高中数学 第1章 导数及其应用 8 极大值与极小值教学案苏教版选修2-2

1.3.2《函数的极大值与极小值》教案教学目的：1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤教学过程：一、复习引入：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间：如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。

2.用导数求函数单调区间的步骤：（1）求出函数的导函数；（2）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间；（3）求解不等式f′(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间.二、讲解新课：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值= f(x0)，x0是极大值点.2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f (x0)，x0是极小值点.3.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f .（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数/()f x (2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.三、数学运用：例１ 求f（x ）＝x ２－x －2的极值. 解：1()21,()0,.f x x f x x ''=-==令解得列表()f x '-0 +()f x1()2f 极小值,,2x =因此当时()().24f x f =-有极小值例2 求y =31x 3－4x +31的极值. 解：y ′=(31x 3－4x +31)′=x 2－4=(x +2)(x －2) . 令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表:x (),2-∞-2 (-2,2) 2 ()2,+∞y '+0 －0 +y↗极大值(2)f -↘极小值(2)f↗∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值=3. 当x =2时，y 有极小值且y 极小值=－5.f(x)=13x 3-4x+42-2xOy例3 下列函数中，x =0是极值点的函数是( B )A.y =－x 3B.y =x 2C.y =x 2－xD.y =1/x分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x =0是否是极值点，只要看x =0点两侧的导数是否异号就可以了。

1.3.2极大值与极小值学习目的：1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤学习重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.学习难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤学习过程：一、复习引入：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：2.用导数求函数单调区间的步骤：二、讲解新课：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值函数的单调性与极值的关系请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x ； (2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 三、例题：例1：求f （x ）＝x ２－x －2的极值。

1.3.2 极大值与极小值学习目标1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；2．了解函数在某点取得极值的充要条件——导数在极值点两侧异号；3．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．学习重点正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法并能灵活应用．学习难点正确掌握“点是极值点”的充要条件，灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯．学习内容一、复习引入：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间：如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。

2.用导数求函数单调区间的步骤：求出函数的导函数后，根据导数的符号写出单调区间.二、讲解新课：1．极大值与极小值的概念：极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值= f(x0)，x0是极大值点.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f (x0)，x0是极小值点. 2．极大值与导数的关系：3．极小值与导数的关系：4(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x(2)求方程/()f x =0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.三、典型例题例1．求函数31431)(3+-=x x x f 的极值． 解析详见课本P31.例2．求ex e y x -=的极值解析略提示：求导列表即可。

§1.3.2导数应用---极大值与极小值（1）（预学案）
1. 了解函数极值的概念
2．了解函数在某点取得极值的充要条件——导数在极值点两侧异号； 重难点：利用导数求函数的极值
（预习教材P30 ~ P31，完成以下内容并找出疑惑之处） 一、知识梳理、双基再现 1.极大值与极小值的概念：
2．极大值与导数的关系：
3．极小值与导数的关系：
4
二、小试身手、轻松过关
1：利用图象判断下列几个函数是否有极大值、极小值. （1）y x = （2）2
y x = （3）sin y x =
2. P31----练习1
三、基础训练、锋芒初显 1．求下列函数的极值：
（1）23
43
141x x x y --= （2）422x x y -=
（3）ex e y x
-=
2.作出符合条件0)
(40,)(4,0)4(,3)4(<'>>'<='=x f x x f x f f 时时的函数的图像。

四、举一反三、能力拓展
1.函数3
y x =是否有极值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由.
2．已知函数)(x f y =的图像如图所示，试作出函数)(x f y '=的草图。

《极大值和极小值》教学设计——张博赢一．教学目标1知识与技能（1）结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；（2）理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值（3）培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力。

2，过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，由直观到抽象来探索函数的极值与导数的关系．3情感态度与价值观1通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结；2通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识．培养学生的探索精神。

二．学情分析由于我授课的班级为本校普通班，学生基础普遍较弱，学习能力不强，推理能力和计算能力不是很好，所以授课过程中要求节奏较为缓慢，需要留出学生将知识内化的时间，尽量做到深入浅出，做到手不离笔边，边探究边总结边练习，从而形成自己的知识。

还有本班同学性格较为内向，所以尽量做到多引导，多沟通，尽量做到思维多元化，在学习的过程中也锻炼学生的品格。

三．教材分析1.本节的作用和地位所用教材为《高中课程标准试验教科书-数学（选修2-2）》（苏教版），第1章“导数在研究函数中的应用——极大值和极小值”，它是学生学习了导数在研究函数中的应用——单调性之后，继续学习的第二种应用，也是为第三种应用——最大值和最小值作知识铺垫和方法引导，具有承上启下、完善知识结构、拓展提升能力的作用。

2.本节主要内容本节主要内容是让学生透彻理解函数的极值和极值点的概念，并以图像形式逐步给出极值和导数的关系，从而用求导研究函数的相关极值问题，培养学生关注抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养水平的提升。

3重点难点分析教学重点：利用导数研究函数的极值。

教学难点：函数的极值正向或逆向问题的考察。

4课时要求：本节课共三课时，本节选取第一课时四．教学理念1关注学生的进步和发展。

首先，要求教师有“对象”意识。

不唱独角戏，离开“学”，就无所谓“教”，因此，教师必须确立学生的主体地位，树立“一切为了学生的发展”的思想。

导数在研究函数中的应用——极大值与极小值【教课目的】1、理解极大值与极小值的观点；2、掌握求可导函数的极值的方法和步骤【教课过程】一、问题情境问题 1：方程x323x 2在 (0,2) 内有几个解？问题 2：求函数( )332 2 的单一区间？f x x x问题 3：你会画y f ( x) 的草图吗？yy f (x) P(x1 , f ( x1 ))o a x1x2bx（1）问题 4：y f (x) 在 x 0 和 x 2 处的函数值与这两点邻近的函数值有什么关系？问题 5：函数y f ( x) 在极值点的导数值为多少？在极值点邻近导数值符号有什么规律？二、知识建构1.极值的观点：设函数y f ( x) 在x x0及其邻近存心义，如图（1）所示，函数图象在点P处从左边到右边由“上涨”到“降落” （函数由单一增变成单一减），这时在点 P 邻近，点 P 的地点最高，即 f (x1 ) 比它邻近的函数值都要大，我们称 f (x1 ) 为函数 f ( x) 的一个极大值；近似地，f ( x2 ) 为函数 f (x) 的一个极小值.函数的极大值、极小值统称为函数的极值，使 f ( x) 取到极值的点x0称为极值点 .说明： 1、极值点是区间[a, b] 内部的点，不会是端点a,b ；2、极值是一个局部性的观点，一个函数在其定义域内，能够有多个极小值和极大值，且极小值和极大值没有必定的大小关系；3、若f (x)在(a, b)内有极值，那么 f ( x)在(a, b)内绝不是单一函数. 反之，在(a, b)内单调的函数在 ( a, b) 内没有极值；4、一般地，函数 f (x) 在 [ a, b] 上连续且有有限个极值点时，函数 f ( x) 在 [ a,b] 内的极大值点、极小值点是交替出现的 .2. 极值点与导数的关系：（如图 1）极大值与导数的关系：x x1左边x1x1右边f ' ( x)f (x)极小值与导数的关系：x x2左边x2x2右边f ' ( x)f (x)说明：一般地，当函数 f (x)在点 x0处连续时，1、假如在x0邻近的左边 f ' (x)0 ，右边 f '(x)0 ，那么 f (x0 ) 为极大值；2、假如在x0邻近的左边 f ' (x)0 ，右边 f '(x)0 ，那么 f (x0 ) 为极小值；3、假如在x0的双侧的 f ' (x) 的符号同样，那么x0不是 f ( x) 的极值点.3．求可导函数极值的步骤：1、先求 f ' (x)；（因式分解，便于求根及判断 f ' ( x) 的符号）2、求f ' (x)0的根，找寻“可疑点” ；3、列表，判断符号，求出极值.三、例题剖析：例 1. 在以下各命题中，真命题的序号为______________（ 1）单一递加函数存在着极大值；（2）单一递减函数存在着极小值；（3）由单一递加转变成单一递减的连续函数存在极大值；（4）由单一递减转变成单一递加的连续函数存在极小值.例 2.已知函数 y f (x) 是定义在闭区间[ a, b] 上的连续函数，在开区间(a, b) 内可导，且f ' (x)0 ，则在 (a, b)上以下各结论中正确的选项是_________________（填序号）（ 1）f (a)是极小值， f (b) 是极大值；（ 2）f (a)是极大值， f (b)是极小值；（ 3）f ( x)有极值，但极值不是 f (a) 、 f (b)；（4）f (x)既没有极小值，又没有极大值例 3.求以下函数的极值：（ 1）f ( )2x21311；（ 2）f ( x)x4x；（3） f (x) x. x x33x例 4.已知 f (x)x33ax22bx 在点x1处有极小值1，求a， b ，并求出 f ( x) 的单一区间 .变题：已知函数322f ( x) x ax bx a在 x1时有极值10a, b的值.，求四、讲堂练习：（一）课本 P31 1，2， 3（二）增补：1、以下函数有极值的是___________________ （填序号）① y sin x② y ln 2③ y e x④ y7 x2、函数f ( x)x 3的极小值为 ____________ x3、函数y 2 sin(x)在区间(, 7)上获得极大值时x 的值为__________4444、以下说法中正确的选项是___________________ （填序号）①函数的极大值必定大于函数的极小值；②函数在定义域R 上能够有无数个极大值与无数的极小值；③函数在定义域R 上有极大值时必定有极小值；5、若函数y x3ax 在 R 上能取到极值，则 a 的取值范围是____________6、若函数y x3ax2bx 在x 1 处有极值0，则a_____________7、①y x3，②y x 2 1 ，③y| x |，④ y2x，在这四个函数中，能在 x 0处获得极值的函数是 _____________________8、已知a3，求证：函数 f ( x)2x3(a3)x 22ax b 有两个不一样的极值点.9、已知函数y2x2aln x在区间 (0, 2 ) 上能取到极值，求 a 的取值范围.精巧句子1、善思则能“从无字句处念书”。

极大值与极小值学习目标要点难点1．记着函数的极大值、极小值的观点．2．联合图象知道函数在某点获得极值要点：利用导数求函数的极值．的必需条件和充分条件．难点：函数极值的判断和与极值有3．会用导数求不超出三次的多项式函关的参数问题.数的极大、极小值.1．极值(1) 察看以下图中的函数图象，发现函数图象在点P 处从左边到右边由“上涨”变成“降落” ( 函数由单一 ________变成单一 ________) ，这时在点P邻近，点 P 的地点最高，亦即 f ( x1)比它邻近点的函数值都要大，我们称 f ( x1)为函数 f ( x)的一个________．(2)近似地，上图中 f ( x2)为函数的一个________．(3)函数的极大值、极小值统称为函数的______．预习沟通 1做一做：函数y＝－| x|有极______值______．2．极值点与导数的关系察看上边的函数的图象，发现：(1) 极大值与导数之间的关系以下表：x x1左边x1 x1右边f ′ ( ) f ′ ( x )____ f ′ ( x )____ f ′ ( x )____xf ( x) 增极大值 f ( x1) 减(2) 极小值与导数之间的关系以下表：xf′ ( x)f ( x)做一做：函数x2 左边x2 x2右边f ′( x)____ f ′( x)____ f ′( x)____减极小值 f ( x ) 增23预习沟通 2f ( x )＝3 －x 的极大值为 ________，极小值为 ________．x预习沟通 3 议一议： (1) 导数为 0 的点必定是函数的极值点吗？(2) 函数在极值点处的导数必定等于0 吗？(3)一个函数在一个区间的端点处能够获得极值吗？(4)一个函数在给定的区间上能否必定有极值？如有极值，能否能够有多个？极大值必定比极小值大吗？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在以下表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1． (1) 递加递减极大值 (2) 极小值 (3) 极值预习沟通1：提示：大02．(1) ＞0 ＝0 ＜0 (2) ＜0 ＝0 ＞0预习沟通2：提示：f′( x) ＝ 3－3x2，令f′ ( x) ＝ 0 得x＝± 1，由极值的定义可得函数的极大值为 f (1)＝2 ，极小值为 f (－1)＝－2.f ( x)＝ x3，虽有 f ′(0) ＝ 0，但x＝ 0预习沟通3：提示： (1) 不必定，比如对于函数其实不是 f ( x)＝ x3的极值点，要使导数为0 的点成为极值点，还一定知足其余条件．(2) 不必定，比如函数 f ( x)＝| x－1|，它在 x＝1处获得极小值，但它在x＝1处不行导，就更谈不上导数等于0 了．(3)不能够，函数在一个区间的端点处必定不行能获得极值，因为不切合极值点的定义．(4)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数能够只有极大值，没有极小值，或许只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不必定比极小值大，极小值也不必定比极大值小．一、求函数的极值求以下函数的极值：(1)f ( x)＝ x3－12x；(2) f ( x)＝2x－2.x2＋ 1思路剖析：第一从方程 f ′( x)＝0下手，求出在函数 f ( x)的定义域内全部可能的极值点，而后依据函数极值的定义判断这些点能否为极值点．1．函数y＝ 1＋ 3x－x3有极大值 __________，极小值 __________．2．求函数 f ( x)＝ x3－3x2－9x＋5的极值．利用导数求函数极值的步骤：(1)求导数 f ′( x)；(2)求方程 f ′( x)＝0的全部实数根；(3)观察在每个根 x0邻近，从左到右导函数 f ′( x)的符号怎样变化：①假如 f ′( x)的符号由正变负，则 f ( x0)是极大值；②假如由负变正，则 f ( x0)是极小值；③假如在 f ′( x)＝0的根 x＝x0的左右边 f ′( x)的符号不变，则不是极值点．二、已知函数的极值求参数范围已知函数 f ( x)＝ ax3＋ bx＋2在 x＝1处获得极值，且极值为0.(1) 求a，b的值；(2) 求f ( x) 的另一个极值．思路剖析：由极值的定义可知 f ′(1)可求得 a， b 的值，从而得出另一个极值．＝ 0，再联合 f (1) ＝ 0，成立对于a，b 的方程即1．已知函数y＝－ x3＋6x2＋ m有极大值13，则 m的值为32．若函数 f ( x)＝ x ＋ ax 在R上有两个极值点，则实数________．a的取值范围是__________ ．1．已知函数极值状况，逆向应用，确立函数的分析式，从而研究函数性质时，注意两点：(1)常依据极值点处导数为 0 和已知极值 ( 或极值之间的关系 ) 列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后一定考证根的合理性．2．对于可导函数f ( x) ，若它有极值点x0，则必有f′( x0) ＝ 0，所以函数f ( x) 有极值的问题，常常能够转变成方程 f ′( x)＝0有根的问题加以解决．三、利用函数的极值画函数图象8求函数 y＝2x＋x的极值，并联合单一性、极值作出该函数的大概图象．思路剖析：先求出函数的极值点和极值，从而掌握函数在定义域内各个区间上的单一性和在极值点处的函数值，以及 x→∞时的 f ( x)的变化趋向，据此可画出函数的大概图象．1 3已知函数 f ( x)＝ x －4x＋4，求函数的极值，并画出函数的大概图象．1．列表时应将定义域内的中断点( 如x＝ 0) 考虑进去．2．极大值不必定比极小值大，这是因为极值是相对某一地区议论的．3．借助函数的性质( 如奇偶性、单一性、极值、周期等) 研究函数图象是重要手段．1．(2012 陕西高考改编 ) 设函数fx ，则以下说法正确的选项是__________．( 填序( x) ＝x e号 )① x＝1为 f ( x)的极大值点② x＝1为 f ( x)的极小值点③ x＝－1为 f ( x)的极大值点④ x＝－1为 f ( x)的极小值点2．若函数 f ( x ) ＝ 2 3＋ax 2＋ 36 x －1 在x ＝ 2 处有极值，则 a 的值为 __________ ．x3．函数f ( x) ＝ ln x－ x 在区间(0，e)上的极大值为________．4．对于函数f ( x) ＝x3－ 3x2有以下命题，此中正确命题的序号是________．① f ( x)是增函数；② f ( x)是减函数，无极值；③ f ( x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞ ) ，减区间为(0,2) ；④f (0) ＝0 是极大值， f (2) ＝－ 4 是极小值．5．已知函数f ( x)= ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝ f ′( x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，以以下图所示，则以下说法中不正确的选项是____________.( 填序号 )3①当 x ＝2时函数获得极小值；② f ( x ) 有两个极值点；③当x ＝ 2 时函数获得极小值；④当 x ＝ 1 时函数获得极大值．6．设 a ∈ R ，若函数 y ＝e x ＋ ax ，x ∈ R ，有大于零的极值点， 则 a 的取值范围是 ________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精髓部分和基本技术的要领部分写下来并进行识记．知识精髓技术要领答案：活动与研究 1：解： (1) 函数 f ( x ) 的定义域为 R.f ′ ( x ) ＝ 3x 2－ 12＝ 3( x ＋ 2)( x －2) ．令 f ′ ( x ) ＝ 0，得 x ＝－ 2 或 x ＝ 2.当 x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化状况以下表：x ( －∞，－ 2) － 2 ( －2,2) 2 (2 ，＋∞ )f ′ ( x－＋＋)f ( x )极大值极小值f ( －2) ＝ 16f (2) ＝－ 16从上表能够看出：当 x ＝－ 2 时，函数有极大值，且 f ( －2) ＝ 16； 当 x ＝ 2 时，函数有极小值，且 f (2) ＝－ 16. (2) 函数的定义域为 R.2(x2 ＋ 1) －4x22(x － 1)(x ＋ 1)f ′ ( x ) ＝ ＝－ (x2 ＋ 1)2 .(x2 ＋ 1)2令 f ′ ( x ) ＝ 0，得 x ＝－ 1 或 x ＝ 1. 当 x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化状况以下表：x( －∞，－1) － 1 ( － 1,1) 1 (1 ，＋∞ )f ′ ( x －＋－)f ( x )极小值极大值f ( － 1) ＝－ 3f (1) ＝－ 1由上表能够看出：当 x ＝－ 1 时，函数有极小值，且 f ( －1) ＝－ 3； 当 x ＝ 1 时，函数有极大值，且 f (1) ＝－ 1. 迁徙与应用： 2，令1． 3 －1 分析： f ′ ( x ) ＝3－3 f ′ ( x )＝0得 x ＝± 1，x当 x ∈ ( －∞，－ 1) 时， f ′ ( x ) ＜0，当 x ∈ ( － 1,1) 时， f ′ ( x ) ＞0，当 x ∈ (1 ，＋∞ ) 时， f ′ ( x ) ＜ 0，∴ f ( x ) 在 x ＝－ 1 处取极小值－ 1，在 x ＝ 1 处取极大值 3.2．解：f′( x) ＝ 3x2－ 6x－ 9.令 3x2－ 6x－9＝ 0，解得x1＝－ 1，x2＝ 3.当 x 变化时， f ′( x)， f ( x)的变化状况以下表：x f ′( x) ( －∞，－ 1)－1＋0( － 1,3)－3(3 ，＋∞＋)f ( x)极大值所以，当x＝－1时， f ( x)有极大值，且极大值为极小值，且极小值为 f (3)＝－22.3活动与研究2：解： (1) ∵f ( x) ＝ax＋bx＋ 2，极小值f (－1)＝10；当x＝3 时， f ( x)有∴f ′( x)＝3ax2＋ b.依题意可得 f ′(1)＝0且3a＋ b＝ 0，f (1)＝0，a＝ 1，即解得a＋ b＋2＝ 0，b＝－ 3.(2)由 (1) 知f ( x) ＝x3－ 3x＋ 2，f′ ( x) ＝ 3x2－ 3，令 f ′( x)＝0得3x2－3＝0，所以 x＝±1.故函数 f ( x)在 x＝－1处获得另一个极值，且极值为 f (－1)＝－1＋3＋2＝4.迁徙与应用：1．－ 19分析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．令y′＝0得x＝0或x＝4，当x＜0 或x＞ 4 时，y′＜ 0，函数递减；当0＜x＜ 4 时，函数递加，故 f ( x)在 x＝4处获得极大值，且 f (4)＝－64＋96＋m＝13，故m＝－19.2．a＜ 0分析：f′(x)＝3x2＋a，因为f(x)在R上有两个极值点，所以方程 f ′( x) ＝ 0 在 R 上有两个不一样的实数根，即＝0－12a＞0，解得a＜0.活动与研究3：解：函数的定义域为x∈R且 x≠0.8y′＝2－x2，令y′＝0，得x＝±2.当 x 变化时， y′， y 的变化状况以下表：x( －∞，－ 2)－2( －2,0) y′＋0－y－ 8所以当 x=－2时， y 获得极大值－8；当 x=2时， y 获得极小值8. 0 (0,2)－28(2 ，＋∞＋)由表易知y=2x+ 的草图以下图．迁徙与应用：2解： (1) f′ ( x)= x－4.当 x 变化时， f ′( x)， f ( x)的变化状况以下表：x( －∞，－－ 2( － 2,2)2(2 ， +∞)2)f ′ ( x ) +－+f ( x )从上表看出，当 x ＝－ 2 时，函数有极大值，且极大值为f ( － 2) ＝ 28 ；3而当 x =2 时，函数有极小值，且极小值为f (2)=.函数 f (x )=x 3－ 4 +4 的图象以下图．xxxxxx当堂检测＝ 0，得 x ＝－ 1.1．④ 分析：由 f ′ ( x ) ＝x ′·e ＋ (e ) ′· x ＝ e ＋e · x ＝ e ( x ＋ 1) 当 x ＜－ 1 时，f ′ ( x ) ＜ 0，f ( x ) 在 ( －∞，－ 1) 上是减少的； 当 x ＞－ 1 时，f ′ ( x ) ＞ 0，f ( x )在 ( － 1，＋∞ ) 上是增添的．所以 x ＝－ 1 为 f ( x ) 的极小值点．2．－ 15 分析： f ′( x ) ＝ 6x 2＋2ax ＋ 36，依题意 f ′ (2) ＝0，所以 24＋ 4a ＋ 36＝ 0，解得 a ＝－ 15.3．－ 1 分析： 定义域为 (0 ，＋∞ ) ，f ′( x ) ＝ 1－1. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 得 x ＝ 1，且当 0＜xx ＜ 1 时， f ′( x ) ＞ 0， x ∈ (1 ， e) 时 f ′ ( x ) ＜ 0，故 f ( x ) 在 x ＝ 1 处获得极大值 f (1) ＝ln 1－ 1＝ 0－ 1＝－ 1. 4．③④分析： f ′ ( x ) ＝ 3x 2－ 6x ，令 f ′( x ) ＝ 0，则 x ＝0 或 x ＝ 2. 利用极值的求法可求得 x ＝ 0 是极大值点， x ＝ 2 是极小值点． 5．① 分析： 从图象上能够看到：当 x ∈ ( －∞， 1) 时， f ′ ( x ) ＞0；当 x ∈(1,2) 时， f ′ ( x ) ＜0；当 x ∈(2，＋∞ ) 时， f ′( ) ＞0，所以 f ( x ) 有两个极值点 1 和 2，且当 x ＝ 2x时函数获得极小值，当 x ＝ 1 时函数获得极大值．只有①不正确． 6．a ＜－ 1 分析： y ′＝ e x ＋ a ，依题意方程 e x ＋ a ＝0 有大于 0 的实数根， 而 a ＝－ e x ，x x所以 e ＞ 1，－ e ＜－ 1，即 a ＜－ 1.。

1.3.2 导数在研究函数中的应用——极大值与极小值【教学目标】1、理解极大值与极小值的概念；2、掌握求可导函数的极值的方法和步骤 【教学过程】 一、问题情境问题1：方程2332x x =+在)2,0(内有几个解？ 问题2：求函数23)(23+-=x x x f 的单调区间？ 问题3：你会画)(x f y =的草图吗？问题4：)(x f y =在0=x 和2=x 处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系？ 问题5：函数()y f x =在极值点的导数值为多少？在极值点附近导数值符号有什么规律？ 二、知识建构1. 极值的概念：设函数)(x f y =在0x x =及其附近有意义，如图（1）所示，函数图象在点P 处从左侧到右侧由“上升”到“下降”（函数由单调增变为单调减），这时在点P 附近，点P 的位置最高，即)(1x f 比它附近的函数值都要大，我们称)(1x f 为函数)(x f 的一个极大值；类似地，)(2x f 为函数)(x f 的一个极小值.函数的极大值、极小值统称为函数的极值，使)(x f 取到极值的点0x 称为极值点. 说明：1、极值点是区间],[b a 内部的点，不会是端点b a ,；2、极值是一个局部性的概念，一个函数在其定义域内，可以有多个极小值和极大值，且极小值和极大值没有必然的大小关系；3、若)(x f 在),(b a 内有极值，那么)(x f 在),(b a 内绝不是单调函数.反之，在),(b a 内单调的函数在),(b a 内没有极值；4、一般地，函数)(x f 在],[b a 上连续且有有限个极值点时，函数)(x f 在],[b a 内的极大值点、极小值点是交替出现的. 2. 极值点与导数的关系：（如图1）极大值与导数的关系：x 1x 左侧 1x 1x 右侧)('x f)(x fx2x 左侧2x2x 右侧)('x f)(x f01、如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 为极大值； 2、如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 为极小值；o ya b 1x 2x ))(,(11x f x P)(x y =（1）3、如果在0x 的两侧的)('x f 的符号相同，那么0x 不是)(x f 的极值点. 3．求可导函数极值的步骤：1、先求)('x f ；（因式分解，便于求根及判断)('x f 的符号） 2、求0)('=x f 的根，寻找“可疑点”；3、列表，判断符号，求出极值. 三、例题分析：例1. 在下列各命题中，真命题的序号为______________（1）单调递增函数存在着极大值； （2）单调递减函数存在着极小值； （3）由单调递增转化为单调递减的连续函数存在极大值； （4）由单调递减转化为单调递增的连续函数存在极小值.例 2. 已知函数)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数，在开区间),(b a 内可导，且0)('>x f ，则在),(b a 上下列各结论中正确的是_________________（填序号）（1）)(a f 是极小值，)(b f 是极大值； （2）)(a f 是极大值，)(b f 是极小值； （3）)(x f 有极值，但极值不是)(a f 、)(b f ；（4）)(x f 既没有极小值，又没有极大值例3. 求下列函数的极值：（1）2)(2--=x x x f ； （2）31431)(3+-=x x x f ； （3）x x x f 1)(+=.例4. 已知bx ax x x f 23)(23+-=在点1x =处有极小值1-，求a ，b ，并求出()f x 的单调区间.变题：已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 时有极值10，求b a ,的值.四、课堂练习：（一）课本P31 1，2，3 （二）补充：1、下列函数有极值的是___________________（填序号）①x y sin = ②2ln =y ③x e y -= ④x y 7-= 2、函数xx x f 3)(+=的极小值为____________ 3、函数)4sin(2π+=x y 在区间)47,4(ππ-上取得极大值时x 的值为__________4、下列说法中正确的是___________________（填序号）①函数的极大值一定大于函数的极小值；②函数在定义域R 上可以有无数个极大值与无数的极小值； ③函数在定义域R 上有极大值时一定有极小值； ④函数在定义域R 上不是单调函数时，一定有极值.5、若函数ax x y +=3在R 上能取到极值，则a 的取值范围是____________6、若函数bx ax x y ++=23在1x =处有极值0，则=a _____________7、①3x y =，②12+=x y ，③||x y =，④x y 2=，在这四个函数中，能在0=x 处取得极值的函数是_____________________8、已知3≠a ，求证：函数b ax x a x x f ++++=2)3(2)(23有两个不同的极值点.9、已知函数x a x y ln 22+-=在区间)2,0(上能取到极值，求a 的取值范围.五、课后作业：数学之友。

1.3.极大值与极小值-苏教版选修2-2教案一、教学目标1.了解函数极值的概念和判定方法2.掌握求函数极值的方法3.应用函数极值解决实际问题二、教学重点1.极值的概念和判定方法2.求函数极值的方法三、教学难点1.如何应用函数极值解决实际问题四、教学内容和方法4.1 教学内容1.极值的概念2.极值的判定方法3.求函数极值的方法4.极值应用实例4.2 教学方法1.讲授法2.举例法3.案例分析法4.3 教学步骤（1）引入引导学生回顾导数的概念和几何意义。

（2）小组讨论将学生分为小组，让他们对下列问题进行讨论：1.什么是函数的极值？2.如何判定函数是否有极值？3.如何求出函数的极值？（3）案例分析教师通过案例分析，让学生感受到应用极值解决实际问题的魅力。

（4）归纳总结教师根据学生讨论和案例分析的结果，对极值的概念和判定方法进行归纳总结，并让学生掌握求函数极值的方法。

4.4 教学评价通过小组讨论和案例分析，检验学生对极值概念和判定方法的掌握情况；通过应用题，检验学生解决实际问题的能力。

五、学习方法和建议1.熟练掌握求一元函数的导数和导数变化的性质2.善于化归问题、抽象问题3.多做练习，积累求解各种实体问题的经验六、教学反思通过本次教学，学生对函数的极值有了更深入的认识，掌握了求函数极值的方法。

在教学过程中，教师通过案例分析加深学生对极值概念和解决实际问题的了解，让学生更好地理解和掌握了极值的相关知识。

在今后的教学中，可以注重培养学生的实际运用能力，让他们掌握更多实际问题解决的技能和方法。

极大值与极小值【本课目标】1.理解函数的极大值.极小值的概念；2.掌握求可导函数极值的方法.【预习导引】1.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数的序号有_________.（1）y=x 3 （2）y=x 2+1 （3）y=|x| （4）y=2x2.函数y=x+x1的极大值是________，极大值点是__________. 【典型例题】例1.求下列函数的的极值（1）1x 3x y 23-+=（2）x ln x y 2=例2.若函数cx bx ax y +-=23的图象过点A （1，4），当2=x 时，此函数有极值0， 求a .b .c 的值.例3.已知函数2()(3361),x f x x ax x e a R =-++⋅∈，试确定f(x)的极值点个数.[学习反思]如果函数)(x f y =在某个区间内有导数，就可以采用如下的方法求它的极值：（1）求导数)(x f '；（2）求方程0)(='x f 的根；（3）规范列表；（4）下结论.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（29）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1.函数1y x x=+，当x = 时，y 有极小值 2.函数x y x e -=⋅的极大值为 .3.如果函数c x x x f +-=233)(的极小值是3，则c = ，极大值为 .4.函数3)2a (3ax 3x )x (f 3++++=既有极大值又有极小值，则a 的范围是________.5.函数322()f x x ax bx a =+++在x =1时有极值10，那么a = , b = .6.函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则常数c 的值为 .7.（1）求函数)1()(2x x x f -=在[0,1]上的极值.（2）求函数x x y ln 2=的极值.8.已知函数32()32f x x x =-+，（1）求函数的单调区间； （2）求函数的极大值和极小值；（3）画出它的大致图象.【B 组题】1.函数3()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围为 .2.已知函数2()8f x x x =-+与()6ln g x x m =+有且只有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是 .3.已知函数32()f x x ax x =++，（1）若函数()y f x =在区间（－1，1）上有极大值和极小值，求常数a 的取值范围；（2）若a=－2，且方程()f x m =有三个不同的实根，求m 的范围.。

最大值与最小值【教学目标】 1.理解函数的最大值与最小值2.了解函数极值和最值区别的区别与联系3.掌握求函数最大值与最小值的步骤【预习导引】已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线2x 4y -=在x 轴上方的曲线上，怎样求矩形面积的最大值？【典型例题】例1.（1）求函数1x 3x )x (f 3+-=在[-3，0]上的最大值和最小值；（2）求函数x x x f -=2sin )(在]2,2[ππ-上的最大值和最小值.例2. 已知函数c bx ax x x f +++=23)(在32-=x 与1=x 时都取得极值， （1）求b a ,的值与函数)(x f 的单调区间；（2）若对]2,1[-∈x ，不等式2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围.【学习反思】1. 定义在闭区间],[b a 上的函数)(x f y =必有最大值与最小值；定义在开区间),(b a 上的函数)(x f y =不一定有最大值与最小值.2.求可导函数)(x f y =在],[b a 上的最大值与最小值，可分为两部分进行（1）求)(x f y =在),(b a 内的极值（极大值或极小值）；（2）将)(x f y =的各极值与f （a ），f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.【课堂练习】1.函数(),(f x C C =为常数）的最大值是 ，最小值是 .2.3x 2x y 2+--=在区间[a ，2]上的最大值为415，则实数a 的值为____________.3.7x 18x 6x 2y 23---=在[1,4]上的最小值为__________.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（30）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1.函数sin y x x =+在[0，1]上的最大值为________________2.已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=________________.3.函数x x x f ln 21)(2+=在区间],1[e 上的最大值是 ，最小值是_____ ____. 4.若不等式a x x x +>+3323对任意]2,0[∈x 恒成立，则实数a 的范围为_________ 5.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值：（1）1()cos ,[,]222f x x x x ππ=-∈-（2）12ln (),[,],x f x x e e e x-=∈为自然对数的底数，e ≈2.718286．已知函数()ln f x x x =.（1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.【B 组题】1.若函数32()(23)f x x ax a x =-+-在区间[1，2]上的最大值是(1)f ，最小值是(2)f ，则实数a 的取值范围是_____________2.求函数]25,41[|,1292|)(23-∈+-=x x x x x f 的最值.。