广义非线性退化Kirchhoff方程的局部解

2021,41A (3):666-685数学物理学报http: // a ct a 非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解成艺群滕凯民**收稿日期：2020-04-17;修订日期：2020-10-26E-mail: *****************; t *********************基金项目：国家自然科学基金(11501403)、山西省留学回国择优项目(2018)和山西省自然科学基金面上项目(201901D111085)Supported by the NSFC(11501403), the Scientific Activities of Selected Returned Overseas Professionals in Shanxi Province (2018) and the NSF of Shanxi Province(201901D111085)*通讯作者(太原理工大学数学学院 太原030024)摘要：该文研究如下Kirchhoff 型方程(a + b △u + V (x )u = —2 u + s \u \4 u,x e R 3,u e H 1 (R 3),其中a > 0, b> 0,4 <p< 6, V (x ) e L l |c (R 3)是一个给定的非负函数且满足lim V (x ):= 抵•对V (x )给定适当的假设条件，当s 充分小时，证明了基态解的存在性.关键词：Kirchhoff 型方程；临界非线性；基态解.MR(2010)主题分类：35B09; 35J20 中图分类号：O175.2 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2021)03-666-201引言本文研究如下Kirchhoff 型问题(a + b△u + V (x)u = |u |p-2u + s |u |4u, x u > 0, u e H 1 (R 3)(1.1)e R 3,正基态解的存在性，其中a > 0, b> 0,4 <p< 6, s> 0•此外，V (x )是一个非负函数且满足他)：V (x ) e 厶仁(R 3), lim V (x ) = V ^, V (x ) > V 0 > 0 a .e . x e R 3.问题(1.1)与下面方程p 兽-(牛+2L /dudx /(u )(1.2)No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解667对应的稳态相关.1983年，作为经典D'Alembert 波动方程的延伸，Kirchhoff^在研究拉 伸弦的横向振动，特别是考虑到横向振动引起的弦的长度变化时首次提出方程(1.2),其中u 表示变量，且当b 与弦的内在属性相关时，b 是外力，a 是初始应变量，如Young's 模.近年来，采用非线性分析的工具和变分方法，许多学者对下列非线性Kirchhoff 型方程G H X (R 3)|V u |2d x)△u + V (x)u = /(x, u), x G R 3,(1.3)进行了大量的研究，建立了基态解，束缚态解和半经典态解等的存在性和多重性.例如：当 V (x ) := C 时，Xu 和Chen [2]证明了方程(1.3)具有径向基态解，其中/(x, u )满足临界 Berestycki-Lions 型条件.当C = 0时，问题(1.3)可简化为如下方程|V u |2d x)△u = /(x, u ), x G R 3,u G H X (R 3),(1.4)Liu 和Guo [3〕研究了临界增长中具有一般非线性的问题(1.4)的基态解的存在性•当(1.4)式 中 /(x,u ) = g (x )|u |2*-2u + Xh(x)|u|q -^u 时，Li [4]通过 Nehari 法和变分法得到了问题(1.4) 的正基态解的存在性.有关问题(1.4)基态解的更多结果，参看文献[5-7].关于基态解的研究方面，最近，Li 和YeB ]假设V (x )满足以下假设.(i) V (x ) G C (R 3, R )弱可微且满足(V V (x ),x ) G L TO (R 3) U L 3 (R 3)和V (x ) — 2(V V (x ), x ) > 0 a .e . x G R 3;(ii) 对任意的x G R 3,V (x ) < liminf V (y ) := % <十^且其在Lebesgue 正测度的子集 中是严格的；(iii) 存在C > 0使得0= inf u E H 1 (R 3\{0})J r 3 |V u |2 十 V (x )|u |2JR3 |u |2> 0,采用单调性技巧，Pohozaev-Nehari 流形和全局紧性引理证明了当/(x,u ) = |u |p -1u , 2 < p < 5时问题(1.3)正基态解的存在性.Wu [9]利用Pohozaev 流形证明了问题(1.3)存在正 基态解•当/(x,u )在无穷远是次临界且在原点附近是超线性的，V (x )满足与上面⑴和 (ii)相似的一些条件时，Guo [10〕用变分方法证明了问题(1.3)存在正基态解•当/(x,u )= K (x )|u |4u + g (x,u )且V (x )满足渐近周期条件时，作者们在文献[11]中证明了问题(1.3)存 在正基态解•当/(x,u )在无穷远是次临界，在原点是超线性的且满足Berestycki-Lions 条件 和位势V (x )满足与上面(i)-(iii)类似的一些条件时，Liu 和Guo [12]利用Jeanjean 建立的 抽象临界点定理和一个新全局紧性弓I 理证明了问题(1.3)至少存在一个基态解.随后，Tang 和Chen [13〕对位势V (x ) G C (R 3, [0, Q)提出一些更强的条件，他们证明了问题(1.3)存在一 个Nehari-Pohozaev 型的基态解.后来，Chen 和Tang [14〕又证明了问题(1.3)存在一个基 态解，其中/(x,u )满足一般的Berestycki-Lions 假设和位势V (x ) G C (R 3, [0, g ))满足类似 文献[13]的条件.YeW 证明了问题(1.3)存在正基态解，其中/(x,u ) = a (x )f (u ) + u 5且 V (x )在无穷远处满足指数阶衰减•当位势V (x )有一个井位势，Sun 和Wu [16l 得到了一类668数学物理学报Vol.41A 如下Kirchhoff型问题基态解的存在性—(a/|V u|2d x+b)△u+AV(x)u=f(x,u),x e R N,'丿R N)u e H1(r n).关于问题(1.3)基态解的更多结果，参看文献[17-26].受上述文献的启发，本文事■虑具有小临界扰动项的问题(1.1)基态解的存在性.与上述文献相比，我们只需求V(x)e r|c(R3)或V(x)可能在局部区域比％大.这是本文主要结果的新奇之处，其方法是基于约束极小化方法•主要的困难在于非局部项J R b|V u|2d x^u的出现，由于R3的无界性以及带有临界扰动项的非线性而缺乏紧性.此外，由于V(x)非径向对称，故不能将问题限制在径向对称Sobolev空间用(便)中，其中H^R3)j L q(R3)(2<s<6)是紧的.为克服这些困难，必须进行更仔细的分析.特别地，对于序列{u…}c H1(R3)且u…在H1(R3)弱收敛于u,将仔细分析J r3|V u”|2d x和J r3|V u|2d x的不同来恢复紧性.若£=0,则问题(1.1)有一个正基态解，显然，当£趋于0时，对于方程(1.1)来说，我们期望这种结果不会改变.本文将试图证明该现象.本文的主要结果如下.定理1.1假设V(x)满足(旳)和V(x)<a.e.x e R3,(1.5)那么存在£0>0,对任意的£e(0,£o),问题(1.1)有一个正基态解.当位势V(x)不满足(1.5)式时，通过考虑下列极限问题的正基态解—(a+b J|V u|2d x)+V^u=|u|p-2u,x e R3,(1.6)u e H1(R3)证明问题(1.1)的基态解的存在性.事实上根据文献[18,27],在相差平移的情形下，方程(1.6)存在唯一的正的径向对称解，记为w.现陈述如下结果.定理1.2假设V(x)满足(V0),如果存在z e R3满足V(x)|w z|2d x</%w2d x,(1.7)R3其中W z(x):=w(x—z),且w是问题(1.6)的正径向基态解.那么对任意小的£，问题(1.1)存在正的基态解.注意到当V(x)三％时，那么对任意z e R3,(1.7)式成立.此篇论文的结构如下.在第2节，将给出一些符号且回忆了一些学过的知识.在第3节，将给出定理1.1和定理1.2的证明.2准备工作不失一般性，假设％=1.在下文中，将使用以下符号.•H1(R3)是Sobolev空间，其内积和范数如下||训2:=/(a|V u|2+u2)d x.JR3No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解669同时，在这里我们将引入一种等价范数||u||V ：= / (a |V u |2 + V (x )u 2)d x.J r 3予实.上/ (a |V u |2 + u 2)d x < C (a |V u |2 + V (x )u 2)d xJ r 3 — J r 3显然成立.反之,根据(兀)可得，存在R> 0使得当|x | > R 时有V (x ) < 2%,从而有/ (a |V u |2 + V (x )u 2)d x R 3=a |V u |2d x + V (x )u 2d x +V (x )u 2d x J r 3 J\x \>R J\x\<R <a |V u |2d x + 2 / V ^u 2d x 7r 3 J\x \>R+ / ((V (x ))2d x )u 6dx) 3J \x \<R _3 丿< c / (a |V u |2 + u 2)d x.7r 3• D 1，2(R 3)是通常的 Sobolev 空间，其标准范数为 ||u||D ：=(J r 3 |V u |2d x )2.• (O )表示Lebesgue 空间，其中1 < q < g , OC R 3是一个可测集•当O 是R 3的 适当可测子集时，L (O )上的范数为| • |£q (o ).当O = R 3时，其范数为| • |,• c,C i ,C,C i ,…表示一些正常数.问题(1.1)对应的能量泛函是厶:H i (R 3) t R 定义为厶(u )=2(a |V u |2 + V (x )u 2)d x |u |p d x 一； [ |u |6d x.6 J r 3显然, 如下厶G C i (H i (R 3),R )且厶的临界点是问题(1.1)的弱解•问题(1.1)对应的极限方程G H i (R 3),△u + V ^u = |u |p-2u + s |u |4u,x G R 3,(2.1)且其对应的泛函为 —:H i (R 3) t R ,定义如下1 / (a |V u |2 + u 2)d x + -( / |V u |2d x) — - [ |u |p d x —三/ |u |6d x.2 J R34 ' 丿R 3 丿 p J R 3 6 丿R 3与厶具有相同性质的泛函定义如下I (u ) = 1 / (a |V u |2 + V (x )u 2)d x + -( / |V u |2d x) — - [ |u |p d x,2 J r34 ' J r 3 丿 p J r 3I x (u ) = 1 / (a |V u |2 + u 2)d x + [ |V u |2d x) — - [ |u |p d x.2 丿r34 ' J r 3 ) P J r 3定义泛函I ,厶，：和厶心上的Nehari 流形如下N = {u G H 0(R 3)\{0} : I z (u )[u ] = 0}, N = {u G H 0(R 3)\{0} : I ((u )[u ] = 0},N g = {u G H 1(R 3)\{0} : I Q (u )[u ] = 0}, = {u G H 1(R 3)\{0} : I ]；^(u )[u ] = 0}.670数学物理学报Vol.41A 定义m ：= inf Ig 〕 ：= inf /^x . (2.2)N so N e , g 注意到，当£> 0时有m e < m .事实上，设w 满足/g (w ) = m 且存在r e > 0使得r e w e 那么m e < I e ；g (r e w ) < I g (r e w ) < I g (w ) = m. (2.3)弓|理2.1 (i)存在唯一 t u > 0使得t u u eN ,有i (t u u ) = max I (tu ),且u 一 t u 是从H 1(R 3)\{0}到R +的连续映射.若在N g , M 和上分别考虑I g , I 和厶,g ,类似的结论成立.(ii) 对任意的u e M,g ，存在正常数C 〉0使得||训> C> 0,其中C 与£无关.(iii) 对任意的£ e (0,£o ),设u 是约束在M,g 上的厶,g 的极小元，那么存在正常数 C 1 > 0使得|u |p > C 1 > 0,其中C 1与£无关.证 根据标准的讨论，可得⑴成立.(ii)对任意的u e M,g ，由Sobolev 嵌入定理得0 = ||训2 + b |V u |4 — |u |p — £|u |6 > ||u||2 — C 1||u 卩一C 2£||u||6,即||u||2 <C 1||u||p + C 2£||u||6，其中C 1,C 2 > 0与£和U 无关•因此，对任意的£>0,有||训 > C > 0, V u eM ,g(2.4)成立，其中C 是与£和u 无关的正常数.(iii)设u 是厶,g 约束在M,g 上的极小元，可得I £,g (u ) = 4ll u ^2 + 〃4p |u |p + 12£|u |6 = m Q 由上式和(2.3)式可得||u |2 < 4m e + o (1) < 4m. (2.5)从(2.4)式可得||训有正下界，且从(2.5)式可得||训有正上界.因此，利用Sobolev 嵌入定 理，可得C 2|u |p = ||训2 + b ll Vu ll 2 ― £|u |6 > ll u|2 ― c £II 训6 > C 2 ― c 1£ > ~2 > C 1? V £ e (0, £o ),其中C, C 1 > 0与£和u 无关•证毕. I命题2.1下列估计成立a /b 宀3 叫 < 3(2£S +s 6+a 切+桔住s 3+-----------------\ 2S 6 + a S 3 )S a,b , V £ > 0, (2.6)其中s 是最佳Sobolev 常数.证 注意到(2.8)式中的S a ；b 是下列方程解的基态水平lim u (x ) = 0,|x|—>g a + b|V u △u = £|u |4u,x e R 3,(2.7)No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解671即-----------------\ 2S 6 + a S 3 )和=3许+s 6+期)+包汀+2^/r 3 |u |6d x因此，由上式可知a [ |V (tu )|2d x |V (tu )|2d x)—訂 |tu |6d x 2 J r 3 4 ' J r 3 丿 6 J r 3=at 2 / |V u |2d x + 寻4( / |V u |2d x 『3J r 3 12 W r 3 丿a [- 2 -(J r 3 |V u |2d x )2 + \l -2(J r 3 |V u |2d x )4 +4a8 J r 3 |V u |2d x J r 3 |u |6d x =5 |Vu|2dx -----------------------------y ------------------------------------------------------------------------3丿R 3=min (a / |V u |*2d x + -( / |V u |2d x) — - / |u |6d x : u G D 1,2(R 3),I 2 J 4 ' 丿R 3 J 6 丿R 3/ a |V u |2d x + -( [ |V u |2d x) = - / |u |6d x{.7r 3 ' J r 3 丿 7r 3 丿事实上，下列问题R 3(2.8)的正解具有如下形式—△u = |u |4u, u G D 1，2(R 3)x G R 3,(2.9)(3$)1肿 _ (J + |x — x 0|2)2 :事实上，最佳Sobolev 常数S 可通过下式定义血 |V u |2dx _J > 0, x o G R 3.注意到,S = inf ------厂应 .ueD 1,2(R 3)\{0} |u |2 u£D 1.2(R 3)\{0}, u 6 = ^/R 3对任意的u G D X '2(R 3)\{0},存在唯一的t > 0使得tu 满足a [ |V (tu )|2d x + b( [ |V (tu )|2d x) = 8 / |tu |6d x, 丿R 3 '丿R 3 丿 丿R 3inf |V u |2d x.—a [ |V u |2d x = 0,丿R 3(2.10)即通过计算得t 2-(J r 3 |V u |2d x )2 + J -2(J r 3 |V u |2d x )4 十 4«£ J r 3 |V u |2d x J r 3 |u |6d x2^/r 3 |u |6d x ■ -(J r 3 |V u |2d x )2 + j -2(J r 3 |V u |2d x )4 +4处 J r 3 |V u |2d x j R 3 |u |6d x -28 J r 3 |u |6d xJ r 3 |V u |2d x - ” • c 2-I J R 八…I —| +-MJ r 3 |u |6d x ) 3 丿J r 3 |V u |2d x L/ J r 3 |V u |2d x a 68 (J r 3 |u |6d x ) 3VC/r 3 |u |6d x ) 3“ 'I2672数学物理学报Vol.41A\( J r 3 |V "|2dx )2 + -MJ r3 |u |6d x ) 3 丿> S (b S 2 + v b 2S4 + 4a£S ) + 召a / b 宀3/ b 2 十 ab / b 宀33(2£ V 4£2 £ 12(2£+ W J r 3 |V u |2d x 1^2£(J r 3 |u |6d x ) 3护(J r 3 |V u |2d xMJ r 3 |u |6d x )■ s ________________________12 (b S 2 + 7b 2S 4 + 4a£S )J + 4a£ I 2⑵11)另一方面，关于Sobolev 常数S ，设U o 是满足|U o |6 = 1的达到S 的函数，那么存在唯一的 t u o > 0使得t u o U o 满足(2.10)式*因此，通过计算，有|V U o |2d x +12t U 。

两类Kirchhoff型问题的变号解两类Kirchhoff型问题的变号解引言：Kirchhoff型问题是一类重要的偏微分方程问题，其方程形式是一个二阶椭圆型方程。

这个问题在数学和力学领域都有广泛的应用，研究其变号解对于解决实际问题具有重要的理论和实际意义。

本文将介绍和讨论两类Kirchhoff型问题的变号解。

一、第一类Kirchhoff型问题的变号解第一类Kirchhoff型问题的方程形式如下：$$\begin{cases}-\Delta u + V(x)u = f(x,u) & \text{in} \ \Omega \\u=0 & \text{on} \ \partial\Omega\end{cases}$$其中$\Omega$是一个有界开区域，$V(x)$是一个非负函数，$f(x,u)$是一个给定的非线性项。

在研究该问题的变号解时，我们通常要探讨方程右端项$f(x,u)$的非线性性质，并对边界条件和区域形状作出适当的假设。

许多学者在研究中发现，第一类Kirchhoff型问题在某些情况下具有变号解。

特别是当非线性项$f(x,u)$满足一些特殊条件，我们可以得到符号变化的解。

例如，当$f(x,u)$为Pohozaev型非线性函数时，方程具有正解和负解的共存现象。

这种现象在材料科学和量子力学等领域中都有重要的应用。

二、第二类Kirchhoff型问题的变号解第二类Kirchhoff型问题的方程形式如下：$$\begin{cases}-\text{div}\Big(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\Big) + V(x)u = f(x,u) & \text{in} \ \Omega \\u=0 & \text{on} \ \partial\Omega\end{cases}$$其中$p>1$是给定的常数，$V(x)$是一个非负函数，$f(x,u)$是一个给定的非线性项。

弹性细杆弯曲的kirchhoff方程的违约校正求解
“弹性细杆弯曲的Kirchhoff方程的违约校正求解”一直是国内外研究者广泛研究的热点话题。

因为它能够得到更有效的违约校正结果，而不会在运算过程中犯出任何错误，因此在机械系统分析中越来越受到重视。

Kirchhoff方程是以节点力学理论为基础，用来描述连接两个相邻节点的弹性细杆的弯曲和屈曲力的方程。

它的数值求解作为机械系统建模的基础，用于研究细杆的移动特性、弹性变形特性以及抗弯性能。

在计算机视觉、机器人技术、机电一体化等领域中也有很大的应用。

违约校正是指通过使用某种优化算法，在满足Kirchhoff方程约束条件的前提下，从有限杆件节点出发，以达到弹性细杆弯曲优化分布或使杆件受力均衡、杆件等属性达到指定要求的一种求解方法。

其运算过程可以拆分为杆件构形优化、力学参数计算和参数空间优化三个基本步骤。

通过违约校正求解Kirchhoff方程，可以解决机械系统数值计算过程中杆件受力均衡以及杆件构形优化问题，从而确保数值计算的精确性和建模的准确性，同时减少求解时间和求解数量，更有利于系统安全性和稳定性。

由于Kirchhoff方程可以用于表达建模思想，研究者们正在致力于运用最新的技术，在遵守力学约束的前提下持续提高弹性细杆弯曲的违约校正求解的精度。

诸多大学研究团队也正在研究怎样更有效地应用Kirchhoff方程，期望能够给中国人民带来更多实用的技术成果。

Kirchhoff方程解的指数衰减性质秦雨萍;张双;蒲志林【摘要】In this paper, the exponential decay for solutions to Kirchhoff equation is studied based on method of nonlinear Kirchhoff equation and nonlinear wave equation. The boundedness of solutions is obtained by Calerkin approximation. Moreover, exponential decay of solution for Kirchhoff equation are proved at specific condition by constructuring an appropriate Lyaponuv function. The results obtained in this paper play a positive role for further study of Kirchhoff equation.%研究了Kirchhoff方程解的指数衰减性,借助于非线性Kirchhoff方程和非线性波动方程解的性质,利用Galerkin方法证明了解的有界性,进一步通过构建适当的Lyapunov函数,证明特定条件下Kirchhoff方程解呈指数衰减.该理论的证明对完善Kirchhoff方程解的研究有积极的意义.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)003【总页数】4页(P318-321)【关键词】Kirchhoff方程;有界性;指数衰减【作者】秦雨萍;张双;蒲志林【作者单位】成都理工大学工程技术学院,四川乐山614000;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066;成都理工大学工程技术学院,四川乐山614000;澳门大学科技学院生物医学工程实验室,澳门999078;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066【正文语种】中文【中图分类】O175.25本文考虑如下Kirchhoff方程其中，p≥2，ω，λ＞0，另外p还需满足本文主要目的是研究强阻尼Kirchhoff方程解的衰减性.Kirchhoff方程是一类重要的非线性波动方程，它起源于对弹性细绳的微小振动的描述这里，0＜x＜L，t≥0，u=u(x，t)是在u(x，t)时的横向位移，E是Young系数，ρ是密度，h是振动高度，L是长度，p0是初始张力，δ是阻力系数，f是外力.当δ=f=0时，这个方程是由G.Kirchhoff第一次提出，因此以他的名字命名.一百多年来，有很多人研究过Kirchhoff方程，取得了一系列重要进展，尤其是对Kirchhoff方程初边值问题解的有界性及其衰减性的研究取得了丰硕的成果.当ω=0时，文献［1-3］有相应的研究，并得出了解的有界性、一致衰减、爆破等结论;当ω＞0时，若将(1)系统中(1+‖▽u‖22)△u项替换为△u，系统就转化为了半线性阻尼波动方程，在文献［4-6］中则证明了解的渐近性，爆破性以及解的整体存在性和指数衰减性.对于Kirchhoff方程对其解的存在性做了较多的工作，详见文献［2-3］，而对更一般的方程(1)其解的衰减性的研究还不常见，因此本文讨论了当ω＞0时Kirchhoff方程(1)解的衰减性.本文对(1)式的解的衰减性研究思想主要来源于文献［1，5］，而研究中出现的主要困难就在于如何运用Galerkin近似方法证明Kirchhoff方程(1)解的有界性，比如能构造一个恰当的Lyapunov函数.为此本文借助于文献［1，6-7］中证明的思想，受文献［8］的启发，找到了适合方程(1)的Lyapunov函数，从而证明了该方程的解有界且呈指数衰减.1 预备知识设u满足u∈C0((0，+∞)，(Ω))，ut∈C((0，+∞);L2(Ω))，通过(2)式定义两个函数：且满足对于方程(1)，它所对应的能量泛函为用ut与(1)式两边做内积有定义Nehari展式其中在下面的证明中将多次用到，定义2 解的衰减性的证明用类似文献［8］中的Galerkin方法，可证得(1)～(2)式存在唯一解，且u∈C0((0，+∞)，(Ω))，ut∈C((0，+∞);L2(Ω)).引理2.1 对于(1)～(2)式，若u0∈N+，u1∈L2(Ω)，且E(0)＜d，那么∀t∈［0，+∞)，U(t，·)∈N+.证明由N+的定义，存在T*≤T，任取t∈［0，T*)满足I(u(t，·))≥0有由(6)式知，E(t)是关于t的单调不增函数，故由(7)式有故故即I(t)＞0，u(t，·)∈N+，重复上面的过程，引理2.1得证.引理2.2 对于(1)～(2)式，若u0∈H1(Ω)，u1∈L2(Ω)，则u满足证明用v=ut+αu与(1)式作内积，其中0＜可得因为有下面不等式成立由(5)式知，存在K＞0，使得所以整理有令其中故从而(9)式整理得令故有由Gronwall不等式可得y(t)≤y(0)e-δt+2αK(1-eδt)，t≥0.故存在t0，当t≥t0时有y(t)≤μ2，则其中引理2.3 对于(1)～(2)式，若u0∈N+，u1∈L2(Ω)，且E(0)＜d，则存在与t有关的正常数C、δ，满足证明构造(1)～(2)式对应的泛函如下：则在R(t)、E(t)之间存在与ϵ有关的常数α1，α2＞0，满足对(10)式中的t求导有又因为有下面不等式成立再结合(7)式及引理2.1的结论，(12)式有让δ足够小，存在C0＞0(取决于δ)，使得(13)式满足由(11)式知，存在正数L，满足令L≤2 min{C0，2}，且让ϵ充分小，使得从而使得(14)式可简化为由(11)式可得对(15)式两边在(0，t)上积分有即有结论其中引理2.3得证.参考文献［1］王玉兰，宋小军.一类反应扩散方程组的解的爆破［J］.西南师范大学学报：自然科学版，2006，31(5)：43-46.［2］廖为，蒲志林.一类缺乏紧性的P-Laplacian方程非平凡弱解的存在性［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2006，29(1)：26-29.［3］张再云.强阻尼非线性Kirchhoff方程的局部解［J］.湖南工业大学学报，2007，21(2)：43-45.［4］Zhang Y，Pu Z L.Boundedness of the solution to the nonlinear Kirchhoff equation［J］.西南师范大学学报：自然科学版，2008，33(6)：5-8. ［5］Park J Y.Uniform decay of solution for wave equation of Kirchhoff type［J］.Nonlinear Anal，2002，31(50)：871-884.［6］Gazzola F，Squassina M.Global solutions and finite time blow up for damped semilinear wave equations［J］.Ann Inst H Poincare，2006，23：185-207.［7］姜静香，秦剑峰.一类Kirchhoff方程的爆破［J］.渤海大学学报：自然科学版，2005，26(2)：145-149.［8］Zuazua E.Exponential decay for the semilinear wave equation with locally distributed damping［J］.Commun Part Diff Eqns，1990，15：205-235.［9］Nakao M.An atractor for a nonlinear dissapative wave equation of Kirchhoff type［J］.J Math Anal Appl，2009，353：652-659.［10］Ball J M.Global attractors for damped semilinear wave equations ［J］.Discrete Contin Dyn Sys，2004，10：31-52.［11］Gerbi S，Said-Houari B.Exponential decay for solutions to semilinear damped wave equation［J］.Discrete Contin Dyn Sys，2011，S5(3)：559-566.［12］Leonetti L，Mazza M.A symmetric boundary element model for the analysis of Kirchhoff plates［J］.Engin Anal Bound Elem，2009，33：1-11. ［13］Mao A M，Zhang Z T.Sign-changing and multiple solutions of Kirchhoff type problems without the P.S.condition［J］.Nonlinear Anal：TMA，2009，70：1275-1287.［14］Cheng B T，Wu X.Existence results of positive solutions of Kirchhoff type problems［J］.Nonlinear Anal：TMA，2009，71：4883-4892.［15］Autuori G，Pucci P.Kirchhoff systems with dynamic boundary conditions［J］.Nonlinear Anal：TMA，2010，73：1952-1965.［16］Ghisi M，Gobbino dly degenerate Kirchhoff equations with weak dissipation：Global existence and time decay［J］.J Diff Eqns，2010，248：381-402.。

Kirchhoff型方程的标准化解的开题报告Kirchhoff型方程在科学工程领域中广泛应用，因其具有非常重要的物理意义和数学复杂性。

为了解决这种类型的方程，许多数学家和工程师开始关注其标准化解。

这种解决方案可用于计算电磁场、声波传播以及其他物理现象。

本开题报告将介绍基本的Kirchhoff型方程及其广泛应用范围。

我们将研究标准化解决方案，包括边界条件和求解方法，以便更好地理解这种解法。

我们还将探讨这种解决方案的计算效率和准确性，并提供实际应用例子。

下面是我们所提供的开题报告的详细内容：一、引言Kirchhoff型方程被广泛应用，用于模拟各种物理现象，例如电磁场和声波传播。

这种复杂方程的解决方案往往需要高度计算复杂性和精确性。

因此，标准化解决方案被广泛研究和应用，以更好地处理各种问题，包括电磁场辐射、辐射信号处理等。

本报告将探讨Kirchhoff型方程的标准化解决方案，以及它们的应用。

二、Kirchhoff型方程基础知识Kirchhoff型方程是用于描述电磁场和声波传播的方程，是Maxwell方程的解析解。

它由二次元的Green函数建立，边界条件通常用于确定电流源和电磁辐射。

这种方程被广泛应用于无线通信、雷达技术和电磁兼容性等领域。

三、标准化解决方案为了解决Kirchhoff型方程，许多数学家和工程师开始关注标准化解决方案，这种方案包括一系列的边界条件和求解方法。

这些方法通常分为数值和解析方法。

数值方法包括有限元方法、有限差分方法等，解析方法包括Fourier变换、离散符号方法（DSM）等。

四、应用举例我们将怎样应用标准化解决方案来解决实际问题，例如计算电磁场散射、声波传播等。

我们将研究这些方法的性能、解决方案的准确性和计算效率，并与其他计算方法进行比较。

五、总结最后，我们将总结这篇报告，强调Kirchhoff型方程的重要性以及标准化解决方案在解决实际问题中的应用。

我们还将讨论未来研究方向，以便进一步发展这种类型的解决方案。