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数学建模中的图论方法一、前言我们知道，数学建模比赛中有问题A和问题B。
一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是失散系统中的问题。
因为我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比率较大，而离散数学比率较小。
所以好多人有这样的感觉，A题下手快，而B题不好下手。
其他，在有限元素的失散系统中，相应的数学模型又可以区分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。
但是这种问题在MCM中特别少见，事实上，由于比赛是开卷的，参照有关文件，使用现成的算法解决一个P类问题，不可以显示参赛者的建模及解决实诘问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都还没有成立有效的算法，或许真的就不行能有有效算法来解决。
命题经常以这种NPC问题为数学背景，找一个详细的实质模型来考验参赛者。
这样增添了成立数学模型的难度。
但是这也其实不是说没法求解。
一般来说，因为问题是详细的实例，我们可以找到特其他解法，或许可以给出一个近似解。
图论作为失散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的好多方面都能供给有力的数学模型来解决实诘问题，所以吸引了好多研究人员去研究图论中的方法和算法。
应当说，我们对图论中的经典例子或多或少仍是有一些认识的，比方，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。
图论方法已经成为数学模型中的重要方法。
好多灾题因为归纳为图论问题被奇妙地解决。
并且，从历年的数学建模比赛看，出现图论模型的频次极大，比方：AMCM90B－扫雪问题；AMCM91B－找寻最优Steiner树；AMCM92B－紧迫修复系统的研制(最小生成树)AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题)CMCM93B－足球队排名(特点向量法)CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立极点集、最小覆盖等用来证明最优性)CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路)等等。
这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。
数学建模方法详解数学建模是指利用数学方法来研究和分析实际问题，并通过构建数学模型来描述和解决这些问题的过程。
数学建模具有很高的理论性和广泛的应用性，可以应用于科学、工程、经济等众多领域。
下面详细介绍几种常用的数学建模方法。
一、优化建模方法优化建模方法是指在给定的约束条件下，寻求其中一种目标函数的最优解。
该方法常用于生产、运输、资源分配等问题的优化调度。
优化建模的一般步骤包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件、制定求解算法以及分析和验证最优解。
二、动力系统建模方法动力系统建模方法是指将实际问题转化为一组微分方程或差分方程，研究系统在时间上的演化规律。
该方法可以用于描述和预测物理、生物、经济等多个领域的系统行为。
动力系统建模的关键在于建立正确的微分方程或差分方程，并选择合适的求解方法。
三、决策分析建模方法决策分析建模方法是指将决策问题转化为数学模型，并采用数学方法进行决策分析和评估。
该方法常用于风险管理、投资决策、供应链管理等领域。
决策分析建模的关键在于准确描述决策者的目标和偏好，并选择合适的决策规则进行决策分析。
四、统计建模方法统计建模方法是指利用统计学理论和方法来描述和分析实际问题。
该方法多用于数据分析、预测和模式识别等领域。
统计建模的过程包括收集数据、建立概率模型、估计模型参数以及进行模型检验和应用。
五、图论建模方法图论建模方法是指利用图论的理论和方法来描述和分析网络结构和关联关系。
该方法常用于社交网络分析、路径规划、电力网络优化等领域。
图论建模的关键在于构建网络模型，并选择适当的图算法进行分析和优化。
六、随机模型建模方法随机模型建模方法是指利用随机过程和概率论的理论和方法来描述和分析随机现象。
该方法常用于金融风险管理、信号处理、系统可靠性评估等领域。
随机模型建模的关键在于建立正确的随机过程模型，并进行概率分布和随机变量的分析。
七、模拟建模方法模拟建模方法是指利用计算机仿真技术来模拟和分析实际问题。
《数学建模》讲座：数学建模中的图论方法图论是离散数学的重要组成部分，它对于自然科学、工程技术、经济管理和社会现象等诸多问题，能够提供有力的数学模型加以解决，特别在国内外大学生数学建模竞赛当中，有不少问题可以应用图论模型解决。
我们在此有针对性地把图论的骨干概念和结论以及相关的有效算法做一简要介绍，愿听者增强图论建模的意识和能力。
MCM中与图论有关的题目：1．90-B 扫雪问题（二邮递员中国邮路问题）求欧拉回路的Fleury算法2．91-B 通讯网络的最小生成树寻找最优Steiner树3．92-B 应急电力修复系统最小生成树算法4．94-B 计算机网络的最小接通时间中国大学生数学建模竞赛试题：1. 94-A 逢山开路利用求最短路的Dijkstra算法94-B 锁具装箱DFS算法2. 98-B 灾情巡视路线多邮递员中国邮路问题3. 99-B 钻井布局4. 00-B 钢管订购和运输§1 图论的基础知识图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物及其关系的一个数学系统。
在历史上，图论的创立开始于对著名的nigsbergK 七桥问题的研究。
oK 是18世纪欧洲的一个城市，位于Pregel河畔，河中有两个岛屿A和onigsbergD，人们架设了七座桥把河岸和两个小岛连接起来。
当时城中的居民热衷于讨论这样一个问题：要从任何一块陆地出发，能否通过每座桥一次且不重复，最后返回出发地(图1)？瑞士数学家欧拉于1736年解决了这个问题，他发表了图论的第一篇论文（！），证明了七桥问题是无解的。
同时他提出并解决了更为一般的问题，从而奠定了图论的基础。
BC AD图1一.图的基本概念图G 是由非空结点集{}n v v v V ,,,21 =以及边集{}m e e e E ,,,21 =所组成，记作()E V G ,=。
它的结点数称为阶。
根据边有无方向，图分为有向图和无向图。
图论数学建模实验报告1. 引言图论作为一门数学分支学科，研究由节点和边构成的图结构，被广泛应用于物理、计算机科学、社交网络等领域。
本实验旨在利用图论的基本概念和算法，对一个特定问题进行建模与求解。
2. 实验目的通过图论数学建模实验，我们希望能够掌握以下几个方面的能力：1. 理解图论的基本概念，如图、节点、边等；2. 熟悉图的表示方法，如邻接矩阵、邻接表等；3. 掌握常见的图算法，如最短路径算法、最小生成树算法等；4. 能够将实际问题抽象为图论问题，并利用图论算法进行求解。
3. 实验内容3.1 问题描述我们将研究一个城市的交通网络，并希望找到最佳的交通路径。
给定城市的道路和交通流量数据，我们需要确定最短路径、最大流量等指标，以便优化交通网络。
3.2 数据处理与图建模首先，我们需要将所给的数据进行处理，提取出城市的地理结构和交通流量信息。
根据道路的起点和终点，我们可以将城市的地理结构抽象为一个有向无环图（DAG）。
每个交通路线可以表示为一个有向边，边的权重代表着该路线的长度或交通流量。
3.3 最短路径算法为了确定最佳交通路径，我们需要使用最短路径算法来找到两个节点之间的最短路径。
在本实验中，我们选择使用Dijkstra算法来计算最短路径。
该算法基于贪心策略，从起点节点开始，逐步选择距离最短的节点，并更新路径和距离。
3.4 最大流量算法另外，我们还需要确定最大的交通流量。
为了实现这一目标，我们使用Ford-Fulkerson算法来计算最大流量。
该算法通过不断寻找增广路径，逐渐增加流量直到不能再增加。
3.5 结果分析与优化根据最短路径算法和最大流量算法的结果，我们可以分析交通网络的拓扑结构和瓶颈位置。
进一步，我们可以提出优化策略，如增加道路容量、改变交通流量分配等，以改善交通网络的性能。
4. 结论通过本次图论数学建模实验，我们深入学习了图论的基本概念和常用算法，掌握了将实际问题抽象为图论问题的方法。
通过分析城市交通网络的最短路径和最大流量，我们可以为优化交通网络提供科学的依据和指导。
