【北京特级教师】2014-2015学年人教A版数学必修二课后练习：空间中的平行关系 一

高中数学学习材料唐玲出品学科：数学专题：空间中的平行关系题1考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊆αl ∥m ⇒l ∥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α．题2P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出四个结论：①OM ∥PD ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC ，其中正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4题3四边形ABCD 是长方形，四个顶点在平面α上的射影分别为A '、B '、C '、D '，直线B A ''与D C ''不重合．①求证：四边形D C B A ''''是平行四边形；②在怎样的情况下，四边形D C B A ''''是长方形？证明你的结论．题4经过正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 作一平面交平面11AA D D 于1EE ，求证：1EE //1BB题5如图，三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别为111,A B B C 的中点．求证：//BC 平面1MNB ．题6如图所示，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，BC ＝39，G 是△ABC 的重心．过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________．题7四边形ABCD 是正方形，S 为四边形ABCD 所在平面外一点，SA ＝SB ＝SC ＝SD ，P 是SC 上的点，M 、N 分别是SB 、SD 上的点，且SP ∶PC ＝1∶2，SM ∶MB ＝SN ∶ND ＝2∶1，求证：SA ∥平面PMN ．题8如图是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1截去一个角后得到的几何体，E ，F 分别是B 1D 1，AB 1的中点．求证：EF ∥平面BB 1C 1C ．题9过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A．4条B．6条C．8条D．12条课后练习详解题1答案：l ⊄α．详解：①由线面平行的判定定理知l ⊄α；②易知l ⊄α．题2答案：C ．详解：矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O 点,所以O 为BD 的中点．在△PBD 中,M 是PB 的中点, 所以OM 是中位线, OM ∥PD ，则OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA ．答案: C ．题3答案：见详解．详解：①α⊥'A A ，α⊥'B B ，B B A A ''∴//，C C B B A A '''∴面//．同理C C B B AD ''面//， C C B B D D A A ''''∴面面//，C B D A ''''∴//同理D C A A '''//．B A '' 与D C ''不重合， D C B A ''''∴为平行四边形．②在面α//ABCD 时，四边形D C B A ''''为长方形．α//ABCD ，ABCD A A ⊥'∴， AB A ⊥'∴，D D A A AD ''⊥∴．B A AB ''// ，D D A A B A ''⊥''∴，D A A B ''⊥''∴，D C B A ''''∴为长方形．题4证明：11111111111////AA BB AA BEE B AA BEE B BB BEE B ⎫⎪⊂⇒/⎬⎪⊂⎭平面平面平面1111111111111////AA BEE B AA ADD A AA EE ADD A BEE B EE ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭平面平面平面平面，又11//AA BB ，则11//BB EE题5答案：见详解．详解：11//BC B C ，且11B C ⊂平面1MNB ,BC ⊂/平面1MNB ∴//BC 平面1MNB ．题6 答案：2339． 详解：∵BC ∥平面α，平面α∩平面ABC ＝MN ，∴BC ∥MN ．又∵G 是△ABC 的重心，∴AG ∶GD ＝2∶1，∴AG ∶AD ＝2∶3．∴MN ∶BC ＝2∶3．又∵在△ABC 中，BC ＝39．∴MN ＝2339． 题7答案：见详解．详解：取SC 的中点E ，取AC 、BD 的交点为O ，连结OE ，得OE ∥SA ．设SO 与MN 交于F ，连结PF ．∵SM ∶MB ＝SN ∶ND ＝2∶1∴MN ∥BD ， 且SF ∶FO ＝2∶1．又SP ∶PC ＝1∶2，SE ＝EC ，∴SP ∶PE ＝2∶1． ∴SF ∶FO ＝SP ∶PE ．∴PF ∥EO ． ∴SA ∥PF ．又SA ⊄平面PMN ． ∴SA ∥平面PMN ．题8答案：见详解．详解：∵E ，F 分别是B 1D 1，AB 1的中点，∴EF ∥AD 1，又AD 1∥BC 1，∴EF ∥BC 1，又∵EF ⊄平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴EF ∥平面BB 1C 1C ．题9答案：D ．详解：如图所示，以E 为例，易证EI ,EQ ∥平面DBB 1D 1，与E 处于同等地位的点还有F ,G ,H ,M ,N ,P ,Q ,故有符合题意的直线8282⨯=条．以I 为例，易证IE ∥平面DBB 1D 1，与I 处于同等地位的点还有J ,K ,L ,故有符合题意的直线4条，则共有8+4=12条．选D ．。

学科：数学专题：空间中的平行关系题1对于不重合的两直线m 、n 和平面α，下列命题中的真命题是( )．A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nC ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交D ．如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n题2α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ．如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )．A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．只有②题3如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．题4ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH ．题5如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点．（Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ；（Ⅱ）在棱11D C 上是否存在一点F ，使F B 1//平面BE A 1？证明你的结论．题6如图所示，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．题7如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B ．题8如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)在所给直观图中连接BC ′，证明：BC ′∥平面EFG ．题9如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．课后练习详解题1答案：B ．详解：如图所示，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线AB ⊂平面AC ，直线CC 1⊄平面AC ，直线AB 和直线CC 1是异面直线，但是直线CC 1∩平面AC ＝C ，排除A ；直线AB ⊂平面AC ，直线B 1C 1⊄平面AC ，直线AB 和直线B 1C 1是异面直线，但是直线B 1C 1∥平面AC ，排除C ；直线A 1B 1∥平面AC ，直线B 1C 1∥平面AC ，直线A 1B 1和直线B 1C 1共面，但是直线A 1B 1∩直线B 1C 1＝B 1，排除D ．题2答案：C ．详解：若填入①，则由a ∥γ，b ⊂β，b ⊂γ，b ＝β∩γ，又a ⊂β，则a ∥b ；若填入③，则由a ⊂γ，a ＝α∩β，则a 是三个平面α、β、γ的交线，又b ∥β，b ⊂γ，则b ∥a ；若填入②，不能推出a ∥b ，可以举出反例，例如使β∥γ，b ⊂γ，画一草图可知，此时能有a ∥γ，b ∥β，但不一定a ∥b ，有可能异面．从而A 、B 、D 都不正确，只有C 正确．题3证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥．又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ，∴D C A EF 11平面⊥． ①∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，∴111C A BB ⊥．∵四边形1111D C B A 为正方形，∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ，∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥．同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ，∴D C A BD 111平面⊥． ②由①、②可知：1//BD EF ．题4答案：见详解详解：如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥GH ．题5答案：见详解．详解：（Ⅰ） 因为多面体1111D C B A ABCD -为正方体，所以1111B C ABB A ⊥面；因为111A B ABB A ⊂面，所以111B C A B ⊥．又因为11A B AB ⊥，1111B C AB B ⋂=，所以111A B ADC B ⊥面．因为11A B A BE ⊂面,所以平面11ADC B ⊥平面1A BE ．（Ⅱ）当点F 为11D C 中点时，可使F B 1//平面BE A 1．以下证明之：易知：EF //112C D ，且EF 11=2C D ，设11AB A B O ⋂=，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D 所以EF //1B O 且EF 1=B O ， 所以四边形1B OEF 为平行四边形．所以1B F //OE ．又因为11B F A BE ⊄面，1OE A BE ⊂面．则F B 1//平面BE A 1题6答案：见详解．详解：当F 是棱 PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ． ∵FM ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，∴FM ∥平面AEC ，由EM ＝12PE ＝ED ，得E 是MD 的中点． 连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 是BD 的中点，所以BM ∥OE ．∵BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴BM ∥平面AEC ，∵FM ∩BM ＝M ，∴平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ，所以BF ∥平面AEC ．题7答案：见详解．详解：证法一：如图，作ME ∥BC ，交B 1B 于E ，作NF ∥AD 交AB 于F ，连接EF ，则EF ⊂平面AA 1B 1B ．∴ME BC ＝B 1M B 1C ，NF AD ＝BN BD． ∵在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，CM ＝DN ，∴B 1M ＝BN ．又∵B 1C ＝BD ，∴ME BC ＝BN BD ＝NF AD． ∴ME ＝NF ．又ME ∥BC ∥AD ∥NF ．∴四边形MEFN 为平行四边形．∴MN ∥EF ，∴MN ∥平面AA 1B 1B ．证法二：如图，连接CN 并延长交BA 所在直线于点P ，连接B 1P ，则B 1P ⊂平面AA 1B 1B ．∵△NDC ∽△NBP ，∴DN NB ＝CN NP． 又CM ＝DN ，B 1C ＝BD ，∴CM MB 1＝DN NB ＝CN NP． ∴MN ∥B 1P ．∵B 1P ⊂平面AA 1B 1B ，∴MN ∥平面AA 1B 1B ．题8答案：见详解．详解: (1)如图．(2)在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，连接AD ′，则AD ′∥BC ′．因为E ，G 分别为AA ′，A ′D ′中点，所以AD ′∥EG ，从而EG ∥BC ′．又EG ⊂平面EFG ，BC ′⊄平面EFG ，所以BC ′∥平面EFG ．题9答案：见详解．详解：已知：直线α⊄a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b ab a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交， 则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b ab a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵．。

学科：数学专题：点线面综合问题主讲教师：纪荣强北京四中数学教师题1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．(1)求证：MN∥平面A1CD；(2)过N，C，D三点的平面把长方体ABCD－A1B1C1D1截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．题2已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．题3设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是()．A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α题4正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值；(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比．题5若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是．(只须写出一个可能的值) 题6一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图(1)和(2)所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图(2)指定的位置画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．（1）（2）题7如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ．题8如图，在四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE＝BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BC；(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．题9如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH 截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()．A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台课后练习详解题1答案：见详解．详解: (1)设点P 为AD 的中点，连结MP 、NP ，∵点M 是BC 的中点，∴MP ∥CD ．∵CD ⊂平面A 1CD ，MP ⊄平面A 1CD ，∴MP ∥平面A 1CD ．∵点N 是AA 1的中点，∴NP ∥A 1D ．∵A 1D ⊂平面A 1CD ，NP ⊄平面A 1CD ，∴NP ∥平面A 1CD ．∵MP ∩NP ＝P ，MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，∴平面MNP ∥平面A 1CD ．∵MN ⊂平面MNP ，∴MN ∥平面A 1CD ．(2)取BB 1的中点Q ，连结NQ 、CQ 、ND ，∵点N 是AA 1的中点，∴NQ ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴NQ ∥CD ，∴过N 、C 、D 三点的平面NQCD 把长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直棱柱QBC －NAD ，另一部分几何体为直四棱柱B 1QCC 1－A 1NDD 1，∴S △QBC ＝12·QB ·BC ＝12×1×1＝12，∴直三棱柱QBC －NAD 的体积V 1＝S △QBC ·AB ＝12． ∵长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝1×1×2＝2，∴直四棱柱B 1QCC 1－A 1NDD 1的体积V 2＝V －V 1＝32， ∴V 1V 2＝1232＝13，∴所截成的两部分几何体的体积的比值为13． 题2答案：①②④．详解:①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．题3答案：D ．详解:对于选项A ，要注意直线a ，b 的方向相同时才平行；对于选项B ，可用长方体验证．如图，设A 1B 1为a ，平面AC 为α，BC 为b ，平面A 1C 1为β，显然有a ∥α，b ∥β，α∥β，但得不到a ∥b ；对于选项C ，可设A 1B 1为a ，平面AB 1为α，CD 为b ，平面AC 为β，满足选项C 的条件却得不到α∥β，故C 不正确；对于选项D ，可验证是正确的．题4答案：（1）411a ；（2）64553a 2；（3）169． 详解: (1)沿侧棱AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图．如图，当周长最小时，EF 在直线BB ′上，∵ΔABE ≌ΔB ′AF ，∴AE ＝AF ，AC ＝AD ，∴B ′B ∥CD ，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE ＝BC ＝a ，同理B ′F ＝B ′D ＝a ．∵ΔFDB ′∽ΔADB ′，∴B D DF '＝B A B D ''，a DF ＝a a 2＝21,∴DF ＝21a ,AF ＝23a ．又∵ΔAEF ∽ΔACD ，∴BB ′＝a +43a +a ＝411a ,∴截面三角形的周长的最小值为411a ．(2)如图，∵ΔBEF 等腰，取EF 中点G ，连BG ，则BG ⊥EF ．∴BG ＝22EG BE -＝22)83(a a -＝855a ∴S ΔBEF ＝21·EF ·BG ＝21·43a ·855a ＝64553a 2． (3)∵V A -BCD ＝V B -ACD ，而三棱锥B —AEF ，三棱锥B —ACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即CAD B AEF B V V --＝ACD AEF S S △△＝22CD EF ＝169 题5 答案：611或1214． 详解：该题的显著特点是结论发散而不惟一．本题表面上是考查锥体求体积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的． 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积．由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体． 对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看下图所示，设AD =1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以V ABCD =31S ΔBCM ·AD ． CM =22DM CD -=22)21(2-=215．设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN =22CN CM -=1415-=211，从而S ΔBCM =21×2×211=211， 故V ABCD =31×211×1=611．对于对棱相等的四面体，可参见图2．其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行．亦可套公式V =122·222222222()()()a b c b c a c a b +-+-+-， 不妨令a =b =2，c =1，则V =122·)441)(414)(144(-+-+-+=122·7=1214． 题6答案：(3)5a 2．详解: (1)(2)如图，连结AC 、BD ，交于O 点．∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点．∴在△AA 1C 中，OE 为△AA 1C 的中位线，∴OE ∥A 1C ．∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴OE ∥平面A 1C 1C ．word 格式-可编辑-感谢下载支持(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，S 1111A B C D ＝a 22， 1ABA S ＝1B BC S ＝1C DC S ＝1ADD S ＝a 22，11AA D S ＝11B A B S ＝11C B C S ＝11DC D S＝12×2a 2×32a 4＝3a 28，所以该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2． 题7答案：见详解．详解：连接CD 1、AD 1，∵P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1，又CD 1⊄平面BPQ ，PQ ⊂平面BPQ ，∴CD 1∥平面BPQ ．又D 1Q ＝AB ＝1，D 1Q ∥DC ∥AB ，∴四边形ABQD 1是平行四边形，∴AD 1∥BQ ， 又∵AD 1⊄平面BPQ ，BQ ⊂平面BPQ ，∴AD 1∥平面BPQ ．又AD 1∩CD 1＝D 1，∴平面ACD 1∥平面BPQ ．∵AC ⊂平面ACD 1，∴AC ∥平面BPQ ．题8证明：(1)因为BM ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以BM ⊥AE ．因为AE ⊥BE ，且BE ∩BM ＝B ，BE 、BM ⊂平面EBC ，所以AE ⊥平面EBC ．因为BC ⊂平面EBC ，所以AE ⊥BC ．(2)法1：取DE 中点H ，连接MH 、AH ．因为BM ⊥平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，所以BM ⊥EC ．因为BE ＝BC ，所以M 为CE 的中点．所以MH 为△EDC 的中位线，所以MH 平行且等于 12DC ． 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以DC 平行且等于AB ．word格式-可编辑-感谢下载支持故MH平行且等于AB．因为N为AB的中点，所以MH平行且等于AN．所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH．因为MN⊄平面ADE，AH⊂平面ADE，所以MN∥平面ADE．法2：取EB的中点F，连接MF、NF．因为BM⊥平面ACE，EC⊂平面ACE，所以BM⊥EC．因为BE＝BC，所以M为CE的中点，所以MF∥BC．因为N为AB的中点，所以NF∥AE，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC．所以MF∥AD．因为NF、MF⊄平面ADE，AD、AE⊂平面ADE，所以NF∥平面ADE，MF∥平面ADE．因为MF∩NF＝F，MF、NF⊂平面MNF，所以平面MNF∥平面ADE．因为MN⊂平面MNF，所以MN∥平面ADE．题9答案：D．详解:∵EH∥A1D1，∴EH∥BC，∴EH∥平面BCC1B1．又过EH的平面EFGH与平面BCC1B1交于FG，∴EH∥FG．故A成立．B中，易得四边形EFGH为平行四边形，∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥EF，即FG⊥EF，∴四边形EFGH为矩形．故B正确．C中可将Ω看做以A1EFBA和D1DCGH为上下底面，以AD为高的棱柱．故C正确．。

人教版高中数学必修第二册空间中的平行关系课后练习1.下列选项中，一定能得出直线m 与平面α平行的是()A．直线m 在平面α外B．直线m 与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m 与平面内的一条直线平行D．直线m 与平面α内的一条直线平行2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对3.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行5.①若直线a 在平面α外，则a ∥α；②若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；③若直线a ∥b ，b ⊂α，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．36.已知l ，m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是________．7.平面α∥平面β，直线l ∥α，则直线l 与平面β的位置关系是________．8.已知平面α，β和直线a ，b ，c ，且a ∥b ∥c ，a ⊂α，b ，c ⊂β，则α与β的关系是________．9.设a ，b 是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b ；②若α∥β，a ∥α，a ⊄β，则a ∥β；③若α∥β，A ∈α，过点A 作直线l ∥β，则l ⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是________．10.如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点．求证：PD ∥平面MAC .11.如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点，求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．12.已知如图，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点．（1）当等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1？（2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求的值．答案1.C2.C3.B4.B5.B6.α⊄l7.ββ⊂l l 或//8.相交或平行9.②③④．10.证明:如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接MO ，则MO 为△BDP 的中位线，∴PD ∥MO .∵PD ⊄平面MAC ，MO ⊂平面MAC ，∴PD ∥平面MAC .11.证明：（Ⅰ）取BD 中点O ．连接OE ，OD1，则OE DC ，∴OE ∥D 1G∴四边形OEGD 1是平行四边形∴GE ∥D 1O ，又D 1O ⊂平面BDD 1B 1，且EG ⊄平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1，（4分）（Ⅱ）取BB 1中点M ，连接HM 、C 1M ，则HM ∥AB ∥C 1D 1，∴HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1，又MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面HB 1D 1，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，∴平面BDF ∥平面HB 1D 1．（8分）12.解：（1）如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1．由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O 、D 1分别为A 1B 、A 1C 1的中点，∴OD 1∥BC 1．又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1．∴＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1，（2）由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ．因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1．∴＝，＝．又∵＝1，∴＝1，即＝1．。

第八章立体几何初步8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=lB.α∥β,l∈αC.l∥β,l⊄αD.α∥β,l⊂α2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.3.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确.4.如果空间的三个平面两两相交,那么()A.不可能只有两条交线B.必相交于一点C.必相交于一条直线D.必相交于三条平行线,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点()A.有有限个B.有无数个C.不存在D.不存在或有无数个,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点.6.以下说法正确的是()A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行D.若点M∈l,点N∈l,N∉α,M∈α,则直线l与平面α相交a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N∉α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D.7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是.a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有条.,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,∴B1D1⊂平面A1B1C1D1.∵B1∈平面BB1C1C,D1∉平面BB1C1C,∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.关键能力提升练11.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.以上三种情况都有可能a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b⊂α,或b与α相交.12.(多选题)以下结论中,正确的是()A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行①所示,过点P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错,B正确;如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错.13.(多选题)下列说法中正确的是()A.若直线a不在平面α内,则a∥αB.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αC.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点D.平行于同一平面的两直线可以相交中,直线a也可能与平面α相交,故A错误;B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误;C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确;D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确.14.一个正方体的平面展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中()A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD异面,则在原来的正方体中,由异面直线的定义可知AB与CD异面.故选D.15.下列命题正确的有.(填序号)①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;④若直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β.显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a 与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的.16.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.∥b,a∥β.证明如下.由α∩γ=a知a⊂α,且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β,且b⊂γ.∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a,b无公共点.又∵a⊂γ,且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.学科素养创新练17.若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是()A.平面α内的所有直线与a异面B.平面α内不存在与a平行的直线C.平面α内存在唯一的直线与a平行D.平面α内的直线与a都相交a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B.18.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a∥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以α∥β,故C正确;D中,直线a与平面β有可能平行,所以a,b可能相交,也可能平行,故D错误.。