第五章《离散时间信号与系统的复频域分析》

这一递归关系式称为常系数差分方程， 因y(n)自n以递增方式给出， 称为前向形式的差分方程， 否则为后向形式的差分方程。
前向差分
1 1 y (n 2) y (n 1) y (n) x(n) 2 4
1 1 y (n 1) y (n 2) x(n) 2 4
后向差分方程 y (n)
未知序列y( n)的最高序号与最低序号之差称为差分方程式 的阶数。此例中 n 1) n 1，故为一阶差分方程。 (
三、
离散时间系统的模拟
1. 基本模拟元件
x(k )
D
x ( k 1)
x(k )

a
ax(k )
（a）单位延时器
x(k )
x( k ) y ( k )
x(k ) a x(k ) a
y (k )

e (k )

D
a0
3．N 阶系统后向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n 阶系统的后向差分方程
y(k ) an1 y(k 1) a0 y(k n) e(k )
可改写为
y(k ) e(k ) an1 y(k 1) a0 y(k n)
y (k )
可得其模拟框图，如下图所示。
e (k )


D
D
an1
a1
a0
4．N 阶系统前向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n阶系统的前向差分方程
y(k n) an1 y (k n 1) a0 y (k ) e(k )
可改写为
y(k n) e(k ) an1 y (k n 1) a0 y (k )
1、常用序列介绍
(1)单位冲激序列 定义：( k )
(k )
1 k 0 0 k0
( k i )
1
0
1 1 2
k
0
12 i
k
(k )的性质：f (k ) (k i) f (i) (k i) f (i)
( 2)单位阶跃序列 1 k0 (k ) 0 k0
连续时间信号的离散过程中要解决如下问题：
二. 抽样的概念及抽样过程
模拟信号的离散化,是经过抽样来完成的。 抽样过程
抽样的物理模型
抽样的数学模型
抽样——也称为取样或采样，它利用抽样脉冲序列从连续信号中"抽取"一系列 离散样值,其获取的信号称为"抽样信号"。
随着 K 的合上断开，可以得到信号的离散样值。
F j =0。若对 f 2t 进行均匀抽样，求其奈奎斯特抽样间隔
Ts 。
解： f(t)的最高频率
f 2t 的最高频率
2 1 f m1 2
fm 2

（2分）
fs 2 fm
4
Ts 1 2 f m

4
（1分） （2分）
5.2 常用典型序列及基本运算
1 1 a
k 扩展了.
k f( ) 2
f (k )
1.
-1
1.
01 2 3 k
-1 0 1 2 3 4 5 6
k
(8) 信号的分解
x(k )
比较
m
t
x(m) (k m)

x(t ) x( ) (t )d
0
(9) 序列的能量
抽样脉冲序列
抽样过程
由频域卷积定理
信号在时域被理想抽样后，其抽样信号的频谱是原连续时间信号频谱以抽样频率为 周期进行周期延拓得到的，其形状相同。在什么条件下, 可以从抽样信号中完全恢复出 原信号?
四. 抽样定理
例：已知 f t 的频谱函数 F j =1（ 2 rad /s）；其它情况下，
（
a 1），是 f k
序列每隔
a 点取一点形成的，即时间轴
k
压缩了.
f (k )
f (2k )
1.
-1
1.
01 2 3 k
. . -1 0 1 2 3 k
y k f ak （ 0 a 1 ），是 f k 序列每两相邻序列值之间加
个零值点形成的，即时间轴

c
y(nT )

y(nT )
0
T 2T
t
0 T 2T 3T 4T
t
dy ( t ) RC y(t ) x(t ) dt
当T足够小时，
dy ( t ) y [( n 1)T ] y ( nT ) dt T
利用计算机来求解 微分方程就是根据 这一原理来实现的
y [( n 1)T ] y ( nT ) RC y ( nT ) x ( nT ) T
1 2
k
2 1 0
1 2 3
k
(6)序列平移
x (k ) x( k 1)
x( k 1)
3 2 1 0
1 2
k
2 1 0
1 2 3
k 4 3 2 1 0
左移
1 2 3
k
右移
(7). 序列的尺度变换
序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。
y k f ak
(k )
(k 2)
1

1

0
12 3
k
0
12 3 4 5
k
显然： ( k ) ( k ) ( k 1)
(k )
n
( n)
k
( 3)单边指数序列 x( k ) a k ( k )
x(k )
( 4)正弦序列 x ( k ) sin k
可得其模拟框图，如下图所示。
y(k n)
e (k )

D
y(k 1)

D
y (k )
an1
a1
a0
若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bme(k m) bm1e(k m 1) b0e(k )
例2、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。
ax(k ) ax(k )
y (k )
（b）加法器
（c）标量乘法器
2．一阶系统的描述与模拟
描述一阶系统的前向差分方程为
y (k 1) a0 y (k ) e(k )
D
e (k )

y(k 1)
y (k )
a0
描述一阶系统的后向差分方程为
y (k ) a0 y (k 1) e(k )
Y (k )
连续时间系统 微分方程 卷积积分 拉氏变换 连续傅立叶变换 卷积定理 连续系统模拟
离散时间系统 差分方程 卷积和 Z变换 离散傅立叶变换 卷积定理 离散系统模拟
5.1 抽样信号与抽样定理
一.问题提出
与模拟信号和模拟通信系统相比，数字信号和数字通信系统具有显著的优势， 因此 在通信领域中，常常把待传输的连续时间信号经过如下过程处理传输到用户
— —正弦序列的角频率 4
0
1
x(k )
2 3
k
4 567 8
0 123
k
2 8
x( k ) x ( k 8) sin(k 8 ) sin(k 8 ) 4 sin(k 2 ) sin k 故x ( k )为周期序列
周期序列定义：x ( k ) x ( k rN ) N为使上式成立的最小实正整数，称为周期。 注意：并非所有正弦序列都是周期序列。
f (k ) f1 (k ) f 2 (k )
f1 (k )
1 -3 -2 -1 0 1 2 3 k
-3 -2 -1 3 2 1
f 2 (k )
f1 (k ) f 2 (k )
3 2 1
-3 -2 -1
k
0 1 2 3
0 1 2 3
k
（a）
（b） 序列的相加
（c）
(2)．序列的相乘
f (k ) f1 (k ) f 2 (k )
第五章：离散时间信号与系统的时域分析
Chapter7
Discrete systems
本章要点
F 抽样信号与抽样定理 F 常用典型序列及基本运算 F 离散时间系统的描述和模拟 F 离散时间系统的响应 F 离散时间系统的单位样值响应 F 卷积和
引言
X (k )
激励是离散
时间信号 离散系统
响应是离散
时间信号


k
x(k )

2
二
离散时间系统
主要讨论线性非移变系统。
线性系统：
if then
e1 ( k ) y1 ( k ) e2 ( k ) y2 ( k ) c e (k ) c e (k ) c y (k ) c y (k )
1 1 2 2 1 1 2 2
非移变系统
f1 (k )
f 2 (k )
3 2 1
f1 (k ) f 2 (k )
3 2 1
1
-1 0 1 2 3
k
-1 0
1 2 3
k
（b）
（c）
(3)．信号的差分 对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两 个序列值的变化率。定义为 前向差分：
f (k ) f (k 1) f (k )
说明：并非所有正弦序列都是周期序列 依周期序列的定义： k ) sin(k N ) sin(k N ) sin( 2k 要使上式成立：则N 2k , N