2017年南京市玄武区中考数学二模试卷解析版

2０1７年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷一、选择题(本大题共6小题，每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.（2分)２的相反数是（）A．2ﻩＢ. C.﹣2ﻩD.﹣２．（2分）氢原子的半径大约是0.０00 0０７7m，将数据０．0０0 0０77用科学记数法表示为（)Ａ.０.77×10﹣５ﻩB.0.７7×10﹣6 C.７.７×1０﹣５ﻩD．7.7×１0﹣63．（2分）﹣介于( ）A．﹣4与﹣3之间ﻩB．﹣3与﹣2之间 C.﹣2与﹣1之间ﻩD.﹣１与0之间４.(２分）下列平面图形，既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( ）Ａ.等腰三角形 B.正五边形ﻩC．平行四边形ﻩD.矩形5．（2分)如图是一个几何体的三视图,这个几何体是（)A.四棱柱ﻩＢ．三棱柱 C.三棱锥ﻩD.圆锥６．（２分)如图，正六边形ＡBCDEF的边长为6cｍ,Ｐ是对角线ＢE上一动点,过点P作直线ｌ与ＢE垂直，动点P从B点出发且以１ｃm/s的速度匀速平移至E 点．设直线l扫过正六边形ABCDＥF区域的面积为S(cm2），点P的运动时间为t(ｓ),下列能反映Ｓ与t之间函数关系的大致图象是（)A． B.ﻩＣ. D.二、填空题(本大题共10小题,每小题２分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上）７．(2分）8的算术平方根是;8的立方根是．8.（２分）要使式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是．9．（２分）计算=．1０.(2分)已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2，3），则当x=﹣1时,y= .11.（2分）某班的中考英语口语考试成绩如表：考试成绩／分3０２9２8２7２６学生数/人3151363则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多分．1２.(2分)若方程x2﹣1２x＋5=0的两根分别为a,b，则ａ2b+ab２的值为.13.（2分）若圆锥的高是8cm，母线长是10cｍ，则这个圆锥的侧面积是cm2（结果保留π）．14．（2分)若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为．1５．(2分）如图,在⊙O的内接六边形ABＣDEF中,∠A+∠C=22０°，则∠E= °.16.(2分)如图,在△ＡBC中，∠A=４5°,∠B=６0°，AＢ＝4,P是BC边上的动点(不与B,Ｃ重合），点P关于直线AB,AＣ的对称点分别为Ｍ,Ｎ,则线段ＭN长的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题,共88分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)１7.(10分）(1)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．(2)解方程＝1﹣.１8．（６分）先化简代数式1﹣÷,并从﹣1，0,1，3中选取一个合适的数代入求值．19.（8分)某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源，随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图．上网查找学习资源方式频数分布表查找方式频数频率搜索引擎163２％专题网站１5a在线网校４8％试题题库1020%其他ｂ1０%（１)频数分布表中a，b的值：ａ=；b=;（2)补全频数分布直方图；（３）若全校有１00０名学生，估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名？20.(6分）从2名男生和3名女生中随机抽取运动会志愿者．求下列事件的概率：(1)抽取1名,恰好是女生的概率为;（2）抽取2名，恰好是1名男生和1名女生.21.(8分）如图,在四边形ABCD中，BE⊥ＡC,DF⊥AC,垂足分别为Ｅ,F,BE=DF，AE ＝CF.(1)求证：△AFD≌△CEB；(2）若∠CBE＝∠ＢAC,四边形ＡBＣＤ是怎样的四边形?证明你的结论.22．（6分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施．假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1２５０元，那么衬衫的单价降了多少元？23．(8分)如图,小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C 两点的俯角分别为60°和３5°,已知大桥BC的长度为10０m,且与地面在同一水平面上.求热气球离地面的高度.（结果保留整数,参考数据:ｓin3５°≈,ｃos35°≈,tan35°≈,≈１.７)2４．（8分)已知二次函数y＝x2﹣(a﹣1）x+a﹣2,其中a是常数．(１)求证：不论a为何值,该二次函数的图象与x轴一定有公共点；（2)当a＝4时,该二次函数的图象顶点为Ａ，与x轴交于B，D两点，与y轴交于C点,求四边形ABCD的面积．2５．（９分)如图①,在一条笔直的公路上有M、P、N三个地点,Ｍ、P两地相距20km,甲开汽车,乙骑自行车分别从M、P两地同时出发，匀速前往N地，到达N 地后停止运动．已知乙骑自行车的速度为２0km/h,甲,乙两人之间的距离y（km）与乙行驶的时间t（h)之间的关系如图②所示.(１）M、N两地之间的距离为kｍ;（2)求线段BC所表示的ｙ与t之间的函数表达式;(３）若乙到达Ｎ地后，甲,乙立即以各自原速度返回Ｍ地，请在图②所给的直角坐标系中补全函数图象.26.(９分)如图,点A在⊙O上,点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接ＯＰ交⊙O于点D，作ＡB⊥OＰ于点C,交⊙O于点Ｂ，连接PＢ．(1）求证:ＰB是⊙O的切线;(２）若PC=9，ＡB=6，①求图中阴影部分的面积；②若点E是⊙O上一点，连接AE,BE，当AE=６时，BE= ．27.(10分）（1)问题背景如图①，BC是⊙O的直径,点A在⊙Ｏ上，ＡB=AＣ，Ｐ为ＢｍC上一动点（不与B,C重合)，求证:PＡ=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AＢ，ＡP,ＡC，且AＢ＝AＣ，这就为旋转作了铺垫.于是,小明同学有如下思考过程：第一步：将△ＰAC绕着点A顺时针旋转90°至△ＱAＢ（如图①)；第二步:证明Q，B,P三点共线，进而原题得证.请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.（2）类比迁移如图②，⊙Ｏ的半径为3,点Ａ，B在⊙Ｏ上,C为⊙Ｏ内一点，ＡＢ＝ＡＣ，AB ⊥AC，垂足为A，求OＣ的最小值.(3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上，Ｃ为⊙O内一点，AB=ＡC，AB⊥ＡＣ,垂足为A,则OC的最小值为.2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共６小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.(2分）2的相反数是（)A.2 B．ﻩC.﹣2ﻩＤ．﹣【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得2的相反数是:﹣２．故选:C.【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的,不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”.2．（２分)氢原子的半径大约是0.000 00７7m，将数据0．00000７7用科学记数法表示为（)A．0.77×10﹣5ﻩB.0．77×１0﹣6ﻩC．７.7×１0﹣５Ｄ.7.７×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×１0﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解：０．0００0077用科学记数法表示为7.7×１０﹣６,故选:D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣ｎ，其中1≤|a｜＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．３.（2分)﹣介于( ）A．﹣４与﹣3之间ﻩB．﹣3与﹣2之间Ｃ.﹣2与﹣1之间ﻩD．﹣1与0之间【分析】首先由4<7<9,可估算出的取值范围，易得结果.【解答】解:∵4＜７＜９，∴２，∴﹣3＜<﹣2，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用“夹逼法”是解答此题的关键.4．（2分）下列平面图形,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是（)A.等腰三角形ﻩB．正五边形C．平行四边形D.矩形【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解:A、∵等腰三角形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，故此选项错误；B、∵正五边形旋转1８０°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形,故此选项错误；Ｃ、平行四边形旋转180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,但不是轴对称图形,故此选项错误;D、∵矩形旋转18０°后能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形,故此选项正确.故选：Ｄ．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键.5．(２分)如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（)Ａ．四棱柱Ｂ.三棱柱C．三棱锥 D.圆锥【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解:由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为三角形可得为三棱柱.故选：B．【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．6．（2分)如图,正六边形ＡBCDEF的边长为6cm,P是对角线BＥ上一动点，过点P 作直线l与ＢE垂直，动点P从B点出发且以１ｃm/s的速度匀速平移至E点.设直线l扫过正六边形ＡＢCDEＦ区域的面积为S（cm2）,点Ｐ的运动时间为t（s），下列能反映S与ｔ之间函数关系的大致图象是(）Ａ．Ｂ． C.ﻩＤ．【分析】从给出的图象中看，中间位置的图象一致,只要计算两边取值中的图象即可作出判断;先计算点P从B到G时扫过的面积Ｓ，发现是二次函数,且开口向下,可以否定A 和B,再计算点P从9≤t≤1２时扫过的面积为正六边形的面积﹣△EMN的面积，计算得到一个开口向下的二次函数,由此作判断．【解答】解：由题意得：ＢP=t，如图1,连接ＡC，交ＢE于Ｇ，Rt△ABＧ中，ＡＢ＝6,∠ＡBG＝60°,∴∠ＢAG=30°,∴BＧ=AB＝３，由勾股定理得：ＡG＝=3，∴AC=２AG=６,当０≤t≤3时，ＰＭ=t,∴ＭN=2t，S=S△BMN＝MＮ•PB＝＝,所以选项A和B不正确;如图2,当9≤t≤12时，PＥ＝12﹣t,∵∠MEP＝6０°，∴taｎ∠MEP＝，∴PM=（12﹣t），∴MＮ=2PM=2（1２﹣t),∴Ｓ=Ｓ正六边形﹣S△EMN，=２×（AF+BE）×AＧ﹣MN•PE，=（6+1２)×3﹣×（12﹣ｔ）（12﹣t），=5４﹣（144﹣2４t＋ｔ2),＝﹣+24t﹣9０,此二次函数的开口向下,所以选项C正确,选项D不正确；故选:C.【点评】本题考查了动点所在直线的运动问题，利用数形结合的思想，确定动直线扫过区域面积的几种可能，通过计算其解析式来判断.二、填空题(本大题共10小题，每小题２分,共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（２分)８的算术平方根是2；８的立方根是2 .【分析】依据算术平方根的性质和立方根的性质解答即可.【解答】解:8的算术平方根是２;8的立方根是2．故答案为:２；２．【点评】本题主要考查的是算术平方根、立方根的性质，熟练掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．８.(2分)要使式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是ｘ≥２．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.【解答】解:由题意，得x﹣２≥0，解得x≥2，故答案为:x≥2.【点评】此题考查了二次根式的意义和性质.概念：式子(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义．9．(２分）计算= 2．【分析】直接利用二次根式乘运算法则计算得出答案．【解答】解：原式====2.故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算,正确化简二次根式是解题关键．１0.(2分）已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣2,3)，则当ｘ＝﹣1时,y= 6.【分析】直接把A(2,3)代入反比例函数y＝求出k的值,进而可得出反比例函数的解析式,再把x=1代入求出ｙ的值即可．【解答】解：∵反比例函数ｙ=的图象经过点A(﹣2，３），∴3=,解得ｋ＝﹣6,∴反比例函数的解析式为y=﹣，∴当ｘ=﹣1时，y=﹣=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.１１．(2分)某班的中考英语口语考试成绩如表:考试成绩／分30292827２6学生数／人3151363则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 1 分.【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：这组数出现次数最多的是２9;∴这组数的众数是２9．∵共42人,∴中位数应是第21和第22人的平均数,位于最中间的数是28，28，∴这组数的中位数是28.∴该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多２9﹣28=1分，故答案为：1．【点评】本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.要明确定义,一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项,注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数．12.(２分)若方程x2﹣12x+5=0的两根分别为a,b,则a2b+ab2的值为60.【分析】先根据根与系数的关系得到a+b=12，ab=5，再把a2b+ａｂ２变形为ab(ａ+ｂ),然后利用整体代入的方法计算.【解答】解:根据题意得a+b=１2，aｂ=5，所以a２ｂ+ab２＝ab（a＋b）＝5×12=60.故答案为60.【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(ａ≠0)的两根时,x1+x2=﹣，x１x2＝.13.(2分）若圆锥的高是８cm，母线长是10cm,则这个圆锥的侧面积是６0πcm ２（结果保留π)．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积.【解答】解：圆锥的底面圆的半径==６，所以这个圆锥的侧面积=×２π•6•10=６0π（cm２)．故答案为６０π.【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.1４.(2分）若一个正多边形的每一个外角都是3０°，则这个正多边形的边数为1２．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=3６0°÷3０°，计算即可求解．【解答】解：这个正多边形的边数:360°÷3０°=1２,故答案为：１２.【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．15．（2分)如图,在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠A+∠Ｃ＝2２0°,则∠E= 140°．【分析】连接ＢF，BD,根据已知条件得到的度数＋的度数=４４0°，得到的度数=４4０°﹣360°＝80°,根据圆内接四边形的性质即可得到结论.【解答】解：连接BF,BD，∵∠A＋∠C＝22０°,∴的度数＋的度数=440°,∴的度数=440°﹣360°=80°，∴∠DＢＦ=４０°,∴∠Ｅ=1８0°﹣∠ＤBF＝14０°,故答案为:140．【点评】本题考查了圆周角定理,多边形的内角与外角，正确的作出辅助线是解题的关键．１6.(２分)如图，在△ABC中,∠A=45°，∠B=60°,AＢ=4，P是ＢC边上的动点(不与B，C重合）,点P关于直线ＡB,AＣ的对称点分别为M，N,则线段ＭN长的取值范围是2≤MN<4.【分析】连接ＡM、ＡN、AＰ,过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM=ＡP=AN、△ＭＡN等腰直角三角形,进而即可得出ＭN＝ＡP,再根据AP的取值范围即可得出线段MN长的取值范围．【解答】解:连接AＭ、AN、AP,过点A作ＡＤ⊥MN于点Ｄ，如图所示．∵点P关于直线AB,AC的对称点分别为Ｍ,N，∴ＡM＝AP=AＮ，∠MAB=∠ＰAB,∠NAＣ=∠PAC，∴△ＭＡＮ等腰直角三角形，∴∠AMD=4５°,∴AD=MD＝AＭ，MN=AM．∵AB=4，∠Ｂ=60°,∴２≤AP<4,∵AＭ=AP，∴2≤MＮ＜4．故答案为:2≤MN<4．【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是证得△AＭN是等腰直角三角形.三、解答题(本大题共１1小题,共88分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(1０分)（１)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．（2）解方程=1﹣.【分析】（１）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集,表示在数轴上即可;(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：(１）,解不等式①•，得x≤１，解不等式 ②，得x>﹣1,则不等式组的解集是﹣1<x≤1;(2）方程两边同乘x﹣3得：3ｘ=(x﹣3)＋1,解得：x=﹣1,检验:当ｘ=﹣1时，x﹣3≠0,所以x=﹣1是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程,以及解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键．１8.（6分）先化简代数式1﹣÷，并从﹣１,0，1，3中选取一个合适的数代入求值.【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后在﹣１,0，1,３中选取一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．【解答】解:1﹣÷=＝1﹣==,当ｘ=3时,原式=﹣．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．19.(８分)某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源,随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图.上网查找学习资源方式频数分布表查找方式频数频率搜索引擎1632%专题网站15a在线网校48%试题题库10２0％其他b10％（1)频数分布表中a,ｂ的值:ａ= 30%;ｂ= 5 ;（2)补全频数分布直方图;(３)若全校有1０00名学生,估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名?【分析】（1）由统计图和统计表可以分别求得a、b的值；（2)根据b的值即可画出直方图；（3)用样本估计总体的思想，即可解决问题;【解答】解：（１）16÷32%=５０，a=×10０％=30％，b=50×10%=5,故答案为30%;5;(2）频数分布直方图,如图所示，(3）10００×32%=320（名）答：该校利用搜索引擎查找学习资源的学生有320名.【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体,解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题.2０.(6分)从２名男生和3名女生中随机抽取运动会志愿者．求下列事件的概率：(１）抽取１名，恰好是女生的概率为；(2）抽取2名,恰好是1名男生和1名女生.【分析】（1）根据概率的意义写出即可；(２）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）Ｐ(女)=；故答案为:；（２）画出树状图如下:共有20种情况，其中“恰好是1名男生和1名女生”的情况有1２种，所以，Ｐ（恰好是１名男生和１名女生B）==．【点评】本题考查了列表法和树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.21.(８分）如图,在四边形ＡBＣD中，BE⊥AC，DF⊥AＣ,垂足分别为E,Ｆ，BE=DF，AＥ=ＣF．(1)求证：△ＡFD≌△ＣEB；(２)若∠CBＥ=∠ＢAC,四边形ＡＢＣD是怎样的四边形？证明你的结论.【分析】(1)求出AF=CE，再利用“边角边”证明即可；(2）根据全等三角形对应边相等可得ＡD＝BＣ，全等三角形对应角相等可得∠BCE ＝∠DＡF,再根据内错角相等,两直线平行证明AD∥BC,然后判断出四边形ABCD 是平行四边形,求出∠ＡBC＝９0°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明.【解答】证明：(1)∵BE⊥AC，DＦ⊥ＡC，∴∠AFD=∠CEB=９0°.∵AE=FC，∴AE+EＦ=FC+EＦ,∴AF=CE,又∵BＥ=ＤF,∴△AFD≌△CEB;(２)四边形ＡBCD为矩形.∵△AＦD≌△CＥＢ,∴AD=ＢC,∠ＢＣE=∠ＤAＦ.∴AＤ∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠CBE=∠BＡＣ,又∵∠CBE＋∠ACB=90°,∴∠BAＣ+∠ACB=９0°,∴∠ABC=９０°,∴四边形ＡBCD为矩形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定,熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键.２２．(６分）某商场销售一批衬衫,平均每天可售出2０件，每件盈利40元．为了扩大销售,增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利１２5０元，那么衬衫的单价降了多少元?【分析】设衬衫的单价降了x元.根据题意等量关系:降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设衬衫的单价降了x元.根据题意，得(20+２x）(40﹣x)=125０,解得:x1＝x2=15，答：衬衫的单价降了１5元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程.23.(8分)如图,小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得Ｂ,C 两点的俯角分别为6０°和35°，已知大桥BC的长度为10０ｍ,且与地面在同一水平面上.求热气球离地面的高度．(结果保留整数,参考数据:ｓin35°≈，coｓ35°≈，taｎ35°≈,≈１.7）【分析】作AＤ⊥CB交CB所在直线于点Ｄ，利用锐角三角函数的定义求出ＣＤ及BD的长，利用ＢC=ＣＤ﹣BＤ即可得出结论．【解答】解：作AD⊥ＣB交CB所在直线于点Ｄ，由题知,∠ACD=35°,∠ＡBD＝60°,∵在Rｔ△ACD中,∠ACＤ=3５°，tan35°＝≈，∴CＤ=ＡD．∵在Ｒt△ＡBＤ中，∠ＡBD=６0°,tan60°=＝≈1．7,∴ＢD=AD,∴ＢC=CD﹣BD=AD﹣AD，∴ＡD﹣AＤ=1０0，解得AＤ=119m．答:热气球离地面的高119m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.2４．（８分）已知二次函数y=x2﹣（a﹣1)ｘ＋a﹣２，其中a是常数．（１）求证:不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点;(2）当a=4时，该二次函数的图象顶点为A,与x 轴交于B,Ｄ两点，与y 轴交于C 点，求四边形ABCD 的面积.【分析】(1)利用根的判别式符号进行证明；(2)由抛物线解析式求得点B 、C 、D 的坐标，然后利用分割法来求四边形ABCD 的面积．【解答】(1）证明:ｙ＝x 2﹣（a ﹣1）ｘ＋a ﹣2. 因为[﹣（a ﹣1）]２﹣4（a ﹣2)=(ａ﹣3)2≥0． 所以，方程x ２﹣（a ﹣1）x +a ﹣２=0有实数根． 所以,不论a 为何值,该函数的图象与x 轴总有公共点；(2)由题可知:当a=4时，y=x 2﹣3ｘ+2，因为y=ｘ２﹣3x ＋2＝（x ﹣)2﹣，所以A （，﹣),当y=0时，x 2﹣３x ＋２＝0，解得x 1＝1，x 2=2,所以B(1,0),D(2,０), 当x=０时,ｙ=2,所以C （0，2), 所以Ｓ四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =+1＝．【点评】本题考查了待定系数法,抛物线和坐标轴的交点、顶点坐标，四边形的面积的求法等,（2)利用分割法求四边形的面积是本题的关键.２5.（9分）如图①,在一条笔直的公路上有M 、P 、Ｎ三个地点,M 、P 两地相距20km,甲开汽车,乙骑自行车分别从Ｍ、P 两地同时出发，匀速前往N 地,到达N 地后停止运动.已知乙骑自行车的速度为20km ／ｈ,甲，乙两人之间的距离ｙ(km)与乙行驶的时间t （h ）之间的关系如图②所示.(１)M、N两地之间的距离为80 kｍ；（2)求线段BＣ所表示的ｙ与ｔ之间的函数表达式；(３）若乙到达Ｎ地后,甲，乙立即以各自原速度返回M地,请在图②所给的直角坐标系中补全函数图象.【分析】（１)根据路程＝速度×时间，可求PM，再计算20即可求解；（2）由题意可知B（,0)，C（1，40）,根据待定系数法可求线段BC所表示的y 与t之间的函数表达式；（３）当甲开汽车返回Ｍ地时,甲,乙两人之间的距离y（kｍ)最大为60；依此补全函数图象.【解答】解:（1）20×3+20=60＋20=80(ｋｍ)．答:M、N两地之间的距离为８0km；（２)由题意可知B（,０),C（1，40),设y与x之间的函数表达式为y=ｋx+b．根据题意得,当x=时,y=0;当x=1时,ｙ=40.所以，解得.所以，y与x之间的函数表达式为y=60ｘ﹣20;（３)如图所示:故答案为：80.【点评】此题主要考查了一次函数的应用,利用图表中数据得出汽车速度是解题关键.26.(９分）如图，点A在⊙O上,点Ｐ是⊙O外一点,ＰA切⊙Ｏ于点A，连接ＯP 交⊙O于点D,作AB⊥OP于点Ｃ,交⊙O于点B，连接PＢ.(1)求证:PＢ是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB＝６,①求图中阴影部分的面积;②若点E是⊙Ｏ上一点，连接AE,BE，当ＡＥ=6时,BE＝3﹣3或3＋3．【分析】（1)由PA切⊙Ｏ于点A得:∠ＰAO=90°,再证明△APO≌△ＢPO，所以∠ＰBO=∠PAO=9０°,可得结论；（2)①先根据垂径定理得:BＣ=3，根据勾股定理求圆的半径ＯＢ的长,利用三角函数得:∠COB=６0°，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求S和△OPＢS扇形DＯB的值,最后利用面积差得结论；②②分两种情况：ｉ)当点E在上时,如图２，作辅助线,构建直角三角形和等腰直角三角形,利用同弧所对的圆周角与半径及勾股定理分别计算ＥH和BH的长,相加即可得ＢE的长;ｉi)当点E在劣弧上时，如图3，作辅助线,同理计算EH和ＢH的长,最后利用勾股定理求BＥ的长.【解答】（1）证明:如图１，连接OB，∵OP⊥AB,OP经过圆心Ｏ,∴ＡＣ＝BＣ,∴ＯP垂直平分AB,∴AP=BP，∵ＯA=OB，OＰ=OP，∴△APO≌△ＢＰO（ＳSS),∴∠PAＯ＝∠PＢO,∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAＯ=９０°,∴∠PＢＯ=∠PＡO=90°，∴ＯB⊥BP，又∵点B在⊙O上,∴PB与⊙O相切于点Ｂ;(2）①解：如图1，∵OP⊥AB,OP经过圆心O，∴BC=AB=3,∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PＢC+∠ＯBC=∠ＯBC＋∠ＢＯC=90°,∴∠ＰBC=∠BOC, ∴△PBC ∽△ＢOC, ∴∴OC===3,∴在R ｔ△ＯC Ｂ中，O Ｂ===6，tan ∠ＣOB==,∴∠C ＯB=60°，∴Ｓ△OPB =×ＯＰ×B Ｃ=×＝1８，S 扇DOB ==6π,∴S 阴影=S △OPB ﹣Ｓ扇ＤOB ＝18﹣6π；②分两种情况: ｉ)当点Ｅ在上时,如图２,作直径AF,交⊙O 于F,连接EF 、E Ｂ，过Ｏ作OG ⊥ＡE 于G,过F 作FH ⊥EB 于H, ∴EG=AG ＝AE=×=３，∵∠AOB=120°，OA ＝OB, ∴∠OA Ｂ=30°，∴∠BE Ｆ=∠ＯA Ｂ=30°， Ｒt △OGE 中，由①知：O Ａ＝6, ∴O Ｇ＝==3,∴ＡＧ=OG,∴△OGA 是等腰直角三角形， ∴∠OAE=45°,∴∠E ＢＦ＝∠OAE=４5°, ∵ＡF 是⊙Ｏ的直径, ∴∠ＡEF=９０°，∴△ＡE Ｆ是等腰直角三角形， ∴ＥF=A Ｅ=6，Rt △E ＨＦ中,∠B ＥＦ=３0°, ∴FH ＝EF=3,∴EＨ===３，Rt△BHＦ中，∵∠EBF＝45°,∴△BHF是等腰直角三角形,∴BH＝FH=3，∴BＥ=3＋3,iｉ)当点E在劣弧上时,如图３,作直径ＡＦ,并⊙O于F，连接OB、OE、BF,过Ｂ作BH⊥OE于H，∵AF为⊙O的直径,∴∠AＢF=9０°,∵∠ＢAF＝３0°,∴∠Ｆ=∠BOF＝60°,∵OＡ=OＥ=6，ＡE＝６,∴ＯＡ2+OE2=AE２，∴∠ＡOＥ=90°，∴∠EOF=90°，∴∠EOB＝30°,Rｔ△OＨB中,BH=ＯB＝3，∴OＨ==３，∴EH＝6﹣3，∴BE====3﹣3；综上所述，BＥ的长为3＋３或３﹣３；故答案为：3﹣3或３+3．【点评】本题考查了切线的性质和判定、垂径定理、三角函数、扇形的面积、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第2小问构建辅助线是关键,同时要采用分类讨论的思想．27．（1０分)(1)问题背景如图①,BＣ是⊙O的直径，点A在⊙Ｏ上,AB=AC，P为ＢmC上一动点(不与B，C 重合）,求证:ＰＡ=ＰＢ+PC.小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AＢ,AP,ＡC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫.于是，小明同学有如下思考过程:第一步：将△PＡC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①）;第二步:证明Ｑ，B,P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②,⊙O的半径为3,点A,Ｂ在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值．(3）拓展延伸如图③,⊙Ｏ的半径为3,点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点,ＡB=AC，AB⊥AＣ,垂足为A,则OC的最小值为．【分析】（１）将△ＰAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）,只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题；(2)如图②中，连接OA,将△OAC绕点Ｏ顺时针旋转90°至△ＱAB,连接OＢ,OQ,在△BＯQ中,利用三边关系定理即可解决问题;(３)如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA,使得ＡQ=OA,连接ＯQ，BQ,OB．由△ＱＡB∽OAＣ,推出BＱ=OC,当BQ最小时，ＯC最小;【解答】（１)证明:将△PAＣ绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）;∵BC是直径，∴∠BAＣ＝９0°,∵AB＝ＡC，∴∠ACＢ＝∠AＢＣ=４5°，由旋转可得∠QＢA=∠PCA，∠ＡCＢ＝∠ＡＰB=４５°,PC=QB,∵∠PＣA＋∠PBＡ＝18０°,∴∠QBA+∠PBＡ＝１80°，∴Q,B，P三点共线,∴∠QAB＋∠BAP=∠BAＰ＋∠PAＣ=90°,∴QP２=AＰ2+AQ2=２ＡP2，∴QP＝ＡP=QB+BP＝ＰC+PB，∴AＰ=PＣ+ＰB.(2)解:如图②中,连接OA，将△OＡC绕点Ａ顺时针旋转９0°至△QAB,连接ＯＢ,OQ，∵AB⊥ＡC∴∠ＢAC=90°由旋转可得QB=OC,AQ=OA，∠QAＢ=∠ＯＡC∴∠QＡB+∠BAＯ=∠BＡO+∠OAC=90°∴在Rt△ＯAＱ中，OQ＝３，ＡＯ=3∴在△OQB中,ＢQ≥OQ﹣OB=3﹣3即OC最小值是3﹣３（3）如图③中，作ＡQ⊥OA，使得AQ=OA，连接OQ，BＱ,ＯＢ.∵∠QAO=∠BAＣ=９0°，∠ＱAB=∠OＡＣ，∵=＝,∴△QAB∽OAC，∴BＱ=ＯＣ，。

2017～2018学年度南京市玄武区第二学期九年级测试卷（一）数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1. 2的相反数是( )A. －2B. 2C. －D.【答案】A【解析】试题解析：2的相反数等于-2．故选A．考点：相反数．2. 下列运算正确的是( )A. 2a＋3b＝5abB. (－a2)3＝a6C. (a＋b)2＝a2+b2D. 2a2·3b2＝6a2b2【答案】D【解析】分析：分别应用合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式的运算法则计算后利用排除法求解．详解：A. 2a与3b不是同类项不能合并，故本选项错误；B. (－a2)3＝，故本选项错误；C. 应为(a+b)²=a²+2ab+b²≠a2+b2，故本选项错误；D. 2a2·3b2＝6a2b2，正确。

故选D.点睛：本题考查了合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，单项式乘单项式的应用，主要考查学生的计算能力和辨别能力.3. 下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据三视图的基本知识，分析各几何体的三视图然后回答.详解：A.长方体主视图是正方形，左视图是长方形，俯视图是长方形;B. 圆锥主视图是等腰三角形，左视图是等腰三角形，俯视图是圆里面有点;C. 球的主视图、左视图、俯视图都是圆;D.三棱柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是三角形.故选C.点睛：本题考查了简单的几何体的三视图，掌握定义是关键，主视图、左视图、俯视图是分别从物体的正面、左面和上面看而得到的图形.4. 如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，FG平分∠EFD，交AB于点G，若∠1＝72°，则∠2的度数为( )A. 36°B. 30°C. 34°D. 33°【答案】A【解析】分析：根据对顶角求出∠AEF,再根据两直线平行，内错角相等，可求出∠DFE，再根据角平分线的性质，可得到∠DFG，然后用两直线平行，内错角相等求出∠2．详解：∵∠1=72°，∴∠AEF=∠1=72°, ∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFD=72°，又∵FG平分∠EFD，∴∠DFG=∠EFD=×72°=36°，∴∠2=∠DFG=36°．故选A.点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解答本题的关键.5. 已知二次函数y＝x2－5x＋m的图像与轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为( )A. （－1，0）B. （4，0）C. （5，0）D. （－6，0）【答案】B【解析】分析：由二次函数的解析式得出图象的对称轴，由图象的对称性即可得出答案．详解：∵二次函数y=x²−5x+m的图象的对称轴为x=−,与x轴的一个交点的坐标是(1,0)，∴由二次函数图象的对称性得：二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标是(4,0)；故选B.点睛：本题考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线图象的对称轴，利用抛物线图象的对称性进行解答即可.6. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，AB∥x轴，BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若△ABC的面积是6，则k的值为( )A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】D【解析】分析：设A(a,),B(x,),根据长方形和三角形的面积公式计算即可.详解:过点A作AD⊥x轴，垂足为D，延长BA交y轴于点E,如图,设A(a,),B(x,),可得：△ABC的面积=(四边形OCBE-四边形ADCB的面积)=, ∴k=16.故选D.点睛：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积就等于.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7. 一组数据1，6，3，4，5的极差是_______．【答案】5【解析】分析：根据极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差可得答案详解：数据中最大的值6,最小值1,故极差=6-1=5,故答案为：5.点睛：此题考查了极差,极差反映了一组数据变化范围的大小,求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．【答案】x≠2【解析】分析：根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解.详解：由题意得：x-2≠0,解得：x≠2.故答案为：x≠2.点睛：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为0；（2）分式有意义分母不为0；（3）分式值为0分子为0且分母不为0.9. 国家统计局的相关数据显示，2017年我国国民生产总值约为830000亿元，用科学记数法表示830000是________．【答案】8.3×105【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.详解：将830 000用科学记数法表示为：8.3×105.故答案为：8.3×105.点睛：本题考查科学计数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数,表示时关键要正确确定a的值及n的值.10. 分解因式x3－4x的结果是________.【答案】x(x＋2)(x―2)【解析】分析：先提取公因式x,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.详解：解:原式点睛：本题考查了提公因式法,公式法分解因式.注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解,注意分解要彻底.11. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋a－1＝0有实数根，则a的取值范围为________．【答案】a≤2【解析】分析：根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．详解：∵关于x的一元二次方程x2－2x＋a－1＝0有实数根，∴△=⩾0，解得：a⩽2. 故答案为：a⩽2.12. 如图，在□ABCD中，DB＝DC，AE⊥BD，垂足为E，若∠EAB＝46°，则∠C＝______°．【答案】68【解析】分析：根据平行四边形的性质可得DC∥AB，进而得到∠BDC=∠ABE=44°，再利用三角形的内角和定理计算出∠C计算.详解：∵AE⊥BD，∠EAB＝46°，∴∠ABE=44°,∵DC∥AB,∴∠BDC=∠ABE=44°,∵DB=DC，∴∠DBC=∠C，∴∠C=，故答案为：68°点睛：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是利用三角形的内角和定理，等边对等角的知识点求有关角的度数.13. 某圆锥的底面圆的半径为3cm，它的侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是_______cm2．（结果保留π）【答案】18π【解析】分析：已知底面半径为3的圆锥的侧面展开图是半圆，根据侧面展开图角度与母线，半径的关系，可求出圆锥的母线，代入侧面积公式可得答案.详解：若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍，∵圆锥的底面半径为3cm,故圆锥的母线长为6cm,故圆锥的侧面积S==2π·3²=18π，故答案为18π.点睛：本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，掌握圆锥与扇形各个元素之间的关系是解答本题的关键.14. 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OD⊥弦AB，垂足为C，连接CE．若OC＝3，△ACE的面积为12，则CD＝_________．【答案】2【解析】由OD⊥AB，由AE是直径，点O 为AE的中点，得到△AOC的面积为6，然后在Rt△CACO 中利用勾股定理可计算出AC,进而求出CD即可．详解：∵点O 为AE的中点，△ACE的面积为12，∴△AOC的面积为6，又∵OC＝3，∴AC=4, ∴AO=, ∴CD=2.故答案为：2.点睛：本题考查了三角形的中线分三角形为面积相等的两个三角形，也考查了勾股定理.15. 某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将此商品的进价提高15%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是x元，则可列方程________．【答案】【解析】分析：求的是单价,总价明显,一定是根据数量来列等量关系.本题的关键描述语是:第二个月的销售量比第一个增加了80件.等量关系为:第二个月的销售量-第一个月的销售量,算出后可得到此商品的进价.详解：解:设此商品进价是x元.，则有，故答案为：.点睛：本题考查了分式方程的应用,应用题中一般有三个量,求一个量,明显的有一个量,一定是根据另一量来列等量关系的.本题考查分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE 翻折，使点A落在点A′处，当A′E⊥AC时，A′B＝_________．【答案】或7【解析】分析：分两种情况：①如图1，作辅助线，构建矩形，先由勾股定理求斜边AB=10，由中点的定义求出AD和BD的长，证明四边形HFGB是矩形，根据同角的三角函数列式可以求DG和DF的长，并由翻折的性质得：∠=∠A，=AD=5，由矩形性质和勾股定理可以得出结论：=；②如图2，作辅助线，构建矩形，同理可以求出的长．详解：分两种情况：如图1,过D作DG⊥BC与G,交A′E与F,过B作BH⊥A′E与H，∵D为AB的中点，∴BD=AB=AD,∵∠C=90，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴BD=AD=5，sin∠ABC=，∴，∴DG=4，由翻折得：∠DA′E=∠A,A′D=AD=5，∴sin∠DA′E=sin∠A=，∴，∴DF=3，∴FG=4−3=1，∵A′E⊥AC，BC⊥AC，∴A′E∥BC，∴∠HFG+∠DGB=180°，∵∠DGB=90°，∴∠HFG=90°，∵∠EHB=90，∴四边形HFGB是矩形，∴BH=FG=1，同理得：A′E=AE=8−1=7，∴A′H=A′E−EH=7−6=1，在Rt△AHB中,由勾股定理得：A′B=；②如图2,过D作MN∥AC,交BC与于N,过A′作A′F∥AC,交BC的延长线于F,延长A′E交直线DN于M，∵A′E⊥AC,∴A′M⊥MN,A′E⊥A′F，∴∠M=∠MA′F=90°，∵∠ACB=90°，∴∠F=∠ACB=90°，∴四边形MA′FN是矩形，∴MN=A′F,FN=A′M，由翻折得：A′D=AD=5，Rt△A′MD中,∴DM=3,A′M=4，∴FN=A′M=4，Rt△BDN中，∵BD=5，∴DN=4，BN=3，∴A′F=MN=DM+DN=3+4=7，BF=BN+FN=3+4=7，Rt△ABF中,由勾股定理得：A′B=；综上所述的长为或故答案为：或.本题考查的是图形的翻折变换及等腰直角三角形的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理的综合运用，题型难度较大.三、解答题（本大题共11小题，共88分．）17. （1）计算－2sin45°＋(2－π)0－；（2）解方程x2－2x－1＝0．【答案】（1）－2；（2）x1＝1＋，x2＝1―【解析】分析：（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；(2)利用配方法解一元二次方程.. 详解：(1)解：原式＝2―＋1―3＝－2(2)解：x2－2x＝1x2－2x＋1＝2(x－1)2＝2x－1＝±x1＝1＋，x2＝1―点睛：本题考查了一元二次方程的求法，实数的综合运算能力，熟记并掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等考点的运算，解一元二次方程要熟练掌握配方法的运算.18. 先化简，再求值：，其中x＝＋1．【答案】【解析】分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．详解：原式＝•＝•＝当x＝＋1时，原式＝＝点睛：本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算要注意先去括号，分子、分母能因式分解的先因式分解.19. 如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，且BE＝DF．连接AE、CF．（1）求证△AOE≌△COF；（2）若AC⊥EF，连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．【答案】见解析...... ...........................详解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC．又BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF．∴OE＝OF．又∠AOE＝∠C OF，∴△AOE≌△COF．（2）解：四边形AECF是菱形．理由如下：∵OA＝OC，OE＝OF．∴四边形AECF是平行四边形．又AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判解题的关键是掌握平行四边形的性质，证明三角形全等.20. 某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝_________，b＝________；（2）请补全频数分布直方图；（3）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在90分以上（含90分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？【答案】(1). 18(2). 0.18【解析】分析：（1）直接利用频数÷总数=频率，进而得出答案；（2）直接利用（1）中所求，补全条形统计图即可；（3）直接利用样本估计总体进而得出答案．详解：（1）抽取的总人数是2÷0.04=50（人）a=50×0.36=18，b=9÷50=0.18；（2）频数分布直方图见；（3）400×0.30=120．点睛：本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.21. 甲、乙两名同学参加1 000米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分A、B、C三组进行比赛．（1）甲同学恰好在A组的概率是________；（2）求甲、乙两人至少有一人在B组的概率．【答案】(1);（2）【解析】分析：(1)可从甲入手分析，甲可能被分到A，B，C三个组中的任一组，而当甲分到A组时，此时乙可能被分到3组中的任一组；(2)同理，分析出当甲分到B组或C组时乙的分组情况，接下来即可得出总情况数，再根据所列树状图找出甲、乙两人至少有一人在B组的的情况数，再根据概率公式解答即可．详解：（1）；（2）（2）所有可能出现的结果有：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“至少有一人抽到B项目”（记为事件A）的结果有5种，所以P(A)＝．点睛：如果事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=.22. 如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，DE交AC于点G．若BC＝2，△GEC的面积是△ABC的面积的一半，求△ABC平移的距离．【答案】【解析】分析：移动的距离可以视为FC或BE的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以BC：EC=：1，推出EC=，所以BE=2-.详解：由平移得：∠B＝∠DEF，又∵点B、E、C、F在同一条直线上∴AB∥DE，∴△CGE∽△CAB．∴＝()2＝＝．∵BC＝2，∴＝．∴EC＝．∴BE＝BC―EC＝2―．即平移的距离为2―．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质，求证△ABC与阴影部分为相似三角形是解答本题的关键.23. 一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶0.8h后两车相遇．图中折线ABC表示两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）的函数关系．（1）甲乙两地之间的距离是__________km，轿车的速度是_________km/h；（2）求线段BC所表示的函数表达式；（3）在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图像．【答案】(1). 150 (2). 75【解析】分析：(1)根据图形纵坐标直接得出甲、乙两地之间的距离，轿车的速度：(150-50) ÷0.8-50=75;(2) 设y＝kx＋b，在图中，依次找出B点、C点的坐标，即可列出函数表达式，进求出BC的表达式;(3)货车与轿车相遇后，背向行驶，距离越来越远，三小时后，货车到达目的地,继而画出图象.详解：（1）150，75．（2）解：根据题意，C点坐标为（1.8，0），当x＝1时，y＝150－50＝100，∴B点坐标为（1，100）设线段BC所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b．因为y＝kx＋b的图像过点（1，100）与（1.8，0），所以解方程组得线段BC所表示的y与x之间的函数表达式为y＝－125x＋225．（3）图中线段CD即为所求．点睛：此题主要考查了一次函数的应用以及考查学生解决实际问题的能力，要求学生根据问题提供的信息读懂图象，并善于从图象中得到正确的信息．要求学生将所给的函数图象与其表示的实际意义联系起来，并结合图象分析和解决问题．24. 如图，甲楼AB高20m，乙楼CD高10m，两栋楼之间的水平距离BD＝20m，小丽在乙楼楼顶C处观测电视塔塔顶E，测得仰角为45°，求电视塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4，结果保留整数）【答案】电视塔的高度为110米．【解析】分析：首先分析题意，根据题意构造直角三角形，分别过点A，C作AM⊥EF，CN⊥EF垂足分别为M、N，在Rt△ECN和Rt△AEM中，借助三角函数解出AM、CN的值，进而求出电视塔的高度.详解：如图，分别过点A，C作AM⊥EF，CN⊥EF垂足分别为M、N．∴MF＝AB＝20，NF＝CD＝10．设EF＝x m，则EN＝(x―10)m，EM＝(x―20)m．在Rt△ECN中，∠ECN＝45°，∵tan45°＝，∴CN＝＝．在Rt△AEM中，∠EAM＝37°，∵ tan37°＝，∴AM＝＝．又AM―CN＝BD，∴―＝20．∴x≈110．答：电视塔的高度为110米．点睛：本题考查了借助仰角关系构造出直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形,通过三角函数把求解问题转化为方程问题的计算.25. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝90°，以AB为直径的⊙O交AD于点E，CD＝ED，连接BD 交⊙O于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若BD＝10，AB＝13，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：(1)连接BE，可证明Rt△BCD≌Rt△BED，结合条件可证明∠BDC＝∠ABD，可证得AB∥CD,最后看单词结果;(2)连接EF，根据圆周角定理得出∠AFB＝90°，在Rt△ABF中根据勾股定理得出BF＝5，然后由Rt△ABF∽Rt△BDC，ED＝，从而求出AE的长.详解：（1）证明：连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．在Rt△BCD和Rt△BED 中∴Rt△BCD≌Rt△BED．∴∠ADB＝∠BDC．又AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD．∴∠BDC＝∠ABD．∴AB∥CD．∴∠ABC＋∠C＝180°．∴∠ABC＝180°－∠C＝180°―90°＝90°．即BC⊥AB．又B在⊙O上，∴BD与⊙O相切．（2）解：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，即AF⊥BD．∵AD＝AB，BC＝10，∴BF＝5．在Rt△ABF和Rt△BDC中∴Rt△ABF∽Rt△BDC．∴＝．∴＝．∴DC＝．∴ED＝．∴AE＝AD―ED＝13―＝．点睛：本题考查了切线的判定定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，根据题意正确的作出辅助线是解答本题的关键.26. 甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？【答案】（1）y2＝―0.4(x―75)2＋2250；（2）当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．【解析】分析：（1）由图象可知y与x之间是一次函数关系，可设y=kx+b，把（0，120），（80，72）代入可得；（2）根据：销售利润W=该产品每千克利润×销售量，列出函数关系式，配成二次函数顶点式，结合自变量取值范围可得其最值．详解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b．根据题意，当x＝0时，y1＝120；当x＝80时，y1＝72．所以，解得所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.6x＋120．设y2与x之间的函数表达式为y2＝a(x―75)2＋2250，当x＝0时，y2＝0，解得a＝―0.4．所以，y2与x之间的函数表达式为y2＝―0.4(x―75)2＋2250．（2）解：设甲、乙两公司的销售总利润的差为w（元）．当0＜x≤80时，w＝（y1－40）x―y2＝ (－0.6x＋120―40)x－[(－0.4(x―75)2＋2250］＝－0.2x2＋20x＝－0.2(x－50)2＋500．∵－0.2＜0，0＜x≤80∴当x＝50时，w有最大值，最大值为500．当80＜x≤84时，w＝(72―40)x―[―0.4(x―75)2＋2250］＝0.4x2―28x，∵当80＜x≤84时，w随x的增大而增大，∴当x＝84时，有最大值，最大值为470.4．综上所述，当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．点睛：本题考查了一次函数和二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，解答本题的关键是根据图象找出图象中所包含的有用信息.。

2017年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算1﹣（﹣2）2÷4的结果为（）A．2B．C．0D．﹣2．（2分）南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学记数法表示为（）A．321×102B．32.1×103C．3.21×104D．3.21×1053．（2分）一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．（2分）下列运算结果正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5 5．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（）A．+B．1+C．D．+16．（2分）如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（）A．（1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，1）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）分解因式：2x2+4x+2＝．8．（2分）满足不等式组的整数解为．9．（2分）已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是．10．（2分）计算＝．11．（2分）若关于x的方程x2+mx+5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为．12．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD ＝．13．（2分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则▱ABCD的面积为．14．（2分）如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而．（填“减小”、“不变”或“增大”）15．（2分）二次函数y＝a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象经过点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠P AB ＝∠PBC，则CP的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解方程组（2）解方程＝．18．（6分）计算÷（1+）．19．（7分）一个不透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．20．（8分）某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．（1）该公司在全市一共投放了万辆共享单车；（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为°；（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）求证：四边形EFGH是菱形．22．（7分）用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．23．（9分）同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（min）的关系如图所示．（1）求乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式；（2）求点P的坐标，并说明其实际意义；（3）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．24．（8分）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A 的邻弦，记作thiA，即thiA＝＝．请解答下列问题：已知：在△ABC中，∠C＝30°．（1）若∠A＝45°，求thiA的值；（2）若thiA＝，则∠A＝°；（3）若∠A是锐角，探究thiA与sin A的数量关系．25．（8分）A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x （0＜x＜1）．B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x．三月份A、B两厂产值分别为y A、y B（单位：万元）．（1）分别写出y A、y B与x的函数表达式；（2）当y A＝y B时，求x的值；（3）当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC＝AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线．（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝．27．（9分）在△ABC中，D为BC边上一点．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；②若AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，则CD的取值范围是．2017年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算1﹣（﹣2）2÷4的结果为（）A．2B．C．0D．﹣【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式＝1﹣4÷4＝1﹣1＝0，故选：C．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2分）南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学记数法表示为（）A．321×102B．32.1×103C．3.21×104D．3.21×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：32100＝3.21×104，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2分）一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根．【解答】解：∵在方程2x2+3x+1＝0中，△＝32﹣4×2×1＝1＞0，∴方程2x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4．（2分）下列运算结果正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、a2与a3是加，不是乘，不能运算，故本选项错误；B、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；C、a3÷a2＝a3﹣2＝a，故本选项正确；D、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（）A．+B．1+C．D．+1【分析】设与EF交于H，连接AH，根据旋转的性质得到AH＝AD＝BC＝2，根据直角三角形的性质得到∠AHE＝∠GAH＝30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：如图，设与EF交于H，连接AH，∵AB＝1，BC＝2，∴AH＝AD＝BC＝2，∴∠AHE＝∠GAH＝30°，∵AE＝AB＝1，∴HE＝，∴阴影部分的面积＝S扇形AHG+S△AHE＝+1×＝+，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2分）如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（）A．（1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，1）【分析】由A、E两点的纵坐标相等而横坐标互为相反数知A、E两点关于y轴对称，结合图形知B、D两点也关于y轴对称，据此可得答案．【解答】解：如图，由点A、E的坐标分别为（a，b）、（﹣a，b）知A、E两点关于y轴对称，则B、D两点也关于y轴对称，∵B（3，1），∴D（﹣3，1），故选：D．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）分解因式：2x2+4x+2＝2（x+1）2．【分析】根据提公因式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2，故答案为：2（x+1）2．【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式2，再利用和的平方公式．8．（2分）满足不等式组的整数解为﹣2．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：∵解不等式①得：x＜﹣1，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣1，∴不等式组的整数解为x＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键．9．（2分）已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是4．【分析】将一组数据2，6，5，2，4从大到小排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数．【解答】解：∵一组数据2，6，5，2，4从大到小排列为：6，5，4，2，2，∴这组数据的中位数是4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．10．（2分）计算＝2﹣．【分析】分母有理化是指把分母中的根号化去，据此求出计算的结果是多少即可．【解答】解：＝＝＝2﹣故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，以及单项式乘多项式的方法，要熟练掌握．11．（2分）若关于x的方程x2+mx+5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为5．【分析】根据根与系数的关系即可求出另外一个根．【解答】解：设另外一个根为x，由根与系数的关系可知：1•x＝5，∴x＝5故答案为：5【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是正确理解根与系数的关系，本题属于基础题型．12．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD ＝40°．【分析】首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD＝90°，又由圆周角定理，可得∠D＝∠ABC＝50°，继而求得答案．【解答】解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠D＝∠ABC＝50°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝40°．故答案为：40°．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．13．（2分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则▱ABCD的面积为16．【分析】连接AC，由已知条件易证EF是△DAC的中位线，所以△DEM和△DAO的面积比可求出，进而由△DEM的面积为1，即可求出▱ABCD的面积．【解答】解：连接AC，交BD于点O，∵E、F分别是AD、CD的中点，∴EF是△DAC的中位线，∴EM∥AO，EM＝AO，∴S△DEM：S△DAO＝1：4，∴S△DEM：S△DAC＝1：8，∴S△DEM：S平行四边形ABCD＝1：16，∵△DEM的面积为1，∴▱ABCD的面积为16，故答案为：16．【点评】本题考查了平行四边形的判断和性质、三角形中位线定理的运用、相似三角形的判断和性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．14．（2分）如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而增大．（填“减小”、“不变”或“增大”）【分析】根据A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上两点，得出k＝ab＝1×4＝4，b＝．再根据矩形ACDG的面积＝矩形ACOE的面积﹣矩形ODGE 的面积，得出四边形ACDG的面积＝4﹣，进而求解即可．【解答】解：∵A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上两点，∴k＝ab＝1×4＝4，∴b＝．∵过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G，∴四边形ACDG是矩形，∴矩形ACDG的面积＝矩形ACOE的面积﹣矩形ODGE的面积＝ab﹣1•b＝4﹣，∵a增大时，减小，4﹣增大，∴四边形ACDG的面积随着a的增大而增大．故答案为增大．【点评】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的面积，属于中考常考题型．15．（2分）二次函数y＝a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象经过点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是b＞2．【分析】将点的坐标代入二次函数解析式中可得出关于a、b、c的方程组，将其做差、整理后可得a＝，再根据a＜0即可求出b的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象经过点（1，1）和（3，3），∴，②﹣①，整理得：a＝．∵a＜0，∴4﹣2b＜0，∴b＞2．故答案为：b＞2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出a＝是解题的关键．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠P AB ＝∠PBC，则CP的最小值为﹣1．【分析】首先求得∠APB＝135°，点P在以AB为弦的⊙O上，然后可求得OC＝，OP＝1，当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴∠CAB＝∠CBA＝45°．又∵∠P AB＝∠PBC，∴∠P AB+∠PBA＝45°．∴∠APB＝135°．∴点P在以AB为弦的⊙O上．∵∠APB＝135°，∴∠AOB＝90°．∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∴∠CAO＝90°．∴四边形ACBO为矩形．∵OA＝OB，∴四边形AOBC为正方形．∴OA＝OB＝1．∴OP＝1，OC＝．当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值，∴PC的最小值＝OC﹣OP＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、正方形的判定，证得点P在以AB 为弦的圆弧上是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解方程组（2）解方程＝．【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程组，解：由②‚得y＝2x﹣1③，将③ƒ代入①•得：x+2（2x﹣1）＝3，解得：x＝1，将x＝1代入 得y＝1，则该方程组的解为；（2）方程两边同乘（x﹣1）（x+3）得：x+3＝2（x﹣1），解得：x＝5，检验：当x＝5时，（x﹣1）（x+3）≠0所以x＝5是原方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）计算÷（1+）．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：÷（1+）．＝÷（）＝÷＝•＝【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．19．（7分）一个不透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．【分析】（1）列举出所有的可能情况，计算概率即可；（2）列举得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A）＝＝；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：（红1，红2）、（红1，黄）、（红2，黄）、（红1，白）、（红2，白）、（白，黄），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”（记为事件B）的结果只有1种，所以P（B）＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（8分）某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．（1）该公司在全市一共投放了4万辆共享单车；（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为36°；（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．【分析】（1）根据统计图中的数据可以求出该公司在全市一共投放了多少万辆共享单车；（2）根据统计图中的数据可以求得B区所对应扇形的圆心角；（3）根据题意和统计图中的数据可以求得C区共享单车的使用量并补全条形统计图．【解答】解：（1）由题意可得，该公司在全市一共投放了：1÷25%＝4（万辆）共享单车，故答案为：4；（2）由题意可得，在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为：360°×（1﹣25%﹣25%﹣20%﹣）＝36°，故答案为：36；（3）由题意可得，C区共享单车的使用量为：4×85%﹣0.8﹣0.3﹣0.9﹣0.7＝0.7（万辆），补全的条形统计图，如右图所示．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）求证：四边形EFGH是菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）欲证明四边形EFGH是菱形，只需推知四边形EFGH是平行四边形，然后证得该平行四边形的邻边相等即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．∴△BEF≌△DGH．∴EF＝HG．又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴四边形EFGH是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意：本题菱形HEFG的判定是在平行四边形HEFG的基础上推知的．22．（7分）用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴①．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵②，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．【分析】证法1：在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，证明CE与CD重合即可；证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．证明四边形ACBE是平行四边形．再证出四边形ACBE是矩形．得出AB＝CE，即可得出结论．【解答】解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．故答案为：EC＝EB；∠A+∠B＝90°；证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．如图3所示：∵AD＝DB，DE＝CD．∴四边形ACBE是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形．∴AB＝CE，又∵CD＝CE，∴CD＝AB．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．23．（9分）同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x（min）的关系如图所示．（1）求乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式；（2）求点P的坐标，并说明其实际意义；（3）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式；（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点P的坐标，以及写出点P表示的实际意义；（3）根据题意可以得到甲蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式，从而可以求得点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．【解答】解：（1）设乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式为y＝kx+b，，解得，，即乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式为y＝﹣0.8x+40；（2）将x＝20代入y＝﹣0.8x+40，得y＝24，即点P的坐标为（20，24），实际意义是：点燃20分钟，甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24 cm；（3）设甲蜡烛剩下的长度y甲与x之间的函数表达式为y甲＝mx+n，，解得，∴y甲与x之间的函数表达式为y甲＝﹣1.2x+48，∵甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍，∴﹣1.2x+48＝1.1（﹣0.8x+40）解得，x＝12.5答：点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用函数的性质解答问题．24．（8分）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A 的邻弦，记作thiA，即thiA＝＝．请解答下列问题：已知：在△ABC中，∠C＝30°．（1）若∠A＝45°，求thiA的值；（2）若thiA＝，则∠A＝60或120°；（3）若∠A是锐角，探究thiA与sin A的数量关系．【分析】（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．根据三角函数的定义即可得到结论；（2）根据三角函数值即可得到结果；（3）根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H．（1）在Rt△BHC中，sin C＝＝，即BC＝2BH．在Rt△BHA中，sin A＝＝，即AB＝BH．∴thiA＝＝；（2）∵thi A＝，∴＝，∵∠C＝30°，∴tan30°＝＝，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝60°，如图，根据对称性，△A′BC是钝角三角形时，∠B′AC＝120°故答案为：60或120；（3）在△ABC中，thiA＝．在Rt△BHA中，sin A＝．在Rt△BHC中，sin C＝＝，即BC＝2BH．∴thiA＝2sin A．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．25．（8分）A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x （0＜x＜1）．B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x．三月份A、B两厂产值分别为y A、y B（单位：万元）．（1）分别写出y A、y B与x的函数表达式；（2）当y A＝y B时，求x的值；（3）当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？【分析】（1）根据题意由增长率的相等关系列式即可；（2）由（1）中所列解析式，根据y A＝y B列方程求解可得；（3）分0＜x＜和＜x＜1利用二次函数的性质解答可得．【解答】解：（1）根据题意可得：y A＝16（1﹣x）2，y B＝12（1﹣x）（1+2x）．（2）由题意得16（1﹣x）2＝12（1﹣x）（1+2x）解得：x1＝，x2＝1．∵0＜x＜1，∴x＝．（3）当0＜x＜时，y A＞y B，y A﹣y B＝16（1﹣x）2﹣12（1﹣x）（1+2x）＝40（x﹣）2﹣，∵x＜时，y A﹣y B的值随x的增大而减小，且0＜x＜，∴y A﹣y B无最大值；当＜x＜1时，y B＞y A，y B﹣y A＝12（1﹣x）（1+2x）﹣16（1﹣x）2＝4（1﹣x）（10x﹣1）＝﹣40（x﹣）2+，∵﹣40＜0，＜x＜1，∴当x＝时，y B﹣y A取最大值，最大值为8.1．∵8.1＞4∴当x＝时，三月份A、B两厂产值的差距最大，最大值是8.1万元．【点评】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，理解题意找到相等关系列出方程和函数解析式是解题的关键．26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC＝AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线．（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝．【分析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC＝∠A＝90°，所以AC是⊙E的切线；（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，列比例式代入r可得结论；②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．【解答】证明：（1）∵CD•BC＝AC•CE，∴，∵∠DCE＝∠ACB，∴△CDE∽△CAB，∴∠EDC＝∠A＝90°，∴ED⊥AC，∵点D在⊙E上，∴AC是⊙E的切线；（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，∴BH＝FH，∵∠A＝∠AHE＝∠ADE＝90°，∴四边形AHED是矩形，∴ED＝AH，ED∥AB，∴∠B＝∠DEC，设⊙E的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r，∴BH＝FH＝AH﹣AF＝DE﹣AF＝r﹣4，EC＝EG+CG＝r+5，在△BHE和△EDC中，∵∠B＝∠DEC，∠BHE＝∠EDC＝90°，∴△BHE∽△EDC，∴，即，∴r＝20，∴⊙E的半径为20；②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，由①得：FH＝BH＝r﹣4＝20﹣4＝16，AB＝AF+2BH＝4+2×16＝36，BC＝2r+5＝2×20+5＝45，∴AC＝＝27，∵I是Rt△ABC的内心，∴IM＝＝＝9，∴AH＝IM＝9，∴BH＝BM＝36﹣9＝27，∴EM＝27﹣20＝7，在Rt△IME中，由勾股定理得：IE＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、圆的切线的性质和判定、直角三角形内切圆的半径、切线长定理等知识，最后一问有难度，作辅助线，构建直角△IEM是关键，掌握直角三角形内切圆半径r＝（a、b是直角三角形的两直角边，c为斜边）．27．（9分）在△ABC中，D为BC边上一点．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；②若AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，则CD的取值范围是6﹣6≤CD≤5．【分析】（1）作∠CAB的角平分线即可；（2）①过点C作CK⊥BC，交BA的延长线于K，作∠CKB的角平分线即可；②在如图②中，求出CD的最小值，在如图③当E与A重合时，作AH⊥CB于H，设CD＝DE＝x，求出CD可得CD的最大值．【解答】解：（1）点D如图所示．（作∠CAB的角平分线即可）（2）①点D如图所示．（过点C作CK⊥BC，交BA的延长线于K，作∠CKB的角平分线即可）②如图②中，设CD＝DE＝x，则DE＝EB＝x，∠DEB＝90°，DB＝x，∵BC＝6，∴x+x＝6，∴x＝6﹣6，如图③中，当E与A重合时，作AH⊥CB于H，设CD＝DE＝x，在Rt△AHB中，易知AH＝HB＝4，∠AHB＝90°，HD＝x﹣2，DE＝x，∴x2＝42+（x﹣2）2，∴x＝5，综上可知，CD的最大值为5，最小值为6﹣6，∴6﹣6≤CD≤5，故答案为6﹣6≤CD≤5．【点评】本题考查三角形综合题、基本作图、角平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置确定最值问题，属于中考压轴题．。

2017年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算的结果是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．42．（2分）下列计算正确的是（）A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1B．3a6÷3a3＝a2C．（﹣ab2）4＝﹣a4b6D．﹣2a+（2a﹣1）＝﹣13．（2分）下列命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形4．（2分）已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b5．（2分）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝（）A．﹣5B．9C．5D．76．（2分）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a．﹣b﹣1）C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．（2分）8的平方根是；8的立方根是．8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．（2分）“五一”小长假首日，全国旅游接待总人数约为52 500 000人次，将52 500 000用科学记数法表示为．10．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为．11．（2分）若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是．12．（2分）正比例函数y＝mx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点是．13．（2分）如图，A、B为⊙O上两点，OB＝10，AB＝16，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为．14．（2分）如图，AD、CE是△ABC的中线，G是△ABC的重心，且AD⊥CE．若AD＝3，CE＝6，则AB＝．15．（2分）已知二次函数y1＝a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如下表：x…﹣2﹣11245…y1…﹣5043﹣5﹣12…如果将该函数的图象沿x轴翻折，得到二次函数y2＝a2x2+b2x+c2的图象，则当x＝﹣3时，y2＝．16．（2分）如图，在△ABC中，CA＝CB，AC＝3，AB＝4，与CA延长线、AB、CB延长线相切，切点分别为E、D、F，则该弧所在圆的半径为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．18．（6分）化简（）÷．19．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠DAB的平分线AE交CD于点F，交BC 的延长线于点E，连接BF．（1）求证：BE＝CD；（2）若BF⊥AE，∠BEA＝45°，AB＝4，则平行四边形ABCD的面积是．20．（6分）为了了解某区九年级学生体育中考成绩，现从该区随机抽取部分学生的体育成绩进行分段，分数段如下：A：40分；B：39.5分；C：39分；D：38～38.5分；E：0～37.5分．（注：体育中考成绩由高到低依次为40分、39.5分、39分、38.5分、38分……）绘制成统计表如下：分数段人数频率A1600.4B168aC b cD d0.07E e0.06根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a的值为，b的值为；（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数”，那么甲同学的体育成绩在分数段内；（填相应分数段的字母）（3）若把成绩大于39分定为优秀，则今年该区3600名九年级学生体育中考成绩为优秀的学生人数约有多少名？21．（8分）王老师从3名男生和2名女生中随机抽取参加“我是朗读者”演讲比赛的同学．（1）若抽取1名，恰好是男生的概率为；（2）若抽取2名，求恰好是2名女生的概率．22．（8分）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为过点（2，0）且平行于y轴的直线，已知A（1，0），C（0，3）．（1）求该函数的表达式；（2）将该函数图象向上平移个单位长度，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．23．（8分）某商场在“五一”小长假期间销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件可获利400元．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降10元，每天就可多售出2件衬衫．这种衬衫的单价应降价多少元，才能使商场通过销售这批衬衫平均每天盈利12000元？24．（8分）已知：C、D是∠AOB的边OB上两点，请通过直尺和圆规完成以下作图（保留作图的痕迹，不写作法）．（1）在射线OA上取一点P，使得PC＝PD；（2）在（1）中，连接PC、PD，再在射线OA上取一点Q，使得∠CQD＝∠CPD．25．（10分）王老师每天上班的行程是：首先要步行到距离家1km的某地铁起始站，然后乘坐15分钟地铁到达学校．某日，王老师早上7：00从家出发，当坐上地铁到达某站时，发现有一本书忘记带了，于是立刻乘坐反方向地铁回家取书，当他到达起始站后，立刻骑共享单车回家，骑车速度是步行速度的2倍．图中的折线表示王老师从出发到回到家的过程中，离家的距离y（km）与行程时间x（min）之间的函数关系．所有衔接时间全部忽略不计，根据图象进行以下探究：（1）王老师的步行速度是km/min，地铁的速度是km/min；（2）①求线段BC、CD的函数表达式；②求王老师几点钟回到家？（3）若王老师再通过骑共享单车及乘坐地铁到学校，请在图上继续画出这段行程的y与x之间的函数图象．（注：请标注出必要的数据）26．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且OC⊥AB，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，延长BA、DG交于点F．（1）求证∠FED＝∠FDE；（2）若，⊙O的半径为3，求DG的长．27．（12分）我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系．为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往需要构造直角三角形．例如，已知tanα＝（0°＜α＜90°），tanβ＝（0°＜β＜90°），求α+β的度数，我们就可以在图①的方格纸中构造Rt△ABC和Rt△AED来解决．（1）利用图①可得α+β＝°；（2）若tan2α＝（0°＜α＜45°），请在图②的方格纸中构造直角三角形，求tanα；（3）在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，设∠CAB＝α（0°＜α＜45°），请利用图③探究sin2α、cosα和sinα的数量关系．2017年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算的结果是（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．【解答】解：＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键．2．（2分）下列计算正确的是（）A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1B．3a6÷3a3＝a2C．（﹣ab2）4＝﹣a4b6D．﹣2a+（2a﹣1）＝﹣1【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及去括号，合并同类项法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝4a2﹣4a+1，不符合题意；B、原式＝a3，不符合题意；C、原式＝a4b8，不符合题意；D、原式＝﹣2a+2a﹣1＝﹣1，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．3．（2分）下列命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，命题正确，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，命题正确，故本选项错误；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，命题正确，故本选项错误；D、对角线相等的四边形是矩形，命题错误，例如等腰梯形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．（2分）已知a＝，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝，c＝＝，且＜＜，∴＞＞，即a＞b＞c，故选：A．【点评】此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．5．（2分）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝（）A．﹣5B．9C．5D．7【分析】由韦达定理和方程的解的定义得出m+n＝﹣2，m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，代入原式＝m2+2m+m+n计算可得．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，∴m+n＝﹣2，m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，则原式＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝5，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数且a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．6．（2分）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a．﹣b﹣1）C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）【分析】我们已知关于原点对称的点的坐标规律：横坐标和纵坐标都互为相反数；还知道平移规律：上加下减；左加右减．在此基础上转化求解．把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标和A′对应点A2坐标后求解．【解答】解：把AA′向上平移1个单位得A的对应点A1坐标为（a，b+1）．因A1、A2关于原点对称，所以A′对应点A2（﹣a，﹣b﹣1）．∴A′（﹣a，﹣b﹣2）．故选：D．【点评】此题通过平移把问题转化为学过的知识，从而解决问题，体现了数学的化归思想．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．（2分）8的平方根是±2；8的立方根是2．【分析】根据平方根以及立方根的定义即可直接求解．【解答】解：8的平方根是；8的立方根是2；故答案为：；2．【点评】本题主要考查了立方根的概念的运用．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤1．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴1﹣x≥0，解得x≤1．故答案为：x≤1．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．9．（2分）“五一”小长假首日，全国旅游接待总人数约为52 500 000人次，将52 500 000用科学记数法表示为 5.25×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将52 500 000用科学记数法表示为5.25×107．故答案是：5.25×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为1．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4k＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1．故答案为1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．（2分）若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是12π．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．12．（2分）正比例函数y＝mx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点是（﹣1，﹣2）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵点（1，2）与所求的点的坐标关于原点对称，∴另一交点的坐标为（﹣1，﹣2）．故答案是：（﹣1，﹣2）．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握．13．（2分）如图，A、B为⊙O上两点，OB＝10，AB＝16，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为6．【分析】当OP垂直于AB时，P到圆心O的距离最短，此时由垂径定理得到P为AB的中点，由AB的长求出BP的长，在直角三角形BOP中利用勾股定理即可求出OP的长．【解答】解：当OP垂直于AB时，P到圆心O的距离最短，由垂径定理得到P为AB的中点，即BP＝AB＝＝8，在Rt△AOP中，OB＝10，BP＝8，根据勾股定理得：OP＝＝＝6，即点P到圆心O的最短距离为6，故答案为：6．【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．14．（2分）如图，AD、CE是△ABC的中线，G是△ABC的重心，且AD⊥CE．若AD＝3，CE＝6，则AB＝8．【分析】根据重心的概念得到AG＝AD＝2，GE＝CE＝2，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴AG＝AD＝2，GE＝CE＝2，∵AD⊥CE，∴AE＝＝4，∴AB＝2AE＝8，故答案为：8．【点评】本题考查的是重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．15．（2分）已知二次函数y1＝a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如下表：x…﹣2﹣11245…y1…﹣5043﹣5﹣12…如果将该函数的图象沿x轴翻折，得到二次函数y2＝a2x2+b2x+c2的图象，则当x＝﹣3时，y2＝12．【分析】将该函数的图象沿x轴翻折，得到二次函数图象上点的坐标与原函数图象上点的坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数．【解答】解：由表中的数据可以得到二次函数y1＝a1x2+b1x+c1的图象的对称轴是直线x ＝1．所以当x＝﹣3与当x＝5时，所对应的y值相等，均为﹣12．当将二次函数y1＝a1x2+b1x+c1的图象沿x轴翻折，得到二次函数y2＝a2x2+b2x+c2的图象的横坐标与原坐标相等，纵坐标互为相反数，所以当x＝﹣3时，y2＝12．故答案是：12．【点评】考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找到两个函数图象间的点的坐标间的数量关系．16．（2分）如图，在△ABC中，CA＝CB，AC＝3，AB＝4，与CA延长线、AB、CB延长线相切，切点分别为E、D、F，则该弧所在圆的半径为2．【分析】设弧所在的圆的圆心为O，圆的半径为r，连接OE、OF、OC，求出CE＝CF ＝r，根据切线长定理得出AD＝AE，BD＝BF，然后通过证得Rt△OEC≌Rt△OFC，得出∠ACO＝∠BCO，EC＝FC，即可根据等腰三角形三线合一的性质得出OC⊥AB，由切线的性质证得OC经过点D，得到AD＝BD＝AB＝2，OD＝OE＝OF＝r，根据勾股定理即可得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设弧所在的圆的圆心为O，圆的半径为r，连接OE、OF、OC，如图，∵与CA延长线、AB、CB延长线相切，切点分别为E、D、F，∴AE＝AD，BF＝BD，∠OEC＝∠OFC＝90°，在Rt△OEC和Rt△OFC中，∴Rt△OEC≌Rt△OFC（HL），∴∠ACO＝∠BCO，EC＝FC，∴AE＝BF∵AC＝BC，∴OC⊥AB，∵D是切点，∴OC经过点D，∴AD＝BD＝AB＝2，OD＝OE＝OF＝r，∵CD⊥AB，∴CD＝＝，∵在Rt△OEC中，OC2＝EC2+OE2，∴（r+）2＝r2+（3+2）2，解得：r＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后找到它的整数解即可．【解答】解：解不等式2x+4≤3（x+2），得：x≥﹣2，解不等式3x﹣1＜2，得：x＜1，则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，所以不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0．【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．18．（6分）化简（）÷．【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题【解答】解：（）÷＝＝＝x+2．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．19．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠DAB的平分线AE交CD于点F，交BC 的延长线于点E，连接BF．（1）求证：BE＝CD；（2）若BF⊥AE，∠BEA＝45°，AB＝4，则平行四边形ABCD的面积是8．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD∥BC，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BAE＝∠E，可得AB＝BE＝CD；（2）由题意可得AB＝BE＝4，∠ABE＝90°，可求S△ABE＝AB×BE＝8，由等腰三角形的性质可得BF＝EF，可得S△ABF＝S△ABE＝4，即可求平行四边形ABCD的面积．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AD∥BC∴∠E＝∠DAE∵AE平分∠DAB∴∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠E∴AB＝BE∴BE＝CD（2）如图，∵AB＝BE，∠BEA＝45°，∴∠BAE＝∠BEA＝45°∴AB＝BE＝4，∠ABE＝90°∴S△ABE＝AB×BE＝8∵AB＝BE，BF⊥AE∴BF＝EF∴S△ABF＝S△ABE＝4，∴S▱ABCD＝2S△ABF＝8故答案为：8【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．20．（6分）为了了解某区九年级学生体育中考成绩，现从该区随机抽取部分学生的体育成绩进行分段，分数段如下：A：40分；B：39.5分；C：39分；D：38～38.5分；E：0～37.5分．（注：体育中考成绩由高到低依次为40分、39.5分、39分、38.5分、38分……）绘制成统计表如下：分数段人数频率A1600.4B168aC b cD d0.07E e0.06根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a的值为0.42，b的值为20；（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数”，那么甲同学的体育成绩在分数段B内；（填相应分数段的字母）（3）若把成绩大于39分定为优秀，则今年该区3600名九年级学生体育中考成绩为优秀的学生人数约有多少名？【分析】（1）首先根据：频率＝，由表格A中的数据可以求出随机抽取部分学生的总人数，然后根据B中频率即可求解a，同时也可以求出b；（2）根据中位数的定义可以确定中位数的分数段，然后确定位置；（3）首先根据频率统计表可以求出样本中在39分以上的人数，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题．【解答】解：（1）随机抽取部分学生的总人数为：160÷0.4＝400，∴B分数段的频率a＝168÷400＝0.42，C分数段的频率c＝1﹣0.4﹣0.42﹣0.07﹣0.06＝0.05，C分数段的频数b＝400×0.05＝20，故答案为：0.42，20．（2）∵总人数为400人，∴根据统计表知道中位数在分数段B；故答案为：B．（3）∵成绩大于39分定为优秀，故优秀的频率为：0.4+0.42＝0.82，∴3600×0.82＝2952（名）答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有2952名．【点评】本题考查读频数（率）分布表的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题．同时考查了中位数的定义及用样本估计总体的思想．21．（8分）王老师从3名男生和2名女生中随机抽取参加“我是朗读者”演讲比赛的同学．（1）若抽取1名，恰好是男生的概率为；（2）若抽取2名，求恰好是2名女生的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列举出所有情况，看恰好是2名女生的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）抽取1名，恰好是男生的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：由树形图可得出：共有20种情况，恰好是恰好是2名女生的情况数有2种，所以概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为过点（2，0）且平行于y轴的直线，已知A（1，0），C（0，3）．（1）求该函数的表达式；（2）将该函数图象向上平移1个单位长度，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．【分析】（1）设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，把已知三点坐标代入确定出a，b，c的值，即可求出解析式；（2）由解析式确定出顶点坐标，利用平移规律确定出所求即可．【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，把（1，0），（3，0），（0，3）代入得：，解得：，则二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）二次函数解析式y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，顶点坐标为（2，﹣1），则将该函数图象向上平移1个单位长度，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．故答案为：1【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．23．（8分）某商场在“五一”小长假期间销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件可获利400元．经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降10元，每天就可多售出2件衬衫．这种衬衫的单价应降价多少元，才能使商场通过销售这批衬衫平均每天盈利12000元？【分析】设这种衬衫的单价应降价x元，则每天可销售（20+0.2x）件衬衫，根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这种衬衫的单价应降价x元，则每天可销售（20+0.2x）件衬衫，依题意，得：（400﹣x）（20+0.2x）＝12000，整理，得：x2﹣300x+20000＝0，解得：x1＝100，x2＝200．答：这种衬衫的单价应降价100元或200元，才能使商场通过销售这批衬衫平均每天盈利12000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（8分）已知：C、D是∠AOB的边OB上两点，请通过直尺和圆规完成以下作图（保留作图的痕迹，不写作法）．（1）在射线OA上取一点P，使得PC＝PD；（2）在（1）中，连接PC、PD，再在射线OA上取一点Q，使得∠CQD＝∠CPD．【分析】（1）作线段CD的垂直平分线交OA于点P，点P即为所求．（2）作△PCD的外接圆交OA于点Q，点Q即为所求．【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求．（2）如图2中，点Q即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（10分）王老师每天上班的行程是：首先要步行到距离家1km的某地铁起始站，然后乘坐15分钟地铁到达学校．某日，王老师早上7：00从家出发，当坐上地铁到达某站时，发现有一本书忘记带了，于是立刻乘坐反方向地铁回家取书，当他到达起始站后，立刻骑共享单车回家，骑车速度是步行速度的2倍．图中的折线表示王老师从出发到回到家的过程中，离家的距离y（km）与行程时间x（min）之间的函数关系．所有衔接时间全部忽略不计，根据图象进行以下探究：（1）王老师的步行速度是km/min，地铁的速度是km/min；（2）①求线段BC、CD的函数表达式；②求王老师几点钟回到家？（3）若王老师再通过骑共享单车及乘坐地铁到学校，请在图上继续画出这段行程的y与x之间的函数图象．（注：请标注出必要的数据）【分析】（1）由题意，可知OA为步行的路程和时间，则步行的速度为km/min，AB 段为地铁的路程和时间，则地铁的速度为：＝km/min（2）由图象知点B（18，4.2）、点C（24，1）利用待定系数法即可求直线BC，（3）根据步行到距离家1km的某地铁起始站，然后乘坐15分钟地铁到达学校，即可补充图象【解答】解：（1）由题意，可知OA为步行的路程和时间，则步行的速度为km/min，AB段为地铁的路程和时间，则地铁的速度为：＝km/min故答案为：；（2）①设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为：y1＝k1+b∵线段BC经过点B（18，4.2）与点C（24，1）∴有，解得，∴线段BC的解析式为：设线段CD所表示的y与x之间的函数解析式为：y2＝k2+b∵骑车速度是步行速度的2倍，步行的速度为km/min，∴骑车的速度为km/min，即k2＝由题意得，线段CD经过点C（24，1）得，，解得b＝5故线段CD的解析式为：②令y2＝0，得，解得x＝30∵王老师早上7：00从家出发∴王老师回到家时是7：30（3）如图所示：【点评】此题主要考查一次函数的实际应用，根据图象所表示的含义进行解题是关键．另外还要读懂图象上的拐点所表示的意思，以此为突破口，即可以解决此类行程问题．26．（8分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且OC⊥AB，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，延长BA、DG交于点F．（1）求证∠FED＝∠FDE；（2）若，⊙O的半径为3，求DG的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠CEO＝∠FDE，即可求出答案；（2）求出OE，根据勾股定理求出DF，求出OF，证△F AG∽△FDO，得出比例式，求出AG，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵FD切⊙O于D，∴∠ODF＝90°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODE，∵∠C+∠CEO＝180°﹣90°＝90°，∠FDE+∠ODC＝90°，∴∠CEO＝∠FDE，∵∠CEO＝∠FED，∴∠FED＝∠FDE；（2）解：∵，⊙O的半径为3，∴OD＝OA＝3，OE＝1，∵∠FDE＝∠FED，∴EF＝FD，在Rt△FDO中，设EF＝FD＝x，由勾股定理得：x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4（负数舍去），即EF＝DF＝4，OF＝1+4＝5，F A＝5﹣3＝2，∵AG切⊙O于A，FD切⊙O于D，∴∠F AG＝∠OAG＝∠FDO＝90°，AG＝DG，∵∠F＝∠F，∴△F AG∽△FDO，∴＝，∴＝，解得：AG＝1.5，即DG＝AG＝1.5．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的判定，切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．27．（12分）我们知道，锐角三角函数可以揭示三角形的边与角之间的关系．为了解决有关锐角三角函数的问题，我们往往需要构造直角三角形．例如，已知tanα＝（0°＜α＜90°），tanβ＝（0°＜β＜90°），求α+β的度数，我们就可以在图①的方格纸中构造Rt△ABC和Rt△AED来解决．（1）利用图①可得α+β＝45°；（2）若tan2α＝（0°＜α＜45°），请在图②的方格纸中构造直角三角形，求tanα；（3）在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，设∠CAB＝α（0°＜α＜45°），请利用图③探究sin2α、cosα和sinα的数量关系．【分析】（1）连接CD，利用勾股定理逆定理证明△ACD是等腰直角三角形即可得；（2）构造如图②所示Rt△ABC，AC＝3，CB＝4，AB＝5，延长CN到D，使BD＝AB，据此可得tan2α＝tan∠ABC＝，tanα＝tan∠D＝；（3）作CE⊥BD于E，利用矩形的性质知∠OAB＝∠OBA＝α，∠COB＝2α，由三角函数定义知sin2α＝＝，sinα＝，cosα＝，证△CEB∽△ABC得＝，即CE＝，据此可知＝＝2•，从而得出答案．【解答】解：（1）如图①，连接CD，∵AC2＝12+32＝10，CD2＝12+22＝5，AD2＝12+22＝5，∴CD2+AD2＝AC2，且CD＝AD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，即α+β＝45°，故答案为：45．（2）构造如图②所示Rt△ABC，AC＝3，CB＝4，AB＝5，设∠ABC＝2α，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan2α＝tan∠ABC＝，延长CN到D，使BD＝AB，∵AB＝BD＝5，∴∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝2∠D，∴∠D＝α，在Rt△ADC中，∠C＝90°，∴tanα＝tan∠D＝＝＝；。

xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:2的相反数是A．－2B．－C．D ．2试题2:等于A．－3B．3C．±3D．试题3:南京青奥会期间约有1020000人次参与了青奥文化教育活动．将数据1020000用科学记数法表示为A．10.2×105 B．1.02×105 C．1.02×106 D．1.02×107试题4:如图，∠1＝50°，如果AB∥DE，那么∠D＝A．40°B．50°C． 130°D．140°试题5:不等式组的解集在数轴上表示正确的是A．B．C．D．试题6:如图，水平线l1∥l2，铅垂线l3∥l4，l1⊥l3，若选择l1、l2其中一条当成x轴，且向右为正方向，再选择l3、l4其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2－ax－a的图象，则下列关于x、y轴的叙述，正确的是A．l1为x轴，l 3为y轴B．l1为x轴，l4为y轴C．l2为x轴，l 3为y轴D．l2为x轴，l4为y轴试题7:使式子有意义的x的取值范围是．试题8:一组数据：1，4，2，5，3的中位数是．试题9:分解因式：2x2－4x＋2＝．试题10:计算：sin45°＋－＝．试题11:小明与家人和同学一起到游泳池游泳，买了2张成人票与3张学生票，共付了155元．已知成人票的单价比学生票的单价贵15元，设学生票的单价为x元，可得方程．试题12:已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为．试题13:如图，ON⊥OM，等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，边AC在OM上，将△ACB绕点A逆时针旋转75°，使得点B的对应点E恰好落在ON上，则＝．试题14:如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使3CE＝CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB＝6，则BF的长为．试题15:如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB＝36°，∠ABO＝30°，则∠D＝°．试题16:函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝的图象交于点A（2，1）、B（n，2），则不等式－＜－k1x＋b的解集为．试题17:解方程组：试题18:先化简，再求值：÷－，其中a＝1．试题19:如图，矩形花圃ABCD一面靠墙，另外三面用总长度是24m的篱笆围成．当矩形花圃的面积是40m2时，求BC的长．试题20:在一个不透明的口袋里装有四个球，这四个球上分别标记数字－3、－1、0、2，除数字不同外，这四个球没有任何区别．（1）从中任取一球，求该球上标记的数字为正数的概率；（2）从中任取两球，将两球上标记的数字分别记为x、y，求点（x，y）位于第二象限的概率．试题21:为了解南京市民每天的阅读时间情况，随机抽取了部分市民进行调查，根据调查结果绘制如下尚不完整的频数分布表：阅读时间0≤x＜30 30≤x＜60 60≤x＜90 x≥90 合计x（min）频数450 400 ②50 ④频率①0.4 0.1 ③ 1 （1）补全表格中①~④的数据；（2）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”，若我市约有800万人，请估计我市能称为“阅读爱好者”的市民约有多少万人？试题22:如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE＝DG．（1）求证：AE＝CG；（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由.试题23:游泳池完成换水需要经过“排水—清洗—注水”三个过程．如图，图中折线表示的是游泳池在换水过程中池中的水量y（m3）与时间t（min）之间的关系．（1）求注水过程中y与t的函数关系式；（2）求清洗所用的时间．试题24:在海上某固定观测点O处的北偏西60°方向，且距离O处40海里的A处，有一艘货轮正沿着正东方向匀速航行，2小时后，此货轮到达O处的北偏东45°方向的B处．在该货轮从A处到B处的航行过程中．（1）求货轮离观测点O处的最短距离；（2）求货轮的航速．试题25:如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E.（1）求证：∠E＝∠BCO；（2）若⊙O的半径为3，cos A＝，求EF的长．试题26:已知二次函数y＝x2—2x＋c（c为常数）．（1）若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，求c的取值范围；（2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为D，若存在点P（m，0）（m＞3）使得△CDP与△BDP面积相等，求m的值．试题27:如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝12cm，半径为4cm的⊙O与AB、AC两边都相切，与BC交于点D、E．点P从点A出发，沿着边AB向终点B运动，点Q从点B出发，沿着边BC向终点C运动，点R从点C出发，沿着边CA向终点A运动．已知点P、Q、R同时出发，运动速度分别是1cm/s、x cm/s、1.5cm/s，运动时间为t s.（1）求证：BD＝CE；（2）若x＝3，当△PBQ∽△QCR时，求t的值；（3）设△PBQ关于直线PQ对称的图形是△PB'Q，求当t和x分别为何值时，点B'与圆心O恰好重合．试题1答案:A试题2答案:B试题3答案:C试题4答案:C试题5答案:D试题6答案:A试题7答案:x≥－1；试题8答案:3试题9答案:2(x－1)2试题10答案:－2试题11答案:3x＋2(x＋15)＝155 试题12答案:24试题13答案:试题14答案:8试题15答案:96试题16答案:x＞0，－2＜x＜－1试题17答案:解：①＋②，得 3x＝3，解得x＝1．将x＝1代入①，得 1＋y＝－3，解得y＝－4．所以原方程组的解为6分试题18答案:解：÷－＝÷－＝·－＝－＝－＝－．当a＝1时，原式＝－1．7分试题19答案:解：设BC的长度为x m．由题意得x·＝40．解得x1＝4，x2＝20．答：BC长为4m或20m．7分试题20答案:解：（1）正数为2，该球上标记的数字为正数的概率为． 3分（2）点（x，y）所有可能出现的结果有：（－3，－1）、（－3，0）、（－3，2）、（－1，0）、（－1，2）、（0，2）、（－1，－3）、（0，－3）、（2，－3）、（0，－1）、（2，－1）、（2，0）．共有12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“点（x，y）位于第二象限”（记为事件A）的结果有2种，所以P(A)＝．8分试题21答案:解：（1）①0.45；②100；③0.05；④1000；4分（2）800×(0.1＋0.05)＝120（万人）答：我市能称为“阅读爱好者”的市民约有120万人． 7分试题22答案:解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵AD＝CD，∴∠DAE＝∠DCG，∵DE＝DG，∴∠DEG＝∠DGE，∴∠AED＝∠CGD．在△AED和△CGD中，∵∠DAE＝∠DCG，∠AED＝∠CGD，DE＝DG，∴△AED≌△CGD，∴AE＝CG．4分（2）解法一：BE∥DF，理由如下：在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCG．又∵AE＝CG，∴△AEB≌△CGD，∴∠AEB＝∠CGD．∵∠CGD＝∠EGF，∴∠AEB＝∠EGF，∴ BE∥DF．9分解法二：BE∥DF，理由如下：在正方形ABCD中，∵AD∥FC，∴＝．∵CG＝AE,∴AG＝CE．又∵在正方形ABCD中，AD＝CB，∴＝．又∵∠GCF＝∠ECB，∴△CGF∽△CEB，∴∠CGF＝∠CEB，∴ BE∥DF．9分试题23答案:解：（1）设注水过程中y与t之间的函数关系式为y＝kt＋b．根据题意，当t＝95时，y＝0；当t＝195时，y＝1000．所以解得所以，y与t之间的函数关系式为y＝10t－950． 4分（2）由图象可知，排水速度为＝20m3/min．则排水需要的时间为＝75min．清洗所用的时间为95－75＝20min．8分试题24答案:解：（1）如图，作OH⊥AB，垂足为H．在Rt△AOH中，∵cos∠AOH＝．∴OH＝cos60°·AO＝20．即货轮离观测点O处的最短距离为20海里． 4分（2）在Rt△AOH中，∵sin∠AOH＝，∴AH＝sin60°·AO＝20，在Rt△BOH中，∵∠B＝∠HOB＝45°，∴HB＝HO＝20．∴AB＝20＋20，∴货轮的航速为＝10＋10（海里/小时）． 8分试题25答案:（1）证明：连接BO．∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD．∵AE与⊙O相切于点B，∴OB⊥AE．∴∠ABD＋∠OBD＝90°．∵CD是⊙O的直径，∴∠CBO＋∠OBD＝90°．∴∠ABD＝∠CBO．∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO．∴∠E＝∠BCO．4分（2）解：在Rt△ABO中，cos A＝＝，可设AB＝4k，AO＝5k，BO＝＝3k．∵⊙O的半径为3，∴3k＝3，∴k＝1．∴AB＝4，AO＝5．∴AD＝AO－OD＝5－3＝2．∵BD∥EO，∴＝＝，∴AE＝10．∴EB＝AE－AB＝6．在Rt△EBO中，EO＝＝3．∵OE∥BD，∴∠EFB＝∠DBF＝90°．∵∠FEB＝∠BEO，∠EFB＝∠EBO，∴△EFB∽△EBO．∴＝，即＝．∴EF＝．9分试题26答案:解：（1）由题意可得，该二次函数与x轴有两个不同的交点，也就是当y＝0时，方程x2—2x＋c＝0有两个不相等的实数根，即b2－4ac＞0，所以4－4c＞0，c＜1．又因为该二次函数与两个坐标轴有三个不同的交点，所以c≠0．综上，若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，c的取值范围为c＜1且c≠0．4分（2）因为点A（－1，0）在该二次函数图象上，可得0＝(－1)2－2×(－1)＋c，c＝－3．所以该二次函数的关系式为y＝x2—2x－3，可得C（0，－3）．由x＝－＝1，可得B（3，0），D（1，－4）．若点P（m，0）（m＞3）使得△CDP与△BDP面积相等，可得点C、B到DP的距离相等，此时，CB∥DP．设过点C、B的直线的函数关系式为y＝kx＋b，即解得设过点D、P的直线的函数关系式为y＝x＋n，即－4＝1＋n．解得n＝－5．即y＝x－5，当y＝0时，x＝5，即m＝5．9分试题27答案:（1）证明：连接AO并延长交BC于点H．连接OE、OD．∵⊙O与AB、AC两边都相切，∴点O到AB、AC两边的距离相等．∴AH是∠CAB的平分线．∵AB＝AC，∴AH⊥BC，AH平分BC．∵OE＝OD，OH⊥ED，∴OH平分ED．∵CE＝CH－EH，BD＝BH－DH，且CH＝BH，EH＝DH，∴ BD＝CE．3分（2）解：在Rt△ABC中，BC＝＝12．∵△PBQ∽△QCR，∴＝，即＝．解得t＝． 6分（3）解：设⊙O与AB相切于点M，连接OM、OB、OP、OQ，H参考（1）中作法．∵点O与点B关于PQ对称，∴PQ垂直平分BO．∴OP＝BP，OQ＝BQ．∵⊙O与AB相切于点M，∴OM⊥AB．设BP＝a，在Rt△OMP中，(12－4－a)2＋42＝a2，解得a＝5；设BQ＝b，在Rt△OHB中，(6－b)2＋(2)2＝b2，解得b＝．t＝＝7s．x＝＝cm．。

江苏省南京市玄武区2017届中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．计算1﹣（﹣2）2÷4的结果为（）A．2 B．C．0 D．﹣2．南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学记数法表示为（）A．321×102B．32.1×103C．3.21×104D．3.21×1053．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．下列运算结果正确的是（）A．a2+a3=a5B．a2•a3=a6C．a3÷a2=a D．（a2）3=a55．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB=1，BC=2，则阴影部分的面积为（）A． +B．1+C．D． +16．如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（）A．（1，3） B．（3，﹣1）C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，1）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．分解因式：2x2+4x+2= ．8．满足不等式组的整数解为．9．已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是．10．计算= ．11．若关于x的方程x2+mx+5=0有一个根为1，则该方程的另一根为．12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD= ．13．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则▱ABCD的面积为．14．如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y=（x＞0）图象上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而．（填“减小”、“不变”或“增大”）15．二次函数y=a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象经过点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P为△ABC内一个动点，∠PAB=∠PBC，则CP。

南京市玄武区中考二模数学试卷注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．计算6×(－2)－12÷(－4)的结果是 A ．10 B ．0 C ．－3 D ．－92．小明从正面观察如图所示的两个物体，看到的是A ． C ．D ．3．已知一粒米的质量约是0. 000 021千克，这个数字用科学记数法表示为 A ．21×10－3 B ．2.1×10－4 C ．2.1×10－5D ．2.1×10－64．如果把分式2xyx ＋y 中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值A ．扩大为原来的4倍B ．扩大为原来的2倍C ．不变D ．缩小为原来的12倍5．若关于x 的方程x 2－4x ＋k ＝0的一个根为2－3，则k 的值为A ．1B ．－1C ．2D ．－2 6．已知40°的圆心角所对应的扇形面积为169π cm 2，则这个扇形所在圆的直径为A ．2 cmB ．4 cmC ．8 cmD ．16 cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接 第2题图填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．分解因式：2x 2－8＝ ▲ ．8．如图，直线AB ，CD 相交于点E ，DF ∥AB ，若∠AEC ＝100°，则∠D ＝ ▲ °． 9．若||a －3＝a －3，则a ＝ ▲ ．（请写一个符合条件a 的值）10．某班派6名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是：67，61，59，63，57，66（单位：千克）这组数据的中位数是 ▲ 千克．11．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BOD ＝100°，则∠BCD ＝ ▲ °． 12．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原价的8折销售，售价为120元，则这款羊毛衫的原价为 ▲ 元．13．已知圆柱的底面半径为3 cm ，母线长为5 cm ，则圆柱的侧面积是 ▲ cm 2． 14．在同一直角坐标系中，点A 、B 分别是函数y ＝x －1与y ＝－3x ＋5的图像上的点，且点A 、B 关于原点对称，则点A 的横坐标为 ▲ ．15．如图，等腰Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y ＝3x(x ＞0)的图像上，连接OA ，若OB ＝2，则点A 的坐标为 ▲ ．16．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，∠BCD ＝120°，BC ＝2，AD ＝DC ．P为四边形ABCD 边上的任意一点，当∠BPC ＝30°时，CP 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字ABECD F第8题图第11题图第15题图ABCD第16题图初中毕业生视力抽样调查频数分布表说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝8，2x －y ＝1．（2）解方程x 2－2x －1＝0．18．（7分）先化简：⎝⎛⎭⎫x 2x －2＋42－x ÷x ＋22x，再从2，－2，1，0，－1中选择一个合适的数进行计算．19．（8分）某区对即将参加中考的5 000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和不完整的频数分布直方图．请根据图表信息回答下列问题：视力 频数（人）频率 4.0≤x ＜4.3 20 0.1 4.3≤x ＜4.6 40 0.2 4.6≤x ＜4.9 70 0.35 4.9≤x ＜5.2 a 0.3 5.2≤x ＜5.5 10b（1）本次调查的样本为 ▲ ，样本容量为 ▲ ；（2）在频数分布表中，a ＝ ▲ ，b ＝ ▲ ，并将频数分布直方图补充完整； （3）若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？频数(人)10 20 30 40 50 60 70初中毕业生视力抽样调查频数分布直方图 （每组数据含最小值，不含最大值）20．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边BC 上一点，将线段AB 平移至DE ，连接AE 、AD 、EC ． （1）求证：AD ＝EC ；（2）当点D 是BC 的中点时，求证：四边形ADCE 是矩形．21．（6分）某市在道路改造过程中，需要铺设一条管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米．22．（6分）一个不透明的袋中装有2只红球和2只绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为 ▲ ； （2）从袋中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率．23．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且DC ＝DE ． （1）求证：△ABC ∽△DEC ；（2）若AB ＝5，AE ＝1，DE ＝3，求BC 的长．ABCD E第20题图ABCED第23题图24．（8分）小明同学需测量一条河流的宽度（河岸两边互相平行）．如图，小明同学在河岸一侧选取两个观测点A 、B ，在河对岸选取观测点C ，测得AB ＝31m ，∠CAB ＝37°，∠CBA ＝120°．请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73）25．（9分）一个装有进水管和出水管的容器，根据实际需要，从某时刻开始的2分钟内只进水不出水，在随后的4分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分钟）之间的部分关系如图所示． （1）当2≤x ≤6时，求y 与x 的表达式； （2）请将图像补充完整；（3）从进水管开始进水起，求该容器内的水量不少于7.5升所持续时间．ABC 第24题图y第25题图26．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上两点，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，且 CE ＝CF ．连接CA 、CD 、CB ． （1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝CD ＝6，求四边形ABCD 的面积．27．（10分）已知二次函数y ＝x 2－2ax －2a －6 (a 为常数，a ≠0)． （1）求证：该二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴交于点A （－2，0）和点B ，与y 轴交于点C ，线段BC的垂直平分线l 与x 轴交于点D ． ①求点D 的坐标；②设点P 是抛物线上的一个动点，点Q 是直线l 上的一个动点．以点B 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是否可能为平行四边形？若能，直接写出点Q 的坐标．B第26题图①②第二学期九年级测试卷（二）数学参考答案说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7． 2(x +2) (x －2) 8．80 9． 4（不唯一） 10．62 11．130 12．150 13．30π 14．－1 15．（3，1） 16．2或23或4 三、解答题（本大题共11小题，共88分）17.（5分）（1）解方程组: ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝8，2x －y ＝1．解： 由②得 y ＝2x —1 ③ 将③代入①得：3x +5(2x －1)＝813x ＝13x ＝1 ………2分 将 x ＝1代入②得y ＝1 ………4分∴该方程组的解为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1． ……5分(5分)（2）x 2－2x －1=0 解：∵ a ＝1，b ＝－2，c ＝－1∴ b 2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－1）＝8>0 ……2分 x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝2±82＝1±2……4分∴ x 1＝1+2，x 2＝1－ 2 ………5分（用配方法解方程酌情给分）18．（7分）解：原式＝ ⎝⎛⎭⎫x 2x －2 －4 x －2÷x ＋22x＝x 2－4 x －2÷x ＋22x ＝ ( x ＋2) ( x －2) x －2•2x x ＋2＝2 x ……4分 ∵ x －2≠0、x ≠0 、x +2≠0，∴ x ≠2、x ≠0、x ≠－2， ………6分将x =1代入，得原式=2×1=2． ………7分19.（8分）（1）从中抽取的某区即将参加中考200名初中毕业生的视力情况；200 ……2分 （2）60；0.05 ……4分 补对图形 ………5分（3）解：5000×0.7=3500（人） ………7分 答：估计全区初中毕业生中视力正常的学生有3500人. ………8分 20．（8分）（1）证明：∵ 将线段AB 平移至DE ∴AB ＝DE ，AB ∥DE ． ∴∠EDC ＝∠B ∵ AB ＝AC∴∠B ＝∠ACB ，DE ＝AC ∴∠EDC ＝∠ACB在△ADC 与△ECD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DE ∠EDC ＝∠ACB DC ＝CD∴△ADC ≌△ECD ． ……3分∴AD =EC ……4分 （2） ∵将线段AB 平移至DE∴AB ＝DE ，AB ∥DE ． ∴四边形ABDE 为平行四边形． ∴BD ＝AE∵点D 是BC 的中点 ∴ BD ＝DC ， ∴ AE ＝DC ， ∵AD =EC∴四边形ADCE 为平行四边形． ……6分 ∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点 ∴∠ADC ＝90° ∴四边形ADCE 为矩形． ……8分21．（6分）解：设乙工程队每天能铺设x 米，则甲工程队每天能铺设（x +20）米 ……1分由题意，得 350 x+20＝250x… …3分解得，x ＝50经检验 x ＝50是方程的解. ……5分ED则x ＋20＝70答:乙工程队每天能铺设50米，甲工程队每天能铺设70米. ……6分 22．（6分）解：（1）12……2分（2）将袋中的4个球分别记为：红1、红2、绿1、绿2，则从袋中随机抽取2个球，所有可能出现的结果有：（红1 ， 红2）、（红1 ，绿1）、（红1 ，绿2）、（红2 ，绿1）、（红2 ，绿2）、（绿1 ，绿2），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2只球颜色不同”（记为事件A ）的结果只有4种，所以P(A )＝46＝23． ……6分（树状图或列表参照给分） 23．（8分）（1）证明：∵ AB ＝AC∴∠B ＝∠C∵ DC ＝DE∴∠DEC ＝∠C ∴∠DEC ＝∠B ∵∠C ＝∠C∴△ABC ∽△DEC ……4分 （2）∵ AB ＝AC ＝5，AE =1 ∴CE ＝AC －AE ＝4 ∵△ABC ∽△DEC∴53＝BC 4． ∴BC ＝203……8分24．（8分）过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D 在Rt △CAD 中，tan ∠CAD ＝CD AD∴AD ＝CD tan ∠CAD ＝CDtan37°在Rt △CBD 中，tan ∠CBD ＝CD BD∴B D ＝CD tan ∠CBD ＝CDtan60° ……4分∵AD －B D ＝AB ∴CD tan37°－CDtan60°＝31CD 0.75－CD3＝31 ……6分 解得CD ≈41.0 ……7分（第24题）答：这条河的宽度约为41.0米． ……8分 25．（9分）（1）设y 与x 的函数表达式为y ＝kx ＋b ， ……1分将点( 2，10 )，( 6，15) 代入y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝10，6k ＋b ＝15， 解得⎩⎨⎧k ＝54b∴ 当2≤x ≤6时，y 与x 的函数表达式为y ＝54 x ＋215． ……3分(2)由题意可求出进水管每分钟的进水量为5升，出水管每分钟的出水量为3.75升， 故关闭进水管直到容器内的水放完需要4分钟.所以补充的图像为连接点( 6，15 )和点（10，0 ）所得的线段. ……5分（3）由题意可求：当0≤x ≤2时，y 与x 的函数表达式为y ＝5 x当6≤x ≤10时，y 与x 的函数表达式为y ＝-154x ＋752把y ＝7.5代入y ＝5 x ， 得x 1＝1.5把y ＝7.5代入y ＝－154x ＋752，得x 2＝8 ……8分∴该容器内的水量不少于7.5升的持续时间为x 2－x 1＝8－1.5＝6.5（分钟） 答：该容器内的水量不少于7.5升的持续时间为6.5分钟. ……9分 26．（8分）证明：（1）连结OC.∵CF ⊥AB ，CE ⊥AD ，且CE =CF ∴∠CAE =∠CAB ∵ OC =OA∴ ∠CAB ＝∠OCA ∴∠CAE ＝∠OCA∴∠OCA ＋∠ECA ＝∠CAE ＋∠ECA ＝90° ∴ ∠OCE ＝90° 即OC ⊥CE ……3分 ∵OC 是⊙O 的半径，点C 为半径外端∴CE 是⊙O 的切线 ……4分 解（2）∵AD=CD∴∠DAC=∠DCA=∠CAB ∴DC//AB∵∠CA E ＝∠OCA ∴OC//AD∴四边形AOCD 是平行四边形 ∴OC=AD=6，AB ＝12 ∵∠CAE=∠CABABE （第26题）∴ ⌒CD＝ ⌒CB ∴CD=CB ＝6∴CB=OC ＝OB∴△OCB 是等边三角形 ……6分 在R t △CFB 中，CF ＝CB 2－FB 2＝33． ……7分∴ S 四边形ABCD ＝12(DC ＋AB )·CF ＝12×(6＋12)×33＝273． ……8分 （其他解法酌情给分）27．（10分）（1）证明：y ＝x 2－2ax －2a －6当a ≠0时，（-2a ）2-4(－2a －6)＝ 4a 2＋8a ＋24＝4(a ＋1) 2 ＋20 ∵ 4(a ＋1) 2≥0∴ 4(a ＋1) 2 ＋20＞0所以，该函数的图像与x 轴总有两个公共点． ………3分（2）①把（2，0）代入y ＝x 2－2ax －2a －6 得a ＝1所以，y ＝x 2－2x －8.由此可求得B （4，0）、C （0，-8）∵点D 在BC 的垂直平分线上∴ DC ＝DB设OD ＝x ，则DC ＝DB ＝x ＋4，在Rt △ODC 中 OD 2＋OC 2＝DC 2即x 2＋82＝（x ＋4）2 解得x ＝6所以D （－6，0） ……6分 ② Q 1（223，－354）、Q 2（10，－8）、Q 3（－252，134）、Q 4（12，－134） ……10分 【附（2）②解答过程】设BC 的中点为E ，则点E (2， －4)可求直线l 的函数关系式为y ＝－12x －3 以点B 、D 、P 、Q 为顶点的四边形分以下两种情况讨论第一种情况：当DB 为四边形的边时当PQ ∥DB 且PQ ＝DB 时，四边形DPQB 为平行四边形若PQ 在x 轴下方时，设点Q （m ，－12m －3）则P （m －10，－12m －3） 因为点P 在抛物线上，所以－12m －3＝（m －10）2－2（m －10）－8. 解得m 1＝223， m 2＝10所以Q 1（223，－354）、Q 2（10，－8） 若PQ 在x 轴上方时，设点Q （m ，－12m －3）则P （m ＋10，－12m －3） 因为点P 在抛物线上，所以－12m －3＝（m ＋10）2－2（m ＋10）－8. 解得m 1＝－252， m 2＝－6（舍去） 所以Q 3（－252，134） 第二种情况：当DB 为四边形的对角线时当DQ 4∥PB 且DQ 4＝PB 时，四边形D Q 4BP 为平行四边形此时可发现DQ 4 ＝PB ＝DQ 3，即D 为Q 3Q 4的中点所以，可求出Q 4点（12，－134）。

2017年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算1﹣（﹣2）2÷4的结果为（）A．2B．C．0D．﹣2．（2分）南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学记数法表示为（）A．321×102B．32.1×103C．3.21×104D．3.21×105 3．（2分）一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．（2分）下列运算结果正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5 5．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（）A．+B．1+C．D．+16．（2分）如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E 的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（）A．（1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，1）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）分解因式：2x2+4x+2＝．8．（2分）满足不等式组的整数解为．9．（2分）已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是．10．（2分）计算＝．11．（2分）若关于x的方程x2+mx+5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为．12．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝．13．（2分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则▱ABCD的面积为．14．（2分）如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而．（填“减小”、“不变”或“增大”）15．（2分）二次函数y＝a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象经过点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠P AB＝∠PBC，则CP的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解方程组（2）解方程＝．18．（6分）计算÷（1+）．19．（7分）一个不透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．20．（8分）某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．（1）该公司在全市一共投放了万辆共享单车；（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为°；（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA 上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）求证：四边形EFGH是菱形．22．（7分）用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．23．（9分）同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x （min）的关系如图所示．（1）求乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式；（2）求点P的坐标，并说明其实际意义；（3）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．24．（8分）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝．请解答下列问题：已知：在△ABC中，∠C＝30°．（1）若∠A＝45°，求thi A的值；（2）若thi A＝，则∠A＝°；（3）若∠A是锐角，探究thi A与sin A的数量关系．25．（8分）A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x（0＜x＜1）．B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x．三月份A、B两厂产值分别为y A、y B（单位：万元）．（1）分别写出y A、y B与x的函数表达式；（2）当y A＝y B时，求x的值；（3）当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC＝AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线．（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝．27．（9分）在△ABC中，D为BC边上一点．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；②若AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，则CD的取值范围是．2017年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算1﹣（﹣2）2÷4的结果为（）A．2B．C．0D．﹣【解答】解：原式＝1﹣4÷4＝1﹣1＝0，故选：C．2．（2分）南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学记数法表示为（）A．321×102B．32.1×103C．3.21×104D．3.21×105【解答】解：32100＝3.21×104，故选：C．3．（2分）一元二次方程2x2+3x+1＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵在方程2x2+3x+1＝0中，△＝32﹣4×2×1＝1＞0，∴方程2x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根．故选：B．4．（2分）下列运算结果正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5【解答】解：A、a2与a3是加，不是乘，不能运算，故本选项错误；B、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；C、a3÷a2＝a3﹣2＝a，故本选项正确；D、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误．故选：C．5．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（）A．+B．1+C．D．+1【解答】解：如图，设与EF交于H，连接AH，∵AB＝1，BC＝2，∴AH＝AD＝BC＝2，∴∠AHE＝∠GAH＝30°，∵AE＝AB＝1，∴HE＝，+S△AHE＝+1×＝+，∴阴影部分的面积＝S扇形AHG故选：A．6．（2分）如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E 的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（）A．（1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，1）【解答】解：如图，由点A、E的坐标分别为（a，b）、（﹣a，b）知A、E两点关于y轴对称，则B、D两点也关于y轴对称，∵B（3，1），∴D（﹣3，1），故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）分解因式：2x2+4x+2＝2（x+1）2．【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2，故答案为：2（x+1）2．8．（2分）满足不等式组的整数解为﹣2．【解答】解：∵解不等式①得：x＜﹣1，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣1，∴不等式组的整数解为x＝﹣2，故答案为：﹣2．9．（2分）已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是4．【解答】解：∵一组数据2，6，5，2，4从大到小排列为：6，5，4，2，2，∴这组数据的中位数是4．故答案为：4．10．（2分）计算＝2﹣．【解答】解：＝＝＝2﹣故答案为：2﹣．11．（2分）若关于x的方程x2+mx+5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为5．【解答】解：设另外一个根为x，由根与系数的关系可知：1•x＝5，∴x＝5故答案为：512．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝40°．【解答】解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠D＝∠ABC＝50°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝40°．故答案为：40°．13．（2分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则▱ABCD的面积为16．【解答】解：连接AC，交BD于点O，∵E、F分别是AD、CD的中点，∴EF是△DAC的中位线，∴EM∥AO，EM＝AO，∴S△DEM ：S△DAO＝1：4，∴S△DEM ：S△DAC＝1：8，∴S△DEM ：S平行四边形ABCD＝1：16，∵△DEM的面积为1，∴▱ABCD的面积为16，故答案为：16．14．（2分）如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而增大．（填“减小”、“不变”或“增大”）【解答】解：∵A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上两点，∴k＝ab＝1×4＝4，∴b＝．∵过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G，∴四边形ACDG是矩形，∴矩形ACDG的面积＝矩形ACOE的面积﹣矩形ODGE的面积＝ab﹣1•b＝4﹣，∵a增大时，减小，4﹣增大，∴四边形ACDG的面积随着a的增大而增大．故答案为增大．15．（2分）二次函数y＝a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象经过点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是b＞2．【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象经过点（1，1）和（3，3），∴，②﹣①，整理得：a＝．∵a＜0，∴4﹣2b＜0，∴b＞2．故答案为：b＞2．16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠P AB＝∠PBC，则CP的最小值为﹣1．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，∴∠CAB＝∠CBA＝45°．又∵∠P AB＝∠PBC，∴∠P AB+∠PBA＝45°．∴∠APB＝135°．∴点P在以AB为弦的⊙O上．∵∠APB＝135°，∴∠AOB＝90°．∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∴∠CAO＝90°．∴四边形ACBO为矩形．∵OA＝OB，∴四边形AOBC为正方形．∴OA＝OB＝1．∴OP＝1，OC＝．当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值，∴PC的最小值＝OC﹣OP＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解方程组（2）解方程＝．【解答】解：（1）方程组，解：由②‚得y＝2x﹣1③，将③ƒ代入①•得：x+2（2x﹣1）＝3，解得：x＝1，将x＝1代入 得y＝1，则该方程组的解为；（2）方程两边同乘（x﹣1）（x+3）得：x+3＝2（x﹣1），解得：x＝5，检验：当x＝5时，（x﹣1）（x+3）≠0所以x＝5是原方程的解．18．（6分）计算÷（1+）．【解答】解：÷（1+）．＝÷（）＝÷＝•＝19．（7分）一个不透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．【解答】解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A）＝＝；（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：（红1，红2）、（红1，黄）、（红2，黄）、（红1，白）、（红2，白）、（白，黄），共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”（记为事件B）的结果只有1种，所以P（B）＝．20．（8分）某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．（1）该公司在全市一共投放了4万辆共享单车；（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为36°；（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．【解答】解：（1）由题意可得，该公司在全市一共投放了：1÷25%＝4（万辆）共享单车，故答案为：4；（2）由题意可得，在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为：360°×（1﹣25%﹣25%﹣20%﹣）＝36°，故答案为：36；（3）由题意可得，C区共享单车的使用量为：4×85%﹣0.8﹣0.3﹣0.9﹣0.7＝0.7（万辆），补全的条形统计图，如右图所示．21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA 上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）求证：四边形EFGH是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF．∴△BEF≌△DGH．∴EF＝HG．又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF．∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE．∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴四边形EFGH是菱形．22．（7分）用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴①．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵②，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．【解答】解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵∠A+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．故答案为：EC＝EB；∠A+∠B＝90°；证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．如图3所示：∵AD＝DB，DE＝CD．∴四边形ACBE是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形．∴AB＝CE，又∵CD＝CE，∴CD＝AB．23．（9分）同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y（cm）与燃烧时间x （min）的关系如图所示．（1）求乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式；（2）求点P的坐标，并说明其实际意义；（3）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．【解答】解：（1）设乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式为y＝kx+b，，解得，，即乙蜡烛剩下的长度y与燃烧时间x的函数表达式为y＝﹣0.8x+40；（2）将x＝20代入y＝﹣0.8x+40，得y＝24，即点P的坐标为（20，24），实际意义是：点燃20分钟，甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24 cm；（3）设甲蜡烛剩下的长度y甲与x之间的函数表达式为y甲＝mx+n，，解得，∴y甲与x之间的函数表达式为y甲＝﹣1.2x+48，∵甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍，∴﹣1.2x+48＝1.1（﹣0.8x+40）解得，x＝12.5答：点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．24．（8分）定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝．请解答下列问题：已知：在△ABC中，∠C＝30°．（1）若∠A＝45°，求thi A的值；（2）若thi A＝，则∠A＝60或120°；（3）若∠A是锐角，探究thi A与sin A的数量关系．【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H．（1）在Rt△BHC中，sin C＝＝，即BC＝2BH．在Rt△BHA中，sin A＝＝，即AB＝BH．∴thiA＝＝；（2）∵thi A＝，∴＝，∵∠C＝30°，∴tan30°＝，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝60°，根据对称性，△ABC是钝角三角形时，∠BAC＝120°故答案为：60或120；（3）在△ABC中，thiA＝．在Rt△BHA中，sin A＝．在Rt△BHC中，sin C＝＝，即BC＝2BH．∴thiA＝2sin A．25．（8分）A厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x（0＜x＜1）．B厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x．三月份A、B两厂产值分别为y A、y B（单位：万元）．（1）分别写出y A、y B与x的函数表达式；（2）当y A＝y B时，求x的值；（3）当x为何值时，三月份A、B两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？【解答】解：（1）根据题意可得：y A＝16（1﹣x）2，y B＝12（1﹣x）（1+2x）．（2）由题意得16（1﹣x）2＝12（1﹣x）（1+2x）解得：x1＝，x2＝1．∵0＜x＜1，∴x＝．（3）当0＜x＜时，y A＞y B，y A﹣y B＝16（1﹣x）2﹣12（1﹣x）（1+2x）＝40（x﹣）2﹣，∵x＜时，y A﹣y B的值随x的增大而减小，且0＜x＜，∴当x＝0时，y A﹣y B取得最大值，最大值为4；当＜x＜1时，y B＞y A，y B﹣y A＝12（1﹣x）（1+2x）﹣16（1﹣x）2＝4（1﹣x）（10x﹣1）＝40（x﹣）2+，∵﹣40＜0，＜x＜1，∴当x＝时，y B﹣y A取最大值，最大值为8.1．∵8.1＞4∴当x＝时，三月份A、B两厂产值的差距最大，最大值是8.1万元．26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC＝AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．（1）求证：AC是⊙E的切线．（2）若AF＝4，CG＝5，①求⊙E的半径；②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝．【解答】证明：（1）∵CD•BC＝AC•CE，∴，∵∠DCE＝∠ACB，∴△CDE∽△CAB，∴∠EDC＝∠A＝90°，∴ED⊥AC，∵点D在⊙E上，∴AC是⊙E的切线；（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，∴BH＝FH，∵∠A＝∠AHE＝∠ADE＝90°，∴四边形AHED是矩形，∴ED＝AH，ED∥AB，∴∠B＝∠DEC，设⊙E的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r，∴BH＝FH＝AH﹣AF＝DE﹣AF＝r﹣4，EC＝EG+CG＝r+5，在△BHE和△EDC中，∵∠B＝∠DEC，∠BHE＝∠EDC＝90°，∴△BHE∽△EDC，∴，即，∴r＝20，∴⊙E的半径为20；②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，由①得：FH＝BH＝r﹣4＝20﹣4＝16，AB＝AF+2BH＝4+2×16＝36，BC＝2r+5＝2×20+5＝45，∴AC＝＝27，∵I是Rt△ABC的内心，∴IM＝＝＝9，∴AH＝IM＝9，∴BH＝BM＝36﹣9＝27，∴EM＝27﹣20＝7，在Rt△IME中，由勾股定理得：IE＝＝＝，故答案为：．27．（9分）在△ABC中，D为BC边上一点．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；②若AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，则CD的取值范围是6﹣6≤CD≤5．【解答】解：（1）点D如图所示．（作∠CAB的角平分线即可）（2）①点D如图所示．（过点C作CK⊥BC，交BA的延长线于K，作∠CKB 的角平分线即可）②如图②中，设CD＝DE＝x，则DE＝EB＝x，∠DEB＝90°，DB＝x，∵BC＝6，∴x+x＝6，∴x＝6﹣6，如图③中，当E与A重合时，作AH⊥CB于H，设CD＝DE＝x，在Rt△AHB中，易知AH＝HB＝4，∠AHB＝90°，HD＝x﹣2，DE＝x，∴x2＝42+（x﹣2）2，∴x＝5，综上可知，CD的最大值为5，最小值为6﹣6，∴6﹣6≤CD≤5，故答案为6﹣6≤CD≤5．。

2017年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）2017年5月14日首届“一带一路”国际高峰论坛在中国北京召开，来自130多个国家的约1 500名各界贵宾出席论坛．用科学记数法表示1 500是（）A．15×102B．1.5×102C．1.5×103D．0.15×104 2．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．B．C．2D．sin30°3．（2分）计算（﹣ab3）2的结果是（）A．﹣a2b5B．a2b5C．﹣a2b6D．a2b64．（2分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS5．（2分）如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC的度数是（）A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°6．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a为常数，且a≠0），图象的顶点为C．以下三个结论：①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为2；③若该函数的图象与x轴有两个交点A、B，且S△ABC ＝1时，则a＝8．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）9的平方根是．8．（2分）函数中，自变量x的取值范围是．9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝．10．（2分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，m），则m的值是．11．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是．12．（2分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为cm2．13．（2分）某校九年级有15名同学参加校运会百米比赛，预赛成绩各不相同，前7名才有资格参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，但他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的．（填“极差”、“众数”或“中位数”）14．（2分）菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则菱形ABCD的面积为，周长为．15．（2分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE，若AB＝8，BF＝4，则BC＝cm．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．18．（6分）计算（1+）÷．19．（7分）用一条长20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△ADE．（2）四边形BFDE是菱形．21．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．22．（8分）“约在江苏，共筑梦想”，为了解某校1000名学生在2017年5月20日“江苏发展大会”期间对会议的关注方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，某校抽取学生“江苏发展大会”期间对会议的关注方式的统计表并将问卷调查的结果绘制成如下不完整的统计表：（1）本次问卷调查抽取的学生共有人，其中通过电视关注会议的学生有人；（2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；（3）根据抽样的结果，估计该校学生通过报纸关注会议的约有多少人？23．（8分）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？25．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E作直线与AB垂直，垂足为F，且与AC的延长线交于点G．（1）求证：直线FG是⊙O切线．（2）若BF＝1，CG＝2，求⊙O半径．26．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，AB＝2，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求二次函数的关系式及顶点坐标；（2）请设计一种平移方法，使（1）中的二次函数图象的顶点在x轴上，并直接写出平移后相应的二次函数的表达式．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC＝150°，P A＝3，PC＝4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC ＝120°，P A＝，PB＝5．求PC的长．2017年江苏省南京市建邺区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）2017年5月14日首届“一带一路”国际高峰论坛在中国北京召开，来自130多个国家的约1 500名各界贵宾出席论坛．用科学记数法表示1 500是（）A．15×102B．1.5×102C．1.5×103D．0.15×104【解答】解：用科学记数法表示1 500是1.5×103，故选：C．2．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．B．C．2D．sin30°【解答】解：A、分数，是有理数，选项不符合题意；B、是无理数，选项符合题意；C、2是整数，是有理数，选项不符合题意；D、sin30°＝是分数，是有理数，选项不符合题意．故选：B．3．（2分）计算（﹣ab3）2的结果是（）A．﹣a2b5B．a2b5C．﹣a2b6D．a2b6【解答】解：原式＝a2b6，故选：D．4．（2分）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【解答】解：在△OEC和△ODC中，∵，∴△OEC≌△ODC（SSS），故选：D．5．（2分）如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC的度数是（）A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD＝45°，∵BC＝BE，∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）＝67.5°，故选：C．6．（2分）已知二次函数y＝ax2﹣ax（a为常数，且a≠0），图象的顶点为C．以下三个结论：①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为2；③若该函数的图象与x轴有两个交点A、B，且S△ABC ＝1时，则a＝8．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①y＝ax2﹣ax＝ax（x﹣1），当y＝0时，x＝0或者1，∴无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点为（0，0）（1，0）；①正确；②∵无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点为（0，0）（1，0），∴该函数的图象在x轴上截得的线段长为1；②错误；③y＝ax2﹣ax对称轴为x＝，∵当x＝时，y＝﹣a，∴S△ABC＝AB•|﹣a|＝|a|，当S△ABC＝1时，|a|＝1，解得：a＝±8，③错误；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）9的平方根是±3．【解答】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．8．（2分）函数中，自变量x的取值范围是x≠1．【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1．9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）．【解答】解：原式＝（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．10．（2分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，m），则m的值是﹣2．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，m），∴m＝＝﹣2．故答案为：﹣2．11．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是5．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，∴x1•x2＝5．故答案为：5．12．（2分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为6πcm2．【解答】解：底面半径是2cm，则底面周长＝4πcm，圆锥的侧面积＝×4π×3＝6πcm2．13．（2分）某校九年级有15名同学参加校运会百米比赛，预赛成绩各不相同，前7名才有资格参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，但他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的中位数．（填“极差”、“众数”或“中位数”）【解答】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．故答案为中位数．14．（2分）菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则菱形ABCD的面积为24，周长为20．【解答】解：菱形ABCD的面积＝×6×8＝24；∵两条对角线长分别为6和8，∴两对角线的一半分别为3，4，由勾股定理得，菱形的边长＝＝5，所以，菱形的周长＝4×5＝20．故答案为：24；20．15．（2分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE，若AB＝8，BF＝4，则BC＝10cm．【解答】解：设EF＝AE＝x，则BE＝8﹣x，∵∠B＝90°，BF＝4，∴Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴EF＝5，BE＝3，∵∠DFE＝∠A＝90°，∠C＝90°，∴∠CDF＝∠BFE，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△DCF∽△FBE，∴＝，即＝，∴CF＝6，∴BC＝BF+CF＝4+6＝10．故答案为：10．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是1．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PBC＝90°，∵∠P AC＝∠PCB∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝2，OC＝1.5，∴OB＝＝2.5，∴PB＝OB﹣OP＝2.5﹣1.5＝1．∴PB最小值为1．故答案为1．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．【解答】解：解不等式3x+1≤2（x+1），得：x≤1，解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1．18．（6分）计算（1+）÷．【解答】解：（1+）÷＝•＝x﹣1．19．（7分）用一条长20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．【解答】解：设矩形的长为xcm，则宽为（10﹣x）cm．根据题意，得x（10﹣x）＝30，即x2﹣10x+30＝0．因为△＝b2﹣4ac＝102﹣4×30＝﹣20＜0，所以此一元二次方程无实数根．答：用一条长20cm的绳子不能围成一个面积为30cm2的矩形．20．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：（1）△ABE≌△ADE．（2）四边形BFDE是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC，AD∥BC．∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠BCA．∴∠BAC＝∠DAC．即∠BAE＝∠DAE．在△ABE和△ADE中，∴△ABE≌△ADE．（2）如图，连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD．又AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF．即OE＝OF．∴四边形BFDE是平行四边形．又△ABE≌△ADE，∴BE＝DE．∴四边形BFDE是菱形．21．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．【解答】解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，所以恰好选中甲和乙的概率＝＝．22．（8分）“约在江苏，共筑梦想”，为了解某校1000名学生在2017年5月20日“江苏发展大会”期间对会议的关注方式，某班兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查，某校抽取学生“江苏发展大会”期间对会议的关注方式的统计表并将问卷调查的结果绘制成如下不完整的统计表：（1）本次问卷调查抽取的学生共有50人，其中通过电视关注会议的学生有8人；（2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；（3）根据抽样的结果，估计该校学生通过报纸关注会议的约有多少人？【解答】解：（1）23÷46%＝50（人），15÷50＝30%，50×（1﹣46%﹣8%﹣30%）＝8（人）．答：本次问卷调查抽取的学生共有50人，其中通过电视关注会议的学生有8人；（2）选择条形图，如图所示：（3）1 000×8%＝80（人）．答：估计该校学生通过报纸关注会议的约有80人．故答案为：50，8．23．（8分）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距40m，在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯角为37°，测得铁塔顶部的仰角为26.6°，求铁塔的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）【解答】解：作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△AEC中，CE＝AE•tan26.6°≈40×0.50＝20m；在Rt△AED中，DE＝AE•tan37°≈40×0.75＝30m；∴CD＝20+30＝50m．答：铁塔的高度为50米．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【解答】解：（1）点B所表示的实际意义是：2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）小亮上坡速度：480÷2＝240m/min，下坡速度：240×1.5＝360m/min，所以，下坡时间为480÷360＝min，2+＝min，所以，点A的坐标为（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得．所以，y＝﹣360x+1200；（3）设两人出发后xmin相遇，∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，∴小刚的速度是240÷2＝120m/min，第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，由题意得，120x+360（x﹣2）＝480，解得x＝2.5．答：两人出发2.5min后第一次相遇．25．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与边AB、BC分别交于点D、E．过E作直线与AB垂直，垂足为F，且与AC的延长线交于点G．（1）求证：直线FG是⊙O切线．（2）若BF＝1，CG＝2，求⊙O半径．【解答】证明：（1）如图，连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．在⊙O中，OC＝OE，∴∠OEC＝∠ACB．∴∠B＝∠OEC．∴OE∥AB．又AB⊥GF，∴OE⊥GF．又OE是⊙O的半径，∴FG与⊙O相切．解：（2）设⊙O的半径为r，则OE＝r，AB＝AC＝2r．∵BF＝1，CG＝2，∴AF＝2r﹣1，OG＝r+2，AG＝2r+2．∵OE∥AB，∴△GOE∽△GAF．∴＝．∴＝．∴r＝2．即⊙O的半径为2．26．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，AB＝2，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求二次函数的关系式及顶点坐标；（2）请设计一种平移方法，使（1）中的二次函数图象的顶点在x轴上，并直接写出平移后相应的二次函数的表达式．【解答】解：（1）因为点A的坐标为（1，0），AB＝2，所以点B的坐标为（3，0）或（﹣1，0）．将A（1，0），B（3，0）或A（1，0），（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c，得或所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3或y＝x2﹣1．顶点坐标分别为（2，﹣1）、（0，﹣1）．（2）∵顶点坐标分别为（2，﹣1）、（0，﹣1），若二次函数图象的顶点在顶点在x轴上，∴抛物线的图象向上平移1个单位．∴二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+4或y＝x2．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC＝150°，P A＝3，PC＝4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC ＝120°，P A＝，PB＝5．求PC的长．【解答】解：（1）如图2中，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．∴AD＝AP＝3，DB＝PC＝4，∠P AD＝60°，∠ADB＝∠APC＝150°．∵AD＝AP，∠P AD＝60°，∴△ADP为等边三角形．∴PD＝P A＝3，∠ADP＝60°．又∠ADB＝150°，∴∠PDB＝90°．在Rt△PDB中，PD＝3，DB＝4，∴BP＝＝＝5，（2）如图，作∠CAD＝∠BAP，使AD＝AP．连接CD、PD．∵AB＝2AC，AD＝AP，∴＝＝．又∠CAD＝∠BAP，∴△ABP∽△ACD．∴CD＝BP＝2.5．在△P AD中，P A＝，∠P AD＝60°，AD＝，易证∠APD＝30°，∠PDA＝90°（取P A中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）∴PD＝，∴∠DPC＝120°﹣30°＝90°在Rt△DPC中，PC＝＝＝2．。