆的对称性可知，点D′在圆上．∴PD′=PD．则PD′+PC=PD+PC．∵两点连线中，线段长最短，•∴此时的P，使PC+PD最小，且最小值为PC+PD′，即为线段CD′之长．2．A．提示：不妨设点P与C或BC的中点重合．3．6．提示：“极端”─P与B或C重合，再用面积公式计算：2428=6．4．D．提示：“极端”─当PCD变为PO时，有∠AEP=∠AOP=90°-∠APB=70°．5．9．提示：“极端”─要使组数最多，就要使每组人数既符合要求，又要尽可能小．因为1+2+3+…+10=55>54，1+2+3+…+9=45<54，故最多可分成9个小组．6．两个正方形的重合部分面积为一个定值，定值为正方形面积的14，证明略．7．当A，D分别位于BC两侧时，可求得最小值为4a；当A，D位于直线BC同侧时，可求得最小值为4a ，理由略． 8．如图，连接UV ．∵AU ∥DV ，∴S △UPV =S △DUV -S △PDV =S △ADV -S △PDV =S △ADP ．同理S △UQV -S △BQC ．故S 四边形PUQV =S △APD +S △BQC ．作PE ⊥AD ，•QF •⊥BC ，EF 为垂足，并设PE=x ，QF=y ，则S四边形PUQV =12（x+y ）． 设AU=a ，DV=b ，则x xa b +=DE+AE=1． 故x=ab a b+． 同理y=(1)(1)(11)a b a b ---+-=(1)(1)2a b a b ----．• 则S 四边形PUQV =12[ab a b ++(1)(1)2a b a b----] =222222()()2()2()(2)4()(2)a b a b a b a b a b a b a b a b a b +-++----=+--+-- ≤222()24()(2)a b a b ab a b a b +---+--=14． 等号当且仅当a=b 时成立．故四边形PUQV 面积的最大值是14． 9．“极端”─AA 1过O 1O 2，B 、B 1与P 点重合，则有AA 12+BB 12=（d 1+d 2）2，令AP=x 1，A 1P=x 2，•Bp=y 1，B 1P=y 2，则x 12+y 12=d 12，x 22+y 22=d 22， 则x y d x y d==．于是令x 1=d 1t ，x 2=d 1t ，y 1=d 1s ，y 2=d 2s ， 则s 2+t 2=1，从而2（x 1x 2+y 1y 2）=2d 1d 2．故有（x 1+x 2）2+（y 1+y 22）=（d 1+d 2）2．10．“极端”─无4只猴子分得的花生一样多，则就有3（0+1+…+32）+33=1617，故必有4只猴子分得的花生一样多．11．“极端”─在无三人分数相同的条件下，201人总分最少情况是：2人得0•分，2人得1分，……2人得99分，1人得100分，则2×（0+1+…+99）+100=10000；总分最多情况是：2人得100分，2人得99分，……，2人得1分，1人得0分，则有2×（100+99+…+1）+0=10100．（1）否则，9999≥10000，矛盾；（2）同（1），否则，10101<10100，矛盾；（3）总分10000恰是在无三人的分相同条件下，201人总分最小值，且是唯一取得；（4）同（3）略．12．任取点A，必存在B与A相连，由于与A不相连的最多有40-27-1=12个，与B•不相连的最多有40-27-1=12个，故与A、B同时有线段连结的最少有40-12-12-2=14个点，•从这14个点中任取一点C，则C与A、B均相连，由于与C不相连的最多有12个，故取C•之后剩下的13个点中至少有一点D与C相连，且D与A、B均相连，于是A、B、C、D•两两相连．13．“极端”─距离最小的两点，不妨设这对点（如果这样的点对不止一对，则任取一对）为A与B，以线段AB为直径作圆，则易见此圆的内部设有其他的给定点，在余下的给定点中任取一点C，使∠ACB最大，这样三角形ABC的外接圆就是符合要求的圆，因为若有一个已知点D位于所说外接圆的内部，由简单的几何知识可知∠ADC>∠ACB，这就和∠ACB的最大性相违背，所以圆内没有给定点中任何点．14．“极端”─认识男生最多的女生a1，由题设，令a1与男生b1不相识，设b1认识女生a2，由于a2认识的男生不如a1认识的多，所以必有一个男生b2，使得a1与b2相识，且a2与b2不相识，于是a1，a2，b1，b2即为所求．15．“极端”─这n个点作成的三角形中面积最大的一个三角形．设这n个点作成的三角形中面积最大的一个△A1A2A3，如图过顶点A1、A2、A3分别作对边的平行线，•得△ABC，显然，S△ABC=4S△A1B2C3<4．若△ABC外还有这n个点中一点，设为A4，于是有S△A1A3A4>S△A1A2A3，这与S△A1A2A3最大矛盾，所以△A1A2A3为所求．16．若无三人同分的总分至少是2（0+1+2+---+99）+100）=10000，与已知矛盾，•所以结论正确．17．取第一种极端：假设四台机床同时损坏，则雇甲需要：3+（0.2+0.2×2+0．2•×3+0.2×4）×8=19元；雇乙需要：5+（0.125+0.125×2+0.125×3+0.125×4）×8=15元；取第二种极端：假设四台机床相继损坏，则雇甲需要：3+（0.2+0.2+0.2+0.2）×8=9.4元；雇乙需要：5+（0.125+0.125+0.125+0.125）×8=9元．18．作点B关于直线AC的对称点E，则BM+MN的最小值为EN．根据N•的可移动性，•当EN垂直于AB时，EN最短．设BE交AC于F，直角三角形ABC中，BF=4所以BE=8•因为2S=AB×EN=BE×AF，可得EN=16．19．34．提示：不妨设这8个数中a的值最大．由于a=13（b+d+e），且3a≥b+d+e．因此，•必有a=b=d=e．同理可得c=f=g=h=a．即a=b=c=d=e=f=g=h．故1()21()3a b c d e f g ha b c d e f g h+++-++++++-+++=112113--=34．20．假设这个方程有正整数解x，y，由于x，y是正整数，那么在所有的x，y中必有最小的．若x1，y1是方程的一组最小正整数解，x12+y12=3xy，所以x12+y12是3的倍数．由完全平方数的性质得，x≡0（mod 3）．y≡0（mod 3），因此x1=3x2，y1=3y2，易证x2，y2满足方程组，即x2，y2是方程的另一组正整数解，显然，x1>x2，y1>y2与x1，y1是方程最小的正整数解矛盾．•所以方程x12+y12=3x1y1不存在正整数解．21．设9个不同的自然数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9满足x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8<x9，x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=220，根据自然数的性质有：x1+x1+1+x1+2+x1+3+x1+4+x1+5+x1+6+x1+7+x1+8•≤x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=220≤x9-8+x9-7+x9-6+x9-5+x9-4+x9-3+x9-2+x9-1+x9解得x1≤2049，x9≥2849，取x1=20，x9=29．22．用反证法，考虑100以内的自然数中的两个极端元素1和100所填的位置，•设1填在第i行，100填在第j列，第i行j列的公共格上填的数是a，这里i和j 都是1至10的整数，从第iI行看，a与1之间最多相隔8格，得a-1≤5×（8+1），即a≤46；•又从第j•列看，100与a之间最多相隔8格，得100-a≤5×（8+1），即a ≥55，这与a≤46矛盾．23．对于S中任意5点，涂有红色或蓝色，则必有三点同色（抽屉原理），结论（1）•成立．三顶点同色的三角形个数是有限个，其中必有面积最小的一个，设为△ABC，•则△ABC中至少有一条边上不包含另一种颜色的点．若不然，△ABC的每条边上都有一个不同色的点，则这三个不同色的点又组成一个比△ABC更小的三顶点同色的三角形．•矛盾．24．从考虑20支球队中比赛场次最少的队着手，设A队比赛场次最少为k场，则（1）有k个队与A队比赛过，每个队至少比赛k场，以每队统计共至少进行k2场比赛；（2）•没有和A队比赛的有19-k个队，它们之间必须两两都比赛过，•否则没有比赛过的两队与A组成的三个队不合要求，因此这19-k个队以每队统计共比赛（19-k）（18-k）场．•在上述计算比赛场次是以每队计算的．由于一场比赛有两队参加，被计算过两次，•因此至少比赛场次为N=12[k+k2+（19-k）（18-k）]=（k-2）2+90≥90．下面证明，90•场比赛可以达到题目要求，将20支球队分成两个小组，每个小组各10支球队，•各小组分别进行单循环比赛，共需90场比赛，符合题目要求．。

第一章兔子数列和极端分析（习题）1.按规律填空：1、1、2、3、5、8、13、21、、、。

2.一个各个数位互不相同的四位数能被1、2、3、4、5、6、7整除，那么这个数最大是。

3.一个各个数位互不相同的六位数能被9整除，这个数最大是多少？最小是多少？4.一个六位数能被7整除，这个数最大是多少？最小是多少？5.一个五位数是3、4、5、6的倍数，这个数最大是多少？*6.一楼梯共8级，小嘉每步只能跨上一级、两级、三级或四级，要登上第8级，共有多少种不同走法？*7.小青蛙有十块糖，妈妈要求小青蛙每天最多吃三块糖，那么小青蛙把糖吃完有多少种办法？*8.如下图，小方和小张在玩跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳一步或者两步，小张从C跳到D，每次可跳一步、两步或三步，试比较谁跳到目标处的不同跳法多？多多少？*9.有一种树，它的每个新枝在一年后会长成老枝，而每个老枝一年后会长出一个新枝，小嘉在家门口种了一个老枝，他知道一年后会长出一个新枝，那么八年后会有多少个树枝？*10.N是一个各位数字互不相等的三位数，它能被它的每个数字整除，N的最大值是多少？【参考答案】1.34、55、892.92403.987651、1023484.999999、1000025.99960*6. 108*7. 89*8. 小张多，多5*9. 34*10.9361.在628后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被2，4，9整除，且使这个数尽可能大。

则这个六位数是多少？2.一个各位数字互不相同的三位数能被2、3、5整除，这个数最大是多少？3.一楼梯共10级，小嘉每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？4.一楼梯共10级，小时每步只能跨上一级、两级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？5.一个五位数能被2、5、7整除,这个数最大是多少？*6.N是一个各位数字互不相等的两位数，它能被它的每个数字整除。

N的最大值多少？*7.有一个楼梯共有十级，第三级和第七级不能踩，小时每次只能跨一级或者两级，那么小时走完有多少种走法？【参考答案】1.6289922.9603.894.2745.99960*6. 48*7. 8➢知识点睛1.斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368 ……2.特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。

关于兔子数列（斐波那契数列）的小学奥数试题数学中有一个以斐波那契的名字命名的著名数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……你看出是什么规律了吧，不错，就是从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。

这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。

在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。

斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。

除此以外，人们从很多地方也发现了这类数列。

如：茉莉花（3个花瓣），毛莨（5个花瓣），翠雀（8个花瓣），万寿菊（13个花瓣），紫宛（21个花瓣），雏菊（34、55或89个花瓣）。

这些花的花瓣数恰好构成斐波那契数列中的一串数。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式。

有关兔子数列的小学奥数题：1、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,……第2014项除以5的余数是几？2、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,……一共2014项，其中奇数个数比偶数个数多还是少，差几个？3、如果你爬10级台阶，每次可以爬1级或者2级，一共有几种走法？4、假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。

如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年可以繁殖成（）对兔子。

A.144B.233C.288D.4665、1，3，4，7，11，（）A.14B.16C.18D.206.4，9，15，26，43，（）A.68B.69C.70D.717.2，4，6，9，13，19，（）A.28B.29C.30D.318.1，3，5，9，17，31，57，（）A.105B.89C.95D.135因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。