有限元公式集——03

有限元三大方程公式有限元方法是一种重要的数值分析技术，用于求解结构力学、流体力学和热传导等工程学问题。

有限元方法基于有限元法，将连续的问题离散化成为微小的单元，并利用数值技术求解单元边界上的方程，最终通过组合这些边界方程得到整个问题的解。

在有限元方法中，三个常见的方程是：平衡方程、力学方程和能量方程。

下面将详细介绍这三个方程的公式及其意义。

一、平衡方程平衡方程是指物体在受到外力作用时，各部分之间保持力的平衡。

在力学中，平衡方程可表示为：∑F=0其中，∑F代表物体的所有外力的矢量和。

这个方程表明，在平衡状态下，物体上各个部分所受的外力的合力为零。

通过将平衡方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的平衡方程。

二、力学方程力学方程是用于描述物体内部受力情况的方程，一般由胡克定律得到。

对于线性弹性材料，力学方程可表示为：σ=(E/ν)[ε-α(T-T0)]其中，σ代表应力，E代表弹性模量，ν代表泊松比，ε代表应变，α代表线膨胀系数，T代表温度，T0代表参考温度。

这个方程表明，应力取决于应变、温度和材料性质。

在有限元分析中，常将力学方程表示为单元应变和单元应力之间的关系，即：σ=Dε其中，D代表弹性模量矩阵，包含了材料性质的信息。

通过将力学方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的力学方程。

三、能量方程能量方程是用于描述物体内部能量传递和转化的方程。

∂T/∂t=α∇²T其中，T代表温度，t代表时间，α代表热扩散率。

这个方程表明，温度随时间和空间的变化率取决于热传导率。

在有限元分析中，常将能量方程离散化为每个有限元单元的能量方程，即：∂T_i/∂t=∑(N_i∇T)其中，T_i代表单元i的温度，N_i代表形函数，∇T代表温度梯度。

通过将能量方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的能量方程。

综上所述，有限元分析中的三大方程包括平衡方程、力学方程和能量方程。

这些方程为结构力学、流体力学和热传导等工程学问题的求解提供了重要的数学模型，通过将这些方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的方程组，从而得到问题的数值解。

有限元基础知识归纳有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。

可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。

4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。

即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。

称前者为母单元，后者为子单元。

还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。

如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。

5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。

每个部分称为一个单元，连接点称为结点。

对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。

这种单元称为常应变三角形单元。

常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。

有限元隐式欧拉法计算公式有限元隐式欧拉法是一种常用的数值计算方法，它在工程学和物理学中有着广泛的应用。

本文将介绍有限元隐式欧拉法的计算公式，并探讨其在实际问题中的应用。

有限元隐式欧拉法是一种数值求解微分方程的方法，它通过将微分方程离散化，然后利用数值方法求解离散化后的方程，从而得到微分方程的数值解。

有限元隐式欧拉法的基本思想是将微分方程的解表示为一系列离散的节点上的值，然后利用这些节点上的值来逼近微分方程的解。

有限元隐式欧拉法的计算公式可以表示为如下形式：\[ M \frac{d^2u}{dt^2} + C \frac{du}{dt} + Ku = F \]其中，\( M \)、\( C \)、\( K \) 分别表示质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，\( u \) 表示位移向量，\( F \) 表示外力向量。

有限元隐式欧拉法通过对上述微分方程进行离散化，得到如下形式的方程：\[ M \frac{u_{n+1} 2u_n + u_{n-1}}{\Delta t^2} + C \frac{u_{n+1} u_n}{\Delta t} + Ku_n = F_n \]其中，\( u_n \) 表示第 \( n \) 个时间步的位移向量，\( \Delta t \) 表示时间步长。

有限元隐式欧拉法的计算公式可以通过求解上述离散化后的方程得到位移向量\( u_{n+1} \)。

具体求解方法通常采用迭代法或者直接求解线性方程组的方法。

在实际应用中，有限元隐式欧拉法通常与有限元方法结合使用，通过有限元方法将连续的物理问题离散化，然后利用有限元隐式欧拉法求解离散化后的方程。

有限元隐式欧拉法在工程学和物理学中有着广泛的应用。

例如，在结构动力学中，有限元隐式欧拉法可以用来求解结构的动力响应，从而分析结构的振动特性和动态响应。

在地震工程中，有限元隐式欧拉法可以用来模拟地震对结构的影响，从而评估结构的抗震性能。

在流体力学中，有限元隐式欧拉法可以用来模拟流体的运动，从而分析流体的流动特性和压力分布。