2021-2022学年辽宁省沈阳市和平区南昌中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.如图所示的几何体，该几何体的俯视图是()A.B.C.D.2.若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A. a<1B. a≤1C. a≤1且a≠0D. a<1且a≠03.某小组作“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是()A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”4.小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2+12x−15求值，估算一元二次方程的近似解x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x−15−0.590.84 2.29 3.76 5.25由此可确定一元二次方程x2+12x−15=0的近似解x的范围正确的是()A. 1.1<x<1.2B. 1.2<x<1.3C. 1.3<x<1.4D. 1.4<x<1.55.如图所示，在一边靠墙(墙足够长)的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是()A. 12x(55−x)=375 B. 12x(55−2x)=375C. x(55−2x)=375D. x(55−x)=3756.已知△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，且A(3,1)，△ABC与△A1B1C1的相似比为12，则A的对应点A1的坐标是()A. (6,2)B. (−6,−2)C. (6,2)或(−6,−2)D. (2,6)7.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB、AC，则sin∠BAC的值为()A. 12B. √55C. 2√55D. √528.抛物线y=x2可以由抛物线y=(x+2)2−3平移得到，则下列平移过程正确的是()A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位9.对于二次函数y=−2(x−3)2−1，下列说法正确的是()A. 图象的开口向上B. 图象的对称轴是直线x=−3C. 图象的顶点是(3,−1)D. 当x>3时，y随x的增大而增大10.如图所示是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，与x轴交于点(3,0)，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc>0；②a−b+c=0；③当−1<x<3时，y<0；④am2+bm≥a+b，(m为任意实数)．其中正确结论的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如图，直线l1//l2//l3，直线l4，l5被直线l1、l2、l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB=4，BC=6，DE=3，则EF的长是______．12.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB=3m，BC=7m，则建筑物CD的高是______m.13.已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′=12，则S△ABC：S△A′B′C′为______ ．(x<0)的图象如图所示，则矩形OAPB14.反比例函数y=−5x的面积是______．15.设A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−x2+2x+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为______.(用“<”连接)16.如图，正方形ABCD的边长为1，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM=2AM，点N在边BC上，且BN=AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为______．三、解答题（本大题共9小题，共82.0分）17.解方程：2x(x+3)=x2+8x．)−1+|√3−2|．18.计算：3tan30°−(π−4)0+(1219.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE//CD，CE//AB．(1)证明：四边形ADCE为菱形；(2)若BC=6，tan∠B=4，则四边形ADCE的周长3=______．20.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“齐”“心”“抗”“疫”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．(1)若从中任取一个球，写出球上的汉字刚好是“齐”的概率；(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的概率．21.如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，求AE的长．22.某商场将进货价为40元的台灯以50元售出，平均每月能售出600个，调查表明，售价在50元至70元的范围内，这种台灯的售价每上涨2元，其销售量就减少20个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？23.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=−2的图象交于点xA(−1,a)与点B(b,−1)．(1)求这个一次函数的表达式；<kx+b的解集；(2)根据图象，直接写出不等式−2x(3)若动点P是第二象限内双曲线上的点(不与点A重合)，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OA，OB，OC，OP，若△POC的面积等于△AOB的面积的三分之一，则点P的横坐标为______．24.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=16cm，EF分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s.同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ.设运动时间为t(0<t<8)s.解答下列问题：(1)如图①，求证：△BEF∽△DCB；(2)如图②，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，若四边形EPQG为矩形，t=______；(3)当△PQF为等腰三角形时，请直接写出t的值．25.抛物线y=−18x2+bx+c与直线y=−12x−6分别交x轴，y轴于A，C两点，该抛物线与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为M．(1)求该抛物线的函数表达式和点M坐标；(2)如图1，点P是直线y=−12x−6上方抛物线上一动点，且△PAC的面积为15，求点P坐标．(3)如图2所示，连接CM交x轴于点N，抛物线上是否存在点Q，使∠ACQ=∠MAN+∠ACN，若存在，直接写出点Q坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：从上面看该几何体，得到的是矩形，矩形的内部有两条纵向的实线，实线的两旁分别有一条纵向的虚线．故选：C．根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提．2.【答案】D【解析】解：∵一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0，△=b2−4ac=22−4×a×1=4−4a>0，解得：a<1，故选：D．由一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>0，a≠0，继而可求得a的范围．此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△>0．3.【答案】A【解析】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为16≈0.17，故A符合题意；B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是：1352=14；故B不符合题意；C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为23，故C不符合题意；D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为1，故D不符3合题意．故选：A．根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．4.【答案】A【解析】解：由表可以看出，x=1.1时，x2+12x−15=−0.59，x=1.2时，x2+12x−15=0.84，则当x取1.1与1.2之间的某个数时，y=0，即这个数是x2+12x−15=0的一个根．x2+12x−15=0的一个解x的取值范围为1.1<x<1.2．故选：A．由表格可发现y的值−0.59和0.84最接近0，再看对应的x的值即可得．本题考查了估算一元二次方程的近似解；5.【答案】A米，【解析】解：设榣栏AB的长为x米，则AD=BC=55−x2⋅x⋅(55−x)=375，根据题意可得，12故选：A．设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC=55且AD=BC可得AD=BC=55−x米，再2由长方形的面积公式可得答案．本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．6.【答案】C【解析】解：∵△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，A(3,1)，△ABC与△A1B1C1的相似比为12，∴点A的对应点A1的坐标为(3×2,1×2)或(3×(−2),1×(−2))，即(6,2)或(−6,−2)，故选：C．根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k计算，得到答案．本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．7.【答案】B【解析】解：连接BC，∵AC2=42+22=20，AB2=32+42=25，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2．∴∠ACB=90°．∴sin∠BAC=BCAB =√55．故选：B．利用勾股定理的逆定理先判定△ABC为直角三角形，再利用正弦的定义可求结论．本题主要考查了解直角三角形．利用勾股定理判定△ABC是直角三角形是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：抛物线y=(x+2)2−3向右平移2个单位可得到抛物线y=x2−3，抛物线y=x2−3再向上平移3个单位即可得到抛物线y=x2．故平移过程为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位．故选：D．根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．9.【答案】C【解析】解：∵y=−2(x−3)2−1，∴a=−2<0，开口向下，顶点(3,−1)，对称轴是直线x=3，当x>3时，y随x的增大而减小．故选：C．根据二次函数的性质求解即可．本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，最值解答．10.【答案】D【解析】解：∵抛物线开口方向向上，∴a>0，=1，∵对称轴为x=−b2a∴b=−2a<0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，即x=−1时，y=0，∴a−b+c=0，所以②正确；当−1<x<3时，y<0，所以③正确；∵当x=1时，y取最小值a+b+c，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，所以④正确．故选：D．根据抛物线的开口方向得到a>0，利用对称轴方程得到b=−2a<0，由抛物线与y轴交于负半轴得到c<0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，则可对②③进行判断；根据二次函数的最值问题可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△= b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】4.5【解析】解：∵l1//l2//l3，∴ABBC =DEEF，∵AB=4，BC=6，DE=3，∴46=3EF，解得：EF=4.5，故答案为：4.5．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．12.【答案】5【解析】解：∵EB//CD，∴△AEB∽△ADC，∴EBCD =ABAC，∴1.5CD =33+7，∴CD=5(m)，故答案为：5．利用相似三角形的性质求解即可．本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．13.【答案】1：4【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′=12，∴S△ABCS△A′B′C′=(12)2=1：4，故答案为：1：4．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14.【答案】5【解析】解：设P(x,−5x)，∴AP=−5x，OA=−x，∴S矩形OAPB =AP×OA=−5x×(−x)=5．故答案为：5．利用反比例函数系数k的几何意义求解．本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出AP和OA，再计算矩形OAPB的面积即可．15.【答案】y1<y3<y2【解析】解：∵y=−x2+2x+a=−(x−1)2+1+a，∴抛物线y=−x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x=1，而A(−2,y1)离直线x=1的距离最远，B(1,y2)在直线x=1上，∴y1<y3<y2．故答案为y1<y3<y2．根据二次函数的性质得到抛物线y=−x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x=1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．16.【答案】√55【解析】解：如图，设AN 和BD 交于点Q ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴BD =√AB 2+AD 2=√2，∵BM =2AM ，∴BM +AM =AB =1，∴AM =BN =13，BM =23，∵AD//BN ，∴△NQB∽△AQD ，∴BN AD =BQ QD =NQ AQ =13，∴DQ =3BQ ，∴DQ =3√24，BQ =√24，∵O 是BD 的中点，∴OD =√22，∴OQ =DQ −OD =√24，在△ADM 和△BAN 中，{AD =AB ∠DAM =∠ABN AM =BN，∴△ADM≌△BAN(SAS)，∴∠ADM =∠BAN ，∵∠PAD+∠BAN=90°，∴∠PAD+∠ADM=90°，∴∠APD=90°，∵∠DAM=90°，AM=13，AD=1，∴DM=√AM2+AD2=√103，∵S△ADM=12×AD⋅AM=12×DM⋅AP，∴AP=1×1 3√10 3=√1010，∴PM=√AM2−AP2=√1030，∴PD=DM−PM=3√1010，∵△ADM≌△BAN，∴AN=DM=√103，∵NQAQ =13，∴NQ=√1012，AQ=√104，∴PQ=AQ−AP=√104−√1010=3√1020，如图，过点O作OG⊥DM于点G，∵OG//PQ，∴△OGD∽△QPD，∴DODQ =DGDP=OGQP=23，∴DG=23DP=23×3√1010=√105，OG=23QP=23×3√1020=√1010，∴PG=DP−DG=3√1010−√105=√1010，∴OP=√OG2+PG2=√110+110=√55．故答案为：√55．设AN 和BD 交于点Q ，证明△NQB∽△AQD ，对应边成比例可得DQ =3√24，BQ =√24，然后证明△ADM≌△BAN ，可得∠ADM =∠BAN ，再根据等面积法求出响应各边的长，过点O 作OG ⊥DM 于点G ，由△OGD∽△QPD ，对应边成比例，和勾股定理即可求出OP 的长．本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，难度较大，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，解决本题的关键是综合运用所学知识的能力．17.【答案】解：去括号，得2x 2+6x =x 2+8x ，移项，得2x 2+6x −x 2−8x =0，合并同类项，得x 2−2x =0，x(x −2)=0，x =0或x −2=0，所以x 1=0，x 2=2．【解析】去括号，移项，合并同类项，再把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．18.【答案】解：原式=3×√33−1+2+2−√3 =√3−1+2+2−√3=3．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.【答案】20【解析】(1)证明：∵AE//CD ，CE//AB ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCE为菱形；(2)解：在Rt△ABC中，BC=6，tan∠B=ACBC =43，∴AC=43BC=43×6=8，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∴CD=12AB=5，∵四边形ADCE为菱形，∴CD=DA=AE=EC=5，∴菱形ADCE的周长为：5×4=20．故答案为：20．(1)先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AD，即可得出结论；(2)先由锐角三角函数定义求出AC=8，由勾股定理得出AB=10，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=5，然后由菱形的性质即可得出答案．本题考查了菱形的性质和判定、平行四边形的判定、勾股定理、锐角三角函数的定义、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)从中任取一个球，球上的汉字刚好是“齐”的概率为14；(2)画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的结果数为2，∴取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的概率为212=16．【解析】(1)直接利用概率公式计算；(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的结果数，然后由概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B 的概率．21.【答案】解：∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴60°+∠BAD=60°+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE∴BDCE =ABCD∵BD=3，BC=AB=AC=9，∴CD=6，∴3CE =96，∴CE=2∴AE=AC−CE=7【解析】根据相似三角形的性质以及判定即可求出答案．本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABD∽△DCE，本题属于中等题型．22.【答案】解：设每个台灯上涨x元，则销售量减少(20×x2)个，由题意得：(50+x−40)(600−20×x2)=10000，整理得：x2−50x+400=0，解得：x1=10，x2=40，答：这种台灯的售价应定为10元或40元．【解析】设每个台灯上涨x元，则销售量减少10x个，根据总利润=(售价−进价)×数量建立方程求出其解即可．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据总利润=(售价−进价)×数量建立方程是关键．23.【答案】(−1−√52,√5−1)或(−1−√132,√13−13) 【解析】解：(1)∵点A(−1,a)与点B(b,−1)在反比例函数y =−2x 的图象上，∴−1⋅a =b ×(−1)=−2，∴a =b =2，∴A(−1,2)，B(2,−1)，∵一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象经过点A 、B ，∴{−k +b =22k +b =−1，解得{k =−1b =1， ∴一次函数的表达式为y =−x +1；(2)观察图象可知，不等式−2x <kx +b 的解集为x <−1或0<x <1；(3)在直线y =−x +1中，令y =0，则x =1， ∴D(1,0)，∴S △AOB =S △AOD +S △BOD =12×1×2+12×1×1=32， 设点P 的坐标为(m,−2m )(m <0)，则C(m,−m +1)， ∴PC =|−2m −(−m +1)|，点O 到直线PC 的距离为−m ， ∵△POC 的面积等于△AOB 的面积的三分之一， ∴△POC 的面积=12×(−m)×|−2m −(−m +1)|=13×32， 解得：m =−1±√52或−1±√132， 又∵m <0∴m =−1−√52或−1−√132∴点P 的坐标为(−1−√52,√5−1)或(−1−√132,√13−13)， 故答案为：(−1−√52,√5−1)或(−1−√132,√13−13).(1)由反比例函数解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；(2)根据图象即可求得；(3)先求得△AOB的面积，设点P的坐标为(m,−2m)(m<0)，则C(m,−m+1)，用m表示出△POC的面积，从而列出关于m的方程，解方程即可．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．24.【答案】8013【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠EBF==∠CDB，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF//AD，∴EF//BC，∴∠EFB=∠CBD，∴△BEF∽△DCB；(2)当四边形EPQG为矩形时，如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=16cm，∴BD=20cm，AD=BC=16cm，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴BF=DF=10cm，EF=12AD=12×16=8m，∴QF=(2t−10)cm，PF=(8−t)cm，∵四边形EPQG是矩形，∴PQ//BE，∴△QPF∽△BEF，∴QFBF =PFEF，∴2t−1010=8−t8，解得：t=8013，∴当t=8013时，四边形EPQG为矩形，故答案为8013；(3)当点Q在DF上，PF=QF，如图所示，∵PF=(8−t)cm，QF=(10−2t)cm，∴8−t=10−2t，解得：t=2，当点Q在BF上，PF=QF，如图所示，∵PF=(8−t)cm，QF=(2t−10)cm，∴8−t=2t−10，∴t=6，当点Q在BF上，PQ=QF，如图所示，过点Q作QG⊥EF于点G，则GQ//BE，∴△QGF∽△BEF，∴GFEF =QFBF，∵PQ=QF，∴GF=12PF=12(8−t)，∴12(8−t)8=2t−1010，∴t=407，当点Q在BF上，PQ=PF，如图所示，过点P作PM⊥BF于点M，则∠PMF=∠BEF=90°，∵∠PFM=∠BFE，∴△PFM∽△BFE，∴MFEF =PFBF，∵PQ=PF，∴MF=12QF=12(2t−10)，∴12(2t−10)8=8−t10，∴t=193，综上所述，t=2或6或193或407时，△PQF是等腰三角形．(1)由矩形ABCD得AB//CD，得出∠EBF=∠CDB，由E、F分别是AB、BD的中点，可得EF是△ABD的中位线，得出EF//AD，进而得出EF//BC，可得∠EFB=∠CBD，即可得出△BEF∽△DCB；(2)四边形EPQG为矩形时，△QPF∽△BEF，利用对应边成比例，即可求出t的值；(3)分点Q在DF上，PF=QF，点Q在BF上，PF=QF，PQ=FQ，PQ=PF，四种情况讨论即可得出t的值．本题四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．25.【答案】解：(1)令x =0，则y =−6，∴C(0,−6)，∴OC =6．令y =0，则−12x −6=0，解得：x =−12，∴A(−12,0)．∴OA =12．∵A ，C 两点在抛物线y =−18x 2+bx +c 上，{−18×144−12b +c =0c =−6， 解得：{b =−2c =−6． ∴该抛物线的函数表达式为y =−18x 2−2x −6． ∵y =−18x 2−2x −6=−18(x +8)2+2，∴顶点M(−8,2)．(2)过点P 作PD ⊥x 轴并延长交直线AC 于点E ，如图，∵点P 是直线y =−12x −6上方抛物线上一动点，∴设点P(m,−18m 2−2m −6)，−12<m <0．∵PE ⊥x 轴，∴点E(m,−12m −6)．∴PE =−18m 2−2m −6−(−12m −6)=−18m 2−32m.∵S △APC =S △APE +S △CPE =12PE ⋅AD +12PE ⋅OD =12PE ⋅OA ，又△PAC 的面积为15，∴12×(−18m 2−32m)×12=15．解得：m =−2或m =−10．∴P(−2,−52)或(−10,32). (3)抛物线上存在点Q ，使∠ACQ =∠MAN +∠ACN ，理由：过点M 作MD ⊥AB 于点D ，延长MD 交AC 于点E ，交CQ 于点F ，如图，∵M(−8,2)，∴MD =2，OD =8．∴AD =OA −OD =4．∵tan∠MAD =MDAD =24=12，tan∠OAC =OC OA =612=12， ∴∠MAD =∠OAC ．设直线MC 的解析式为y =kx +n ，则：{−8k +n =2n =−6， 解得：{k =−1n =−6． ∴直线MC 的解析式为y =−x −6．令y =0，则−x −6=0．解得：x =−6．∴N(−6,0)．∴ON =6．∴OC =ON =6．∴∠ONC =∠OCN =45°．∵∠ONC =∠OAC +∠ACN ，∴∠ONC =∠MAN +∠ACN ，∵∠ACQ =∠MAN +∠ACN ，∴∠ACQ =45°，过点M 作MG ⊥AC 于点G ，过点C 作CH ⊥MF 于点H ，则CH =OD =8，DH =OC =6，∠HCM =90°−∠NCO =45°．∴∠ACQ =∠HCM =45°．∴∠HCF =∠MGC ．∵∠FHC =∠MGC =90°，∴△CHF∽△CGM ．∴HF MG =CH CG ．∵DE//OC ，∴DE OC =AE AC=AD AO =13． ∴AE =13AC ，DE =2． ∴ME =MD +DE =2+2=4．∵AC =√OA 2+OC 2=6√5，∴AE =2√5．∵S △MAE =12ME ⋅AD =12AE ⋅MG ，∴MG =ME⋅AD AE =2√5=8√55．∵MH =MD +DH =2+6=8，CH =8，∴CM =8√2．∴CG =√CM 2−MG 2=24√55． ∴8√55=24√55，∴HF =83．∴DF =DH +HF =263． ∴F(−8,−263).设直线CQ 的解析式为y =k 1x +b 1，则：{−8k 1+b 1=−263b 1=−6， 解得：{k 1=13b 1=−6． ∴直线CQ 的解析式为y =13x −6．∴{y =13x −6y =−18x 2−2x −6， 解得：{x 1=0y 1=−6，{x 2=−563y 2=−1109． ∴Q(−563,−1109).【解析】(1)利用一次函数的解析式求得点A ，C 坐标，利用待定系数法可求抛物线解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；(2)过点P 作PD ⊥x 轴并延长交直线AC 于点E ，设点P(m,−18m 2−2m −6)，利用S △APC =S △APE +S △CPE =12PE ⋅AD +12PE ⋅OD =12PE ⋅OA ，列出方程，解方程即可求得结论； (3)过点M 作MD ⊥AB 于点D ，延长MD 交AC 于点E ，交CQ 于点F ，过点M 作MG ⊥AC 于点G ，过点C 作CH ⊥MF 于点H ，利用已知条件求得点F 的坐标，利用待定系数法求得直线CQ 的解析式后，与抛物线解析式联立组成方程组，解方程组即可得出结论．本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，二元二次方程组的解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．。
