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有限元三大方程公式有限元方法是一种重要的数值分析技术，用于求解结构力学、流体力学和热传导等工程学问题。
有限元方法基于有限元法，将连续的问题离散化成为微小的单元，并利用数值技术求解单元边界上的方程，最终通过组合这些边界方程得到整个问题的解。
在有限元方法中，三个常见的方程是：平衡方程、力学方程和能量方程。
下面将详细介绍这三个方程的公式及其意义。
一、平衡方程平衡方程是指物体在受到外力作用时，各部分之间保持力的平衡。
在力学中，平衡方程可表示为：∑F=0其中，∑F代表物体的所有外力的矢量和。
这个方程表明，在平衡状态下，物体上各个部分所受的外力的合力为零。
通过将平衡方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的平衡方程。
二、力学方程力学方程是用于描述物体内部受力情况的方程，一般由胡克定律得到。
对于线性弹性材料，力学方程可表示为：σ=(E/ν)[ε-α(T-T0)]其中，σ代表应力，E代表弹性模量，ν代表泊松比，ε代表应变，α代表线膨胀系数，T代表温度，T0代表参考温度。
这个方程表明，应力取决于应变、温度和材料性质。
在有限元分析中，常将力学方程表示为单元应变和单元应力之间的关系，即：σ=Dε其中，D代表弹性模量矩阵，包含了材料性质的信息。
通过将力学方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的力学方程。
三、能量方程能量方程是用于描述物体内部能量传递和转化的方程。
∂T/∂t=α∇²T其中，T代表温度，t代表时间，α代表热扩散率。
这个方程表明，温度随时间和空间的变化率取决于热传导率。
在有限元分析中，常将能量方程离散化为每个有限元单元的能量方程，即：∂T_i/∂t=∑(N_i∇T)其中，T_i代表单元i的温度，N_i代表形函数，∇T代表温度梯度。
通过将能量方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的能量方程。
综上所述，有限元分析中的三大方程包括平衡方程、力学方程和能量方程。
这些方程为结构力学、流体力学和热传导等工程学问题的求解提供了重要的数学模型，通过将这些方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的方程组，从而得到问题的数值解。
有限元基础知识归纳有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
有限元隐式欧拉法计算公式有限元隐式欧拉法是一种常用的数值计算方法，它在工程学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍有限元隐式欧拉法的计算公式，并探讨其在实际问题中的应用。
有限元隐式欧拉法是一种数值求解微分方程的方法，它通过将微分方程离散化，然后利用数值方法求解离散化后的方程，从而得到微分方程的数值解。
有限元隐式欧拉法的基本思想是将微分方程的解表示为一系列离散的节点上的值，然后利用这些节点上的值来逼近微分方程的解。
有限元隐式欧拉法的计算公式可以表示为如下形式：\[ M \frac{d^2u}{dt^2} + C \frac{du}{dt} + Ku = F \]其中，\( M \)、\( C \)、\( K \) 分别表示质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，\( u \) 表示位移向量，\( F \) 表示外力向量。
有限元隐式欧拉法通过对上述微分方程进行离散化，得到如下形式的方程：\[ M \frac{u_{n+1} 2u_n + u_{n-1}}{\Delta t^2} + C \frac{u_{n+1} u_n}{\Delta t} + Ku_n = F_n \]其中，\( u_n \) 表示第 \( n \) 个时间步的位移向量，\( \Delta t \) 表示时间步长。
有限元隐式欧拉法的计算公式可以通过求解上述离散化后的方程得到位移向量\( u_{n+1} \)。
具体求解方法通常采用迭代法或者直接求解线性方程组的方法。
在实际应用中，有限元隐式欧拉法通常与有限元方法结合使用，通过有限元方法将连续的物理问题离散化，然后利用有限元隐式欧拉法求解离散化后的方程。
有限元隐式欧拉法在工程学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在结构动力学中，有限元隐式欧拉法可以用来求解结构的动力响应，从而分析结构的振动特性和动态响应。
在地震工程中，有限元隐式欧拉法可以用来模拟地震对结构的影响，从而评估结构的抗震性能。
在流体力学中，有限元隐式欧拉法可以用来模拟流体的运动，从而分析流体的流动特性和压力分布。
第六章 动力问题的有限元法6.1 概述前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。
本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。
动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。
由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。
结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。
有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。
因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。
振动问题主要解决两方面的问题。
1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。
2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。
6.2 结构的振动方程结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。
在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是}{}]{[F K =δ在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。
上面的方程成为)}({)}(]{[t Q t K =δ (6.1)上式中{})(t δ为节点的动位移，它是时间的函数，)}(]{[t K δ是t 时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力{})(t Q 构成动态平衡。
在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。
第一章 绪论有限元发展过程：有限元法在西方起源于收音机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德J.H.Argyrb 教授，于1954—1955年间分阶段在《Aircraft Engineering 》上发表上许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书容提供了有限元法的理论基础。
美国的M.T.Turner 、 R.W.cloagh 、 H.C.martin 和L.J.Topp 等人于1956年发表了了篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，并说明了如何利用计算机进行分析。
美国于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首先提出了有限元的名字。
1965年英国及其合作者解决了将有限元法应用于所有场的问题，使有限元法的应用更加广泛。
有限元法的基本思路：有限元法的基本思路和基本原理以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成为有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化，先对单元进行特性分析，然后根据各单元在节点处的平衡协调条件建立方程，综合后作整体分析。
这样一分一合，先离散再综合的过程，就把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合问题。
有限元分析中可采取三种方法：位移法——取节点位移作为基本未知数力 法——取节点力作为基本未知数混合法——有限元法分析过程：1、结构离散化（单元划分）2、选择位移模式为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体时，必须对单元中位移的分布做出一定的假定，也就是假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数（形函数）。
{}[]{}e u N δ= (1)3、分析单元的力学特性（1）利用几何方程：由位移表达式导出用点位移表示单元应变的关系式 {}[]{}e εδ=B {}ε为单元任一点的应变列阵 (2)非线性有限元线性有限元几何非线性 材料非线性有限元（2）利用物理方程，由应变的表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式{}[][]{}[]{}eD D δδε=B = (3) {}δ是单元任一点的应力列阵 []D 是材料的弹性矩阵（3）利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，即单元的刚度方程（平衡方程）[]{}{}e e K R δ=4、计算等效节点力弹性体经过离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元，但是作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的，因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力、集中力等都需要等效移置到节点上去，所用方法虚功等效。
abaqus系列教程-03有限单元和刚性体3. 有限单元和刚性体有限单元和刚性体是ABAQUS模型的基本构件。
有限单元是可变形的，⽽刚性体在空间运动不改变形状。
有限元分析程序的⽤户可能多少理解有限单元，⽽对在有限元程序中的刚性体的⼀般概念可能多少会感到陌⽣。
为了提⾼计算效率，ABAQUS具有⼀般刚性体的功能。
任何物体或物体的局部可以定义作为刚性体；⼤多数的单元类型都可以⽤于刚性体的定义（例外的类型列出在ABAQUS分析⽤户⼿册第2.4.1节“Rigid Body definition”）。
刚性体⽐变形体的优越性在于对刚性体运动的完全描述只需要在⼀个参考点上的最多六个⾃由度。
相⽐之下，可变形的单元拥有许多⾃由度，需要昂贵的单元计算才能确定变形。
当这变形可以忽略或者并不感兴趣时，将模型⼀个部分作为刚性体可以极⼤地节省计算时间，并不影响整体结果。
3.1 有限单元ABAQUS提供了⼴泛的单元，其庞⼤的单元库为你提供了⼀套强有⼒的⼯具以解决多种不同类型的问题。
在ABAQUS/Explicit 中的单元是在ABAQUS/Standard中的单元的⼀个⼦集。
本节将介绍影响每个单元特性的五个⽅⾯问题。
3.1.1 单元的表征每⼀个单元表征如下：●单元族●⾃由度（与单元族直接相关）●节点数⽬●数学描述●积分ABAQUS中每⼀个单元都有唯⼀的名字，例如T2D2，S4R或者C3D8I。
单元的名字标识了⼀个单元的五个⽅⾯问题的每⼀个特征。
命名的约定将在本章中说明。
单元族图3-1给出了应⼒分析中最常⽤的单元族。
在单元族之间⼀个主要的区别是每⼀个单元族所假定的⼏何类型不同。
实体单元壳单元梁单元刚体单元弹簧和粘壶桁架单元⽆限单元膜单元图3-1 常⽤单元族在本指南中将⽤到的单元族有实体单元、壳单元、梁单元、桁架和刚性体单元，这些单元将在其它章节⾥详细讨论。
本指南没有涉及到的单元族；读者若在模型中对应⽤它们感兴趣，请查阅ABAQUS分析⽤户⼿册的第V部分“Elements”。
材料的物理方程：④边界条件：
，弹性问题中系统势能的表达式：3，梁弯曲问题近似求解的Galerkin加权残值法所得到的线性
方程组：
5，有限元问题中物理量的表达：其中ωi为加权函数，一般可取1.
并有：
，梁单元
一般坐标系中的平面梁单元：③平面梁单元的坐标变换：
单元的坐标变换矩阵：局部坐标系中的空间梁单元的刚度矩阵：⑤空间梁单元坐标变换：梁单元的常用节点等效载荷：
其中： ）表示下标轮换，如1→2，2→3，3→1。
α3=x 1y 2-x 2y 1
β3=y 1-y 2
四节点矩形单元的刚度矩阵：
变形协调方程 ：y x x
y xy
yy xx ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2
2
222
单元刚度矩阵：。
